guiadeejerciciosmatematicasactuarialesyfinancieras2004

MATEMÁTICA FINANCIERA

Guía de Ejercicios de

Matemática Actuarial

Año 2004

CONTENIDO

UNIDAD Nº 9:

- Funciones biométricas elementales.- Probabilidad de vida y muerte para una persona.- Vida Media.

UNIDAD Nº 10:

- Seguros en caso de vida. - Rentas vitalicias pagaderas en fracciones de año.- Seguros en caso de muerte.- Primas anuales de los diferentes seguros.- Primas pagaderas en fracciones de año.- Primas de tarifa

UNIDAD Nº 11:

- Deudas (reservas) matemáticas.

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AUTORES:

Cra. Laura Bravino

Cr. Oscar Margaría

Cra. Claudia Peretto

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FUNCIONES BIOMÉTRICAS

PROBABILIDAD DE VIDA Y MUERTE PARA UNA PERSONA

VIDA MEDIA

FUNCIONES BIOMÉTRICAS

Son funciones que miden la vida de las personas y que conforman las columnas de una tabla de mortalidad.

Función de Sobrevivientes

Indica la cantidad de personas vivas de edad exacta y se simboliza como .

Función de Fallecidos Indica la cantidad de personas fallecidas entre las edades y , y se simboliza como

.También podemos decir que es la cantidad de personas que habiendo cumplido la edad exacta , no han llegado a cumplir la edad .

Función Probabilidad de que una persona de edad exacta sobreviva un año más.

Función Probabilidad de que una persona de edad exacta fallezca sin alcanzar la edad . También conocida como tasa teórica de mortalidad.

Función Representa un grupo de personas que no tienen una edad exacta sino que las edades de estas personas están comprendidas entre y .

Tasa central de mortalidad

La simbolizamos como , y se puede calcular en función de o de la tasa teórica de

mortalidad .

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PROBABILIDAD DE VIDA Y MUERTE PARA UNA PERSONA

: probabilidad de que una persona que tiene exactamente la edad , llegue con vida a la edad , o sea la probabilidad de vivir años más.

: probabilidad de que una persona de edad fallezca dentro de los años siguientes.

Estas dos probabilidades son complementarias, dado que son dos casos mutuamente excluyentes, muere o vive. Por lo tanto la suma de las dos probabilidades debe darnos 1.

: probabilidad de tipo interceptada. Es la probabilidad de que un individuo de edad exacta x fallezca dentro de los n años siguientes a los m primeros:

: probabilidad de que un individuo de edad exacta fallezca exactamente en el año n-ésimo:

VIDA MEDIA

Es el promedio de años que le queda por vivir a una persona de determinada edad, según una tabla de mortalidad, en el supuesto que el total de años que le queda por vivir al grupo, se distribuyera en forma uniforme, entre todos los componentes del grupo.

Vida Media Inmediata Significa que empezamos a computar los años vividos inmediatamente de considerada la edad.

- Vida Media completa:

- Vida Media abreviada: considera únicamente los años enteros vividos

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Vida Media Diferida Promedio de años probables de vida de una persona de edad , pero después de transcurridos n años.

- Vida Media completa:

Vida Media Temporaria Años probables de vida de una persona de edad , pero dentro de los próximos n años.

Vida Media Interceptada

- Restando de una temporaria una temporaria

- Restando de una diferida por una diferida por

- Restando de una inmediata, una temporaria y una diferida por

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RENTAS ALEATORIAS Y SEGUROS

SEGUROS SOBRE LA VIDA HUMANA

SEGUROS EN CASO DE VIDA

De Capital Diferido

Seguros en De pagos constantes InmediatasCaso de Rentas Vitalicias De pagos fraccionados DiferidasVida (Vencidas o De pagos variables Temporarias

Anticipadas) Interceptadas

Capital Diferido

Ax :n1 =n Ex=

D x+n

D x

Capital diferido por n años contratado por una persona de edad x y representa la prima pura y única que debe abonar una persona de x años de edad, para tener derecho a percibir $1 luego de transcurridos n años y al final del año n-ésimo siempre que esté con vida.

Rentas Vitalicias

Rentas Vitalicias Inmediatas Vencidas

ax=N x+1

D x

Prima pura y única que debe pagar el asegurado de edad exacta x para tener derecho a cobrar $1 al final de cada año mientras esté con vida.

Rentas Vitalicias Inmediatas Anticipadas

äx=N x

D x

=1+ax

Prima pura y única que debe pagar el asegurado de edad exacta x para tener derecho a cobrar $1 al principio de cada año mientras esté con vida.

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Rentas Vitalicias Diferidas Vencidas

n /ax=N x+n+1

D x

Prima pura y única que debe pagar el asegurado de edad exacta x para tener derecho a cobrar $1 al final de cada año, a partir de la edad x + n y mientras esté con vida.

Rentas Vitalicias Diferidas Anticipadas

n /äx=Nx+n

D x

Prima pura y única que debe pagar el asegurado de edad exacta x para tener derecho a cobrar $1 al principio de cada año, a partir de la edad x + n y mientras esté con vida.

