herramientas estadistias para el control de procesos

8/17/2019 Herramientas Estadistias Para El Control de Procesos

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I I I N N N G G G ... E E E DDDU U U A A AR R R DDDO O O DDDI I I A A AZ Z Z LLLI I I C C C ... DDD A A AN N N I I I E E E LLL R R R U U U I I I Z Z Z

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA

INGENIERÍA EN INDUSTRIAS FORESTALES

HHHEEER R R R R R AAAMMMIIIEEE N N NTTTAAASSS EEESSSTTTAAADDDIIISSSTTTIIICCCAAASSS PPPAAAR R R AAA

EEELLL CCCOOO N N NTTTR R R OOOLLL DDDEEE PPPR R R OOOCCCEEESSSOOOSSS


2/95

CONTENIDO

INTRODUCCION

CAPITULO I

CONTROL DE CALIDAD

Objetivos

Introducción

Conceptos de calidad

Control de calidad

Principios del Control de Calidad

Funciones del Control de Calidad

Costos de Calidad

CAPITULO II

MEJORAMIENTO CONTINUO E INNOVACIÓN

Investigaciones estadísticas

La Estadística en lo Analítico y en lo Enumerativo

Elementos Básicos sobre Variación

Clasificación de Procesos

El experimento de Deming

CAPITULO III.

LA TEORIA MUESTRAL

Necesidad de Muestreo

Tipos de Muestreo

Distribuciones Muestrales

1. Distribución muestral de medias

2. Distribución muestral para la diferencia de medias

3. Distribución muestral de proporciones y diferencias

4. Distribución muestral de varianzas

Tamaño de la muestra

Pag

1

3

3

3

3

4

5

7

8

10

15

15

16

17

19

22

27

35

35

36

37

40

41

47

51

54

56


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CAPITULO IV

CONTROL ESTADISTICO DEL PROCESO

Objetivos

Introducción

Métodos Estadísticos

Cartas de control

Diagrama Causa-Efecto

Diagrama de Pareto

Gr áfico de corridas

Histogramas de Frecuencia

Análisis de Regresión

Ajustes de Curvas BIBLIOGRAFIA

61

61

61

62

6264

75

76

79

80

81

94


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INTRODUCCION

El presente trabajo representa un breve, general e introductorio tratado

sobre herramientas estadísticas aplicables al control de procesos, como un

material de apoyo dirigido a los gerentes.

Es de hacer notar que este papel de trabajo está sujeto a revisión y que

cualquier sugerencia al respecto será muy bien aceptada.

Así mismo, es conveniente señalar que los autores no pretenden reclamar

la autoría de algunos trabajos a los cuales se hace referencia, dado que los

mismos son productos de congresos, seminarios, lecturas, cursos y de su

experiencia profesional. De esta forma, lo original de este escrito consiste en

haberlos recopilados y en presentarlos de una forma resumida como una guía de

estudio.

Este texto difiere de las publicaciones comunes de estadística y/o control de

calidad porque su principal propósito es, además de conceptualizar el control de

calidad, mostrar cómo aplicar la teoría estadística a problemas derivados de laexperiencia del campo laboral. La estadística descriptiva, per sé no resuelve los

problemas de producción y los métodos estadísticos son herramientas que

ayudan a mejorar el proceso, dando objetividad a las observaciones y no servirían

si no son utilizados apropiadamente. De esta forma, se dará mayor importancia a

los hechos que a los conceptos abstractos, utilizando cifras derivadas de

observaciones reales, aceptando como confiable la información proveniente de la

distribución normal hacia la cual tiende las observaciones cuando son grandes.


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Los métodos estadísticos constituyen un medio efectivo para controlar la

calidad en el proceso de producción; sin embargo, "lo importante no es el

conocimiento de los métodos estadísticos sino más bien la actitud mental hacia su

utilización",(Kume, 1992; p.9)).


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CAPITULO I.

EL CONTROL DE LA CALIDAD

OBJETIVOS:

Conocer los conceptos básicos aplicados en el control de calidad y

familiarizar al lector con los principios, funciones y los costos que la calidad

implica.

INTRODUCCIÓN:

La finalidad de todo proceso industrial es la reproducción del prototipo de un

producto. Cuando el producto está bien diseñado y se fabrica cumpliendo las

normas establecidas, el mismo llenará las expectativas para el cual fue elaborado

y para el usuario. En consecuencia, se hace necesario que todos los productos se

fabriquen ajustados a las normas, el control de calidad interviene para asegurar el

fiel cumplimiento de estas normas por el producto.

Lógicamente no hay dos productos iguales, por lo que la calidad varía

continuamente, dependiendo del nivel de refinamiento técnico alcanzado.

Puesto que la calidad es variable, va en contraposición a la uniformidad y

en la práctica esta situación se obvia llegando a la transacción entre ambos,

estableciendo límites para definir las variaciones con respecto a las

especificaciones cualitativas permisibles y tolerables en el producto final, sin

desmedro del principio de normalización.


7/95

Sin embargo existen elementos perturbadores que impiden que la

producción se ajuste lo mejor posible a las especificaciones cualitativas, tales

como:

1.- Irregularidad en las máquinas

2.- Imprecisiones humanas

3.- Errores de los instrumentos de control

4.- Condiciones ambientales

5.- Otros

La desviación cualitativa del producto representa un aumento de los costos

puesto que implica un gasto extra de materia prima o de tiempo y trabajos para

realizar las correcciones de los defectos del producto acabado.

Este aumento de los costos de producción sumados a los retrasos de la

producción, la disminución del prestigio de la empresa, etc. son hechos graves

como para no estudiarlos atentamente y buscar las medidas correctivas

necesarias.

El diseño de este trabajo bibliográfico va orientado a proporcionar los

conocimientos mínimos necesarios que permitan comprender las técnicas

estadísticas, metodología e interpretación y análisis de resultados. Para ello es

necesario basarse en fundamentos de estadísticas matemáticas, así como en

matemáticas avanzadas; sin embargo, la mayoría de las aplicaciones descritas

sólo requieren de conocimientos aritméticos.

2.- CONCEPTO DE CALIDAD

Calidad es la aptitud de un producto para satisfacer una necesidad al menorcosto posible.


8/95

La calidad de un producto implica dos aspectos fundamentales:

a. Calidad del Diseño:

Es el grado de concordancia entre el diseño y el fin para el cual fue creado;

en la medida que las características previstas, los materiales y las formas

concebidas por el diseñador cumplen con las necesidades del usuario.

b. Calidad del Producto:

Es el grado de concordancia entre el producto y sus especificaciones.

Siendo el grado en el que el proceso de manufactura y mano de obra han

reproducido el producto lo más cercano del diseño original.

3.- CONTROL DE CALIDAD:

Es el proceso mediante el cual se miden las características de un producto,

se comparan los valores con las normas establecidas y se adoptan las medidas

correctivas convenientes cuando no se ajustan a las normas.

La definición previa de Calidad tiene varias implicaciones y una de ellas es

que con el sólo control estadístico no es posible alcanzar la satisfacción del

consumidor, por lo tanto para alcanzar esta calidad se requiere además:

1. Una adecuada investigación de mercado (calidad de investigación del

mercado).

2. Un producto con un diseño acorde (calidad de diseño).

3. Un producto fiel al diseño del prototipo (calidad de fabricación o

concordancia).

4. Un producto al alcance del consumidor oportunamente (calidad de

distribución).


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5. Un producto con adecuados componentes de reemplazo (calidad de

servicio).

De esta forma la calidad es una resultante de todos estos elementos

mencionados, que para ser alcanzada requiere de un control total de la calidad.Entre estos controles se pueden establecer (ver figura 1):

Control Dinámico de la Calidad:

Realizado estrictamente sobre el proceso de fabricación.

Control Estático de la Calidad:

Aplicado a los productos semi-elaborados y productos terminados.

ENTRADA

MATERIA

PRIMA

PROCESO DE

FABRICACIONPRODUCTO

FINAL

CONTROL

DINAMICO

CONTROL

ESTATICO

FIGURA 1.

GRAFICO DE LOS TIPOS DE CONTROL


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PRINCIPIOS DEL CONTROL DE CALIDAD

1. Con el control de calidad no se obtiene calidad del producto; ésta es una

característica inherente al producto mismo. Esto es evidente, para

obtener un buen nivel de calidad hay que fabricarlo puesto que el controlde calidad no agrega calidad a los productos.

2. El equipo productor es el responsable directo de la calidad del producto

de acuerdo a las directrices que el control de calidad establece.

3. No resuelve problemas de fabricación, sólo da las razones para

estudiarlos. Es muy importante que el equipo productor sepa qué

problemas existen y en qué sentido se manifiestan para lograr un buen

nivel de calidad en la fabricación.

4. Las decisiones deben tomarse sobre la base de datos reales, la

confiabilidad de los datos registrados es el punto inicial para todo

análisis e interpretación de resultado.

5. Los datos deben ser compatibles y estar dispuestos de manera tal, que

permitan su análisis. Esto permitirá el empleo de algunas herramientas

estadísticas de las cuales el control de calidad hace uso.

