guía operaciones avanzadas final 14 nov
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OPERACIONES AVANZADAS
GUA PARA FORTALECER LA PRCTICA EDUCATIVA Y PREPARARSE PARA EL EXAMENVersin preliminar
Documento de trabajo
Educacin para la vida
Matemticas
OPERACIONES AVANZADAS
Instituto Tamaulipeco de Educacin para Adultos Elda Patricia Vzquez Faras Antonia Durn Prez Sergio Antonio Aza Narvez
Direccin Acadmica del INEA
Coordinacin de Contenidos Bsicos Lourdes Aravedo Resndiz Marco Antonio Garca Jurez Lucina Sols Barrera
Coordinacin de Seguimiento y Evaluacin Fausto Ramn Castao Luis Alaves Bautista Gabriel Torres Messina
Direccin de Acreditacin y Sistemas INEA Evaluacin del Aprendizaje Patricia Ramos Mndez Jorge Daz Stringel Miguel ngel Camacho Silva
OPERACIONES AVANZADAS
NDICE1. Presentacin. 2. Recomendaciones para el uso de la Gua 3. Desarrollo de los temas: 3.1 Fracciones y porcentajes. 3.2 Geometra. 3.3 Probabilidad y estadstica. 3.4 lgebra. 3.5. Sucesiones y series. 4. Tabla de especificaciones de evaluacin y examen de prctica. 5. Bibliografa. 6. Agradecimientos.
OPERACIONES AVANZADAS
PRESENTACIN. Esta Gua tiene un doble propsito; el primero es contribuir a mejorar la prctica educativa que realiza el asesor o asesora; el segundo es preparar a la persona joven o adulta para presentar el examen del mdulo Operaciones avanzadas. La presente Gua se elabor con base en las fuentes de informacin citadas en la bibliografa y es tambin el producto del intercambio de experiencias de 39 asesores y asesoras que participaron en el Taller colegiado que se realiz el 5 de octubre, en la ciudad de Tampico, Tamaulipas. En este taller tambin colaboraron los tcnicos capacitadores, el coautor del mdulo, personal de las Direcciones Acadmica del ITEA y del INEA, y personal de la Direccin de Acreditacin y Sistemas. Para el uso de la Gua, conviene seguir las siguientes recomendaciones:!" !"
!"
Si usted es la persona joven o adulta, es importante que utilice la Gua despus de haber concluido el estudio del mdulo Operaciones avanzadas. Puede estudiar los temas, siguiendo el orden tal como se presenta, si lo prefiere, pude estudiar slo los temas que desee repasar. Le recomendamos leer con detenimiento cada uno de los temas y poner mucha atencin en los ejemplos, tratando siempre de ensayar y reflexionar los procedimientos y respuestas. Despus de estudiar la Gua, conteste el examen de prctica que se anexa, a travs del cual usted se familiarizar con el tipo de preguntas que tendr que responder para acreditar el mdulo. Si eres asesor o asesora, puedes consultar esta Gua, como apoyo para afianzar tus conocimientos matemticos y organizar la asesora. La revisin de la Gua puede hacerse posterior al anlisis de un tema y antes de proceder a organizar la asesora, de tal manera que pueda servirte para repasar tanto los conceptos como los procedimientos y estrategias matemticas. Puedes enviar tus comentarios a la jefatura de proyectos de matemticas, a la siguiente direccin electrnica: [email protected].
OPERACIONES AVANZADAS
3.1. Fracciones y porcentajes.FRACCIONESLas fracciones representan partes de una unidad, es decir, de un todo. Al nmero que est arriba de la raya de la fraccin se le llama numerador y al nmero de abajo se le llama denominador.
5 8
Numerador Indica el nmero de partes que se toman de la unidad Denominador Indica el nmero de partes en que est dividida la unidad
Este crculo est dividido en 8 partes. sombreados,3 8
5 8
de este crculo estn
no lo estn.
Existen diversos tipos de fracciones: Fracciones propias: Fracciones impropias: fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. fracciones cuyo numerador es igual o mayor que el denominador. fracciones que combinan un nmero entero con una fraccin propia.1 2 5 4 , 2 5 3 2 , 1 7 7 3 , 3 9 5 5
,
,
,
Nmeros mixtos:
2
1 3
,
3
1 4
,
6
1 5
Pg. 1
PROBLEMAS1.- Basndose en la informacin de la pgina anterior, clasifique los siguientes grupos de fracciones. 1.5 3 4 2 8 3 7 4
,
,
,
2.
11 2
3 4
,
71 4
1 5
,
2,
1 8
3.
,
,
2 5
3 7
2. Se tiene un terreno de forma rectangular que se ha dividido en seis partes iguales y slo se ha sembrado en cuatro de ellas, qu parte del terreno no se ha sembrado?
a )
1 6
b)
2 6
c)
4 6
d)
6 6
3. Qu fraccin de cada figura se ha asombrado?
a)
b)
c)
Pg. 2
RELACIN ENTRE FRACCIONES Y DECIMALES.
Toda fraccin se puede expresar en forma decimal y viceversa. Los decimales pueden considerarse fracciones cuyos denominadores son mltiplos de 10 (10, 100, 1000, etctera.) Por ejemplo: una posicin decimal1 0.1= 10 1 100 1 1000
dos posiciones decimales 0.01= tres posiciones decimales 0 .001=
Ejemplo 1. Convierta 0 .75 a fraccin.PASO 1. PASO 2.
En el numerador: escriba el nmero 75 sin el punto decimal. En el denominador: escriba 100, valor de la ltima posicin decimal.
75 75 100
$ 25
Observe que esta fraccin se puede reducir a
3 4
75 100
#$ 25
3 4
Ejemplo 2. Convierta 0.039 a fraccin. 0.039 =39 1000 Nmero sin punto decimal Tres posiciones decimales (milsimos.)
PARA CONVERTIR NMEROS DECIMALES A FRACCIONES 1. 2. En el numerador: escribir el nmero sin el punto decimal. En el denominador: escribir el nmero que corresponde al valor de la ltima posicin decimal.Pg. 3
Para convertir de fraccin a decimal, divida el numerador por el denominador. Se divide porque la raya de la fraccin tambin indica divisin. En otras palabras, se puede leer como 5 8 8 5. Ejemplo 1: 5 .625 = 8 5.000 8 - 48 20 - 16 40 - 40 0
PROBLEMAS1.
Convierta estos decimales a fracciones. Redzcalos a su mnima expresin de ser necesario.(b) .32 (c) 3.1
(a) .07 =
1002. (a)
Convierta estas fracciones a decimales. Exprese el resto en forma de fraccin si obtiene un cociente de ms de dos posiciones decimales. 3 8(b)
4 3
(c) 5 6
3.
Una pieza de listn mide 17cm de largo y se cortan cuatro pedazos iguales. Encierre las respuestas correctas.a)
4cm y sobra 1 pieza.
b) 4cm y sobra 1cm.
C)
1 4 cm. 4
b) 4.25cm.
d)
4 cm . 17
Pg. 4
AMPLIACIN Y REDUCCIN DE FRACCIONES.
A fin de facilitar el manejo de las fracciones, se pueden ampliar las mismas a trminos mayores o reducirlas a trminos menores. En ambos casos, se convierte tanto el numerador como el denominador de la fraccin. Al ampliar o reducir una fraccin, se est hallando unafraccin equivalente, es decir, una fraccin que posee el mismo valor que la fraccin inicial.
Por ejemplo, medio meln tiene el mimo valor que dos cuartos del mismo meln. Puesto que son equivalentes las fracciones, se pueden escribir como representar por medio de una grfica.1 2
=
2 4
Esta relacin, tambin se puede
=1 2
=
2 4
COMO AMPLIAR UNA FRACCIN A TRMINOS MAYORES
Multiplicar el numerador y el denominador por el mismo nmero, obtenindose as una fraccin equivalente.
Ejemplo 1: 5 x 2 10 = 8 x2 165 10 # 8 16
Ejemplo 2: 3x5 15 = 7x5 353 15 # 7 35
Pg. Pg. 5
CMO REDUCIR UNA FRACCIN A TRMINOS MENORES
Dividir el numerador y el denominador entre el mismo nmero, obteniendo as una fraccin equivalente. (Eljase un nmero que divida de forma exacta tanto el numerador como el denominador.) Ejemplo 1:
Ejemplo 2: $4
$93 4
12 16
#
27 36
#
3 4
$4
$ 9
Una fraccin se halla reducida a su mnima expresin si no hay un nmero entero que no sea 1 que divida de forma exacta el numerador y el denominador. El proceso de reducir una expresin a su mnima expresin recibe el nombre de simplificacin. Por ejemplo, 3 8 ya est simplificado o reducido a su mnima expresin, ya que no hay otro nmero entero que no sea 1 por el que puedan dividirse de forma exacta 3 y 8.
PROBLEMAS1.
Ample cada fraccin a trminos mayores segn se indica. = 24(b)
(a) 3 8 2.
6 7
=
28
Reduzca cada una de las fracciones a su mnima expresin. =(b) 25 30
(a) 6 8 3.
=
Reduzca la fraccin representada a una mnima expresin.
a)
b)
Pg. 6
4.
