Álgebra y matemática discreta - 2012 sesión de prácticas 2

Índice Máximo Común Divisor Aritmética Modular Polinomios Cuerpos

Álgebra y Matemática Discreta - 2012

Sesión de Prácticas 2

Leandro Marín

Dpto. de Matemática Aplicada

Facultad de Informática

2012


1 Máximo Común Divisor

2 Aritmética Modular

3 Polinomios

4 Cuerpos


Definición

El máximo común divisor de a y b es el mayor de los divisorescomunes de a y b.


Definición


Se puede calcular directamente en sage con el comandogcd(a,b) que son las siglas en inglés (greatest commondivisor).


Definición


Se puede calcular directamente en sage con el comandogcd(a,b) que son las siglas en inglés (greatest commondivisor).

Por ejemplo gcd(2352,4312)=392


Tabla del Máximo Común Divisor

Aunque podemos usar el comando directamente, vamos a vercómo se calcularía la tabla que hacemos en clase.




Para generar la tabla vamos a empezar dando los valoresiniciales a = 156 y b = 441. Los valores de v y t

respectivamente serán 0 y 1 (como siempre).




Para generar la tabla vamos a empezar dando los valoresiniciales a = 156 y b = 441. Los valores de v y t

respectivamente serán 0 y 1 (como siempre).

En sage es posible hacer la asignación en bloque:

a,b,v,t = 156 ,441 ,0,1


Tabla del Máximo Común Divisor (II)

El cálculo se tiene que hacer mientras que b sea distinto de 0.




Eso se hace con una estructura

while condicion :

y luego un bloque similar al del caso for.




Eso se hace con una estructura

while condicion :

y luego un bloque similar al del caso for.

En cada paso del ciclo tenemos que calcular r ,q y recalculara, b, v , t, concretamente

q,r = a //b,a%b

a,b,v,t = b,r,t,r-t*q


Tabla del Máximo Común Divisor (III)

El programa completo quedaría del siguiente modo:

a,b,v,t = 156 ,441 ,0,1

while b!=0:

q,r = a //b,a%b

print a,b,r,v,t,q

a,b,v,t = b,r,t,v-t*q

print a,b,r,v,t,q

Los valores de q y r no los podemos calcular en la última fila, asíque ponemos los mismos que en la fila anterior. Las únicascolumnas importantes al final son la de a que nos indica el máximocomún divisor y la de v que nos indica el coeficiente del b original.


Obtenemos los siguientes valores

156 441 156 0 1 0

441 156 129 1 0 2

156 129 27 0 1 1

129 27 21 1 -1 4

27 21 6 -1 5 1

21 6 3 5 -6 3

6 3 0 -6 23 2

3 0 0 23 -52 2

Lo que significa que el máximo común divisor es 3 y que3 = 156 · u + 441 · 23. Para calcular el valor de u despejamos:

u =3 − 441 · 23

156= −65


xgcd

El máximo común divisor extendido se puede calcular tambiéncon un comando sage, es xgcd(a,b).


xgcd


Si ponemos xgcd(156,441) lo que obtenemos es (3,−65, 23) .


xgcd



Estos valores son respectivamente el máximo común divisor ylos coeficientes de 156 y 441.


xgcd



Estos valores son respectivamente el máximo común divisor ylos coeficientes de 156 y 441.

Son los mismos que habíamos calculado nosotros.


El Anillo Zmod(n)

Dado un número entero n ≥ 1 podemos definir el anillo derestos modulares Zn con el comando Zmod(n)


El Anillo Zmod(n)


Pongamos por ejemplo:

R = Zmod(6)


El Anillo Zmod(n)



R = Zmod(6)

Si entonces escribimos R y pulsamos enter nos dirá

Ring of integers modulo 6

es decir, anillo de enteros módulo 6.


