guiaconstruciongraficas2013

CONSTRUCCIN DE GRFICAS Y AJUSTE

DE CURVAS

M.Sc. Ing. Carlos Ral Chura Miranda

La Fsica por ser una materia eminentemente experimental implica para su tratamiento, de la adquisicin de habilidades en la construccin de grficos e interpretacin de los resultados.

En fsica es muy importante, adems de predecir el error que tiene una medicin, formular la ley que rige el fenmeno en estudio, o sea, que las experiencias realizadas permita determinar la tendencia o relacin entre las variables que influyen en el evento estudiado. Estas leyes fsicas expresadas en forma matemtica es lo que constituye una relacin funcional. Uno de los objetivos del experimentador es tratar de expresar la relacin entre las diferentes variables en su experimento en la forma de una ecuacin matemtica. Cuando una cantidad se relaciona con otra por medio de alguna ecuacin, se dice que una de las cantidades es funcin de la otra.

ANLISIS GRFICO En el anlisis de un problema fsico se puede partir de la teora que predice una cierta ley fsica la cual se expresa con una ecuacin cuya forma matemtica nos guiar al analizar la forma del grfico. Es decir, graficando los valores experimentales se tendrn una curva uniforme que muestra la tendencia de los puntos. Enseguida se compara la forma de la curva obtenida, con aquello predicho tericamente. Si concuerdan, ello corresponde a una comprobacin experimental de la ley fsica considerada. La funcin matemtica ms simple es la lnea recta y es por ello que tiene gran importancia en el anlisis de datos experimentales. Por lo tanto es til linealizar la curva cuando sta no sea una recta.

En el estudio de los fenmenos fsicos nos encontramos con muchas variables, que intervienen en dicho proceso lo cual es muy complejo analizarlo simultneamente. Para facilitar el anlisis elegimos dos de estas variables, el conjunto de datos obtenidos, se organizan en una tabla. A partir de estos datos graficar y establecer la funcin que mejor se ajusta al conjunto de valores medidos, estos pueden ser lineales, exponenciales, logartmicos, etc.

Funcin lineal Funcin parablica Funcin exponencial

AJUSTE DE CURVAS

El ajuste de curvas consiste en determinar la relacin matemtica que mejor se aproxima a los resultados del fenmeno medido.

Para realizar el ajuste, primero elegimos la funcin a la que se aproxime la distribucin de puntos graficados. Entre las principales funciones:

Funcin lineal: = + Funcin parablica o cuadrtica: = + + 2 Funcin cubica: = + + 2 + 3 Funcin hiperblica:

22 22 = 1

Funcin exponencial: = Funcin potencial: =

En todas estas expresiones x e y representan variables, mientras que las otras letras denotan constantes a determinar. Una vez elegida la funcin se determinan las constantes de tal manera que particularicen la curva de los fenmenos observados.

FUNCIN LINEAL La ecuacin de una recta est definida por

= + Tal es el caso del lanzamiento vertical hacia abajo el movimiento est dada por:

= 0 + Si se realiza tal experiencia y se toman valores = () se observar que al graficar la tabla de valores v y t obtendremos una recta. Dicha recta nos permitir determinar la aceleracin de la gravedad g a travs del clculo de la pendiente.

AJUSTE DE CURVA LINEAL Mtodo Geomtrico Una funcin es lineal cuando las variables aparecen elevadas solo a la primera potencia. Una funcin lineal que relacione x con y se representa algebraicamente como:

= + (1) Donde A y B son constantes.

En la figura se muestra una grafica de los valores de x e y que satisfacen la ecuacin. La constante A es el cruce con la ordenada, y las constante B es la pendiente de la recta.

Funcin ajustada geomtricamente

Donde A resulta la interseccin de la recta con la ordenada.

=

; = 2 1; = 2 1 (2)

EJEMPLO 1

Con los datos de la siguiente tabla, determinar la curva de regresin que expresa la relacin entre el desplazamiento y el tiempo de un mvil en su movimiento rectilneo uniforme

X(cm) 10,0 30,0 50,0 60,0 90,0 110,0 130,0 140,0 170,0 200,0 t(s) 0,0 4,1 8,0 10,5 16,2 20,0 24,2 26,5 32,0 38,6

SOLUCIN

- Para realizar el grfico se utiliza una hoja milimetrada tamao carta. (Ver figura)

- Para la variable independiente se elige el eje de las abscisas tx =

- Para la variable dependiente se elige el eje de las ordenadas y = X

- En cada eje de referencia se realiza marcas de 10 en 10 mm o tambin se puede realizar de 20 en 20 mm.