6. El control de calidad debe ser activo, debe prevenir la ocurrencia de

errores o defectos, mantener regulados y bajo control los procesos,

evitar el desperdicio, el reproceso, las devoluciones y tomar las medidas

correctivas oportunamente.


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FUNCIONES DEL CONTROL DE CALIDAD:

Antes de iniciar la fabricación de un producto, se requiere fijar las

especificaciones de lo que se va a hacer. Después, viene la manufactura real de

este producto y finalmente la comprobación para verificar si está de acuerdo con

lo especificado. Al pensar en todos los puntos relacionados con la calidad es

conveniente hacerlo en término de estas tres funciones: Especificación,

fabricación e inspección.

El control de calidad estadístico debe ser considerado como un grupo de

herramientas, que pueden influir en las decisiones relacionadas con estasfunciones. Mientras más personas existan en cargos de supervisión de inspección,

de supervisión de producción, de ingeniería de métodos, de ingeniería de diseño y

de nivel gerencial, que comprendan los principios básicos de control de calidad

estadístico, mayor será la probabilidad de emplear efectivamente estas técnicas

en una organización.

Entre las funciones básicas del control de calidad relacionadas con las

funciones de especificar, fabricar e inspeccionar un producto tenemos:

1. Intervenir en la estipulación de la calidad de diseño mediante la

realización de normas de control, preparación de prescripciones etc.

Esta no es una función exclusiva de control de calidad, pues intervienen

otros departamentos, pero jamás debe realizarse un diseño sin la

intervención del departamento de control de calidad.

2. Ejercer el control dinámico de la calidad mediante el control durante el

proceso de fabricación, con el propósito de obtener productos de

acuerdo al diseño, evitando la fabricación de piezas defectuosas.


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3. Ejercer el control estático de la calidad mediante el establecimiento del

control de entrada y de salida con el propósito de vigilar el producto

terminado o la materia prima para otros sectores de la planta.

TAREAS ESPECIFICAS DE UN PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD

A continuación figuran tareas específicas que pueden cumplirse como parte

de un programa de control de calidad.

a. Determinar las condiciones que deben cumplir los diseños, los proyectos

y las especificaciones para satisfacer las normas de calidad y a su vez

verificar que se cumplan los procedimientos establecidos.

b. Planificar las herramientas, los instrumentos de medición y el equipo de

control necesario para medir las características del producto. Así mismo

verificar que los instrumentos de medición estén calibrados.

c. Establecer procedimientos de control de calidad, basados en la

estadística sobre las operaciones de fabricación, así como para las

piezas, materiales y muestreos de recepción.

d. Crear un sistema para inscribir en un registro los defectos en materia de

calidad y para inscribir datos sobre seguimiento de las medidas

correctoras adoptadas, igualmente recoger las informaciones que

puedan proporcionar mejoras al proceso de fabricación.

e. Proporcionar formación para el personal de inspección, de pruebas, etc.

f. Establecer los costos de control de calidad.


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COSTOS DE CALIDAD

Cada uno de los departamentos de una organización debe ser capaz de

justificar su existencia midiendo sus costos y comparándolos con la contribución

que aporta al cumplimiento de los objetivos de la compañía y a la obtención de

beneficios. El departamento de control de calidad no es una excepción. Por

consiguiente, es importante determinar el costo general del control de calidad.

Mejorar el nivel de calidad de un producto hace que el costo de producción

del mismo se eleve, lógicamente se convierte en un aspecto que debe ser

estudiado detenidamente. En la práctica siempre hay un nivel de rechazos óptimo

para un proceso dado, por lo que carece de sentido esforzarse por reducir los

rechazos. Por lo tanto la calidad de un producto debe ser controlada a unatolerancia dada y para cierto nivel de rechazos, para obtener la relación de

compromiso requerida, pretender mejorar la calidad más allá de este nivel es,

hacer la producción anti-económica. El costo total del control de calidad bien

puede ser analizado o determinado, agrupando los costos en cuatro categorías

(ver figura 2)

.

CATEGORIAS

DE COSTOS

DE CALIDAD

COSTO

DE

PREVENCION

COSTO

DE

EVALUACION

DEFECTOS

DENTRO

DE LAORGANIZACION

DEFECTOS

FUERA

DE LAORGANIZACION

Figura 2: CATEGORIAS DE COSTOS DE CALIDAD


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1. Prevención.- Los costos de prevención son los de planificación y

aplicación del programa de calidad antes de la fabricación del producto. A

continuación se dan ejemplos de tareas que pueden clasificarse como de

prevención de defectos.

a) Revisión del diseño.

b) Programas de formación y titularización de trabajadores.

c) Calificación de proveedores antes de la subcontratación.

d) Medios mecánicos para el control de calidad, incluido el diseño de

equipos y herramientas especiales.

e) Control de los procesos para asegurar que los procesos de fabricación

corresponden a las tolerancias establecidas para el producto.

2. Costo de evaluación. Los costos de evaluación son los gastos en que

se incurre para medir la conformidad del producto con las normas; incluidas las

inspecciones y pruebas.

A continuación se dan ejemplos de tareas cuyo costo puede incluirse en

esta categoría:

a) Inspección y prueba de las piezas y materiales suministrados por

proveedores.

b) Inspección y prueba de materiales, piezas, montajes parciales o

productos completos fabricados en la empresa.

c) Costo de los productos destruidos o dañados para realizar pruebas

que destruyen en material o determinan su período de vida.


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d) Calibración y conservación de instrumentos y equipos de medición.

e) Compilación, registro y comunicación de datos sobre cuestiones de

calidad.

3. Defectos dentro de la organización.- Los defectos dentro de la

organización son aquellos que se producen antes de la expedición (o mientras el

producto sigue perteneciendo a la compañía productora). Estos costos son el

resultado de productos defectuosos (productos que no cumplen las normas).

Entran en esta categoría los costos siguientes:

a) Sustitución de piezas defectuosas.

b) Costos de reparación.

c) Costos de recepción y trámite de las quejas.

d) Responsabilidad del fabricante por los peligros que puede suponer el

producto, generalmente en forma de litigios o costo del seguro de

responsabilidad civil.

e) Pérdida de pedidos futuros o daño para la reputación de la empresa por

los defectos comprados por los clientes.

4.-Defectos fuera de la organización: Se incluyen en esta categoría los

costos relacionados con los defectos que se revelan una vez que el producto es

propiedad del cliente. Se incluyen los siguientes costos:

a) Sustitución de piezas defectuosas.

b) Costos de reparación.

c) Costos de recepción y trámites de reclamos.

d) Costos legales y/o seguros.

e) Pérdida de futuros pedidos y daños a la reputación de la empresa.


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Los costos de prevención y evaluación constituyen los costos directos del

control de calidad. Por otra parte tenemos a los costos por defectos, tanto dentro

como fuera de la organización, que serían los costos indirectos. (ver figura 3). A

medida que los costos directos se reducen, aumenta el número de defectos y a

medida que aumenta el nivel de éstos, aumenta el costo por defectos.

Los costos totales del control de calidad son la suma de los costos directos

y de los costos por defectos o costos indirectos. En el valor mínimo de la curva de

costos totales, se sitúa la combinación óptima de esfuerzos.

COSTOS POR CONCEPTO

DE CALIDAD

COSTOS TOTALES

COSTOS

INDIRECTOS

COSTOS DIRECTOS

AUMENTO DE DEFECTOS

NIVEL DE DEFECTOS DEL PRODUCTO

FIGURA 3. INCIDENCIA DE LOS COSTOS SOBRE LA CALIDAD.


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El control de la calidad debe efectuarse sin perder de vista los costos que

implica y los beneficios que de su aplicación se deriven. Generalmente el control

total de la calidad conduce a una reducción paulatina de los costos totales de la

calidad en una empresa haciendo énfasis en la prevención de la ocurrencia de

defectos más que en cualquier otro caso.

Los costos de prevención representan el 5% del costo total de la calidad, en

contraste con los costos por fallas, los cuales alcanzan entre el 70 y 80%

aproximadamente. Los costos de inspección representan entre el 15 y 25%.


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El quinto de los 14 postulados de Deming, también conocido como el padre

del concepto de calidad total, aboga por la mejoría constante y continua de todos

los procesos de planificación, producción y servicio. El mejoramiento continuo

disminuye el desperdicio, disminuye costos y aumenta la productividad y crea

condiciones para el disfrute del trabajo.

Mejorar continuamente e innovar en las organizaciones de las que

formamos parte, es contribuir a la construcción de un mundo mejor.

ESTADISTICA SEGÚN FEDERER (1973).

Es la ciencia que se ocupa de la caracterización, el desarrollo y la

aplicación de técnicas para:

1. El diseño estadístico de una investigación, bien sea un experimentocomparativo, una encuesta por muestreo, un estudio de observación o

un estudio de construcción de un modelo estocástico.

2. El resumen de los hechos de investigación

3. Las inferencias que se pueden formular a partir de los hechos de la

investigación, sobre la población bajo estudio.

