1. Aproximar, con cuatro cifras decimales, el area de la region limitada por la curva f(x) = sen x, el eje x y las rectas

x =

6y x =

5

6, considerando la particion uniforme y usando 6 rectangulos circunscritos.

2. Aproximar, con cuatro cifras decimales, el area de la region limitada por la curva f(x) = cosx, el eje x y las rectas

x = 0 y x =

2, considerando la particion uniforme y usando 6 rectangulos inscritos.

3. Hacer la grafica de los integrandos y usar el valor del area para evaluar las integrales.

i.

04

16 x2dx ii.

11

(1 +

1 x2)dx iii. 11

(2 |x|)dx

iv.

20

2x x2dx v.

03

(1 +

9 x2)dx vi. 33|1 x|dx

4. Dada f y el intervalo [a, b], hacer lo siguiente:

a. Para n = 7, calcular la suma de Riemann de f en el intervalo dado utilizando la particion proporcionada. Tomara wk como el punto medio del subintervalo correspondiente. Especificar el area de cada uno de los rectangulos.

b. Considerando la particion uniforme y a wk a gusto personal, evaluar

ba

f(x) dx como el lmite de una suma de

Riemann.

c. Calcular el area exacta de la region situada entre la grafica de f , el eje x y las rectas x = a y x = b. Dibujar laregion correspondiente.

d. Por que los valores obtenidos en los incisos ii. y iii. no son iguales?

i. f(x) = x3 x, [1, 2], P = {1,0.7,0.3, 0.2, 0.8, 1.3, 1.7, 2}ii. f(x) = 3 2x x2, [5,1], P = {5,4.44,3.98,3.18,2.66,1.94,1.3,1}iii. f(x) = x2 + 5x 4, [2, 6], P = {2, 2.4, 2.64, 2.9, 3.8, 4.5, 5.14, 6}

5. Encontrar la derivada de las siguientes integrales de dos maneras:

a. evaluando la integral y derivando el resultado.

b. derivando la integral directamente.

i.d

dx

x0

cos t dt ii.d

dx

sen x1

3t2 dt iii.d

dt

t40

u du iv.

d

d

tan 0

sec2 y dy

6. Encontrar la derivada de la funcion.

i. g(x) =

x1/x

1

tdt ii. g(x) =

sen xcos x

1

1 t2dt iii. y =

7x2x

2 + cos3 t dt iv. y =

x2+1x32

dt

t

7. Resolver los siguientes ejecicios.

i. Si F (x) =

x1

f(t)dt, donde f(t) =

t21

1 + u4

udu, encontrar F (2).

ii. Encontrar el intervalo en el cual la curva y =

x0

1

1 + t+ t2dt es concava hacia arriba .

iii. Suponiendo que

x1

f(t)dt = x2 2x+ 1, encontrar f(x).

iv. Encontrar f(4) si

x0

f(t)dt = x cos(x).

v. Si f(1) = 12, f es continua y

41

f (x) dx = 17, cual es el valor de f(4)?

vi. Supongase que F (x) es una antiderivada de f(x) =sen x

x, x > 0. Expresar

31

sen 2x

xen terminos de F .

8. Evaluar las integrales.

i.

x3x2 9 dx ii.

(tan 2x+ cot 2x)2 dx iii.

sec x tan x cos(sec x) dx

iv.

6x2 sen x3 dx v.

1 +

1

3x

dx

x2vi.

(t+

1

t

)3/2(t2 1t2

)dt

vii.

2 sen x 3

1 + cos x dx viii.

cos x (2 + sen x)5 dx ix.

tt+ 3

dt

x.

10

z

(z2 + 1)3dz xi.

41

x(2 + x) dx xii.

10

y2 + 2y3y3 + 3y2 + 4

dy

xiii.

33

3 + |x| dx xiv.

/60

(sen 2x+ cos 3x)dx xv.

1/20

sec2(

2t)

tan(

2t)dt

xvi.

/30

sen + sen tan2

sec2 d xvii.

50

(2ex + 4 cos x) dx xviii.