Rentas Vitalicias Temporarias Vencidas

ax :n¬¿=

Nx+1

− Nx+n+1

Dx

¿

Prima pura y única que debe pagar el asegurado de edad exacta x para tener derecho a cobrar $1 al final de cada año, durante los n primeros años de haber contratado el seguro y mientras esté con vida.

Rentas Vitalicias Temporarias Anticipadas

äx :n¬¿=

Nx−N

x+nD

x

¿

Prima pura y única que debe pagar el asegurado de edad exacta x para tener derecho a cobrar $1 al principio de cada año, durante los n primeros años de haber contratado el seguro y mientras esté con vida.

Rentas Vitalicias Interceptadas Vencidas

n /ax :n¬¿=

Nx+n+1

−Nx+n+m+1

Dx

¿

Prima pura y única que debe pagar el asegurado de edad exacta x para tener derecho a cobrar $1 al final de cada año, entre las edades x + n y x + n + m y mientras esté con vida.

Rentas Vitalicias Interceptadas Anticipadas

n /äx :n¬¿=

Nx+n

−Nx+n+m

Dx

¿

8

Prima pura y única que debe pagar el asegurado de edad exacta x para tener derecho a cobrar $1 al principio de cada año, entre las edades x + n y x + n + m y mientras esté con vida.

RENTAS VITALICIAS PAGADERAS EN FRACCIONES DE AÑO

Simbolizamos por:

ax(m) (vencida)ó

äx(m) (adelantada)

a la prima pura y única que debe abonar una persona de x años de edad, para tener derecho a cobrar al (final o al principio) de cada m-ésima parte del año y mientras esté con vida, una m-ésima parte de $1.

Supuesto: la mortalidad de los asegurados se produce en forma uniforme durante el año.

InmediatasRentas Vitalicias Diferidas vencidospagaderas en fracciones Temporarias de pagosde año Interceptadas anticipados

Inmediatas, de pagos vencidos :

ax( m)=ax+

m−12 m

Inmediatas, de pagos adelantados:

äx( m)=ax+

m+12 m

Diferidas, de pagos vencidos:

n /ax( m)=

n /ax+n Exm−12 m

Diferidas, de pagos adelantados:

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n /äx( m)=

n /äx+n Exm+12 m

Temporarias, de pagos vencidos:

ax :n(m )=ax :n+

m−12 m (1−n Ex )

Temporarias, de pagos adelantados:

äx :n(m )=ax :n+

m+12 m (1−n Ex )

Interceptadas, de pagos vencidos:

n /ax :r( m)=

n /ax :r+m−12 m (n Ex −n+r Ex )

Interceptadas, de pagos adelantados:

n /äx :r( m)=

n /ax :r+m+12 m ( n Ex −n+r Ex )

SEGUROS EN CASO DE MUERTE

Ordinario, o de vida enteraSeguros en Caso TemporarioDe Muerte Diferido

Interceptado

Seguro Ordinario o de Vida Entera

Ax=M x

D x

Prima pura y única que da derecho a los beneficiarios a cobrar $1 al final del año en que fallezca el asegurado.

Seguro Temporario

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Ax :n1 =

M x−M x+n

D x

Prima pura y única que da derecho a los beneficiarios a cobrar $1 al final del año en que fallezca el asegurado, siempre que éste muera dentro de los n primeros años de contratado el seguro.

Seguro Diferido

n / Ax=M x+n

D x

Prima pura y única que da derecho a los beneficiarios a cobrar $1 al final del año en que fallezca el asegurado, siempre que éste muera a partir de la edad x + n.

Seguro Interceptado

Prima pura y única que da derecho a los beneficiarios a cobrar $1 al final del año en que fallezca el asegurado, siempre que éste muera entre las edades x + n y x + n + m.

SEGUROS MIXTOS

Para caso de vida Dotal simpleSeguros Mixtos y

Para caso de muerte A Capital Doblado

Dotal Simple

Ax :n=M x−M x+n+ Dx+n

Dx

Prima pura y única que da derecho a los beneficiarios a cobrar $1 al final del año en que fallezca el asegurado, siempre que éste muera dentro de los n años de contratado el seguro, y si llega con vida al año n, cobra un capital diferido.

A Capital Doblado

2 c Ax :n=M x+ Dx+n

Dx

Prima pura y única que da derecho a los beneficiarios a cobrar $1 al final del año en que fallezca el asegurado, siempre que éste muera dentro de los n años de contratado

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el seguro, y si llega con vida al año n, cobra un capital diferido. Incluye un tercer beneficiario.

PRIMAS ANUALES DE LOS DIFERENTES SEGUROS

Supondremos que la prima anual se paga sin límites en el tiempo, y que el valor actual de la prima única del seguro (A) es igual a la suma de los valores actuales de las primas anuales (X).

