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Resumen . .......................................................................................................................3 Capítulo I Introducción y Antecedentes ..........................................................................4
A. Técnicas de medición y producción de partículas 6 B. Nefelómetros polares 6 C. Mediciones absolutas y relativas 7 D. Mediciones sobre partículas 10 E. Métodos de suspensión de partículas 10 F. Medidas rápidas de dispersión de luz 11 G. Medición partículas 12 H. Instrumentación 14
H.1. Fuentes de luz ......................................................................................... 15 Capítulo II Detalles Experimentales ...............................................................................30
A. Separación de Partículas 30 B. Determinación de Distribución de Tamaño de Partícula por un Equipo
Comercial 30 Capítulo III Resultados.....................................................................................................31
A. Descripción del Equipo Desarrollado 31 A.1. Intentos Preliminares .............................................................................. 31 A.2. Descripción de la Celda.......................................................................... 32
B. Resultados experimentales 33 B.1. Dependencia con la Concentración ........................................................ 33 B.2. Linealidad ............................................................................................... 36 B.3. Dependencia con el Tamaño................................................................... 36
Capítulo IV Teoría de Mie................................................................................................37 Descripción General 37 B. Expansión de una Onda Plana en Armónicos Esféricos 38 C. Solución a las ecuaciones de onda vectoriales 38 D. Expansión de una Onda Plana en Armónicos Esféricos. 45 E. Los campos interno y dispersado 51 F. Funciones dependientes del ángulo. 54 G. Coeficientes de dispersión. 57 H. Secciones transversales y elementos de la matriz. 60 I. Secciones Transversales. 60 J. Ejemplos de Extinción: interferencia y estructura de onda; enrojecimiento. 63 K. La Paradoja de Extinción; Teoría de Difracción Escalar. 67 L. Matriz de Dispersión. 72 M. Un ejemplo de dispersión dependiente del ángulo. 76 N. Ancho finito del rayo. 77 O. Sección transversal de retrodispersión radar. 77 P. Cómputo de los coeficientes de dispersión y secciones transversales. 80 Q. Dependencia de la dispersión con respecto al ángulo de la luz incidente. 82 R. Un poco de definiciones. 83 S. Dispersión por esferas. 86
Capítulo V Análisis .........................................................¡Error! Marcador no definido. Capítulo VI Conclusiones.................................................................................................88 Capítulo VII Trabajo por Realizar .....................................................................................88
Resumen . La medida de dispersión de luz por partículas independientes y homogéneas tiene muchas
aplicaciones en fisicoquímica, meteorología y astronomía. En el presente trabajo se realizan
medidas de dispersión de luz por esferas SiO2 de tamaño arbitrario suspendidas en agua y
diferentes concentraciones, aplicando la Teoría de Mie. Estas mediciones se llevaron a cabo
en un sistema que consta de una celda de vidrio con agitación magnética, un detector que
puede girar angularmente y una fuente de luz láser de Helio-Neón (= 632.8 nm). Los
resultados obtenidos son: la relación entre la concentración de sólidos suspendidos y la
intensidad de dispersión, además de la influencia que tiene el tamaño de la partícula sobre
las mediciones hechas. Este trabajo da principio al desarrollo de un equipo que además de
determinar bajas concentraciones de sólidos suspendidos, podrá dar un perfil de tamaño de
partícula. Paralelamente se desarrolló un programa en Mathematica que calcula los
coeficientes de dispersión, así como las eficiencias de dispersión, extinción y absorción,
todo en función de parámetros ópticos (, n, k), el cuál sirvió para obtener resultados
teóricos.
Índice deFiguras . Figure 1. 4 Figure 2. Comparación de la medición de la concentración de sólidos dispersos
usando sedimentación y reflexión difusa (MC). La escala de la señal MC fue acoplada a la de sedimentación. ........................................................4
Figure 3. ert4w5t t........................................................................................................34
Capítulo I Introducción y Antecedentes La empresa Tekchem requiere monitorear, para efecto de control de proceso, la
concentración de sólidos de PS5 suspendidos en un fluido turbulento de alcohol.
Actualmente el monitoreo se realiza tomando muestras y midiendo la proporción de
sedimentos, método que conlleva las siguientes desventajas:
La medición no es continua, por lo que no genera una señal que se pueda usar en control automático.
La toma de la muestra requiere el manejo del líquido por parte de un operador.
El CICATA propuso utilizar el principio de reflexión difusa para realizar las mediciones y
armó un instrumento (Medidor CICATA o MC) para ser probado en línea. El MC soluciona
las dos desventajas anteriores ya que es capaz de hacer la medición sin necesidad de toma
de muestra, y puede generar una señal proporcional a la concentración de sólidos. La
Figure 2 muestra resultados preliminares usando el primer instrumento MC.
Figure 1.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20
Ti empo ( hor as)
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%)
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Figure 2. Comparación de la medición de la concentración de sólidos
dispersos usando sedimentación y reflexión difusa (MC). La escala de la señal MC fue acoplada a la de sedimentación.
El instrumento MC fue dañado debido a una descarga del líquido, por lo que ahora se
encuentra en reparación. La Figure 2 dklsfna1
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A. Técnicas de medición y producción de partículas
Hasta hace cerca de 10 años las medidas de dispersión angular a longitudes de onda visible
fueron limitadas a colecciones de muchas partículas cualquiera de las dos dispersiones
natural como en la atmósfera o aquella generada en el laboratorio. Con el advenimiento de
los láseres de alto poder esto ha llegado a ser factible para medir dispersión de luz por
partículas sólidas. Hay buenas razones para medir dispersión para ambas solas y muchas
partículas.
La mayoría de las mediciones de dispersión angular han sido hechas a longitudes de onda
visible y ultravioleta cercano en dónde los detectores (primeramente los tubos
fotomultiplicadores) son sensibles, las fuentes son intensas y los filtros de polarización
buenos y otros elementos ópticos son fácilmente disponibles estos avances de luz visible
disminuyen cuando se cambia a otras longitudes de onda, aunque no hay falta de interés en
ellas. La otra región de longitud de onda principal en la cuál se estudia en el laboratorio la
dispersión angular ha sido hecha en microondas.
B. Nefelómetros polares
Es un instrumento para medir la dispersión de luz angular y es frecuentemente llamado
nefelómetro. Para hacer más preciso el instrumento se muestra esquemáticamente en la
figura, así llamado debido a su capacidad de detección angular. Sus elementos esenciales
son una fuente de luz colimada y un brazo de que puede ser girado cerca de la muestra
(celda de dispersión); montado sobre el brazo esta un sistema detector, el cuál incluye
elementos ópticos para colectar luz dispersada dentro de un ángulo sólido pequeño el
nefelómetro mostrado en la figura es algo idealizado, y cada parte del instrumento puede
ser más complicado.
La fuente de luz puede ser una lámpara (tungsteno – halógeno, mercurio o xenón a alta
presión) con colimadores apropiados o, alternativamente, un láser. Aunque los láseres son
fáciles de usar y han visto un amplio uso desde su comercialización, no se asume que un
láser es siempre la mejor fuente; esto ciertamente no es lo más económico. Una lámpara de
tungsteno – halógeno de 300 a 500 W para proyectores de diapositivas caseros es barato y
disponible en la mayoría de los estudios fotográficos aunque solamente una fracción
pequeña del poder evaluado es disponible como luz visible, el costo de una lámpara es
solamente una pequeña fracción de lo que es una onda continua de un watt de láser.
Particularmente para el estudio de colección de partículas, dónde ninguno de los dos, un
rayo pequeño o un alto grado de monocromaticidad es requerido, la lámpara de tungsteno –
halógeno puede ser considerado. En estudios de dispersión, por una partícula sola, un láser
es la mejor fuente.
El telescopio sobre el brazo del detector consiste de un lente seguido por una apertura, que
limita la aceptación angular del detector; esto es logrado a costo de menos sensibilidad de
detección. La intersección del rayo incidente con él campo de visión del detector
determinan el volumen de dispersión (volumen iluminado), el cuál consecuentemente
cambia con el ángulo; por lo tanto, la señal medida debe ser corregida por el factor
multiplicativo seno . No es posible hacer medidas a ángulos de dispersión cercanos a 180°
con nefelómetros convencionales debido a que el brazo interfiere con el rayo incidente. A
dispersión a ángulos grandes es importante, y esto requiere frecuentemente que
modificaciones sean hechas así que estos ángulos son accesibles a medición.
C. Mediciones absolutas y relativas
Las medidas de dispersión angular son algunas veces clasificadas como absolutas o
relativas. En una medición absoluta Is/Ii, la cuál es directamente relacionada a la sección
transversal de dispersión diferencial (), es determinada; en una medición relativa la
irradiación es referida a algún ángulo de dispersión arbitrario por decir 10°, así que
(asumiendo una simetría azimutal)
1)
Las mediciones relativas son considerablemente más fáciles de hacer y son el tipo más
comúnmente reportado. Sin embargo las mediciones absolutas son de importancia, por
ejemplo, en comparación con medidas de sección transversal de dispersión de partículas no
esféricas con cálculos para esferas equivalentes. Notar que “absoluta” como se ha utilizado
el término aquí significa que la dispersión no es normalizada a algún ángulo de referencia
arbitrario; esto no significa que las irradiaciones absolutas son medidas, como con
detectores calibrados. Ambas mediciones relativa y absoluta, las irradiaciones son sin
dimensiones.
Las mediciones absolutas pueden ser hechas girando el brazo del detector desde 0° a , así
obteniendo Ii y Is (); fácil decir pero menos fácil hacerlo: Ii puede ser mil veces más
grande que Is, y errores apreciables son probablemente debidos a falta de linealidad del
detector sobre un tal rango. Un método para superar esto es atenuar Ii con filtros de
densidad neutral a un nivel comparable con Is; si la densidad óptica es conocida la
irradiación incidente sin atenuar puede ser determinada otra técnica es utilizar una
superficie de difusión, tal como vidrio de ópalo o MgO ahumado, en el rayo incidente para
dispersar luz en todas las direcciones. La iluminación no uniforme del fotocátodo,
elevándose de la iluminación no uniforme del volumen de dispersión, puede ser también un
problema. Pritchard y Elliot (1960) y Holland y Gagne (1970) calibraron sus instrumentos
contaron para estos y otros efectos por movimiento de una placa de difusión calibrada a
través del volumen de dispersión e integrando la señal medida sobre la transversal para
cada ángulo y para todas las combinaciones de filtros. Quizá la técnica más simple es
utilizar esferas (poliestireno) con propiedades conocidas –concentración, tamaño de
distribución, e índice de refracción- conjuntamente con cálculos de Mie. Para una fuente de
luz dada y elementos ópticos tales como filtros, la señal del detector Dr es medida con la
muestra de referencia en la celda de dispersión.
.
1010
ddC
ddC
II
II
I
I
sca
sca
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scaisr d
dC
r
IKKID
dónde K es un depósito de polvo (dependiente del ángulo) dentro del cuál se deposita toda
la ignorancia acerca de los factores de calibración de instrumento. Bajo las mismas
condiciones otro barrido angular es hecho de la señal del detector D con una muestra
conocida en la celda de dispersión.
dCsca/d es determinada de la razón medida de señales y (dCsca/d)r calculada de la teoría
de Mie para la muestra de referencia:
Esta técnica es muy adaptable a instrumentos bajo el control de una microcomputadora: la
señal de referencia también como la secciones transversales de dispersión diferencial
calculadas son almacenadas en la memoria de la computadora para un conjunto de ángulos
de dispersión; como los datos provistos del barrido de la señal digital a cada ángulo es
dividida por la señal de referencia y multiplicada por la referencia de sección transversal de
la dispersión diferencial para dar la sección transversal de la dispersión diferencial absoluta
de la muestra.
Debido a la pequeña cantidad de luz dispersada por la suspensión de partículas es necesario
excluir cuidadosamente luz extraña del detector. Tal luz puede ser originada de los
alrededores(luz ambiental) o dentro del mismo instrumento. Para excluir la luz ambiental,
la medición puede ser hecha en un cuarto oscuro; o el nefelómetro entero puede ser
encerrado en una caja obscura; o la celda de dispersión puede ser encerrada. La última
.2
d
dC
r
IKD scai
r
sca
r
sca
d
dC
D
D
d
dC
opción complica el instrumento por el requerimiento de una apertura de luz estrecha para la
rotación del brazo del detector. Otra posibilidad es rechazar selectivamente la luz ambiental
con un cortador de luz y un amplificador lock-in sintonizado a la frecuencia del cortador o
con un filtro en el brazo del detector a la frecuencia de la fuente si esta es cercanamente
monocromática para excluir luz extraña originada desde dentro del detector, las trampas de
luz son utilizada para detener el rayo incidente y como un telón de fondo para el detector ().
Similarmente cuidadosa atención debe ser dada al diseño de dispersión, la cuál puede
reflejar hacia atrás luz dispersada hacia delante dentro del detector. Esto es particularmente
un problema serio en la dirección de retrodispersión para partículas grandes: Aún a muy
pequeñas cantidades de reflexión especular de la celda de dispersión puede dominar
fácilmente sobre la dispersión de la muestra. El diseño de la celdas de dispersión llegan aún
a ser más difíciles para mediciones de cantidades pequeñas de polarización circular: la
birrefringencia inducida por la tensión puede dar un incremento apreciable en los errores.
D. Mediciones sobre partículas
En 1961 antes los láseres fueron un instrumento común en los laboratorios, Gucker y Egan
publicaron mediciones de dispersión de luz angular para partículas solas aisladas. Desde el
advenimiento de láseres colimados de alto poder muchas mediciones sobre partículas solas
han sido publicadas, particularmente en la última década y el diseño de instrumentos ha
proliferado para obtener sucesivamente información de dispersión de luz angular de
partículas solas en usualmente necesario tomar una o dos aproximaciones: establemente
suspendidas las partículas y el uso de nefelómetro convencional tal como el de la figura (),
o hacer mediciones rápidas sobre partículas solas en flujo.
E. Métodos de suspensión de partículas
Hay varios métodos para levitación de partículas solas. Uno de ellos utiliza un aparato
modificado del aparato de Millikan de la gota de aceite en el cuál la partícula es cargada y
balanceada contra la gravedad por un campo eléctrico entre placas paralelas para estabilizar
la partícula lateralmente el campo eléctrico es deformado por una aguja cargado; un
servomecanismo mantiene el voltaje aplicado a un nivel necesario que asegura la
estabilidad vertical. Esta técnica ha sido utilizada para mediciones de esferas de
poliestireno, bacterias, partículas de NaCl y NaCl-H2Oy determina los coeficientes de
difusión. Las partículas suspendidas por levitación electrostática tienden a voltearse
aleatoriamente; esto es una ventaja en el estudio de la dispersión promediada sobre la
orientación de todas las partículas, pero es una desventaja pero si se esta interesado en la
orientación de las partículas.
Un rayo láser vertical ha sido utilizado por Ashkin (1970) y Ashkin y Dziedzic (1971) para
levitar partículas esféricas débilmente absorbentes por presión de radiación. La estabilidad
lateral resulta del dominio de las componentes de luz dispersada refractada sobre la
reflejada. Reflexión diferente sobre los lados opuestos de las partículas, la cuál es causada
por un rayo no uniforme, produce una fuerza neta que conduce a la partícula hacia niveles
de luz más bajo; esta inestabilidad es antagonizada por refracción, la cuál produce una
reacción que conduce a la partícula hacia niveles de luz más altos. La partícula es así
lateralmente estabilizada en la parte más intensa del rayo. La levitación láser tiene la
desventaja que no puede ser utilizada con partículas fuertemente absorbentes, las cuáles son
probablemente vaporizadas en rayos suficientemente poderosos para levitación.
Quizás el más simple, pero método menos utilizado para soportar partículas solas fijar a
ellas fibras muy finas tal como fibras de vidrio o hilos de araña. El diámetro de la fibra
puede ser pequeño comparado con las partículas más grandes como cerca de 1 m.
Además, las características de dispersión por cilindros largos pueden ser utilizados como
ventaja: la dispersión por fibras oblicuas al plano de dispersión es confinada solamente en
una o dos direcciones de las cuáles descansan en este plano. Este método simple provee de
un medio para fijar la orientación de la partícula; sus desventajas son la necesidad de
considerar la dispersión por la fibra de soporte y la posibilidad de la interacción
electromagnética entre la fibra y la partícula.