01

(2x ex) dx

xix.

e1

x2 + x+ 1

xdx xx.

/23/8

sec2( 2)d xxi. 0

sen 2(

1 +

2

)d

xxii.

10

tt2 + 1 dt xxiii.

0

sen 2(x

4

)cos(x

4

)dx xxiv.

320

cos2(3/2) d

xxv.

52|x 3| dx xxvi.

3/20

|sen x| dx xxvii. 10

x3 + 1

x+ 1dx

xxviii.

41

5

xdx xxix.

30

(x+ 2)x+ 1 dx xxx.

31

t2t2 + 8

dt

xxxi.

11/8

x1/3(1 x2/3)3/2dx xxxii. /30

tan 2 sec

d xxxiii.

10

10v

(1 + v3/2)2dv

xxxiv.

2/3

tan3(x

4

)sec2

(x4

)dx xxxv.

2/42/36

cost

t sentdt xxxvi.

/20

3 sen x cosx1 + 3 sen 2x

dx

9. Hallar el area de las regiones encerradas por las curvas:

i. y = x4 4x2 + 4 y y = x2. ii. y = xa2 x2, a > 0, y y = 0. iii. x = 2y2, x = 0 y y = 3.

iv. x = y2 1 y x = |y|

1 y2. v. y = sec2(x

3

)y y = x1/3, 1 x 1. vi. x = y3 y2 y x = 2y.

10. Hallar el area de la region del primer cuadrante acotada por la recta y = x, la recta x = 2, la curva y =1

x2y el eje

x.

11. Hallar el area de la region entre la curva y = 3 x2 y la recta y = 1 integrando respecto a (a) x y (b) y.

12. Hallar el area de la region en el primer cuadrante que esta acotada por la izquierda por el eje y, por abajo por la

recta y =x

4, por arriba a la izquierda por la curva y = 1 +

x y por arriba a la derecha por la curva y =

2x

.

2

13. Encontrar el volumen del solido entre los planos perpendiculares al eje x por x = 1 y x = 1 y cuyas seccionestransversales, descritas en los incisos y perpendiculares al eje x entre estos planos, van del semicrculo y =

1 x2

al semicrculo y =

1 x2.

i. Discos circulares cuyos diametros estan en el plano xy.

ii. Cuadrados cuyas bases estan en el plano xy.

iii. Cuadrados cuyas diagonales estan en el plano xy.

iv. Triangulos equilateros cuyas bases estan en el plano xy.

14. Hallar el volumen del solido entre los planos perpendiculares al eje x por x = 1 y x = 1 cuyas secciones transversales,perpendiculares al eje x, son discos circulares cuyos diametros van de la parabola y = x2 a la parabola y = 2 x2.

15. Hallar el volumen del solido cuya base es la region entre la curva y = 2

sen x y el intervalo [0, ] en el eje x. Lassecciones transversales perpendiculares al eje x son:

i. Triangulos equilateros verticales cuyas bases van desde el eje x a la curva.

ii. Cuadrados verticales cuyas bases van desde el eje x a la curva.

16. Hallar el volumen del solido cuya base es el disco x2 + y2 = 1 y cuyas secciones transversales, perpendiculares al ejey entre y = 1 y y = 1, son triangulos rectangulos isosceles con un cateto en el disco.

17. Hallar el volumen del solido generado al girar la region acotada por las curvas x = tan(

4y)

y la recta y = 1

alrededor del eje y.

18. Hallar el volumen del solido generado al girar la region acotada por las curvas y = secx, y = 0, x = 4

y x =

4alrededor del eje x.

19. Hallar el volumen del solido generado al girar la region acotada por las curvas x =

5y2, x = 0, y = 1 y y = 1alrededor del eje y.

20. Hallar el volumen del solido generado al girar la region acotada por las curvas x =

2y

y2 + 1, x = 0 y y = 1 alrededor

del eje y.

21. La region en el segundo cuadrante acotada por arriba por la curva y = x3, por abajo por el eje x y por la izquierdapor la recta x = 1, gira alrededor de la recta x = 2 para formar un solido. Encontrar su volumen.

