UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS PROF.: M.FIEBIG

GUIA N1, ECUACIONES DIFERENCIALES 1.- En cada uno de los siguientes problemas, compruebe primero que y(x) satisface la ecuacin diferencial dada. Entonces, determinar un valor de la constante C de modo que y(x) satisfaga la condicin inicial dada. a) y`+ y = 0; y(x)= Ce-x , y(0)=2 b) y`= 2y; y(x)=Ce2x , y(0)=3

c) y`= x y ; y(x)=Ce-x + x 1, y(0)=10 d) eyy`= 1; y(x) =ln(x + C), y(0)=0

e) 1)2(,41)(;23 355 =+==+ yCxxxyxx

dxdyx f) xy`- 3y =x3, y(x)=x3(C+lnx), y(1)=17

2.- En cada uno de los siguientes problemas, escriba una ecuacin diferencial que sea un modelo matemtico de la situacin descrita. a) La tasa de cambio de una poblacin P con respecto al tiempo t es proporcional a la raz cuadrada de P. b) La tasa de cambio con respecto al tiempo de la velocidad de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v.

c) La aceleracin dtdv de cierto automvil deportivo es proporcional a la diferencia entre

250 km/hr y la velocidad del automvil. d) En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del nmero N de personas que han odo un cierto rumor, es proporcional al nmero de las que todava no lo han odo. e) En una ciudad que tiene una poblacin fija de P personas, la tasa de cambio con respecto al tiempo del nmero N de personas que han contrado cierta enfermedad, es proporcional al producto del nmero de personas enfermas y el nmero de las que no lo estn. 3.- Cul es el valor de la constante de descomposicin k de una sustancia inestable N, cuyo tiempo de vida medio VMt es 30 das? Resuelva el problema sabiendo que la dinmica

de la descomposicin se rige por la ley: kNdtdN =

4.- En cada uno de los siguientes problemas, verifique por sustitucin que cada funcin dada es una solucin de la ecuacin diferencial considerada. a) y`= 3x2, y = x3 + 7 ; b) y`+2y =0, y = 3e-2x ; c) y`` + 4y = 0, y1 = cos2x, y2 = sen2x;

d) y`` = 9y, y1 = e3x, y2 = e-3x; e) y`= y + 2e-x, y = ex e-x ;

f) y``+4y`+4y= 0, y1 = e-2x, y2 = xe-x; g) y`` - 2y` + 2y = 0, y1 = ex cosx, y2 = ex senx

h) y`+ 2xy2 = 0, y = 211x+ ; i) x

2y`` + xy`- y = lnx, y1 = x lnx, y2 = x1 - lnx

j) x2y`` + 5xy`+ 4y = 0, y1= 21x

y2 = 2lnxx .

5.- En cada uno de los siguientes problemas, encuentre una funcin y = f(x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.

a) =dxdy 2x + 1, y(0)=3 ; b) =

dxdy ( x 2 )3 , y(2)=1; c) =

dxdy x 21 ; y(4)=0 ;

d) =dxdy 2

1x

, y (1) = 5 ; e) =dxdy ( x +2 )- 21 , y(2)= -1 ; f) =

dxdy

1102 +x , y(0)=0 ;

g) =dxdy cos2x, y(0)=1 ; h) =

dxdy xe-x, y(0)=1.

6.- En cada uno de los siguientes problemas, encuentre las soluciones particulares explcitas para las condiciones iniciales dadas.

a) =dxdy yex , y(0)= 2e; b) =

dxdy 3x2(y2 +1) , y(0) =1 ;

c) 2y =dxdy x(x2 -16) 21 , y(5)=2; d) =

dxdy 4x3y y , y(1) = -3.

7.- Cierta ciudad tena una poblacin de 25.000 habitantes en 1.960, y una poblacin de 30.000 habitantes en 1.970. Suponiendo que su poblacin contine creciendo exponencialmente con un ndice constante. Qu poblacin pueden esperar los urbanistas que tenga la ciudad en el ao 2.000? 8.- En cierto cultivo de bacterias, el nmero de stas se ah sextuplicado en 10 h. Qu tiempo tard la poblacin en duplicar su nmero inicial? 9.- El carbono extrado de un crneo antiguo contena solamente una sexta parte del carbono C14 extrado de un hueso de los tiempos actuales. Cul es la antigedad del crneo? 10.- La intensidad I de la luz a una profundidad de x metros satisface la ecuacin

diferencial IdxdI 4,1=

a) A qu profundidad la intensidad es la mitad de la intensidad I0 en la superficie (donde x = 0)? b) Cul es la intensidad a una profundidad de 10 metros ( como fraccin de I0)? c) A qu profundidad la intensidad ser 1/100 de la correspondiente a la superficie? 11.- Se sabe que la poblacin de cierta comunidad aumenta en una razn proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la poblacin se duplic en cinco aos, en cunto tiempo se triplicar y cuadriplicar? 12.- La cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especmenes, cul era la cantidad inicial de bacterias? 13.- El PB-209, istopo radioactivo del plomo, se desintegra con una razn proporcional a la cantidad presente en cualquier momento, y tiene un perodo medio de vida de 3,3 horas. Si al principio haba un gramo de plomo, cunto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%?