3 de litro de leche. 4 1 1 Si slo tiene un vaso graduador de de litro, Cuntos vasos de de litro debe usar 8 8 para obtener el volumen que indica la receta? Adela elaborar un pastel. En la receta dice que debe usar
SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES
Cuando haya que sumar o restar fracciones o nmeros mixtos, conviene cerciorarse de que las fracciones tengan denominadores comunes. De no ser as, se debern convertir las fracciones a otras equivalentes que tengan denominadores comunes antes de proceder a sumar o restar.
Ejemplo 1: Sume
3 8
y
1 8
PASO1. Como los denominadores
son iguales, sume los numeradores.PASO 2.
3 8
+
1 8
=
3+1 8
=
4 8
Reduzca la respuesta.
$4
4 8
#$4
1 2
Ejemplo 2: Reste
7 10
-
3 5
=
PASO1.Encuentre el
denominador comn y las fracciones equivalentes.PASO 2.
7 10
-
3 5
= =
7 10
=
3x2 5x2
Reste los numeradores
7 10
6 10
7-6 10
1 10
Pg. 7
Ejemplo 3: Sume
3 1 3 % % 3 6 4
PASO 1. Encuentre el
denominador comn a todos los nmerosPASO 2.
2x8 1x4 + 3x8 6x4
+
3x6 4x6 =
Sume los numeradores y coloque el total sobre el 16 + 4 + 18 = 16+4+18 = 38 24 24 24 24 24 denominador comn. Convierta la fraccin impropia a nmero mixto. 7 38 = 1 12 24
PASO 3.
Otra alternativa de solucin, es usando el mnimo comn denominador.2 3
+
1 6
+
3 4
=
8+2+9 12
=
19 12
= 1
7 12
PROBLEMAS1 1 kg de manzanas , 1 kg de peras y una sandia 4 2
1. En el mercado, Don Jorge compro 31 8
pes 3 kg. Cunto pes en total la bolsa del mandado?
2. Un bote de pintura vinlica pesa 10 kg. Si el bote vaco pesa 1 kg , Cunto pesa la pintura 2 4 vinlica?
1
3
Pg. 8
3.
1 4
+ 3 =
2
4.
1 3
+ 6 + 8 =
5
7
9 5. 10 - 10 =
3
6.
4 5
- 2 =
1
7.
1 2
-
1 2
=
2 8. 10 - 9 =
9. Observe la secuencia y complete lo que falte.
1 1 3 % # 2 4 4 1 1 1 7 % % # 2 4 8 8 1 1 1 1 15 % % % # 2 4 8 16 16 1 1 1 1 1 % % % % % 2 4 8 16 32 #
1 1 1 1 1 1 % % % % % % 2 4 8 16 32 64
#
MULTIPLICACIN DE FRACCIONES
Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y los denominadoresEjemplo. 2 3
Simplificar si es posible5 10
x 7 = 217 3 21 & # 9 5 45
$3# 7 15
$3
Pg. 9
PROBLEMAS1.-Cuntos minutos hay en
1 3
3 de hora, si en una hora hay 60 minutos entonces en 4 3 180 3 debe haber 60 x = 4 = 45 minutos.Cuntos minutos hay en de hora? 4 4
2. Doa Catalina tiene un terreno en un esquina que ocupa de un calle partes de 8 5 otra. Qu parte de la manzana abarca el terreno?
2
3
3. Calcule el rea de las siguientes superficies planas.A# b&a 2
4 m 5A=bxh
5 3 m 6 5 2 3
4 m 5
3 1 4: 4 x 2 =
2 3 5: 3 x 5 =
6 1 6: 15 x 4 =
DIVISIN DE FRACCIONES.La divisin es la operacin inversa a la multiplicacin. Por ejemplo, cuando dividimos un nmero entre 2, en realidad estamos multiplicando por1 2
12 $ 2 # 12 &
1 12 # # 6 2 2Pg. 10
La fraccin
1 2
se dice que es recproco de 2. Dos nmeros son recprocos cuando su1 5
producto es 1. Como 5 x
=1, los nmeros 5 y
1 5
son recprocos. Para hallar el recproco de
un nmero, simplemente invirtalo, es decir, use el numerador como denominador y el denominador como numeradorEjemplo:7 3 $ 8 4
#
PASO 1. Multiplique la primera fraccin por el recproco
de la segunda.PASO2.
7 3 7 4 $ # & 8 4 8 3$4
Multiplique los numeradores y luego los denominadores entre s y convierta la fraccin impropia a nmero mixto.
7 4 28 & # 8 3 24
#
7 1 # 1 6 6
$4CMO DIVIDIR NMEROS MIXTOS. Convertir los nmeros mixtos a fracciones impropias. Multiplicar la primera fraccin por el recproco de la segunda. Volver a convertir las fracciones impropias a nmeros mixtos.
1. 2. 3.
Ejemplo 1:
4
2 3
1
1 2
= mixtos a fracciones14 3
PASO 1. Convierta ambos nmeros
impropias.PASO2.
3 2
=28 9 1 9
Multiplique la primera fraccin por el recproco de la segunda y vuelva a convertir la fraccin impropia resultante a nmero mixto.
14 3
x
2 3
=
=3
PROBLEMAS1. En una festividad, 12 personas usarn un listn en el brazo. Si se cuenta con 4 de listn, 2 Cunto listn le tocar a cada persona?1
Pg. 11
2. Cuntos terrenos de2 3
3 1 de hectrea caben en un terreno de de hectrea? 4 16
3.
4 =
4.
3 7
6 35 =
1 5. 9 2 2 =
PORCENTAJESLos porcentajes, al igual que los decimales y las fracciones, constituyen otra manera de expresar un parte determinada de una unidad. El porcentaje es la parte de un todo que se ha dividido en 100 porciones iguales. De ah la palabra porcentaje o tanto por ciento. El porcentaje se expresa con un nmero seguido con el signo %. Por ejemplo: 50% representa lo mismo que50 100
0.50. Al trabajar con porcentajes, se hace a veces necesario
convertirlos a decimales o fracciones equivalentes. La tabla adjunta indica que existe una relacin entre porcentajes, fracciones y decimales.
PORCENTAJES
FRACCIN1 100
DECIMAL
1% 5% 10% 25% 50% 75% 100%
0.01 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 1.00
5 1 # 100 20 10 1 # 100 10 25 1 # 100 4 50 1 # 100 2 75 3 # 100 4 100 #1 100
Dado que el 100% representa la unidad el todo cualquier nmero menor que 100% es menor que la unidad. Por ejemplo, el 75% de una cantidad es slo una parte de esa cantidad.
Pg. 12
RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE PORCENTAJE1. 2. Determinar si lo que se pide es la parte, la unidad o el porcentaje. Representar con n el nmero desconocido. Establecer la proporcin ubicando los nmeros conocidos as como la n es su lugar correspondiente. Parte Porcentaje = Unidad 100 Multiplicar en diagonal. Dividir por el nmero restante.
3. 4.
Ejemplo: Qu porcentaje de 72 es 18?Solucin: Se pide hallar el PORCENTAJE.parte Unidad
18 n # 72 100
porcentaje
18 n # 72 100
Multiplique en diagonal: 18 x 100 = 1800 Divida: 1800 72 = 25 n = 25
La parte desconocida es 25. Es decir que el 25% de 72 es 18.
PROBLEMAS
1.- Julio gana 2100 pesos al mes. l ahorra el 12% de su sueldo y gasta 420 pesos al mes en alquiler, Cunto ahorra Julio al mes?12 n # 2100 100
Pg. 13
2.
La Sra. Mara entreg un 15% inicial para la compra de un nuevo automvil. Si el pago inicial fue de $1880 Cunto cost el automvil?
3.
Los empleados de una tienda departamental reciben un descuento del 20% en todas sus compras. Si Gabriel compra tres discos a $52.50 pesos cada uno, Cunto le toca pagar despus de aplicarle el descuento que le corresponde como empleado?
4.
A Miguel le descuentan el 12% de su sueldo por concepto de un prstamo hipotecario. Si gana $1800 a la semana y debe an $ 7260, Durante cuntas semanas le van a seguir descontando?
5.
Doa Carmen compr una camioneta a crdito que cuesta $ 85,000, deber pagar $35,000 de enganche y el resto en un mes. Si debe pagar el 3.5% de inters mensual cunto deber pagar al termino del mes?
RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE INTERS.El inters es la renta que se paga por el uso del dinero. La tasa de inters es el porcentaje que se paga de renta, en forma mensual o anual. Para hallar el inters que se debe pagar por un prstamo que se contrat a una tasa de inters mensual (r), multiplique el importe del prstamo por la tasa del inters y por el plazo o tiempo (nmero de mes) que dur el prstamo o tard en pagarlo.I=Pxrxt
La cantidad total a pagar al trmino del plazo convenido es el monto del prstamo (P) ms el importe de la renta o inters devengado (I). Total = P + I
Pg. 14
EJEMPLO1: Con el objeto de ampliar una de sus
tiendas, un fabricante de toallas pide un prstamo de 35,000 pesos por 18 meses a una tasa de inters mensual del 4% Qu inters pagar el fabricante por el prstamo?I = 35,000 x 0.04 x 18 I = 25,200
I # 35,000 &
4 & 18 100
Ejemplo 2: Doa Petra pidi un
prstamo de 4000 pesos por tres aos. Halle la cantidad que obtuvo que devolver siendo la tasa anual de inters del 8%.