22. Encontrar el volumen del solido generado al girar las regiones acotadas por las curvas dadas alrededor de los ejesindicados y dibujar la region generatriz.

i. y = x2 + 1, y = x+ 3, eje x ii. y = 2x 1, y =x, x = 0, x 0, eje y

i. y = 4 x2, y = 2 x, eje x ii. y = x2, y = 2 x, x = 0, x 0, eje y

23. Encontrar el volumen del solido generado al girar la region acotada por la curva x = 12(y2 y3) y el eje y alrededorde la lnea y =

8

5.

24. Encontrar la derivada respecto a x usando diferenciacion logartmica.

i. y =

1 x2

(x+ 1)2/3ii. y = xx

2

, x > 0 iii. y = (sen x)tan x, sen x > 0

iv. y =x3 + 2x5x7 + 1

v. y = xx, x > 0 vi. y = xcos x, x > 0

25. Encontrar la derivada respecto a x de las siguientes funciones.

i. y = sen (ln |2x+ 1|) ii. y = ln(e4x 1e4x + 1

)iii. y = tan(e3x) + etan 3x

iv. y =

loga x v. y = 2csc 3x vi. y = sec

(3x

2)

vii. y = x sen 1(x) +

1 x2 viii. y = tan1x2 1 + csc1 x ix. y = sec1

(1

x

)

3

x. y = sec(e2x) + e2 sec x xi. y = 4sen 2x xii. y = tan(23x)

xiii. y =x2 1 sec1 x xiv. y = cot1

(1

x

) tan1 x xv. y = cos1

(1

x

)

xvi. y = sen 1(

1x

)xvii. y =

x 5x

2 log5 xxviii. y = 2

x 1 sec1

x

xix. y = log5

(7x

3x+ 2

)ln 5xx. y = ln(cos1 x) xxi. y = 4csc

1 2x

xxii. y = (1 + x2)etan1 x xxiii. y = (1 + x2) cot1(2x) xxiv. y = sen 1

(log4x4 + 3x2

)26. Resolver las integrales.

i.

2 3 sen 2x

cos 2xdx ii.

5 4y2

3 + 2ydy iii.

53

2x

x2 5 dx iv. /20

cos t

1 + 2 sen tdt

v.

/6/12

(cot 3x+ csc 3x)dx vi.

4ln(1/x)

xdx vii.

log2(x

2)

xdx viii.

sec2 y dy1 tan2 y

ix.

21

8 dx

x2 2x+ 2 x.

dx

(x 2)x2 4x+ 3

xi.

cos 3x+ 3

sen 3xdx xii.

3x2

5x3 1 dx

xiii.

51

4z3 12z 1 dz xiv.

sen 3t

cos 3t 1 dt xv. /60

(tan 2x+ sec 2x)dx xvi.

(log3 x)

2

xdx

xvii.

e/41

4 dt

t(1 + ln2 t)xviii

11/2

6 dt3 + 4t 4t2

xix.

dx

(x+ 1)x2 + 2x

xx.

e3x

(1 2e3x)2 dx

xxi.

2 + ln2 x

x(1 lnx) dx xxii.ey2e

y

3ey

dy

27. Hallar los valores extremos absolutos (maximo y mnimo, si existen), de f(x) = ex 2x.

28. Hallar el valor maximo absoluto de f(x) = x2 ln

(1

x

)e indicar donde se presenta.

29. Evaluar las siguientes integrales.

i.

x tan1 x dx ii.

sen (t) ln(cos t) dt iii.

42

sec1t dt

iv.

cot1

z

zdz v.

41

x lnx dx vi.

sen 1w dw

30. Evaluar las siguientes integrales.

i.

x2

x2 + x 6dx ii.

dx

x3 + 3x2iii.

x2

x2 1dx iv.

dx

x4 x2v.