CAPITULO II

CALIDAD TOTAL.

MEJORAMIENTO CONTINUO E INNOVACIÓN


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INVESTIGACIONES ESTADÍSTICAS .

Los estudios estadísticos de carácter empírico se pueden clasificar de

acuerdo a la finalidad que persiguen en dos tipos:

Estudios Enumerativos: Aquellos en los cuales se estudia un marco

específico con la finalidad de actuar sobre los elementos que lo conforman.

(Inferencia Estadística).

Estudios Analíticos: Aquellos en los cuales el objetivo es actuar sobre el

sistema de causas o proceso que produjo los elementos del marco estudiado.

(Diseño Estadístico).

La figura que se presenta en la página siguiente ilustra este proceso


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UNIVERSO

MARCO

Unidad nos interesamos en Características

X, Y, . . ., Z

SISTEMA DE CAUSAS

Cuya medición u

observación genera:

Población de valoresObservados o medidosDe la característica

Población . . . X

Multivariante ó Y

(X,Y,...,Z) . . .

Z


21/95

Procesos y características de calidad.

Red interdependiente de componentes que actúan

conjuntamente para lograr el fin del sistema

Actividad de la organización

Donde se identifican:

1) Entradas

2 ) Actividades de

transformación y

3) Salidas

Propiedades de las entradas, actividades de transformación

y salidas que otorgan a estas carácter distintivo

Esquema de un proceso.

E (entradas)

S (Salidas)

SISTEMA

Proceso

A

Proceso B

Característica X

.

.

Característica Z

Proceso

K

Personas

MétodosAmbiente

Equipos

Servicios

Materiales

ProcesoP Personas

MétodosAmbiente

Equipos

Servicios

Materiales


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VARIACION.

Fenómeno que se manifiesta en la incapacidad de un sistema, proceso,

persona, etc. para reproducir exactamente un comportamiento dado, aún bajo

condiciones aparentemente semejantes.

ELEMENTOS BASICOS SOBRE VARIACION. ( Joiner & Gaudard).

• La variación es causal

• Hay distintos tipos de variación

• La eliminación o atenuación de cada tipo de causa demanda de acciones

radicalmente distintas

• Un sistema es estable cuando solo obedece a causas comunes

• La cantidad de variación se puede medir estadísticamente

Causas comunes:

• Multitud de factores que siempre están presentes y que contribuyen en

diversos grados a cambios pequeños y aparentemente aleatorios en el

resultado de un proceso.• Su agregación resulta en lo que podemos denominar la variación del

sistema.

Causas especiales:

• Factores que actúan esporádicamente sobre el sistema agregando

variación adicional sobre la variación del sistema.

• Manifestaciones extremas

• Causas asignables.


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Causas distintas requieren acciones Distintas.

• Asunto crítico

• La diferencia más importante es entre causas comunes y causas especiales

• Estrategia para eliminar causas especiales:

- Obtener datos oportunos

- Prestar atención a señales de posibles causas especiales

- Investigar su origen

- Tomar previsiones para que lo malo no recurra

- Tomar previsiones para que lo bueno siga ocurriendo

• Estrategia para mejorar un sistema de causas comunes:

- Todos los datos son importantes

- Conocimiento íntimo del sistema

Interferencias Innecesarias.

• Ajustes innecesarios efectuados para compensar o “corregir” la variación

del sistema y que agregan más variación. (ver experimento de Deming).

• Exacerbar en lugar de mejorar

• Tratar todo como si fuera el resultado de causas especiales (querer explicar

todo)

• Errores comunes:

- Examinar las últimas cifras

- Suponer que todo lo bueno o malo se debe a la actuación de las personas

Los gráficos y figuras que se muestran a continuación ilustran estos

procedimientos:


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OTRA VISUALIZACIÓN DEL MEJORAMIENTO

NIVEL Y / O VARIABILIDAD


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CLASIFICACION DE PROCESOS

1. Estado Ideal. Proceso bajo control Estadístico y Producción conforme al100%.

2. Estado de Caos. Proceso fuera de control Estadístico y Producciónconforme menor del 100%.


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4. Próximo al Estado del Caos. Proceso fuera del Control Estadístico yproducción conforme al 100%

5. Próximo al Estado Ideal. Proceso bajo control Estadístico y producciónConforme menor del 100%.


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Experimento de Deming.

“ Una función de los métodos estadísticos es la de diseñar

experimentos y utilizar la experiencia relevante de forma que

resulte eficaz. Cualquier intento de utilizar la experiencia

relevante sin un plan que se base en la teoría, es disfrazar la

racionalización de una decisión que ya ha sido tomada.1

EXPERIMENTO DE SIMULACIÓN

Posición de la esfera,

Blanco r esultante en el lanzamiento

K esimo

1 Deming. Fuera de la crisis. 1984. p. 312

Z k

0

X


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Reglas para ajustar el embudo.

Se pretende que al dejar caer la esfera a través del embudo, coincida

con el blanco

Regla No. 1.- Mantener el embudo fijo apuntando al blanco en

todos los lanzamientos.

Regla No. 2.- Desplazar el embudo a una distancia – z k de su

última posición para el lanzamiento (k + 1).

Regla No. 3.- Desplazar el embudo a una distancia – z k del

blanco para el lanzamiento (k + 1) ésimo.

Regla No. 4.- Colocar el embudo sobre la posición que ocupó

La esfera en el último lanzamiento.

En las próximas páginas se observa el efecto gráficamente.


29/95


30/95


31/95


32/95

La teoría de muestreo se refiere al estudio de las relaciones que existen

entre un colectivo o población y las muestras que se extraen de las mismas. El

estudio de las muestras permite hacer estimaciones de características

desconocidas de la población (tales como media, desviación típica, proporciones,

etc). Estas estimaciones se hacen a partir del conocimiento de las características

de las muestras (media, desviación típica, proporción, etc).

Las características o medidas obtenidas de una muestra se llaman

estadísticos; y las medidas correspondientes a la población parámetros. Cuando

una medida muestral o estadístico es utilizada como representante de una

característica poblacional o parámetro se denomina estimador.

Ventajas de la utilización de las muestras

1) El costo es menor y se puede obtener un mejor rendimiento del dinero

invertido.

2) Se obtiene una disminución notable del tiempo necesario para alcanzar la

información

Cuando una muestra posee 30 o más datos se denomina grandes muestras y

si la muestra tiene menos de 30 observaciones se denomina pequeñas

muestras.

CAPITULO III.

TEORIA MUESTRAL


33/95

Se denomina muestreo al procedimiento utilizado para elegir una muestra

Necesidad del Muestreo.

1. Población Infinita

2. Población uniforme

3. Proceso de investigación destructiva

4. Economía de costos

5. Calidad

Muestreo con o sin reemplazamiento:

• Con reemplazamiento cuando un elemento de la población puede serescogido varias veces para formar parte de la muestra

• Sin reemplazamiento cuando un elemento de la población solo puede

ser seleccionado una sola vez para formar parte de la muestra.

Población: es una colección de todos los elementos que estamos

estudiando y acerca de los cuales se intenta extraer conclusiones. Puede ser

infinita o finita.

Muestra: Una parte de la población o un subconjunto del conjunto de

unidades obtenidas con el objeto de investigar las propiedades de la población.

Muestreo estadístico: Es un enfoque sistemático para seleccionar unos

cuantos elementos (una muestra) de un grupo de datos (población) a fin de

hacer algunas inferencias sobre el grupo total. Desde el punto de vista

matemático, podemos describir las muestras y las poblaciones mediante

medidas como la media, la moda, la desviación estándar, etc. No es mas que

el procedimiento a través del cual se obtienen las muestras.


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Tipos de muestreo

Muestreo de juicio o no probabilístico. (opinático). Se basa en el

conocimiento de la población por parte de alguien, quien hace a la muestra

representativa, dependiendo de su intención, por lo tanto es subjetiva.

Probabilístico (Errático): Todos los elementos de la población tienen la

posibilidad de pertenecer a la muestra.

Muestreo Aleatorio:

1. Muestreo aleatorio simple

2. Muestreo Sistemático.

3. Muestreo Estratificado

4. Muestreo por Conglomerado

Muestreo de juicio: A través del conocimiento y la opinión personal,

basada en la experiencia del investigador, se identifican los elementos de la

población que van a formar parte de la muestra. Una muestra seleccionada por

muestreo de juicio se basa en el conocimiento de la población por parte de

alguien. Por ejemplo, un guardabosques tomará una muestra de juicio si decide

con antelación que parte de una gran zona reforestada deberá recorrer para

estimar el total de metros de madera que pueden cortarse. En ocasiones el

muestreo de juicio sirve de muestra piloto para decidir cómo seleccionar después

una muestra aleatoria.

