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Guía de estudio para Matemáticas II Plan de Estudios Actualizado

1

Universidad Nacional Autónoma de México Dirección General de Incorporación y Revalidación de Estudios Colegio de Ciencias y Humanidades

Guía para examen

extraordinario de

Matemáticas II Clave de asignatura 1201

Matemáticas II Plan de Estudios Actualizado __________________________________________________________________

2

Guía de Matemáticas II. La presente guía fue elaborada para apoyar a los alumnos que presentaran

examen extraordinario de la materia de matemáticas II, tiene el objetivo de apoyar

con un poco de teoría y con ejercicios prácticos, la preparación del alumno, con

los cual consideramos, tendrán la capacidad de aprobar el examen

correspondiente.

Coordinador Ismael Nolasco Martínez


3

Primera versión: Septiembre de 2016. Revisión: Mayo 2018.

Índice Unidad I. Ecuaciones cuadráticas Pág. Ecuaciones cuadráticas___________________________________________ 4 Formas de representación_________________________________________ 7 Métodos para la resolución de una ecuación cuadrática _________________ 14 Análisis del discriminante _________________________________________21 El numero i ____________________________________________________22 Raíces dobles __________________________________________________22 Tipos de Raíces ________________________________________________ 23 Unidad II. Funciones cuadráticas Funciones cuadráticas ___________________________________________26 Función cuadrática, análisis de sus parámetros________________________29 Problemas de aplicación _________________________________________ 42 Unidad III. Construcciones y elementos geométricos básicos. Reseña histórica________________________________________________50 Conceptos básicos ______________________________________________51 Construcciones geométricas ______________________________________ 53 Ángulos ______________________________________________________ 63 Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal___________________ 65 Triángulos ____________________________________________________ 71 Desigualdad del triángulo ________________________________________ 73 Rectas y puntos notables ________________________________________ 80 Polígonos ____________________________________________________ 95 Unidad IV. Congruencia, semejanza y teorema de Pitágoras. Congruencia __________________________________________________101 Semejanza ___________________________________________________ 106 Semejanza de áreas ____________________________________________109 Teorema de thales _____________________________________________ 116 Teorema de Pitágoras __________________________________________ 122 Bibliografia____________________________________________________129


4

UNIDAD I. ECUACIONES CUADRÁTICAS.

PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Al finalizar la unidad el alumno resolverá ecuaciones cuadráticas mediante diversos métodos de solución. Modelará problemas que conduzcan a este tipo de ecuaciones. Establecerá la relación que existe entre el grado de la ecuación y el número de soluciones.

APRENDIZAJES.

Con relación a los conocimientos, habilidades y destrezas, el alumno en función de la resolución de problemas:

Analizará las condiciones que se establecen en el enunciado de un problema, y

expresará las relaciones entre lo conocido y lo desconocido a través de una

ecuación de segundo grado.

Relacionará un problema nuevo con otro que ya sabe resolver.

Interpretará en el contexto del problema, lo que significan las soluciones y

elegirá, si es el caso, aquella que tiene sentido en ese contexto.

Resolverá ecuaciones cuadráticas mediante los diferentes métodos de

solución. Transformando la ecuación cuadrática a la forma adecuada para su

resolución por un método específico.

Generalizará el método de completar el trinomio cuadrado perfecto y obtendrá

la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Identificará los parámetros a, b, c en una ecuación cuadrática y los sustituye

correctamente en la fórmula general.

Identificará la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, a partir de

sus coeficientes

Establecerá el modelo matemático del problema y aplicará el método de

resolución conveniente


5

ECUACIONES CUADRATICAS

1.1. Situaciones que conducen al planteamiento de ecuaciones

cuadráticas.

Definición.

EJEMPLOS:

1.- A un baile asistieron igual número de hombres que de mujeres. Si cada hombre bailó con todas las mujeres y cada mujer bailó con todos los hombres y en total se hicieron 225 parejas distintas. ¿Cuántas personas hubo en el baile?

Solución: Sea x : el total de personas, entonces

2

2

2

225 hom2 2

2254

225 0 2254

900 0 4

x xpor ser igual número de bres y de mujeres

xefectuando el producto

xsumando a ambos miembros

x multiplicando por

La ecuación que resulta es de la forma 2 0ax c

2.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden x y 3x, la hipotenusa mide

4 3x . ¿Cuál es el valor numérico de cada cateto y la hipotenusa del triángulo?

Solución: Por el Teorema de Pitágoras tenemos que

2 22

2 2 2

2

3 3 4 3 s

9 18 9 16 24 9

6 42 0

x x x realizando las operacione indicadas

x x x x x simplificado

x x

La ecuación que resulta es de la forma 2 0ax bx

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙+ 𝒄 = 𝟎, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0, 𝑏, 𝑐 ∈

Una ecuación cuadrática, es una igualdad de la forma:


6

3.- Los problemas sobre tasas de interés se pueden resolver utilizando ecuaciones cuadráticas. Si se deposita dinero en una cuenta de ahorros, se reciben intereses al final del año. Al final del segundo año se recibe interés sobre la cantidad original y sobre el interés. Éste se llama interés compuesto anual. Una cantidad de dinero llamado capital C, se invierte a una tasa de interés r. En t años aumentará

hasta una cantidad A dada por: 1 .t

A C r

Supongamos que se invierten

$256.00 a una tasa de interés r compuesto anual. En dos años aumentará hasta $289.00. ¿Cuál es la tasa de interés?

Solución: Sabemos que:

289

256

2

A

C

t

Sustituyendo en 1t

A C r tenemos:

2

2

289 256 1

256 289

r cambiando los miembros de la igualdad

r

La ecuación que resulta es de la forma 2

a x h k

4.- El recíproco de un número más el doble del número es igual a 9

2. Encuentra

los números.

Solución: Llamamos x, y 1

x a los números buscados, entonces

2

2

1 92 2

2

2 4 9

4 9 2 0

4 1 2 0

x multiplicando por xx

x x igualando con cero

x x factorizando

x x

La ecuación que resulta es de la forma 0ax b cx d


7

5.- Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que une dos vértices no adyacentes. En general, el número de diagonales d , de un polígono de n lados

está dado por:

2 3

2

n nd

.

Supongamos que sabemos que un polígono tiene 27 diagonales ¿cuántos lados tiene?

Solución: Como d = 27, sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos:

2

2

2

327 2

2

54 3

3 54 0

n nmultiplicando por

n n igualando con cero

n n

La ecuación resultante es de la forma: 2 0ax bx c

EJERCICIOS PROPUESTOS. Plantea la ecuación que representa cada uno de los siguientes problemas.

1. Encuentra dos números cuya suma sea 21 y su producto 104.

2. ¿A qué tasa de interés compuesto anual se debe invertir $10,000.00 para tener

$14,400.00 en dos años?

3. Dos embarcaciones se separan formando un ángulo recto, al partir al mismo

tiempo del mismo embarcadero. Una hora después se han separado 13 Km. Si

una de ellas viaja 7 Km/h más rápidamente que la otra ¿cuál es la velocidad de

cada una?

4. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal es cuatro unidades mayor que

cualquiera de sus lados.

5. El área de un triángulo rectángulo mide 24 2m y la hipotenusa mide 10 m .

Encuentra las longitudes de los catetos.

6. ¿Cuál es el número que excede en 72 unidades a su raíz cuadrada?

7. La suma de dos números es 42, y la diferencia de sus cuadrados es 504. ¿Cuáles

son estos números?

8. Dentro de tres años la edad de un niño será cuadrado perfecto; y hace tres años

su edad era precisamente la raíz de ese mismo cuadrado. ¿Qué edad tiene?


8

9. Dos personas parten del mismo lugar y se dirigen a otro que dista del primero 12

km. la segunda persona llegó una hora antes que la primera. Calcular la velocidad

de cada persona sabiendo que se diferencian en 1 km por hora.

10. Un caño tarda en llenar un depósito 2 horas más que otro. Abriendo los dos a la

vez, tardan en llenarlo 1 hora 20 minutos. ¿Cuánto tardaría en llenar el depósito

cada uno de los caños por separado.

1.2 Formas de representación.

1.2.1. Incompleta con b=0

Resolución de ecuaciones de la forma: 2 0ax c

En forma general estas ecuaciones se resuelven usando las propiedades de la igualdad (despejando) o factorizando cuando se trata de una diferencia de cuadrados:

En primer lugar tomamos:

2

2

2

0

0 , 0,

ax c sumando c en ambos miembros

ax c dividiendo entre a

cx extrayendo raíz cuadrada

a

c c cx si la solución es real si es imaginaria

a a a

En segundo lugar, consideramos el caso en que a y c , tienen raíz exacta y la

expresión representa una diferencia de cuadrados, tenemos

2

2 2

2

2

0

0

0

0

ax c factorizamos como el producto de los binomios conjugados

ax c ax c se iguala cada factor con cero y se despeja x

cax c ax c x

a

cax c ax c x

a


9

EJEMPLOS. Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 22 3 0x

2

2

2

1 2

2 0 2

3 30

2 2

3

2

3tan

2

3 3

2 2

x dividiendo entre

x sumando en ambos miembros de la igualdad

x extrayendo raíz cuadrada

x por lo to las soluciones son

x y x

2. 2 4 0x

2

2

1 2

4 0 4

4

2 tan

2 2

x sumando en ambos miembros de la igualdad


x por lo to las soluciones son

x y x

3. 23 9 0x

2

2

2

1 2

3 9 0 9

3 9 3

3

3

3 3

x sumando en ambos lados de la igualdad

x dividiendo entre


x las soluciones son

x y x

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO 1 de la sección 1.1

A un baile asistieron igual número de hombres que de mujeres. Si cada hombre bailó con todas las mujeres y cada mujer bailó con todos los hombres y en total se hicieron 225 parejas distintas. ¿Cuántas personas hubo en el baile?

2

2

900 0 900

900

30

x sumando

x extrayendo raíz

x elegimos el valor positivo como solución

Por lo tanto, en el baile hubo 30 personas.


10

EJERCICIOS. Resolver las siguientes ecuaciones.

2

2

2

2

2

1. 3 18 0

2. 2 20 0

3. 4 100 0

4. 3 7 0

5. 9 4 4

x

x

x

x

x

1.2.2. Incompleta con c=0

Resolución de ecuaciones de la forma: 2 0ax bx

Estas ecuaciones se resuelven por factorización del término común x .

2

1

2

0

0

0

0

ax bx tomando x como factor común

x ax b igualando cada factor con cero y despejando

x

bax b ax b x

a

EJEMPLOS

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 2 4 0x x

2

1

2

4 0

4 0

0

4 0 4

x x factorizando x

x x igualando con cero cada factor

x

x x


11

2. 220 15 0x x

220 15 0

5 4 3 0 5

5 0 4 3 0

30

4

x x

x x factorizando x

x o x de donde

x o x

EJERCICIOS. Resolver las siguientes ecuaciones.

2

2

2

2

2

1. 6 0

2. 3 5 0

3. 6 2 0

4. 4 2 0

5. 2 0

x x

x x

x x

x x

x x


Los catetos de un triángulo rectángulo miden x y 3x, la hipotenusa mide

4 3x . ¿Cuánto mide cada cateto y la hipotenusa del triángulo?

26 42 0 6

6 7 0

6 0 7 0

0 7

x x factorizando x

x x igualando cada factor con cero

x o x de donde

x o x elegimos el valor positivo como solución

Por lo tanto, un cateto mide 7, el otro 24 y la hipotenusa 25.


12

1.2.3. Resolución de ecuaciones de la forma a(x+h)2=k:

2

2

1

2

tan

tan

a x h k

kx h dividiendo entre a

a

kx h extrayendo raíz cuadrada

a

kx h res do h

a

Por lo to las soluciones son

kx h y

a

kx h

a

+

EJEMPLOS. Resolver las siguientes ecuaciones

2

2

1

2

1. 2 3 50

503 2

2

3 25

3 5

3 5

3 5

tan tanto, 8, 2

x

solución

x dividiendo entre


x despejando

x

x

Por lo la solución es

+

2

1

2

2. 5 9

5 9

5 3

5

5 3

tanto, 8,2

x

solución


x despejando

x

x


+ 3


13


Supongamos que se invierten $256.00 a una tasa de interés r compuesto anual. En dos años aumentará hasta $289.00. ¿Cuál es la tasa de interés?

Solución:

2

2

289 256 1 256

2891

256

2891

256

171

16

1 33

16 16

r dividiendo entre

r sacando raiz cuadrada

r despejando r

r simplificando

r o r

Ya que la tasa de interés no puede ser negativa, solo 1

0.062516

o 6.25% es la

solución.

EJERCICIOS. Resolver las siguientes ecuaciones:

2

2

2

2

2

1. 3 16

2. 2 7

3. 13 64

4. 4 36

5 1215.

6 36

x

x

x

x

x

1.2.4. Resolución de ecuaciones de la forma 0ax b cx d

Estas ecuaciones se resuelven utilizando la propiedad del cero.