F. Medidas rápidas de dispersión de luz
Más que suspender una partícula en el volumen de dispersión por un tiempo suficiente para
hacer un barrido con un nefelómetro convencional, los datos de dispersión pueden ser
grabados rápidamente durante el corto tiempo tomando una partícula que transita el
volumen de dispersión. Esto puede hacerse de dos formas: (1) Con un detector girando o
abertura (o ambas), o (2) con un arreglo de detectores fijos
Marshall (1976) utilizó un segmento anular de un espejo elipsoidal para dirigir la luz
dispersada por una partícula en un foco a un detector fijado en el otro foco; una abertura
(5°)girando a 3000 r.p.m. entonces da un barrido de 360° en 20 msec. Morris
(1976)montado un detector sobre un plato giratorio que gira a 1 Hz; en 1 sec. este da un
barrido de 0° a 180° y de 180° a 60°;estos barridos no son necesariamente idénticos. Hay al
menos dos razones para hacer barridos a 360° en lugar de barridos a 180°: partículas solas
(aparte de esferas) son propensas a ser asimétricas azimutalmente; y tales barridos muestran
un instrumento desalineado.
Arreglos de detectores fijos fueron ideados por Diehl (1979) y por Bartholdi (1980) para
medir dispersión por partículas solas. Los autores anteriores montaron detectores a +-45°,
+-90°, +-135°,combinación de cada dos o tres de los cuales se muestreo luz dispersada en
intervalos 16.7msec (60 Hz de índice de muestreo). El instrumento de Bartholdi tiene un
segmento anular de un reflector elipsoidal para enfocar luz dispersada dentro de un arreglo
circular de 60 detectores fotodiodos. Este instrumento fue diseñado para aplicaciones en las
cuales un flujo de células biológicas en una sola fila (a una razón de flujo por arriba de
1000 partículas por segundo) a través del volumen de dispersión; analizando la luz
dispersada, células de poblaciones heterogéneas pueden ser identificadas y posiblemente
separadas flujo abajo.
G. Medición partículas
La medición de partículas por dispersión de luz elástica ha sido utilizada ampliamente por
que es no destructiva y puede ser hecha rápidamente Kerker (1969) ha discutido varios
métodos de medición de partícula con detalle, incluyendo aquellos para colección de
partículas distribuidas en tamaño. La dificultad de mediciones invertidas para obtener una
distribución de tamaño se incrementa con su ancho. Este inconveniente ha dirigido al uso
más grande de métodos en los cuáles la luz dispersada por partículas fluyen únicamente a
través del volumen de dispersión es analizado para medir tamaños. Pulsos de luz dispersada
dentro de un conjunto de direcciones son detectados y clasificados electrónicamente dentro
de un depósito de acuerdo a la altura; la distribución de tamaño es determinada por el
histograma de la altura el pulso por medio de una curva de calibración relacionando la
altura de pulso al tamaño de partícula. Los instrumentos comerciales son ahora disponibles
para este propósito; ellos difieren de acuerdo a las direcciones para las cuáles la luz
dispersada es colectada y la fuente de iluminación, la cuál puede ser un láser o una luz
enfocada desde una lámpara incandescente.
La respuesta R del instrumento de la dispersión de luz por una partícula sola es
G describe la iluminación y la colección geométrica, f incluye el espectro de la fuente y la
sensibilidad espectral del fotodetector, y la sección transversal de dispersión diferencial
dCsca/d puede ser calculada de la teoría de Mie si las partículas son esferas.
Cálculos para esferas son mostrados en la figura; la estructura de ondulación e interferencia
son evidentes en las curvas para esferas no absorbentes estas curvas demuestran algunos de
los problemas que deben ser enfrentados en el diseño y uso de instrumentos de medición de
partículas. Debido a la estructura de interferencia, la respuesta es una función multivaluada
Del tamaño: Esferas de tres tamaños diferentes pueden dar la misma respuesta esto puede
ser mitigado por alguna extensión para cierta clase de aerosoles seleccionando un
discriminador electrónico acomodando para evitar regiones de menos multivaluados. Si las
esferas de índices de refracción desconocido o diferentes están para ser clasificadas según
el tamaño, la variación de la respuesta con el índice de refracción puede ser un problema.
Dos instrumentos considerados por Cooke y Kerker (1975) tenían funciones de respuesta a
un solo valor, presumiblemente debido a las fuentes de luz de banda ancha (blanco)
aberturas angulares grandes para ambas luz incidente y dispersada.
dfdd
dCGR sca
La calibración esta basada invariablemente sobre esferas lo cuál significa que un
instrumento puede ser utilizado con seguridad para tales partículas. Por supuesto, una
respuesta será debidamente grabada si una partícula no esférica pasa a través del volumen
de dispersión.
De acuerdo a la teoría de difracción escalar la amplitud de dispersión en la dirección hacia
delante es proporcional al área de la sección transversal de la partícula, independientemente
de su forma, y es independiente del índice de refracción. Para el alcance está teoría de
difracción es una buena aproximación, por lo tanto, el radio correspondiente a la respuesta
de un instrumento que colecta luz dispersada cerca de la dirección hacia delante por
partículas no esféricas es aquella de una esfera con igual área de sección transversal. La
más grande de las partículas, sin embargo la luz más dispersada es maximizada en la
dirección hacia delante y lo más difícil de esto es discriminar entre la luz dispersada y sin
dispersar (incidente). No obstante, las posibles ventajas de la independencia del índice de
refracción y la insensibilidad a la forma hace de la dispersión de ángulo bajo un atractivo
método de medición de partículas. Basados sobre cálculos de funciones de respuesta para
varios instrumentos Heyder y Gebhart (1979) concluyeron que la distribución del tamaño
de partícula con índice de refracción desconocido puede ser determinados exactamente por
dispersión de ángulo bajo de luz policromática dependiendo del instrumento, las partículas
esféricas en un rango de tamaño de 0.2 y 15 mm pueden ser determinado su tamaño
exactamente por dispersión de luz si su índice de refracción es conocido.
H. Instrumentación
Hay muchos diferentes vías para elegir de entre el diseño y construcción de un analizador
de dispersión de luz angular. Dependiendo en las especificaciones o aplicaciones deseadas,
hay diferencias en como diseñar los mecanismos ópticos, electrónicos y el software
utilizado en el instrumento. Esto es especialmente verdad en la investigación académica,
situación donde diseños únicos son creados para proyectos de investigación específicos.
H.1. Fuentes de luz
Hay dos tipos de fuentes de luz utilizadas en instrumentos de dispersión de luz angular. Una
es una fuente de luz blanca, típicamente una lámpara de tungsteno-halógeno, la otra es una
fuente luz láser continua. La anterior tiene polarización aleatoria y un amplio rango
espectral con longitudes de onda típicamente recorriendo desde 250 nm a 3000 nm y puede
ser utilizado cuando se requieren mediciones en múltiples longitudes de onda. Poniendo
filtros de diferentes longitudes de onda y polarizadores en el patrón del rayo antes de la
cámara de muestra, uno puede hacer mediciones de dispersión en longitudes de onda
seleccionadas y diferentes polarizaciones. La luz láser tiene muchas ventajas,
especialmente apreciables son el alto grado de estabilidad del láser, largo tiempo de vida,
iluminación monocromática y larga coherencia espacial y temporal. Así aunque el uso de
un láser como fuente de luz no es esencial, este provee beneficios definitivos y es ahora
casi siempre utilizado en instrumentación moderna de dispersión láser como la principal o
única fuente de luz.
La siguiente tabla lista las características principales de láser utilizados comúnmente.
Tipo de Láser Potencia (mW) Longitud de onda
(nm) Rasgos o características.
Ar ion 30-2000 4888, 514.5 Circularmente colimado, necesario enfriamiento de agua para potencia alta
He-Ne 1-50 543.5, 594.1, 612.0, 632.8
Circularmente colimado
Diodo Láser 0.1-200 405, 450, 635, 650, 670, 685, 750, 780
Bajo costo, miniatura e interfaceable con fibras ópticas, elíptico y salida muy divergente
El rayo de luz de un láser He-Ne es circular con simetría radial y es colimado con
divergencia pequeña (< 2 mrad). Un láser He-Ne produce una luz monocromática estable y
puede tener una vida esperada superior a 20,000 horas. Por esta razón y debido a su
disponibilidad, el láser He-Ne (0 = 632.8 nm) son comúnmente utilizados en instrumentos
de dispersión láser. Avances recientes en semiconductores y fibras ópticas han permitido
que diodos láser reemplacen a ambos láseres de ion y gas más y más debido a su bajo
costo (con frecuencia solamente una décima parte de un láser de gas), tiempos de vida
largos (> 50,000 horas), bajo voltaje de operación, y compacidad (por ejemplo, un paquete
500 mm3 puede alojar un láser de un solo modo de 200mW). Sin embargo, opuesto a un
láser He-Ne o láser ion Argón, la luz de un diodo láser no es colimada ni simétrica
radialmente y este tiene severo astigmatismo (la divergencia de luz en dos direcciones
perpendiculares es diferente)una luz monocromática de un diodo láser debe ser
condicionada. Un conjunto de componentes ópticos es necesitado para realizar la
corrección de la divergencia, corrección de la asimetría y corrección del astigmatismo para
obtener un rayo circular colimado. Últimamente, con los avances en micro óptica, tales
como micro lentes de índice gradiente y técnicas de fibra óptica de cola de cerdo, estás
tareas pueden ser logradas en una manera compacta y algunos componentes ópticos han
sido integrados paquetes de diodos láser disponibles comercialmente. Aun luz de láseres de
gas o de diodos láser condicionados están colimados con una divergencia pequeña,
imperfecciones en la superficies ópticas y dispersión causada por polvos de partículas
hacen el rayo de luz “sucio” y puede afectar las medidas de dispersión, especialmente en
ángulos pequeños. Un dispositivo que es utilizado para treta una fuente de iluminación es
conocido como filtro espacial. La filtración espacial puede suprimir un rayo de segundo
plano y mantiene una distribución del rayo de irradiación muy alisado o fino.
Un filtro espacial convencional consiste de un conjunto de elementos ópticos, tales como
lentes y aperturas. Desde que toda la luz background se propaga en direcciones divergentes
del rayo principal este es espacialmente separable en el plano focal del lente. Centrado en
una pequeña abertura en el punto focal del rayo principal la mayoría de la luz de segundo
plano será bloqueada, permitiendo solamente el rayo principal pase. El resultado es un
cono de luz que tiene una muy alisada distribución de irradiación y puede ser expandido
para formar un rayo colimado que es casi igualmente tan alisado. La figura 3.16a es una
ilustración de filtración espacial utilizando ópticos convencionales. Este tipo de filtro
espacial no es inmune al movimiento mecánico y es grande en volumen y llega a un alto
costo. Un nuevo y más fuerte diseño de filtro espacial emplea una longitud de mono modo
de fibra óptica acoplada a un diodo láser junto con un sistema óptico que utiliza micro
ópticos tales como lentes de índice gradiente (figura 3.16B). Fibras mono modo tienen
diámetros muy pequeños (típicamente medidos en micras), y mantienen solamente la
propagación de ondas de luz a lo largo del eje de la fibra, efectivamente la filtración saca
toda la luz extraña por contracción espacial. El diámetro pequeño de una fibra mono modo
crea un punto cerca de la fuente luz, el cual es superior en esta aplicación a diseños de filtro
espacial convencionales. Después dejando la fibra, la luz es expandida por un sistema de
lentes a un rayo circular colimado con un diámetro de alrededor de 10-20 mm el cual
ilumina la muestra en la cámara de muestra (8). En ambos arreglos, el diámetro de salida
del rayo circular puede ser ajustado por el ajuste de la distancia entre la abertura y el lente
(Figura 3.16A), o entre la punta de la fibra t el lente (Figura 3.16B).
Colección óptica.
Las partículas en la cámara de muestra dispersan luz fura del rayo incidente. En la salida de
la cámara de muestra la luz dispersada puede ser guiada al plano del detector de una u otra
forma por óptica de Fourier o por la de inversa de óptica de Fourier. Un típico esquema de
estas dos configuraciones ópticas es mostrado en la figura 3.17.
En la óptica de Fourier (Figura 3.17a), las partículas pasan a través de un rayo láser
colimado y expandido a una distancia fijada enfrente de un lente cuyo plano focal esta
posicionado sobre un arreglo del detector fotosensible. El lente, el cual puede ser un lente
solo o compuesto de varios lentes, puede ser redondo o rectangular con una dimensión
típicamente alrededor de 50 mm. Juntos, la longitud focal o la longitud focal efectiva(en el
caso de un arreglo de multi lentes), el arreglo detector, y la longitud de onda del láser
determinan el recorrido de tamaño de partícula que puede ser analizado. El lente de Fourier
en la figura 3.17a sirve para dos funciones: enfoca el rayo incidente así este no interferirá
con la luz dispersada, y también transforma la luz angularmente dispersada dentro de una
función de localización en el plano de detección. El rayo incidente es traído sobre el plano
de detección por el lente y es cualquiera de los dos reflejado fuera por un espejo (Figura
3.17c), o pasado a través de una abertura en el centro del detector a un rayo monitor (Figura
3.17d). El patrón de dispersión angular es grabado por el arreglo detector. La característica
más importante de la óptica de Fourier es que a un ángulo específico la luz dispersada será
refractada por el lente de manera que cae sobre un detector particular, independientemente
de la posición de la partícula en el rayo. Las partículas pueden fluir o moverse a través de
alguna parte del rayo aún así si patrón de difracción permanece estacionario y proporcional
en intensidad al número total de partículas contribuyendo a la dispersión. En una muestra
poli dispersa el patrón angular puede cambiar sobre el tiempo así la distribución del número
de partículas en el volumen de dispersión varia sobre el tiempo, con partículas entrando y
dejando el rayo. Esta variación temporal es usualmente integrada sobre el tiempo para dar
una representación promedio de la muestra.
El diseño de la óptica es guiado por la geometría del detector y el rango de medición
deseado para una dimensión dada del arreglo detector. Para partículas grandes, para
detectar lóbulos de dispersión central, el ángulo donde el primero es localizado tiene que
ser muy pequeño y la resolución angular necesita ser alta debido a las fluctuaciones rápidas
de intensidad angular en la luz dispersada. Por otra parte, para detectar partículas sobre un
rango amplio de tamaño, un rango angular ancho(usualmente resultando en baja
resolución) tiene que ser utilizado en el mismo arreglo detector. Estos dos requerimientos
conflictivos tienen que ser balanceados si solamente una configuración de lentes y arreglo
detector es utilizado. El ángulo de dispersión máximo, max, en el cual la intensidad de
dispersión aún puede ser colectada por el lente es determinada por la distancia entre la
cámara de muestra y el lente (l, en la Figura 3.17a), el tamaño del lente (dL), y la dimensión
del rayo (D):
Para cualquier estructura y dimensión dada de un arreglo detector, el rango angular cubierto
es inversamente proporcional a la longitud focal del lente. Para una longitud focal corta
(por ejemplo, f = 20 mm), l será pequeña; el mismo arreglo detector cubrirá un rango
angular más ancho. La estructura fina en ángulo muy pequeño será entonces perdida
debido a que el primer detector corresponderá a un ángulo más grande que comparado a
una configuración usando un lente con una longitud focal más larga (por ejemplo, f =
5000mm). La cobertura angular global ahora llega a ser más pequeña pero el primer
detector corresponderá a un ángulo mucho más pequeño y así la resolución angular es más
grande que en la conformación de la longitud focal corta. Esto, sin embargo, resultará en
una muy larga banca óptica.
Una forma para diseñar una conformación óptica teniendo un rango ancho de tamaño
dinámico es utilizar un conjunto de lentes con diferentes longitudes focales para cubrir
partículas en diferentes rangos de tamaño. Cada lente cubre un estrecho rango de tamaño.
Cuando las partículas salen del rango están para ser medidas, un lente diferente reemplaza
el actual lente. De la ecuación 3.1, para cambiar el rango de detección angular, uno puede
cambiar D o l, dado que hay un pequeño espacio para cambiar dL. Uno puede utilizar una
longitud focal corta para incrementar el rango de detección angular y utilizar una longitud
focal larga para reducir el rango de detección angular. Por ejemplo, en un diseño óptico
teniendo un lente de longitud focal f = 50 mm con un diámetro de rayo de 2.2mm, el rango
de medición es 0.18-87.5 m. Cuando este lente es reemplazado con uno de f = 5000 mm y
el diámetro del rayo es incrementado a 39 mm, el rango de medición es recorrido a 45-8750
m (1).
El incremento en el diámetro del rayo como la longitud focal es incrementada sirve para
dos propósitos. Primero, cuando se miden partículas grandes , D tiene que estar en la menor
cantidad más grande que la partícula más grande para evitar inexactitud estadística e
iluminación incompleta. También, una D más grande llega a ser posible cuando f
incrementa debido a estructura de lente factible. Segundo, la dimensión del punto focal en
el plano focal es proporcional a la razón de la longitud focal a el diámetro del rayo (f/D). Si
f incrementa y D permanece igual, el resultado es demasiado grande en el punto focal y
detección en ángulos pequeños llegará a ser imposible. Como un ejemplo, para detectar el
detalle en lóbulos centrales de un patrón de difracción, uno quiere el primer ángulo de
detección cerca de un tercio de la localización del primer mínimo. Esto requiere que el
ancho del rayo sea menos de cuatro veces más grande el diámetro de la partícula.