Muestreo aleatorio: Cuando se conoce la probabilidad de que un

elemento de la población figure o no en la muestra, puede ser:


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Muestreo Aleatorio Simple (Irrestrictamente Aleatorio):

Un muestreo es aleatorio cuando cada elemento de la población tiene la

misma probabilidad de ser escogido para formar parte de la muestra. Este tipo de

muestreo evita que la muestra sea sesgada evitando por lo tanto que se realice

una mala inferencia estadística. Por ejemplo, supóngase que un investigador

quiera estimar el módulo de ruptura promedio de un material determinado

formado por una población de tamaño

N = 500; por ser ensayos destructivos este quiere seleccionar una muestra

de tamaño

n = 10 que le permita realizar la inferencia, ahora bien el criterio que usó el

investigador para seleccionar dicha muestra fue el de tomar 10 materiales

que estaban más próximos a él; evidentemente esta muestra no es

representativa de la población, se dice que esta sesgada, por lo que la

inferencia estadística que se realice será errónea. Por lo tanto, una muestra

se dice que esta sesgada cuando los elementos seleccionados tenían

mayor probabilidad de pertenecer a la misma.

La forma más fácil de realizarlo es usando números aleatorios, para esto sepuede recurrir a una tabla o a un generador de números aleatorios. Actualmente,

se recurre a computadora.

Muestreo Sistemático o Secuencial.

Los elementos se seleccionan de la población con un intervalo uniforme en

el tiempo, en el orden o en el espacio. Por ejemplo, supongamos que se quiere

estudiar una determinada característica de un producto fabricado en serie y se

decide seleccionar a cada veinte producto hasta formar la muestra, para esto se

escoge un punto aleatorio de arranque en los primeros veinte productos y luego se

escoge cada vigésimo producto hasta completar la muestra. Una de las ventajas

de este muestreo es cuando los elementos presentan un patrón secuencial, tal vez


36/95

requiera menos tiempo y algunas veces cuesta menos que el método de muestreo

aleatorio.

Muestreo Estratificado.

Para aplicar el muestreo estratificado, se divide la población en grupos

homogéneos, llamados estratos, los cuales son heterógeneos entre si. Después

se recurre a uno de dos métodos posibles:

a) Se selecciona al azar en cada estrato un número especificado

de elementos correspondientes a la proporción del estrato de la población

total

b) Se extrae al azar un número igual de elementos de cadaestrato y damos un peso a los resultados de acuerdo a la proporción del

estrato en la población total

El muestreo estratificado es adecuado cuando la población ya está dividida

en grupos de diferentes tamaños y queremos reconocer este hecho. La ventaja de

las muestras estratificadas, es que cuando se diseñan bien, reflejan más

exactamente las características de la población de donde se extrajeron que otras

clases de muestreo.

Muestreo por Conglomerado.

En el muestreo por conglomerados, se divide la población en grupos o

conglomerados de elementos heterogéneos, pero homogéneos con respecto a los

grupos entre si. Un procedimiento bien diseñado, de muestreo por conglomerados,

puede producir una muestra más precisa a un costo mucho menor que el de un

simple muestreo aleatorio. Se usa el muestreo estratificado cuando cada grupo

presenta una pequeña variación en su interior, pero existe una amplia variación

entre ellos. Se usa el muestreo por conglomerado en el caso contrario, cuando


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hay considerable variación dentro de cada grupo pero los grupos son

esencialmente semejantes entre sí.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

1 Distribución muestral de medias

2 Distribución muestral para diferencias de medias

3 Distribución muestral de proporciones y diferencias

4 Distribución muestral de varianzas

Se define la distribución muestral de un estadístico (distribución de

muestreo) en una población, como la distribución de probabilidad de todos losposibles valores que un estadístico puede asumir para cierto tamaño de la

muestra. Específicamente, se trabajará con las distribuciones muestrales para:

medias, proporciones y varianzas.

Una distribución muestral es una distribución de probabilidad de un

estadístico muestral calculado a partir de todas las muestras posibles de tamaño

n, elegidas al azar en una población determinada. Si la población es infinita,

tenemos que concebir la distribución muestral como una distribución muestral

teórica, ya que es imposible sacar todas las muestras aleatorias posibles de

tamaño n de una población infinita. Si la población es finita y moderada se puede

construir una distribución muestral experimental, sacando todas las muestras

posibles de un tamaño dado, calculando para cada muestra el valor del estadístico

que nos interesa. Ejemplo, supongamos que se tiene una población de tamaño N

= 10 y queremos extraer con reemplazamiento todas las muestras posibles de

tamaño n = 5, para esto se utiliza la relación Nn , es decir,

105 = 100000 muestras de tamaño n = 5.


38/95

En cambio, si el muestreo es sin reemplazamiento, el número de muestras de

tamaño n = 5 viene dado por la combinatoria:

251.2.3.4.5!.5!5.6.7.8.9.10

1)510(!5!10

)!(!! ==

−=

−=

n N n N

n N

muestras.

En el caso anterior la distribución muestral para un estadístico determinado, la

media aritmética ( Xv

)viena dada por:

:

252

2

1

X252muestra

X 2muestra

X 1muestra

→

→

→

M

Por lo tanto, X,,X,X,X 252321 K conforman la distibución muestral de medias.

Se puede hacer una aproximación experimental de distribuciones

muestrales basadas en poblaciones infinitas o finitas grandes, sacando un número

de muestras aleatorias y siguiendo el mismo procedimiento anterior.

1) DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS:

Es la distribución de probabilidad de todas las medias posibles de las

muestras, para un tamaño n determinado. Ver ejemplo, anterior. Esta distribución

de probabilidad tiene asociados (parámetros) tales como la media X

µ y


39/95

desviación estándar X

σ . Para calcular, estos parámetros de la distribución

muestral de medias se utilizan las siguientes relaciones:

infinitass poblacione para

finitass poblacione para 1

n

N

n N

n

X

X

X

σ σ

σ σ

µ µ

=

−

−=

=

La expresión

Es la desviación estándar de la distribución muestral de medias, se le llama

error típico o estándar de la media y nos indica la diferencia promedio entre los

diversos valores de µ yX . Como se observa, a medida que el tamaño de la

muestra aumenta este error disminuye, las diversas medias muestrales se hacen

más uniforme en su valor, y en consecuencia, cualquier media muestral es una

buena estimación de la media poblacionalµ.

Anteriormente se mostró la manera de calcular la media y la desviación

estándar de la distribución de las medias muestrales. Ahora se va a distinguir dos

situaciones:

a) Muestreo en una población distribuida normalmente: Si X es la

media de la muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población distribuida

n X

σ σ =


40/95

rmalmente, con media µ y desviación típican

σ

, entonces la distribución

muestral de X está normalmente distribuida. Para hallar la probabilidad asociada

a X , se transforman los valores de X a valores de la distribución normal

estandarizada, mediante la fórmula:

n/

-X Zσ

µ =

Ejemplo: Cierta marca de neumáticos tiene una vida útil media de 21.000

Km con una desviación típica de 800 Km.

a. suponiendo que las vida útil de los neumáticos están distribuidas

normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un neumático cualquiera

dure menos de 20.900 Km?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil media de 64 neumáticos sea

inferior a 20.900 Km?

Solución:

1. Como la variable X = vida útil de los neumáticos, está distribuida normalmente.

Entonces la probabilidad de que un neumático cualquiera dure menos de

20.900 km se calcula de la forma siguiente:


41/95

Estandarización

20.900 21.000 -0,13 0

( ) 13,0800

000.21900.20 )900.20( −≤=

−≤=≤ Z P Z P X P =0,4483

Es decir, el porcentaje de que un neumático tenga una vida útil menor que 20.900

Km es de 44,83 %.

Para calcular esta probabilidad, se recurre a una tabla de distribución normal

estandarizada.

2. Si se seleccionan todas las muestras posibles de tamaño 64 de la población de

neumáticos, entonces por lo anteriormente mencionado esta distribución muestral

de medias es normal, con media y desviación típica igual a 21.000 Km y 100 Km

respectivamente.

Luego la probabilidad de que la vida útil media de 64 neumáticos sea inferior a

20.900 Km se calcula de la forma siguiente:

( ) 164/800

000.21900.20 )900.20( −≤=

−≤=≤ Z P Z P X P = 0,1587

Por lo que el porcentaje de que la vida útil media de 64 neumáticos sea inferior a

20.900 Km es de 15,87 %.


42/95

b) Distribución en poblaciones que no están distribuidas normalmente.

Existen métodos que se pueden emplear cuando se necesita hacer inferencia

sobre este tipo de población. Una solución usada con frecuencia es que se

extraiga una muestra grande. Una vez extraído ese n grande, el investigador

puede utilizar el Teorema del Límite Central , el cual se enuncia a

continuación:

“sin tomar en cuenta la forma funcional de la población de donde se

extrae la muestra, la distribución de medias muestrales, calculadas con

muestras de tamaño n extraídas de una población con media µ y

desviación estándar σ, se aproxima a una distribución normal con media

µ

y desviación n/σ , cuando n aumenta. Si n es grande, la distribuciónde las medias muestrales puede aproximarse mucho a una distribución

normal”.

