2

Unidad III: Programación Dinámica y Redes

3

Programación Dinámica – Inversión en Campos Petroleros

Una compañía transnacional tiene 4 millones de dólares para invertir en 3 campos petroleros. Las

utilidades que gana el sitio i ( i =1, 2, 3 ) dependen de la cantidad invertida en él (Ver Tabla). Si se

supone que la cantidad invertida en cada campo debe ser múltiplo exacto de 1 millón de dólares,

determine con programación dinámica una política de inversiones que eleve al máximo las

utilidades que ganaría la transnacional con sus tres campos petroleros.

Cantidad Invertida

(Millones de $)

Utilidades

(Millones de $)

Campo 1 Campo 2 Campo 3

0 4 3 3

1 7 6 7

2 8 10 8

3 9 12 13

4 11 14 15

Definición de variables

Formule la ecuación recursiva

4

Etapa Nº 1

S X* F*

Etapa Nº 2

S X* F*

5

Etapa Nº 3

S X* F*

Etapa Nº 4

S X* F*

Solución Óptima:

CampoCantidad Invertida

(millones de $)

Utilidades

(millones de $)

1

2

3

Utilidad Total ( millones de $ )

6

Programación Dinámica – Fábrica de Aviones

La compañía construye aviones comerciales para varias líneas aéreas en todo el mundo. La última

etapa del proceso de producción consiste en fabricar los motores de turbina e instalarlos ( una

operación muy rápido) en la estructura del avión terminado. La compañía tiene varios contratos de

trabajo para entregar un número considerable de aviones en un futuro cercano y en este momento

debe programar la producción de motores de turbina para los próximos 4 meses.

MesInstalaciones

programadas

Producción

máxima

Costo unitario

de producción *

Costo unitario

de almacenaje *

1 10 25 1.08 0.015

2 15 35 1.11 0.015

3 25 30 1.10 0.015

4 20 10 1.13

* El costo esta expresado en millones de dólares

En la segunda columna de la tabla se indica la cantidad de motores que debe estar lista para su

instalación a fin de cumplir con las fechas de entrega contratadas. Así, el número acumulado de

motores que deben producirse al final de los meses 1, 2, 3 y 4 debe ser por lo menos 10, 25, 50 y 70,

respectivamente.

Las instalaciones disponibles para producir los motores varían de acuerdo con otros programas de

producción, mantenimiento y renovación durante el periodo. Las diferencias mensuales debida al

número de máxima que se puede producir y el costo unitario de producción (en millones de dólares)

se dan en la tercera y cuarta columnas de la tabla.

Dadas las variaciones en los costos de producción, podría valer la pena fabricar algunos motores un

mes o mas antes de su fecha de instalación; se está estudiando esta posibilidad. El inconveniente es

que esos motores deben almacenarse hasta que sean instalados (la estructura de los aviones no

estará lista antes). El costo de almacenaje para cada motor es de $ 15.000 por mes (incluye el interés

sobre el capital invertido), como se muestra en la última columna de la tabla.

7

El gerente de producción quiere desarrollar la programación del numero de motores que se deben

fabricar en cada uno de los 4 meses de manera que se minimicen los costos totales de producción y

almacenaje.

1. Definición de variables

2. Formule la ecuación recursiva

Etapa Nº 1

S X* F*

8

Etapa Nº 2:

S X* F*

Etapa Nº 3:

S X* F*

9

Etapa Nº 4:

S X* F*

Solución Optima:

Mes ProducciónCosto unitario de

producción *

Costo unitario de

almacenaje *Costo Total

1

2

3

4

Total

Nota: Si existen soluciones óptimas alternativas divida las celdas como sea requerido

10

Programación Dinámica – Programación de Fuerza laboral

Una empresa necesita el siguiente número de trabajadores durante cada uno de los siguientes cinco

años:

Año Trabajadores

1 15

2 30

3 10

4 30

5 20

En la actualidad la empresa tiene 20 trabajadores. A cada trabajador se le pagan 30.000 $ por año.

Al principio de cada año los trabajadores pueden ser contratados o despedidos. Cuesta 10000

dólares contratar a un trabajador y 20000 dólares un despido. Un trabajador recién contratado se

puede emplear para satisfacer la demanda de mano de obra del ano actual.