En este caso, la prima anual será:

X= Aäx

⇒P= Aäx

Si la prima anual sólo se abona hasta el año t:

t P= Aäx : t

; t <n

Podemos calcular primas anuales para:

- Capital Diferidoa) Seguros en caso de vida - Rentas Vitalicias - Diferidas

- Interceptadas

- Ordinario - Diferido

b) Seguros en caso de muerte - Temporario- Interceptado - Dotal Simple- Capital Doblado

a) Seguros en caso de vida

Prima anual de un capital diferido :

Px :n1=

n Ex

äx : n

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t Px : n1=

n Ex

äx : t

=Dx+n

N x−N x+t

; t <n

Prima anual de una Renta Vitalicia Diferida :

P (n /ax )=N x+n+1

N x−N x+n

Prima anual de una Renta Vitalicia Interceptada :

P (n /max )=N x+n+1−N x+n+m+1

N x−N x+n

b) Seguros en caso de muerte

Prima anual del seguro ordinario de vida:

Caso en que la prima anual se pague por vida del asegurado:

Px=Ax

äx

=M x

N x

Caso en que la prima anual se pague temporariamente:

t Px=A x

äx : t

=M x

N x−N x+t

Prima anual del seguro diferido:

Pago de la prima sin límite de tiempo:

n / Px=n / A x

äx

=M x+n

N x

Pago de la prima hasta el año t:

n / Px (t )=n / Ax

äx : t

=M x+n

N x−Nx+t

Prima anual de un seguro temporario :

Px :n1 =

A x :n

äx :n

=M x−M x+n

N x−N x+n

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Prima anual de un seguro interceptado :

Pago hasta el momento t (temporario por t años, para t<m+n):

n /m Px(t )=n ¿m A x

äx : t

=M x+n−M x+n+m

N x−N x+t

Pago hasta el momento del vencimiento del seguro (temporario por n+m años):1

n /m Px(n+m )=n ¿m Ax

äx :n+m

=M x+n−M x+n+m

N x−N x+n+m

Prima anual de un seguro dotal simple :

Px :n=A x :n

äx :n

=M x−M x+n+D x+n

N x−Nx+n

Prima anual de un seguro a capital doblado :

2 c Px :n=

2 c Ax :n

äx :n

=M x+D x+n

N x−N x+n

Primas pagaderas en fracciones de año

Simbolizamos por m = el número de veces en que se divide el pago de la prima anual.

Siendo el valor actual de la prima única igual a la suma de los valores actuales probables de las primas que se pagan en fracciones de año y sin límite:

Ax=Px(m ) .äx( m)

Para un seguro ordinario :La prima que se abona cada m-ésima parte del año y sin límite en el tiempo (por vida del asegurado) para un seguro ordinario de vida es igual a:

Px(m )=

M x

N x+1+m+12 m

Dx

Si la Prima se abona hasta el año t:

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t Px(m )=

Ax

äx : t

(m ) =Ax

ax : t+m+12m

(1−t Ex )=

M x

N x +1−N x+t+1+m+12 m

(D x−D x+t )

Para un seguro temporario :

Px :n1(m )

=A x :n

äx :n

( m)=

M x−M x+n

N x+1−N x+n+1+m+12m

( D x−D x+n )

Para un seguro diferido :

Pagadera sin límite en el tiempo:

n / Px(m )=

n / Ax

äx

(m )=

M x+n

N x+1+m+12m

D x+n

Pagadera hasta el año t:

n / Px (t )(m) =

n / Ax

äx : t

(m )=

M x+n

N x+1−N x+t+1+m+12 m

( Dx−Dx +t)

Para un seguro interceptado :

n /r Px(t )(m ) =

n ¿ rAx

äx : t

( m ) =M x+n−M x+ n+r

N x +1−N x+t+1+m+12m

( Dx−Dx+ t)

Primas de TarifaLas primas de tarifa o primas comerciales, incluyen las primas puras y las cargas

adicionales para solventar los gastos de la compañía, pagar los intereses de los capitales solicitados en préstamo, reservas para cubrir aumento eventual de la mortalidad, etc, y un margen de utilidad.

Clasificación de los Gastos de la compañía :a) Gastos iniciales o de adquisición: se originan por la contratación del seguro

(honorarios médicos, impuestos, sellados, comisión del productor, etc.)b) Gastos de gestión o administración: normales de toda actividad (luz, alquiler,

personal, impuestos, etc.)

Cálculo de la prima :

P’: prima de tarifa anual.P’ = P + Gastos de Adquisición + Gastos de Gestión

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P Gastos de Adquisición proporcionales a la prima de tarifa (a)+ Gastos de Adquisición proporcionales al capital asegurado(b) Gastos de Gestión proporcionales a la prima de tarifa (c) Gastos de Gestión proporcionales al capital asegurado (d) . P’

(a) α . P '=Xäx ⇒ X=α . P '

äx

(b) c=Xäx ⇒ X= c

äx

(c) X=β . P'

(d) X=k Prima de tarifa para las primas pagaderas sin límite de tiempo:

P '=P+ c

äx

+k

1− αäx

−β

Prima de tarifa para las primas temporarias:

t P '=t P+ c

äx : t

+k

1− αäx : t

−β

Prima de tarifa para primas pagaderas en fracciones de año:

P '(m)=

P(m )+ cä

x(m )

+k

1− αä

x(m )

−β

Prima de tarifa para primas pagaderas en fracciones de años, durante t años:

t P '(m)=

t P(m )+ cä

x : t(m )

+k

1− αä

x . t(m )

−β

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DEUDA (RESERVA) MATEMATICA

DEUDA (RESERVA) MATEMÁTICA

El pago de las primas para los distintos seguros, representa la obligación del asegurado. Con estos importes (de acuerdo a la tasa de interés y a las probabilidades de supervivencia) el asegurador hará frente a sus obligaciones.