Sin embargo, cambiando el lente puede haber efectos adversos en la robustez del
instrumento e integración. La necesidad para realinear cada vez una lente es cambiada o
movida frecuentemente para prevenir los resultados de ser altamente reproducibles y
también causa inconveniencia en operación. Una forma diferente para lograr detección
angular ancha mientras evitando el cambio o movimiento de lentes sin comprometer
resolución esto para usar un segundo lente y un segundo arreglo detector colocados en un
ángulo grande. Tal diseño es mostrado en la figura 3.18, también evita el uso de lentes
grandes excesivamente. Por un lado el costo de lentes grandes, la calidad del tallado de los
lentes y las aberraciones asociadas que pueden afectar señales de ángulo grande llegan a ser
más severas conforme el diámetro del lente incrementa.
La suma de un segundo lente y un segundo arreglo de fotodiodos puede extender el ángulo
de detección más de 35 grados, efectivamente extendiendo el rango de medición más bajo a
menos de unos cuantos micrones(9). Para detectar la intensidad de dispersión sobre algún
rango angular más ancho, una alternativa sería utilizar láseres múltiples posicionados en
diferentes direcciones así que el mismo arreglo detector recibiría dispersión desde la misma
partícula pero iluminada por diferente láser creando diferentes ángulos de dispersión
efectivos(10).Por ejemplo, en el sistema mostrado en la figura 3.18, si los dos detectores
cubren un rango angular desde 0° a 30° utilizando rayo 1, alternando a rayo 2 los ángulos
de dispersión cambiaran a ° a (30+)°. El rango de dispersión angular entonces será desde
(150-)° a (180-para el rayo 3. En un arreglo óptimo de ambos los tres rayos y los dos
arreglos detectores, una distribución de intensidad angular continua desde 0.02 a 165
grados es posible. Sin embargo, la alineación de múltiple de láser (como una función de
ambas intensidad y posición) es inherentemente compleja y puede ser inestable. Niveles de
intensidad no sincronizados, fluctuaciones de polarización y alguna tendencia en los tres
láseres afectará la uniformidad del patrón angular conduciendo a un posible error de
medida adicional debido a el patrón angular es creado a través de tres mediciones
independientes. En suma, debido a la naturaleza de patrones de dispersión angular, la
dimensión del detector y el espaciamiento debería ser diferente cuando detectando luz
dispersada a ángulos pequeños o a ángulos grandes. En un arreglo triláser la misma
geometría del detector tiene que ser utilizada para ambos ángulos pequeños y grandes
cuando intercambien entre láseres, y optimización de la detección de dispersión puede ser
difícil llevar a cabo. Como se estableció en la sección 3.1, simplemente incrementando el
ángulo de detección solamente resulta en mejoramiento limitado. Para algún ulterior
incremento en rango dinámico, una aproximación diferente tiene que ser utilizada, tal como
la técnica PIDS la cual utiliza ambos efectos de longitud de onda y polarización.
Otro arreglo de colección óptica, mostrado en la figura 3.17b, es conocido como inversa de
ópticos de Fourier, en el cual las posiciones relativas de la cámara de muestra y el lente de
Fourier están intercambiados. En la inversa de óptica de Fourier, las partículas no están
iluminadas por un rayo colimado; en lugar de eso, ellas están en un rayo convergiendo con
el rayo convergente determinado por la longitud focal del lente. La luz dispersada desde las
partículas no es colectada por otro lente; en lugar de eso es directamente recibida por el
detector. La limitación del tamaño del lente es por lo tanto removida. En este arreglo, un
lente con una longitud focal larga puede ser utilizado sin incremento en la longitud de la
banca óptica y el limite superior de medición más grande es posible. Si las dimensiones del
detector son incrementadas, la detección de dispersión a ángulos grandes es también
posible sin la necesidad para un segundo lente. Pero dependiendo en la localización de
partículas en el rayo, en tal arreglo, la luz dispersada desde el mismo ángulo no llegará a la
misma localización en el plano de detección. El mismo detector recibirá luz dispersada de
diferentes ángulos de dispersión dependiendo de la localización de la partícula en el rayo
convergiendo. La Figura 3.19 muestra un análisis geométrico de la relación entre la
posición de la partícula y el ángulo de dispersión para el mismo punto en el plano de
detección.
Basados en la simple geometría se pueden derivar las siguientes relaciones del rango de
dispersión angular para cada punto en el plano de detección debido a las diferentes
localizaciones de las partículas en el rayo:
De la ecuación 3.2, once l0 llega a ser mucho más pequeño que l2, el error introducido
puede ser despreciable para partículas teniendo la misma distancia hacia el plano de
detección pero en diferentes posiciones verticales (partículas 2 y 3 en la figura 3.19).
Debido a que es pequeña esta tendrá un pequeño efecto sobre los tamaños de partícula
deducidos. en el mismo detector como detectada de partículas teniendo distancias
diferentes del plano de detección (partículas 1 y 2 en la figura 3.19) es proporcional a la
distancia relativa ((l2-l1)/l1). Esto introducirá un notable error de medición si la distancia
relativa no es pequeña. En la práctica, si la distancia desde el plano de detección a la
cámara de muestra es 20 cm y el espesor de la cámara es 5 mm, la máxima incertidumbre
angular sería 2.5%. Así, cuando utilizamos óptica inversa de Fourier, la cámara de muestra
deberá ser delgada así que cualquier error de medición puede ser minimizado. Los dos
anteriores tipos de diseños (óptico de Fourier y óptico inverso de Fourier) pueden también
estar mezclados así las mejores características de ambos diseños puede ser combinada.
En un típico sistema óptico PIDS (Figura 3.21), luz de una fuente de luz blanca, por
ejemplo, una lámpara de tungsteno-halógeno, es pasada a través de filtros de varias
longitudes de onda y en dos polarizaciones. Luz colimada iluminando la celda de muestra
es grabada por un rayo monitor. La intensidad diferencial en la luz dispersada es grabada
por detectores localizados a través de un rango angular ancho, típicamente desde 60 grados
a 145 grados. Las mediciones son hechas a cada longitud de onda y polarización.
Sistema de detección.
El arreglo detector es quizá el elemento más sofisticado en un instrumento de dispersión
láser. Los detectores de silicón son comúnmente utilizados como dispositivos detectores en
analizadores de dispersión láser debido a su ancho rango dinámico( más de 7 décadas de
respuesta lineal), su alta sensibilidad (< 0.5 A/W responsivity) y la larga vida del material
de silicón. Últimamente, los detectores instrumento de carga acoplada (CCD) han sido
probados en analizadores de difracción láser debido a que ellos presentan una ventaja en
términos de su alta resolución y geometría en dos dimensiones. Sin embargo, el estrecho
rango dinámico y baja sensibilidad de los detectores CCD limita su aplicación a un rango
de tamaño más estrecho cuando es comparado con los detectores de silicón. Para partículas
grandes en la región de difracción de Fraunhofer, el patrón de difracción es la transformada
de Fourier de la forma de la proyección de la partícula. Si la imágenes de la partícula son
adquiridas por un CCD la transformada de Fourier de las imágenes, las cuales son patrones
de difracción, pueden ser computarizadas y utilizadas en el análisis de datos. De esta forma,
no es necesaria una larga banca óptica cuando se miden partículas grandes. En resumen, la
capacidad para medir la localización precisa del rayo incidente sobre el CCD elimina
parcialmente la necesidad de una fina alineación mecánica(11,12).
La geometría de un arreglo detector depende de el rango angular considerado, sensibilidad,
resolución angular y otras consideraciones adicionales. Idealmente, la superficie del
detector debe tener una reflectividad de cero. Desde la intensidad máxima central es tanto
más fuerte que aquella de la máxima subsiguiente (ver tabla 2.2) , cualquier reflexión desde
el pico central puede afectar significativamente la detección de las intensidades más bajas
en ángulos más grandes. Como se muestra en la Figura 2.4 y la Figura 2.13, para partículas
grandes una característica importante del patrón de dispersión medido logarítmicamente es
que la forma del patrón de dispersión permanece el mismo solamente con su posición en
el eje del logaritmo del ángulo desplazado lateralmente, por ejemplo, este es corrimiento
invariante. La localización de el primero de unos cuantos máximos y mínimos de los
patrones de dispersión en ángulos pequeños de dispersión para diferentes tamaños cambia
linealmente si el ángulo de detección es escalado logarítmicamente. Así, un arreglo racional
de elementos en un detector tiene una progresión logarítmica, cada detector siendo más
grande que uno precedente por una constante múltiple. El área total de cada detector
incrementa con el incremento del ángulo. La progresión angular o espaciamiento entre
detectores de ángulo pequeño es mucho más pequeña que aquella entre detectores de
ángulo grande para mantener una resolución similar sobre el rango de tamaño entero.
Módulo de muestra.
La función principal del modulo para mantener la muestra es exponer partículas a la luz sin
discriminación a su tamaño pero también sin introducción algún efecto indeseable tal como
burbujas de aire, turbulencia térmica, desgaste, o aglomeración. Un modulo de muestra
típico es compuesto de una cámara de muestra acoplada a un sistema de dispersión y
circulación. Hay tres categorías generales de sistemas de dispersión: aquellos diseños para
polvos secos, para dispersión de líquidos y para aerosoles. Dependiendo del requerimiento
específico del instrumento, este puede ser utilizado para realizar mediciones de laboratorio,
o para pruebas sobre línea (o dentro de línea). Los módulos de procesamiento de muestras
específicas serán frecuentemente diferentes. Para aerosoles, un adaptador es típicamente
puesto próximo al rayo así inhalante seco o vaporiza líquidos (desde el propulsor o bomba
de vaporización) puede ser medido a diferentes distancias de la boquilla del vaporizador.
Un activador puede ser utilizado para controlar la longitud del golpe también como
velocidad y aceleración de vaporización. Una tubería con extracción de vacío con un filtro
es colocada opuesta al flujo de partícula así que los aerosoles pueden ser colectados y
dispuestos adecuadamente.
Partículas en medio líquido (polvos secos y líquido sostenido partículas en dispersión
liquida donde el medio de dispersión puede ser cualquiera acuoso o un medio orgánico)
puede ser pre-dispersado antes de ser adicionado al módulo de muestra; o, alternativamente,
adicionado directamente dentro del líquido, frecuentemente con algún aditivo utilizado para
ayudar a la dispersión. La suspensión líquida es continuamente recirculada en un sistema
de circulación de lazo cerrado así que cada partícula puede entrar al volumen de dispersión
más de una vez y su orientación en el rayo será más probablemente aleatorizada. La parte
de circulación y dispersión del módulo de muestra puede incluir ciertos mecanismos tales
como bombas de circulación, espiral de calentamiento, una sonda ultrasónica, y barras de
agitación para una mejor ayuda a la dispersión y circulación de la partículas. Figura 3.27
muestra dos sistemas típicos de circulación de muestra para partículas en liquido.
Dos tipos de bombas de circulación pueden ser utilizadas, centrifugas y peristáltica. Un
buen sistema de circulación debe proveer homogeneidad a la muestra, circulación efectiva
y mínimo desgaste. La eficacia de cualquier sistema de circulación puede influenciar los
resultados de la medición, algunas veces significativamente. La capacidad necesaria del
modulo de muestra, el cual incluye el volumen en conjunto del deposito de muestra, tubería
y cámara de muestra, es determinado por el tamaño promedio de partícula y la anchura de
distribución de las muestras a ser analizadas. Para un sistema cerrado, la capacidad mínima
necesaria para medir representativamente una muestra particulada es proporcional al
tamaño de partícula y poli dispersión. El tamaño de partícula mas grande y la distribución
mas ancha, la cantidad mas grande de muestra(y así también la mas diluida) es requerida.
Una capacidad de entre 0.1 –1 litro es frecuentemente adecuada. Por otra parte, para
muestras de gran valor o para partículas muy pequeñas, algunas veces solamente una
cantidad pequeña (0.01g) de espécimen es disponible. El modulo de muestra entonces
requiere solamente de una capacidad pequeña (<50 ml, figura 3.27b).
Instrumentación calibración y verificación.
En el común entendimiento de calibración, el procedimiento de calibración puede
involucrar la medición de algunos materiales de referencia cuyo tamaño ha sido
cuidadosamente determinados y verificados por otras técnicas de referencia, y la constante
de calibración del instrumento será ajustada a igualarse al valor probado. Sin embargo,
desde que la difracción láser es una tecnología de medición absoluta no es requerido utilizar
materiales de referencia para calibrar el instrumento, aunque uno puede utilizar estos
materiales para verificar la validez y estado de un instrumento. Para un analizador de
difracción láser, la calibración esta principalmente relacionada a la alineación de la óptica
(p.e., láser y detectores). Puesto que en muchos casos los detectores son grabados sobre un
circuito de tablero ellos no son componentes móviles individuales. La tarea es simplemente
alinear el láser, enfocar el lente, y el arreglo detector.
El alineamiento preciso del arreglo detector es crítico para obtener resultados correctos,
especialmente para partículas grandes. Tomando la derivada de la ecuación 2.20,el error
relativo de medición introducido debido al error en el ángulo de dispersión es linealmente
proporcional al diámetro de la esfera en la región de Fraunhofer (l = 0.75 m):
Un 0.01 grado de error en el ángulo de dispersión producirá un 9.5% de error en tamaño
para una partícula de 500 m, pero producirá solamente un 0.095% de error (el cual es
despreciable), para una partícula de 5 m. Un análisis detallado de desalineación óptica en
instrumentos utilizando la mitad de un anillo dando forma al detector indica que para
mantener el error de medición debido a alguna desalineación menor que 0.5%, la alineación
transicional (excentricidad) tiene que ser mejor que 2.5° cuando es comparada con el óptico
diseñado idealmente.(19)
Hay tres técnicas comunes utilizadas en alineación de instrumentos. Una es utilizar un
control esférico o estándar que es grande y mono disperso en tamaño (a unos cuantos
cientos de micras). Si un instrumento es alineado el patrón de difracción corresponderá al
patrón predicho de la teoría. Este esquema confía sobre una muestra ideal que es
frecuentemente cara obtener. Todos los factores operacionales tienen que ser considerados,
tales como concentración, dispersión, circulación, etc.; y el control que se tiene para
reemplazar la muestra en la cámara de muestra para realizar la alineación. Así, este
esquema es frecuentemente utilizado solamente para validar y no para alinear
rutinariamente el instrumento. La segunda técnica es utilizar el rayo incidente hacia delante
como estándar de alineación, como es descrito es la figura 3.31.
Aquí tres detectores triangulares sirven como los blancos de alineación. Para un punto
enfocado desde el raro incidente, perfectamente alineados solamente serán aproximados
una vez los tres detectores, detectando la misma cantidad de intensidad. Este método es
basado en una suposición que el punto focal tiene una distribución de intensidad
centralmente simétrica y es perfectamente circular. Sin embargo, debido a las
imperfecciones en los lentes y las fuentes de luz asimétricas del punto focal es inevitable y
es único para cada instrumento puesto que la óptica en cada instrumento es diferente. Así,
aunque cada instrumento puede lograr cierto grado de reproducibilidad y precisión después
de la compensación por cualquier asimetría, una muestra medida utilizando diferentes
instrumentos puede dar diferentes resultados porque la óptica en cada instrumento tiene sus
propias características. La típica reproducibilidad instrumento-instrumento es alrededor de
un pequeño porcentaje de instrumentos que son alineados utilizando esta técnica.
El tercer método es utilizar un retículo de campo oscuro. Un retículo de campo oscuro
puede ser un orificio circular de unos cuantos cientos de micra de diámetro (o un conjunto
de orificios) en una hoja de metal o un conjunto de puntos circulares negros en una hoja
transparente. Ambos orificios transparentes o puntos negros difractan luz precisamente
igual como partículas esféricas grandes teniendo el mismo tamaño. Insertando el retículo
dentro del rayo el patrón de dispersión de los orificios o puntos puede ser utilizado para
realizar la alineación. Si el rayo es mal puesto desde el centro entonces las intensidades
detectadas en los tres detectores (figura 3.31) o cada cuadrante de detectores (figura 3.23)
será distorsionada diferentemente.
Adquisición de datos y análisis.
Conforme una muestra es introducida en la cámara de muestra, está comienza a dispersar
luz fuera de su patrón directo a lo largo del eje óptico, y la señal en el rayo monitor decrece.