Propiedad del cero:1

Si m y n son números reales, entonces, mn = 0 si y sólo si m = 0 o n = 0

1 Barnett. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA, Mc Graw-Hill, 1989


14

1 2

0

0 0

Sea ax b cx d entonces

ax b o cx d por la propiedad del cero

ax b o cx d despejando

b dx o x despejando x

a c

EJEMPLOS. Resolver las siguientes ecuaciones

1 2

1. 2 3 2 0

2 3 0 2 0

2 3 2

32

2

x x

x o x por la propiedad del cero

x o x despejando

x o x despejando x

1 2

2. 1 2 0

1 0 2 0

1 2

x x


x o x despejando x


El recíproco de un número más el doble del número es igual a 9

2. Encuentra los

números

La ecuación que resultó es 4 1 2 0x x

1 2

4 1 0 2 0

4 1 2

12

4

tan 2

Solución


x o x despejando

x o x despejando x

por lo to el número buscado es


15

1.3. Métodos para resolución de la ecuación cuadrática completa:

ax2+bx+c=0

1.3.1. USANDO FACTORIZACIÓN.

Si los coeficientes ,a b y c son enteros, tales que 2 0ax bx c se pueda escribir

como el producto de dos factores de primer grado, con coeficientes enteros,

entonces la ecuación cuadrática se puede resolver por factorización, este método

se apoya en la propiedad del cero de los números reales.

Consideremos la siguiente multiplicación de binomios:

(x+a)(x+b) = x2 +ax +bx +ab , que podríamos escribir de la siguiente manera

x2 +(a+b)x +ab. Entonces si quisiéramos multiplicar, por ejemplo, (x+3)(x+5), el

resultado sería x2 +8x +15; el 8 se obtuvo de sumar 5+3, y el 15 se obtuvo de

multiplicar 5*3.

EJEMPLOS.

Supongamos que queremos resolver la ecuación x2 +5x +6 = 0; tendríamos que

buscar dos números que sumados nos dieran 5, y que multiplicados nos dieran 6.

Como el resultado del producto es positivo (+6), los dos números buscados son

positivos, o los dos negativos, pero como el resultado de la suma es positivo

también, entonces los dos números son positivos. Así la factorización quedaría

x2 +5x +6 = (x + )(x+ ); se observa que dichos números son 2 y 3, por lo que la

ecuación quedaría factorizada como (x+2)(x+3)=0. Para que el producto de dos

factores sea cero, es porque al menos uno de ellos es cero, por lo que tendríamos

que x+2 =0, y entonces x=-2; o x+3=0, y entonces x=-3, y esas serían las dos

soluciones de la ecuación.

Veamos otro ejemplo: x2 -7x +12 = 0.

Como el producto es positivo, los dos números buscados deben ser positivos, o

ambos negativos; como la suma es negativa, entonces los dos números son


16

negativos, y debo buscar dos números que multiplicados den 12, y el valor

absoluto de la suma sea 7 (como ambos números son negativos, al sumarlos

darán como resultado un número negativo), entonces tendríamos:

x2 -7x +12 = (x-3)(x-4), y la ecuación quedaría (x-3)(x-4) =0, por lo que las

soluciones serían x=3, y x=4.

Veamos otro ejemplo:

x2 +2x -15 = 0.

Como el producto es negativo, uno de los números debe ser negativo y el otro

positivo; por lo que la factorización quedaría como x2 +2x -15 = (x- )(x+ ). Como se

tienen signos distintos, hay que buscar dos números que multiplicados den -15, y

restados den 2 (se restan, porque tienen signos distintos). Esos números son 5 y

3; como el resultado de la suma algebraica 5 + (-3), que equivale a la resta

mencionada anteriormente 5-3, es positivo (+2), quien lleva el signo “+”, es el 5, ya

que es mayor en valor absoluto.

Por lo que la factorización quedaría x2 +2x -15 = (x-3 )(x+5 )=0. Y entonces las

soluciones son x = 3, y x = -5.

Veamos el último ejemplo:

6x2 -7x-3=0.

Si sólo consideramos el trinomio 6x2 -7x-3, para que no se altere el trinomio sólo

podemos multiplicarlo por “uno”. El uno conveniente es 6/6, ya que 6, es el

coeficiente del término cuadrático.

Nos quedaría: 26(6 7 3)

6

x x , que se puede escribir como

2(6 ) 7 6 18

6

x x .

Esta expresión puede factorizarse como (6 9)(6 2)

6

x x ; (dos números que

restados den 7, y multiplicados 18, ambos en valor absoluto).


17

La expresión anterior todavía puede expresarse como 3(2 3)(2)(3 1)

6

x x , que al

efectuar el producto de 3 por 2, nos da 6, que al dividirse entre 6, nos da el neutro

multiplicativo, o sea el 1, y el resultado final es, que 6x2 -7x-3 = (2x-3)(3x+1). Si

igualamos a cero esta expresión, nos queda:

(2x-3)(3x+1) = 0, por lo que 2x-3 = 0, y 3x+1 = 0, y las soluciones son: x = 3/2,

x = -1/3.

Recordemos que la expresión 6x2 -7x-3 =0, no es un trinomio aislado, sino que es

una ecuación, por lo que no es necesario multiplicarla por un “uno”; podemos

multiplicar toda la ecuación por 6, y quedaría: 6(6x2 -7x-3 =0), que daría como

resultado (6x)2-7(6x)-21 =0, que al factorizarla nos da (6x-9)(6x+2)=0, que por

separado nos da 6x-9=0, y 6x+2=0; al resolverlas nos dan, x=9/6, o sea x=3/2, y

x =-2/6, que es equivalente a x= -1/3, que son las soluciones de la ecuación

original.

Sin embargo, es recomendable factorizar como al principio, ya que no sólo nos

serviría para resolver ecuaciones, sino para estudios posteriores.

Vemos que el método de factorización, llega a ser un poco tedioso cuando el

parámetro “a” es distinto de “1”, además de que no siempre se pueden encontrar

dos números que sumen y multipliquen los números buscados; y en algunos

casos, aunque se pudiera factorizar una expresión como x2 + 73x + 780 =0, en

(x+60)(x+13) =0, no son evidentes o tan fáciles de encontrar dichos números. Es

necesario saber otros métodos que sirvan para todos los casos.

1.3.2. Por el método de completar cuadrados.

Es posible encontrar la solución de la ecuación cuadrática general 2 0ax bx c

si puede expresarse como el cuadrado de un binomio igual a una constante. Para

lograrlo se suma c a cada miembro y después se divide entre a . De este modo

se obtiene

2 1bx c

xa a


18

Un trinomio cuadrado con el primer coeficiente igual a 1, es un cuadrado perfecto

si el término constante es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x .

Aplicando esto a la ecuación (1), sumamos

2 2

2

1

2 4

b b

a a

a cada miembro para

lograr que el miembro izquierdo sea un cuadrado perfecto2.

EJEMPLOS.

1.- Resolver la ecuación 2 27,x x completando el cuadrado.

2

2 2

2 2

2 2

1

2

16 6 27 3

2

6 3 36

3 6

3 6

3 6

3 6

3 6

tan 3, 9

Solución

x x sumando la mitad del coeficiente lineal

x x simplificando

x factorizando


x despejando

x

x

Por lo to la solución es

+ + +

+ +

+

+

+

2 Rees/Sparks, ÁLGEBRA CONTEMPORANEA, Mc Graw-Hill, 1995.


19

2.- Resolver la ecuación 23 8,x x completando el cuadrado.

2 2

2

2

2

2 2

2

5 1 5 53 8 3 . tan

3 2 3 6

5 253 8

6 12

5 1213

6 36

5 11

6 6

x x factorizando el coef cuadrático y comple do el cuadrado

x factorizando y simplificando

x dividiendo entre

x factoriz

+ +

+

1

2

5 11

6 6

5 11

6 6

5 11

6 6

5 11

6 6

8tanto, , 1

3

ando el cociente


x despejando

x

x


+


20


Supongamos que sabemos que un polígono tiene 27 diagonales, ¿Cuántos lados

tiene?

2

2

2

2

2 2

2

3 54 0

54 3

33 54

2

3 33 54

2 2

3

2

Solución

La ecuación obtenida es n n

n n permutando los miembros de la igualdad

n n sumando en ambos miembros para completar el trinomio

n n factorizando el trinomio

n

2

1 2

225

4

3 15 3

2 2 2

3 15

2 2

9 6

y , 9 .

sacando raiz cuadrada

n sumando en ambos miembros de la igualdad

n tenemos

n y n

Tomamos la solución positiva entonces el polígono tiene lados

EJERCICIOS. Resuelve las siguientes ecuaciones completando cuadrados

2

2

2

2

2

1. 2 3 2 0

2. 5 6 0

3. 6 5 0

4. 5 6 0

5. 2 0

x x

x x

x x

x x

x x


21

1.3.3. Por fórmula general.

Si utilizamos el método de completar cuadrados para resolver una ecuación cuadrática completa, podemos encontrar una fórmula para resolverlas.

Tenemos:

2

2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2

0 0

0

2 2 2

2 4

4

2 4

ax bx c con a

b cx x dividiendo entre a

a a

b c cx x sumando

a a a

b b c b bx x sumando a ambos miembros

a a a a a

b c bx factorizando el trinomio

a b a

b b acx resolvie

a a

2

2

2

2

2

4

2 4

4

2 4

4

2 2

4

2

ndo las operaciones

b b acx extrayendo raíz cuadrada

a a

b b acx despejando x

a a

b b acx simplificando

a a

b b acx resolviendo

a

Fórmula cuadrática en una variable3

2

2

0, 0,

4

2

.

Si ax bx c a entonces

b b acx

a

da las soluciones de la ecuación cuadrática

3 Idem 1


22

EJEMPLOS.

Resolver la siguiente ecuación.

2

2

1. 9 6 1 0

9, 6 1

6 6 4 9 1

2 9

6 36 36

18

6 0

18

1

3

1tan

3

x x

Solución

como a b y c

sustituyendo en la fórmula general tenemos

x

x simplificando

x

x

Por lo to la solución es x

EJERCICIOS. Resolver las siguientes ecuaciones usando fórmula general

2

2

2

2

2

1. 8 10 7 0

2. 6 0

3. 10 22 0

4. 3 4 0

5. 3 2 8 0

x x

x x

x x

x x

x x

1.3.4. Análisis del discriminante: 2 4 .b ac

Algunas ecuaciones cuadráticas tienen dos, una o ninguna solución real. El

objetivo de analizar el discriminante es encontrar el número de soluciones de una

ecuación cuadrática con

La expresión que está bajo el radical en la fórmula general (2 4b ac ), se llama

discriminante.


23

1.3.4.1. El número i.

En la sección 5.2 se estableció que una ecuación cuadrática puede escribirse de la

forma 2

x h k y que sus raíces son x h k . Si k es un número

negativo, entonces k no es un número real, ya que el cuadrado de un número

real diferente de cero es un número positivo.

Por lo anterior, el número i , se define como: 2 1, 1.i entonces i

Así, n >0, se define 1n n en donde 1.i representa

Luego, n i n con n >0.

Definición4:

Un número de la forma , , .a bi con a y b se llama número complejo

Es interesante notar que:

2 22 3 2 4 2 5 6 21, , 1 1. .i i i i i i i Así que i i y i i

1.3.4.2. Raíces dobles.

Cuando una ecuación cuadrática de la forma 2 0ax bx c

se puede factorizar como el producto de dos binomios iguales, es decir;

2

2 2

2 2 2

b b bax bx c x x o ax bx c x

se dice que la ecuación tiene una raíz doble.

Esto sucede cuando la expresión algebraica 2ax bx c representa un

trinomio cuadrado perfecto.

4 Idem (3)


24

1.4. Tipos de raíces de la ecuación ax2+bx+c=0

La siguiente tabla ilustra los tres casos posibles de soluciones.

En ella se puede observar que:

a) Cuando el valor del discriminante es positivo, se tienen dos soluciones

reales y la gráfica interseca en dos puntos el eje de las abscisas ó “X”.

b) Cuando es cero, tiene una solución y la gráfica toca solo un punto en el

eje de las Abscisas ó “X”.

c) Cuando es negativo, no hay soluciones reales y la gráfica no interseca el

eje de las abscisas ó “X”.

Raíces de

2 0ax bx c Discriminante

Dos raíces o soluciones reales 2 4b ac > 0

Una raíz o solución real 2 4 0b ac

Cero soluciones reales 2 4b ac < 0


25

Respuestas a ejercicios.

Respuesta a los problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas

1) 8 y 13) 2) al 20%). 3) 5 y 12 Km/h. 4) 48+32√ ≈93.25u2

5) 6 y 8 metros 6. Sol (81) 7. Sol. (27 y 15) 8. Sol (6) 9. Sol. (3 km/h y 4 km/h) 10. Sol. (2 horas y 4 horas)

Respuesta a los ejercicios de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2+c=0

21 211. 6, 6 2. 10, 10 3. 5, 5 4. , 5. 0

3 3sol sol sol sol sol

Respuesta a los ejercicios de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2+bx=0

5 1 11. 0,6 2. 0, 3. 0, 4. 0, 5. 0, 2

3 3 2sol sol sol sol sol

Respuesta a los ejercicios de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a(x+h)2=k

81. 7, 1 2. 2 7, 2 7 3. 21, 5 4. 2, 10 5. , 1

3sol sol sol sol sol

Respuesta a los ejercicios de ecuaciones cuadráticas completas de la forma

ax2+bx+c=0 completando trinomio cuadrado perfecto

11. , 2 2. 2, 3 3. 5, 1 4. 3, 2 5. 1, 2

2sol sol sol sol sol

Respuesta a los ejercicios de ecuaciones cuadráticas completas de la forma

ax2+bx+c=0 por fórmula general.