Por lo tanto, si la tasa de interés que obtiene el asegurador con sus inversiones es la misma que se utiliza para la determinación de la prima pura, así como si se verifican exactamente las probabilidades de supervivencia utilizadas, el asegurador no gana ni pierde con lo percibido en concepto de primas puras

Con lo obtenido en concepto de prima, el asegurador irá destinando una parte al pago correspondiente a los eventos asumidos y el resto se reserva para cubrir los eventos futuros. De allí el nombre “Reserva Matemática”, aunque desde el punto de vista contable no es una reserva, sino un pasivo, porque representa las obligaciones futuras del asegurador para con sus asegurados.

Podemos mencionar tres métodos para determinar la Deuda (o Reserva) Matemática

Método de PrevisiónLa reserva se determina como la diferencia entre el valor actualizado de los

compromisos de la entidad aseguradora y el valor actualizado de los compromisos

futuros del asegurado (primas)

Método Retrospectivo

La reserva se determina como la diferencia entre las primas pagadas por el asegurado

y los importes pagados por la entidad aseguradora, capitalizados al momento de su

determinación

Método de RecurrenciaLa reserva se determina para cada año, en base a la del año anterior capitalizada, a la

que se adicionan las primas cobradas al principio del año – póliza, capitalizado al

interés financiero adoptado menos los importes pagados por la aseguradora

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MÉTODO DE PREVISIÓN

Seguros en caso de vida

Capital Diferido

m V x=n−m E x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m para un seguro de capital diferido de un $1, con pago de prima única

Rentas Vitalicias

Rentas Vitalicias Inmediatas Vencidas

m V x=a x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m para una renta vitalicia,

inmediata y vencida de $1, con pago de prima única

Rentas Vitalicias Inmediatas Adelantadas

m V x=ä x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m para una renta vitalicia,

inmediata y adelantada de $1, con pago de prima única

Rentas Vitalicias Diferidas

m V x=n−m/ä x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m (siendo m <n) para una renta

vitalicia y diferida por n años, de $1, con pago de prima única

m V x=ä x+m

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Es el valor de la reserva matemática en el momento m (siendo m >n ó m = n) para

una renta vitalicia y diferida por n años, de $1, con pago de prima única

Rentas Vitalicias Interceptadas

r V x=n−r /m ä x+r

Es el valor de la reserva matemática en el momento r (siendo r <n ó r = n) para una renta interceptadas (diferida por n años y temporaria por m), de $1, con pago de prima única

r V x=m+n−r ä x+r

Es el valor de la reserva matemática en el momento r (siendo r > n) para una renta interceptadas (diferida por n años y temporaria por m), de $1, con pago de prima única

Seguros en Caso de Muerte

Seguro Ordinario o de Vida Entera (con prima única)

m V x=A x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m para un seguro ordinario, de

$1, con pago de prima única

m V x=A x+m−¿P x ä x+m ¿

Es el valor de la reserva matemática en el momento m para un seguro ordinario, de $1, con pago de prima periódica

Seguro Temporario

m V x=A x1+m :n−m ¬¿ ¿

Es el valor de la reserva matemática en el momento m para un seguro en caso de muerte temporario por n años, de $1, con pago de prima única

Seguro Diferido

19

m V x=n−m/ A x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m (siendo m < n) para un seguro en caso de muerte diferido por n años, de $1, con pago de prima única

m V x=n−m/ A x+m−P (n/ A x )ä x+ m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m (siendo m < n) para un seguro en caso de muerte diferido por n años, de $1, con pago de prima anual

m V x=A x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m (siendo m > n ó m = n) para un seguro en caso de muerte diferido por n años, de $1, con pago de prima única

m V x=A x+m−P(n / A x )ä x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m (siendo m > n ó m = n) para un seguro en caso de muerte diferido por n años, de $1, con pago de prima anual

Seguro Dotal Simple

m V x=A x+m :n−m ¬¿ ¿

Es el valor de la reserva matemática en el momento m para un seguro dotal simple por n años, de $1, con pago de prima única

Seguro a Capital Doblado

m V x=2c A x+m :n−m ¬¿ ¿

Es el valor de la reserva matemática en el momento m (siendo m < n) para un seguro a capital doblado, de $1, con pago de prima única

m V x=A x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m (siendo m > n) para un seguro a capital doblado, de $1, con pago de prima única

MÉTODO RETROSPECTIVO

Seguro Ordinario o de Vida Entera

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m V x=PxN x−N x+m

D x+m− M x−M x+m

D x+m

Es el valor de la reserva matemática en el momento m para un seguro ordinario, de $1, con pago de prima periódica

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Los siguientes ejercicios deberán resolverse utilizando las Tablas de mortalidad y de

Funciones Actuariales para Argentina 1990-92 para varones, mujeres o mixtas, según

el caso, con una tasa de interés del 4%.

UNIDAD 9:

PROBABILIDAD DE VIDA Y MUERTE PARA UNA PERSONA. VIDA MEDIA.