Cuando hay una suficiente cantidad de partículas en la cámara de muestra crea una buena
señal en los fotodetectores, pero no tanto como para causar dispersión múltiple, las
condiciones son optimizadas y se da inicio a la medición. Durante cada “barrido”, la
intensidad de luz es convertida a corriente eléctrica por los fotodetectores, y la señal de
cada detector es procesada por un circuito de amplificación dedicado o es conectado a
multiplexers y procesado por un solo circuito amplificador que cicla a través de todos los
detectores secuencialmente. Las señales son entonces digitalizadas y transferidas a la
computadora. Cada medición consiste de muchos barridos que pueden tomar una fracción
de segundo o más largo dependiendo en el diseño de la electrónica. Los datos de cada
barrido son acumulados y escritos a un archivo de datos y salvados o sacados cuando la
medición es completada. Los valores en este archivo incluyen típicamente la dispersión de
las partículas y el medio también como alguna luz desviada de la óptica. Pueden también
incluir ruido de la electrónica. Así, típicamente, son necesarias dos mediciones de
“calibración”. En la primera, algunas veces llamada medición corriente oscura, todas las
luces de iluminación son apagadas. Cualquier señal grabada entonces resultará puramente
de la electrónica. La siguiente, en la medición de fondo, las luces de iluminación son
encendidas pero la muestra no ha sido introducida todavía. La señal ahora recibida es la
suma del ruido electrónico más alguna dispersión del medio y alguna luz desviada. La
corriente oscura y de fondo en cada detector tiene que ser sustraída apropiadamente de la
señal obtenida de cada detector durante la medición de la muestra. Debido a la inevitable
inhomogeneidad entre las superficies del detector individual y los circuitos de
amplificación, la señal de cada detector tiene que ser escalada por alguna conversión de
conjunto o factor de amplificación para aquel detector, el cual es predeterminado y además
normalizado por el área del detector. Finalmente, un conjunto de flujo de dispersión f(,
sip) es obtenido y listo para el proceso de recuperación de tamaño.
Alineación del instrumento y validación.
Después de la alternación del encendido, el instrumento debe estar dando suficiente tiempo
para que la fuente luz se caliente (típicamente 0.5-2 hrs.) a fin de una intensidad de luz
estable pueda ser entregada. Este periodo también permite al instrumento alcanzar un
estado de equilibrio entre la temperatura ambiente y la temperatura interna de la banca
óptica. Si esto, con frecuencia la alineación tiene que ser realizada debido a algunos
cambios de temperatura en varias partes ópticas. Antes del análisis de muestra, el
instrumento debe estar en una condición limpia y bien cuidado, alineado y validado por
referencias o material de control. Si un cambio de lente o posición de lente es necesitado
para un rango de medición requerido, como es el caso en varios diseños de instrumentos,
más cuidadosamente alineados es necesario asegurarse que todas las partes ópticas están
correctamente posicionadas para lograr la precisión y exactitud especificadas.
Preparación de la muestra e introducción.
Ignorando las alteraciones teóricas que pueden originarse de la aplicación incorrecta del
índice de refracción y alguna divergencia de las partículas de las restricciones teóricas, en
mediciones realizadas por instrumentos comerciales estado de arte modernos, la mayor
fuente de errores sistemáticos es usualmente causada por inapropiada preparación de la
muestra. Fuentes de inapropiada preparación de muestra incluye 1) muestreo incorrecto en
tal caso el espécimen carecerá de una buena representación estadística del material en
bulto; 2) dispersión incompleta de las partículas; y 3) communition partícula, disolución, o
evaporación. Estas posibles fuentes de error pueden ser evitadas a través del uso de un
procedimiento apropiado de preparación de muestra a fin de que una suspensión estable
pueda ser presentada para medición. La cantidad de muestra entregada al instrumento debe
ser controlada, usualmente vía la razón de obscuración o transmisión de luz. Muchos
instrumentos comerciales tienen un rango de obscuración especificada que producirá los
mejores resultados. Para dispersiones secas, desde que las partículas pasan a través del
volumen de dispersión solamente una vez, necesita estabilizarse un flujo de mas para ser
mantenido. Para dispersiones líquidas, evitando o removiendo burbujas de aire es uno de
los más pasos comúnmente pasados por alto en la obtención de un buen resultado.
Burbujas de aire en dispersión líquida.
Una de las fuentes de error experimental sutiles en mediciones de partículas sostenidas en
líquido es creada por burbujas de aire. Dado que las burbujas de aire tienen un índice de
refracción relativo grande en suspensión acuosa, dispersan luz tal como partículas sólidas.
Consecuentemente, serán dimensionadas y asimétricas la verdadera distribución de tamaño
de partícula. Si las burbujas de aire no son removidas completamente la medición de ellas
en muchos casos no afectará el resultado dado que su influencia puede ser compensada por
la medida de fondo antes de adicionar la muestra. Con frecuencia, cuando el tamaño de la
muestra no está en la misma región como las burbujas de aire, el usuario puede descartar el
pico de burbuja de aire. Sin embargo, si burbujas de aire están presentes durante la
medición del fondo a pesar de eso desaparecen sobre el curso de la medición de la muestra
debido a su escape durante la circulación o por otras razones, datos negativos pueden ser
creados en el patrón de flujo de la muestra.
La mayoría de las burbujas de aire disueltas tienen orden de tamaños de 60-200 m,
dependiendo del tamaño , cantidad y naturaleza de la muestra y también la fuente de agua.
Por ejemplo, burbujas de aire tienen un orden de tamaño de 40-5000 m en agua, pero de
8-1000 mm en medios altamente viscosos. En algunos casos, las burbujas de aire en
cantidades excesivas pueden ser visibles, especialmente si la presión de agua en las líneas
de abasto es alta. Esto es debido a que el factor aquel de gas disuelto bajo presión alta será
liberado cuando la presión es reducida; sacando el aire a presión atmosférica. Uno puede
inspeccionar las cámaras de muestra con linterna o revisar el puerto de acceso de la muestra
o superficie del disolvente para burbujas. Burbujas de aire grandes pueden usualmente ser
removidas por circulación del líquido a través el módulo de muestra por unos cuantos
minutos a velocidades más bajas de la bomba o por sonido. En la Tabla 3.3 engloba las
fuentes más comunes de burbujas de gas (aire) y las formas para evitarlas.
Fuente de burbujas de gas Forma de evitar burbujas de gas
Gases disueltos (incremento en temperatura
y/o decremento en presión causa su salida
del agua)
Utilizar agua embotellada, filtrada
cuandoquiera que sea posible. Agua de llave
y desionizada han mostrado ser gaseosas, si
el agua embotellada y filtrada no es
disponible, permitir que el agua alcance
temperatura ambiente antes de la medición.
Excesivo surfactante, dispersante o residuos
de limpiadores
Reducir la cantidad de dispersante
cuandoquiera sea posible.
Viscosidad del medio Tomar cuidado extremo cuando maneje
medios viscosos(verter a lo largo del lado
del contenedor; pipetear lentamente, etc);
dejar el sistema por 1-2 horas (o toda la
noche) con la bomba apagada para permitir
que la burbujas suban a la superficie o se
disipen.
Huecos o aberturas en mangueras o
accesorios
Revisar mangueras, pliegues, y
desgarraduras y línea de accesorios de celdas
para estreches, sarro, o acumulación de
partículas
Capítulo II Detalles Experimentales
A. Separación de Partículas
Se adquirieron muestras de esferas de sílice de diferentes tamaños las cuales tenían
especificado el diámetro. El tamaño no estaba certificado, por lo que se les sometió a un
tamizado en mallas de diferentes números. Las mallas disponibles y utilizadas separaron las
partículas en los siguientes rangos:
Partículas 44- 62 m (malla No. 325 ) Partículas 62.5-74 m (malla No. 250 ) Partículas 74- 105 m (malla No. 185 ) Partículas 105-? m (malla No. )
B. Determinación de Distribución de Tamaño de Partícula por un Equipo Comercial
El grado de detalle en la distribución de tamaño de partícula que la dispersión de luz provee
es mucho mayor del que se puede obtener por tamizado, y permite la realización de
estudios que serían imposibles a través de este último. Por lo que, para la determinación del
tamaño de partícula se empleó la técnica de dispersión de luz láser utilizando un
granulómetro comercial (CILAS 400). Esta técnica es usado con éxito en industrias tales
como la del cemento y aerosol, y más recientemente en la industria alimenticia. Un haz de
láser ilumina una región donde se encuentran las partículas suspendidas y un arreglo de
fotoceldas provee la dependencia angular de la luz dispersada. A través de un software el
patrón de dispersión es transformado en una distribución de tamaño de partícula los
cálculos son realizados utilizando la teoría de dispersión de Mie o alguna aproximación.
10 100 1000
Tamaño (m )
SiO502
SiO60
SiO60
Capítulo III Resultados
A. Descripción del Equipo Desarrollado
A.1. Intentos Preliminares
En este capítulo se describe el equipo que se desarrolló para poder obtener resultados
experimentales. Dependiendo de las especificaciones o aplicaciones deseadas, hay
diferencias en cómo diseñar los mecanismos ópticos, electrónicos y el software utilizado en
el instrumento. En este caso, el objetivo es medir dispersión de luz angularmente, por lo
que de inicio se necesita una fuente de luz, un detector y una celda para la muestra.
La fuente de luz utilizada fue un láser de He-Ne con una longitud de onda de 632.8 nm y
una potencia de 50 mW, el rayo de luz de este tipo de láser es circular con simetría radial y
es colimado con divergencia pequeña (< 2 mrad). Un láser He-Ne produce una luz
monocromática estable y puede tener una vida esperada superior a 20,000 horas.
El detector utilizado tiene las siguientes características:
El diseño de la celda de dispersión fue un difícil punto de resolver, debido a que se
probaron varios prototipos en acrílico de geometría cúbica. Uno de ellos se describe en la
Figura). La tapa de sellado cuenta con un sistema de carga y descarga de muestra, al cual se
le adapto una bomba de recirculación y un sistema de agitado magnético; en cuatro de sus
lados tiene unas ventanas de vidrio de aproximadamente 1.5 cm. * 1.5 cm. Las desventajas
que se encontraron en este prototipo fueron que la absorción de luz por el agua no permitió
realizar mediciones al frente ni al lado (0º y 90), siendo posible solamente metir a 180º. la
acumulación de muestra en las esquinas de la celda por lo que la solución no era
homogénea, las mediciones que se realizaron solamente eran a 90°, 180°, 270° por lo que
no se podía obtener información a ángulos más pequeños y además debido al volumen de
muestra que se estaba manejando, las distancias entre el detector y las partículas era
demasiado grande como para que se detectara la dispersión de las partículas.
Posteriormente se diseño otra celda en el mismo tipo de material, este prototipo fue
cilíndrico de diámetro aproximadamente a 3 cm., con entrada de muestra en la parte
superior y salida en la parte inferior, la muestra se hacia pasar a través de la celda con
ayuda de una bomba además de un magneto agitador dentro de la celda para mantener
homogeneidad de la solución, al igual que el primer prototipo consta de cuatro ventanas de
vidrio por una de las cuales se hizo incidir el rayo láser y por las otras se detecta la
dispersión a 90°, 180° y 270°, en está celda se tuvieron semejantes inconvenientes entre los
cuales están los siguientes: el sistema de recirculación y homogeneización de la muestra no
fue efectivo, la información de dispersión fue difícil de obtener y normalmente es muy baja
la señal de dispersión a ángulos de noventa grados. Además de que causaba dificultad el
poder alinear el detector y la fuente de luz.
A.2. Descripción de la Celda
La celda que finalmente se utilizó fue un tubo de vidrio de 2.4 cm de diámetro y de largo 20
cm, montado en una base circular de 30 cm de diámetro, la cual tiene un orificio central
apenas del diámetro del tubo para mantenerlo fijo y sobre esta un disco con las mismas
características que la base con la única diferencia que el orifico central es un poco más
grande lo cual le da libertad de giro, este disco lleva instalada una mesa x-y-z, a su vez esta
mesa tiene adaptado un sistema que sostiene al tubo en una posición vertical y así mismo
un detector el cual lleva antepuesto láminas con pequeños orificios, que se describirán más
adelante debido a que son parte de la óptica utilizada para captar la luz dispersada. Este
equipo tiene muchas ventajas con respecto a los anteriores diseños debido a que se pueden
realizar lecturas desde 0° a 160°, además de la facilidad de alineación de todo el sistema, se
ocupan volúmenes pequeños de solución (60 ml) y la muestra se mantiene homogénea tan
solo por agitación magnética.
Para la adquisición de datos se le adapto al detector un pre-amplificador y este a su vez
llevando la señal captada a un amplificador lock.in, que a través de un programa
desarrollado en Qbasic se controlan las condiciones en que se llevan cabo las mediciones y
se pueden gravar los datos obtenidos en un disco flexible. Con este programa se le da
nombre al archivo de la medición que se esta llevando a cabo, se estipula el barrido angular
y con cuantos pasos de avance, la frecuencia con la que va a ser cortado el rayo de luz y el
número de promedios en el tiempo con el que van a ser gravados los datos de salida.
B. Resultados experimentales
B.1. Dependencia con la Concentración
Las siguientes graficas muestran la dispersión de luz por diferentes partículas en diferentes
concentraciones, se puede observar que la intensidad de dispersión aumenta conforme lo
hace la concentración así también se puede ver que partículas pequeñas dispersan más que
partículas más grandes esto es claro comparando la intensidad de dispersión a una
concentración de 0.01% para los diferentes tamaños de partícula.
mejor medición que con balanza de diezmilésimas mostrar figura
0 10 20 30 40
0.0
0.1
0.2
0.3
Inte
nsi
dad
Ángulo (grados)
Partículas 44 m 0.01% 0.02% 0.03% 0.04% 0.05% 0.06% 0.07% 0.08% 0.09% 0.10%
Figure 3. ert4w5t t
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5
0 .0 0
0 .0 5
0 .1 0
0 .1 5
0 .2 0In
ten
sid
ad
Á n g u lo ( g r a d o s )
P a r t íc u la s 6 2 .5 m 0 .0 1 % 0 .0 2 % 0 .0 3 % 0 .0 4 % 0 .0 5 % 0 .0 6 % 0 .0 7 % 0 .0 8 % 0 .0 9 % 0 .1 0 %
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5
0 .0 0
0 .0 5
0 .1 0
0 .1 5
0 .2 0
0 .2 5
0 .3 0
0 .3 5
Inte
ns
ida
d
Á n g u lo ( g r a d o s )
P a r t í c u la s 7 4 m 0 .0 1 % 0 .0 2 % 0 .0 3 % 0 .0 4 % 0 .0 5 % 0 .0 6 % 0 .0 7 % 0 .0 8 % 0 .0 9 % 0 .1 0 %
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5
0 .0 0
0 .0 5
0 .1 0
0 .1 5
0 .2 0
Inte
ns
ida
d
Á n g u lo (g ra d o s )
P a r t íc u la s 1 0 5 m 0 .0 1 % 0 .0 2 % 0 .0 3 % 0 .0 4 % 0 .0 5 % 0 .0 6 % 0 .0 7 % 0 .0 8 % 0 .0 9 % 0 .1 0 %
B.2. Linealidad
B.3. Dependencia con el Tamaño
Para analizar estos resultados se utilizó la Teoría de Mie, la cual se describe en el siguiente
capítulo.
Capítulo IV Teoría de Mie
A. Descripción General
Quizá el más importante problema que se resuelve exactamente en la teoría de absorción y
dispersión por pequeñas partículas es aquel para una esfera de radio e índice de refracción
arbitrario. Aunque la solución formal a este problema ha sido disponible por muchos años,
solamente desde el advenimiento de las computadoras digitales ha sido una manera practica
para un detallado cálculo. En 1908 Gustav Mie desarrolló la teoría en un esfuerzo por
entender la variedad de colores en la absorción y dispersión exhibida por pequeñas
partículas coloidales de oro suspendidas en agua. Cerca del mismo tiempo Peter Debye
consideró el problema de la presión de radiación ejercida sobre pequeñas partículas en el
espacio. El trabajo de Debye, el cual fue el tema de su disertación doctoral, es una de las
primeras aplicaciones de la teoría a un problema astrofísico. Ninguno de los dos Mie o
Debye fue el primero en construir una solución al problema de la esfera; sin embargo,
establecer quien fue el primero no es una tarea fácil, aunque Lorenz es un fuerte
contendiente para este honor. aceptaremos el término más común, la teoría de Mie.
Mientras que la matemática de la teoría de Mie es algo difícil pero directa, la física de la
interacción de una onda electromagnética con una esfera es extremadamente complicada.
Es un asunto relativamente fácil escribir la expansión en series infinitas de los campos
electromagnéticos a todos los puntos del espacio aún más fácil en estos días es producir
grandes cantidades de cálculos de salida de Mie. Sin embargo, una tarea más difícil, es
visualizar los campos, categorizar el significado de los modos electromagnéticos dentro y
fuera de la esfera, y adquirir algún sentido intuitivo de cómo una esfera de un tamaño dado
y propiedades ópticas absorbe y dispersa luz.