El Anillo Zmod(6)

A partir de este momento, podemos forzar a los elementos aestar en este anillo, pongamos por ejempo

R = Zmod(6)

a = R(3)

b = R(4)

a*b


El Anillo Zmod(6)


R = Zmod(6)

a = R(3)

b = R(4)

a*b

Nos escribirá 0 puesto que las operaciones están en Z6.


El Anillo Zmod(6)


R = Zmod(6)

a = R(3)

b = R(4)

a*b

Nos escribirá 0 puesto que las operaciones están en Z6.

Si ponemos

a-b

y pulsamos enter, nos escribirá 5 puesto que3 − 4 = −1 ≡ 5(6).


Operaciones Modulares

Si operamos un número de Zn con un elemento de Z, elresultado lo considerará en Zn




Como a valía 3 ∈ Z6, si ponemos 7 ∗ a nos responderá 3porque 21 ≡ 3(6).




Como a valía 3 ∈ Z6, si ponemos 7 ∗ a nos responderá 3porque 21 ≡ 3(6).

También podemos hacer exponenciaciones a18 = 3


Inversos

Si tratamos de calcular un inverso que no existe nos dará un error,así si ponemos a^-1 obtenemos

---------------------------------------------------------------------------

ZeroDivisionError Traceback (most recent call last)

/home/leandro/AMD12/<ipython console> in <module>()

/usr/local/sage-5.0.beta6/local/lib/python2.7/site-packages/sage/rings/finite_rings/integer_mod.so

/in sage.rings.finite_rings.integer_mod.IntegerMod_int.__pow__

/(sage/rings/finite_rings/integer_mod.c:20781)()

/usr/local/sage-5.0.beta6/local/lib/python2.7/site-packages/sage/rings/finite_rings/integer_mod.so

/in sage.rings.finite_rings.integer_mod.IntegerMod_int.__invert__

/(sage/rings/finite_rings/integer_mod.c:20884)()

ZeroDivisionError: Inverse does not exist.


Inversos

Tomemos ahora otro anillo modular

S = Zmod(256)

c = S(7)

print c^-1


Inversos


S = Zmod(256)

c = S(7)

print c^-1

Nos devolverá 183, que es el inverso de 7 módulo 256.


Inversos


S = Zmod(256)

c = S(7)

print c^-1

Nos devolverá 183, que es el inverso de 7 módulo 256.

Podemos comprobarlo poniendo 183*c que nos dará 1.


La Función ϕ de Euler

El número de elementos invertibles en Zn se llama ϕ(n) y secalcula con euler_phi(n).




Esta función tiene la propiedad de que cualquier elementoinvertible elevado a ese número es 1.






S = Zmod(256)

c = S(7)

print c^euler_phi(256)






S = Zmod(256)

c = S(7)


Nos devolverá 1.






S = Zmod(256)

c = S(7)


Nos devolverá 1.

En este caso la función vale 128.


Teorema Chino de los Restos

Supongamos que queremos encontrar cuales son los posiblesvalores de x tales que

x ≡ 3(5) x ≡ 2(7)




x ≡ 3(5) x ≡ 2(7)

Estos sistemas tienen solución por el Teorema Chino de losRestos, que nos dice que la solución es única módulo elmínimo común múltiplo de 5 y 7, en este caso 35.




x ≡ 3(5) x ≡ 2(7)

Estos sistemas tienen solución por el Teorema Chino de losRestos, que nos dice que la solución es única módulo elmínimo común múltiplo de 5 y 7, en este caso 35.

El cálculo con sage se hace con el comando

crt([3,2],[5,7])

En este caso el valor es 23 módulo 35.


Polinomios con Coeficientes Modulares

Podemos definir también polinomios con coeficientesmodulares. Por ejemplo:

R = PolynomialRing(Zmod(7),’x’)

p = R(x^3-1)

factor(p)





p = R(x^3-1)

factor(p)

Obtendremos

(x + 3) * (x + 5) * (x + 6)





p = R(x^3-1)

factor(p)

Obtendremos

(x + 3) * (x + 5) * (x + 6)

Porque considerando los coeficientes en este cuerpo, elpolinomio se factoriza completamente.