PASO 1:
Calcule el inters acumulado en los tres aos, aplicando la frmula I = P x r x t
I = 4000 x 0.08 x 3 I = 960 PASO 2: Calcule la cantidad que deber pagar al trmino de tres aos: el importe del prstamo ms el inters acumulado. 4000 + 960 = 4960
PROBLEMAS
1.
El propietario de un hotel solicit un prstamo de $30,000 para la compra de 24 televisores El prstamo es a 90 das a una tasa de inters anual del 12%. Halle la cantidad total que debe pagar.
2.
El seor Alonso pidi prestado dinero a una tasa del 8% anual. Si el cargo por intereses ese ao es de $360, cunto recibi en prstamo?
3.
Josefina deposit $15,000 en una cuenta de ahorros que le da un inters del 8% anual Qu cantidad podr Josefina retirar de su cuenta de ahorros despus de un ao?
Pg. 15
4.
Carmen compr $ 4375.00 de mercanca. Si al vender esa mercanca obtendr una ganancia del 25% Cunto dinero ganar?
5.
Felipe le debe $2000 a su to y lo nico que puede vender para cumplir su compromiso es un televisor. Est ofreciendo el televisor en $2500 y dice que con ello pierde el 20% del precio real. Cul es el precio real de la televisin?
Pg. 16
OPERACIONES AVANZADAS
3.2. Geometra.MEDICIN DE FIGURASPERMETRO
El permetro es la longitud del contorno de una figura. Para hallar el permetro de una figura, se suman las medidas de todos los lados de la figura.
El permetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la medida de uno de sus lados (permetro = 4 x l ), ya que los cuatro lados de un cuadrado son iguales.Ejemplo.
Encuentre el permetro de un cuadrado. que mide 9m de lado.9m
9m
P=4xl P = 4 x 9m P = 36m
El permetro de un rectngulo es P = 2b + 2a, siendo, b la base y a la altura.Ejemplo.
Encuentre el permetro de un rectngulo. que mide 7m x 4m7m 4m
P = 2b + 2a P = 2 x 7m + 2 x 4m P = 14m + 8m = 22m
Pg. 17
El permetro de un tringulo es P = a + b + c. siendo a, b y c las tres lados.Ejemplo .
longitudes de los
Encuentre el permetro de un tringulo.
7m 4m
P=a+b+c P = 4m + 7m + 9m = 20m
9m
La circunferencia de un crculo es el permetro (o contorno) del crculo. La frmula es C = !d. Siendo C la circunferencia, ! = 3.14 y d el dimetro. La circunferencia es aproximadamente igual a 3.14 veces el dimetro.Ejemplo . Encuentre la circunferencia de un crculo.
que mide 45cm de dimetro. C = !d C = 3.14 x 45cm = 141.3cm
45cm
PR0BLEMAS
1.Cuntos metros de cerca se necesitan para rodear el jardn de esta casa?
70m
JARDN
48m
CASA
Pg. 18
2.Qu cantidad de ribete se necesita para cubrir el contorno de la vela triangular del barquito del dibujo?21 cm 16.5 cm 12.4 cm
3. Un granjero desea cercar un campo rectangular de 400m por 224m. El costo de cerca es de $57.50 por tramo de 8 metros, Cunto le costar la cerca?
4. Encuentre el permetro de la figura.
20m 4.2m
10.8m
15.3m
REAS
El rea es la cantidad de superficie que ocupa un objeto. El rea se mide en unidades cuadradas como los centmetros cuadrados o los metros cuadrados. Imagine un cuadrado de un centmetro de lado. Esto sera un centmetro cuadrado. Cuando se nos pide calcular el rea en centmetros cuadrados, estamos en realidad calculando el nmero de cuadros de un centmetro por un centmetro, que caben en la superficie que estamos midiendo. Por ejemplo, el de la derecha contiene 8 centmetros cuadrados de rea.
1cm 1cm1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm 1cm
Pg. 19
Las respuestas de los problemas sobre reas estn dadas en unidades cuadradas (pulgadas cuadradas, metros cuadrados, etc.)
El rea de un cuadrado es A = lado x lado. Dado un cuadrado con un lado de 7 metros, el rea sera igual a 7 metros x 7 metros = 49m, ( 49 metros cuadrados). El rea de un rectngulo es rea = b x a, siendo, b la base y a la altura.EJEMPLO : Cul es el rea de una mesa de 3m x 5m?
Solucin: A = 3m x 5m = 15m
El rea de un tringulo es A =
bxa 2
siendo, b la base, a la altura. Para calcular el rea de un tringulo, multiplique la base por la altura y divida entre dos.9 cm
6 cm
EJEMPLO . Encuentre el rea de un tringulo de
6cm de base y 9cm de altura.
A= A=
bxa 6cm x 9cm 2
= 27cm
Pg. 20
El rea de un crculo es A = !r, ! (aproximadamente 3.14) y r el radio.EJEMPLO.
Encuentre el rea de un crculo de 12 centmetros de dimetro (recuerde que el radio es igual al dimetro entre dos). el radio. r # D = 12 # 62 2
r 12cm
PASO 1. Encuentre
PASO 2. Sustituya la formula por los valores
numricos y calcule.
A = !r A = 3.14 (6cm) A = 3.14 (36cm) A = 113.04 cm
PROBLEMAS
10 cm.
1. Calcule el rea de la siguiente figura.10 cm. 5.3 cm.
2. Calcule el rea del crculo que tiene de radio12 cm (use 3.14 como valor de !)
12cm c
Pg. 21
3.
Cuntos metros cuadrados medir una alfombra circular de mayor tamao que se pudiera colocar en una sala de 10 metros por 10 metros?10m
10m
VOLUMENEl volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo tridimensional. Como ejemplos de cuerpos geomtricos se puede citar el paraleleppedo (caja rectangular), el cubo y el cilindro.
Paraleleppedo
Cubo
Cilindro
El volumen se mide en unidades cbicas. Como los metros cbicos, los centmetros cbicos y los milmetros cbicos. Por ejemplo, un metro cbico es un cubo con aristas de 1 metro.
El volumen de un cubo es V = l . siendo l el lado del cubo. Los dados y las cajas cuadradas son ejemplos de cubos. Todos los lados del cubo tienen la misma longitud. De esta forma, el volumen del cubo es igual al lado elevado al cubo: es decir lado por lado por lado.
Ejemplo .El volumen de un cubo
donde l = 2 cm 2cm
V=l = 2cm x 2cm x 2cm = 8 cm
Pg. 22
El volumen de un paraleleppedo (caja rectangular) es V = lah, siendo l el largo, a el ancho y h el alto. El volumen es igual al largo por el ancho por el alto.Ejemplo .El volumen de una caja rectangular que mide de base 18cm x 15cm y de altura 6cm. 18 cm
6 cm15 cm
V = lah = 18cm x 15cm x 6cm = 1620cm
El volumen de un cilindro es V = !rh, siendo, r el radio de la base circular y h la altura del cilindro, ! es aproximadamente igual a 3.14.
Ejemplo 3.
El volumen de un recipiente cilndrico de radio igual a 3cm y 5cm de altura.
3cm
V = !rh = 3.14 (3cm)(5cm) = 3.14 (3x3) x 5 = 3.14 x 45 = 141.3cm
EJERCICIOS
1.
Cuntos litros de agua se requieren para llenar un acuario de 45cm x 120cm x 30cm
30cm
120cm
cm 45
5cm
Pg. 23
2. Cunta tierra se necesita para cubrir un jardn de 25 metros por 40 metros con una capa de 60 centmetros de altura?
3. El silo de un agricultor tiene las dimensiones indicadas abajo. Cul es el volumen del silo?
8m
15m
Pg. 24
OPERACIONES AVANZADAS
3.3 Probabilidad y Estadstica.PROBABILIDADSe puede decir que la probabilidad es el lenguaje de la incertidumbre. El meteorlogo dice que la probabilidad de que llueva hoy es del 40%; pero seguimos sin saber si va a llover o no. La probabilidad nos ayuda a predecir o pronosticar el futuro basndose en un anlisis del pasado. La probabilidad se puede expresar en forma de fraccin, razn o porcentaje. Una probabilidad de 0 significa que no va a ocurrir un suceso. Una probabilidad de 1 significa que es seguro que ocurra un suceso. Los nmeros comprendidos entre 0 y 1 (fracciones) indican si el suceso se aproxima ms a 0 (menos probable que ocurra) o a 1 (ms probable que ocurra).Anaranjado
Usemos una ruleta para ilustrar el concepto de probabilidad. Supongamos que la ruleta est perfectamente equilibrada y que existe la misma posibilidad de que se detenga en cualquier color. Cada giro de la ruleta es un suceso. El color en el que se detiene es el resultado del suceso.
Rojo
Azul
Verde
Al girar la ruleta, los resultados posibles son cuatro: rojo, azul, verde y anaranjado. Se produce un suceso favorable cuando al girar la ruleta se obtiene el color deseado. La probabilidad de que se produzca un resultado favorable es la razn entre el nmero de resultado favorables y el nmero de resultados posibles. La probabilidad se puede expresar en forma de fraccin o razn como se puede apreciar abajo. Tambin conviene recordar que se puede expresar en forma de porcentaje. Nmero de resultados favorables Probabilidad = Nmero de resultados posibles1
#
1 4
Si se gira la ruleta, la probabilidad de que se detenga en el rojo es de 4 . Aunque hay cuatro resultados posibles (rojo, azul, verde o anaranjado), slo hay un resultado favorable (rojo). La probabilidad de que se detenga en rojo tambin se puede expresar como un 25%; en razn de lo cual se puede decir que existe una probabilidad de un 25% de que la ruleta se detenga en el rojo.