Para este ejemplo se marca de 20 en 20 mm.

Para cada eje se determina la escala con la relacin siguiente:

DisponibleEspacio

MininimaMedidaMximaMedidaE =

NOTA. Es aconsejable trabajar en lo posible con nmeros: Enteros, mltiplos de 5, 10 y nmeros pares para facilitar la construccin del grafico.

Para el eje horizontal del tiempo:

825,48

0,06,38=

=tE

Para facilitar el grafico en este caso se redondea a 8,4=tE

Para el eje vertical de la velocidad:

27,1711

10200=

=vE ;

Con la consideraciones anteriores se redondea a 0,20=vE

Se ubican los pares ordenados (con los datos de la tabla) en la hoja milimetrada de las medidas obtenidas.

En la grfica del ejemplo se observa una tendencia lineal

Entre el medio de los puntos dispersos se traza la recta (la recta trazada puede o no pasar por los puntos).

- Se determina el modelo matemtico de la grfica, para este caso:

tBAX += (1)

- La constante A resulta del valor que muestra la interseccin entre la recta y el eje de las ordenadas.

Del grfico: ][9,9 cmA =

- La constante B es la pendiente de la recta, que para su determinacin se debe trazar un tringulo cualquiera en el grfico y a partir de este se determina el valor de B:

92,44,146,270,800,145=

==adyacentecatetoopuestocatetoB

- Remplazando A y B en la ecuacin (1) el modelo matemtico es: [ ]cmtX 92,49,9 +=

MTODOS ANALTICOS DE AJUSTE CURVAS MTODO DE LOS MNIMOS CUADRADOS

Uno de los mtodos estadsticos ms usados para determinar la mejor recta que pasa entre varios puntos experimentales es el mtodo de los mnimos cuadrados. Considerando los valores experimentales (X1 , Y1), (X2 , Y2), . . . ,(Xn , Yn) la idea es construir una funcin F(x) de manera que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones es decir:

= 12 + 22 + 32 + + 2 Sea un nmero mnimo.

Un buen ajuste de curvas permite hacer buenas extrapolaciones en cierto intervalo fuera del rango de los valores medidos.

Desviaciones en un ajuste de mnimos cuadrados

Ya que la condicin exigida es minimizar la suma anterior, entonces los parmetros A y B deben ajustarse para cumplir con esta condicin. Recta mnima cuadrtica. La recta mnima cuadrtica que ajusta el conjunto de puntos (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , . . . , (Xn , Yn) tiene por ecuacin:

() = = + Donde las constantes A y B se determinan resolviendo las dos siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.

= + = + 2 Para usar este mtodo de los mnimos cuadrados se recomienda usar la tabla para as ordenar la informacin y facilitar los clculos.

Para aplicar esto primero se construye una tabla de la forma:

xi yi xiyi xi2

x1 y1 x1y1 x12

x2 y2 x2y2 x22

.

.

Xn

.

.

Yn

.

.

Xnyn

.

.

Xn2

ix iy iiyx 2x

Se calcula las constantes A y B resolviendo el sistema de ecuaciones normales obteniendo como

resultado:

( )

= 22

ii

iiii

xxn

yxyxnB (3)

( )

= 22

2

ii

iiiii

xxn

yxxyxA

(4)

Luego, la frmula experimental es la ecuacin de la recta: = + El coeficiente de correlacin es:

=

])(][)([ 2222 yynxxn

yxxynr

(5)

Los coeficientes de correlacin son medidas que indican la situacin relativa de los mismos sucesos respecto a las dos variables, es decir, son la expresin numrica que nos indica el grado de relacin existente entre las 2 variables y en qu medida se relacionan. Son nmeros que varan entre los lmites +1 y -1. Su magnitud indica el grado de asociacin entre las variables; el valor r = 0 indica que no existe relacin entre las variables; los valores (-1 son indicadores de una correlacin perfecta positiva (al crecer o decrecer X, crece o decrece Y) o negativa (Al crecer o decrecer X, decrece o crece Y). En la determinacin de estos parmetros se tiene tambin errores y estos se determinan de la siguiente manera:

PARA LA PENDIENTE B

La desviacin estndar de y

La desviacin estndar de la funcin estimada

Dispersin de la pendiente B:

= 2 (1)2 = El error absoluto de la pendiente es:

= Por lo tanto la pendiente B se puede escribir como:

BBB =

El error relativo porcentual:

%100*%B

BB

=

PARA EL INTERCEPTO A

=

=

2)( 2

nyy

S iy


= () = = + (). ()

El error absoluto de A

= Por lo tanto el intercepto A se puede escribir como:

AAA =


%100*% AA

A =

EJEMPLO 1

Con los datos de la tabla. a) Determinar el modelo matemtico que expresa la relacin entre la velocidad y el tiempo de un mvil en su movimiento rectilneo uniformemente variado b) Los valores precisos de la velocidad inicial y de la aceleracin.

v[m/s] 5,9 6,4 7,6 8,5 9,8 10,4 11,9 13,5

t[s] 0,0 0,4 0,9 1,5 2,1 2,6 3,2 4,1

SOLUCIN:

Con los datos de la tabla, inicialmente se realiza la grfica.

La grafica aproximadamente muestra una tendencia lineal tal como muestra la figura.

La ecuacin de la recta es: tBAv +=

Para la aplicacin de la regresin lineal por mnimos cuadrados se realizan los cambios: vy =

tx =

Por lo que la ecuacin queda como:

FUNCIN LINEAL: xBAy +=

v

A

=

=

2)( 2

nyy

S iy

TABLA 1

N X Y X2 Y2 X*Y

1 0,0 5,9 0,00 34,81 0,00

2 0,4 6,4 0,16 40,96 2,56

3 0,9 7,6 0,81 57,76 6,84

4 1,5 8,5 2,25 72.25 12,75

5 2,1 9,8 4,41 96.04 20,58

6 2,6 10,4 6,76 108.16 27,04

7 3,2 11,9 10,24 141.61 38,08

8 4,1 13,5 16,81 182.25 55,35

14,8 74,0 41,44 773,84 163,20

La constante B es:

871,1)8,14()44,41(*8

)0,74(*)8,14()20,163(*8)(

222

=

=

=

xxnyxxyn

B

La constante A es:

( )789,5

)8,14()44.41(*8)20.163)(8,14()0,74)(44,41(

222

2

=

=

=

ii

iiiii

xxn

yxxyxA

El coeficiente de correlacin es:

998,0])(][)([ 2222=

=

yynxxnyxxyn

r

Entonces, la ecuacin de ajuste es:

xy 871,1789,5 +=

Cambiando a sus variables primitivas:

v = 5,789 + 1,871 t [m/s]

Comparando con la ecuacin terica ( atvv o += )

Resulta que: La velocidad inicial ms probable es

==

smAvo 789,5 (1)

La aceleracin ms probable es:

== 2871,1 s

mBa (2)

CALCULO DE ERRORES DE LA PENDIENTE (ACELERACION)

TABLA 2

N x y BxAy += ( )2yy

1 0,0 5,9 5,789 0,0012

2 0,4 6,4 6,537 0,0188

3 0,9 7,6 7,473 0,0161

4 1,5 8,5 8,596 0,0092

5 2,1 9,8 9,718 0,0067

6 2,6 10,4 10,654 0,0645

7 3,2 11,9 11.776 0,0154

8 4,1 13,5 13,460 0,0016

14,8 74,0 41,44 0,1444


La desviacin estndar de la funcin estimada

La dispersin de la pendiente es:

= 2 (1)2 = 88(41,44) (14,8)2 0,155 = 0,0413 Valores del criterio t-Student en funcion de nivel de cofianza P

Y el numero de grados de libertad v=n-1

Grados de libertad

v

Nivel de confianza P 0,70 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99

1 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 2 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 1,156 1,476 2,015 2,571 3,747 4,604 6 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,100 1,383 1,883 2,662 2,821 3,250

10 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169

El error absoluto de la pendiente es:

155,02

)( 2=

=

nyy

S iy

Con v=n-2=8-2=6 grados de libertad

P=0,95 nivel de confianza del 95 %

Entonces de tablas se tiene = , = = , , = ,

Por lo tanto la aceleracin (pendiente B) se puede escribir como:

== 21,0871,1 s

maaa


%39,5%100*871,1

1,0%100*

% ===a

aa

CALCULO DE ERRORES PARA EL INTERCEPTO A (VELOCIDAD INICIAL)

Dispersin del intercepto A

= () = , (,) (,) . = , El error absoluto

= = , , = , Para este caso (de la ecuacin 1) 230,0==

ovA

Por lo tanto el intercepto A (velocidad inicial) se puede escribir como:

==

smvvv ooo 230,0789,5


%98,3%100*789,5230,0%100*

% ===

o

vv v

o

o

AJUSTE A UNA CURVA NO LINEAL

Parbola Mnima Cuadrtica.- Para este caso el ajuste se har a una funcin parablica. () = = + + 2

Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los coeficientes A, B y C se procede de manera similar que para el caso de la recta mnimo cuadrtico, tratando que:

= 12 + 22 + 32 + + 2 Sea un nmero mnimo. As resulta:

= + + 2

= + 2 + 3

2 = 2 + 3 + 4

Las constantes A, B y C se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones normalizado. FUNCION POTENCIAL Una funcin potencial es de la forma:

=

Para linealizar se aplica logaritmos y se obtiene: log = + Haciendo:

= log ; = log ; = ; = Teniendo la ecuacin

= + = ( )( )

()2 ( )2 = ()2

()2 ( )2 FUNCION EXPONENCIAL Una funcin exponencial es de la forma: = o =

Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales o neperianos. Sea = tomando logaritmos decimales

= + () Ahora las equivalencias son las siguientes:

= log ; = log ; = ; = Teniendo la ecuacin

= + B). Sea = se toma logaritmo natural InY = InA + BX Ahora las equivalencias son las siguientes: y = InY a = InA b = B x = X Para calcular los valores de a y b por mnimos cuadrados Ejemplo: Realizar el ajuste a una parbola por mnimos cuadrados para los siguientes datos experimentales: h [m] 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 t [s] 0,141 0,211 0,252 0,291 0,321 0,352 0,381 0,411 Con los datos de la tabla realizamos la grafica para observar su comportamiento.

Realizamos el cambio de variable h=y; t=x

Cuya ecuacion es una funcion no lineal de segundo orden

= + + 2 No x y y2 xy x2 x2y x3 x4 1 0,141 0,1 0,01 0,0141 0,0199 0,0028 0,0028 0,0004 2 0,211 0,2 0,04 0,0422 0,0445 0,0089 0,0094 0,0019 3 0,252 0,3 0,09 0,0756 0,0635 0,0191 0,0160 0,0040 4 0,291 0,4 0,16 0,1164 0,0847 0,0339 0,0246 0,0072 5 0,321 0,5 0,25 0,1605 0,1030 0,0515 0,0331 0,0106 6 0,352 0,6 0,36 0,2112 0,1239 0,0743 0,0436 0,0153 7 0,381 0,7 0,41 0,2667 0,1452 0,1016 0,0553 0,0211 8 0,411 0,8 0,64 0,3288 0,1689 0,1351 0,0694 0,0285 2,360 3,6 2,04 1,2155 0,7536 0,4264 0,2543 0,0892

8 + 2,36 + 0,7536 = 3,6 2,36 + 0,7536 + 0,2543 = 1,2155 0,7536 + 0,2543 + 0,0892 = 0,4264

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:

A=0,0027; B=-0,0422 Y C=4,8804

La ecuacin de la parbola mnima cuadrtica ser:

= , , + , Por lo que la ecuacion original es:

= 0 + 0 + 122 Comparando tenemos:

= 0 = 0,0027 0 = 0 = 0,0422 0 = 12 = 4,8804

De donde se concluye que el valor de la aceleracin de la gravedad llega a ser:

= 2 = 2 4,8804 = 9,7608 [/2]

Mtodo de linealizacin

Cuando la grfica inicial no es una recta, entonces se debe pasar a un proceso de linealizacin, que consiste en convertir la ecuacin que no es lineal en una funcin lineal realizando cambios de variable adecuados. Con las nuevas variables linealizadas se procede como en el caso lineal y el resultado final debe estar expresado en trminos de las variables primitivas.

