UN SISTEMA DE REFERENCIA es un sistema coordenado relativo al cual se toman medidas fsicas. Un sistema de referencia inercia! es aqul que se mueve a velocidad constante, es decir, que no est acelerado. LA TEORA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD fue propuesta por A. Einstein y se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos a velocidad constante. Los postulados de Einstein fueron: (1) Las leyes de la fsica son las mismas para todo sistema inercial. Por lo tanto, todo movimiento es relativo. La velocidad de los objetos slo puede darse en relacin a otros cuerpos. Es imposible determinar la velocidad absoluta de un objeto. (2) La rapidez de la luz en el vaco, o, tiene el mismo valor para cualquier observador, independiente del movimiento de la fuente o del movimiento del observador. Estos postulados conducen a predecir lo siguiente. VARIACIN DE LA MASA: La medida de la masa de un objeto que est en reposo con repecto al medidor se denota por m y se llama masa en reposo del objeto. Si un objeto se mueve con rapidez y, pasando frente a un observador, el objeto tiene, para el observador, una masa aparente. m=m0/ 1-(v/c) donde c = 2.988 x 10m/s es la velocidad de la luz en el vaco (espacio libre). Ntese que m . cuando v c. El factor 1-(v/c)se llama efecto relativista.

RAPIDEZ LMITE: Cuando v = c, la masa del objeto se vuelve infinita. Para ello se requerira de una fuerza infinita para acelerarlo hasta la velocidad de la luz. Por lo que se concluye que ningn objeto puede acelerarse hasta la velocidad de la luz c, y as c es el lmite superior para la rapidez. EL MOMENTO LINEAL de una partcula de masa en reposo m y rapidez y es

CONVERSIN MASA ENERGA: Si la energa de un objeto cambia en AE, entonces su masa cambia en una cantidad dada por E = (m)c(Esta relacin se escribe con mucha frecuencia como E = mc.) La relacin es verdadera para cualquier tipo de cambio de energa. Cuando a un objeto se le suministra energa cintica traslacional, su masa aparente m se vuelve mayor que su masa en reposo m0. La relacin es: EC traslacional = (m m0)c

Si la rapidez de un objeto no es muy grande, entonces sta se reduce a la expresin usual EC traslacional = m0v (v c) LA ENERGA TOTAL de una partcula (es decir, su energa de masa en reposo m0c ms su energa cintica translacional) se representa por E. Dos expresiones convenientes para E son E = mc y E = p c + m0c DILATACIN DEL TIEMPO: Dos relojes idnticos localizados uno junto al otro marcan el tiempo al unsono. Sin embargo, si uno de los relojes se acelera hasta una alta velocidad y y se mueve pasando frente al reloj estacionario y frente a un observador :estacionario, entonces le parecer a este observador estacionario que el reloj marca el tiempo con cierta lentitud. Mientras .que el reloj estacionario marca un tiempo ts el observador medir que el reloj en movimiento marca un tiempo ts, < ts, donde t, = ts El tiempo que tarda en ocurrir un evento, cuando es registrado por un observador estacionario en el sitio del evento se h llama tiempo propio. Todos los observadores en movimiento registrarn un tiempo mayor que el que toma en ocurrir el evento. De esta manera el tiempo propio para la duracin de un evento es la medida ms pequea de tiempo para este evento. SIMULTANEIDAD: Supngase que para un observador dos eventos ocurren en diferentes localidades, pero al mismo tiempo. Los eventos son simultneos para este observador, sin embargo, en general, stos no son simultneos para un segundo observador en movimiento relativo al primero.

