8/18/2019 Guía Matemática Discreta

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Guia de Ejercicios II: Inducción MatemáticaEstructuras Discretas, 2016

En cada uno de los ejercicios debe justificar su respuesta.

Ejercicio 1  Demuestre las siguientes igualdades:

•

n

i=11

i(i+1)  =  n

n+1

•

n

i=1(2i − 1)3 = n2(2n2 − 1)

•

n

i=1 i(2)i = 2 + (n − 1)2n+1

•

n

i=1 i(i!) = (n + 1)! − 1

Ejercicio 2   Demuestre que para todo  n  ∈  Z+, n > 3, se tiene que  2n < n!.

Ejercicio 3   Demuestre que para todo  n  ∈  Z+, se tiene que  n3 + 2n  es divisible por 3.

Ejercicio 4   Para  n  ∈  Z+, sea  P (n)   la proposici´ on abierta 

n

i=1

i = (n + (1/2))2

2  .

Demuestre que para cualquier  k  ∈  Z+, la verdad de  P (k)  implica la verdad de  P (k + 1). ¿Es cierto  P (n)  para todo  n  ∈  Z+? 

Ejercicio 5  Considere las seis igualdades siguientes 

12 + 02 = 12 32 + 42 = 52 52 + 122 = 132

72 + 242 = 252 92 + 402 = 412 112 + 602 = 612

Conjeture la f´ ormula general sugerida por estas seis ecuaciones y demuéstrela.

Ejercicio 6   La sucesi´ on de n´ umeros   a1, a2, . . . , an,...  se define como   a1   = 1, a2   = 2, an   =an−1 + an−2   para  n  ≥  3.

•   Calcule los valores para  a3, a4, a5, a6   y  a7.

•   Demuestre que para todo  n  ∈  Z+, se tiene que  an <  (7/4)n.

Ejercicio 7   Considere la sucesi´ on de los n´ umeros de Fibonacci  F 0, F 1, . . . , F  n, . . .   definida 

como  F 0  = 0, F 1  = 1  y  F n  =  F n−1 + F n−2   para  n  ∈  Z+ con  n  ≥ 2. Demuestre que para todon  ∈  Z+, se tiene lo siguiente:

•   F n−1F n+1 =  F 2n

 + (−1)n.

•   Sea  m  ∈  Z+. Si  m  divide a  n, entonces  F m   divide a  F n.

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