1 Guas de Ejercicios 1. Gua de ejercicios N1. Unidad II: Programacin Lineal. Problema 1 La oficina tcnica coordinadora de cultivos (OTCC), tiene a su cargo la administracin de 3 parcelas. El rendimiento agrcola de cada parcela est limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regado de la parcela por la comisin de aguas. Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes: Lasespeciesdisponiblesparaelcultivosonlaremolacha,trigoymaravilla,peroelministeriode agriculturahaestablecidounnmeromximodehectreasquepuedendedicarseacadaunode estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla: Los dueos de las parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en cada parcela se sembrarlamismafraccindesutierracultivable.Sinembargo,puedecultivarsecualquier combinacin en cualquiera de las parcelas. LatareaqueencaralaOTCCesplantearcuntashectreassedebendedicaralcultivodelas distintasespeciesencadaparcela,demododemaximizarlaganancianetatotalparatodaslas parcelas a cargo de la OTCC.

2 Problema 2 LaRefineraOILproducedostiposdegasolinasinplomo,regularyextraloscualesvendeasu cadena de estaciones de servicio en $12 y $14 por barril, respectivamente. Ambos tipos de gasolina sonpreparadosconmateriaprimadepetrleoloscualespuedenserpetrleonacionalrefinadoy petrleo importado refinado. Los tipos de gasolina deben cumplir con las siguientes especificaciones: Las caractersticas del inventario de petrleos refinados que posee OIL S.A. son las siguientes: Formule un modelode programacin lineal que permita saber lascantidades delos dos petrleos (nacional e importado) deber mezclar OIL S.A. en ambas gasolinas, a fin de maximizar la ganancia semanal. Problema 3. Solucin grfica. Supongamos una empresa que puede producir sillas y mesas, las que llamaremos: Xs: n de sillas. Xm: n de mesas. Paraesto,disponemosde2insumos,maderaymanodeobra,enlassiguientescantidades:450 Unid de madera y 400 hh. Parafabricarunasilla,necesitamos15uniddemaderay10hh.Parahacerunamesa15unidde madera y 20 hh. La ganancia unitaria es 45 por silla y 80 por mesa. Cunto producimos de cada producto?

3 2. Gua de ejercicios N2. Unidad III: Simplex. Ejemplo: 0 ,12 210.22 12 12 12 1 + + x xx xx xa sx x n mi Su forma estndar sera:Su forma matricial: 0 , , ,12 210.0 0 24 3 2 14 2 13 2 14 3 2 1= + += + ++ + x x x xx x xx x xa sx x x x n mi ( )|||

\|=||||||

\|((

||||||

\| 12101 0 1 20 1 1 1.0 , 0 , 1 , 243214321xxxxa sxxxxn mi Algoritmo simplex fase 2 es porque asume conocido el punto de partida. Iteraciones: Iteracin 0: Si parto de 2 1x x = = 0 { }{ }4 32 1,,x x xx x xBR== ((

= ((

=1 00 11 00 11B B ((

=((

((

= = ((

=1 21 11 21 11 00 11 21 11R B R R

4 |||

\|=|||

\|((

= =121012101 00 11b B b Por lo tanto, esta solucin es factible. Criterio de optimalidad: |||

\|=((

|||

\||||

\|=|||

\|121 21 1001221cc Estonosdice,quenoestamosenelptimo,yaqueloscostosreducidosdelasvariablesque probamoscomonobsicasestndandonegativos,porloqueingresandoalmenosunadeestas variablesnospodemosdesplazarenalgunadireccinquemejoramifuncinobjetivo,yaque reduciramos los costos. Criterio de entrada: { } 2 1 , 20 = ian mi1 Por lo tanto, sale 4xporque el 6 es el menor y este nmero esta asociado al segundo componente de los Bx . Aplicando el cambio de variables, nos queda: { }{ }1 32 4,,x x xx x xBR== Iteracin 1:

1 La primera coordenada esta asociada X3 y la segunda a X4.

5 ((

= ((

=21211012 01 1B B ((

=((

((

= = ((

=21212121212111 11 0011 11 0R B R R |||

\||||

\|=|||

\|((

= =004612100121211b B b Por lo tanto, esta solucin es factible. Criterio de optimalidad: 001111020102121212124|||

\|=|||

\||||

\|=((

|||

\||||

\|=|||

\|cc Como vemos, ahora si estamos en el ptimo, ya que los costos reducidos de las variables no bsicas son positivos.