Pg. 25
Ahora halle la probabilidad de que la ruleta se detenga en el rojo o en el verde. En este caso hay dos resultados posibles que pueden ser favorables. La probabilidad es: 2 nmero de resultados favorables 4 nmero de resultados posibles2 4
se puede reducir a1 2
1 2
As, la probabilidad de que se detenga en el rojo o en el
verde es de
50%.
PROBLEMAS1. Si se lanza una moneda al aire nueve veces y en todos los lanzamientos sale cara. Cul es la probabilidad de que salga cara la dcima vez que se lance la moneda?Nota: tome en cuenta que los sucesos son independientes.
(1)
1 9
(2)
1 10
(3)
1 2
(4)
9 10
(5) no se da suficiente informacin
Las preguntas 2-4 se refieren al dado que se ilustra abajo. Considere que se lanza un dado con los siguientes nmeros en sus caras.
2. (1)1 6
Cul es la probabilidad de que salga un 5? (2)1 5
(3)
1 3
(4)
1 2
(5)
5 6
Pg. 26
3.
Cul es la probabilidad de que salga un nmero par? (1) 162 3
%
(2) 20%
(3) 30%
(4) 33
1 3
%
(5) 50%
3 6
4.
Cul es la probabilidad de que salga un nmero mayor que 6? (1) 0 (2)1 6
(3)
1 4
(4)
1 2
(5) 1
GRFICAS Y ESTADSTICA
MEDIA Y MEDIANA La media es el promedio de un conjunto de cantidades. Para calcular el promedio, se suman los datos y se divide el total por el nmero de datos. Por ejemplo, Estela vendi 132, 147, y 108 tamales. Para calcular sus media (promedio) de ventas, se suman sus ventas: 132+147+108 = 387 y despus se divide el total por tres (nmero de ventas): 387 3 = 129. Por lo tanto, la media, o promedio, de sus ventas es de 129. La mediana de un conjunto de datos se calcula ordenando los nmeros de menor a mayor e identificando luego el nmero de enmedio del conjunto. Est nmero de enmedio es la mediana. Las tres ventas de Estela son, en orden de menor a mayor: 108, 132, 147. La cantidad de enmedio es 132; por lo que la mediana es 132.
CMO CALCULAR LA MEDIA O PROMEDIO 1. 2. Sumar las cantidades. Dividir entre el nmero de cantidades. CMO CALCULAR LA MEDIANA. 1. 2. Poner los nmeros de menor a mayor. Identificar el nmero de enmedio. (Si hay dos nmeros en el medio, se halla el promedio de los dos nmeros.)
Pg. 27
Ejemplo: Con el objeto de realizar un estudio acerca del nmero de clientes que van a en su tienda, Don Pepe obtiene y organiza la siguiente informacin durante los primeros 17 das de marzo, cul es la mediana del nmero de clientes?
35, 37, 43, 28, 32, 38, 45, 21, 26, 27, 44, 46, 29, 39, 42, 86, 117. La mediana es 38 mientras que la media (promedio) es 43.24.
PROBLEMASEl encargado de llevar un registro de los resultados de los partidos del equipo de basquetbol de Chihuahua anot el marcador final de los ltimos seis juegos.FECHA ADVERSARIO VS. ADVERSARIO
12/4 12/6 12/10 12/12 12/18 12/20
Sonora Monterrey Baja California Tamaulipas Aguascalientes Jalisco
48 a 37 45 a 63 53 a 42 72 a 24 68 a 44 74 a 51
1.
Cul es el promedio de puntos anotados por los adversarios?
2.
Cul es la mediana de la puntuacin obtenida por el equipo de Chihuahua?
3.
El precio de un mismo uniforme de basquetbol en cinco tiendas distintas es de $486.50, $399.50, $448.00, $522.50 y $428.80 respectivamente Cul es la mediana del precio de ese uniforme?
Pg. 28
GRFICAS Las grficas, cuadros y tablas son tiles recursos que nos permiten organizar datos y representarlos en forma visual. De este modo, se simplifica el manejo de la informacin. A menudo se puede captar toda una situacin con slo echar una rpida mirada a un grfico. Al organizar los datos visualmente, las grficas y tablas nos ayudan a interpretar, comparar y analizar nmeros. GASTOS COMERCIALES DE GRFICAS CIRCULARES UNA FBRICA DE ZAPATOS.r ate M es ial
En las grficas circulares, el crculo representa la unidad o cantidad total. El crculo de la derecha representa el total de los gastos comerciales de la fbrica. Si tomamos todos los sectores del crculo, se obtiene un total del 100%.
ipo qu ye
Se gu r
o1
7%
0%
Varios 3%
Alquiler y servicio 25%
Sueldos 55%
Ejemplo: Si el ao pasado el total de gastos comerciales de la fbrica ascendi a $125000. Cunto fueron los gastos de alquiler y servicios? Segn indica la grfica de la pgina anterior, el alquiler y los gastos de servicios representan un 25% del total. Necesitamos, por lo tanto hallar el 25% de $125,000. 125,000 x 0.25 = 31,250
EJERCICIOGrficas circulares. Resuelva cada uno de los ejercicios
La grfica representa la distribucin del gasto anual de la familia Prez, si los ingresos de la familia Prez fueron de $32,000 anuales 1. 2. 3. Cul es el gasto mensual promedio de renta? Cunto se gasta de comida durante el ao? Cul es la razn de ahorros a ingresos totales? (1) 1 a 10 (2) 10 a 1 (3) 10 a 32 (4) 32 a 10 (5) No se da suficiente informacin.
m Auto vil
Va rio
15 %
s
5%
Gastos mdicos 4%% s 8 icio v SerAh o
Renta 25% Co mi da 23 %%
Diversin 10%
rro s
10
Pg. 29
GRFICAS DE BARRAS.
Las grficas de barras son valiosas herramientas que nos ayudan a realizar comparaciones entre cantidades. En la grfica de barras que se muestra a continuacin , compar los ingresos con los gastos efectuados en un determinado ao.
PROBLEMASUse la grfica siguiente para contestar las preguntas.
INGRESOS/GASTOS2001 2000 1999 1998 5 10 15 20 25 30
Monto (en miles)
Clave: Ingresos
Gastos
1.
Cul fue el promedio de gastos para los aos 1998-2001?
2.
En 2000 cul fue la diferencia entre ingresos y gastos?
3.
En que ao se tuvieron menos ingresos?
4.
En que ao se tuvieron ms gastos que ingresos?
Pg. 30
GRFICAS LINEALESLas grficas lineales se utilizan para representar tendencias y patrones. Con frecuencia estos grficos se usan para representar, cmo una medicin cambia con respecto al tiempo. Por ejemplo en la grfica de abajo se representa el cambio de temperatura con respecto al tiempo. En la grfica lineal de la derecha, obsrvese los siguiente:! TEMPERATURAS EXTERIORES EN UN DA DE DICIEMBRE EN TOLUCAC
1.
2.
Medioda.
10 a.m.
11 a.m.
3 p.m.
1 p.m.
2 p.m.
4 p.m.
5 p.m.
8 a.m.
6 p.m.
9 a.m.
La escala vertical representa la temperatura y cada segmento representa un incremento de 5C. La escala horizontal representa el tiempo y cada segmento representa un incremento de 1 hora. La lnea muestra la tendencia siguiente: la temperatura subi hasta alcanzar 25 a las 11:00 a.m., y luego permaneci estable hasta el medioda. Despus la temperatura inicio su descenso.
35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15
Hora
Las grficas lineales tambin se pueden usar para comparar dos tendencias distintas. En la grfica siguiente se comparan los ventas realizados en 1998 (representados con una lnea contnua) con los ventas realizados en 2000 (representados por una lnea discontinua)
Pg. 31
Millones de pesos12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Enero
COMPARACIN DE VENTAS 1998 Y 2000
Clave 1998 2000
MesSeptiembre Noviembre Febrero Diciembre Marzo Mayo Junio Abril Julio Octubre Agosto
1. 2. 3. 4. 5.
El ttulo nos indica que la grfica compara ________________________ del ao _________ y del ao_______________. Los valores de la escala vertical son ________________________. En junio de 1998, las ventas fueron aproximadamente de: _____________________. La grfica muestra que en 2000 se produjeron ventas considerablemente _________________ que las ventas generadas durante 1998. Tanto en 1998 como en 2000 se observa que las ventas descienden durante los meses de _______________________________.