7 1 4 41. , 2. 2, 3 3. 5 3, 5 3 4. 1, 5. 2,

4 2 3 3sol sol sol sol sol


26

UNIDAD II. FUNCIONES CUADRÁTICAS.

PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Al finalizar la unidad el alumnado, analizará el comportamiento de las funciones cuadráticas en términos de sus parámetros me-diante la contrastación de la representación gráfica y analítica. Resolverá problemas de optimización con métodos algebraicos, a fin de continuar con el estudio de las funciones a partir de situaciones que varían en forma cuadrática y contrastará este tipo de variación con la lineal.

APRENDIZAJES.


Obtendrá el modelo de la función cuadrática de una situación dada.

Reconocerá en una tabla si existe variación cuadrática por medio de diferencias finitas. Identificará las diferencias entre variación lineal y cuadrática.

Interpretará el comportamiento de la gráfica y los parámetros de la expresión algebraica, dentro del contexto de una situación dada.

Relacionará el número de intersecciones de la curva de una función cuadrática con el eje X, con la naturaleza de las raíces. En particular, identificará su ausencia con la existencia de raíces complejas.

El alumno expresará la función y=ax2 + bx +c en la forma estándar y=a(x-h)2+k, usando el método de completar un trinomio cuadrado perfecto. Además, interpretará el impacto de sus parámetros en el registro gráfico.

El alumno comprenderá los términos de concavidad, vértice, máximo, mínimo y simetría.

Resolverá problemas sencillos de máximos y mínimos aprovechando las propiedades de la función cuadrática.


27

FUNCIÓN CUADRÁTICA Para iniciar con el estudio de la función cuadrática, comenzaremos a analizar el siguiente problema:

- Un granjero tiene 120 metros de malla de alambre y con ello desea cercar un terreno de forma rectangular. ¿Cuál es la expresión que representa el área? ¿Cuál es el área máxima del terreno?

Solución: Recuerda que un rectángulo es una figura que tiene dos pares de lados iguales, una base y una altura, por lo tanto es conveniente realizar un dibujo del mismo: Recuerda: el perímetro del rectángulo es 2 2P b h

El área ( )( )A b h

Una vez que se han establecido los elementos necesarios en el problema, ¿cómo podemos relacionar esos datos? Lo primero que podemos hacer es determinar el perímetro del terreno, puesto que se sabe que la malla con la que será cercada es de 120 metros, por lo tanto podemos establecer que: 2 2 120b h Una vez relacionado este dato, ahora buscaremos la forma de relacionarlo con la pregunta que nos hace el problema ¿Cuál será el área máxima que se puede cercar con los 120 m? Recuerda que para encontrar el área de un rectángulo basta con multiplicar la base b por la altura h, sin embargo, la simple expresión no soluciona el problema, por lo que tenemos que relacionarlo con el perímetro, para lo cual vamos a despejar una de las variables involucradas, en este caso despejaremos a b, por lo que tenemos:

2 120 2

120 2

2

60

b h

hb

b h

b

h


28

Una vez despejada la base b, lo que procederemos a hacer es sustituirla en la fórmula del área, para lo cual tenemos lo siguiente:

2

( )( )

(60 )( )

( ) 60

A b h

A h h

A h h h

Esta expresión que acabamos de determinar muestra el área del rectángulo en función de la altura h, es decir, si le damos un valor de altura, podremos encontrar un valor de área, lo cual representa parte de la solución del problema. La segunda pregunta del problema será analizada más adelante. Analicemos el siguiente problema:

- A partir de una hoja rectangular de metal de 12 pulgadas de ancho, se desea construir un canalón para desaguar la lluvia, doblando hacia arriba dos lados de manera que queden perpendiculares a la hoja. ¿Cuál es la expresión que representa la capacidad que puede tener el canalón? ¿Cuántas pulgadas se deben doblar para que el canalón tenga capacidad máxima?

Solución. Lo primero que tenemos que realizar es un dibujo que represente la situación. Como puedes observar lo que se desconoce es la magnitud del doblez para que el canalón tenga el área máxima. Observa también la figura que se forma en el canalón es un rectángulo, por lo que la capacidad del canalón depende del área máxima que se obtenga del rectángulo, por lo que, tomando en cuenta las medidas establecidas en el dibujo se tiene lo siguiente:

2

( )( )

(12 2 )( )

( ) 12 2

A b h

A x x

A x x x

La expresión obtenida nos servirá para contestar la segunda pregunta del problema, la cual retomaremos más adelante.

x

12 – 2x


29

Trabajemos el siguiente ejemplo:

- ¿Cuál es el modelo algebraico que representa el producto de dos números cuya suma es 46? Y ¿Cuáles son esos números?

Solución: Primero representaremos la suma de dos números cuyo resultado sea 46, la cual puede ser:

46a b Ahora, el producto de ambos números esta representado por:

( )( )P a b

Para poder determinar un modelo algebraico que represente el producto de esos dos números, ahora necesitamos que el producto se encuentre sólo en función de uno de los números, por lo que se necesita despejar a uno de los números, teniendo:

46a b Sustituyendo esta última expresión en el producto se tiene lo siguiente:

2

2

(46 )( )

( ) 46

( ) 46

P b b

P b b b

P b b b

La expresión obtenida representa el producto de esos dos números, y con ella determinaremos el valor de dichos números, para lo cual lo retomaremos más adelante. Por último, se tiene el siguiente problema:

- ¿Cuál es el modelo algebraico que representa el producto de dos números cuya diferencia es 6? ¿Cuáles son esos números?

Solución: Al igual que en el problema anterior, lo primero que hay que establecer es la diferencia de dos números, cuyo resultado es 6, por lo tanto, tenemos que:

6x y

Una vez establecida la diferencia, entonces plantearemos el producto de ambos números, el cual quedaría de la siguiente manera:

( )( )P x y

Para relacionar ambas expresiones realizaremos el despeje siguiente: 6x y


30

Procederemos a sustituirlo en la expresión correspondiente al producto, quedando de la siguiente manera:

2

2

(6 )( )

( ) 6

( ) 6

P y y

P y y y

P y y y

La expresión obtenida representa el producto de los números, y con ella podremos determinar el valor de los números, pero antes de responder a cada uno de los problemas anteriores recordaremos a la función cuadrática. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Las expresiones determinadas en cada uno de los problemas anteriores se clasifican como funciones cuadráticas, las cuales se definen como aquellas cuyos valores están dados por un polinomio cuadrático de la forma:

2( )f x ax bx c

Donde a, b y c son números reales y a es diferente de cero. Esta forma de representar a una función cuadrática se le conoce como la forma general, además de que cabe aclarar que algunos libros de texto utilizan a y en vez de f(x) lo cual es correcto. Otra forma de representar a una función cuadrática es de la siguiente manera:

2( ) ( )f x a x h k

La cual es conocida como la forma estándar u ordinaria de la función cuadrática y donde también debe de cumplirse que a sea diferente de cero. La gráfica resultante de una función cuadrática es una parábola, con eje de simetría vertical, la cual cuenta con los elementos indicados en la siguiente gráfica:


31

La gráfica de una parábola será modificada según el valor de los parámetros a, h y k. Veamos el efecto de cada uno de ellos. En primera instancia, analizaremos el parámetro a, observa las siguientes graficas:

Observa que si el parámetro a es positivo, la parábola abre hacia arriba, es decir, tiene concavidad positiva, además observa que entre más grande sea el valor de a la parábola se alarga cada vez mas.

Observa ahora, cuando el valor de a es negativo la parábola abre hacia abajo, es decir tiene concavidad negativa. Otra de las características es la siguiente, observa las gráficas:

Como puedes observar en las gráficas entre más pequeño sea el valor del parámetro a ocasiona que la parábola se haga cada vez más ancha.


32

Una vez analizado el parámetro a procederemos a analizar el parámetro h, para lo cual observa y analiza las siguientes gráficas:

Como puedes observar en las gráficas, el parámetro h ocasiona un desplazamiento horizontal de la parábola; es decir, se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda contrario al valor que se le está sumando o restando. Por último, analizaremos el parámetro k, observa las siguientes graficas:

Observa en las gráficas que el parámetro k lo que ocasiona es un desplazamiento vertical de la parábola, se recorre tanta unidades como lo indique el valor de k. En resumen:

- El parámetro a nos indica la concavidad de la parábola, si es positivo abre hacia arriba, si es negativo abre hacia abajo. Además de indicarnos si es delgada y alargada o ancha, dependiendo del valor que tenga.

- El parámetro h provoca un desplazamiento horizontal contrario al signo del mismo.

- El parámetro k desplaza a la parábola verticalmente tantas unidades como lo indique el valor del mismo.

- Observa que el vértice de la parábola se forma con los valores de los parámetros (h, k)

- Además, la ecuación que representa al eje de simetría es x = h


33

Ya que se realizó el análisis por separado de los tres parámetros, ahora analizaremos los tres en conjunto; es decir, realizaremos un bosquejo de la gráfica únicamente utilizando los parámetros. Se tiene la siguiente función:

2( ) 4( 5) 3f x x

Lo primero que debemos hacer es identificar a cada uno de los parámetros: a = 4, lo que ocasiona que la parábola tenga concavidad positiva y sea alargada. h = 5, lo cual ocasiona un desplazamiento horizontal de cinco unidades hacia la derecha. k = 3, lo cual ocasiona un desplazamiento hacia arriba de tres unidades. Con los valores de h y k podemos identificar el vértice el cual se encuentra en el punto (5, 3). Ahora si, podemos realizar el bosquejo de la gráfica, el cual queda de la siguiente manera:

Serie de Ejercicios A. Realiza el bosquejo de las siguientes parábolas analizando los parámetros.

a) 2( ) 6f x x

b) 2( ) 4f x x

c) 2( ) 5f x x

d) 2( ) 2f x x

e) 2( ) ( 6)f x x

f) 2( ) ( 4)f x x

g) 2( ) 2( 3) 1f x x

h) 2( ) 8( 1) 6f x x

i) 2( ) ( 4) 2f x x

j) 21

( ) ( 3) 34

f x x


34

Ya que fueron analizados los parámetros, y una vez que observaste que la función cuadrática en su forma ordinaria proporciona directamente el vértice y la concavidad ahora vamos a realizar la transición entre el registro ordinario al registro general. Trabajemos con el ejemplo anterior, tenemos la función:

2( ) 4( 5) 3f x x Lo primero que tenemos que hacer es desarrollar el binomio al cuadrado, por lo que tenemos:

Realizando las operaciones pertinentes y agrupando términos:

2

2

2

( ) 4( 10 25) 3

( ) 4 40 100 3

( ) 4 40 103

f x x x

f x x x

f x x x

Obteniendo la función cuadrática en su forma general. Veamos otro ejemplo:

2( ) 2( 3) 5f x x Desarrollando el binomio se tiene:

2( ) 2( 6 9) 5f x x x Realizando las operaciones pertinentes se tiene:

2

2

2

( ) 2( 6 9) 5

( ) 2 12 18 5

( ) 2 12 23

f x x x

f x x x

f x x x

Obteniendo la función cuadrática en su forma general.

2( ) 4( 10 25) 3f x x x


35

Serie de Ejercicios B: Determina la función cuadrática en su forma general en cada uno de los siguientes incisos.

a) 2( ) 3( 7) 5f x x

b) 2( ) 4( 9) 1f x x

c) 2( ) 10( 8) 4f x x

d) 21

( ) ( 4) 22

f x x

e) 21

( ) ( 9)3

f x x

Una vez que ya observaste como es que se realiza la transición entre el registro ordinario y general, ahora realizaremos el proceso inverso, es decir, pasaremos la función de su registro general al ordinario. Veamos el siguiente ejemplo: Tenemos la función:

2( ) 2 20 46f x x x

Lo primero que tenemos que hacer es que el término cuadrático tenga como coeficiente uno positivo, debido a que tenemos que completar un trinomio cuadrado perfecto, para la cual vamos a factorizar al término cuadrático y al lineal de la siguiente manera:

2

2

( ) 2 20 46

( ) 2( 10 ) 46

f x x x

f x x x

Una vez que tenemos al término cuadrático con coeficiente uno positivo y al término lineal, procederemos a completar el TCP, por lo que tenemos que obtener la mitad del término lineal y elevarla al cuadrado para integrarlas a la expresión de la siguiente manera:

2

2

( ) 2( 10 ) 46

( ) 2( 10 25) 46 25(2)

f x x x

f x x x

Una vez completado el TCP procederemos a factorizarlo y a realizar las operaciones pertinentes, de tal manera que:

2

2

2

( ) 2( 10 25) 46 25(2)

( ) 2( 5) 46 50

( ) 2( 5) 4

f x x x

f x x

f x x


36

Resultando entonces la función cuadrática en su forma ordinaria, la cual nos proporciona el vértice y la concavidad de la parábola. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? _____________ ¿Hacia dónde abre la parábola?________________________________ ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría?__________________________ Trabajemos el siguiente ejemplo:

2( ) 6 8f x x x Observa que la ecuación ya tiene el término cuadrático con coeficiente uno positivo, por lo tanto podemos completar directamente el TCP, de la siguiente manera:

2

2

( ) 6 8

( ) 6 9 8 9

f x x x

f x x x

Factorizando y realizando las operaciones pertinentes tenemos:

2

2

2

( ) 6 9 8 9

( ) ( 3) 8 9

( ) ( 3) 1

f x x x

f x x

f x x

Resultando la función en su forma ordinaria. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? ______ ¿Hacia dónde abre la parábola?__________________ Serie de ejercicios C: Representa, en su forma ordinaria, cada una de las siguientes parábolas:

a) 2( ) 4 5f x x x

b) 2( ) 6 8f x x x

c) 2( ) 6 2f x x x

d) 2( ) 4 4 1f x x x

e) 2( ) 3 6 5f x x x


37

Pero ¿para qué sirve realizar la transición entre el registro general y el registro ordinario? Recuerda que el registro ordinario te proporciona el vértice y la concavidad, y el registro general te permite conocer las raíces de la ecuación (las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas). Veamos cómo se obtienen estas intersecciones. Los puntos de intersección de la parábola con el eje de las abscisas (eje x), se pueden determinar (si es que son reales) cuando se tiene que y = 0; es decir la función cuadrática se iguala a cero y se resuelve la ecuación cuadrática resultante. Al resolver la ecuación cuadrática, se determinan sus raíces las cuales representan gráficamente las intersecciones con el eje x; de lo cual se puede obtener:

Dos raíces reales desiguales: dos intersecciones

Dos raíces reales iguales: una intersección

Dos raíces imaginarias: ninguna intersección.