6 Problema 1 Para un problema de planificacin de produccin una empresa ha planteado el siguiente modelo: Donde: La funcin objetivo mide la utilidad neta obtenida por la empresa en la venta de los artculos 1, 2 y 3. Las restricciones se refieren a las disponibilidades de recursos para la produccin. Sean X4 y X5 las variablesdeholguraparalasrespectivasrestriccionesfuncionales.Despusdelassucesivas iteraciones,enelptimosesabequelaempresadecidenofabricarelartculo1yqueagota completamente los recursos disponibles para la fabricacin. Adems, en el ptimo se sabe que: CB = (C3,C2) =( 2,1) Con la informacin anterior, se pide: 1.Determinarcuntasunidadesdecadaartculoseproducenyelmontodelbeneficiototal obtenido por la empresa (optativo). 2.ResuelvaelproblemaporelmtodoSimplexyverifiquequelasolucinptimaindicadaest correcta. 3.Indiquelosvaloresdeloscostosreducidosasociadosacadavariable,deunainterpretacinde los mismos. Problema 2 Verificaroptimalidadeidentificarparticularidaddelsiguienteproblemamedianteloscriteriosdel mtodo simplex.

7 06 22.2 12 12 1 + + +ixx xx xa sx x x ma

8 3. Gua de Ejercicios N3.Unidad IV: Dualidad. Problema 1

9

10 4.GuadeejerciciosN4/Pautaincluida.UnidadesI-V:Resumende Contenidos. Problema 1 Comente acerca de la veracidad o falsedad de las siguientes aseveraciones: 1. Si un problema de programacin lineal es infactible su dual es necesariamente no acotado. 2.SiconozcolasolucinptimadeunPPL,tengoinmediatamenteelvalordelafuncinobjetivo ptima del problema dual asociado sin necesidad de utilizar el teorema de holgura complementaria. 3.Siconozcolospreciossombradeunproblemadeprogramacinlinealpuedoreconstruir directamente la solucin (primal) de este problema. 4. El precio sombra de toda restriccin inactiva es cero. 5. Hacer anlisis de sensibilidad corresponde a utilizar la informacin dada por la resolucin de un PPL para ver cmo sera la nueva solucin si vara alguno de los parmetros del problema. SOLUCIONProblema 1 1. Falso, ya que el problema dual puede ser infactible.2.Verdadero,porquesetendrqueelvalordelafuncinobjetivodualptimacoincidirconel valor de la funcin objetivo primal ptima.3. Verdadero, puesel vector de precios sombras es elvector devariables duales ptimas. Luego, puedo aplicar el teorema de holgura complementaria para recuperar la solucin primal.4. Verdadero. Basta aplicar el teorema de holgura complementaria. Otra forma de verlo es a travs deunproblemadeproduccin(combinacindeproductos):Alaumentarmarginalmentela disponibilidad de un recurso sobre el cual tenemos holguras, no nos aporta ningn aumento de los beneficios.5. Falso. Eso correspondera a anlisis post optimal. Anlisis de sensibilidad estudia las condiciones que deben darse sobre los parmetros para que la solucin siga siendo ptima.

11 Problema 2 Unagranjautilizadospreparadosalimenticios(P1yP2)paralacradelganado.Elcostopro kilogramodeesosdospreparadosesde2unidadesmonetariasy3unidadesmonetarias respectivamente. Por otra parte, los aportes vitamnicos de cada kilo de los preparados se expresan en la siguiente tabla: Losexpertosennutricinanimalrecomiendanquecadaanimalrecibaalmenoslassiguientes unidades diarias de cada una de las vitaminas: Unidades diarias de Vitamina A 27Unidades diarias de Vitamina B 15Unidades diarias de Vitamina C 9 El objetivo de los responsables de la granja es decidir las cantidades diarias de cada uno de los dos preparadosquedebensuministrarseacadaanimal,deformaque,porunladosecumplanlas recomendaciones de los dietistas, y por otro se minimicen los costos de alimentacin del ganado. i.Plantee el PPL que permita a los responsables de la granja cumplir con su objetivo. ii.Planteeelproblemadualasociado,explicandocadaunodesuscomponentesen relacin al problema primal. SOLUCION Problema 2 El Planteamiento del modelo es: x1, x2 representan las cantidades diarias, en kilos, suministradas a cada animal de los preparados P1, P2 respectivamente. Min Z= 2x1+3x2 (costos en unidades monetarias por animal y da)s.a.5x1+3x2 27 (mnima cantidad unidades de vitamina A)1,5x1+3x2 15 (mnima cantidad unidades de vitamina B)1x1+1,5x2 9 (mnima cantidad unidades de vitamina C)x1 , x2 0 Luego el mnimo se alcanza en:Kg P1Kg P2 Unidades de Vitamina A 53 Unidades de Vitamina B 1,53 Unidades de Vitamina C 11,5