Este teorema expresa que sin tomar en cuenta la forma de la población que se

está estudiando, se puede seguir empleando la teoría normal para obtener

inferencias sobre la media poblacional a condición de que obtengamos una

muestra grande, porque la distribución muestral de X será aproximadamentenormal cuando n sea grande. Generalmente, muchos investigadores consideran

que a partir de n = 30 se puede usar el teorema del Límite Central.

Ejemplo:

Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada

durante un año determinado, en servicios médicos personales por empleados fue

de 25,75 $ y la desviación estándar de 5,25 $. ¿Cuál es la probabilidad de que

una muestra de 100 empleados arroje una media comprendida entre 25 y 27 $?.

En este problema no se específica si la población es normal, pero como el tamaño

de la muestra n = 100 > 30 podemos aplicar el teorema del límite central, por lo


43/95

que la distribución muestral de X es aproximadamente normal y por lo tanto

podemos hallar su probabilidad, esto es:

( ) 46,248,1100/25,575,2527

Z100/25,5

75,2525

)2725( ≤≤−=

−

≤≤

−

=≤≤ Z P P X P =0.9237

Es decir, se tiene un porcentaje del 92,37 % de que el promedio de gastos

médicos por empleado durante un año este entre 25 y 27 $.

está distribuido según la distribución t de Student con v = n1 + n2 –2 grados de

libertad.

c) Distribución t de student:

Esta distribución permite realizar inferencias sobre medias poblacionales

cuando se desconoce la varianza de la población con muestras de tamaño n


44/95

b) los grados de libetad vienen dados por: v = n-1

c) Se aproxima a la normal a medida que aumentan los grados de

libertad.

Ejemplo: Considerando el ejemplo anterior, con µ = 25, 75 $ y σ

desconocida. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 20 empleados, con

una desviación de 5 $, arroje una media comprendida entre 25 y 27 $ ?.

Solución: Como n < 30 y σ es desconocida, se tienen pequeñas

muestras, por lo que se utiliza la distribución t de Student:

( ) 0,7212,112,120/5

75,2527

20/5

75,2525)2725( =≤≤−=

−

≤−

≤−

=≤≤ t P

n

S

X P X P µ

Es decir, se tiene una probabilidad de 0,72 (72 %) de que la media de gastosmédicos por empleado para una muestra de tamaño n = 20 está entre 25 y 27 $.

2) DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

( 21 X X − ).-

A veces interesa hacer inferencias sobre la diferencia poblacional de

medias µ1 - µ2, o saber si es razonable concluir que dos medias poblacionales no


45/95

son iguales, considerando que se tienen sendas muestras para las poblaciones 1

y 2, respectivamente, donde:

Entonces, la diferencia de las medias muestrales 21 X X − , estima a µ1 -

µ2. La forma funcional de la distribución muestral de 21 X X − depende de la forma

funcional de las poblaciones donde se extraen las muestras tomando en cuenta:

• Si ambas poblaciones son normales la distribución muestral de la

diferencia de medias es normal.

• Si una o ambas de las poblaciones no es normal, la distribución

muestral de las diferencias de medias 21 X X − es normal si n1 +

n2 – 2 > 30 (grandes muestras), este resultado se deduce del

teorema del límite central.

En estos casos, los parámetros que definen esta distribución muestral de las

diferencias de medias vienen dados por:

2

2

2

1

2

1

21

1

21

nn X X

X X

σ σ σ

µ µ µ

+=

−=

−

−

El cual se aplica para dos casos específicos dependiendo de la muestra:

a) Para grandes muestras, cuando v = n1+n2 - 2 30, se trabaja con ladistribución normal. En estos casos, estandarizando la diferencia de

medias muestrales, se tiene:


46/95

2

2

2

1

2

1

2121 )()(

nn

X X Z

σ σ

µ µ

+

−−−=

Ejemplo: La siguiente tabla nos muestra información del tiempo medio en

minutos que tarda un cliente en ser atendido en dos bancos:

Banco A Banco B

13 20

13 14

5 3 22

==

==

==

B A

B A

B A

nn

minmin

minmin

µ µ

σ σ

Hallar la probabilidad de que la diferencia media entre los dos bancos no

exceda de 2 minutos.

Solución: como los grados de libertad 20 + 13 –2 =33 – 2=31 > 30, se

tienen grandes muestras se trabaja con la distribución normal:

9146,0

1,37)P(Z73,0

1

13

5

20

3

)(2)()( )2(

22=≤=

≤=

+

−−≤

+

−−−=≤− Z P

nn

X X P X X P B A

B

B

A

A

B A B A B A

µ µ

σ σ

µ µ

Existe un 91,46 % que la diferencia media entre los dos bancos no exceda de 2

minutos.


47/95


48/95

Solución: : como los grados de libertad 20 + 10 –2 =30 – 2=28 < 30, se

tienen pequeñas muestras se trabaja con la distribución t de Student:

38143750028

342250000.9400000000..19

4,P(t10,7564

33500

10

381437500

20

381437500

300003500)()( )3500(

2

2

2

1

2

2121

=+

=

≥=

≥=

+

+≥

+

−−−=≥−

p

p p

B A

S donde

t P

n

S

n

S

X X P X X P µ µ

Entonces para v = 28 gl y usando la tabla t de Student:

99,0)43,4()3500ˆˆ( 21 =≥=≥− t P X X P

Es decir, la probabilidad de que la diferencia media de los salarios sea mayor que

3500 es del 0,99.

3). DISTRIBUCIÓN DE UNA PROPORCION MUESTRAL ( P )

).-

Se define una proporción poblacional como el cociente:

casos de total

favorablescasosdenúmero p =

Por ejemplo: si de una población de N = 50, empleados de una empresa, 15

de ellos no cumplen con su horario de trabajo, la proporción de empleados que no

cumplen horario con relación al total, viene dado:


49/95

P = 15/50 = 0,3; es decir, el 30 % de los empleados no cumplen su horario.

La proporción muestral ( p̂ ), se define como:

muestraladetamaño

favorablescasosdenúmero p̂ =

Ejemplo:

Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n = 1000 y 425 personas

satisfacen un evento, entonces p = 425 / 1000 = 0,425. Esto significa que el 42,5

% de las personas satisfacen dicho evento.

La distribución de una proporción muestral, se define de una manera

análoga a a la distribución de media, o sea:

Muestra 1---- 1ˆ p

Muestra 2---- 2ˆ p

Muestra 3---- 3ˆ p

Muestra X---- p̂ k

De esta forma: 1ˆ p , 2ˆ p , 3ˆ p ,..., p̂ k corresponden a la distribución de una

proporción muestral.

De acuerdo a lo expuesto, la distribución muestral de proporciones

corresponde a una distribución de probabilidad de todas las proporciones posibles

de las muestras, para un tamaño n determinado.

Los parámetros que definen esta distribución vienen dados por:


50/95

infinitass poblacione para .

finitass poblacione para 1

.

ˆ

n

q p

N

n N

n

q p

P

X

X

p p

=

−

−=

==

σ

σ

µ µ

Para el cálculo de probabilidades relativa a proporciones, se trabaja de

manera análoga al caso de la distribución muestral de medias.

Ejemplo: Un encuestador sabe que en cierta área el 20 % está a favor de

las emisiones en bonos. Considerando una muestra de 64 personas, hallar la

probabilidad de que la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo

en un 0,06.

Solución:

p = 0.20 proporción de personas de la población que están a favor de la emisión

p̂ = proporción de personas de la muestra que están a favor de la emisión

entonces nos están pidiendo la siguiente probabilidad:

( ) 0,2027,027,0

64

8,0.2,0

06,0

.

ˆ

64

8,0.2,0

06,0)06,0ˆ( =≤≤−=

≤−

≤−=≤− Z P

n

q p

p p P p p P 4

4) DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE VARIANZAS.

Con esta distribución, se estudia las probabilidades relativas a la varianza

de una población. De esta forma, la distribución muestral de varianzas, viene dada

por todas las posibles varianzas de las muestras para un tamaño de muestra n


51/95

determinado. Para encontrar probabilidades relativas a varianzas se usa la

distribuciónχ

2 (chi cuadrado), para ello se transforman los valores S2 (varianzas

muestrales) a valores deχ

2 mediante la siguiente relación:

χ

2 = (n - 1). S2 / σ2 para v = n - 1 (grados de libertad).

Nota: El único requisito para usar la distribución chi cuadrado es que la

población esté distribuida normalmente

Ejemplo:

En una empresa, la desviación estándar del sueldo de los empleados es deBs. 75000, correspondiente a valores distribuidos normalmente. Para un nuevo

estudio se escogen 17 empleados cuyos salarios se muestran a continuación:

SUELDOS156000 174000 162000

175000 269000 298000

185000 320000 450000200000 260000 364000225000 158000 300000

Se desea conocer si estos resultados muestran consistencia con respecto a

la desviación, en cuanto a la variabilidad del sueldo de los empleados de dicha

empresa.