Pg. 35 32
OPERACIONES AVANZADAS
3.4. lgebraREGLAS DE LOS SIGNOS PARA SUMAR
La suma de dos nmeros positivos es positiva. (+2) + (+7), o bien 2 + 7 = 9 (se pueden omitir los signos positivos) La suma de dos nmeros negativos es negativa. (-2) + (-7) = -9 -2 - 7 = -9 La suma de un nmero positivo y uno negativo es:positiva, si el nmero positivo tiene mayor valor absoluto. (-2) + (+7) = (+5), o bien 2 + 7 = 5 negativa, si el nmero negativo tiene mayor valor absoluto. (+2) + (-7) = (-5), o bien 2 - 7 = -5 cero, si los nmero tienen mismo valor absoluto. (+7) + (-7) = 0, o bien 7 - 7 = 0
REGLAS DE LOS SIGNOS PARA LA RESTALa resta es lo contrario de la suma. Para restar a - b, se remplaza el problema de resta con el problema de suma correspondiente: a + (-b) (sumar el opuesto de b a a). A continuacin se aplican las reglas de los signos para la resta.EJEMPLO 1:
(+2) - (+7) = +2 - 7 = -5
EJEMPLO 2:
(-3) - (-4) = -3 + 4 = 1
Pg. 35 33
REGLAS DE SIGNOS PARA LA MULTIPLICACINEl producto de dos nmeros es:positivo, si ambos nmeros son positivos o ambos son negativos.
(+8) x (+2) = +16, o bien 8 x 2 = 16 (se pueden omitir los signos positivos) (-8) x (-2) = +16, o bien (-8) x (-2) = 16negativo, si un nmero es positivo y el otro es negativo.
(+8) x (-2) = -16, o bien 8 x (-2) = -16 (-8) x (+2) = -16, o bien (-8) x 2 = -16
REGLAS DE LOS SIGNOS PARA LA DIVISINEl cociente de dos nmeros es:positivo, si ambos nmeros son positivos o ambos son negativos.
(+8) (+2) = +4, o bien 8 2 = 4 (se pueden omitir los signos positivos) o bien (-8) (-2) = +4, o bien (-8) (-2) = 4 o bien-8 -2
8 2
=4
=4
negativo, si un nmero es positivo y el otro es negativo.
(+8) (-2) = -4, o bien 8 (-2) = -4 o bien (-8) (+2) = -4, o bien (-8) 2 = -4 o bien
8 -2 -8 2
= -4 = -4
PROBLEMAS
1. En Chihuahua, la temperatura llega a 8 grados baja cero durante el invierno, y a 28 grados en verano. Cul es la diferencia entre la temperatura de invierno y la de verano?
Pg. 34
2. La frmula para convertir grados Fahrenheit en grados centgrados es C = 9 (F 32)
5
Convierta en grados centgrados. -15 F Convierta en grados Fahrenheit. -15 C -25 C -30 C 0 F 13 F
3. Hay un tinaco con 2200 litros de agua. Por la llave de salida pasan 120 litros por hora y por la llave de entrada llegan 100 litro por hora En cunto tiempo se vaca el tinaco?
4. Realice las siguientes operaciones.
10 + (-4) = +6 (-2) = (-2) x (-6) = (-2) - (-6) =
(-6) (-3) = 4 + (-2) = (+4) x (-3) = 2 - (-6) =
(-9) + (+8) = (+3) x (+4) = (-3) - (-9) = (-6) (-3) =
Pg. 35
EL LENGUAJE ALGEBRAICOEl lgebra, una extensin de la aritmtica, es un sistema organizado de reglas de gran utilidad en la resolucin de problemas. El lgebra se vale de letras del alfabeto para representar nmeros o cantidades desconocidas. Estas letras reciben el nombre de variables, as llamadas debido a que sus valores varan segn el problema. Las letras normalmente son minsculas, incluso letras del alfabeto griego: por ejemplo: x, t, y p. Las constantes son nmeros. El valor de una constante es conocido y no cambia de un problema a otro: por ejemplo 8, 75, 0, ! y 3.
Cuando la variable va precedida de un nmero que la multiplica, este nmero recibe el nombre de coeficiente de la variable. En la expresin 7x el coeficiente de x es 7: es decir que el 7 multiplica la variable x. Las expresiones algebraicas constan de trminos. Un trmino puede ser un nmero, una variable o la multiplicacin o divisin de nmeros y variables. Por ejemplo, son trminos los siguientes: 7y (producto de nmero y variable) y 3 (cociente de variable y nmero) En la expresiones algebraicas, los trminos estn separados por los signos + y . 5x - 7 Es una expresin que consta de dos trminos.
ECUACIONESLas ecuaciones algebraicas expresan una igualdad entre dos expresiones o entre una expresin y un valor. y = 2x - 3
TODA ECUACIN ALGEBRAICA ES UNA IGUALDAD Y CONSTA SIEMPRE DE TRES PARTES:
1. 2. 3.
Primer miembro (o expresin de la izquierda) Signo igual (=) Segundo miembro (o expresin de la derecha)
Pg. 36
La ecuacin x + 7 = 10 indica que un nmero que se desconoce (x) sumado a 7 es igual a 10 . Sabemos que 3 ms 7 es igual a 10, por lo que 3 es la solucin de la ecuacin. La solucin es el valor que satisface la ecuacin, es decir, el valor que hace que la expresin sea verdadera. Se resuelve la ecuacin cuando se halla la solucin de la variable, o sea, cuando se despeja la incgnita.x = 10 - 7 x=3
Para resolver una ecuacin hay que despejar la incgnita, para lo cual se realizan las mismas operaciones en ambos miembros de la ecuacin, mantenindola siempre en equilibrio. As, por ejemplo, para resolver la ecuacin:x-5=9 Conviene sumar 5 a ambos miembros. x -5 + 5 = 9+ 5
0
14
De modo que la incgnita x quede despejada.x = 14
PROBLEMASResuelva las siguientes ecuaciones:
1.
3+x=7
2.
x 3
= 12
3.
x-8=0
4.
5x = 75
5.
2x - 26 = 2
6.
x 3
+4=9
Pg. 37
4.
2(5x-11) + 12x = 10
9.
5 + 7y = 19
5.
a - 5 =23
10.
10 x
-5=0
PLANTEAMIENTO DE ECUACIONESAntonio trabaj 35 horas la semana pasada y slo unas pocas horas esta semana. Si su sueldo es de $ 90 la hora y le pagaron $ 4770 por las dos semanas. Cuntas horas trabaj est semana?PASO 1. Sea x el nmero de horas que Antonio trabaj esta semana. PASO 2.
x + 35 es el total de horas trabajadas durante las dos semanas, 90(x + 35) es la cantidad de dinero que recibi por trabajar x + 35 horas a $ 90 por hora.
PASO 3. 90(x + 35) = 4770 (la cantidad de dinero que recibi es igual a $4770) PASO 4.
90x + 3150 = 4770 90x + 3150 - 3150 = 4770 - 3150 0 90x = 1620 90x = 1620 90 90 x = 18
por tanto Antonio trabaj 18 horas esta semana.
Pg. 38
Ejemplo: Si al doble de un nmero se le resta 2, el resultado es 10, cul es ese nmero? 2x - (-2) = 10
2x + 2 = 10 2x + 2 - 2 = 10 - 2 2x = 8
2x 8 # 2 2x=4
PROBLEMAS 1.Oscar fue a acampar a las montaas y estuvo 3 das y 3 noches. Elalbergue le cost $32 por noche y compr un boleto de comida, cada da. La factura total fue de $ 123, encuentre el costo x del boleto diario de comida. Cul es la ecuacin que representa correctamente el problema?
1. x + 96 = 123 2. 3x + 32 = 123 3. x + 32 = 123 4. 3(x + 32 )= 123 5. No se da suficiente informacin.
2. El permetro de un triangulo es de 56cm Si un lado mide 24cm y los otros dos lados son iguales, halle la longitud x de uno de estos lados, cul es la ecuacin que mejor describe el problema?(1) x + 24 = 56 (4) 2x + 24 = 56 (2) 2x + 56 = 24 (5) (3) 2x - 24 = 56 (5)
x - 24 = 56
x - 24 = 56
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Formule y resuelva la ecuacin de los siguientes problemas.
!"Miguel tiene 120 pesos ms que su hermana Mara. Si juntos tienen 600 pesos, Cunto tiene cada uno?
#"Ramn tiene ahorrado $50 ms del doble de lo que tiene su hermano Jaime. Si juntos tienen 500 pesos, Cunto tiene cada uno?
%"El largo de un terreno es de 75m ms que su ancho, su permetro es de 470m Cunto mide el largo y el ancho?
$"Si un nmero es el tripe de otro y su diferencia es 74 Cules son los nmeros?
&"Un nmero es el cudruplo ms tres unidades respecto a otro. Si ambos suman 68, Cules son esos nmeros?
'"Una corbata cost el doble del precio de un pauelo ms 30 pesos. Si por ambos artculos se pagaron 540 pesos Cunto cost cada uno?
Pg. 40
ECUACIONES CON PARNTESISEn esta actividad usted podr encontrar la ecuacin que resuelve un problema verbal . Le pedimos relacionar con una lnea el problema y la ecuacin que lo resuelve.
El permetro de un rectngulo es de 62 m; su largo es 7m mayor respecto al doble de su ancho. Hallar las dimensiones del rectngulo. La suma de dos nmeros es 29. El mayor excede en una unidad al sxtuplo del menor. Hallar los nmeros. La suma de las edades de Mara y Juana es de 62 aos. Si se agregan 7 aos a la edad de Mara, ser igual a la edad de Juana. Hallar ambas edades. Los lados de un tringulo son tres enteros consecutivos y su permetro es de 228m. Hallar los tres lados Dos automviles salen en la misma direccin desde un punto 0 de una carretera, con velocidad de 40 y 50km/h respectivamente Dentro de cuntas horas distarn entre s 70km. En un tringulo, el lado mayor es el triple del menor y el mediano es el doble del menor. Si el permetro del tringulo mide 228m Cunto mide cada lado?