12 x1 = 3 ( 3 kg. del preparado P1)x2 = 4 ( 4 kg. del preparado P2)Z = 18 (18 unidades monetarias por animal y da)

13 EL DUAL SER: Pinsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado, que desea suministrar a la granjadelejemploanteriortrestiposdepastillasvitamnicas.Estaempresadebeconvenceralos responsablesdelagranjaparaqueaportenlasvitaminasqueelganadonecesitamediantesus pastillas,ynomediantelospreparadosquehastaahorautilizaban.Paraelloelpreciodeventade las pastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1, P2. Seany1, y2yy3 los precios por unidad delas vitaminas A, ByC respectivamente. Elobjetivo dela empresaesfijarunospreciosqueconsiganmaximizarsusbeneficiosperoqueademsresulten atractivo para los responsables de la granja. a)CadakilogramodelpreparadoP1aporta5unidadesdevitaminaA,1.5unidadesde vitaminaBy1unidaddevitaminaC.Elprecioquedeberapagarlagranjaporconseguir esasmismascantidadesdevitaminasenpastillassera:5y1+1,5y2+1y3.Alagranjanole resultaran rentables las pastillas a no ser que 5y1+1,5y2+1y3 2.b)Cada kilogramo del preparado P2 aporta 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina By1,5unidadesdevitaminaC.Elprecioquedeberapagarlagranjaporconseguiresas mismascantidadesdevitaminasenpastillassera:3y1+3y2+1,5y3.Alagranjanole resultaran rentables las pastillas a no ser que 3y1+3y2+1,5y3 3.c)Por supuesto, los precios de las pastillas vitamnicas deben ser positivos, por tanto se tienen adems las condiciones de no negatividad de y1, y2 y y3. Suponiendoquelagranjasedecidaporutilizarlaspastillas,comprarnjustamentelasnecesarias paraaportar lasnecesidades mnimas del ganadodecada una delas vitaminas.Es decir,porcada animal y da se compraran 27 unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 9 de vitamina C. Por tanto losingresosdelaempresaporlaventadelaspastillasserandeZ=27y1+15y2+9y3poranimal y da. Para establecer los precios, la empresa debera plantearse el programa lineal: Mx Z=27y1+15y2+9y3s.a.5y1+1,5y2+1y3 23y1+3y2+1,5y33y1, y2, y3 0 La solucin de dicho problema se alcanza cuando: y1= 0y2= 0yy3= 2 Z = 18 Observemoscomodosdelosprecioshanresultadosernulos.Estosignificaquelagranjaconlos preparados P1 y P2 solo debe preocuparse de aportar al ganado las unidades necesarias de vitamina C, ya que con ello conseguiran tambin los aportes necesarios de vitamina A y B. Es la razn por la cual la granja no necesita comprar unidades adicionales de vitamina A y B. AdemsaumentarleunaunidadmsalmnimodelavitaminaCenelrequerimientoalimenticio representa un aumento marginal de 2 unidades monetarias en la funcin objetivo del primal.

14 Problema 3 Considere el clsico problema de combinacin de productos sujeto a restricciones de disponibilidad de recursos: Max z = x1 + 3x2s.ax1 + 4x2 100x1 + 2x2 60x1 + x2 50x1, x2 0 1.Realice un anlisis de sensibilidad para el vector del lado derecho de las restricciones.2.Realice un anlisis de sensibilidad para el vector de coeficientes de la funcin objetivo.3.Suponga que se evala la posibilidad de fabricar un nuevo producto xnuevo de modo que el problema queda descrito como: Max z = x1 + 3x2 + xnuevos.ax1 + 4x2 + 5xnuevo 100x1 + 2x2 + 3xnuevo 60x1 + x2 + 2xnuevo 50x1, x2, xnuevo 0 Sigue siendo ptima la solucin anteriormente planteada? Hint: En el ptimo, la base est formada por las variables x1, x2 y x5, en donde se han asignado las variables x3, x4 y x5 como holgura de las restricciones segn el orden enunciado.