Probabilidad de vida y muerte para una persona

1) ¿Cuántos hombres entre 1.000.000 que tienen 1 año llegarán vivos a la edad de 50

años?

Respuesta: 902.855

2) ¿Cuál es la probabilidad que tiene un hombre de 61 años de vivir un año más?

Respuesta: 0,97830

3) Determine la probabilidad de que:

a) Un hombre de 29 años sobreviva al menos un año;

b) Un hombre que celebra su 50 aniversario festeje el 51.

Respuesta: a) 0,99840 b) 0,99140

4) Determine la probabilidad de que un hombre de 35 años sobreviva:

a) al menos un año

b) al menos 20 años

Respuesta: a) 0,99789 b) 0,88935

5) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de 50 años de edad, logre estar vivo a los

65 años?

Respuesta: 0,77640

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6) Un señor de 25 años debe recibir una herencia al cumplir 30 años. ¿Cuál es la

probabilidad de que la reciba?

Respuesta: 0,99220

7) Los graduados de un curso de último año de un colegio se comprometen en reunirse

25 años después. Si el curso tiene 50 alumnos y la edad promedio es de 18 años, ¿cuál

es el número probable de ex-alumnos que se reunirá? Utilice la tabla para ambos sexos.

Respuesta: 48

8) ¿Cuántos hombres de 46 años, morirán antes de cumplir 47 años de edad?

Respuesta: 525

9) ¿Cuál es la probabilidad de un hombre de 56 años de morir antes de cumplir 57 años?

Respuesta: 0,01484

10) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de 60 años muera, antes de llegar a los

61 años?

Respuesta: 0,02030

11) Determine la probabilidad de que un hombre de 18 años muera:

a) antes de cumplir 19 años

b) antes de cumplir 60 años

Respuesta: a) 0,00115 b) 0,20160

12) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de 40 años muera, antes de cumplir 75

años?

Respuesta: 0,52917

13) Determine la probabilidad de que un hombre de 35 años de edad muera antes de

cumplir los 40 años.

Respuesta: 0,01250

23

14) Hay un grupo de 1000 personas de una misma edad; si las probabilidades son de

que 19 mueran, antes de cumplir el siguiente aniversario, hallar, utilizando las tablas

para ambos sexos, la edad de las personas.

Respuesta: 64 años

15) Determine la probabilidad de que un hombre de 15 años de edad muera entre los 25

y los 30 años.

Respuesta: 0,00766


a) entre los 25 y los 30 años

b) entre los 30 y los 40 años

Respuesta: a) 0,00772 b) 0,02097

17) Hallar la probabilidad de que un hombre de 30 años, esté vivo a los 50 años, pero no

a los 60 años.

Respuesta: 0,11660

18) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre de 30 años muera a los 51 años?

Respuesta: 0,00871

19) Hallar la probabilidad de que un hombre de 35 años muera a los 65 años de edad.

Respuesta: 0,02118


a) a los 45 años

b) a los 46 años

c) a los 70 años

Respuesta: a) 0,00524, b) 0,00579 c) 0,02820

24

21) De 60.000 hombres vivos a la edad de 20 años, ¿cuántos morirán a la edad de 50

años?

Respuesta: 470

22) Carolina cumplió 18 años al ingresar a la Universidad. Determine la probabilidad de

que:

a) fallezca en el lapso de 5 años que dura su carrera

b) fallezca antes de cumplir 20 años

c) celebre con sus condiscípulos el 10º aniversario de su graduación.

Respuesta: a) 0,00290, b) 0,00109 c) 0,98890

23) El padre de Carolina tenía 50 años al entrar ella a la universidad. Determine la

probabilidad de que:

a) esté vivo para asistir a la graduación de su hija

b) fallezca el año de la graduación de su hija.

Respuesta: a) 0,94879 b) 0,01290

24) Si la generación de Carolina está formada por 160 personas de 18 años, 200 de 19 y

120 de 20 años, determine de acuerdo con las probabilidades de vida:

a) el nº de los que estarán vivos para la fiesta de graduación

b) los que celebrarán los 10 años de la terminación de la carrera

Utilice las tablas para ambos sexos.

Respuesta: a) 477 b) 472

Vida Media

1) Calcular la vida media completa para un hombre de 30 años de edad:

a) inmediata,

b) diferida por 20 años,

c) temporaria por 20 años,

d) diferida por 20 años y temporaria por 10 años.

Respuesta: a) 41,85 b) 22,37 c) 19,48 d) 8,78

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2) Para un hombre de 75 años, hallar:

a) la vida media abreviada;

b) la vida media completa.

Respuesta: a) 7,64 b) 8,14

3) ¿Cuál es la vida media completa, para un hombre de 87 años?

Respuesta: 4 años

UNIDAD 10:RENTAS ALEATORIAS Y SEGUROS

Seguros en caso de vida

1) Determine:

a) D28. b) D52. c) D81

Respuesta: a) 31.622, b) 11.220 c) 1.072

2) Hallar la prima pura y única de un capital diferido de $80.000 pagadero a la edad de

60 años a un hombre cuya edad actual es de 20 años.