CONTRACCIN DE LA LONGITUD: Supngase que un objeto tiene una longitud Lo de componente x cuando est en reposo I. respecto a un observador (Lo se llama longitud propia). Si al objeto se le da una rapidez y en la direccin x, al observador 1: estacionario le parecer haberse acortado en la direccin x (pero no en las direcciones y y z). ste observar la longitud x como si fuera de

FRMULA PARA SUMAR VELOCIDADES: Supngase que un cohete espacial se mueve en la direccin x con una rapidez y en relacin a la Tierra. El cohete dispara una partcula en la direccin x con una rapidez u relativa al cohete. La rapidez de la partcula relativa a la Tierra no es u + y (debido a que esto podra ser mayor que c). En lugar de eso, la rapidez de la partcula medida por un observador en la Tierra est dada por

Ntese que an cuando y = u = c, esta rapidez es slo c. Esto concuerda con el hecho de que la partcula no puede ser k acelerada hasta una rapidez mayor que c. PROBLEMAS RESUELTOS 42.1 Qu tan rpido debe moverse un objeto para que su masa aparente sea 1% mayor que su masa en reposo? Al hacer uso de m = m0 1 - (v/c) se obtiene 0,9803Al resolver da y - 0.14c - 4.2 x 107m/s. 42.2 Calcule la masa aparente de un electrn que viaja a la mitad de la rapidez de la luz. La masa en reposo del electrn es 9.1 x 10-31 kg. Entonces = = = = kg

42.3 Si 1 g de material pudiera convertirse ntegramente en energa, cul debera ser el valor de la energa producida, si el costo por kW h es de 10 centavos? Se utiliza E = (m)c para determinar Energa ganada = (masa perdida)c

valor de la energa =

42.4 Un objeto de 2 kg se levanta desde e) piso hasta una mesa que esta a 30 cm sobre ste. En qu cantidad se incrementa la masa objeto debido a su incremento en su EP? Se utiliza E = ( mc ) c , con E= mgh . Por tanto

42.5 Un electrn es acelerado desde el reposo a travs de una diferencia de potencial de 1.5 MV y en consecuencia adquiere una energa de 1.5 MeV. Determine su rapidez y su masa aparente. Utilizaremos E = (m)c, con E = Entonces m = m m0= = 2,67Pero y la Para calcular la rapidez, se emplear lo cual nos da

de donde =

42.6 Determine la energa requerida para dar a un electrn una rapidez de 0.9 la de la luz, partiendo del reposo. -1= -1 ) =j=0,663 MeV

42.7 Demuestre que EC = (m m0)c se reduce a EC 1/2m0v cuando v es mucho menor que c. -Se hace que b=-v/c y se expande por el teorema binominal :

Si v es muy pequea comparada con c ,entonces los trminos despus de m0v son despreciables por pequeos .42.8 Un electrn se mueve con rapidez relativista perpendicularmente a un campo magntico de 0.20 T. Su trayectoria es circular, con radio de 15 m. Determine (a) el momento, (b) la rapidez y (c) la energa cintica del electrn.

Recuerde que, en situaciones no relativistas, la fuerza magntica qvB contrarresta la fuerza centrpeta mv/ r. Se igualan estos dos valores y se determina el momento p = mv como p = qBr Esta relacin se debe tomar cuando los efectos relativistas son importantes.(a) p = (b) Debido con , nosotros tenemos Elevando al cuadrado ambos lados y resolviendo para (v/c) se obtiene o La mayora de las calculadoras no manejan esto. Sin embargo, recurdese que para x 1. Entonces = 0.999 999 84

(c ) Pero ya se ha calculado que Si se utiliza la aproximacin 1/(1 +x) =1 -x para x 1, tenemos . Entonces EC=(m-m0) c= -1 )(Ntese que m/m0= 1.76 x.) Al evaluar esto sobre la expresin se obtiene

Un mtodo alternativo de solucin podra ser el de utilizar E = p c+ m0 y recordar que EC = E m0 c. 42.9 El Sol irradia energa igualmente en todas direcciones. En la posicin de la Tierra (r = 1.50x1011 m), la radiacin del Sol es de 1.4 kW/m2. Qu cantidad de masa pierde el Sol por da debido a la radiacin? El rea de una esfera centrada sobre el Sol y que pasa a travs de la Tierra es: rea = 4r2 = 4(1.50 x 1011 m)2 = 2.83 x 1023 m2A travs de cada metro cuadrado de esta rea, la energa que el Sol irradia por segundo es de 1.4 kW/m2. Por lo tanto la radiacin total del Sol por segundo es Energa /s = (area)(1400 W/m2) = 3.96 x 10 26 kg La energa irradiada en un da (86 400 s) es Energa/da = (3.96 x 1026 W)(86 400 s/ da ) = 3.42 x 1031 J/ da Debido a que la masa y la energa estn relacionadas a travs de E = mc, la masa perdida por da es Para comparacin, la masa del Sol es 2 x 10 kg. 42.10 Se mide un haz de partculas radiactivas cuando se dispara en un laboratorio. Se encuentra que, en promedio, cada partcula "vive" durante un tiempo de 2 x 10-8 s; despus de este tiempo, la partcula cambia a una nueva forma Cuando las mismas partculas estaban en reposo en el laboratorio, "vivan" en promedio 0.75 x 10-8 s Qu tan rpido se mueven la partculas del haz?