15 SOLUCION Problema 3

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18 Problema 4 LagerenciadeunParquedeDiversionesestplaneandolaorganizacindesusnuevas50Ha.De parqueentressectores:Cabalgatas,PlazadeComidasyShopping.CadaHa.Empleadaparalas cabalgatasgeneraunatasadegananciade$150/hora;cadaHaempleadaparaplazasdecomidas generaunatasadegananciade$200/hora.Lazonacomercialdestinadaparashoppinggenera $300/hora. Existen restricciones sobre cmo debe ser organizado el espacio disponible: El espacio total a ser organizado es de 50 Ha.El sector destinado para shopping no puede ser superior a 10 Ha.No ms de 200 personas pueden trabajar en el parque. Se requiere al menos 3 personas en elsector decabalgatas, 6empleados por Ha enel sector alimentacin,y 5empleados por Ha en el sector de shopping.La reglamentacin municipal exige que al menos deben haber 1000 rboles en el rea. Una Ha. en el sectoralimentacin tiene 30rboles;una Ha. enel sector de cabalgatas tiene 20 rboles; mientras que el sector comercial destinado para shopping no dispone de rboles. Se pide I.FormularelPPLcorrespondientealaorganizacindelas50Ha.deparque,quepermita maximizar la ganancia de la empresa. SOLUCION Problema 4 Formular el PPL correspondiente a la organizacin de las 50 HA de parque, que permita maximizar la ganancia de la empresa. Max Z = 150x1 + 200x2 + 300x3s.ax1 + x2 + x3 50x3 103x1 + 6x2 + 5x3 20020x1 + 30x2 1000x1, x2, x3 0

19 5. Gua de Ejercicios N5 / Pauta incluida. Unidad VI: Redes. Problema 1.

20 Desarrollo Problema 1.

21

22 Problema 2.

23 Desarrollo Pregunta 2.

24

25

26

27 Pregunta 3. (Pauta incluida)

28 Pregunta 4. (Pauta incluida)

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30 Pregunta 5.

31 Desarrollo Pregunta 5.

32 Pregunta 6. Una compaa dispone de tres fbricas para elaborar cuatro productos: A, B, C y D. La oferta de las tresfabricassonde900,1200y700unidadesrespectivamentesinimportarqueproductose fabrique.LasdemandadelproductoAesde500unidades,ladelproductoBesde700,mientras que la demanda de los productos C y D es igual a 900. La fabrica 3 no puede elaborar el producto B. Existe una penalizacin por demanda insatisfecha, la cual es para cada producto igual a un 25%de su menor costo, pero el producto B debe satisfacer toda su demanda. Los costos se entregan en la siguiente tabla: Se le pide encontrar el plan de distribucin ptimo para la compaa. FabricaABCD 14323 25442 3454

33 Desarrollo Pregunta 6. Tabla de Transporte A B C D Planta 14 3 2 3 900 Planta 25 4 4 2 1200 Planta 34 M 5 4 700 Dummy1 M 0,5 0,5 200 500 700 900 900 SolucinBsicaFactible:MtododelCostoMnimo(asignarlamayorcantidaddeproductosal casillero que presente el menor costo unitario. A B C D Planta 14 3 2 3 900 (1)900 0 Planta 25 4 4 2 1200 (2)300 900 Planta 34 M 5 4 700

34 (3)300 400 Dummy1 M 0,5 0,5 200 (4)200 500 700 900 900 Variables Bsicas: X(1,C), X(1,D), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,B), X(4,A) Nmero de Variables Bsicas: 7 (nmero de filas nmero de columnas = 7) Costo Total = 700M + 6200 -Costos reducidos variables bsicas CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,D) = 0: 3 = U1 + VD CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,B) = 0; M = U3 + VB CR(4,A) = 0; 1 = U4 + VA Hacemos U1 = 0 y nos queda U2 = -1 U3 = M - 5 U4 = M - 8 VA = 9 - M