Ejemplo 1. Para determinar las intersecciones de la función y = x2 + 2x - 15; se iguala y = 0 y se obtiene la siguiente ecuación cuadrática: x2 + 2x – 15 = 0 Los métodos para resolver una ecuación cuadrática son: Fórmula General, Factorización y Completar un TCP. Utilizando la fórmula general para resolver la ecuación x2 + 2x – 15 = 0 Se tiene que: a = 1 b = 2 c = -15

2 2

4 2 2 4(1)( 15)

2 2(1)

b b acx

a


38

1

2

2 4 60 2 64 2 8

2 2 2

3

5

x

x

x

Por lo tanto las intersecciones de la parábola con el eje x son x1=3 y x2 = -5. Para graficar la parábola se necesita el vértice; por lo que hay que determinar la función en su forma ordinaria.

2

2

2

2 15

( 2 1) 15 1

( 1) 16

y x x

y x x

y x

Con el vértice (-1,-16), la concavidad positiva (la parábola abre hacia arriba) y las intersecciones x1=3 y x2 = -5 se puede trazar la parábola.

Ejemplo 2. Para determinar las intersecciones de la función y = 7 x2 + 28x + 39; se iguala y = 0 y se obtiene la siguiente ecuación cuadrática: 7x2 + 28x + 39 = 0 Utilizando la fórmula general para resolver la ecuación 7x2 + 28x + 39 = 0 Se tiene que: a = 7 b = 28 c= 39

2 2

4 28 28 4(7)(39)

2 2(7)

b b acx

a


39

1

2

28 784 1092 28 308

14 14x

x imaginaria

x imaginaria

Por lo tanto la parábola no tiene intersecciones con el eje x. Para graficar la parábola se necesita el vértice; por lo que hay que determinar la función en su forma ordinaria.

2

2

2

7 28 39

7( 4 4) 39 28

7( 2) 11

y x x

y x x

y x

Con el vértice (-2, 11) y la concavidad (positiva la parábola abre hacia arriba) se puede trazar la parábola.

Ejemplo 3.

Para determinar las intersecciones de la función

21

42

y x

(Forma Ordinaria);

se iguala y=0 y se obtiene la siguiente ecuación cuadrática:

21

4 02

x


40

Para determinar las raíces de la ecuación solo se despeja x. 2

2

2

14 0

2

1 0

2 4

10

2

10

2

x

x

x

x

Con el vértice 1

,02

, la concavidad positiva (la parábola abre hacia arriba) y la

intersección 1

2x se traza la parábola.

Serie de Ejercicios D: Determina el vértice, la concavidad, la ecuación del eje de simetría, las raíces y la gráfica de cada una de las siguientes funciones:

a) 2 6 16y x x

b) 2 6 18y x x

c) 24 24 36y x x

d) 2 2 1y x x

e) 2( 1) 1y x

f) 21( 3) 2

2y x

g) 28( 1) 6y x

y es decir

las dos raíces de la ecuación son iguales; solo hay una intersección con el eje x.


41

Es importante recalcar que también podemos determinar la función cuadrática a partir de su gráfica, la cual se obtiene de la siguiente manera: De la gráfica:

Podemos obtener información de la gráfica que nos permitirá obtener la función correspondiente, por ejemplo, observa que el vértice se encuentra en el punto

(0, 1) lo cual significa que el valor de h = 0 y el valor de k = -1.

Por otro lado, observa que el punto (1,2) pertenece a la parábola, de tal manera

que conocemos los valores x =1, y =2.

Como recordaras, función cuadrática tiene la forma: 2( ) ( )f x a x h k , para

establecer la función asociada a la gráfica procederemos a sustituir los elementos que conocemos, los cuales son: h = 0, k =- 1, x = 1, y = 2, recuerda que se estableció anteriormente que f(x) es lo mismo que y , con lo que se tiene:

22 (1 0) ( 1)a

Como puedes observar, falta determinar el valor de a, para lo cual procederemos a despejarla:

22 (1) 1

2 1

3

a

a

a

Una vez determinado el valor del parámetro a, y conocidos los parámetros h y k, entonces podemos establecer la función buscada, quedando:

2

2

3( 0) ( 1)

3 1

y x

y x


42

Una vez que observaste como es que se obtiene, inténtalo tú. Obtén la gráfica de la función cuya grafica es:


43

PROBLEMAS DE APLICACION Por último, retomemos los problemas que trabajamos al inicio de la unidad, ya que dejamos pendiente una de las preguntas de cada problema. Del problema:

- Un granjero tiene 120 metros de malla de alambre y con ello desea cercar un terreno de forma rectangular. ¿Cuál es la expresión que representa el área máxima? ¿Cuál es el área máxima del terreno?

La expresión que representa el área máxima es 2( ) 60A h h h

Observa que la expresión encontrada es una función cuadrática en forma general. Para contestar a la segunda pregunta lo que necesitamos hacer es obtener la gráfica de dicha función, para ello tenemos que transitar a su forma ordinaria, con lo cual encontraremos el vértice. Por lo que:

2

2

2

2

( ) 60

( ) ( 60 )

( ) ( 60 900) 900( 1)

( ) ( 30) 900

A h h h

A h h h

A h h h

A h h

Como puedes apreciar se trata de una parábola cuya concavidad es negativa, es decir, abre hacia abajo y cuyo vértice se encuentra en el punto V (30, 900). También podemos determinar el valor de las raíces, igualando la función con cero y resolviendo la ecuación resultante, de tal manera que:

En resumen, tenemos una parábola que abre hacia abajo y cuyo vértice esta en el punto (30, 900) con lo cual obtenemos un valor de h = 30m y un valor de área ocasionado por este valor h, el cual es Área =900 m2, la cual es el área máxima que puede tener el terreno.

2

1

2

60 0

( 60) 0

0

60 0

60

60

h h

FACTORIZANDO

h h

donde

h

Ademas

h

h

h


44

Concluyamos el segundo problema:

- A partir de una hoja rectangular de metal de 12 pulgadas de ancho, se desea construir un canalón para desaguar la lluvia, doblando hacia arriba dos lados de manera que queden perpendiculares a la hoja. ¿Cuál es la expresión que representa la capacidad máxima que puede tener el canalón? ¿Cuántas pulgadas se deben doblar para que el canalón tenga capacidad máxima?

La expresión que representa el área máxima es: 2( ) 2 12A x x x

Ahora lo que hay que determinar es el valor de x que origina que el canalón tenga capacidad máxima, para lo cual transitaremos de la forma general a la forma ordinaria, de tal manera que:

2

2

2

2

( ) 2 12

( ) 2( 6 )

( ) 2( 6 9) 9( 2)

( ) 2( 3) 18

A x x x

A x x x

A x x x

A x x

Como puedes observar, el vértice de la parábola que representa el problema es (3,18), el cual brinda la información necesaria para responder a la pregunta del problema. Cuando se dobla 3 pulgadas hacia arriba las paredes del canalón, este tiene una capacidad máxima de 18 plg2. Del tercer problema:

- ¿Cuál es el modelo algebraico que representa el producto máximo de dos números cuya suma es 46? Y ¿Cuáles son esos números?

La expresión algebraica obtenida fue la función cuadrática: 2( ) 46P b b b

Observa que la expresión representa el producto en función de b, por lo que para determinar cuáles son los números que originan el producto máximo ser necesario obtener la forma ordinaria de la función, de tal manera que:

2

2

2

2

( ) 46

( ) ( 46 )

( ) ( 46 529) 529( 1)

( ) ( 23) 529

P b b b

P b b b

P b b b

P b b


45

Observa que el vértice de la parábola se encuentra en (23,529), el cual brinda la información necesaria para resolver el problema, el valor de b es 23, y ese valor origina un producto máximo de 529. Con ese valor de b se puede obtener el valor de a obtenlo. Por último, del problema:

- ¿Cuál es el modelo algebraico que representa el producto mínimo de dos números cuya diferencia es 6? ¿Cuáles son esos números?

La expresión que se obtuvo fue: 2( ) 6P y y y

Para determinar cuál es el producto mínimo, tendremos que obtener el vértice de la función cuadrática obtenida, de tal manera que:

2

2

2

( ) 6

( ) 6 9 9

( ) ( 3) 9

P y y y

P y y y

P y y

El vértice de la parábola se encuentra en (-3,-9), con lo cual podemos responder a la pregunta pendiente del problema, el valor de y = -3, ocasiona un producto mínimo igual a -9, con el valor de y obtenido puedes obtener el valor de a, obtenlo.

Resuelve los siguientes problemas:

1.- A partir de una hoja rectangular de metal de 12 pulgadas de ancho, se desea construir un canalón para desaguar la lluvia, se doblan hacía dos lados de tal manera que queden perpendiculares a la hoja. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la capacidad máxima (área transversal máxima) que puede desalojar el canalón? ¿Cuántas pulgadas se deben doblar para que el canalón tenga capacidad máxima?

2.- Una persona que se encuentra en la parte más alta de un edificio lanza hacia arriba un objeto. Después de t segundos, la altura del objeto respecto al suelo en

pies está dada por 2( ) 16 144 100s t t t , ¿Cuál es la máxima altura que alcanza

el objeto? ¿Cuál es la altura del edificio?

3.- Se requiere cercar un corral de forma rectangular, utilizando una barda de piedra como uno de los lados más largos del rectángulo, para realizar el trabajo se cuenta con un rollo de malla ciclónica de 1000 metros de longitud. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del corral? ¿Cuál es el área máxima que se puede cercar?


46

4.- A un tiempo cero (t = 0) un clavadista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg, desde una plataforma que se encuentra a una altura (s) de 32 pies sobre el agua. La función que define la trayectoria del clavadista es s(t) =-16t2+16t+32. a) ¿Cuánto tiempo le toca al clavadista alcanzar la altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el clavadista? c) ¿Cuándo el clavadista toca o llega al agua? d) ¿A qué altura se encontraba el clavadista después de un segundo de haberse lanzado?

5.- La fórmula expresa la altura h en metros desde el piso, que alcanza un objeto en t segundos después de ser lanzado. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto? ¿Cuánto tarda en llegar a su altura máxima? ¿Cuánto tarda en regresar al piso contando desde que fue arrojado? ¿En cuántos segundos se encontrará el objeto a una altura de 192 m? Elaborar un bosquejo de la gráfica

6.- Se quieren construir con 300 metros de alambre seis jaulas de forma rectangular como se muestra en la figura:

¿Qué medidas debe tener el ancho y largo para que el área de las seis jaulas sea la máxima, y cuál es esa área? 7.- El peso de una parte de un puente colgante está uniformemente distribuido entre torres gemelas, las cuales están separadas 400 pies, y se elevan a 90 pies sobre la carretera horizontal. Un cable tendido entre las puntas de las torres tiene la forma de una parábola, y su punto central está a 10 pies sobre la carretera. Halle la ecuación de la parábola Se usan nueve cables con separación uniforme para sostener el puente. Calcule la longitud total de los cables. 8.- Un jugador de béisbol lanza una pelota que sigue una trayectoria descrita por la siguiente función

= + + Donde t: tiempo en s, h: altura en m. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué tiempo alcanza esa altura máxima?