50x - 40x = 70
70 + x = 50 - 40
29 = 6x - 1
2(x + 2x + 7) = 62
x + (6x + 1) = 29
x + (x + 7) = 62
x + 2x + 3x = 228
x + (x + 1) + (x + 2 ) = 228
Pg. 41
SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONESPara un sistema de dos ecuaciones con dos variables, la solucin es un par de nmeros que satisface ambas ecuaciones. Por ejemplo, la solucin del siguiente sistema de ecuaciones. 4x - 3y = 7 3x - y = 9 La solucin es x=4 y = 3 porque satisface ambas ecuaciones.
SOLUCIN DE SISTEMA DE DOS ECUACIONES POR SUSTITUCIN
Resolver:PASO 1. PASO 2.
2x + y = 11 4x - 3y = 7 Despejar a y de la primera ecuacin: y = 11 - 2x Sustituir a y por 11 - 2x en la segunda ecuacin: 4x - 3(11 - 2x) = 7 Despejar a x de la ecuacin obtenida: 4x - 33 + 6x = 7 4x + 6x = 7 + 33 10x = 40 x= x=440 10
PASO 3.
PASO 4.
Sustituir a x por 4 en la primera ecuacin, y despejar de la ecuacin obtenida: 2 (4) + y = 11 8 + y = 11 y=3
Comprobacin: 2x + y = 2 (4) + 3 = 8 + 3 = 11 4x - 3y = 4 (4) - 3 (3) = 16 - 9 = 7 La solucin es; x = 4; y = 3
Pg. 42
SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
SOLUCIN DE SISTEMA DE DOS ECUACIONES POR EL MTODO DE LA SUMA O RESTA.
Resolver:PASO 1.
2x - y = 16 x+ y=5 Sumar, empleando la propiedad: si a = b c=d Entonces a+c=b+d 2x - y = 16 x+y= 5 2x + x - y + y = 16 + 5 3x = 21 x=7
PASO 2.
Sustituir a x por 7 en la segunda ecuacin: x+y=5 7+y=5 Despejar a y de la ltima ecuacin: 7+y=5 y = 5 - 7 o sea (-2) 2x - y = 2 x 7 - (-2) = 14 +2 = 16 x + y = 7 + (-2) = 5, La solucin es (7, -2); es decir: x=7 y = -2
PASO 3.
Pg. 43
SOLUCIN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON EL MTODO DE LA SUMA CON MULTIPLICACIN
Resolver: x - y = 3 2x + 3y = - 19PASO 1.
Multiplicar por 3 ambos lados de la primera ecuacin: 3x - 3y = 9
PASO 2.
Sumar la ltima ecuacin con la segunda ecuacin original.: 3x - 3y = 9 2x + 3y = - 19 5x = - 10
PASO 3.
Despejar a x de la ltima ecuacin: 5x = - 10 x = - 10 = -25
PASO 4.
Sustituir a x por 2 en la primera ecuacin , y de ah despejar a y: -2 - y =3 y = -2 - 3 o y = -5
COMPROBACIN: x - y = (-2)
- (-5) = 3 2x + 3y = 2 (-2) + 3 (-5) = -4 + (-15) = -19 La solucin es el par ordenado (-2, -5); es decir: x = -2 y = -5
Pg. 44
EJERCICIOSResuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
1)
x + 2y = -4 2x - y = -3
3)
3x - y = -6 2x + 3y = 7 3x + 2y = 7 3x + y = 5y = 8x - 3 y = 4x + 2
2)
4x + 3y = 7 2x 5y = 10
4)
5)
Resuelva los siguientes problemas
!"Dentro de tres aos, Ernestina menciona que tendr el doble de edad de su hermano Javier. Ella recuerda que hace dos aos, la suma de sus edades era de 20 aos. Puede encontrar las edades actuales de Ernestina y Javier?
Considere que:
Edad actual de Ernestina : x
Edad actual de Javier: y
#"Manuel, el de la tienda de abarrotes, hizo el corte de caja. Cont que tenia 50 billetes, unos de $20 y otros de $50. El valor total de los billetes era de $1300. Cuntos billetes de cada uno tena Manuel?
Pg. 45
%"Felipe, el carpintero, desea cortar una tabla de 360cm en dos partes, de manera que una sea 40cm ms grande que la otra Cunto medir cada parte?
$"Dos ngulos son suplementarios si suman 180. Si se sabe que el suplemento de un ngulo es el doble ms 20 respecto al otro. Encuentre la medida de ambos ngulos.
&"Mara es 3 aos menor que su hermana. Hace dos aos la suma de sus edades era de 23 aos Qu edad tiene actualmente cada una?
REPRESENTACIN GRFICA
COORDENADAS RECTANGULARESEl plano de coordenadas rectangulares se realiza en una cuadricula y est formado por una recta numrica horizontal llamada eje x y una recta numrica vertical llamada eje y que se cruzan en un punto llamado origen. Cualquier punto en el plano de coordenadas se identifica por medio de un par ordenado de nmeros (x, y). Al primer nmero del par ordenado se le llama coordenada x, y al segundo nmero coordenada y. El orden de las coordenadas es muy importante porque la coordenada x se da siempre primero, seguida de la coordenada y:
Pg. 46
COMO GRAFICAR UN PUNTO CON LAS ORDENADAS (x, y) 1. 2.
CO-
Por ejemplo; las coordenadas del punto A en la figura son (3, 4), lo que significa que el punto A se localiza donde x =3 y y = 4
3.
4.
Empiece por el origen (0, 0). Si x es positivo, corra el punto x unidades a la derecha. Si x es negativo, corra el punto x unidades a la izquierda. Si x es cero, no mueva el punto Si y es positivo, corra el punto y unidades hacia arriba. Si y es negativo, corra el punto y unidades hacia abajo. Si y es cero, no mueva el punto. Marque el lugar con un punto y con los nmeros positivos o negativos del par ordenado. (x, y)
eje y5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
(3, 4)
eje x
PROBLEMAS1. Grafique los siguientes puntos en el plano de coordenadas. A: B: C: D: (3, 2) (-2, 4) (3, 0)-4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 x 1 2 3 4 y
(2, -4)
Pg. 47
2.
Diga cuales son las coordinadas de los siguientes puntos que se muestran en la figura. K: L: M:-4 -3 -2 -1 -1 L -2 -3 -4 K 4 3 2 1 M 1 2 3 4 x y N
N:
REPRESENTACIN GRFICA DE ECUACIONESUna ecuacin que tiene las variables x y y es una ecuacin lineal, la cual puede representares en el plano de coordenadas mediante una lnea. Ejemplox + 3y = 6
Para graficar esta ecuacin hay que encontrar dos puntos que satisfagan la ecuacin y luego trazar una recta a travs de ellos.PASO 1: Hallar el valor y para x
=0
0 + 3y = 6y=6 3
y=2 " para x = 0, y = 2 por tanto, la recta pasa por el punto (0, 2)PASO 2.
Hallar el valor de x para y = 0
x + 3(0) = 6 x=6 por tanto la recta tambin pasa por el punto (6, 0)Pg. 48
PASO 3. Localice los dos puntos y luego trace una recta a travs de ellos. (0, 2) y (6, 0)4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 (6,0) x 6 y (0, 2)
PROBLEMASGrafique las siguientes ecuaciones. 1)x+y=4 y x
2)
2x - y = 4y x
Pg. 49
3)
2x + y = -4y x
4)
x - 2y = 2 y x
Pg. 50
OPERACIONES AVANZADAS
3.5 SUCESIONES Y SERIES
Una sucesin es un conjunto ordenado de nmeros formado de acuerdo con alguna regla o patrn. Ejemplos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 5, 10, 15, 20, 25 4, 9,15, 22, 30, Una serie es una suma indicada de los trminos de una sucesin. Ejemplos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 4 + 9 + 15 + 22 + 30 + Cada elemento de la sucesin o serie recibe el nombre del trmino. Ejemplo: en la sucesin 5, 10, 15, 20, 5 es el primer trmino, 10 es el segundo trmino, 15 es el tercer trmino, etctera. El trmino general es un trmino arbitrario. En ste libro nos referimos al trmino general como el n-simo trmino. El n-simo trmino describe una regla. Ejemplo: Si el n-simo trmino de una sucesin es 2n + 5, el primer trmino (n = 1) es 2(1) + 5 o 7, el segundo trmino (n = 2) es 2(2) + 5 o 9, el tercer trmino (n = 3) es 2(3) + 5 u 11,Pg. 51
En esta tabla n representa el nmero del trmino de la sucesin (primero, segundo, tercero, cuarto,,n-simo). La letra T representa el valor del trmino de la sucesin 7, 9, 11, 13, 15,., 2n + 5
n
T
1 2 3 4 5 . . . n
7 9 11 13 15 . . . 2n + 5
PROBLEMAS1. Encontrar el n-simo trmino de una sucesin, es encontrar la regla general para todos los trminos de la sucesin. Complete cada una de las siguientes sucesiones y encuentre el n-simo trmino. n-simo trmino1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,16, . 1, 3, 5, 7, 9, ____, ____, ____, . 3, 6, 9, 12, 15,11, 13, 15, . 7, 10, 13, 16, 19,____, ____, ____, . 5, 10, 15, 20, 25, ___, ____, ____, . 2, 7, 12, 17, 22____, ____, ____, .3 5 7 , 2, , 3, , ____, ____, ____, . 2 2 2 3 1 1 ' , -1, - , 0, , ____, ____, ____, . 2 2 2
__2n_____ _________ ___2n-1__ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________Pg. 52
17, 25, 33, 41, 49, ____, ____, ____, . 9, 23, 37, 51, 65,____, ____, ____, .