Por una parte, hay aquellos quienes se burlan del uso de la teoría de Mie para describir
algunas propiedades de partículas no esféricas, el tipo de partículas que probablemente
habitan la atmósfera planetaria y el medio interestelar; por otra parte, hay aquellos quienes
incuestionablemente utilizan la teoría de Mie para cualquier y cada aspecto de interacción
de luz con tales partículas. Ninguna de las dos actitudes esta bien esclarecida. La teoría de
Mie, aunque puede ser limitada, provee una descripción de primer orden de los efectos
ópticos en partículas no esféricas, y describe correctamente muchos efectos que no son
intuitivamente obvios.
B. Expansión de una Onda Plana en Armónicos Esféricos
porqué
C. Solución a las ecuaciones de onda vectoriales
porqué
Un campo electromagnético armónico en un medio lineal, isotrópico, homogéneo satisface
las ecuaciones de onda:
1) ,0
,022
22
HkH
EkE
donde: k2 = , y serán de divergencia nula:
En suma, E y H no son independientes:
2) EiH
HiE
Se supone que, dado una función escalar y un vector constante arbitrario c, se construye
una función vectorial M:
3) .cM
La divergencia del rotacional de cualquier función vectorial desaparece:
Si nosotros utilizamos las identidades vectoriales
.0
,0
H
E
.0 M
nosotros obtenemos
Por lo tanto, M satisface la ecuación de onda vectorial si es una solución a la ecuación de
onda escalar
podemos escribir M = -c × , lo cual muestra que M es perpendicular a c.
Construimos de M otra función vector
Con divergencia cero, la cual también satisface la ecuación de onda vectorial
Nosotros también tenemos
,
,
BAABABBABA
BAABABBABA
2222 kcMkM
.022 k
k
MN
.022 NkN
Por lo tanto, M y N tienen todas las propiedades requeridas de un campo electromagnético:
ellos satisfacen la ecuación de onda vectorial, estas son la divergencia libre, el rotacional
de M es proporcional a N, y el rotacional de N es proporcional a M. De esa manera, el
problema de encontrar soluciones a las ecuaciones de campo reduce relativamente a un
problema de encontrar soluciones a la ecuación de onda escalar. llamaremos a la función
escalar una función generadora para los vectores armónicos M y N; el vector c es
llamado algunas veces el vector guía o piloto.
La selección de la función generadora es dictada por cualquier simetría que pueda existir
en el problema. Nosotros estamos interesados en la dispersión por una esfera; por lo tanto,
nosotros escogemos funciones que satisfagan la ecuación de onda en coordenadas polares
esféricas r, , (Fig. 1.1). La selección del vector piloto es algo menos obvio. Nosotros
podemos escoger algún vector arbitrario c. Sin embargo, si se toma
Donde r es el vector radio, entonces M es una solución a la ecuación de onda vectorial en
coordenadas polares esféricas. Por lo tanto, en problemas que involucran simetría esférica,
nosotros tomaremos M dada en (1) y la N asociada como nuestras soluciones
fundamentales a las ecuaciones de campo. Notar que M es en todas partes es tangencial
para cualquier esfera |r| = constante(por ejemplo, r·M = 0).
La ecuación de onda escalar en coordenadas polares esféricas es
.kMN
,rM
.0sin
1sin
sin
11 22
2
222
2
krrr
rrr
2
Nosotros buscamos soluciones particulares a ( 2) de la forma
La cual cuando es sustituida en (2) produce las tres ecuaciones separadas:
Donde las constantes de separación m y n son determinadas por condiciones afiliadas que
debe satisfacer. Nosotros primero notamos que si, para una m dada, m es una solución a
(3), entonces -m no es una solución linealmente independiente. Las soluciones linealmente
independientes son
Donde los subíndices e y o denotan par e impar respectivamente. Nosotros requerimos de
que sea una función de valor único del ángulo azimutal
,,, rRr
,022
2
md
d
,011
2
2
sen
mnn
d
dsen
d
d
sen
01222
Rnnrkdr
dRr
dr
d
3
4
5
,
,cos
senm
m
o
e
2im
para toda excepto, posiblemente, en un punto sobre la frontera entre regiones con
diferentes propiedades. Sin embargo, no necesitamos preocuparnos con tales puntos de
frontera; estamos solamente interesados en soluciones a la ecuación de onda escalar en
puntos interiores de regiones homogéneas. La condición (6) entonces requiere que m sea un
entero o cero; valores positivos de m son suficientes para generar todas las soluciones
independientes a (3).
Las soluciones a (4) que son finitas a = 0 y = son funciones asociadas de Legendre de
primer tipo Pnm(cos) de grado n y orden m, donde n = m, m + 1,... Estas funciones son
ortogonales:
donde = cos y n’n, la delta de Kronecker, es la unidad si n = n’ y cero en caso contrario.
Cuando m = 0 las funciones asociadas de Legendre son los polinomios de Legendre, los
cuales son denotados por Pn. Si nosotros introducimos la variable adimensional = kr y
definimos la función Z = R, (5) llega a ser
Las soluciones linealmente independientes para (8) son las funciones Bessel de primer tipo
y segundo tipo J y Y, donde el orden = n + 1/2 es integral media. Por lo tanto, las
soluciones linealmente independientes para (5) son las funciones esféricas Bessel
,
!
!
12
2'`'
´1
1 mn
mn
ndPP
nn
m
n
mn
7
02
12
2
Zn
d
dZ
d
d
8
,2
,2
2/1
2/1
nn
nn
Yy
Jj
10
9
Donde el factor constante /2 se introduce por conveniencia. Las funciones Bessel
esféricas satisfacen las relaciones de recurrencia
Donde zn es cualquier jn o yn. De los dos primeros ordenes
funciones de más alto orden son generadas por recurrencia. Note que para todos los n
ordenes, yn(kr) llega a ser infinito cuando r se aproxima al origen. En Fig. 1.2 se muestra
jn(x) y yn(x)(n = 0,1,2,3) para valores reales de x, aunque las funciones Bessel esféricas no
son restringidas a argumentos reales.
Alguna combinación lineal de jn y yn es también una solución a (5). Podemos también
tomar como soluciones fundamentales para (5) a alguna de las dos combinaciones
linealmente independientes. Tales combinaciones merecen especial atención, las funciones
Bessel esféricas de tercer tipo (algunas veces llamadas funciones Hankel esféricas):
,112
,12
11
11
nnn
nnn
znnzzd
dn
zn
zz
12
11
,cos
,cos
,cos
,
210
210
senyy
senj
senj
Se ha hecho suficiente trabajo para construir funciones generadoras que satisfacen la
ecuación de onda escalar en coordenadas polares esféricas:
Donde zn es alguna de las cuatro funciones Bessel esféricas jn, yn, hn
(1) o hn(2).
Además, porque de la unidad de las funciones cos m, sen m, Pnm(cos), zn(kr), alguna
función que satisfaga la ecuación de onda escalar en coordenadas polares esféricas puede
ser expandida como series infinitas en las funciones (15) y (16). Los vectores armónicos
esféricos generados por ψemn y ψomn son
.
,2
1
nnn
nnn
iyjh
iyjh
14
13
,cos
,coscos
krzPsenm
krzPm
nm
noemn
nm
nemn
16
15
,,
,,
k
MN
k
MN
rMrM
omnomn
emnemn
omnomnemnemn
Los cuales, en forma de componentes pueden ser escritos
donde la componente r de Nmn ha sido simplificada utilizando el hecho de que Pnm satisface
(4). Cualquier solución a las ecuaciones de campo pueden ahora ser expandidas en series
infinitas de las funciones (17)-(20). Así, armados con los vectores armónicos, se esta listo
para atacar el problema de dispersión por una esfera arbitraria.
D. Expansión de una Onda Plana en Armónicos Esféricos.
La expansión de una onda plana en armónicos esféricos es un procedimiento largo, aunque
directo. El problema con el cual estamos involucrados es la dispersión de una onda plana
polarizada en x, escrita en coordenadas polares esféricas como
,1
sen
coscos
1cossencos1sen
,1
sen
cossen
1coscoscos1cos
,cos
sencoscossen
,cos
coscossensen
êzd
dPmm
êzd
d
d
dPmêPnnm
zN
êzd
dPmm
êzd
d
d
dPmêPnnm
zN
êzd
dPmêzPm
mM
êzd
dPmêzPm
mM
n
mn
n
mn
rm
nn
omn
n
mn
n
mn
rm
nn
emn
n
mn
nm
nomn
n
mn
nm
nemn
20
19
18
17
,cos0 x
ikri êeEE 21
donde
para una esfera arbitraria. El primer paso a la solución de este problema es la expansión de
(21) en armónicos esféricos vectoriales:
Puesto que senm es ortogonal a cosm’ para toda m y m’ se entiende que Memn y Momn son
ortogonales en el sentido que
Similarmente, (Nomn, Nemn), (Momn, Nomn) y (Memn, Nemn) son un conjunto de funciones
mutuamente ortogonales. Las propiedades de ortogonalidad de cosm y senm significan
que todos los vectores armónicos de diferente orden m son mutuamente ortogonales.
Para probar que las funciones (Memn, Nomn) y (Nemn, Momn) son ortogonales, se debe mostrar
que la integral desaparece para toda n y n’.
La función asociada de Legendre Pnm esta relacionada a la m-esima derivada del
correspondiente polinomio de Legendre Pn,
êsenêêsenê rx coscoscos 22
.0
m mn
omnomnemnemnomnomnemnemni NANAMBMBE 23
.',,',02
0 0 ''
nnmmtodaddsenMM omnnem
0 0''
' mn
mn
mnm
n
mnm
n PPdd
dPP
d
dPPm )24(
donde = cos, del cual se entiende que Pnm desaparece para = 0 y = excepto cuando
m = 0. Por lo tanto, (24) desaparece para toda m, n y n’. La demostración de las relaciones
de ortogonalidad permanece
donde n n’ y m 0, requiere mostrar que
Porque ambos Pnm y Pn’’
m satisfacen (4), tenemos después una pequeña manipulación
de la cual, junto con las relaciones de ortogonalidad para los Pnm, (26) sigue fácilmente.
Cuando m = 0, Nomn y Momn desaparecen; la ortogonalidad del Memn y el Nemn cuando m = 0
también sigue de (26) y (27).
,1
22m
nm
mmn d
PdP
25
,0
,0
2
0 0 '
2
0 0 '
2
0 0 '
2
0 0 '
ddsenNNddsenNN
ddsenMMddsenMM
omnomnemnemn
omnomnemnemn
.00 2
'2'
dsensen
PPm
d
dP
d
dP mn
mn
mn
mn 26
,
1''12
''
'2'2'
mn
mnm
n
mn
mn
mn
mn
mn
mn
mn
Pd
dPsenP
d
dPsen
d
d
senPPnnnnsen
PPm
d
dP
d
dPsen
27
La ortogonalidad de todos los vectores armónicos esféricos, la cual fue establecida en la
sección precedente, implica que los coeficientes en la expansión (23) son de la forma
con similares expresiones para Bomn, Aemn y Aomn. Sigue de (17), (20), y (22), junto con la
ortogonalidad del seno y el coseno, que Bemn = Aonm = 0 para toda m y n. Además los
coeficientes permanecen desapareciendo a menos que m = 1 por la misma razón. El campo
incidente es finito en el origen, el cual requiere que jn (kr) sea la función esférica Bessel
apropiada en las funciones generadoras ψo1n y ψe1n; desechamos yn porque tiene un mal
comportamiento al origen. Se anexa el superíndice (1) al vector armónico esférico para el
cual la dependencia radial de las funciones generadoras es especificada por jn.
Así, la expansión para Ei tiene la forma
La integral en el denominador de la expresión para Bo1n puede ser fácilmente evaluada de
(27); el numerador, sin embargo, contiene la integral
De (25) se tiene
,2
0 0
2
2
0 0
ddsenM
ddsenMEB
emn
emni
emn
1
111
111
nnenenonoi NAMBE 28
0
cos1 .dePsend
d in
29
donde los polinomios de Legendre de grado n satisfacen (4):
Así, (29) es proporcional a
El paso final es la generalización de Gegenbauer de la integral de Poisson:
En consecuencia se llega a las expansiones de coeficientes
,1
d
dPP n
n 30
.sen1sen
n
n Pnnd
dP
d
d
31
0
cos .sen dPe ni
0
cos sen2
dei
j in
n
32
.1
1201
nn
nEiB n
no 33
Las expansiones de coeficientes Aemn son algo menos tratables. Por ejemplo al enfrentarse
con la integral
la cual puede ser integrada por partes dando
donde se ha usado también (30), (31), y (32).
La integral más escabrosa de esta parte, sin embargo, es
la cual puede ser planeada primero multiplicando (32) por y entonces diferenciando la
expresión resultante con respecto a . Después un poco de buen álgebra se obtiene
para (35). Las expansiones de coeficientes entonces siguen directamente:
0
cos1 ,sensen deP in
34
,
12
i
ijnn nn
,sensen
cos cos
0
11
de
P
d
dP inn
35
n
n
jd
d
i
inn
12
La expansión deseada de una onda plana en armónicos esféricos
no fue conseguida sin dificultades. Esto es indudablemente el resultado de la indisposición
de la onda plana que viste una apariencia en la cual se considera incómoda; expandiendo
una onda plana en funciones de onda esféricas es algo como tratar forzar un cuadrado
dentro de un hueco redondo. Sin embargo, si se ha seguido cuidadosamente la derivación
de (37), y así adquirido virtud a través del sufrimiento, puede obtener como resultado algo
de comodidad del conocimiento que este es relativamente claro navegar de aquí en
adelante.
E. Los campos interno y dispersado
porqué
Suponer que una onda plana polarizada en x incide sobre una esfera homogénea e
isotrópica de radio a (fig). Como se ha mostrado en secciones precedentes, el campo
eléctrico incidente puede ser expandido en unas series infinitas de vectores armónicos
esféricos. El correspondiente campo incidente es obtenido del rotacional de (37):
.1
1201
nn
niiEA n
ne 36
1
11
110 1
12
nneno
ni iNM
nn
niEE 37
.
1
12
1
11
110
n
nonen
i iNMnn
niE
kH
38
Se puede también expandir en vectores armónicos esféricos el campo electromagnético
dispersado(Es, Hs) y el campo (E1, H1) dentro de la esfera. A La frontera entre la esfera y el
medio circundante se le imponen las condiciones (3.7):
Las condiciones de frontera (39), la ortogonalidad de los vectores armónicos, y la forma de
la expansión del campo incidente dicta la forma de las expansiones para el campo
dispersado y el campo dentro de la esfera: los coeficientes en estas expansiones
desaparecen para toda m 1. La finitud al origen requiere que se toma jn(k1r), donde k1 es
el número de onda en la esfera, como las apropiadas funciones esféricas Bessel en las
funciones generadoras para los vectores armónicos dentro de la esfera. Así, la expansión
del campo (E1, H1) es
donde En = in E0(2n + 1) / n(n + 1) y 1 es la permeabilidad de la esfera.
En la región fuera de la esfera jn y yn son bien portadas; por lo tanto, la expansión del
campo dispersado envuelve ambas de estas funciones. Sin embargo, esto es conveniente si
ahora se intercambia nuestra lealtad a las funciones esféricas Hankel hn(1) y hn
(2). Se puede
mostrar que solamente una de estas funciones es requerida teniendo en cuenta las
expansiones asintóticas de las funciones Hankel de orden para valores grandes de
011 rsirsi êHHHêEEE 39
,
,
1
11
11
1
11
1
11
111
nnonnenn
nnennonn
NicMdEk
H
NidMcEE
40
donde (, m) = ( + m + 1/2)/m! (- m + 1/2) y es la función gamma; (n + 1) = n! si
n es un entero no negativo. Sigue de (41) que las funciones esféricas Hankel son
asintóticamente dadas por
La primera de estas expresiones asintóticas corresponde a una onda esférica saliente; la
segunda corresponde a una onda esférica entrante. Si el campo dispersado está a distancias
grandes de la partícula será una onda saliente, entonces solamente hn(1) debe ser utilizada en
las funciones generadoras. Cuando se considera el campo dispersado a distancias grandes
también se necesitará la expresión asintótica para la derivada de hn(1); sigue de la identidad
y ( 42) que
,2
,2
,2
,12
0
422
0
421
mm
i
mm
mi
i
meH
i
meH
41
.
,
2
2
1
ikr
eikrh
nkr
ikr
eikrh
ikrn
n
ikrn
n
43
42
12
1 11
n
znnzz
d
d nnn
.21
nei
d
dh inn
44
La expansión del campo dispersado es por lo tanto
donde se agrega el superíndice (3) a los vectores armónicos esféricos para los cuales la
dependencia radial de la generación de funciones es especificada por hn(1).