47

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: SERIE DE EJERCICIOS A:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) SERIE DE EJERCICIOS B

a) 2( ) 3 42 142f x x x

b) 2( ) 4 72 323f x x x

c) 2( ) 10 160 636f x x x

d) 21( ) 4 6

2f x x x

e) 21( ) 6 27

3f x x x


48

SERIE DE EJERCICIOS C

a) 2( ) ( 2) 9f x x

b) 2( ) ( 3) 17f x x

c) 2( ) ( 3) 7f x x

d) 21( ) 4( )

2f x x

e) 2( ) 3( 1) 2f x x

SERIE DE EJERCICIOS D

a) Vértice (-3, -25) , Concavidad positiva, Eje de simetría x = -3,

Raíces x1 = 2, x2=-8 Ecuación: 2( ) ( 3) 25f x x

b) Vértice (3, 27) , Concavidad negativa, Eje de simetría x = 3,

Raíces x1 = 8.19, x2=-2.19 Ecuación: 2( ) ( 3) 27f x x

c) Vértice (3, 0) , Concavidad negativa, Eje de simetría x = 3,

Raíces x1 = 3, x2=3 Ecuación: 2( ) 4( 3)f x x

d) Vértice (-1, 0) , Concavidad positiva, Eje de simetría x = -1,

Raíces x1 = -1, x2=-1 Ecuación: 2( ) ( 1)f x x

e) Vértice (-1, -1) , Concavidad positiva, Eje de simetría x = -1,

Raíces x1 = 0, x2=-2 Ecuación: 2( ) ( 1) 1f x x

f) Vértice (3, -2) , Concavidad positiva, Eje de simetría x = 3,

Raíces x1 = 5, x2=1 Ecuación: 21( ) ( 3) 2

2f x x

g) Vértice (-1, 6) , Concavidad negativa, Eje de simetría x = -1,

Raíces x1 = -0.13, x2=-1.86 Ecuación: 2( ) 8( 1) 6f x x

FUNCIÓN DE LA GRAFICA: 23( ) 1

2f x x


49

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS:

1.- A=-2x2+12x se debe doblar de 3 pulgadas. 2.- Altura Máxima 424m Altura del edificio 100m 3.- A=-2x2+1000x Área máxima: 125000 m2 Ancho 250m Largo 500m 4.- a) ½ seg. b) 36m c) 2seg. d) 32m 5.- La altura máxima que alcanza el objeto son 256 metros, el objeto tarda 4 segundos en llegar a su altura máxima, y tarda 8 segundos en regresar al piso desde que fue arrojado, el objeto se encuentra a 192 metros de altura a los 2 y a los 6 segundos. 6.- largo 50, ancho 37.5, y el área 1875m cuadrados. 7.- y= (1/500)x2+10; 390 pies 8.- La altura máxima es de 22 m en un tiempo de 3 s.


50

UNIDAD III. ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA PLANA

PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Al finalizar la unidad, el alumnado comprenderá algunos conceptos y relaciones geométricas, obtenidos empíricamente a través de construcciones con regla y compás. Aplicará los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas geométricos.

APRENDIZAJES.


Conocerá el origen de la Geometría Euclidiana y su sistematización.

Describirá y reconocerá los elementos básicos de una figura geométrica,

los expresará en forma verbal y escrita.

Comprenderá mediante la construcción, los conceptos: segmento de recta,

punto medio, líneas paralelas, líneas perpendiculares, mediatriz, ángulo y

bisectriz.

Clasificará los ángulos por su medida y su relación con otros.

Conocerá e identificará los tipos de ángulos que se forman entre dos rectas

cortadas por una transversal.

Concluirá que en el caso que dos rectas paralelas sean cortadas por una

transversal, los ángulos alternos internos son congruentes e inversamente.

Aplicará los conceptos anteriores en la resolución de problemas.

Clasificará los triángulos según sus lados y ángulos.

Explicará en qué casos es posible construir un triángulo, a partir de tres

segmentos dados.

Mostrará y justificará las propiedades entre los ángulos de un triángulo:

Aplicará las propiedades de los ángulos de un triángulo en la resolución de

problemas.

Distinguirá las características que determinan a las rectas y puntos notables

en un triángulo

Determinará geométricamente la distancia de un punto a una recta.

Justificará y aplicará las propiedades del triángulo isósceles.

Describirá los polígonos por sus características (regulares e irregulares).

Conocerá y aplicará las propiedades de los polígonos.

Calculará el perímetro y área de un polígono regular.

Calculará el área de un polígono irregular por triangulación.

Identificará las líneas notables de la circunferencia.

Localizará el centro de una circunferencia.

Aproxima el perímetro y área del círculo.


51

CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS.

RESEÑA HISTÓRICA. La palabra Geometría se deriva de los vocablos griegos geō (tierra) y metrein (medir), por lo que al hablar de Geometría nos referimos a la medida de la tierra. Sin embargo, la Geometría se encarga también de estudiar las características y propiedades de figuras como puntos, rectas, planos y aquellas que se encuentran en un plano o en el espacio. A continuación, se muestra una tabla con algunos de los acontecimientos y personajes importantes a lo largo de la historia de la Geometría Euclidiana:

PERÍODO ACONTECIMIENTO

-2000 a -500 Babilonia y Egipto: "En Babilonia se tiene registro de medidas como: El

cálculo de áreas, del cuadrado, del círculo (con un valor aproximado de 3

para el número Pi).En Egipto, cuando el Nilo crecía se llevaba parte de las

tierras, los agrimensores tenían que rehacer las divisiones para el pago de

impuestos. Utilizaron también la geometría en la construcción de pirámides.

Existen papiros (Rhind) en los que aparecen resueltos problemas

geométricos de áreas.

-800 a -400 Grecia: Comienza la Geometría como ciencia deductiva. Los problemas

prácticos relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos,

mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran

papel.

-630 a -545 Thales de Mileto: Representa los comienzos de la Geometría como ciencia

racional. Fundó la escuela Jónica. Fue uno de los siete sabios de Grecia.

Sus estudios lo condujeron a poder determinar distancias inaccesibles, la

igualdad de los ángulos de la base del triángulo isósceles, el valor del

ángulo inscrito en la circunferencia, la demostración de teoremas sobre

paralelas y proporcionalidad que llevan su nombre.

-582 a -500 Pitágoras de Samos. Se cree que fue discípulo de Thales. Fundó la escuela

pitagórica en Crotona, al sur de Italia. Allí se discutía filosofía, matemáticas

y ciencias naturales. Se le atribuye la demostración de la propiedad de la

suma de los ángulos internos de un triángulo, la construcción geométrica

del polígono estrellado de cinco lados, la demostración del teorema de

Pitágoras y como consecuencia de éste, el descubrimiento de números

irracionales como √ y √ .

-325 a -265 Euclides. Escribió una de las obras más famosas de todos los tiempos: "Los

Elementos", que consta de 13 capítulos llamados "Libros". De esta obra se

han hecho tantas ediciones que sólo lo aventaja la Biblia. Euclides

construye la geometría partiendo de definiciones, postulados y axiomas con

los cuales demuestra teoremas. La geometría euclidiana ha sobrevivido


52

hasta nuestros días. Los 5 axiomas de Euclides son los siguientes:

Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en

cualquier sentido. Se puede trazar una circunferencia con cualquier punto y de

cualquier radio. Todos los ángulos rectos son congruentes.

Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

-287 a -212 Arquímides de Siracusa: Inventó la forma de medir el área de superficies

limitadas por figuras curvas como la elipse y el volumen de sólidos limitados

por superficies curvas como el cono y la esfera. Elaboró un método para

calcular una aproximación al número Pi.

CONCEPTOS BÁSICOS.

METODO DEDUCTIVO Método que consiste en encadenar conocimientos verdaderos, para obtener, como consecuencias lógicas, conocimientos nuevos.

AXIOMA Es una proposición que se considera evidente y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético – deductivo es toda proposición no deducida (de otras) si no que constituye una regla general de pensamiento lógico.

POSTULADO Es una proposición, no tan evidente como un axioma, pero que también se admite sin demostración.

TEOREMA Proposición (supuestamente verdadera), que debe ser demostrada mediante el uso de axiomas, definiciones u otros teoremas ya demostrados.

Punto: Concepto geométrico que representa una

posición. No tiene grosor ni longitud. Se

representa mediante un punto dibujado.

Línea. Es una figura que tiene longitud, pero no grosor. Puede ser curva o recta.


53

Recta: Línea en la que todos los puntos que la forman tienen la misma dirección. Se puede extender indefinidamente.

Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas, cuando nunca se cruzan. Además la distancia perpendicular entre ellas es siempre la misma.

.

Rectas oblicuas: Dos rectas que al intersectarse no forman ángulos rectos.

Rectas perpendiculares : Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando al cruzarse forman ángulos rectos

Tangente a una curva. Recta que toca a una curva en un solo punto llamado punto de tangencia.

Punto de intersección : Punto donde se cruzan ya sea dos rectas, recta y un plano, una recta y una circuneferencia, etc.

Segmento: Porción de línea recta que está limitada por dos puntos que son sus extremos

Segmentos congruentes: son aquellos que tienen

la misma longitud.

= ̅̅ ̅̅


54

Ángulo: Abertura entre dos rectas que se

encuentran o intersectan en un punto.

A las rectas que se encuentran se les llama lados

del ángulo y al punto en donde se cruzan se le

llama vértice del ángulo. Mediatriz: Recta que pasa por el punto medio de

un segmento y es perpendicular a éste.

Semirrecta: Porción de línea recta que sólo está

limitada en un extremo.

Circunferencia: conjunto de puntos cuya distancia

a un punto fijo llamado centro es la misma.

Radio:

Distancia entre los puntos de una circunferencia

y el centro de ésta.

Arco:

Porción de circunferencia. ̂

Bisectriz: Segmento de recta que divide a un

ángulo en dos ángulos iguales.

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS: Una construcción geométrica, es un dibujo realizado mediante regla no graduada y compás.

Con la regla se trazan líneas rectas, segmentos, semirrectas, se unen

puntos, sin tomar en cuenta la escala.

El compás se utiliza para trazar circunferencias, arcos, transportar distancia

es decir, con el compás “se miden” longitudes.


55

Existen diferentes formas de hacer una construcción geométrica las cuáles son válidas si se puede dar una justificación. A continuación ejemplificamos algunas, sugiriendo alguno de los métodos de construcción:

A) Construir un segmento CD congruente a otro segmento dado AB .

SUGERENCIA DE SOLUCIÓN

Paso 1: Trazar una recta l cualquiera

de mayor longitud a AB .

Paso 2: Marcar un punto cualquiera C

en l.

Paso 3. Abrir el compás con centro en

C y radio AB y marcar un arco que

corte a l. Nombrar D al punto de

intersección de l con el arco.

El segmentoCD , es el segmento

buscado.


56

B) Dado un ángulo BAC construir otro ángulo igual:


Paso 1: Abrir compás con radio AB,

con centro A trazar una circunferencia

y prolongar AB del lado de A hasta

tocar la circunferencia; asignar a este

punto el nombre de B´.

Paso 2: Abrir compás con radio AC,

con centro A, trazar una circunferencia

y prolongar AC del lado de A hasta

tocar la circunferencia y asignar punto

C’.

El ángulo B’AC’ es el ángulo buscado.


57

C) Construcción de un ángulo igual a otro ángulo dado, que pase por un

punto fuera del ángulo.


Con la regla, trazar una

semirrecta cualquiera L1, con

A’ como punto inicial.

Con radio AC, trazar una circunferencia R1 con centro en A’. Llamar C’ al punto en el que esta circunferencia corta a L1.

Con radio CB, trazar una

circunferencia R2 con centro

en C’.

Con radio AB, trazar una circunferencia R3 con centro en A’. Nombrar B’ y B’’ a los puntos donde R2 se intersecta con R3.


58

Trazar un segmento entre A’

y B’.

El ángulo B’A’C’ es el ángulo buscado.

De otra forma:

Trazar un segmento entre A’

y B’’.

El ángulo B’’A’C’ es el ángulo buscado.


59

D) Trazar mediatriz de un segmento AB dado.


Paso 1: Del segmento AB , con centro

en A abrir el compás más de la mitad

de la longitud de AB y trazar un arco

por arriba y por abajo del segmento

AB .

Paso 2: Con centro B y el mismo radio

del paso anterior, trazar un arco por

arriba y uno por abajo del segmento

AB .

Paso 3: Donde se cruzan los arcos,

asignar puntos C y D y unirlos en una

línea recta.

Llamar M al punto donde cruzan AB

conCD .

El segmento CD es la mediatriz de

AB y el punto M, es el punto medio de

AB .


60

E) Construcción de la bisectriz de un ángulo.


Con centro en B, abrir el compás con un radio que corte los dos lados del ángulo y marcar los arcos que cortan los lados. A los puntos de intersección nombrarlos como E y F.

Con centro en el punto E y un radio cualquiera, marcar una circunferencia C1 dentro del ángulo ABC.

Con centro en el punto F y el mismo radio, marcar un arco C2, dentro de

ABC que intersecte a C1.

Nombra J a uno de los puntos de intersección de C1 y C2.

Unir con una semirrecta, B con J. Esta semirrecta es la bisectriz de

ABC.


61

F) Construcción de una perpendicular a una recta l que pase por un punto P en la recta. Dada la recta l y un punto P en la recta, construir una recta l1, que sea perpendicular a l y que pase por P.

SUGERENCIA DE SOLUCIÓN:

Con centro en P y cualquier radio, construir un arco d que intersecte a l en dos puntos A, B.

Trazaremos la mediatriz de AB , que pasará por el punto P, por ser el centro del arco: Con centro en A y radio mayor a la

mitad de AB , trazar una circunferencia C1. Con centro en B y el mismo radio, trazar una circunferencia C2. Llamar A’, B’ los puntos donde se intersectan las circunferencias. Unir los punto A’, B’ mediante una recta l1 que pasará por P. La recta l1, es la recta buscada.


62

Ejercicios: I. Relaciona de forma correcta las columnas:

( ) Apertura entre dos rectas que se encuentran o intersectan en un punto llamado vértice.

1. Babilonia

( )

Se le atribuye el descubrimiento de números

irracionales como √ , √

2. Paralelas.

( ) Lugar donde crecía el Nilo y los agrimensores rehacían las dimensiones de los terrenos

3. Mediatriz

( ) Recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a éste.