35 VB = 5 VC = 2 VD = 3 -Costos Reducidos Variables no bsicas CR(1,A);4 (0 + 9 M) = M - 5 CR(1,B);3 (0 + 5) = -2 < 0 CR(2,A);5 (-1 + 9 M) = M -4 CR(2,C);4 (-1 + 2) = 3 CR(3,C);5 (M - 5 + 2) = - M + 8 < 0 CR(3,D);4 ( M 5 + 3) = - M + 6 < 0 CR(4,B);M (M 8 + 5) = 3 CR(4,C);0,5 (M 8 +2) = - M + 6,5 < 0 CR(4,D);0,5 (M 8+ 3) = - M + 5,5 < 0 Entra a la base X(4,D) La nueva tabla nos queda: A B C D Planta 14 3 2 3 900 900 0 Planta 25 4 4 2 1200 500 700 Planta 34 M 5 4 700

36 500 200 Dummy1 M 0,5 0,5 200 200 500 700 900 900 Variables Bsicas: X(1,C), X(1,D), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,B), X(4,D) Nmero de Variables Bsicas: 7 (nmero de filas nmero de columnas = 7) Costo Total = 700M + 6100 -Costos reducidos variables bsicas CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,D) = 0: 3 = U1 + VD CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,B) = 0; M = U3 + VB CR(4,D) = 0; 0,5 = U4 + VD Hacemos VD = 0 y nos queda U1 = 3 U2 = 2 U3 = M - 2 U4 = 0,5 VA = - M + 6

37 VB = 2 VC = - 1 -Costos Reducidos Variables no bsicas CR(1,A);4 (3 M + 6) = M - 5 CR(1,B);3 (3 + 2) = -2 < 0 CR(2,A);5 (2 M + 6) = M - 3 CR(2,C);4 (2 - 1) = 3 CR(3,C);5 (M 2 - 1) = - M + 8CR(3,D);4 (M 2 + 0) = - M + 6 CR(4,B);M (0,5 - 2) = M + 1,5 CR(4,C);0,5 (0,5 - 1) = 1 CR(4,A);0,5 (0,5 M + 6) = M + 6 Entra a la base X(3,D) A B C D Planta 14 3 2 3 900 900 0 Planta 25 4 4 2 1200 700 500 Planta 34 M 5 4 700 500 200 Dummy1 M 0,5 0,5 200

38 200 500 700 900 900 Variables Bsicas: X(1,C), X(1,D), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,D), X(4,D) Nmero de Variables Bsicas: 7 (nmero de filas nmero de columnas = 7) Costo Total = 8500 -Costos reducidos variables bsicas CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,D) = 0: 3 = U1 + VD CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,D) = 0; 4 = U3 + VD CR(4,D) = 0; 0,5 = U4 + VD Hacemos VD = 0 y nos queda U1 = 3 U2 = 2 U3 = 4 U4 = 0,5

39 VA = 0 VB = 2 VC = -1 -Costos Reducidos Variables no bsicas CR(1,A);4 (3 + 0) = 1 CR(1,B);3 (3 + 2) = - 2 CR(2,A);5 (2 + 0) = 3 CR(2,C);4 (2 - 1) = 3 CR(3,C);5 (4 - 1) = 2 CR(3,B);M (4 + 2) = M - 6 CR(4,B);M (0,5 + 2) = M 2,5 CR(4,C);0,5 (0,5 - 1) = 1 CR(4,A);0,5 (0,5 + 0) = 0 Entra a la base X(1,B) A B C D Planta 14 3 2 3 900 0 900 Planta 25 4 4 2 1200 700 500 Planta 34 M 5 4 700 500 200

40 Dummy1 M 0,5 0,5 200 200 500 700 900 900 Variables Bsicas: X(1,C), X(1,B), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,D), X(4,D) Nmero de Variables Bsicas: 7 (nmero de filas nmero de columnas = 7) Costo Total = 8500 -Costos reducidos variables bsicas CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,B) = 0: 3 = U1 + VB CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,D) = 0; 4 = U3 + VD CR(4,D) = 0; 0,5 = U4 + VD Hacemos VD = 0 y nos queda U1 = 1 U2 = 2 U3 = 4 U4 = 0,5 VA = 0

41 VB = 2 VC = 1 -Costos Reducidos Variables no bsicas CR(1,A);4 (1 + 0) = 3 CR(1,D);3 (1 + 0) = 2 CR(2,A);5 (2 + 0) = 3 CR(2,C);4 (2 + 1) = 1 CR(3,C);5 (4 + 1) = 0 CR(3,B);M (4 + 2) = M - 6 CR(4,B);M (0,5 + 2) = M 2,5 CR(4,C);0,5 (0,5 + 1) = -1 CR(4,A);0,5 (0,5 + 0) = 0 Entra a la base X(4,C) A B C D Planta 14 3 2 3 900 200 700 Planta 25 4 4 2 1200 500 700