F. Funciones dependientes del ángulo. casi todo está hecho, pero aún es necesario hacer lo siguiente porque ...
Es conveniente ahora definir las funciones
Las funciones dependientes del ángulo n y n aparecen para plantear problemas
computacionales no particulares y pueden se calculados por recurrencia ascendente de las
relaciones
,
,
1
31
31
1
31
31
nnennonns
nnonnenns
MaNibEk
H
MbNiaEE
45
.,11
d
dP
sin
P nn
nn 46
donde = cos, comenzando con 0 = 0 y 1 = 1; n y n son alternativamente funciones
par e impar de :
Aunque ninguna de las dos n y n son mutuamente ortogonales ni tampoco ortogonales una
con otra, se obtiene de (26) y (24) que n + n, así como también n - n, son conjuntos
ortogonales de funciones:
Se pueden ahora escribir los vectores armónicos esféricos (17)-(20) (con m = 1) en las
expansiones de campo interno (40) y campo dispersado(45) en una forma más concisa:
,1
,11
12
1
21
nnn
nnn
nnn
n
n
n
47
.1,1 1 nn
nnn
n 48
.
0sensen00
nm
dd mmnnmmnn
49
Los superíndices serán anexados a las funciones M y N para denotar el tipo de función
esférica Bessel zn: (1) denota jn(k1r) y (3) denota hn(1)(kr). Como fue notado previamente, M
no tiene componente radial, y para kr suficientemente grande la componente radial de N
para el campo dispersado es despreciable comparado con la componente transversal.
Se ha mostrado en Fig. 1.2 como se comportan las funciones jn y yn, y las funciones sen,
cos son bien conocidas. Así, esto solo permanece para mostrar el comportamiento de las
funciones n y n, las cuales determinan la dependencia de de los campos. Las gráficas
polares de n y n para n = 1-5 son mostradas en la Fig. 1.3; estas gráficas son más
agradables a la vista si se permite a un rango de 0 a 360°. Notar que estas funciones
(excepto 1, la cual es constante) toman ambos valores positivo y negativo; por ejemplo, 2
es positivo de 0 a 45°, negativo de 45° a 135°, y positivo de 135° a 180°. Como n
incrementa, el número de lóbulos incrementa, con el resultado que el lóbulo dirigido hacia
adelante llega a ser más estrecho(por ejemplo, el primer cero ocurre a ángulos más
pequeños). La ausencia de un lóbulo hacia atrás en las gráficas polares de n y n indica
que son negativas para direcciones hacia atrás; por ejemplo 3 es negativo para entre 149
y 180°. Todas las funciones tienen lóbulos dirigidos hacia delante(por ejemplo, son
positivo en dirección adelante), pero los lóbulos hacia atrás desaparecen para valores
alternados de n. Como se vera, la esfera la más grande, las funciones de más alto orden n y
,
'cossen
'coscoscossen1cos
,'
coscos
'cossencossen1sen
,coscoscossen
,cossencoscos
1
1
1
1
êz
êz
êz
nnN
êz
êz
êz
nnN
êzêzM
êzêzM
nn
nnr
nnne
nn
nnr
nnno
nnnnne
nnnnno
50
n son incorporadas en el diagrama de dispersión. Puesto que del comportamiento de estas
funciones, por lo tanto, la esfera la más grande, las direcciones de dispersión hacia delante
son pesadas comparadas con direcciones de retrodispersión (valores alternados de n o n
tienden a cancelarse en direcciones de retrodispersión), y el más estrecho el pico dispersado
adelante.
G. Coeficientes de dispersión. cálculos específicos
Se ha llegado al punto donde es difícil adquirir la comprensión de la dispersión y absorción
por una esfera sin algún ejemplo numérico. Lo que se requiere ahora es darle algo de
cuerpo para cubrir el esqueleto de la teoría formal; es importante saber como varias
cantidades observables varían con el tamaño y las propiedades ópticas de la esfera y la
naturaleza del medio circundante. Para hacerlo así el primer paso es obtener expresiones
explícitas para los coeficientes de dispersión an y bn.
Para una n dada hay cuatro coeficientes desconocidos an, bn, cn y dn; así que se necesitan
cuatro ecuaciones independientes, las cuales son obtenidas de las condiciones de frontera
(39) en forma de componentes:
De la ortogonalidad de sen y cos, las relaciones (49), y las condiciones de frontera
citadas, junto con las expansiones (37), (38) (40) (45), y las expresiones (50) para los
vectores armónicos, se obtendrá eventualmente cuatro ecuaciones lineales en los
coeficientes expandidos:
,,
.
,,
11
11
HHHHHH
ar
EEEEEE
sisi
sisi
,'''
,
,'''
,
1
11
1
11
1
1
xxjmaxxhmdmxmxj
xjaxhdmxmj
xxjbxxhcmxmxj
xjbxhcmxj
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
51
donde el primo indica diferenciación con respecto al argumento en paréntesis y el
parámetro de tamaño x y el índice de refracción relativo son
N1 y N son los índices de refracción de la partícula y el medio, respectivamente. Las cuatro
ecuaciones lineales simultaneas son fácilmente resueltas para los coeficientes del campo
dentro de la partícula
Y los coeficientes de dispersión
Note que los denominadores de cn y bn son idénticos como lo son aquellos de an y dn. Si
para una n particular la frecuencia (o radio) es tal que uno de estos denominadores es muy
pequeño, el modo normal correspondiente dominara el campo dispersado. El modo an es
dominante sí la condición
.,2 11
N
N
k
km
Nakax
,
''
''
,''
''
1121
11
11
111
11
11
mxmxjxhxxhmxjm
xxjxmhxxhxmjd
mxmxjxhxxhmxj
xxjxhxxhxjc
nnnn
nnnnn
nnnn
nnnnn
52
,
''
''
,''
''
111
1
11
121
2
mxmxjxhxxhmxj
mxmxjxjxxjmxjb
mxmxjxhxxhmxjm
mxmxjxjxxjmxjma
nnnn
nnnnn
nnnn
nnnnn
53
es satisfecha aproximadamente; similarmente, el modo bn es dominante sí
es satisfecha aproximadamente. En general, por supuesto el campo dispersado es una
superposición de modos normales.
Las frecuencias para las cuales (54) y (55) son exactamente satisfechas, las llamadas
frecuencias naturales de la esfera, son complejas, y los modos asociados son algunas veces
virtuales. Si la parte imaginaria de estas frecuencias complejas son pequeñas comparadas
con las partes reales, el último corresponde aproximadamente a las frecuencias reales de las
ondas electromagnéticas incidentes las cuales excitan varios modos electromagnéticos.
Los coeficientes de dispersión (53) pueden ser simplificados un poco por la introducción de
las funciones Riccati-Bessel:
Si se toma la permeabilidad de la partícula y el medio circundante sean la misma, entonces
,
''2
11
1
mxjm
mxmxj
xh
xxh
n
n
n
n
54
mxj
mxmxj
xh
xxh
n
n
n
n
11
1 ''
55
., 1 nnnn hj
57
56
mxxmxmx
mxxmxmxb
mxxxmxm
mxxxmxma
nnnn
nnnnn
nnnn
nnnnn
'´
'
'´
'
'´
'
'´
'
Notar que an y bn desaparece conforme m se aproxima a la unidad; esto debe ser: cuando la
partícula desaparece, así se hace el campo dispersado. Hasta donde es involucrada la
notación para los coeficientes de dispersión, se ha seguido tanto como es posible a Van de
Hulst (1957) y Kerker (1969), con la excepción de la convención del signo opuesto para el
factor de tiempo armónico exp(-it).
H. Secciones transversales y elementos de la matriz.
Aunque en la precedente sección se ha considerado solamente dispersión de luz polarizada
en x, el campo dispersado para luz incidente lineal polarizada arbitrariamente y por lo tanto
cualquier estado de polarización, sigue de la simetría de la partícula. Por ejemplo, los
campos eléctricos dispersados para ondas incidentes planas de igual amplitud polarizada en
x y polarizada en y son relacionadas por
Así, se tiene en mano los coeficientes de dispersión an y bn, se pueden determinar todas las
cantidades mensurables asociadas con la dispersión y absorción, tales como secciones
transversales y elementos de la matriz de dispersión.
I. Secciones Transversales.
Se pueden obtener secciones transversales para una esfera por apelación a las expresiones
para una partícula arbitraria que fue deducida en la sección 3.4 por estimación de la razón
de red Wa a la cual la energía electromagnética cruza la superficie de una esfera imaginaria
centrada en la partícula. Si el medio circundante es no absorbente, Wa es independiente del
radio de esta esfera imaginaria, la cual por conveniencia se escogió lo suficientemente
grande que la aproximación de campo lejano para un campo electromagnético puede ser
ypolarizadaExpolarizadaE ss ;
2;
usado. Sin embargo, es posible deducir expresiones para las secciones transversales de una
partícula esférica exactamente, algo que parece haber sido omitido por autores anteriores.
Por lo tanto, parece importante proporcionar tal derivación. Así hecho, se mostrará algo de
propiedades matemáticas de las funciones Bessel esféricas; también se puede adquirir un
poco más de confianza en el teorema óptico.
Como antes, se escribió Wa como Wext- Ws, donde
y el radio r a de la esfera imaginaria es arbitrario. Se sabe que Wext y Ws son
independientes del estado de polarización de la luz incidente. Por lo tanto, en la evaluación
de las integrales (58) puede tomarse la luz incidente sea polarizada en x:
donde = kr. El correspondiente campo dispersado es
58,sen2
1
,sen2
1
22
0 0
**
2
0 0
2****
ddrHEHEW
ddrHEHEHEHEW
sssss
isissisiext
,cot,sen
,,cos
1
'
1
'
iin
nnnnni
iin
nnnnni
Ek
HiEE
Etank
HiEE
.cos
,sen
,sen
,cos
1
'
1
'
1
'
1
'
nnnnnnnns
nnnnnnnns
nnnnnnnns
nnnnnnnns
aibEH
aibEk
H
iabEE
biaEE
59
Si se asume que las expansiones en series (59) pueden ser sustituidas en la integral para Ws
y el producto resultante de las series integradas término por término, se obtiene:
donde se ha usado (24) y la relación
la cual se obtiene de (27). La cantidad gn, definida como –in*n, puede ser escrito de la
forma
donde la función Riccati-Bessel n es –yn() y , por lo tanto, n - in.
Las funciones n y n son reales para argumento real; por lo tanto, si se usa el Wronskiano
Resulta que la sección transversal de dispersión es
1
222
0 ,12n
nnns bagnk
EW
,
12
12sen
22
0
n
nnd nmmnmn
,'*'*'*'*nnnnnnnnn ig
,1'' nnnn 60
.122
1
22
2
n
nni
ssca ban
kI
WC
61
Similarmente, la sección transversal de extinción es
donde, como en la derivación de la sección transversal de dispersión, el paso clave es la
relación (60)
J. Ejemplos de Extinción: interferencia y estructura de onda; enrojecimiento.
Para un breve vistazo a la extinción se ha escogido gotas de agua en aire; las curvas de
extinción calculadas para tres diferentes radios son mostradas en la Fig. 1.4, donde la
eficiencia de extinción Qext = Cext/a2 es graficada como una función del inverso de la
longitud de onda 1/. Este es un método poco convencional de representar la extinción
puede causar alguna confusión, particularmente cuando es notado que en las curvas en la
Fig. 1.4 muestra marcadas desviaciones de aquellas más comúnmente encontradas; las
eficiencias de extinción son usualmente mostradas como funciones de x para un índice de
refracción fijo m, una práctica aceptada por tradición. Aunque el método tradicional de
representación de la extinción no es necesariamente incorrecto, este es frecuentemente
falso: x y m son variables matemáticamente independientes pero pueden no ser físicamente
independientes. Este factor elemental es frecuentemente perdido de vista de cuando x es
considerado ser meramente una variable adimensional que es indiferente a tantos cambios
puesto que varían longitud de onda o radio. Dado que si la longitud de onda varía, así m
puede: una sustancia material no tener constantes ópticas independientes de la longitud de
onda excepto sobre un rango estrecho. Infortunadamente, en algunas áreas para las cuales la
teoría de dispersión de luz ha sido aplicada, toda la realización de esta ha aclarado
solamente poco a poco; el resultado ha sido basado en conclusiones falsas deficientes de
razonamiento. La razón para el método tradicional de representación de la extinción se
1
2,12
2
nnn
i
extext ban
kI
WC
62
hace por conveniencia que por fidelidad a la realidad física: esto es relativamente fácil para
calcular Qext como una función de x para m fija. Las curvas mostradas en la Fig. 1.4, sin
embargo, requieren considerablemente más esfuerzo del que es usual: para cada una de las
muchas longitudes de onda para las cuales los cálculos son hechos, las propiedades ópticas
correctas pueden ser utilizadas. El esfuerzo requerido para calcular Qext de por sí es
grandemente sombreado por esa demanda de compilación de constantes ópticas de muchas
fuentes y conveniente interpolación entre datos de puntos medidos. La recompensa para
este esfuerzo, sin embargo, es una más precisa representación físicamente de la extinción.
En la región donde el agua es débilmente absorbente (entre cerca de 0.5 y 5 m-1) la curva
de extinción para una gota de 1 m tiene varios aspectos: (1) unas series de espaciado
ancho regularmente máxima y mínima llamada estructura de interferencia, la cual oscila
aproximadamente cerca del valor de 2; (2) estructura fina irregular llamada estructura de
onda; y (3) incremento monótonamente de la extinción con decremento de la longitud de
onda para a < . Se considerara brevemente cada caso de estos en turno.
Para x(>> n2) y mx grande el numerador de an es aproximadamente
Para el mismo grado de aproximación el numerador de bn es
Para obtener (63) y (64) de (56) y (57) se uso la relación asintótica
.
1sen2/cos2/sen1
x
mxmnmxnxm 63
mx
mxmnmxnxm 1sen2/cos2/sen1 64
.2sen 2nnn 65
Notar que el numerador de ambos an y bn contiene el término común senx(m - 1), el cual
es independiente de n; así, se anticipa que la sección transversal de extinción máxima será
aproximadamente determinada por la máxima de esta función, la cual ocurre para x(m - 1)
= (2 p + 1)/2, donde p es un entero. Por lo tanto, la separación (1/) entre la máxima de
senx(m - 1), sobre una región de longitud de onda para la cual m es aproximadamente
constante y real, es ½ a(m - 1). Para agua en o longitudes de onda del visible cercano, m
puede ser tomado para estar cerca de 1.33; así, se anticipa la sección transversal máxima
para una gota de 1.0 m de radio esta separada cerca de 1.5 m-1. Que esto es
efectivamente así es apreciable en la fig. El origen del término estructura de interferencia
aplicado a estos picos anchos de extinción descansa en la interpretación de extinción como
interferencia entre la luz incidente y dispersada hacia adelante. Si se adopta el punto de
vista de óptica elemental, la diferencia de fase entre un rayo que atraviesa a una esfera
grande transparente sin desviación(el dispersado hacia delante o rayo central) y un rayo que
atraviesa el mismo camino físico fuera de la esfera es
La condición para la interferencia destructiva entre estos dos rayos es = (2p + 1) o,
equivalentemente, x(m - 1) = (2p + 1)/2, la cual es la misma condición como aquella
obtenida por examinación de los numeradores de an y bn.
Se pospondrá la discusión detallada de la estructura de onda, la cual es considerablemente
más complicada que la estructura de interferencia tanto física como matemáticamente.
Suficiente decir que la estructura de onda tiene sus orígenes en las raíces de las ecuaciones
transcendentales (54) y (55), las condiciones bajo las cuales los denominadores de los
coeficientes de dispersión desaparecen. Ambas la estructura de interferencia y la estructura
de onda son fuertemente amortiguadas cuando la absorción llega a ser grande, como esto
.1222
1 mxNNa
hace en agua si 1/es más grande que cerca de 6m-1; esto es análogo a la amortiguación
de las bandas de interferencia en el espectro de transmisión de un bloque. Si la gota es
pequeña comparada con la longitud de onda, entonces los picos en el espectro de absorción
del bulto son vistos en el espectro de extinción de la partícula; por ejemplo, los picos de
extinción en la fig. cerca de 6 m-1 para una gota de radio 0.05 m y cerca de 0.3 m-1
para una gota de 1m ninguno de los dos son estructura de interferencia u onda pero picos
de absorción del bulto. Esto ilustra el factor que la absorción domina sobre la dispersión
para pequeñas a/ si hay alguna absorción apreciable del bulto.