4. Axiomas de Euclides.

( )

Estudia las características y propiedades de figuras como puntos, rectas, planos y aquellas que se encuentran en un plano o en el espacio.

5. Circunferencia

( )

-Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une. -Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido. -Se puede trazar una circunferencia con cualquier punto y de cualquier radio. -Todos los ángulos rectos son congruentes. -Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

6.

Bisectriz

( ) Rectas que nunca se cruzan 7. Egipto

( ) Conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo

llamado centro es la misma.

8.

Thales de Mileto

( ) En este lugar, se tenía una aproximación de 3

para el número Pi.

9.

Geometría

( ) Demostró teoremas sobre paralelas. Es uno de los 7 sabios de Grecia

10.

Ángulo

( ) Segmento de recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

11.

Pitágoras de Samos

RESPUESTAS: 10, 11, 7, 3, 9, 4, 2, 5, 1, 8, 6


63

II. Realiza las siguientes construcciones utilizando únicamente regla y compás. Describe los pasos que realizaste para llevar a cabo tu construcción.

Dados dos segmentos de longitud m y

n construir otro de longitud (2m+2n).

Dados dos segmentos de longitud m y n, con m>n, construir otro de longitud m-n

Construir un triángulo equilátero cuyos

lados tengan longitud m.

Trazar una recta l2 perpendicular a una

recta l1 que pase por un punto P fuera

de l1.

Trazar una recta l2 paralela a una recta

l1 que pase por un punto P fuera de l1.

Dados los segmentos de longitud m y

n, construir un triángulo rectángulo

cuyos catetos midan m y n.

Construir un rectángulo cuyos lados

tengan longitud m y n.


64

ÁNGULOS Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Las semirrectas se llaman lados. Se usa una letra griega dentro del ángulo. También podemos usar tres letras mayúsculas de manera que la letra que está situada en la parte de en medió es el vértice del ángulo.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS: Los ángulos se pueden clasificar:

a) Según su medida.

a) Ángulo convexo.

b) Ángulo agudo.

c) Ángulo recto.

d) Ángulo obtuso.

e) Ángulo llano.

f) Ángulo completo

(perigonal)


65

b) Según se suma.

i. Ángulos complementarios.

ii. Ángulos suplementarios.

c) Según su posición.

a)Ángulos adyacentes

Un lado los une.

b) Ángulos consecutivos.

Pueden formar más ángulos.

c) Ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos son iguales.


66

ANGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL. Rectas paralelas: dos rectas son paralelas, si al prolongarse en ambas direcciones no se intersectan en ningún punto. Recta secante: dos rectas son secantes si se intersectan en un punto Al cortar dos rectas con una secante se forman 8 ángulos, los cuales se representan con letras minúsculas o con números, se clasifican por parejas de acuerdo con la posición que tienen con la secante, los ángulos formados son:

Colaterales internos: ángulos situados en el mismo lado de la secante y dentro de las rectas Colaterales externos: ángulos situados en el mismo lado de la secante y fuera de las rectas Correspondientes: ángulos situados en un mismo lado de la secante, formando parejas, un interno con un externo Alternos internos: ángulos interiores que se encuentran en uno y otro lado de la secante Alternos externos: ángulos exteriores que se encuentran en uno y otro lado de la secante Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos que tienen en común el mismo vértice y se oponen uno del otro


67

Ángulos suplementarios: son aquellos que al sumarse forman un ángulo llano, es decir su suma es igual a 180°.

De acuerdo a lo anterior obtén el valor de los ángulos solicitados

1.-. Calcula el valor de

Respuesta es:

= 0

2.-Calcula los valores faltantes si

Respuesta es :

= 0 = 0


68

3.- Calcula los valores faltantes si

Respuesta es:

+ 0 + = 0

+ = 0 =

=

4.- Calcula los valores faltantes.

Respuesta es:

5.-Calcula los valores faltantes.

Respuesta es:


Respuesta es:


69


Las rectas son paralelas. Respuesta es:




Las rectas son paralelas Respuesta es:




70










71

15.-Calcula los valores faltantes. Las rectas son paralelas Respuesta es:


72

TRIANGULOS

Definición de triángulo

Un triángulo es una superficie plana trilateral; es decir, tiene tres lados y por lo

tanto tres ángulos y tres vértices.

Clasificación de triángulos

a) De acuerdo a sus lados Triángulo equilátero: es aquel que tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos

iguales.

60

AB BC CA

A B C

Triángulo isósceles: es aquel que tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales.

AC BC

A B


73

Triángulo escaleno: es aquel que tiene sus tres lados desiguales o diferentes y

sus tres ángulos diferentes.

AB BC CA

A B C

b) De acuerdo a sus ángulos

Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos agudos.

, ,A B C < 90°

Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto.

90B


74

Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo obtuso.

B > 90°

Desigualdad del triángulo

En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos.

Por ejemplo: Supongamos que los segmentos AB = 6 cm, BC = 5cm yCA = 4 cm

son los lados de un triángulo, para verificar la desigualdad del triángulo tendríamos

que realizar lo siguiente:

AB < BC +CA 6 < 5 + 4

BC < AB +CA 5 < 6 + 4

CA < AB + BC 4 < 6 + 5

Podemos observar que la desigualdad del triángulo se cumple para los tres lados

del triángulo.

Ejercicios:

Verificar si las siguientes ternas de segmentos podrían ser los lados de un

triángulo utilizando la desigualdad del triángulo.

1)

5

11

7

AB

BC

CA

Respuesta: Sí


75

2)

13

20

5

AB

BC

CA

Respuesta: No

3)

45

35

28

AB

BC

CA

Respuesta: Sí

4)

85

55

145

AB

BC

CA

Respuesta: No

Propiedades del triángulo

Teorema: “La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos

ángulos rectos; es decir 180°”.

Teorema: “La suma de los tres ángulos exteriores o externos de todo triángulo es

igual a cuatro ángulos rectos; es decir 360°”.

Teorema: “Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos

ángulos internos que no le son adyacentes”.


76

Ejemplo:

Los ángulos interiores de un triángulo son A, B y C. Si el ángulo B es el doble del

ángulo A y el ángulo C es el triple del ángulo A, ¿Cuánto mide cada ángulo?

Tomando en cuenta que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual

a 180° planteamos la siguiente ecuación:

180A B C

Como no conocemos el valor del ángulo A, suponemos que es x. Además,

sabemos que el ángulo B es el doble del ángulo A; es decir 2x. Por otro lado,

sabemos que el ángulo C es el triple de ángulo A; por lo tanto, es igual a 3x.

Finalmente la ecuación anterior sería equivalente a la siguiente:

2 3 180x x x

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos el valor de x:

2 3 180

6 180

180

6

30

x x x

x

x

x

Conociendo el valor de x, podemos saber el valor de los tres ángulos:

Ángulo A = x = 30°

Ángulo B = 2x = 2(30°) = 60°

Ángulo C = 3x = 3(30°) = 90°

Los cuales suman 180°.


77

Ejemplo:

Obtener el valor de X, y el valor de cada ángulo en la siguiente figura:

Sabemos que un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos

ángulos internos que no le son adyacentes; por lo tanto, a partir de la figura

anterior podemos plantear la siguiente ecuación:

42 3 20x x x

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos lo siguiente:

42 3 20

3 20 42

62

62

x x x

x x x

x

x

Conociendo el valor de x, podemos saber el valor de los tres ángulos:

Ángulo A = x = 62°

Ángulo B = x + 42°= 62° + 42° = 104°

Ángulo C = 3x – 20° = 3(62°) – 20° = 166°

Y efectivamente la suma de los ángulos A y B es igual al ángulo C.


78

Ejemplo:

Obtener el valor de X y Y en la siguiente figura:

Trabajaremos primero con el triángulo BCD, sabemos que la suma de sus ángulos

interiores es 180°; por lo tanto, podemos plantear la siguiente ecuación:

30 40 180x

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos el valor de x.

30 40 180

180 30 40

110

x

x

x

Sabiendo el valor de x, podemos conocer el valor de su ángulo suplementario, que

sería de 70°. Además, sabemos que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la

suma de los ángulos interiores no adyacentes a él, por lo tanto, podemos plantear

la siguiente ecuación:

55 70

125

y

y


79

Ejercicios:

1) Los ángulos interiores de un triángulo son: A, B y C. Si el ángulo B excede en 18°

al ángulo A y el ángulo C es la mitad del ángulo B, ¿Cuál es el valor de cada

ángulo?

Solución:

61.2

79.2

39.6

A

B

C

2) Los ángulos interiores de un triángulo son: A, B y C. Si el ángulo A es 15° menor

que la mitad del ángulo B y el ángulo C excede en 11° a la cuarta parte del ángulo

B, ¿Cuánto mide cada ángulo?

Solución:

37.57

105.15

37.28

A

B

C

3) Obtener el valor de X en la siguiente figura:

Solución: 15x

4) Obtener el valor de X en la siguiente figura:

Solución: 18x


80

5) Obtener el valor de X y Y en la siguiente figura:

Solución:34

139

x

y

6) Obtener el valor de X y Y en la siguiente figura:

Solución:75

45

x

y


81

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

a) Mediana y baricentro Mediana: Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado

opuesto.

Baricentro: Punto donde se cortan las medianas.

Construcción:

1. Supongamos el

triángulo ABC

2. Se ubican los puntos

medios de los lados del

triángulo con ayuda de

la construcción de la

mediatriz.

3. Se construyen las

medianas desde el

vértice del triángulo

hasta el punto medio de

lado opuesto.


82

4. El punto donde se

cortan las medianas es

el baricentro.

b) Mediatriz, Circuncentro y circunferencia circunscrita Mediatriz: Recta perpendicular al lado del triángulo trazada en el punto medio de

dicho lado.

Circuncentro: Punto donde se cortan las mediatrices.

Circunferencia circunscrita: Es aquella que tiene su centro en el Circuncentro y

su radio es el segmento que une al Circuncentro con cualquiera de los vértices del

triángulo.


83

Construcción:

1. Supongamos el triángulo

ABC


mediatrices de los lados

del triángulo.

Para construir la mediatriz del

lado AC colocas la punta del

compás en A y abres hacia C

y trazas una circunferencia o

arco, posteriormente, colocas

la punta del compás en C y

abres hacia A y trazas una

circunferencia o arco que

intersecte a la circunferencia o

arco anterior. La mediatriz se

construye de intersección a

intersección.


lado AB colocas la punta del

compás en A y abres hacia B



la punta del compás en B y






intersección.


84


lado BC colocas la punta del

compás en B y abres hacia C



la punta del compás en C y

abres hacia B y trazas una





intersección.


cortan las mediatrices

es el Circuncentro.

4. La circunferencia

circunscrita es aquella

que tiene su centro en

el Circuncentro y su

radio es el segmento

que une al Circuncentro

con cualquiera de los

vértices del triángulo.


85

c) Altura y ortocentro Altura: Recta perpendicular trazada desde el vértice, al lado opuesto o su

prolongación.

Ortocentro: Punto donde se cortan las alturas.

Construcción:

1. Supongamos el

triángulo ABC


alturas de los lados

del triángulo.

Para construir la altura del

vértice C, colocas la punta

del compás en B y abres

hacia C y trazas una

circunferencia o arco,

posteriormente, colocas la

punta del compás en A y

abres hacia C y trazas una


intersecte a la

circunferencia o arco

anterior. La altura se traza

desde C hacia la

intersección de las

circunferencias.


86


vértice B, colocas la punta

del compás en A y abres

hacia B y trazas una



punta del compás en C y

abres hacia B y trazas una


intersecte a la



desde B hacia la


circunferencias.


vértice A, colocas la punta

del compás en B y abres

hacia A y trazas una



punta del compás en C y



intersecte a la



desde A hacia la


circunferencias.

3. El punto donde se cortan

las alturas es el ortocentro.


87

d) Bisectriz, incentro y circunferencia inscrita Bisectriz: Recta que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Es la recta

que divide al ángulo en dos partes exactamente iguales.

Incentro: Punto donde se cortan las bisectrices.

Circunferencia inscrita: Es la circunferencia que tiene su centro en el incentro y

su radio es el segmento perpendicular trazado desde el incentro a cualquiera de

los lados del triángulo.

Construcción:

1. Supongamos el

triángulo ABC


bisectrices de los

ángulos del triángulo.

Para construir la bisectriz del

ángulo A, colocas la punta

del compás en A y trazas un

arco de circunferencia corte

a los lados AB y AC ,


punta del compás en cada

una de las intersecciones

anteriores y trazas arcos de

circunferencia con la misma

abertura del compás. La

bisectriz se construye desde

A hasta la intersección

obtenida.


ángulo B, colocas la punta


88

del compás en B y trazas un

arco de circunferencia que

corte a los lados BA y BC ,








B hasta la intersección

obtenida.


ángulo C, colocas la punta

del compás en C y trazas un

arco de circunferencia que

corte a los lados CA y CB ,








C hasta la intersección

obtenida.


cortan las bisectrices

es el incentro.


89

4. La circunferencia

inscrita es aquella que

tiene su centro en el

incentro y su radio es

el segmento

perpendicular a

alguno de los lados

del triángulo trazado

desde el incentro.

Para construir el radio se

traza una circunferencia

colocando la punta del

compás en el extremo de

uno de los lados (A) y

abriendo hacia el incentro, y

otra circunferencia colocando

la punta del compás en el

otro extremo del mismo lado

(B) y abriendo hacia el

incentro. Posteriormente, se

ubica la intersección de

dichas circunferencias y se

traza un segmento desde el

incentro hasta la

intersección. Finalmente, el

radio es el segmento cuyos

extremos son el incentro y el

punto donde el segmento

anterior corta al lado (D).