8x2 + 8x+ 2

(4x2 + 1)2dx

31. Evaluar las siguientes integrales .

i.

sec2 x

(4 tan2 x)3/2ii.

ln3 w dw

w

ln2 w 4iii.

41

dx

x4

16 + x2iv.

dx

x

25 x2

v.

ex dx

(9e2x + 1)3/2vi.

32

dx

xx4 4

4

32. Aproximar el valor de las integrales dadas con cuatro subdivisiones usando la Regla del Trapecio y la Regla deSimpson. Ademas:

a. Encontrar la cota superior para el error de aproximacion con la Regla del Trapecio y con la Regla de Simpson.

b. Estimar el numero mnimo de subdivisiones que se necesitan para aproximar la integral con un error de magnitudinferior a 104 con la Regla del Trapecio y con la Regla de Simpson.

i.

42

1

(s 1)2ds ii.

30

x+ 1 dx iii.

30

dxx+ 1

33. Dada

10

ex2

dx,

a. Aproximar su valor con seis subdivisiones usando la Regla del Trapecio y la Regla de Simpson

b. Encontrar la cota superior para el error de aproximacion con la Regla del Trapecio.

c. Estimar el numero mnimo de subdivisiones que se necesitan para aproximar la integral con un error de magnitudinferior a 104 con la Regla del Trapecio.

34. Una fabrica hace laminas de acero corrugado como la que se muestra en la figura. Las secciones transversales de las

laminas corrugadas corresponden a la curva y = sen

(3

20x

), para 0 x 20 pulgadas.

Si estas laminas se van a producir moldeando laminas planas mediante un proceso que no estire el material de queancho debe ser el material original? Usar integracion numerica (con el el metodo que se desee, regla del Trapecio oRegla de Simpson con n = 8) para aproximar la longitud pedida.

35. Calcular el lmite indicado, si existe.

i. limx0

tanx xx sen x

ii. limx0

sen 2x

sen x2iii. lim

x+

sen

(2

x

)1

x

iv. lim0

sen tan3

v. limx/2

ln(sen x)

( 2x)2vi. lim

x0

ex cosxx sen x

vii. limx0

e2x21

sen 2xviii. lim

z+

1 e1/z

3z

ix. limx

1

x2 2 tan1

(1

x

)1

x

x. limx+

(lnx)3

xxi. lim

x0+tanx(lnx) xii. lim

x1

(1

lnx 1x 1

)

xiii. limx0+

(1 + x)ln x

xiv. limx0+

xsen x xv. limx+

(x2

x4 x2 + 2

)xvi. lim

x0+x1/ ln x xvii. lim

x+(ex + x)

2/xxviii. lim

x0+(sen x)

x2

xix. limx

(1 +

1

2x

)x2xx. lim

x0[(cosx)ex

2/2]4/x4

xxi. limx0

(cosx)1/x2

5

36. Determinar si la integral impropia es convergente o divergente. Si es convergente, evaluarla.

i.

30

dx9 x2

ii.

02

d

( + 1)3/5iii.

3

2 du

u2 2uiv.

0

x e3x dx

v.

dx

4x2 + 9vi.

4 dx

x2 + 16i.

6

d2 + 1

ii.

0

eu cosu du

iii.

1

ln z

zdz iv.

1

ettdt v.

dx

ex + exvi.

dx

x2(1 + ex)

37. Encontrar las longitudes de las siguientes curvas en los intervalos indicados:

i. y =1

3(x2 + 2)3/2, desde x = 0 hasta x = 3 ii. x =

y0

sec4 t 1 dt, para

4 y

4

iii. y =

x2

3t4 1 dt, 2 x 1 iv. y =

x0

cos 2t dt, desde x = 0 hasta x =

4

v. 8y = x4 + 2x2, desde x = 1 hasta x = 2 vi. x2 = (2y + 3)3, desde el punto (1,1) hasta el punto (77, 2)

38. Determinar el area de la superficie generada al hacer girar la curva alrededor del eje indicado.

i. x =y3/2

3 y1/2, 1 y 3, eje y ii. y =

x+ 1, 1 x 5, eje x

6