52/95

Solución:

Cuando se habla de variabilidad nos referimos a la varianza ó desviación

estándar, por lo que debemos calcular la desviación muestral, esto es S =

87325,99 Bs. Por lo tanto:

( ) 15,069,215625000000

)99,87325.(16)1( )(87325,99)( 2

2

2

222 =>=

>

−=> χ

σ P

S n P S P .

Los resultados muestran consistencia ya que es más probable que la

varianza muestral para muestras de tamaño n = 17 estén por debajo de Bs.87325,99

5) DISTRIBUCIÓN F DE FISHER.

Cuando se quiere estudiar la relación entre las varianzas de dos

poblaciones distribuidas normalmente se usa la distribución F de Fisher. Es decir,

dadas dos muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 de dos

poblaciones independientes, la distribución muestral de la razón S F 2

2

m

M

S =(razón

de varianzas) se conoce como distribución de Fisher, suponiendo que las

varianzas poblacionales son iguales ( σ21 = σ2

2 ). Donde:

r denominadodellibertaddegrados 1-nv

numerador dellibertaddegrados1nvdonde )v,(vcon

menor varianzalaes:

mayorvarianzalaes :

22

1121

2

2

=

−=

m

M

S

S


53/95

Ejemplo:

Considerando que las varianzas poblacionales de dos poblaciones son

iguales, σ21 = σ2

2 , n1= 6 y n2 = 10, hallar la probabilidad de que la razón

de las varianzas muestrales no exceda a 3,48.

Solución: Cuando se quieren comparar las varianzas muestrales de

dos poblaciones se utiliza la distribución F de Fisher, por lo tanto,2

2

2

1

S

S F =

con v1 = 5 y v2=9 grados de libertad.También la probabilidad pedida viene

dada por:

( ) 95,005,01)48,3(148,348,32

2

2

1 =−=>−=≤=

≤ F P F P

S

S P

Nótese que aún cuando las varianzas de las poblaciones son iguales, la

probabilidad de que la razón de las varianzas de las muestras exceda a 3,48 esde 0,05 suponiendo tamaños de muestras de n1 = 6 y n2 = 10.

Tamaño de la Muestra.

La clave del problema estriba en escoger una muestra cuyo selección

garantice la representatividad de la población objeto de estudio. En los estudios

socio-económicos, una muestra de un 30% de la población, tiene un elevado nivel

de representatividad (Ramírez 1995); sin embargo, esta representatividaddepende mayormente, del tipo de muestreo. Obviamente, que el trabajar con

muestras, por muy confiables que sean, no se obtiene el 100% de exactitud, sin

embargo, ese pequeño error que acompaña siempre a los estudios por muestreo,


54/95

es compensado con el tiempo y costo ahorrado al trabajar con grupos pequeños

en vez de toda la población.

• Determinación del Tamaño de la Muestra en una población infinita, cuando

se utilizan proporciones:

.p.q

Z

n

2

2

α

∈=

Donde:n: Tamaño de la muestra

Zα /2: Valor teórico en función del nivel de confianza. Para 99 %, Zα/ 2 es igual a

2,56 y para el 95% a Zα/2 le corresponde 1,96

ε

: error de muestreo

p: Número de veces que se produce un evento en %

q: Es el porcentaje complementario de p

Ejemplo: Opinión de los electores sobre gestión de gobierno.

Se realizó un estudio piloto de 150 electores donde 60 opinan favorablemente. ¿A

cuantas personas es necesario encuestar si se desea un nivel de confiabilidad de

99 % y un error de muestreo +/- 1.5%?.

Entonces se tiene:

.p.qZ

n

2

2

α

∈= El valor de p viene dado por:


55/95

p = 60 / 150 X 100 = 40%, por lo tanto q = 100 - 40 = 60%.

De esta forma se tiene: 991.6.4,0.015,0

56,22

=

= 0,6n . Es necesario

encuestar a 6.991 personas para alcanzar cierta confiabilidad en los resultados.

En el caso de una Población Infinita con 95 % de Confiabilidad.

Utilizando el ejemplo anterior, se tiene:

40980,6.4,0.015,0

96,12

=

=n

Al bajar el coeficiente o el nivel de confiabilidad, también baja el tamaño de la

muestra.

• En el caso de que no exista un Estudio Piloto.

A los valores de p y q se les asigna el valor de 50% a cada uno y es lo que se

denomina Condiciones desfavorables de muestreo. En el caso del ejemplo

citado el tamaño de la muestra viene determinado de la siguiente manera:

268.40,5.5,0.

015,0

96,12

=

=n

Esto quiere decir que habrá que encuestar a 4.268 personas.


56/95

• En el caso de poblaciones finitas, el modelo matemático difiere con el

de las poblaciones infinitas:

.p.qZ1)(N .p.q.NZnα/2

2α/2

+−∈=

Donde: N es el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra.

Se puede aplicar en el siguiente caso: Conocer la opinión de los miembros

de un sindicato, ante un nuevo contrato colectivo. Compuesto por 3.257

obreros. Cuántas obreros se deben entrevistar para obtener un nivel de

confianza de 99 % y un error de muestreo de +/- 3%, en condiciones

desfavorables?

168.15,0.5,0.56,2)13257(03,0

32570,5..0,5.56,222

2

=+−

=n

Se requieren encuestar a 1.168 obreros, para lograr cierto grado de

Confianza.

Determinación del Tamaño de la Muestra en una población para medias.

En este caso se utiliza la relación:

2

2

α σ.Z

n

∈=


57/95

Ejemplo: Se quiere estudiar la vida útil media de una marca de

neumáticos. Si sabe por estudios anteriores que la desviación estándar es de

800 Km . Determinar el tamaño de la muestra requerido para un nivel de

confianza del 95 %, fijando un error de 40.

Sustituyendo los valores se tiene

neumáticos 153764,153640

1568

40

800.96,122

≈=

=

=n

En conclusión, la validez en la investigaciones de negocios, está muy

relacionada con la confiabilidad del muestreo y una muestra confiable está en

función del tipo de población a estudiar ( finitas o infinitas); asi mismo, en

cuanto al nivel de confiabilidad, ésta será mayor si la muestra es mayor y en

relación al error de muestreo, éste será menor cuando la muestra es mayor.

Para determinar el tamaño de la muestra de una forma mas rápida y práctica,

se han diseñado las Tablas de Harvard, las cuales permiten calcular,

rapidamante el tamaño de la muestra a tomar, en función del error de

muestreo, niveles de confiabilidad y posibles valores de p y q.

Para profundizar en este aspecto de muestreo, se recomienda consultar los

textos especializados en estas áreas. Pues una vez determinado el tamaño de

la muestra el paso siguiente que se plantea es lo relacionado al tipo de

muestreo que se va a utilizar para escoger los elementos que integran a la

muestra y ésto es un amplio e interesante tema a tratar.


58/95

OBJETIVOS:

Conocer los métodos estadísticos utilizados en el control de procesos y

aplicar las herramientas específicas para cada caso, con la finalidad de detectar y

corregir posibles fallas.

1. INTRODUCCION:

La estadística descriptiva y la inferencial así como la teoría de

probabilidades, tienen un campo muy amplio de aplicación en la industria,

especialmente en el control de la calidad y en el análisis de procesos.

En los procesos de producción se generan simultáneamente grandes

volúmenes de información cuantitativa y cualitativa a través de las cuales se

pueden controlar los costos, la producción y la calidad, es decir, lo que significa el

control de gestión administrativa de la compañía.

La recopilación, presentación y análisis de este flujo de información permite

a la gerencia conocer los resultados y establecer controles y así mismo comparar

los resultados obtenidos con lo deseado, pudiendo establecer acciones correctivas

cuando se observen discrepancias significativas entre ellos.

El Control Estadístico de la Calidad es el conjunto de acciones

orientadas a cumplir con las metas de calidad previamente establecidas, utilizando

para ello las técnicas estadísticas aplicables al menor costo posible.

CAPITULO IV

EL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO


59/95

Lo importante del Control de Calidad es que constituye una herramienta

muy eficaz para incrementar la productividad, permitiendo elevar el nivel técnico

de la empresa, incrementando la producción y reduciendo los costos de operación.

De esta forma, el propósito del control de la calidad es fijar la calidad normal,

mantener y mejorar el nivel, la uniformidad y la confiabilidad de la calidad

garantizando ésta y reduciendo los costos de fabricación, suministrar productos a

la satisfacción del cliente aumentando los beneficios.

Como se observa, el control de calidad involucra el proceso total de:

comercialización, investigación, desarrollo, producción, transporte, instalación y

mercadeo, sin soslayar todas aquellas funciones tendientes a maximizar elbeneficio.

2. METODOS ESTADISTICOS:

Este control moderno de la calidad implica el uso de métodos estadísticos,

siendo denominado Control Estadístico de la Calidad cuya aplicación es

ampliamente utilizada en diferentes áreas tales como: análisis de procesos, control

de procesos, investigación, desarrollo, etc.

En función de ello se puede establecer una estructura basada en:

Ingeniería de Control de Calidad: Encargada del planeamiento de

calidad de una empresa.