2. LOS NMEROS CUADRADOS Los nmeros cuadrados son nmeros que pueden ser representados por puntos en un arreglo cuadrado.
b b
1
2
3
4
En la tabla de la derecha, n, representa el nmero de trmino y se representa el nmero e puntos en el arreglo de cada trmino.
n1 2 3 4 5 6 7 8 . . . 20 . . . 100 . . .
S ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________
Complete la tabla de la derecha hasta el octavo nmero cuadrado.
Encuentre la regla o el patrn que le permita determinar el vigsimo y centsimo nmeros cuadrados sin dibujarlos o contarlos.
________
Exprese el n-simo nmero cuadrado como una regla general.
________
n
________
Pg. 53
3. NMEROS TRIANGULARES. Los nmeros triangulares son nmeros que pueden ser representados por los puntos de un arreglo en forma de tringulo .
1
2
3
4
En la tabla de la derecha, n, representa el nmero de trmino y se representa el nmero e puntos en el arreglo de cada trmino.
n1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . 30 . . . 100 . . .
T____1____ ____3____ ____6____ ____10___ _________ _________ _________ _________ _________ _________
Complete la tabla de la derecha hasta el noveno nmero triangular
Encuentra un patrn que le permite determinar el trigsimo y el centsimo nmeros triangulares sin dibujarlos o contarlos.
________
Cmo encontr el patrn?
________
Exprese el n-simo nmero triangular como una regla general.
_________
n
Pg. 54
Los nmeros rectangulares son:
6
12
20
a) Determine los siguientes dos nmeros siguiendo el mismo patrn.
b) Encuentre un procedimiento o regla para determinar los siguientes tres nmeros rectangulares sin hacer las figuras.
Si el patrn de la siguiente serie se mantiene, determine el nmero de puntos que deber tener la figura en el lugar 47.
1
3
5
7
Pg. 56
PATRONES NMERICOSEn algunas sucesiones se observa que todos los nmeros siguen cierta regularidad o poseen alguna propiedad especial que se puede representar mediante una regla; como en los siguientes ejemplos: Sucesin 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 1, 8, 27, 64,125, .3, 6, 9, 12, 15, 18, 1, 3, 5, 7, 9, 11, Propiedad Todos son nmeros cuadrados. Todos son nmeros cbicos. Todos son mltiplos de 3. Reglan n
3n
Todos son nmeros impares consecutivos. (2n-1)
Series aritmticasLas series aritmticas se generan sumando restando un mismo nmero varias veces. Si en una serie numrica la diferencia entre un nmero y su antecesor se mantiene constante a lo largo de toda la serie, cualquier trmino n es igual al primer trmino ms el producto de la diferencia multiplicado por (n-1). Esta regla se puede escribir como frmula as: an = a1 + d (n - 1) donde a1 - es el primer trmino y an - es el n-simo trmino d - diferencia constante Los subndices indican el lugar que ocupa el trmino a1, a2, a3, . . ., an, . . .
Pg. 57
Ejemplo 1 Determina el nmero que ocupa el lugar 34 de la siguiente serie: 4, 9, 14, 19, 24 Paso 1 Encuentre la relacin que existe entre cualquier nmero y su antecesor. Conviene formar una recta numrica con los nmeros de la serie 14
Orden: Trmino
29
314
419
524
5
5
5
5
Se observa que la relacin que existe entre cualquier nmero y el antecesor es una diferencia de cinco unidades. Empezando en el 4 cuntas veces se agregan 5 para obtener el nmero que ocupa el lugar 5? La recta numrica podemos observar que 4 veces agrega el 5 para obtener el 24: 4 + 5 x 4 = 24 Cuntas veces habr que agregar 5 para obtener el nmero en el lugar 6? 4 + 5 x 5 = 29 Paso 2 Ahora trat de encontrar la regla con la que se genera la serie.
Conviene formar una tabla anotando el nmero del lugar que le corresponda a cada nmero de la serie. n Regla Serie 1 2 3 4 5 6 34Pg. 58
4 4 + 5 (1) 4 + 5 (3-1) 4 + 5 (4-1) 4 + 5 (5-1) 4 + 5 (6-1)
4 9 14 19 24 29
Observe el nmero de veces que se repite el 5 en cada caso: El 5 se repite n-1 veces en cada caso; o sea el nmero de veces que se repite el 5 corresponde al nmero de lugar que ocupa restandole uno (n-1) Entonces la regla que genera la serie es 4 + 5 (n-1) As entonces, el nmero que ocupa el lugar 34 se encuentra aplicando la regla 4 + 5 (34-1) = 4 + 5 (33) = 4 + 165 = 169 Ejemplo 2. Encuentre los trminos en el segundo y tercer lugar de la siguiente serie aritmtica: 6, ______ ,______ , 39 Paso 1 Orden: Forme una recta numrica para encontrar el nmero que se repite o se suma varias veces. 1 6 2 ? ? 33 El nmero se suma a 6 tres veces. 39 - 6 = 33 Entonces 33 3 = 11 El nmero que se repite es el 11 3 ? ? 4 39 ?
Pg. 59
Paso 2
Encuentre la regla con la que se genera la serie.
n
Regla 6 + 11 (0) 6 + 11 (1) 6 + 11 (2) 6 + 11 (3) 6 + 11 (n-1)
Serie 6 17 28 39
1 2 3 4
Ejercicios Encuentre los nmeros que faltan en las siguientes series aritmticas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 15, 29, 43, ______ 4.6, 7, 9.4, ______ 2.5, ___, _____, 6.25 46, 37, 28, _____ 34, 27, 20, 13, _____ 11.3, 67.4, 123.5, ______ 1.35, 1.62, 1.89, ______
Pg. 60
8.
El primer y ltimo trminos de una serie aritmtica son 5 y 75 respectivamente y la diferencia entre dos nmeros consecutivos es 5 cuntos nmeros (trminos) comprende la serie?
9.
Qu lugar ocupa el 127 de la siguiente serie aritmtica? 19, 31,. . .
10.
Desarrolle una serie aritmtica con los primeros 9 trminos donde el primer trmino es 3 y la diferencia es 6.
11.
Encuentre los trminos faltantes de las siguientes series aritmticas. a) b) c) d) 27, ____, _____, _____, _____, 33, ___, _____, 78 165, 174, 183, _____, ______, 178, 393, 608, ____
12.
Encuentre siguientes dos trminos. a) b) 88, 29, 70, ____, ____. 18, 33, 48, ____, ____.
Pg. 61
TABLA DE ESPECIFICACIONES PARA EL EXAMEN FINAL DE OPERACIONES AVANZADASNO. DE REACTIVO CONTENIDO GENERAL OBJETIVO ESPECFICO N.T. NO.DESCRIPCIN
CONTENIDO ESPECFICO COMPETENCIAS NO.01 DESCRIPCIN
RESUELVE PROBLE1 2RECTA NUMRICA.
SUMA CON NMEROSPOSITIVOS Y NEGATIVOS.
VM07010
MAS DE SUMA Y RESTA DE NMEROS ENTEROS, UTILIZANDO LA RECTA NUMRICA.
3
02
RESTA CON NMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS.SUMA RESTA MULTIPLICACIN FRACCIONES. FIGURAS PATRONES DE SUMA. PATRONES DE RESTA
RESUELVE
3
MONOMIOS Y POLINOMIOS.
VM07060
OPERACIONES QUE IN-
01 2 02 03 1 01 02 01 3 02
CLUYEN MONOMIOS Y POLINOMIOS.
4 5
LOCALIZA EL ELEPATRONES NUMRICOS VM07250MENTO FALTANTE EN UNA SECUENCIA. DEDUCE FRMULAS A PARTIR DE UN CONJUNTO ORDENADO DE DATOS.
6
PATRONES NUMRICOS
VM07210
7 8
REA
VM07300
CALCULA REAS DE FIGURAS PLANAS.
2
01 02
TRINGULOS CUADRILTEROS.
9
PLANO CARTESIANO.
VM07350
LOCALIZA COORDENADAS EN EL PLANO CARTESIANO. CALCULA EL VOLU-
1
01
COORDENADAS
11
VOLUMEN
VM07400
MEN DE CUBOS Y PRISMAS.
3
01 02
CILINDROS. PRISMAS. VARIACIN DIRECTAMENTE PROPORCIONAL. POLIGONALES. DE BARRAS.
12 13
TABLAS Y GRFICAS
VM07550
INTERPRETA TABLAS Y GRFICAS.