Un fenómeno familiar es el enrojecimiento de luz blanca al pasar a través de una colección
de partículas muy pequeñas. Esto puede ser demostrado fácilmente poniendo unas cuantas
gotas de leche dentro de un contenedor de agua pura: un rayo colimado de luz blanca toma
un tinte rojizo después de transmitir a través de esta suspensión porque la luz azul de
longitud de onda más corta es extinguida más efectivamente que la luz roja de longitud de
onda más largas. El crecimiento de la extinción hacia longitudes de onda más cortas es una
característica general de partículas no absorbentes pequeñas comparadas con la longitud de
onda; esto es presentado en las curvas de extinción en fig para las dos partículas más
pequeñas. Todo mundo esta familiarizado con tales efectos a través de los bellos tonos rojo
y naranja de las puestas de sol en los cielos, las cuales son en parte el resultado de la
dispersión molecular. Las partículas pequeñas pueden incrementar el enrojecimiento de las
puestas de sol. En los periodos de fuerte actividad volcánica ha sido sabido el incremento
bellos colores en las puestas de sol por más de un año porque de partículas en la atmósfera;
altos niveles de polución de aire por partículas tiende a incrementar el enrojecimiento en las
puestas de sol. El enrojecimiento debido a la extinción por pequeñas partículas no es
ciertamente limitado al ambiente terrestre. Partículas de polvo entre las estrellas extinguen
más eficientemente luz azul que luz roja; la luz de las estrellas es transmitida a través de
este polvo, por lo tanto, es enrojecido. Este efecto es así confiable y uniforme cuando
promediado sobre miles de años luz que esto puede ser usado para medir distancias a las
estrellas en nuestra galaxia. Una estrella altamente enrojecida como se dice en jerga, es una
que tiene una cantidad muy grande de polvo interestelar entre esta y el observador. Esto es
obvio de la fig que la extinción es muy dependiente del tamaño; por esta razón, la extinción
ha sido ocasionalmente utilizada para medir partículas. De hecho, esta dependencia del
tamaño provee una mejor evidencia que los granos de polvo interestelar son
predominantemente submicrométricos. En el laboratorio, sin embargo, otros tipos de
medidas, tales como dispersión angular, son preferibles usualmente para medir partículas.
El enrojecimiento ocurre por colección de partículas no obstante su distribución de tamaño
a condición de que ellas sean pequeñas comparadas con la longitud de onda. El efecto
espectral opuesto , el azulamiento, puede ser visto en el lado de altas frecuencias de los
picos de extinción en fig. Tal azulamiento es altamente dependiente en la distribución de
tamaño y tiende a desaparecer, como hacer las otras características de estructura de
interferencia, como la dispersión del incremento del radio de partícula. Así el azulamiento
de la luz solar por partículas en la atmósfera es muy raro aunque sin precedente: esto pasa
“una vez en una luna azul”. Esto dicho evidentemente proviene del hecho que esto ha sido
unas cuantas veces recordado en la historia cuando el sol y la luna se observaron azules, tal
como después erupciones gigantes del volcán Krakatoa y siguiendo incendios en grandes
bosques en Canadá. De acuerdo con la explicación convencional, las condiciones
necesarias para esta extinción anómala, la cual incluye un rango estrecho de tamaños de
partícula, son raramente encontrados.
K. La Paradoja de Extinción; Teoría de Difracción Escalar.
Se noto en la precedente sección que Qext aparece aproximándose al valor limite de 2
conforme el parámetro de tamaño incrementa:
,2,
mxQlim extx
El cual es dos veces tan grande como lo predicho por la óptica geométrica. Aun la óptica
geométrica es considerada una buena aproximación si todas las dimensiones son mucho
más grandes que la longitud de onda. Además, Qext = 2 contradice el “sentido común”: no
se espera un objeto tan grande para remover dos veces la energía que está incidiendo sobre
esta. Esto quizá molesto resultado es llamado la paradoja de extinción, la cual se tratará de
resolver en los siguientes párrafos.
Aunque la óptica geométrica es una buena aproximación a la teoría de onda exacta para
objetos grandes, no importa cuan grande es un objeto este aún tiene un borde en el
vecindario del cual la óptica geométrica fracasa para ser valida. Por lo tanto, se analizará la
extinción por una esfera grande de radio a utilizando una combinación de óptica geométrica
y teoría de difracción escalar.
El problema fundamental en la teoría de difracción escalar es determinar el valor de una
onda escalar en un punto P dado el valor de y sobre una superficie cerrada S
alrededor de P. Un tratamiento conciso y lúcido de esta teoría está dado por
Wangsness(1963), quien muestra que
,ˆ4
1dAn
R
e
R
eP
S
ikRikR
Donde R es la distancia de P a un punto en S y n es la normal dirigida hacia fuera. La
ecuación (4.66) no es restringida a ondas electromagnéticas pero aplica igualmente bien
para cualquier cantidad escalar que satisface la ecuación de onda 2 + k2 = 0.
Una cantidad de energía Iia2 es removida de un rayo con irradiación Ii como resultado de
una reflexión, refracción y absorción de los rayos que están incidiendo sobre la esfera; esto
es, cada rayo es absorbido o cambia su dirección y es por lo tanto contado como si hubiese
sido removido del rayo incidente. Un disco opaco de radio a también remueve una cantidad
de energía Iia2, y al alcance que la teoría de difracción escalar es valida, una esfera y un
disco opaco tienen el mismo patrón de difracción. Por lo tanto, para propósitos de este
análisis , se puede reemplazar la esfera por un disco opaco.
Aunque se estará interesado primariamente en la difracción por un disco circular opaco,
ninguna labor extra es ocasionada si la forma del obstáculo plano no esta restringido en
este armazón del argumento(Fig. 1.5a). Es más conveniente considerar la difracción por
una abertura plana, con la misma forma y dimensiones que el obstáculo, en otra manera una
pantalla opaca(Fig. 1.5b) Si (P) es el valor de la función de onda en P cuando la abertura
está en lugar, se puede recurrir al principio de Babinet,
,0 PPP
Para obtener la función de onda cuando el obstáculo está en lugar, donde 0 es la función
de onda no impedida (incidente), la cual se toma para ser una onda plana E0exp (ikz).
Para evaluar la integral en (4.66) se necesita saber y su gradiente sobre la superficie S. Es
físicamente plausible asumir que la contribución para (P) solamente viene de la abertura
A, sobre la cual puede ser aproximada por la función de onda incidente 0. Con esta
asunción (4.66) llega a ser
,ˆˆ14
0 dAeeR
eikEP
A zR
ikR
donde se ha tomado también kR » 1; esto es, que el punto P está a una distancia grande de
la abertura comparada con la longitud de onda. El vector unitario êR esta dirigido a lo largo
de una línea desde P a un punto sobre la abertura con coordenadas (ξ,η), y la distancia R es
.22 222 yxrR
Si las dimensiones lineales de la abertura son pequeñas comparadas con r, se puede
expandir (4.69) en potencias de ξ/r y η/r; resulta la difracción de Fraunhofer si se termina
esta expansión en términos lineales
.cos14
,
,,
sencossen2
0
ddek
S
Sikr
eEP
ik
ikr
Por lo tanto, con el obstáculo en lugar, se tiene de (4.67) y (4.70),
.,00 Sikr
eEeEP
ikrikz
El primer término en (4.71) es precisamente la onda incidente; el segundo término es la
onda dispersada (difractada) por el obstáculo. El teorema óptico para ondas escalares es
realmente idéntico a aquel para ondas vectoriales(3.24); así, la sección transversal de
extinción es
,20Re4
2GS
kCext
Donde G es el área del obstáculo. Por lo tanto, la sección transversal de extinción del
obstáculo es dos veces su sección transversal geométrica: toda la energía incidente sobre el
obstáculo opaco, una cantidad igual a IiG, es absorbida; en suma, una cantidad igual de
energía Ws = IiCsca, donde
,sen
,2
0 0 2
2
Gddk
SCsca
es dispersada (difractada) por el obstáculo. Rigurosamente hablando, se puede decir que la
onda incidente esta influenciada más allá de las fronteras físicas del obstáculo: el borde
desvía rayos en su vecindario, rayos que, desde el punto de vista de la óptica geométrica,
habrían pasado sin impedimento. Estos rayos, indiferentes de cuán pequeño el ángulo a
través del cual ellos son desviados, son contados como habiendo sido removidos del rayo
incidente y por lo tanto contribuyen a la extinción total. Para la extensión a fin de
reemplazar una partícula mucho más grande que la longitud de onda por un obstáculo plano
opaco con la misma área proyectada es una aproximación válida, la misma interpretación
aclara porqué la sección transversal de extinción de cualquier partícula es dos veces su
sección transversal geométrica.
Se tiene todavía que explicar porqué Cext = 2G no está necesariamente observado. Para
hacerlo ayudará si se considera un ejemplo especifico. La amplitud de dispersión para un
disco circular es independiente del ángulo azimutal :
a
ik ddek
S .cos14
sen2
Se puede evaluar la integral en (4.73) por transformación a coordenadas polares planas y
utilizando la representación integral de la función Bessel J0,
0
cos0
1dezJ iz
Junto con la identidad d(zJ1)/dz = zJ0; el resultado es
.
sen
sen
2
cos1 12
x
xJxS
El parámetro de tamaño es muy grande y J1(xsen)/xsenes insignificantemente pequeño
para xsen mucho más grande que cerca de 10; por lo tanto, el factor (1 + cos)/2 es unidad
a una muy buena aproximación sobre la región angular de interés. En la Fig. 1.6 se muestra
el diagrama de dispersión normalizado a la dirección hacia delante como una función de
xsen. Notar que casi toda la luz dispersada es confinada dentro de un cono de mitad de
ángulo 10/x. Si un detector está grabando la extinción total por un objeto esférico
grande, su ángulo de aceptación debe ser mucho menos que este, es decir acc < 1/2x. Así en
alguna medida de extinción por partículas mucho más grandes que la longitud de onda, el
posible efecto de un instrumento geométrico será considerado cuidadosamente. Hacerlo así
es un descuido que puede resultar en un supuesto desacuerdo entre la teoría y el
experimento, como también falta de reproducibilidad experimental.
L. Matriz de Dispersión. qué falta por hacer y se va a hacer en esta sección.
Se asume que la expansión en series (45) del campo dispersado es uniformemente
convergente. Por lo tanto, se puede terminar las series después de nc términos y el error
resultante será arbitrariamente pequeño para todo kr si nc es suficientemente grande, Si, en
adición, kr >> nc2, se pueden sustituir las expresiones asintóticas (42) y (44) en las series
truncadas; el resultado de las componentes transversales resultantes del campo eléctrico
dispersado son
donde
,coscos
,coscos
10
20
Sikr
eEE
Sikr
eEE
ikr
s
ikr
s
,1
12
,1
12
2
1
nnnnn
nnnnn
bann
nS
bann
nS
74
y las series son terminadas después de nc términos. La relación entre las amplitudes campo
incidente y dispersado es por lo tanto
Se puede mostrar de (25) que
Pero Pn satisface la ecuación diferencial (4), de la cual, junto con Pn(1) = 1, sigue que
Así, en la dirección hacia delante (= 0º)
la cual sustituimos en el teorema óptico (3.24) da la sección transversal de extinción (62):
.
0
0 ||
1
2||
i
izrik
s
s
E
E
S
S
ikr
e
E
E 75
.
2
111
nnnn
..11 1
d
dPnnn
,122
1000 00
10
2 n
nn banSSS
.04 0
2S
kCext
76
La relación entre los parámetros de Stokes incidente y dispersada sigue de (75):
Solamente tres de estos cuatro elementos de la matriz son independientes: S112 = S12
2 + S332
+ S342.
Si la luz incidente es 100% polarizada a un plano de dispersión particular, los parámetros
de Stokes de la luz dispersada son
donde se ha omitido el factor 1/k2r2. Así, la luz dispersada es también 100% polarizada
paralela al plano de dispersión. Denotando i la irradiación dispersada por unidad de
irradiación incidente dado que la luz incidente es polarizada paralela al plano de dispersión:
.
2,
2
1
,2
1,
2
1
,
00
00
00
00
1
*12
*2133
*121
*233
2
1
2
212
2
1
2
211
3334
3433
1112
1211
22
SSSSi
SSSSSS
SSSSSS
V
U
Q
I
SS
SS
SS
SS
rk
V
U
Q
I
i
i
i
i
s
s
s
s
77
,0,,1211 ssssis VUIQISSI
.2
21211|| SSSi
Si la luz incidente es polarizada perpendicular al plano de dispersión, los parámetros de
Stokes de la luz dispersada son
Así, la luz dispersada es también polarizada perpendicular al plano de dispersión.
Denotando i la irradiación dispersada por unidad de irradiación incidente dado que la luz
incidente es polarizada perpendicularmente al plano de dispersión:
Si la luz incidente es no polarizada, los parámetros de Stokes de la luz dispersada son
La razón
es tal que P 1; si P es positiva, la luz dispersada es parcialmente polarizada
perpendicular al plano de dispersión; si P es negativa, la luz dispersada es parcialmente
polarizada paralela al plano de dispersión; el grado de polarización es P.
Independientemente del tamaño y la composición de la esfera P(0º) = P(180º) = 0.
Si la luz incidente es oblicuamente polarizada aun ángulo de 45º al plano de dispersión, la
luz dispersada, en general será elípticamente polarizada, a través del azimutal de la elipse
,0,,1211 ssssis VUIQISSI
.2
11211 SSSi
.0,, 1211 ssisis VUISQISI
||
||
11
12
ii
ii
S
SP
78
de vibración necesita no ser de 45º. La cantidad de rotación del azimutal, tan bien como
elipticidad, depende no solamente sobre las características de la partícula sino también
sobre la dirección en la cual la luz es dispersada.
M. Un ejemplo de dispersión dependiente del ángulo.
Como un ejemplo de dispersión dependiente del ángulo por una esfera se ha escogido una
gotita de agua con parámetro de tamaño x = 3 iluminada por luz visible de longitud de onda
0.55 m. A esta longitud de onda el índice de refracción complejo de agua es 1.33 + i10-8;
x= 3 corresponde a una gota de radio cerca de 0.26 m. Los primeros cinco coeficientes de
dispersión para esta partícula están dados en la tabla, de la cual esto es claro que las
primeras dos o tres funciones n y n determinan le dependencia angular de la dispersión.
Los resultados de computación utilizando el programa del apéndice A son mostrados en la
Fig. 1.9 : gráfica polar lineal de i y i|| en la parte a; los logaritmos de i y i|| en b; y la
polarización(78) en c; en todos los tres conjuntos de curvas la variable independientes el
ángulo de dispersión .
Quizá el punto más importante a notar es que la dispersión es grandemente maximizada en
la dirección hacia delante. Esto es visto más increíblemente en la gráfica polar lineal de la
parte a. Los pequeños lóbulos de dispersión para > 90° son casi imperceptibles
comparados con los fuertes lóbulos de dispersión hacia delante; efectivamente, para los
lóbulos de retrodispersión es visto en todos requieren que se amplifiquen las gráficas
polares por un factor de 10. La irradiación dispersada en la dirección hacia delante es más
de 100 veces más grande que aquella en la dirección hacia atrás; tal asimetría direccional
llega a ser aún más pronunciada como el parámetro de tamaño incrementa, a el punto que
este es de valor pequeño para exhibir diagramas de dispersión en una manera lineal. Se
intenta mostrar en esta gráfica polar es enfatizar la predominancia de la dispersión hacia
delante aún preferiblemente para esferas pequeñas –una gotita de agua de 0.26 m es tan
pequeña como estar en las nubes sin percibirse.
Se encuentran las consecuencias de la fuerte dispersión hacia delante casi todos los días. En
un paseo por la tarde hacia una puesta brillante de sol puede ser una experiencia segadora,
aún si la luz directa del sol es bloqueada por el visor de sol, debido a la intensa dispersión
hacia delante por partículas en la atmósfera y sobre el parabrisas. Esto es fácilmente
remediado conduciendo en la dirección opuesta – dispersión a 180° esta dispuesta en
intensidad de menor magnitud- pero esta solución usualmente tiene poco atractivo práctico.
En forma similar, conduciendo de noche en neblina o con un parabrisas sucio puede ser
difícil: la luz de entrada de los faros delanteros del automóvil es dispersada en dirección
hacia delante por las gotitas de neblina o partículas que producen un molesto resplandor.
N. Ancho finito del rayo.
La expresión para el campo dispersado por una esfera fue obtenido bajo la suposición que
el rayo es infinito en extensión lateral; tales rayos, sin embargo son difíciles producir en el
laboratorio. No obstante esto es físicamente plausible que la dispersión y la absorción por
alguna partícula será independiente de la extensión de el rayo provisto de tal manera este es
grande comparado con el tamaño de partícula; es decir, la partícula esta completamente
bañada en la luz incidente. La intuición física es reforzada por el análisis de Tsai y
Pogorzelski (1975), quienes obtuvieron expresiones exactas para el campo dispersado por
una esfera cuando el rayo incidente es cilíndricamente simétrico con una sección
transversal finita. Sus cálculos de la dependencia angular de la luz dispersada por una
esfera conductora no muestra diferencia entre un rayo infinito y finito siempre que el radio
del rayo este cerca de 10 veces más grande que el radio de la esfera. En la mayor parte de
los experimentos de dispersión, aún aquellos utilizando rayos láser sumamente colimados,
esta condición será ciertamente satisfecho. Así, se esta usualmente justificado ignorar el
ancho finito del rayo.