Ingeniería en Control de Procesos: Supervisa la aplicación adecuada del

sistema del control de calidad en la fabricación.

Ingeniería de equipos de información: Diseña y desarrolla el equipo para

la inspección y el ensayo.


60/95

Entre los métodos estadísticos de mayor uso se tienen:

a. Gráficas de control.

b. Distribución de frecuencia, histogramas y diagramas de pareto.

c. Distribuciones estadísticas.

d. Ensayo de significación.

e. Inspección por muestreo.

f. Diseño de experimento y análisis de la varianza.

En el cuadro que a continuación se presenta se resume las diferentes áreas

de control y las técnicas utilizadas en cada una de ellas:

CONTROL TAREA TECNICAS UTILIZADASCONTROLDE NUEVOSDISEÑOS

Planeamiento de lacalidad del producto yproceso, standard,costos, especificacionesdel proceso, confiabilidad.

Análisis de la función producto, pruebasambientales, prototipo, evaluación ,estándares de calidad, análisis demateria prima, inspección,entrenamiento, almacenamiento ytransporte.

MATERIAPRIMA

Controles de recepción yalmacenamiento,economía y costos.

Evaluación de proveedores,instrumentos de medición ,entrenamiento, muestreo,

especificaciones, características decalidad, lotes rechazados y aceptados,análisis estadísticos, etc.

PRODUCTO Y PROCESO

Control del productodesde su fabricación,establecer correctivos,servicios.

Control de procesos, productosterminados, control de herramientas,mantenimiento, personal, condicionesambientales, inspección, cartas decontrol, muestreo, planos, auditoría,defectos, empaque y despacho,servicios.

ESTUDIOS

ESPECIALES

Investigaciones y ensayo

para mejorar la calidad.

Gráficas. distribución de frecuencias,

diagramas de fallas, análisis de pareto,diferentes métodos estadísticos,pruebas de hipótesis, distribución t, chicuadrado, análisis de la varianza,correlaciones y regresiones, análisissecuencial.


61/95

El análisis de procesos no viene a ser más que la aplicación de métodos

científicos al reconocimiento y a la formulación de problemas y al desarrollo de

procedimientos para resolverlos. Esto significaría: la especificación matemática del

problema para una situación física determinada y realizar el análisis

pormenorizado para obtener los modelos matemáticos, lo cual conduciría a la

síntesis y presentación de los resultados para asegurar su comprensión y posible

aplicación.

El análisis estadístico desempeña un papel importante en el estudio de los

procesos. El método de encontrar las causas de los productos con defectos, es lo

que se denomina Diagnóstico del Proceso. Para reducir el número de productosdefectuosos la primera acción es la de hacer un diagnóstico correcto para

determinar las causas de los defectos.

Existen muchos métodos para hacer un diagnóstico correcto, algunos

basados en la intuición y otros en la experiencia. En este trabajo se recurrirá al

análisis estadístico de los datos; la forma estadística de considerar las cosas y el

uso de los métodos estadísticos constituye un medio muy valioso para hacer las

observaciones.

1. CARTAS DE CONTROL.

De acuerdo con E.L. Grant (Statistical Quality Control) la calidad medida de

un producto manufacturado, está siempre sujeta a una cierta variación fortuita.

Algún sistema estable de causas fortuitas es inherente a cualquier esquema

particular de producción e inspección. La variación propia de este modelo estable

es inevitable, pero las razones para la variación fuera de este modelo estable

pueden ser descubiertas y corregidas.


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La carta control desarrollada por Shewhart (Economic Control of Quality of

Manufatured Product.) es un dispositivo gráfico para detectar modelos no

naturales de variación en los datos resultantes de procesos repetitivos, lo cual

permite fijar un criterio para detectar deficiencias en el control estadístico. En estas

cartas los puntos muestreados son representados gráficamente de una forma

secuencial y posteriormente unidos por una línea facilitando la interpretación

visual.

FIGURA 7.GRAFICA DE CONTROL


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Las pruebas más comunes para modelos no naturales son las pruebas de

inestabilidad, las cuales permiten determinar si el sistema de causas está

cambiado, comúnmente se les designa como las zonas A, B, y C.

Como referencia a estas zonas, el modelo de variación observado se dice

que es no natural o que el proceso está fuera de control si ocurre uno o más de los

siguientes eventos:

1.- Un sólo punto cae fuera del límite de control.

Por ejemplo más allá de la zona A.

2.- Dos de tres puntos sucesivos, caen en la zona B o más allá

3.- Cuatro de cinco puntos sucesivos caen en la zona B o más allá

4.- Ocho puntos sucesivos caen en la zona C o más allá

Estas pruebas se aplican separadamente a ambas mitades de la CartaControl.

Las cartas más comúnmente usadas son: Carta X, la Carta R, la Carta p, y

la carta c; las dos primeras tratan con datos de medición, mientras que las dos

últimas tratan con datos de atributos. (Enumeración).

FÓRMULAS PARA LAS CARTAS DE CONTROL:

Línea Límite superior Límite inferiorCarta Distribución Central de control (LSC) de control (LIC)

_ _ _ _X Normal X X + A2 R X - A2 R

R Normal R D4 . R D3 . R.

p Binomial p p + 3√p (1-p) / n p - 3√p (1-p) / n

c Poisson c c + 3√

c c - 3√

c


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Las constantes A2 , D3 y D4 están tabuladas (ver anexo), mientras que

las cantidades X, R, p, y c se calculan de los datos suministrados.

Planes de Muestreo:

El muestreo de aceptación puede ser de dos tipos: muestreo lote por lote

también denominado muestreo por atributos y muestreo de producción continuo o

muestreo variable. Los primeros se refieren a los casos donde cada espécimen es

clasificado simplemente como defectuoso o no defectuoso; en los planes variables

se refiere a los casos en los cuales una medida es tomada y registrada

numéricamente en cada espécimen inspeccionado. El plan de muestreo por

atributos que se efectúa en base de lote, está definido por tres elementos: el

tamaño del lote (N), el tamaño de la muestra (n) y el número de aceptación A³.

Ejemplo:

La tabla que se exhibe a continuación muestra los valorescodificados de la resistencia a la compresión de bloques de concreto.


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VALORES CODIFICADOS DE LA RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN DEBLOQUES DE CONCRETO

Número de Media Rango

la Muestra X1 X2 X3 X4 X5 (X) (R)01 11.1 9.4 11.2 10.4 10.1 10.44 1.8

02 9.6 10.8 10.1 10.8 11.0 10.46 1.4

03 9.7 10.0 10.0 9.8 10.4 9.98 0.7

04 10.1 8.4 10.7 9.4 11.0 9.82 2.6

05 12.4 10.0 10.7 10.1 11.3 10.90 2.4

06 10.1 10.2 10.2 11.2 10.1 10.36 1.1

07 11.0 11.5 11.8 11.0 11.3 11.32 0.8

08 11.2 10.0 10.9 11.2 11.0 10.86 1.2

09 10.6 10.4 10.5 10.5 10.9 10.58 0.5

10 8.3 10.2 9.8 9.5 9.8 9.52 1.9

11 10.6 9.9 107 10.2 11.4 10.56 1.5

12 10.8 10.2 10.5 8.4 9.9 9.96 2.4

13 10.7 10.7 10.8 8.6 11.4 10.44 2.8

14 11.3 11.4 10.4 10.6 11.1 10.96 1.0

15 11.4 11.2 11.4 10.1 11.6 11.14 1.5

16 10.1 10.1 9.7 9.8 10.5 10.04 0.8

17 10.7 12.8 11.2 11.2 11.3 11.44 2.1

18 11.9 11.9 11.6 12.4 12.4 11.84 1.0

19 10.8 12.1 11.8 9.4 11.6 11.14 2.7

20 12.4 11.1 10.8 11.0 11.9 11.44 1.6

Promedio 10.66 1.59


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De la tabla anterior tenemos que:

_ _ 213.20X = ∑ X/K = --------------- = 10.66

20

31.8R= ∑ R/K = ---------------- = 1.56

20 _

De acuerdo a las fórmulas establecidas, para la Carta X:

_LSC = X + A2 . R

LSC = 10.66 + (0.58) (1.59) = 11.558

LIC = 10.66 - (0.58) (1.59) = 9.74

FIGURA 8. CARTA X


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Igualmente para la Carta R:

LSC = D4

. R = (2.12) (1.59) = 3.37

LIC = D3 . R = (0) (1.59) = 0

FIGURA 9. CARTA R

Si tratamos con datos de enumeración como por ejemplo el número de

fusibles defectuosos escogidos en muestras de tamaño 50, tomados en tiempos alazar durante el proceso de producción; podemos emplear la Carta p.