Ciertas clases de mecanismos de tiempo dentro de las partculas determinan cunto "viven". Este reloj interno, que marca el tiempo de vida propio, debe obedecer la relacin de la dilatacin del tiempo. Por lo que se tiene Tm=ts o Ntese que tm es el tiempo que marca el reloj en movimiento durante los 2 x 10-8 s marcados por el reloj del laboratorio. Al elevar al cuadrado cada lado de la ecuacin y resolviendo para y, da v = 0.927c = 2.78 x 108 m/s.42.11 Dos gemelos tienen 25 aos de edad; entonces uno de ellos sale en un viaje por el espacio a una velocidad aproximadamente constante. El gemelo que va en el cohete espacial mide el tiempo con un reloj exacto. Cuando regresa a la Tierra, su reloj le indica que tiene 31 aos, mientras que su gemelo, que se qued en la Tierra tiene 43 aos. Cul fue la velocidad del cohete espacial? El reloj del cohete espacial indica que el viaje slo dur 6 aos, mientra que el reloj de la Tierra seala que fue de 18 aos. Entonces de donde tm=ts se vuelve 6=18 o v=0,943c=2,83 x 108 m/s 42.12 Dos clulas que se dividen en la Tierra cada 10 s inician desde la Tierra un viaje hasta el Sol (1.5 x 1011 m de camino) en una nave espacial que se mueve a 0.85c. Cuantas clulas deberan existir cuando la nave espacial se estrelle con el Sol? De acuerdo con un observador en la Tierra, el tiempo que toma el viaje al Sol es deTs=x/v== 588 s Debido a que el reloj de la nave se mueve, parece que corre ms lentamente. El tiempo que marca para el viaje es de Tm=ts = 310 s Las clulas se dividen de acuerdo al reloj de la nave espacial, que es el reloj que est en reposo respecto a ellas. Por lo tanto realizan 31 divisiones en ese tiempo, ya que se dividen cada 10 s. Por lo tanto el nmero total de clulas presentes al estrellarse es (2)31 = 2.1 x 10 9 celdas

42.13 En una nave espacial, una persona sostiene una regla de medir cuando se dispara y pasan por la Tierra con una rapidez paralela a la superficie del planeta. Qu notar la persona que va en la nave cuando la regla se gira de la posicin paralela a la posicin perpendicular, con respecto al movimiento de la nave? Para la persona en la nave la regla permanece constante; no aparece cambio en su longitud porque no tiene movimiento traslacional respecto al observador. Sin embargo, alguien que observa en la Tierra dira que la regla mide (1m) 1(v/c)) cuando est paralela al movimiento de !a nave, y de 1 m cuando est perpendicular al movimiento de sta. 42.14 Una nave movindose a 0.95c viaja desde la Tierra hasta la estrella Alfa Centauro, la cual est a 4.5 aos luz. Qu tan largo ser el viaje para (a) un reloj en la Tierra y (b) para un reloj en la nave? (c) Qu tan lejos est la Tierra de la estrella de acuerdo a los ocupantes de la nave? (d) Cul es su clculo de rapidez que llevan? Un ao luz es la distancia que recorre la luz en 1 ao, es decir 1 ao luz = (3 x 108 m/s)(3.16 x 10 7 s) = 9.5 x 10 15m Por consiguiente la distancia a la estrella (de acuerdo a los terrcolas) es (a) (b) Debido a que los relojes en la nave corren lentamente = (1,51 x 10 8s)(0,312)= 4,71 x 107 s (c) Para los ocupantes de la nave, !a distancia Tierra- Estrella est movindose frente a ellos con una rapidez de 0.95c. Por lo tanto, la distancia se acorta para los tripulantes, quienes determinan que es de ( c) t nave= (4.3 x 1016 m) = 1,34 x 1016Para los ocupantes de la nave, su rapidez relativa es(d) v= d/t = 1,34 x 10 16m/4,71x 10 7s = 2,84 x 108 m/s la cual es 0.95c. Para ambos observadores en la Tierra o en la nave la rapidez relativa es la misma. 42.15 Cuando un cohete pasa en su rbita por la Tierra con rapidez v, manda un pulso de luz por delante de l. Qu tan rpidamente se mover el pulso de luz de acuerdo a una persona que se encuentre sobre la Tierra?