Por ejemplo, si la funcin inicial es parablica de la forma: 2Y BX=

Se realiza el cambio: Z = X2

La ecuacin resultante es: Y = B Z (recta)

Si la funcin es parablica de la forma: 2Y AX BX= +

Si ambos lados se multiplican por (1/X),

las ecuaciones: Y A BXX

= +

Se realiza el cambio: YZX

=

La ecuacin resultante es: Z = A + BX (recta)

AYUDA PARA CALCULAR REGRESION LINEAL EN CALCULADORAS CASIO fxMS, ES

Estas ecuaciones que permiten calcular B y A se encuentran en la memoria de la mayor parte de las calculadores cientficas, como por ejemplo en la CASIO fx-82MS. Para el ejemplo anterior los pasos para obtener B y A son: 1 Limpiar la memoria de la calculadora. 2 Oprimir la tecla MODE de la calculadora, donde aparecern varias opciones de las cuales se debe seleccionar el nmero correspondiente a la opcin REG, que quiere decir regresin. Al seleccionar la opcin Reg, le aparecern varias opciones de las cuales se debe seleccionar la opcin Lin, que quiere decir lineal, al seleccionar esta opcin la calculadora ya se encuentra en el modo regresin lineal lista para ingresar los datos. 3 Ingrese los datos. Para ingresar los datos ingrese el primer valor de x, seguido de la tecla marcada con una coma en su calculadora (,) y luego el primer valor de y. 4 Presione la tecla M+ de su calculadora. Si al oprimir esta tecla su calculadora muestra en la pantalla n = 1, usted realizo el procedimiento correctamente. 5 Repita los pasos 3 y 4 para todos los datos al analizar en este caso le aparecern = 6. 6 Para buscar los resultados de m y b debe oprimir la tecla shift, seguida de la tecla S-VAR, donde le aparecern varias opciones de la que se debe seleccionar B para obtener B y A para obtener A. REGRESIN LINEAL MANUAL DE USO CALCULADORA MODELO fx-82MS

1) Puesta del modo de regresin lineal:

- MODE

- 3 (REG)

- 1 (LIN)

2) Borrado de la memoria de la calculadora:

- SHIFT + MODE

- 1 (SCL)

- =

- AC

3) Cargado de los datos de la tabla:

- x1 , y1

- M+

- x2 , y2

- M+

- Xn , yn

- M+

4) Obtencin de los parmetros estadsticos:

- SHIFT + 2

- Cursor a la derecha dos veces.

- Aparece en pantalla: A B r.

- 1 (A: ordenada al origen)

- =

- SHIFT + 2



- 2 (B: pendiente)

- =

- SHIFT + 2



- 3 (r: coeficiente de regresin)

- =

PARA CALCULAR EN UNA CALCULADORA FX82ES Pulsamos MODE 2 y aparece la siguiente pantalla

Presionamos 2 para una regresin lineal

A continuacin escribimos los datos en las columnas X e Y:

Una vez introducidos los datos, pulsamos [AC] para volver a la pantalla principal y obtener algunos parmetros estadsticos de las dos variables X e Y. Por ejemplo, veamos como calcular XY, Xn y maxY: Para Calcular XY Pulsamos [SHIFT] [1] (STAT) [4) (Sum), luego pulsamos [5] (XY) [=]

Vamos a calcular el coeficiente de correlacin lineal y la ecuacin de la recta de regresin. Pulsamos [SHIFT] [1] (STAT) [7] (Reg), luego pulsamos [1] (A) [=]

Bajo el mismo procedimiento se calcula los valores de B, coeficiente de correlacin, y estimado y X estimado. EJEMPLO

Con los datos de la tabla siguiente, determinar el modelo matemtico que expresa la relacin entre la velocidad y el tiempo de un mvil en su movimiento rectilneo uniformemente variado.

[ ]st 0,0 0,4 0,9 1,5 2,1 2,6 3,2 4,1

[ ]smv / 5,9 6,4 7,6 8,5 9,8 10,4 11,9 13,5

SOLUCIN

- Para realizar el grfico se utiliza una hoja milimetrada tamao carta. (Ver figura)

- Para la variable independiente se elige el eje de las abscisas tx =

- Para la variable dependiente se elige el eje de las ordenadas y = v

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