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Número de muestra Número de defectuosos Fracción defectuosa (p)

1............................. 2 0.042............................. 1 0.023............................ 2 0.044............................ 0 0.005............................ 2 0.046............................ 3 0.067............................ 4 0.088............................ 2 0.049............................ 0 0.0010......................... 3 0.0611......................... 0 0.00

12......................... 1 0.0213......................... 2 0.0414......................... 2 0.0415......................... 3 0.0616......................... 5 0.1017........................ 1 0.0218......................... 2 0.0419........................ 3 0.0620........................ 1 0.0221....................... 1 0.0222....................... 1 0.0223....................... 4 0.0824....................... 2 0.04

25....................... 2 0.0426....................... 4 0.0827...................... 1 0.0228...................... 3 0.0629...................... 3 0.0630..................... 2 0.0431..................... 3 0.0632..................... 6 0.1233..................... 2 0.0434..................... 3 0.0635..................... 2 0.0436.................... 3 0.0637.................... 1 0.02

38................... 0 0.0039................... 2 0.0440................... 0 0.00

Promedio..................... 0.042


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De esta tabla de valores se comprueba: 1.68

p = ∑ p/K = = 0.04240

Aplicando la Ecuación correspondiente

LSC = p + 3 √ p (1- p) / n

LSC = 0.042 + 3 √(0.042) (0.958) /50 = 0.127

LIC = 0.042 - 3 √(0.042) (0.958) /50 = - 0.043

Como el LIC resulta un valor negativo y debido a que la fracción

defectuosa es una cantidad no negativa, este límite se toma como

cero, lo cual hace a los límites de control asimétricos con respecto a la

línea central.

FIGURA 10. CARTA p


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Si interesa determinar el número de defectos por unidad, la Distribución de

Poisson y una carta C sería lo más apropiado. A continuacción se presentan los

datos tabulados del número de defectos observados en una junta soldada,

realizando cada conteo en una sola junta, soldándose 8 juntas por hora.

Número de muestra Fecha Tiempo de la muestra Nºde defectos (c)

1................. Julio 18 8:00 A.M 2

2................. 9:05 A.M. 4

3................. 10:10 A.M. 7

4................. 11:00 A.M. 3

5................. 12:30 PM. 1

6................. 1:35 P.M. 4

7................. 2:20 P.M. 88................. 3:30 P.M. 9

9.................. Julio 19 8:10 A.M. 5

10................ 9:00 A.M. 3

11................. 10:05 A.M. 7

12................. 11:15 A.M. 11

13................ 12:25 P.M. 6

14................ 1:30 P.M. 4

15................. 2:30 P.M. 9

16................. 3:40 P.M. 9

17................ Julio 20 8:00 A.M. 6

18................ 8:55 A.M. 4

19................ 10:00 A.M. 3

20................ 11:00 A.M. 9

21................ 12:25 P.M. 7

22................ 1:30 P.M. 423................ 2:20 P.M. 7

24................ 3:30 P.M. 12

Total................................... .............. 144


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2. DIAGRAMA DE CAUSA EFECTO

Es una representación gráfica de la relación entre un efecto y todas las

posibles causas que influyen en él, permitiendo identificarlas y clasificarlas para su

análisis. Es llamado también diagrama de Ishikawa o Espina de Pescado. (Ver

figura en la página siguiente).

METODOS MAQUINAS MATERIALES

CALIDADCALIDAD

MANO DE OBRA MEDICIONES

CAUSAS EFECTO

FIGURA 12. DIAGRAMA CAUSA-EFECTO

Ejemplo

Después de haberse realizado un análisis de las principales causas

que originan bobinas desviadas en el laminador tandem 1, se encontró quemanchas contaminantes afectaba en gran proporción los resultados de

calidad. El equipo de trabajo realizó un estudio utilizando el diagrama causa-

efecto el cual se presenta a continuación:


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METODOS MAQUINAS MATERIALES

MANCHASMANCHASCONTAMI-CONTAMI-NANTESNANTES

MANO DE OBRA MEDICIONES

CAUSAS EFECTO

MATERIAL DEDECAPADO

FILTRO DEEMULSION

FUGA DEACEITE

PERMANANENCIADEL MATERIAL DEALMACENAMIENTO

ACEITESECADOR DEBANDAS

EXTRATOR DEGASES

FALTA DECOMUNIC.

FALTA DECOORDINACION

CRITERIOS NOUNIFORMES

EXPERIENCIA DELPERSONAL

OPERACION DEEMULSION

AUSENCIA DEINSTRUENTOSDE MEDICION

FALTA DE EQUIPOSSENSIBLESAL MATERIALMOJADO

FALTA DE EQUIPO DETECTORDE MANCHAS

CALIBRACION DELSECADOR ENFUNCIONDEL ANCHO DE BANDA

FIGURA 13. REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL EJEMPLO

3. DIAGRAMA DE PARETO

a. Es un gráfico de barras que jerarquiza los problemas, condiciones o

las causas de éstos, por su importancia e impacto siguiendo un

orden descendente de izquierda a derecha.

b. Es utilizado cuando se necesita determinar el orden de importancia

de los problemas o condiciones a fin de seleccionar el punto de inicio

para la solución de dichos problemas o la identificación de la causa

fundamental de ellos.


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FIGURA 14. DIAGRAMA DE PARETO


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3. Indicar con puntos los valores encontrados en cada una de las

mediciones y proceder a unir dichos puntos mediante el uso de líneas.

4. Calcular el promedio de los valores.

5. Representar en el gráfico el promedio determinado trazando una línea

horizontal.

6. Interpretar el gráfico resultante.

5. HISTOGRAMA DE FRECUENCIA

Es una gráfica de barras que muestra la frecuencia con que ocurre

una determinada característica que es objeto de observación. Es utilizada

comúnmente cuando se requiere mostrar la distribución de los datos y

representar la variación propia de un proceso.

FIGURA 15. MODELO DE HISTOGRAMA


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6. ANÁLISIS DE REGRESION

En muchas situaciones que se presentan a menudo en el campo de la

ciencia, la ingeniería o las ciencias económicas nos encontramos con el problema

de la relación entre dos variables numéricas. Por ejemplo, la relación entre latemperatura de un paciente y el número de pulsaciones por minuto o la relación

entre el costo de un producto y el costo de la mano de obra para fabricarlo.

Muchas veces existen ecuaciones matemáticas que nos permiten calcular una

variable conociendo el valor de otra de la cual depende.

En general, cuando se nos presentan dos variables numéricas X e Y ,

podemos encontrar distintos tipos de relación entre ellas. Puede ocurrir que entre

ellas no exista ningún tipo de relación. En tal caso, la variación de una de ellas no

genera una variación correlativa en la otra. Variación correlativa significa que cada

vez que X aumenta, Y debe aumentar si hay correlación positiva o cada vez que X

aumenta, Y debe disminuir en caso de correlación negativa. Pero si cada vez que

X varía, Y puede aumentar o disminuir al azar en cualquie grado y proporción,

entonces significa que no hay ninguna correlación entre ambas:

Ninguna correlación

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 2 4 6 8 10 12

Variable X

V a r i a b l e Y


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Cuando hay una relación funcional entre X e Y , es decir Y=F(X), la

correlación entre ambas es perfecta. Supongamos que medimos el valor de Y para

un determinado valor de X, y que dicho valor de X lo podemos fijar con exactitud

(En general, esto no va a ser cierto). La ecuación de la función nos da un valor de

Y para ese valor de X . El valor de Y medido y el valor de Y calculado con la

ecuación, en general, no van a coincidir. Si repitiéramos la medición de Y muchas

veces para el mismo valor de X , tendríamos una serie de valores que son

diferentes del valor calculado. Pero si seguimos este proceso, obtendremos una

población de valores de Y cuyo promedio sí va a coincidir con el valor calculado.

Es decir, la relación funcional expresada por la ecuación matemática se cumple

para los promedios de los X e Y medidos, porque la mediciones individuales estánsujetas al error experimental o error de medición. Veámoslo con un ejemplo. Si

dejamos caer una pelotita desde el borde de una mesa, la distancia que recorre

desde el borde hasta tocar el suelo se puede calcular por medio de la ecuación

siguiente:

Y f t g t = = ⋅ ⋅( )1

2

2 g Aceleracion Gravitatoria

Hay una relación funcional no lineal entre la altura Y desde la cual cae la

pelotita y el tiempo t que tarda en caer, expresada por la ecuación anterior. Si

dejamos caer la pelotita midiendo con un cronómetro el tiempo que tarda en llegar

al suelo y medimos también la distancia recorrida (la altura de la mesa), los

valores resultantes de la medición seguramente no cumplen con esa relación. Esto

lo podemos verificar reemplazando t en la ecuación por el tiempo obtenido con el

cronómetro. El valor resultante Y seguramente no va a coincidir con nuestra

medición de la altura de la mesa. Si repetimos esto muchas veces, las medicionesde tiempo y distancia realizadas en cada ocasión, en general, no van a cumplir la

relación. Pero si promediamos todas la mediciones de tiempo y luego

reemplazamos t en la ecuación por este promedio, la distancia calculada con la


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ecuación sí va a coincidir con el promedio de todas las mediciones de altura de la

mesa.

Entre las dos posibilidades extremas, la de no tener ninguna relación entrelas variables y la de ten

herramientas estadistias para el control de procesos

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