01 2 02 03
Pg. 62
TABLA DE ESPECIFICACIONES PARA EL EXAMEN FINAL DE OPERACIONES AVANZADASNO. DE REACTIVO CONTENIDO GENERAL OBJETIVO ESPECFICO N.T. NO.DESCRIPCIN
CONTENIDO ESPECFICO COMPETENCIAS NO. 01 3 02 03DESCRIPCIN
14
OPERACIONES BSICAS
VM0760 0
RESUELVE PROBLEMAS DONDE SEA NECESARIO EL USO DE LOS RESUELVE PROBLEMAS DONDE SE EMPLEEN ECUACIONES SENCILLAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA. RESUELVE PROBLEMAS DONDE SE EMPLEEN ECUACIONES DE PRIMER GRADO UTILIZANDO DOS OPERACIONES A LA VEZ. RESUELVE PROBLEMAS DONDE SE EMPLEEN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS.
SUMA. RESTA. MULTIPLICACIN.SUMA. RESTA. MULTIPLICACIN. DIVISIN. MULTIPLICACIN Y SUMA. MULTIPLICACIN Y RESTA. DIVISIN Y SUMA. DIVISIN Y RESTA.
01 3 02 03 04 01
15
ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
VM0765 0
16 17
ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
VM0770 0
02 3 03 04
10
SISTEMA DE ECUACIO- VM0775 NES. 0
3
01
SISTEMA DEECUACIONES
Pg. 63
OPERACIONES AVANZADAS
EXAMEN DE PRCTICA
Pg. 64
Las siguientes preguntas se basan en las habilidades y conocimientos que se desarrollan y fortalecen en el mdulo Operaciones Avanzadas del Modelo Educacin para la Vida. 1. Cierto da de invierno el termmetro marca por la madrugada 3C y en el transcurso de la maana alcanz 13C. Cul es la diferencia de temperatura entre la madrugada y la maana? A) B) C) D) 2. 16C 13C 10C 3C
La bolsa mexicana de valores el primer da del mes tuvo 75 puntos y al cerrar el mes subi a 9 puntos. Cuntos puntos subi del inicio al fin del mes? A) B) C) D) 84 puntos. 75 puntos. 66 puntos. 9 puntos.
3.
Cul es el resultado de (3x2 5) (2y2 + x3)? A) B) C) D) 6x2y2 + 3x5 10y2 5x3 6x2y2 + 3x6 + 10y2 5x3 5x2y2 + 4x5 3y2 4x3 5x2y2 + 4x6 + 3y2 4x3
Pg. 65
Observe la siguiente secuencia de fracciones y conteste la pregunta 4.
1 24.
2 4
3 6
Cul de los dibujos de abajo representa en la parte marcada la fraccin que sigue a la secuencia?
A)
B)
C)
D)
Observe las siguientes figuras y conteste la pregunta 5.
?5. Tomando en cuenta la parte sombreada de las figuras, qu fraccin seguira para completar la secuencia?A)
1 2
B)
1 31 5
C)
1 4
D)
Pg. 66
Analice la siguiente sucesin y conteste la pregunta 6. Trmino Sucesin 6. 1 6 2 3 4 5 6 11 16 21 26 31 7 ? 8 9 10 11 41 46 51 56
Si n representa cualquier trmino, qu frmula se emplea para encontrar el sptimo trmino? A) 3 (n + 1) B) C) 2n + 4 5n + 1
D) n (n + 5) 7. Cunto mide el rea de la siguiente figura?
base x altura 2 rea =rea = base x altura
2.5 cm
4.0 cm
3.5 cm
A) 8.750 cm2 B) C) 9.375 cm2 14.375 cm2
D) 18.750 cm2
Pg. 67
8.
Cunto mide el rea del siguiente cuadriltero?
12 cm
4.5 cm
2.4 cm
- base mayor % base menor * + ( 2 , ) x altura rea =
A) 32.40 cm2 B) C) 43.20 cm2 54.00 cm2
D) 64.80 cm2
Pg. 68
9.
En el siguiente plano cartesiano se ubican varios puntos. y8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
F
H
x
- 8 - 7 - 6 -5 - 4 - 3 - 2 - 1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
J
G
Cules son las coordenadas del punto G? A) (-6, 1) B) C) (7, 3) (-4, 3)
D) (-4, -5)Pg. 68
10. Por entrar a un evento los hombres pagaron $95 y las mujeres $70. Si asistieron 115 personas y se reunieron $9 425 de las entradas, cuntas mujeres asistieron al evento? A) 52 B)55 C) 60 D) 63
11. Cul es el volumen del siguiente prisma rectangular?
= 1 cm3
A) B)
30 cm3 60 cm3
C) 74 cm3 D) 120 cm3
Pg. 70
12. La siguiente tabla muestra la relacin que hay entre las medidas del lado, el permetro y el rea de algunos cuadrados. Lado (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 Permetro (cm) 4 8 12 16 20 24 28 32 rea (cm2) 1 4 9 16 25 36 49 64
De acuerdo con los datos podemos afirmar que: A) Si el permetro de un cuadrado aumenta, su rea disminuye. B) El rea de un cuadrado cuyo lado mide 4 cm es igual a la de un cuadrado que tiene un permetro de 8 cm.
C) Si el rea de un cuadrado aumenta, tambin su permetro aumenta. D) El lado de cualquier cuadrado siempre mide ms que su permetro y es menor que su rea.
Pg. 71
13. En la siguiente grfica se muestran el nmero de chamarras que compr Ricardo y lo que pag por ellas. Precio18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 5 7 10 15
20 Frecuencia
Cul de las siguientes afirmaciones es correcta? A) Ricardo pag $12 750 por 15 chamarras. B) C) Ricardo pag $10 000 por 10 chamarras. El precio de cada chamarra es de $4250.
D) Ricardo compr slo 20 chamarras. 14. Cul es el resultado de la siguiente operacin? -4 (6 - 2) + 3 (-4 + 1) A) 0 B)7 C)-25 D) -31
15. Una persona compr un cuaderno con 265 hojas. Si ha utilizado 75, cuntas hojas le quedan sin utilizar? A) 90 B)190 C) 260 D)265Pg. 72
16. Al dividir un nmero x entre 5 y restarle 16 da como resultado 38. Cul es ese nmero x? A) B) C) D) 270 250 110 100
17. Si al doble de un nmero se le resta 7, el resultado es 10. Cul es ese nmero? A) - 8.5 B) C) 8.5 1.5
D) - 1.5
FIN DEL EXAMEN
Pg. 73
OPERACIN AVANZADASClave de Respuestas Correctas
No. de Reactivo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Respuesta correcta A C A D D C C B D
No. de Reactivo 10 11 12 13 14 15 16 17
Respuesta correcta C D C A C B A C
Pg. 74
AGRADECIMIENTOS POR LA COLABORACIN ESPECIAL A LAS SIGUIENTES PERSONAS:
Al personal de la Direccin Acadmica del ITEA A los Tcnicos capacitadores de cada una de las Coordinaciones de zona del ITEACoordinacin de zona Tampico
Asesores y asesoras del MEV:Ernestina Almarz Montoya Dolores Magdalena Lara Garca Ma. Araceli Prez Martnez Herlinda Soza Rangl Edward Ros Nava Martha Leticia Hernndez Martnez Agustn Santos Ruiz Olga Lidia Cruz Hernndez Cristina Santes Cantero Mara Teresa Aguirre Martnez Ma. de los ngeles Vzquez Medina Laura Jovita Hernndez Santiago Cira Orozco Snchez Ma. Elena Torres Herrera
Coordinacin de zona Cd Madero
Asesores y asesoras del MEV:Laura Silvia Ziga Ledesma Celina Ma. Bez Lorenzo Raquel Cruz Chino Arturo Chvez Balderas Ileana Elizabeth Pinete Martha Alicia Antonio Bautista Lina Mara Rodrguez Herrera Ma. de Lourdes Prez Hernndez Armando Assad Salazar Juan Jos Montiel Martnez Yolanda Lizeth Robledo Huerta Ivn R. Almiray Moctezuma Ma. Isabel Cruz Torres Fabiola I. Crdenas Balderas Yolanda Gonzlez Ramrez Ma. del Carmen Medina Ortiz Aid Violeta Chal Ramrez Manuel Rodrguez GarcaNancy k. Martnez Bernal Blanca P. Rodrguez Hernndez Leticia Flores Garca Jess A. Gonzlez Jurez Angel de Len Rodrguez Lorena Cortz Ascensin Jorge I. lvarez Reyes
Pg. 75
BIBLIOGRAFA
Baldor, lgebra terico practica, Mxico, Publicaciones cultural, 1995. Eugene D. Nichols, Sharn L. Schuwartz, M. Diccionario y manual de matemticas. Grupo editorial Iberoamrica, Mxico, 1996. CECSA, Diferencias finitas, Mxico, 1998. Garca J. M. A., Delgado, H. A., Invitacin a las matemticas 1, 2 y 3, Mxico, Pearson Educacin, 2002. Garca J. M. A., et al, Estrategias 1, 2 y 3, Mxico, Editorial Esfinge, 2002Operaciones avanzadas, Mxico, 2001, INEA Nmeros y cuentas para la vida, Mxico, 2001, INEA Matemticas propedutico para el bachillerato, Mxico, 2001, INEA
Pg. 76
Operaciones avanzadas
Mxico, 2002