Mtodo 1 Con rapidez c (por el segundo postulado de la Relatividad Especial) Mtodo 2 De acuerdo con la frmula de la suma de velocidades, la rapidez observada ser (siendo u = c en este caso)

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 42.16 A qu rapidez se debe mover una partcula para que m sea 2m0? Sol. 2.6 x 108 m/s 42.17 Una partcula est viajando con una rapidez v tal que v/c - 0.9900. Determine m/m0 para la partcula. Sol. 7.1 42.18 Calcule la energa en reposo de un electrn, es decir, la energa equivalente a su masa en reposo, 9.11 x 10-31 kg. Sol. 0.512 MeV =820 pJ 42.19 Determine la masa aparente y la rapidez de un electrn que tiene una energa cintica de 1 x 10 -30 eV (1.6 x 10 -14J). Sol.1.09;x 10 -30 kg, 1.64 x 10 8m/s 42.20 Un automvil de 2000 kg se mueve a 15 m/s. Cunto mayor es su masa a esta velocidad en relacin a su masa en reposo? Sol. 2.5 x 10 -12 kg 42.21 Un protn (m0 = 1.67 x 10 -27kg) es acelerado hasta una en energa cintica de 200 MeV. Cul es su masa aparente y su rapidez a esta energa? Sol. 2.03 x 10-27 kg, 0.57c = 1.70 x 10 8 m/s 42.22 Utilizando la definicin de momento lineal y la relacin entre masa y energa, pruebe que E=p c+m0 c4 . Utilice esta relacin para demostrar que la EC traslacional de una partcula es = m0c242.23 Una cierta especie de bacterias duplican su nmero cada 20 das. Dos de estas bacterias son colocadas en una nave espacial y enviadas a viajar desde la Tierra por 1000 das terrestres. Durante este tiempo, la velocidad de la nave es de 0.9950c. Cuntas bacterias estarn a bordo de la nave cuando aterrice sobre la Tierra? Sol. 64 42.24 Cierta fuente de luz enva 2 x 1015 pulsos cada segundo. Cuando una nave espacial viaja paralela a la superficie de la tierra con una rapidez de 0.90c, se utiliza esta fuente para enviar pulsos a la Tierra. Los pulsos son enviados perpendicularmente a la trayectoria de la nave. Cuntos pulsos son registrados por segundo? Sol. 8.72 X 10 14 pulso/s

42.25 La insignia pintada sobre el lado de una nave espacial es un crculo con una lnea atravesada a 45 con la vertical. Cuando la nave se dispara y pasa a otra nave en el espacio con una rapidez relativa de 0.95c, la segunda nave observa la insignia. Qu ngulo forma con la vertical la lnea observada? Sol. tan e = 0.31 y e = 17 42.26 Una nave espacial est movindose a 0.92c cuando la ve un observador sobre la Tierra. Esta persona y los ocupantes de la nave ponen a funcionar la alarma de sus relojes idnticos para que suenen despus de que hayan pasado 6 h. De acuerdo con los observadores de la Tierra, cunto marcar el reloj de la Tierra cuando suene la alarma del reloj de la nave? Sol. 15.3 h 42.27 Determine la rapidez y el momento de un protn (m0 = 1.67 x 10-27 kg) que ha sido acelerado a travs de una diferencia de potencial de 2000 MV. (A esto se le llama protn 2 GeV). Sol. 0.948c, 1.49 x 10-18 kg m/s.