Factorización

Como sucedía con polinomios sobre otros cuerpos, lafactorización depende del cuerpo en el que se tomen loscoeficientes.


Factorización


Si ponemos el mismo polinomio, pero considerado en Z5

tenemos:


p = R(x^3-1)

factor(p)


Factorización


Si ponemos el mismo polinomio, pero considerado en Z5

tenemos:


p = R(x^3-1)

factor(p)

Obtenemos otra factorización:

(x + 4) * (x^2 + x + 1)


Dominios Euclídeos

Casi todo lo que hemos dicho para Z en relación con ladivisibilidad, es cierto también para los polinomios concoeficientes en R, Q, C o un incluso Zp con p primo.


Dominios Euclídeos


En particular podemos calcular el máximo común divisor y elmáximo común divisor extendido con el mismo algoritmo quelo hacíamos en Z.


Dominios Euclídeos



También es cierto que todo polinomio se descompone deforma única como producto de polinomios irreducibles. Cualessean esos factores depende de donde estén los coeficientes.


Dominios Euclídeos



También es cierto que todo polinomio se descompone deforma única como producto de polinomios irreducibles. Cualessean esos factores depende de donde estén los coeficientes.

En realidad, siempre que tengamos una división con resto, lopodemos hacer. Los conjuntos donde tenemos una división deesta forma se llaman dominios euclídeos.


Definción

Un cuerpo es un conjunto K con dos operaciones + y · y doselementos destacados distiontos llamados 0 y 1 tales que:

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c), a + 0 = a y paratodo a existe −a tal que a + (−a) = 0.


Definción



a · b = b · a, (a · b) · c = a · (b · c), a · 1 = a y para todo a 6= 0existe a−1 tal que a · a−1 = 1.


Definción



a · b = b · a, (a · b) · c = a · (b · c), a · 1 = a y para todo a 6= 0existe a−1 tal que a · a−1 = 1.

a · (b + c) = a · b + a · c.


Ejempos de Cuerpos

Son cuerpos por ejemplo Q, R y C. Estos son cuerposinfinitos.


Ejempos de Cuerpos


También son cuerpos los conjuntos Zp cuando p es primo.Estos son cuerpos finitos.


Ejempos de Cuerpos



Existen otros cuerpos finitos más complejos con un número deelementos pα.


Ejempos de Cuerpos



Existen otros cuerpos finitos más complejos con un número deelementos pα.

Los cuerpos finitos se suelen llamar también cuerpos de Galois.


Cuerpo de 8 elementos

Igual que los cuerpos Zp se hacían con la relación decongruencia módulo p, los cuerpos de Galois se hacen conpolinomios y congruencias módulo un polinomio irreducible.




El programa sage puede manejarlos sin ninguna dificultad.




El programa sage puede manejarlos sin ninguna dificultad.

Para definir el cuerpo de 8 elementos, tenemos que decirsimplemente cómo queremos llamar a la variable de lospolinomios que aparecen.

K = GF(8,’a’)


Recorriendo un Cuerpo Finito

Podemos recorrer todos los elementos de un cuerpo finitocomo una lista. Si ponemos

K = GF(8,’a’)

for x in K:

print x




K = GF(8,’a’)

for x in K:

print x

Obtendremos todos los elementos de este cuerpo:

0, a, a2, a + 1, a2 + a, a2 + a + 1, a2 + 1, 1




K = GF(8,’a’)

for x in K:

print x

Obtendremos todos los elementos de este cuerpo:

0, a, a2, a + 1, a2 + a, a2 + a + 1, a2 + 1, 1

Podemos manejar variables con estos valores como las decualquier otro cuerpo.

Álgebra y matemática discreta - 2012 sesión de prácticas 2

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