90

Ejercicios:

1. En el siguiente triángulo construye las medianas y ubica el baricentro.

Solución:


91

2. En el siguiente triángulo construye las mediatrices, ubica el circuncentro y

traza la circunferencia circunscrita.

Solución:


92

3. En el siguiente triángulo construye las alturas y ubica el ortocentro.

Solución:


93

4. En el siguiente triángulo construye las bisectrices, ubica el incentro y traza la circunferencia inscrita.

Solución:


94

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES

Teorema: “Los ángulos adyacentes a la base son iguales”

Teorema: “La altura, la mediana y la mediatriz de la base coinciden”

Teorema: “La bisectriz del ángulo formado por los lados congruentes, corta al lado

opuesto, formando ángulos congruentes”.

Ejemplo:

Obtener el valor de X y Y en la siguiente figura:

AC BC

Al saber que el triángulo tiene dos lados iguales, sabemos que es un triángulo

isósceles y por lo tanto también sus ángulos A y B son iguales. Por otro lado, el

ángulo A mide 55° porque es suplementario con el ángulo de 125°. De acuerdo a

lo anterior, también sabemos que x = 55°, puesto que los ángulos A y B son

iguales. Finalmente, recordando que la suma de los ángulos interiores del

triángulo es igual a 180° podemos plantear la siguiente ecuación:

180

55 55 180

180 55 55

70

A x y

y

y

y


95

Ejercicios:

1. Encontrar el valor de X, sabiendo que AD DC AB

Solución: 84°

2. En el siguiente triángulo isósceles, construir la altura, la mediana y la

mediatriz del lado AB y verificar que las tres coinciden.

Solución:


96

POLÍGONOS Es una figura geométrica plana compuesta por un número finito de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos se denominan lados. Elementos Todo polígono está formado por los siguientes elementos: Vértice, es el punto donde concurren dos lados. Ángulo interior, es el que se forma por dos lados adyacentes de un polígono. Ángulo exterior, es aquel que se forma entre la prolongación de uno de sus lados y su lado adyacente. Diagonal, es el segmento de recta que une dos vértices no adyacentes. Clasificación de los polígonos: Simple, si ningún par de lados no consecutivos se corta, es decir, su frontera tiene un solo contorno. Complejo o cruzado, si dos de sus lados no consecutivos se intersecan. Equilátero, si tiene todos sus lados del mismo tamaño. Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales. Regular, si es equilátero y equiángulo al mismo tiempo. Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo. Un polígono tiene el mismo número de lados que de ángulos interiores, así como exteriores.

Número de diagonales de un polígono Desde un vértice se pueden trazar n-3 diagonales, donde n es el número de lados, luego el número total de diagonales es n(n-3) /2, ya que cada diagonal se cuenta en dos vértices. Así que número total de diagonales D, que se pueden trazar desde todos los vértices de un polígono de n lados es: D = n(n-3) /2


97

Suma de los ángulos internos de un polígono. El polígono más sencillo es el triángulo y sabemos que la suma de sus ángulos internos es 180°. El que le sigue es en cuadrado, pero podemos dividirlo en dos triángulos trazando una diagonal, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a la de dos triángulos, es decir, 2*180° = 360°. Para un pentágono se pueden trazar dos diagonales partiendo de un mismo vértice, lo que nos genera tres triángulos, cuya suma de ángulos es 3*180° = 540°. En un hexágono podemos trazar tres diagonales desde un mismo vértice, cuatro en un heptágono y así sucesivamente, por lo que podemos generalizar el número de diagonales desde un mismo vértice como n-3, dónde n es el número de lados del polígono. Estas diagonales nos formaran n-2 triángulos, ya que una diagonal nos genera dos triángulos, dos diagonales tres y así sucesivamente. Como cada triángulo suma 180°, tenemos en general que la suma de los ángulos internos de un polígono es 180(n-2). Así la suma de los ángulos internos de un polígono es 180(n-2), donde n es el número de lados. Perímetro El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica plana. Perímetro de un círculo El perímetro de un círculo es una circunferencia cuya longitud está dada por,

P = πd = 2πr Dónde: P es la longitud del perímetro, π es una constante que vale aproximadamente 3.1416, r es la longitud del radio, d es la longitud del diámetro. Área Es una medida que nos proporciona el tamaño de una región encerrada por una figura geométrica, se expresa en unidades de superficie, que se definen como unidades de longitud al cuadrado (cm2, m2, km2, etc.) Cálculo de áreas Se determina cuántas veces contiene a otra superficie conocida que se utiliza como unidad. Se define el área del cuadrado de lado 1 como unidad de superficie.


98

Área del cuadrado Si se considera un cuadrado de 4 cm de lado y se compara su tamaño con un cuadrado de 1 cm de lado, se observa en la figura que lo contiene exactamente 16 veces.

El área del cuadrado mayor es de 16 cm2 y se obtiene multiplicando uno de sus lados por sí mismo (4 x 4 = 16). El área del cuadrado menor es 1 cm2. Por lo que tenemos que, Área del cuadrado = lado por lado = lado al cuadrado, es decir:

A = l x l = l2 Donde, A es el área y l la longitud del lado. Área del rectángulo Si la unidad de medir áreas es un cuadrado de lado u, con un área de u2, entonces para obtener el área de un rectángulo basta con contar cuántos cuadrados de área u2 caben en él.

En el rectángulo anterior se puede observar que la base se forma con seis unidades y su altura se forma con tres unidades, por lo que el número de cuadrados unidad que contiene es el producto de 6 u por 3 u que es igual a 18 u2 Por lo que si la base del rectángulo mide b unidades lineales y de altura mide a unidades lineales, entonces el área del rectángulo corresponde al producto de su base por su altura:

A = b x a


99

Área de un paralelogramo Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales, para calcular su área se descompone en dos partes para formar con éstas un rectángulo de la misma área como se muestra en la siguiente figura:

Por lo que se tiene que el área del paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura, es decir:

A = b x a Área de un rombo Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son iguales, si se multiplican las diagonales AB y CD del rombo ABCD, es equivalente a multiplicar la base por la altura del rectángulo que lo contiene.

Se observa que el área del rombo es la mitad del área del rectángulo que lo contiene, por lo tanto, el área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales.

=


100

Área de un triángulo Un triángulo se puede descomponer en dos partes para formar con éstas un paralelogramo de igual área como se muestra en la figura:

Por lo que se tiene que el área de un triángulo es la mitad del producto de su base por su altura:

=


101

UNIDAD IV. CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS

PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Al finalizar la unidad, el alumno aplicará los conceptos de congruencia y semejanza y usará el Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas que involucren triángulos. Argumentará deductivamente sobre la validez de algunas afirmaciones geométricas y procesos en la resolución de problemas.

APRENDIZAJES.


Utilizará correctamente la notación propia de la congruencia.

Comprenderá el concepto de congruencia.

Construirá segmentos y ángulos congruentes.

Reconocerá cuándo dos triángulos son congruentes con base en la

definición.

Argumentará empíricamente la validez de los criterios de congruencia.

Argumentará deductivamente la validez de algunas construcciones

geométricas y de algunas afirmaciones.

Aplicará los criterios de congruencia de triángulos para justificar

congruencia entre lados, ángulos y triángulos.

Resolverá problemas, por medio de los criterios de congruencia.

Utilizará correctamente la notación propia de la semejanza.

Comprenderá el concepto de semejanza.

Reconocerá cuándo dos figuras son semejantes.

Reconocerá cuándo dos triángulos son semejantes con base en la

definición.

Establecerá como válidos los criterios de semejanza.

Calculará perímetros y áreas en triángulos semejantes y la razón entre

ellos.

Aplicará los criterios de semejanza en la resolución de problemas.

Divide un segmento en n partes iguales y a partir de esta construcción

infiere el Teorema de Thales.

Reconocerá y justificará el Teorema de Pitágoras y su recíproco, desde el

punto de vista geométrico y algebraico.

El alumno utiliza los conocimientos adquiridos en esta unidad, en la

resolución de problemas.


102

CONGRUENCIA En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen los lados correspondientes iguales y los ángulos correspondientes iguales. Congruencia de triángulos: Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. Ángulos homólogos. Se dicen ángulos homólogos aquellos que son iguales. Criterios de congruencia: ALA. Dos triángulos son congruentes cuando tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a ese lado son respectivamente iguales a los ángulos adyacentes del otro

AB DE

m A m D

m B m E

LAL. Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo

comprendido entre ellos respectivamente iguales.

AB DE

m A m D

AC DF

LLL. Dos triángulos son congruentes si tienen iguales todos sus lados.

AB DE

BC EF

AC DF


103

EJERCICIOS DE CONGRUENCIA 1.- El triángulo I y II son congruentes ¿Cuáles son los valores de “ x ” y “ y ” y las

dimensiones del triángulo?

Solución: x = 16, y = 8, los lados del triángulo miden 32 cada uno. 2.- El triángulo III y el triángulo IV son congruentes según se indica ¿cuál es el valor de “y” y de los lados AB y DE? Solución: y = 4, AB = 32 y DE = 32. 3.- En los casos siguientes decir cuáles triángulos son congruentes y establecer el

criterio de congruencia respectivo.


104

Respuestas:

a) Triángulos I, II y III son congruentes por el criterio LLL

b) Triángulos I y II son congruentes por el criterio ALA

c) Triángulos I y III son congruentes por el criterio LAL

4.-Determina los valores de “x” y de “y”, sabiendo que los triángulos I y II son

congruentes.

a) b)

Solución:

a) x = 14; y = 8.

b) x = 4; y = 12.

5.-Demostrar que los triángulos son congruentes y que criterio lo rige


105

6.-Hallar el valor de “x” y ”z”, en cada par de triángulos congruentes a) b)

c) d)

Solución:

a) x = 19; z = 8

b) x = 46; z = 70°

c) x = 2; z = 18

d) x = 17; z = 10

7.-Demostrar que los triángulos son congruentes. a) b) a A


106

8) -Se muestra una pareja de triángulos congruentes en la siguiente figura. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I, II y III 9.-Determine el valor de los de x y y. Solución: Inciso e.

9.-Demuestre si los triángulos son congruentes o semejantes y que postulado lo afirma.


107

SEMEJANZA

En matemáticas el concepto de semejanza está muy ligado al concepto de

proporcionalidad. Se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una

proporción entre ellos.

Por ejemplo:

Una fotografía de la misma persona se amplía al doble de tamaño. Ambas son

semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra

tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de

sus lados correspondientes son de igual valor.

Dos anillos de diferente diámetro son semejantes porque guardan la misma

proporción entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, diámetro).

Triángulos semejantes

Los triángulos semejantes son aquellos que tienen la misma forma, pero no

necesariamente el mismo tamaño, es decir, dos triángulos son semejantes si

tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son

proporcionales (lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales).

Si los triángulos y A´BĆ´ son semejantes, se expresa como: ~ A´BĆ´, donde el

símbolo ~ denota semejanza, y se lee: “el triángulo ABC es semejante al triángulo

A´BĆ´”. Una forma de comprobar lo anterior es construyendo dos triángulos con

los mismos ángulos pero con diferentes medidas de sus lados.


108

Postulado Ángulo-Ángulo-Ángulo (AAA). Dos triángulos son semejantes si

tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes.

Otra forma equivalente de enunciarlo es el Postulado Ángulo-Ángulo (AA). Dos

triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

Postulado Lado-Ángulo-Lado (LAL). Dos triángulos son semejantes si tienen

respectivamente congruentes un ángulo comprendido entre dos lados

proporcionales.


109

Postulado Lado-Lado-Lado (LLL). Dos triángulos son semejantes si tienen sus

tres lados respectivamente proporcionales, como en el siguiente ejemplo:


110

SEMEJANZA DE ÁREAS Definiremos brevemente que el área es una región limitada por un polígono. Podríamos decir además que es un número real. Teorema Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es el cuadrado de la razón de dos lados correspondientes cualesquiera. Demostración Se da que ´ ´ ÁBC A B C . Sean A1 y A2 sus áreas. En la notación habitual

tenemos, ´ ´ á b c

a b c

Llamaremos a el valor común de las tres fracciones y queremos verificar que

22

1

Ar

A

Sean BD y ´ ´B D las alturas desde B y ´B en los dos triángulos, h y ´h son las

longitudes. Por otro lado Á A , debido a que Además ´ ´ ÁDB A D B porque los dos ángulos son rectos y dado que existe una correspondencia entre dos triángulos, si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza, por lo que se deduce

´ ´ ÁBD A B D

´ ´b hr

b h

Como los lados correspondientes son proporcionales esto significa que b́ rb , y h́ rh Por otro lado

1

1

2A bh y 2

1´ ´

2A b h ,

Por lo tanto

2

2

1 1 1´ ´ ( )( )

2 2 2A b h rb rh r bh

Por lo que queda demostrado : 22

1

Ar

A

B´

C´’

A´ D´

a´ c´

h´

b

A

B

a c

C

h

b D


111

Problemas de aplicación

1. Dos polígonos son semejantes con razón de semejanza 3. Si el área del menor es de 15 cm2, halla el área del mayor.

Respuesta

2 23 (9)(15) 135 ´ 15

A AA cm

A

2. Calcula la razón de semejanza de las áreas de los dos triángulos de la figura.

Respuesta.