42 Planta 34 M 5 4 700 500 200 Dummy1 M 0,5 0,5 200 200 500 700 900 900 Variables Bsicas: X(1,C), X(1,B), X(2,B), X(2,D), X(3,A), X(3,D), X(4,C) Nmero de Variables Bsicas: 7 (nmero de filas nmero de columnas = 7) Costo Total = 8300 -Costos reducidos variables bsicas CR(1,C) = 0; 2 = U1 + VC CR(1,B) = 0: 3 = U1 + VB CR(2,B) = 0; 4 = U2 + VB CR(2,D) = 0; 2 = U2 + VD CR(3,A) = 0; 4 = U3 + VA CR(3,D) = 0; 4 = U3 + VD CR(4,C) = 0; 0,5 = U4 + VC Hacemos VD = 0 y nos queda U1 = 1 U2 = 2

43 U3 = 4 U4 = - 0,5 VA = 0 VB = 2 VC = 1 -Costos Reducidos Variables no bsicas CR(1,A);4 (1 + 0) = 3 CR(1,D);3 (1 + 0) = 2 CR(2,A);5 (2 + 0) = 3 CR(2,C);4 (2 + 1) = 1 CR(3,C);5 (4 +1) = 0 CR(3,B);M (4 + 2) = M - 6 CR(4,B);M (-0,5 + 2) = M - ,15 CR(4,D);0,5 (-0,5 + 0) = 1 CR(4,A);0,5 (-0,5 + 0) = 1 Dadoquetodosloscostosreducidossonpositivossonmayoresoigualesquecero,lasolucin propuesta es ptima, pero no nica (CR = 0).

44 Pregunta 7

45 Desarrollo Pregunta 7. { } { }{ } { }( )( ){ } { }( )( ) = == + == + == = == + = == + === = = == = = = == =7654765427 635 24 18 , 4 4 min5 6 , 1 4 min7 , 6 , 5 , 4 3 , 2 , 138 , 5 3 min6 , 3 3 min47 , 6 , 5 , 4 , 2 3 , 12347 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 11 V TIteracinV TIteracinV TIteracin { } { }( )( ){ } { }( )( ){ } { }( ) 9 9 , 2 8 min7 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 169 , 2 7 min85 8 , 5 min7 , 5 6 , 4 , 3 , 2 , 157 8 , 2 5 min8 8 , 3 5 min7 , 6 , 5 4 , 3 , 2 , 147755765= + == == + === + == = == + == + == =V TteracinV TIteracinV TIteracin

46

47 Pautas Guas de Ejercicios 1. Pauta Gua de Ejercicios N1. Unidad II: Programacin Lineal. Problema 1. 1. Variables de decisin: 2. Planteamiento de restricciones: a) Restriccin de tierra disponible por parcela. b) Restriccin disponibilidad de agua por parcela c) Restriccin de cuota mxima de cultivo por especie d) Restriccin de misma proporcin de tierra cultivable e) Restriccin de no negatividad

48 3. Planteamiento de la Funcin Objetivo:

49 Problema 2. 1. Variables de decisin: 2. Planteamiento de Restricciones: a) Restriccin de Demanda (Mximo) b) Restriccin de Demanda (Mnimo) c) Restriccin de Disponibilidad de Suministros d) Restriccin de Especificaciones de la Mezcla e) Restriccin de no negatividad 3. Planteamiento de la Funcin Objetivo: SeproducirunacantidadX1+X2degasolinaregularygenerarauningresode12(X1+X2),se producirunacantidadX3+X4deextraygenerarauningresode14(X3+X4).Seusarauna cantidad X1 + X3 de petrleo nacional, a un costo de 8(X1 + X3); se usara una cantidad X2 + X4 de importado, a un costo de 15(X1 + X3). La ganancia total, z, es el ingreso menos el costo:

50 Problema 3 Max m sx x Z 80 45 + =s.a 400 20 10450 15 15 + +m sm sx xx x 00msxx. Al resolver las ecuaciones, tenemos que la solucin grfica queda de la siguiente forma. ( ) ( )( ) ( ) 0 , 40 , 20 , 0 :0 , 30 , 30 , 0 :21RR

51 2. Pauta Gua de Ejercicios N3. Unidad IV: Dualidad. Problema 1.

52

53 Problema 2.

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56 Problema 3

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58