MOVIMIENTO DE UNA PEONZA SIMETRICA CON UN PUNTO FIJO

Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido

Consideremos un ejemplo más complejo de las aplicaciones de la dinámica del cuerpo rígido.

“El movimiento de un cuerpo simétrico en un campo gravitacional uniforme con un punto, sobre su eje de simetría, fijo en el espacio.”

Una gran cantidad de sistemas físicos son aproximados a este problema, desde el movimiento de un trompo hasta el de un giroscopio.

Comenzaremos analizando la figura que describe al sistema

Colocaremos estratégicamente el eje z en la dirección del eje de simetría, como el punto en el origen está fijo la configuración del cuerpo es completamente descrita por los ángulos de Euler.

Denominamos:

La taza de cambio de estos indican:

– Inclinación de z con respecto a la vertical.

– Ángulo de giro del cuerpo respecto a la

vertical.

– Rotación del cuerpo respecto a su eje de

simetría.

– Inclinación del cuerpo (arriba y abajo).

– Rotación del cuerpo respecto a la vertical.

– Rotación del cuerpo respecto a su eje de

simetría.

La distancia del punto fijo al centro de masa es .

Para muchos casos de interés, como el caso del trompo y del giroscopio

Sabemos que las ecuaciones de Euler están dadas por:

Además, sabemos que para un cuerpo simétrico y rígido, si el eje de simetría es z,

Lo que nos dice que el movimiento en términos de y será del mismo estilo pero desconocemos el movimiento de .

Las ec. de Euler toman la forma:

Al analizar este problema con los angulos de Euler será difícil encontrar resultados validos.

Intentaremos atacar el problema, desde otra metodología.

El procedimiento Lagrangiano será utilizado para obtener una solución para el movimiento del cuerpo.

Debido a la simetría del cuerpo, y que no existe traslación del mismo, la energía cinética tiene la forma:

En términos de los ángulos de Euler resulta:

Sabemos que la energía potencial de un cuerpo sólido, al estar en presencia de un campo gravitacional uniforme, es la misma como si el cuerpo estuviera concentrado en su centro de masa, por lo que la energía potencial será:

Por lo que el Lagrangiano resulta

Como y no aparecen explícitamente en el Lagrangiano son variables cíclicas, indicando que sus correspondientes momentos generalizados son constantes en el tiempo.

Aquí 2 de las constantes de movimiento son representados en términos de 2 nuevas constantes a y b.

Una tercer constante es la energía, dado que estamos trabajando en un sistema conservativo

De las expresiones de los momentos generalizados obtenemos

Al sustituir en obtenemos

Con estas relaciones es fácil obtener

Teniendo el valor de y sustituimos en la energía para obtener una ecuación diferencial cuya única variable será

Donde

Podemos ver esto como un problema en una dimensión con un “potencial efectivo”

Tenemos 4 constantes asociadas con el movimiento del cuerpo, , , y la energía potencial máxima

Si por último definimos 2 nuevas constantes

El fin de introducir todas estas constantes es para que al despejarlas y sustituirlas en la energía tengamos una ecuación más sencilla de la forma

Con un cambio de variable, , obtenemos

Donde

Al integrar obtenemos

Con esto tenemos definido el movimiento del cuerpo, siempre y cuando obtengamos el resultado numéricamente

Si observamos nos damos cuenta que el polinomio del integrando es cúbico, lo que nos complica las integrales, que serían elípticas.

Afortunadamente, la naturaleza general del movimiento puede ser encontrada sin tener que trabajar las integrales

Analizando el potencial efectivo, ahora en términos de los momentos generalizados

Gráfica del potencial efectivo contra

Sabemos que y que a su vez el potencial está limitado por 2 valores de , los cuales son los puntos de inversión y son las raíces del polinomio de la integral, entonces el movimiento de la peonza esta restringido entre estos 2 valores de .

Cuando tenemos solamente existe un valor de , que es el movimiento de precesión estacionaria a un ángulo

Para encontrar derivamos e igualamos a 0

Que se puede reescribir

Con , resolviendo para

Como debe ser real, para no hay problema, pero si debemos restringir

Sabemos que , por lo que

Lo que nos dice que para tener una precesión estacionaria necesitamos que la velocidad angular de rotación debe ser mayor que el límite obtenido anteriormente.

Al tener un valor fijo , tendremos que

Por lo que tendremos 2 posibles valores de , uno que produzca una precesión rápida y otro que la haga lenta, al hacer una aproximación

;

En el caso de , el valor de permanecerá igual y será de signo contrario

Conclusiones:Todo depende del valor de los límites • Si los valores límites estan ambos sobre o

debajo de , no cambiará de sentido por lo que la peonza ejecutará un movimiento monotono de nutación.

• Si los valores límites hacen que cambie de sentido la peonza se moverá generando una clase de resorte sobre la esféra unitaria.

• Por último si en uno de los valores límites se generará un movimiento con retrocesos sucesivos.