Definición de variables

Formule la ecuación recursiva

11

Etapa Nº 1

S X* F*

Etapa Nº 2

S X* F*

Etapa Nº 3

12

S X* F*

Etapa Nº 4

S X* F*

13

Etapa Nº 5

S X* F*

Solución Óptima

Nota: Si existen soluciones óptimas alternativas divida las celdas como sea requerido

14

Programación Dinámica – Introducción de un nuevo producto

Una compañía está a punto de introducir un nuevo producto a un mercado muy competido y

planeando su estrategia de comercialización. Ha tomado la decisión de introducir el producto en tres

fases. La Fase 1 incluirá ofertas especiales de introducción a un precio muy reducido para atraer a

los compradores de primera vez. La Fase 2 comprenderá una campaña intensiva de comerciales y

anuncios para persuadir a estos compradores de primera vez a que continúen comprando el producto

a precio normal. Se sabe que otra compañía introducirá otro nuevo producto competitivo más o

menos cuando termine la fase 2. La Fase 3 entonces incluirá una campaña de seguimiento y

promoción para tratar de evitar que los clientes regulares cambien al producto de la competencia.

Se cuenta con un presupuesto total de $ 5 millones de dólares para esta campaña comercial. El

problema consiste ahora en determinar como asignar este dinero de la manera más efectiva a las

tres fases. Sea m el porcentaje de mercado inicial que se logra en la Fase 1, f 2 la fracción de este

mercado que se retiene en la Fase 2 y f3 la fracción restante del porcentaje de mercado que se

retiene en la Fase 3. Con los datos de la tabla, aplique Programación Dinámica para determinar

cómo asignar los $ 4 millones para maximizar el porcentaje final del mercado para el nuevo

producto, es decir, maximizar m . f2 . f3. Suponga que el dinero se debe gastar en cantidades enteras

múltiplos de $ 1 millón en cada fase y que el múltiplo mínimo permisible es 1 para la fase 1 y 0

paras las fases 2 y 3. La tabla proporciona el efecto estimado para cada nivel de gasto en cada fase.

Millones de

$ gastados

Efecto sobre el porcentaje de mercado

m f2 f3

0 _ 0.30 0.50

1 10 0.50 0.70

2 15 0.70 0.85

3 22 0.80 0.90

4 27 0.85 0.93

5 30 - -

15

Definición de variables

Formule la ecuación recursiva

16

Etapa No. 1 - Fase 3

S X* F*

Etapa No. 2 - Fase 2

S X* F*

17

Etapa No. 3 - Fase 1

S X* F*

Solución Óptima:

Fase $ InvertidosEfecto sobre el

% de mercado

1

2

3

m f2 f3 _

Total ($) _

Nota: Si existen soluciones óptimas alternativas divida las celdas como sea requerido.

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Programación Dinámica – Fabrica de computadoras

Una compañía puede fabricar hasta 4 computadoras por semana y se ha comprometido a fabricar

cada una de las siguientes 4 semanas: 3, 2, 4 y 2 computadoras respectivamente. Los costos de

producción en función del número de computadoras fabricadas (miles de $) como aparecen en la

tabla.

Unidades Producidas (x) 0 1 2 3 4

Costo f (x) 4 13 19 27 32

Las computadoras pueden entregarse a los consumidores al final de la misma semana en que se

fabrican o pueden almacenarse para su entrega futura con un costo de $400 semanal debido a su

capacidad limitada de almacenamiento, la compañía no puede almacenar más de 3 computadoras a

un tiempo. El inventario actual es cero y la compañía no desea ningún inventario al final de la

semana 4 ¿Cuántas computadoras deberán fabricarse en cada una de las siguientes 4 semanas para

cumplir todas las demandas a un costo mínimo total?

Definición de Variables

Muestre la relación de recurrencia que usaría para resolver este problema mediante programación

dinámica

19

Etapa Nº 1

S X* F*

Etapa Nº 2

S X* F*

20

Etapa Nº 3

S X* F*

Etapa Nº 4

S X* F*

21

Solución Óptima

SemanaUnidades

Producidas( $ )

Costo de Producción

( $ )

Costo de Inventario

( $ )

Costo de Producción e Inventario

( $ )

1

2

3

4

Total ( $ )

Nota: Si existen soluciones óptimas alternativas divida las celdas como sea requerido

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Redes - Flujo máximo

En la red de la figura determine cuál es el flujo máximo de unidades a través de la red

Ruta Unidades Enviadas

Total de Unidades Enviadas =

23

Redes – Ruta más corta

En la figura identifique la ruta más corta del origen A al destino J. Indique el recorrido y la distancia

de dicho recorrido. (Si existen rutas alternativas indique todas estas rutas)

Distancia Total =

Ruta 1 =

Ruta 2 =

Ruta 3 =

Ruta 4 =

24

n NR-NNR NNR MC DTIn-ésimo

Nodo MC

Distancia

Mínima

Última

Conexión

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Redes – Árbol de mínima expansión

La administración de Telefónica Popular necesita determinar los caminos bajos los cuales se deben

tender las líneas telefónicas para conectar todas las estaciones con una longitud mínima de cable.

Nota: Indique la red que se obtiene y la distancia total, el número de cada arco representa la

distancia en cientos de Km.

Distancia Total

(Cientos de Km) =

Indique aquí el árbol definitivo.