Respuesta: $13.337,60

3) ¿Cuál es el valor actual de un capital diferido de $50.000 pagadero a un hombre

cuando cumpla los 40 años, si ahora tiene 32 años?

Respuesta: $ 35.877,90

4) ¿Cuál es el valor actual de un capital diferido pagadero a la Sra. Martínez dentro de

18 años, si el importe del seguro es de $200.000 y ella tiene 40 años de edad?


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5) Una compañía de seguros de vida ha vendido 35000 pólizas de seguro de capital

diferido, en igual fecha y con capital asegurado individual de $ 1000, con edad de

contratación 30 años, sexo masculino y plazo de 6 años. Calcular:

a) prima pura única por póliza y recaudación total.

b) si pasados los 6 años llegan el 90% del número probable de supervivientes y el

asegurador ha invertido la recaudación según las bases técnicas, cuál es el

beneficio del asegurador?

Respuesta: a) $ 781,70 y $ 27.359.500 b) $ 3.118.495,69

6) Una mujer contrata una operación de capital diferido por $ 15000. Su edad es de 35

años y el capital quiere cobrarlo a los 60 años. Calcular la prima única de este seguro.

Si cuando dicha mujer alcanza los 60 años en lugar de cobrar su dinero, elige comenzar

a cobrar una renta vitalicia desde ese momento durante 20 años, ¿de cuánto será el

valor de la renta?

Respuesta: $5.120,20 y $ 1.204,39

7) Un hombre de 55 años, debe ser pensionado por la empresa en que trabaja con una

anualidad de $8000, pagadera al final de cada año. Recibe la oferta de $80.000 para

cancelar de una vez su pensión. ¿Es conveniente esta oferta?

Respuesta: No le conviene la oferta.

8) Una señora queda viuda a la edad de 38 años y recibe por herencia una pensión

vitalicia anual de $60.000, por año vencido. Si desea vender sus derechos, ¿cuánto

recibirá?

Respuesta: $ 1.148.235,68

9) El Sr. López tiene 58 años de edad y va a jubilarse. La empresa va a pagarle, de

acuerdo con su plan de pensiones, $6.000 anuales vencidos durante el tiempo que viva.

Calcule qué pago único realizado al momento de jubilarse sería equivalente a los pagos

anuales.


27

10) Un hombre de 36 años de edad recibe una herencia de $200.000 para que lo invierta

en la compra de una renta vitalicia inmediata vencida. Hallar el valor de las rentas

anuales que recibirá.


11) El valor actual de una renta vitalicia pagadera a un hombre de 54 años es de

$20.000. Calcular el valor del pago anual.


12) Calcular la renta anual vitalicia ilimitada que puedo comprar con un capital de

$150.000 para la edad de 60 y 65, sexo masculino y femenino.

Respuesta: $13.684,41 $ 16.113,45 $11.353,41 $13.167,52

13) Determinar la prima pura y única de una renta vitalicia anticipada de $ 65.000,

pagadera a un hombre de 35 años de edad.

Respuesta: $1.248.491,70

14) Encuentre la prima pura y única de una renta vitalicia anticipada de $ 800 anuales

pagadera a un hombre de 75 años de edad.


15) ¿Cuál es el monto que un hombre debe juntar a los 65 años para que a partir de

esa edad pueda comenzar a cobrar $ 10000 por año de por vida? Si dicha persona va a

juntar el dinero en una cuenta de caja de ahorro durante 40 años al 8% anual. ¿Cuánto

debe ahorrar al final de cada mes teniendo en cuenta que la caja de ahorro tiene un gasto

del 0,5% del depósito?

Respuesta: $ 31,96

16) Un hombre aseguró su vida en $100.000, a favor de su esposa, con la cláusula de

que, con la suma asegurada, se otorgue a su viuda una pensión vitalicia anticipada. Al

morir el esposo, la viuda tenía 55 años de edad. Hallar la renta anual que recibirá la

viuda.

28


17) Un señor de 60 años de edad va a recibir una renta vitalicia vencida de $30.000 ¿qué

cantidad anual recibiría si la renta se convirtiera en anticipada?


18) Determinar las primas puras únicas de seguros de renta vitalicia para una persona

de 25 años, sexo masculino, $ 1000 de capital asegurado según:

Diferimiento del riesgo plazo en añosa) 0 3b) 0 20c) 10 3d) 10 20e) 0 w-xf) 10 w-x-10

Respuesta: a) $2.766,78 b) $ 13.356,89 c) $1.835,70 d) $ 8.709,52 e) $ 20.141,66

f) $ 12.097,27

19) Determinar la prima pura y única de una renta vitalicia de $125.000 anuales

pagaderos a un hombre de 48 años, si el primer pago debe realizarse dentro de 15 años.

Respuesta: $ 558.464,17

20) Hallar la prima pura y única que debe pagar un hombre de 20 años, para obtener una

renta anual vitalicia de $10.000, si el primer pago lo recibirá:

a) un año después de cumplir 55 años,

b) al cumplir los 55 años.

Respuesta: a) $ 27.643,86 b) $29.844,49

21) Un comerciante debe pensionar a sus empleados a llegar a la edad de 60 años. Uno

de sus empleados tiene 20 años de edad y, al llegar a los 60 años, será jubilado con una

renta anual vitalicia anticipada de $12.000. Hallar la prima pura y única que debe

comenzar a pagar a una compañía para proveer la pensión vitalicia del empleado.