O. Sección transversal de retrodispersión radar.
McDonald (1962) ha descrito la definición de la sección transversal de retrodispersión
radar como “intrínsecamente complicado”; llanamente se estará de acuerdo que es
complicado, pero se sugiere que así este es menos intrínsecamente que innecesariamente.
Hay varias definiciones existentes, pero ninguna con el poder de producir una clara imagen
de exactamente que esta dando a decir físicamente este concepto. Quizá la más clara
declaración de la definición ha sido dada por Battan(1973, p.30),de quien se citara aquí.
Considerando una partícula arbitraria iluminada por un rayo con irradiación Ii, el cual es
tomado para ser polarizado en x. Esto es claro de los pasos que condujeron a (3.26) que la
cantidad IiX(, )2/k2 es la cantidad de energía dispersada dentro de una unidad de
ángulo sólido sobre una dirección en particular(, ), donde X es el vector amplitud de
dispersión para la partícula. Ahora se considerara un dispersor isotrópico hipotético
iluminado por el mismo rayo, donde el vector de amplitud de dispersión Xiso es
independiente de la dirección y es tomado para ser igual a la amplitud de dispersión en
dirección a la retrodispersión (180°) para la partícula de interés: Xiso = X(180°). La energía
total dispersada Wsca en todas direcciones por la partícula hipotética es por lo tanto
La sección transversal de retrodispersión b es entonces definida por
Esto es la presencia del factor 4 en (82) ese es el obstáculo para la interpretación de b; no
lo fue para este factor, b sería simplemente la sección transversal de dispersión diferencial
para la dispersión dentro de la unidad de ángulo sólido alrededor de la dirección de
retrodispersión. De hecho, esto es obvio de (3.14) y (3.21) que la señal recibida por el
detector subtendiendo al ángulo sólido a la partícula es proporcional a IiX(,
)2/k2 para todos los ángulos de dispersión. En adición causando problemas de
interpretación, la definición histórica también encabezada por una innecesaria paradoja: la
.
180442
2
2
2
k
XI
k
XIW iisoi
sca
.
1804
,1804
2
2
2
2
k
X
k
XIWI
b
iscabi
82
sección transversal de retrodispersión para una esfera pequeña comparada con la longitud
de onda es más grande que la sección transversal de dispersión total. Esto implica, a
primera vista, que una parte es más grande que el conjunto.
La definición tradicional de la sección transversal de retrodispersión radar puede ser
establecida claramente en pocas palabras: esto es exactamente 4 veces que esto debe ser.
Por lo tanto se recomienda borrar el factor 4 en (82) y solamente reintroducirlo como
soborno por convención cuando sea necesario.
Para una esfera, se tiene de (3.22), (4.48), y (4.74)
Por lo tanto, la eficiencia para retrodispersión Qb es
McDonald (1962) dio una derivación física del valor límite de Qb como x, el cual,
porque de su atractiva simplicidad, es que vale la pena repetirlo aquí.
Considerar una esfera de radio a, la cual es tomada para ser grande comparada con la
longitud de onda así que la óptica geométrica es una buena aproximación. La esfera es
suficientemente absorbente así que todos los rayos que no son reflejados en la primera
interfase son absorbidos dentro de la esfera; así, la dispersión (excluyendo el pico
difracción hacia delante, el cual no contribuye a la sección transversal de retrodispersión) es
enteramente el resultado de la reflexión. Se considera que todos estos rayos reflejados que
son confinados dentro de un conjunto de direcciones definidas por un cono de medio
ángulo 2 cerca de la dirección hacia atrás, donde << 1 pero es mostrado en una escala
.1122
1º180º180
,º180cosº180º180
12
22
122
2
2
nnn
n banSS
senSSX
.1121
2
22 n
nnnb
b banxa
Q
aumentada en la fig. Toda la energía Wsca dispersada dentro del ángulo sólido = (2)2
resulta de la reflexión de rayos incidentes con ángulos de incidencia entre 0 y . Porque
es pequeño, esta energía dispersada es aproximadamente Wsca = Ii a22R(0º), donde
R(0º) es la reflectancia a incidencia normal(2.58). Por lo tanto, la sección transversal de
retrodispersión esta dada por
,04 2
isca
bi IRaW
I
Y la eficiencia de retrodispersión tiene el valor límite
,0
RQlim bx
El cual es un resultado sorprendentemente simple, porque de la naturaleza peculiar de la
definición de Qb, es menos que obvio. Los cálculos de Deirmendjian de la eficiencia de
retrodispersión para esferas metálicas grandes apoyan este valor límite para Qb. Se enfatiza
que (4.83) es esperada ser correcta solamente si la esfera es absorbente así que los rayos
reflejados internamente no contribuyen a la retrodispersión. Esto a su vez implica que para
una x dada (siempre que, por supuesto x>>1), R(0º) será una mejor aproximación al valor
exacto mas grande que el coeficiente de absorción.
Algunas de las más interesantes aplicaciones de la retrodispersión radar están dadas en
Radar de Ornitología por Eastwood (1967), en el cual uno puede encontrar medida de la
sección transversal de retrodispersión a longitud de onda de 3 cm para palomas, estorninos
y gorriones de casa, junto con cálculos para pájaros esféricos “equivalentes”constituidos de
agua. Parece que la teoría de Mie es suficientemente amplia para abarcar una gran variedad
inesperada de objetos.
P. Cómputo de los coeficientes de dispersión y secciones transversales.
Para obtener resultados cuantitativos de la Teoría de Mie puede parecer que se esta
enfrentando una tarea directa: se necesita solamente calcular los coeficientes de dispersión
an y bn junto con las funciones angulares n y n y sumar las series (61) y (62) para las
secciones transversales y (74) para los elementos de la matriz de amplitud de dispersión.
Sin embargo, el número de términos requerido para la convergencia puede ser bastante
grande: un lineamiento difícil de seguir es que aproximadamente x términos son suficientes.
Así, si se estuviera interesado en la investigación del arco iris, se necesitaría sumar
aproximadamente 12,000 términos asumiendo que un radio de una gota de agua es de 1mm.
Tal cálculo requiere claramente más que paciencia suficiente, lápiz, bloc de hojas, y una
calculadora de bolsillo. Aun para partículas pequeñas el número de cálculos puede ser
fatigosamente grande. Efectivamente, hasta el advenimiento de computadores digitales de
gran velocidad, los cálculos de dispersión fueron laboriosos, aburridos, y consumían
tiempo; y la literatura sobre dispersión tan recientemente como una década atrás ha tendido
a ser dominada por artículos presentando resultados numéricos para caso especiales.
Aunque las computadoras pueden reducir grandemente el tiempo requerido para sumar
series, hay varios problemas inherentes en el computo de los coeficientes de dispersión de
ellos mismos; an y bn son mejor dicho funciones complicadas de funciones Bessel esféricas
y sus derivativos, los argumentos de los cuales son, en general, complejos.
Afortunadamente, las funciones Bessel satisfacen las simples relaciones de recurrencia,
(11) y (12), y, además, un número pequeño de los primeros ordenes son funciones
trigonométricas. Se podría por lo tanto estar tentado a asumir que se podría sacar una forma
adelante para calcular funciones Bessel de orden arbitrario de las funciones de los dos
ordenes precedentes comenzando con n = 2. Tal seria ciertamente posible con un
computador a la mano. La perfección no es de este mundo, sin embargo, y el error asociado
con la representación inevitable de un número con un número infinito de dígitos por uno
con un número finito puede acumular en tal una forma como producir resultados
incorrectos. No hay unanimidad de opiniones acerca de las condiciones bajo la cual la
acumulación del error puede ser un problema; esto es más probable a consecuencia de
diferente longitud de términos en varios computadores, el factor en que más personas están
usualmente interesados en una variedad limitada de tamaños y propiedades ópticas, junto
con la desafortunada tendencia humana a generalizar así mismo fácilmente sobre las bases
de experiencia limitada.
Q. Dependencia de la dispersión con respecto al ángulo de la luz incidente. Dispersión de luz polarizada linealmente y sin polarizar. capitulo13
La cantidad de información acerca de la dispersión por alguna partícula o colección de
partículas esta contenida en todos los elementos de la matriz de dispersión de 4 4(1.16).
Sin embargo, la mayoría de las medidas y cálculos son restringidos a luz incidente
polarizada linealmente o sin polarizar sobre una colección de partículas orientadas
aleatoriamente con un plano interno de simetría (por ejemplo, sin actividad óptica). En tales
casos, los elementos de la matriz relevantes son aquellos en el bloque superior izquierdo de
2 2 de la matriz de dispersión, el cual tiene la simetría mostrada abajo.
Aunque se ha escogido enfatizar los parámetros de Stokes más comunes (I, Q, U, V), el
sistema (I||, I, Q, V) es más apropiado para mediciones en las cuales polarizadores lineales
están interpuestos en el rayo incidente y el dispersado. En el último sistema, los parámetros
de Stokes están definidos por
En lugar de(); U y V son los mismos en ambos sistemas. En el sistema (I||, I, U,V) la
matriz de dispersión correspondiente a (13.1) es
.
0
01 2212
1211
22
i
i
i
i
s
s
s
s
V
U
Q
I
SS
SS
rk
V
U
Q
I
EEIEEI ,||||||
)1.13(
Los elementos de la matriz en los dos sistemas están relacionados por
R. Un poco de definiciones.
Las irradiaciones dispersadas por unidad de irradiación incidente(irradiaciones sin
dimensión)para luz incidente paralela y perpendicular al plano de dispersión son (omitiendo
k2r2)
Y la irradiación dispersada para luz incidente sin polarizar es
.
0
01
||
2212
1211
22
||
i
i
i
i
s
s
s
s
V
U
I
I
rk
V
U
I
I
2212112
1222212112
122
221121
12221121
12
22121121
1122121121
11
2,2
,,
,2,2
SSSQQQQS
SSQQQS
SSSQQQQS
,
,
12221211
12111211||
QQSSi
QQSSi
11||
2S
iii
Otras cantidades comúnmente medidas son el grado de polarización lineal P de la luz
dispersada para luz incidente sin polarizar
y la polarización transversal
la cual es medida insertando polarizadores lineales adelante y atrás del medio de dispersión,
uno con su eje paralelo y el otro con su eje perpendicular al plano de dispersión; el orden de
los polarizadores es sin importancia para la matriz de dispersión especial(13.1).
Con los programas en el apéndice uno puede calcular elementos de la matriz de dispersión
para esferas y, consecuentemente, todas las cantidades definidas en el párrafo precedente.
La polarización transversal desaparece para partículas esféricas, y las siguientes relaciones
se mantienen:
En la literatura científica hay muchas otras funciones de dispersión dependientes del
ángulo, la cual es una fuente de confusiones interminables.
La sección transversal de dispersión diferencial dCsca/d, es definida como la energía
dispersada por unidad tiempo dentro de una unidad de ángulo sólido cerca de una dirección
,2 221211
1122
11
12
QQQ
S
SP
,221121
12 SSQ
.,, 2211||1122
1122 QiQiQQ
QQP
–la cual puede estar especificada por dos ángulos, el ángulo de dispersión y el ángulo
azimutal – por unidad de irradiación incidente. Esto es expresado en términos de la
irradiación dispersada Is(, ), la irradiación incidente Ii, y la distancia r al detector como
(dCsca/d no debe ser interpretada como la derivada de una función de ; esto se escribe
formalmente como una derivada solamente como ayuda a la memoria). Aunque, la cantidad
en el lado derecho de la ecuación (13.2) se refiere frecuentemente al “radio Rayleigh”, este
término se evitará a favor de una mejor descripción del término de la sección transversal de
dispersión diferencial. Si la luz incidente es sin polarizar
Para un medio isotrópico tal como la colección de muchas partículas aleatoriamente
orientadas, el cual puede ser además “anisotrópico”, la irradiación dispersada y por lo tanto
sección transversal de dispersión diferencial es independiente de .
La sección transversal de dispersión diferencial dividida por la dispersión total de la
sección transversal
.2
i
ssca
I
Ir
d
dC
.2 2
||
211
k
ii
k
S
d
dCsca
d
dC
Cp sca
sca
1
2.13
3.13
Es llamada función de fase, un término originado en las fases de los cuerpos astronómicos.
La función de fase esta de acuerdo con Van de Hulst (1957), pero difiere por un factor 4p
de las funciones fase de otros autores (Rosenberg, 1960; Hansen y Travis, 1974).
S. Propiedades de la Dispersión por Esferas.
Un ejemplo de la dispersión angular calculada para una esfera ya se ha dado (Fig.).Para
desarrollar además el entendimiento de la dispersión por esferas, se demuestra en varias
formas I||, I, y P para una secuencia de esferas que incrementan de tamaño en las figuras.
Cálculos para esferas con constantes ópticas apropiadas para agua a longitudes de onda
visible son mostrados en la fig.; I|| y I, se grafican en la izquierda, P en la derecha,
resultados similares para esferas con índice de refracción m = 1.5 + i0.0, el cual
corresponde aproximadamente a cuarzo fundido en la región visible, se muestran en la
figura.
Para parámetros de tamaño pequeños, son obtenidos patrones de dispersión de Rayleigh: la
luz polarizada perpendicularmente es dispersada isotrópicamente, mientras que la luz
polarizada paralela al plano de dispersión desaparece a un ángulo de dispersión de 90°
como consecuencia, la luz incidente sin polarizar esta completamente polarizada a 90°.
Para todos los tamaños I|| = I de 0 a 180°: las dos polarizaciones son indistinguibles en
esas direcciones debido a la simetría; en otras direcciones, el plano de dispersión impone
una distinción. Gráficas polares de función de dispersión se muestran en la fig para varias
gotitas de agua. Estas gráficas no contienen ninguna información nueva pero pueden evocar
imágenes físicas más agudas.
La primera desviación de la teoría de Rayleigh aparece como una asimetría hacia delante-
hacia atrás, con más luz siendo dispersada en direcciones hacia delante, también, el pico de
polarización decrece y cambia a ángulos más grandes. Como el tamaño es incrementado
además, la asimetría llega a ser más pronunciada y el lóbulo de dispersión hacia delante
estrecho dominante. Una concurrente en un incremento de tamaño es más ondulaciones,
como si nuevos picos aparecieran en la dirección de retrodispersión se desplazaran hacia
delante. La complejidad de dispersión incrementada es un indicador de su extrema
sensibilidad al tamaño. Así, la comparación de dispersión medida con conjuntos de cálculos
es un posible medio de medir esferas exactamente. Para un índice de refracción dado, el
número de picos en el patrón de dispersión da una medianamente buena medida del radio
de la esfera. Esta sensibilidad al radio, sin embargo, causa que la estructura sea eliminada
como la dispersión de tamaño en una colección de partículas incrementa, dando una
crecimiento a patrones mucho más finos.
Aplicabilidad de la Teoría de Mie.
La teoría de dispersión electromagnética para una esfera, la cual se ha llamado teoría de
Mie, provee de un método práctico solamente para calcular propiedades de dispersión de
luz de partículas finitas de tamaño e índice de refracción arbitrario. Claramente, sin
embargo, muchas partículas de interés no son esferas. Esto es por lo tanto de considerable
importancia para saber la extensión para la cual la teoría de Mie es aplicable a partículas no
esféricas. Para determinar esta generalización requiere de una gran cantidad de datos
experimentales y cálculos. Se resumirán abajo las similitudes y diferencias entre la
dispersión por partículas esféricas y no esféricas, en la esperanza de que esto provea una
guía para el uso juicioso de la Teoría de Mie.
La dispersión por una sola partícula o colección de partículas no esféricas orientadas puede,
diferente dispersión por esferas, será azimutalmente dependiente.
1. La dispersión de partículas no esféricas grandes es semejante a esferas de área
equivalente cerca de la dirección hacia delante.
2. Los ángulos del arco iris no son evidentes en los elementos de la matriz para partículas
no esféricas.
3. El diagrama de dispersión (luz incidente sin polarizar) para partículas no esféricas
tiende a ser más plano que aquel para esferas a ángulos más grandes entonces cerca de
90°.
4. Los elementos de la matriz de dispersión fuera del bloque diagonal son cero para
colecciones espejo-simétricas de partículas orientadas aleatoriamente, como ellas son
para esferas.
5. S21/S11 para partículas no esféricas tiende a ser de signo opuesto a aquella para
partículas esféricas.
6. Las desigualdades S22<S11 y S33= S44 se mantienen para partículas no esféricas. La
primera desigualdad implica que la sección de polarización no necesariamente
desaparece.
7. Hay alguna evidencia que S34/S11 para partículas esféricas y no esféricas están en el
mejor arreglo que otros elementos de matriz normalizados.
En conclusión: partículas no esféricas y esferas de área equivalente dispersan similarmente
cerca de la dirección hacia delante, pero las diferencias entre las dos tienden a aumentar con
el incremento del ángulo de dispersión.
Capítulo V Análisis
Capítulo VI Conclusiones
Capítulo VII Trabajo por Realizar