Calculamos el área de las dos figuras

26 8= =24cm

2 2

base alturaA

23 4´ = =6cm

2 2

base alturaA

2244 2

´ 6

Ar r

A


112

3. Un lado de un triángulo mide 18.5 m y el lado correspondiente de otro triángulo semejante mide 3.7 m. Si el área del primer triángulo mide 16 m2. ¿Cuánto mide el área del triángulo semejante?

Respuesta

Calculamos la razón de semejanza entre los dos lados:

=

=

2 2 2´ ´5 5 ´ (25)(16) 400

16

A AA m

A

4. Una arista de un ortoedro5 mide 5 cm, y la arista correspondiente de otro ortoedro semejante mide 15 m. El área del primer ortoedro mide 80 m2. Halla el área del otro ortoedro semejante.

Respuesta

Se calcula la razón de semejanza entre las dos aristas:

153

5r

2 2 2´ ´3 3 ´ (9)(80) 720

80

A AA m

A

5. El área de dos triángulos semejantes son 144 cm2 y 81 cm2. Si la base del triángulo mayor es de 30 cm, ¿cuál es la base correspondiente del triángulo menor?

Respuesta

Se calcula la razón de semejanza de las áreas:

2´ 144 144 12 4 = =

81 81 9 3

Ar r

A

´ 30 4 (30)(3) 90= 22.5

3 4 4

ar a cm

a a

5 Un ortoedro es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos.

Los ortoedros son prismas rectos, y también son llamados paralelepípedos rectangulares. Por ejemplo, una caja de zapatos.


113

6. Un triángulo equilátero tiene 40 cm2 de área. Encuentra el área del triángulo que se obtiene al unir los puntos medios de los lados.

2

2

´ 1=

2

´ 1=

4

1(40) 10

4

ar

a

Ar

A

A cm

7. Si dos pentágonos regulares A y B son semejantes, ¿cuáles de las siguientes igualdades son ciertas?

Respuesta

a) y c) son ciertas mientras que b) es falsa, ya que la razón de semejanza de las superficies es el cuadrado de la razón de longitudes.

b) es Falsa, ya que la razón de semejanza de las superficies es el cuadrado de la razón de longitudes.

SEMEJANZA DE VOLÚMENES Si dos figuras A y B son semejantes, el cociente entre el volumen de B y el de A es el cubo de la razón de semejanza de la figura B sobre la A.

3

´

Volumen mayorrazón

Volumen menor

3 ´Vr

V


114

Ejemplos

1. Calcula la razón de semejanza de los dos volúmenes

Respuesta

3

3 3 3

8 4 2 64

64´ ´ ´ ´ 4 2 1 8 8 8 2

´ 8

V a b c cm

VV a b c cm r r

V

2. Calcula la razón de semejanza de los dos volúmenes

Respuesta

39.13 9.13 9.13 761.048497V a b c cm 3´ ´ ´ ´ 27.39 27.39 27.39 20,548.309419V a b c cm

3 320,548.309419 27 27 3

´ 761.048497

Vr r

V


115

3. El volumen de una escultura es 300 m3 ¿Cuál será el volumen de su

maqueta a escala 1:40?

Respuesta

1

40

Volumen representador

Volumen real

40

1

Volumen realr

Volumen representado

3

3

3

3

300 40

300 40

0.0046875

mayor menor

menor

menor

menor

V r V

V

V

m V

4. Una esfera cuyo radio es r = x cm tiene un área de 80 cm2 y un volumen de 130 cm3. Calcula el área y el volumen de otra esfera cuyo radio es R = 3x.

Respuesta

Calcula la razón de semejanza entre las dos aristas 3

3x

rx

2 2 2 2 2 2´ ´3 3 ´ (3 )(80) 720

80

A Ar r A cm

A

3 3 3 3 3 3´ ´3 3 ´ (3 )(130) 1170

130

V Vr r V cm

V


116

PROBLEMAS DE APLICACION

1. Dos rectángulos tienen sus lados proporcionales. Los lados del primero miden 6 y 8 cm respectivamente. Si el perímetro del segundo es 14 cm, ¿cuál es la razón de semejanza de sus áreas?

R = 4 2. Dos circunferencias tienen por radios 7 cm y 49 cm. ¿Cuál es la razón de

semejanza de sus áreas? R=1/49 3. La razón de semejanza entre los volúmenes de dos cubos es 27. ¿Cuál es

la razón de semejanza entre sus aristas? ¿Y entre sus áreas? R = 3 (aristas), R = 9 (áreas) 4. Una empresa que se dedica a construcción, realizo una maqueta a escala

1:90 de un nuevo edificio, con forma de pirámide cuadrangular. La maqueta tiene la altura de la pirámide de 5,3 dm y el lado de la planta es de 2,4 dm. Calcula el volumen real del edificio expresando en metros cúbicos el resultado.

R = 7 418,304 m3

5. Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes los dos polígonos regulares? Si la respuesta es afirmativa, calcula la razón de semejanza entre sus áreas.

R = 49/25 6. La arista de un dado de parchís mide 1 cm y la del de la oca mide 1,5 cm.

Calcula la razón de semejanza entre sus aristas. ¿Cuántas veces es más grande el dado de la oca que el del parchís? ¿Cuántas veces es más grande el área de cada cara del dado de la oca comparado con el de parchís?

R: razón = 1.5, razón entre áreas = 2.25, razón entre volumen = 3.375 7. Calcular cuántas veces es más grande una pizza familiar que una pequeña

si el radio de la familiar es 40 cm y el de la pequeña es 25cm. R = 64/25 8. Dos polígonos semejantes tienen perímetros de 130 y 240 cm,

respectivamente. ¿Cuánto mide el lado del primer polígono homólogo al lado del segundo cuyo valor es 37 cm?

R = 20

9. Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre

sus áreas es de 9

4.

R = área 8 cm, dimensiones 2 y 4 cm. 10. Un tetraedro mide 8 cm de lado y la razón de semejanza con otro tetraedro

más pequeño es

. ¿Cuánto mide la arista del segundo tetraedro? ¿Cuál es

la razón de semejanza entre sus áreas? ¿Y entre sus volúmenes? R = 2,1/16,1/64


117

TEOREMA DE THALES Si dos rectas no paralelas están situadas en un mismo plano, son intersecadas por dos o más líneas paralelas, los segmentos qué se determinan en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes a la otra recta. En la siguiente figura se muestra la condición antes mencionada: Se aplica el TEOREMA DE THALES.

1 1 11

AB BC

A B B C o 1 1

1 1

A BAB

BC B C

El teorema de THALES también se aplica a triángulos y polígonos cuando en estos se trazan líneas paralelas o bisectrices bajo los siguientes criterios:

a) Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo entonces los otros dos

lados son divididos en segmentos proporcionales.

b) Dos transversales cualesquiera cortadas por tres o más paralelas quedan divididas

en segmentos proporcionales.

c) La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos

proporcionales a los lados adyacentes a ese ángulo.


118

EJEMPLOS RESUELTOS

1.- Determina el valor de x, el valor de los segmentos BD y DF , de la figura siguiente:

Donde AB CD EF y por lo tanto se establece la siguiente proporción:

5 5 7

2 1 4

x

x

eliminando denominadores se tiene

4 5 5 7 2 1x x

desarrollando la expresión se tiene:

20 20 14 7x x simplificando y agrupando terminos semejantes

20 14 7 20x x

6 27x despejando a se tienex

27

6x

4.5x

los segmentos miden:

2 1 2(4.5) 1 5 5 5(4.5) 5 x x

2 1 9 1 5 5 22.5 5x x

2 1 10 5 5 17x x


119

2.- En el siguiente polígono determinar el valor de x.

Donde AB CD EF y 4EC

Se establece la siguiente proporción.

4

9 6

x

4(9)

6x

36

6x

6x


120

3.- Determina el valor de x en el triángulo siguiente:

Donde DE AB , de la figura se determina que 7BE

Se establece la proporción:

5

4 7

x

x

eliminando denominadores se tiene:

7 5( 4)x x

desarrollando la expresión

7 5 20x x

agrupando terminos semejantes

7 5 20x x

simplificando y resolviendo se tiene

2 20x

20

2x

10x


121

4.-Determina el valor de x en la siguiente figura:

Donde CD es bisectriz del C de donde

3 1 30

2 21

x

x

eliminando los denominadores se tiene 21(3 1) 30(2 )x x

desarrollando se tiene

63 21 60x x agrupando terminos semejantes se tiene

63 60 21x x

simplificando y resolviendo se tiene

3 21x

217

3x

PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.- Determina el valor de x, supóngase que el segmento AD es bisectriz del ángulo

.- Respuesta x=15


122

2.-Determina el valor de x, supóngase que el segmento BD es bisectriz.

Respuesta: x = 6.5 3.- Determina el valor de x, suponiendo que el segmento BD es bisectriz.

Respuesta x=12 4.- Determina el valor de x, suponiendo que las rectas son paralelas.

Respuesta x=41.1 cm .


123

TEOREMA DE PITÁGORAS “En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

2 2 2

a bc C: hipotenusa a, b: catetos

Catetos. Son los lados que forman el ángulo recto ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Hipotenusa. Es el lado opuesto al ángulo recto (900) y es el lado más grande del

triángulo: ̅̅ ̅̅ Ejemplos resueltos I. Dados los siguientes triángulos obtener los datos faltantes, el ángulo C es recto. 1.-

2 2b c a

2 210 7b

100 49b

51 7.14b


124

2.-

2 2c a b 2 27 10c

49 100c

149 12.2c

Ejemplos resueltos, problemas de aplicación

1. Al abrir una escalera de pintor, se forma un triángulo isósceles, la distancia

entre las bases es de 1 m y los lados iguales miden 1.40 m. Determina la

altura de la escalera.

Solución La altura de un triángulo isósceles divide a la base en dos partes iguales, formándose 2 triángulos rectángulos: De acuerdo al teorema de Pitágoras: c= 1.40 a= 0.5 b= h


125

Sustituyendo en:

2 2 2a bc

nos quedará 2 2 21.40 0.5 h

Despejando h2

2 2 21.40 0.5h 2 1.71h

Sacamos la raíz

1.30h

Por consiguiente, la altura de la escalera es de 1.30 m.

2. Calcular la longitud de un cable que sostiene una antena de 20 m de altura,

sabiendo que sobre el suelo la distancia de la antena al cable es de 21 m.

20a 21b

2 2x a b

2 220 21x

2 2400 441x

841x

29x

21m

x 20

1.71h


126

EJERCICIOS Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, donde el ángulo C es recto. 1.-

R = 13 2.-

R = 7 3.-

R = 18.57 4.- Se deja caer una piedra desde la parte alta de la torre de Pisa y cae a 4.76 m de la base de ésta, sabiendo que la torre mide 91 m, ¿Qué altura tiene la torre? R = 90.87m


127

5.- ¿Cuánto mide la diagonal de un terreno rectangular de 56 m de largo y 33 m de ancho?

R = 65 m

6.- Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 300 y 800 m. ¿Qué cantidad de malla se necesita para cercarlo?

R = 1954.40 m

7.- ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m? R = 5.65 m

8.- ¿Calcula la altura de un triángulo equilátero que de lado mide 10 cm. R = 8.66 m

9.- Un automóvil viaja a una velocidad constante de 2.5 m/s y pasa por debajo de un puente peatonal. Determina a los 12 s, la distancia entre el automóvil y el punto ubicado exactamente arriba del paso del mismo, si la altura del puente es de 6 m.

R = 30.59 m


128

10.- Un pescador se encuentra a 12 km de una ciudad que está a 0 km sobre el nivel del mar, desde allí observa un avión, que volaba a 10500 m de altura, sobre la ciudad ¿A qué distancia se encuentra el avión del pescador?

R = 15945.21 m

11.- Desde la parte superior de una torre que mide 45.5 m de alto se observa un incendio a 2 km de la base de la torre. ¿A qué distancia de la punta de la torre esta el incendio?

R = 2000.51 m

12.- Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm.

R = 20 mm


129

13.- Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X de las siguientes dimensiones.

R = 65 cm R = 46 cm R = 68 cm 14.- Encontrar el valor de x utilizando el Teorema de Pitágoras.

a) x = √ unidades

b) x = 13 unidades

c) x = 26 unidades

d) x = √ unidades


130

BIBLIOGRAFIA. Guía de estudio de Matemáticas II, Seminario de matemáticas turno matutino, Agosto de 2012. Cuéllar Carvajal, Juan Antonio, Matemáticas II Geometría y Trigonometría, México, Mc Graw Hill, 2ª edición 2009, 326 pp. Ibáñez Carrasco, Patricia y García Torres, Gerardo, Matemáticas II Geometría y Trigonometría, México, Cengage Learning Editores, 2008, 218 pp. Lial, Margaret L., et al, Trigonometría, México, Pearson Educación, Octava edición 2006, 448 pp. Ortiz Campos, Francisco José, Matemáticas 3 Geometría y Trigonometría, México, Publicaciones Cultural, Segunda reimpresión 1997, 299 pp. Prado, Santiago, et al, Precálculo. Enfoque de resolución de problemas, México, Pearson Educación, 2006, 672 pp. Valiente Barderas, Santiago y Rubio Ramírez, Santiago, Trigonometría, México, Limusa Noriega Editores, 2ª edición 2000, 443 pp.

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