29

22) ¿Cuál es el valor actual de una renta vitalicia anticipada de $75.000 pagadero a una

persona de 52 años de edad si se difiere durante 10 años?

Respuesta: $ 488.983,96

23) ¿Qué renta vitalicia inmediata anticipada puede comprar un hombre de 25 años con

$60.000, para empezar a cobrarla 30 años después?


24) Hallar la prima pura y única de una renta vitalicia temporaria vencida, de $10.000

anuales, a pagar durante 20 años, a un hombre de 35 años de edad.

Respuesta: $ 131.086,68

25) Hallar el valor de la prima pura y única de una renta vitalicia temporal, anticipada

de $10.000 anuales, por 10 años, para un hombre de 35 años de edad.


26) Hallar el valor de la prima pura y única de una renta vitalicia de $1.000 anuales,

diferida por 6 años y pagadera durante 8 años, para un hombre de 30 años de edad.


27) El licenciado Godínez, de 32 años de edad, va a recibir $250.000 al inicio de cada

año, comenzando dentro de 15 años y durante otros 15 años más, si está vivo para

cobrarlos ¿qué clase de renta puede utilizar para representar este caso y cuál sería la

prima pura y única a pagar?

Respuesta: Renta vitalicia interceptada anticipada, y la prima de $ 1.437.739,71

Rentas vitalicias pagaderas en fracciones de año

1) Una mujer de 35 años de edad contrata una renta vitalicia temporaria que le permitirá

percibir $2000 al comienzo de cada semestre durante 10 años. ¿A cuánto asciende la

prima pura y única?


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2) Encontrar la prima pura y única que debe pagar un hombre de 20 años para percibir

mientras viva $300 al final de cada mes.


3) ¿Cuál es la prima pura y única que debe pagar el Sr. Gómez a los 30 años para tener

derecho a cobrar a partir de los 50 años $3500 al comienzo de cada trimestre?


4) Determinar la prima pura y única que deberá abonar un hombre de 40 años de edad

para percibir después de transcurridos 20 años $500 a fines de cada trimestre.


5) Hallar el valor de la prima pura y única de una renta vitalicia anticipada temporal, por

10 años para un hombre de 35 años, a) con pagos mensuales de $833,33, b) con pagos

semestrales de $5.000.

Respuesta: a) $81.832,07 b) 82.552,75

Seguros en caso de muerte.

1) Hallar la prima pura y única que tendría que pagar un hombre de 35 años de edad,

para obtener un seguro de vida total por $100.000.


2) Calcular la prima pura y única de un seguro ordinario de $ 10.000 para un hombre de

40 años de edad.


3) Hallar la prima pura y única que debe pagar un hombre de 35 años, por una póliza de

seguro temporario de $50.000, a 10 años.


31

4) Un empleado de 35 años de edad fue enviado por su empresa a trabajar, por 6 años,

fuera del país y le aseguró la vida por $100.000. Hallar la prima pura y única que pagó

la empresa.


5) ¿Cuál será la prima pura y única de un seguro diferido por 25 años, de $50.000, para

una mujer de 30 años de edad?


6) Hallar el valor de la prima pura y única de un seguro dotal de $50.000 a 20 años, para

un hombre de 40 años.

Respuesta: $ $24.128,18

7) Obtener la prima pura y única de un seguro dotal a 15 años, de $ 30.000 para un

hombre de 30 años de edad.


8) Hallar la prima pura y única de un seguro mixto a capital doblado de $20.000 a 10

años para una persona de sexo femenino y 45 años de edad.


9) Calcular la prima pura y única que deberá abonar un hombre de 40 años para que sus

beneficiarios reciban un capital de $100.000 si fallece entre los 65 y los 90 años.


Primas Anuales – Primas pagaderas en fracciones de año – Primas de Tarifa

1) Un comerciante, al cumplir 30 años de edad, decide iniciar el pago de $1.000 anuales

a un fondo de retiro, con la intención de hacerlo anualmente, durante 20 años, para que

al cumplir 55 años el fondo le comience a pagar una pensión vitalicia. ¿De cuánto será

dicha renta?


32

2) Por el seguro ordinario de vida de un empleado de 40 años de edad, una empresa

debe pagar una prima anual de $300 a principios de cada año. Calcular: a) la prima

única que se puede pagar de inmediato, b) la prima que debería pagar por el asegurado,

si la empresa resuelve pagar el seguro en 15 primas anuales anticipadas.

Respuesta: a) $ 5.395,72 b) $481,61 anuales.

3) Una persona de sexo masculino y 40 años de edad está interesado en contratar un

seguro, para que a partir de los 50 años, su esposa reciba $50.000 en el año de su

muerte:

a) La prima pura y única a pagar

b) La prima pura anual a pagar mientras el asegurado esté con vida

c) La prima pura mensual a pagar mientras el asegurado esté con vida

Respuesta: a) $ 13.414,63 b) $745,85 c) $63,78

4) Calcular la prima pura anual a pagar, mientras este con vida, por un hombre de 54

años por un seguro dotal simple por 20 años con un capital de $15.000 y pagadera en 20

años.

Respuesta: $669,93

5) Determinar la prima pura y única, la prima pura anual y la prima pura semestral a

pagar en el plazo de 10 años, por una persona de sexo femenino de 35 años, que de

derecho a sus hijos a recibir $30.000, el año de su muerte, siempre que esta ocurra entre

los 50 y 70 años.

Respuesta: $ 1.756,63; $ 209,63 y $ 105,88

6) Un señor de 35 años toma un seguro con las siguientes cláusulas: a) si muere antes de

los 60 años, se pagará $30.000 al beneficiario, b) si sobrevive, recibirá una renta

vitalicia de $60.00 anuales, recibiendo el primer pago al cumplir los 60 años. Hallar la

prima pura anual, limitada a 20 pagos.


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7) ¿Qué seguro de vida dotal a 20 años puede comprar con una prima pura anual de

$1000 un hombre de 30 años de edad?


8) Una persona de sexo masculino, contrata un seguro ordinario de vida con un capital

de $10.000. Considerando que la persona tiene 40 años, y la entidad aseguradora aplica

como gastos los siguientes conceptos:

Gastos de adquisición: 8 % sobre la prima de tarifa y 2% sobre el capital asegurado

Gastos de administración: 5% sobre la prima de tarifa y 1% sobre el capital asegurado

Calcular la prima anual de tarifa, considerando que la misma se pagará mientras el

asegurado esté con vida

Respuesta: $ 298,77

UNIDAD 11:DEUDA (RESERVA) MATEMATICA

Deuda Matemática

1) Calcular la deuda matemática de un seguro de vida entera, con pago anual de la

prima, y un capital asegurado de $1000 para un hombre de 35 años, luego de

transcurridos 10 años desde la fecha del contrato, por el método:

a) de previsión

b) retrospectivo.

Compare los resultados obtenidos.

Respuesta: $ 135,10

2) Hallar la deuda matemática al final del quinto año póliza de un seguro ordinario de

vida por $1000 para un hombre de 30 años.

Respuesta: $ 52,09

3) Un señor de 25 años de edad tomó un seguro de vida ordinario por $100.000. Al

pagar la vigésima prima, conviene con la compañía en cambiar su póliza por otra dotal,

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a 15 años. Suponiendo que el total de la reserva se aplica al nuevo seguro, hallar el valor

asegurado.


Ejercicios Integrales:

1) Una persona de edad 45 años, sexo femenino, contrató un servicio de renta vitalicia

de riesgo diferido e ilimitado, con $ 2500 de capital anual asegurado con primer pago a

la edad de 60.

Se pide:

a) Si la operación se realiza a prima única:

a.1) importe de la prima.

a.2) cuál es el capital único que el asegurado puede cobrar a la edad de 60,

liberando al asegurador del pago de rentas anuales.

b) Si la operación se realiza a prima anual con última prima a los 59 años, el

importe de la prima.

Respuesta: a) 1) $18.291,87, 2) $35.529,71, b) 1) $ 2.797,38

2) Una persona de sexo masculino de 40 años de edad contrata un seguro de vida tal que

si fallece antes de los 65 años de edad sus beneficiarios recibirán la suma de $ 200.000.-

pero si llega con vida a dicha edad él mismo cobrará la suma antes citada.

El seguro contiene las siguientes cargas:

* Gastos de producción del 3 % sobre capital

* Gastos de administración 1,5% sobre capital y 10% sobre la prima de tarifa

* Gastos de comisión 20%

Indique:

a. Prima pura única

b. Prima pura anual

c. Prima anual de tarifa

d. Reserva matemática al décimo año de vigencia (trabaje con prima pura y única).

Respuesta: a) $ 83.570,32, b) $5.521,31, c) $ 10.056,22, d) $31.641,98

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BIBLIOGRAFÍA:

1. ar12.toservers.com/todoelderecho.com/Apuntes/calculo_financiero/GuiaTP3.htm2. Carrizo, José Fernando, Matemática Actuarial. Notas de Cátedra Facultad de

Ciencias Económicas.3. Díaz Mata, Alfredo y Aguilera Gómez, Víctor, Matemáticas Financieras 3ª.

Edición.. Ed. Mc. Graw Hill. México 1999.4. González Galé, José , Elementos de Cálculo Actuarial. 4a Edición. Ediciones

Macchi. 1968.5. Lincoyan Portus Govinder Matemáticas Financieras. 3ª Edición. Ed. Mc. Graw

Hill. México 1990.6. Pagliano, Alberto, Curso de Técnicas Actuariales en los seguros sobre la vida para

no especialistas, Buenos Aires, octubre de 2002.7. Pozo Carrero Eloy y Zuñiga Rodriguez Javier Análisis y Formulación de las

operaciones financieras. ESIC Editorial. Madrid. 1994.8. www.altillo.com/examenes/uba/economicas/cicloprofesional/calcfin/

calcfintafinal.asp 9. Yasukawa, Alberto Matemática Actuarial Valuaciones Actuariales. Ediciones

Eudecor, Córdoba, Argentina 2001.

42

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