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GUÍA

AREA: MATEMÁTICAS Periodo Grado: 9 A-B-C

Profesor: Juan Carlos Jiménez Jiménez III Guía No. 1 GUÍA CONCEPTUAL Y DE EJERCITACIÓN

Logro(s):

Utiliza el lenguaje matemático apropiado para explicar las características de las funciones lineales y cuadráticas.

Establece y justifica procedimientos o estrategias para aplicar las funciones lineales y cuadráticas en problemas de la vida diaria.

Formula y resuelve problemas de aplicación a partir de las características y representaciones de una función cuadrática.

Lee detenidamente las siguientes lecturas y responde las preguntas planteadas.

La construcción y lectura de gráficos son necesidades imprescindibles en el mundo actual. No es

posible comprender un diario si no se tiene idea de cómo interpretar un gráfico. Como primer

acercamiento observemos el siguiente gráfico que contiene información simple de leer.

En las empresas ferroviarias se utilizan diagramas similares a estos para programar la señalización a lo largo de la vía férrea.

En el eje vertical se han marcado los puntos O, A, B, C, D, y E que son estaciones ferroviarias.

En el eje horizontal se ha representado el tiempo medido en horas. Cada línea quebrada indica la

posición del tren, cuyo número está marcado sobre la misma, en función del tiempo. Observemos que

algunos trenes no llegan a la última estación y algunos no paran en ciertas estaciones.

Veamos algunas preguntas que podemos hacer para interpretar el gráfico:

1) ¿A qué hora sale el tren nº 2?

2) ¿A qué hora llega a la estación E el tren nº 4?

3) ¿Cuánto tiempo transcurre entre la salida del tren nº 3 y el nº 4?

4) ¿Cuánto tarda el tren nº 1 en ir de la estación O a la estación B?

5) ¿Cuánto tiempo el tren nº 1 está detenido en la estación B?

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6) ¿Cuánto tiempo transcurre en la estación D desde la partida del tren nº 1 hasta que pasa el tren nº

6?

7) ¿Hasta dónde llega el tren nº 3?

8) ¿A qué hora y en qué lugar se cruzan los trenes nº 1 y nº 2?

9) Si un pasajero llega a la estación O a las 12:30 hs. y quiere llegar a la estación E, ¿Qué opciones

tiene?

10) Si un pasajero llega a la estación O a las 10 hs. y toma el tren nº 3, ¿Cómo hace para llegar a la

estación E? ¿A qué hora llega? ¿Qué le hubiera convenido hacer para llegar antes?

En economía muchas situaciones presentan comportamientos

que pueden explicarse mediante el análisis de líneas rectas y

la solución de ecuaciones lineales, una de ellas son los

análisis de producción que tienen las compañías tomando en

cuenta la manera como se comporta un artículo en el

mercado; nos referimos a la oferta y la demanda que tiene un

artículo. Para determinar los niveles de producción, una

compañía debe tener en cuenta las curvas de demanda y

oferta del producto fabricado y distribuido. Para cada nivel de

precio existe una cantidad correspondiente de unidades de

ese producto que los consumidores compraran o demandaran. Además, como respuesta a los

diferentes precios, la compañía está dispuesta a proveer al mercado una cantidad determinada de

artículos, a la cual se le llama oferta.

Usualmente, una curva de demanda desciende de izquierda a derecha y una curva de oferta asciende

de izquierda a derecha. El punto (m ,m) en el cual se intersecan las rectas que representan la oferta y

la demanda recibe el nombre de punto de equilibrio;n se denomina precio de equilibrio y m cantidad de

equilibrio.

En la siguiente figura se muestran las rectas que representan la oferta y la demanda de producir una

cantidad de artículos cuyo precio de venta se da en miles de pesos.

1. Determina cuántos artículos deben producirse y a qué precio deben venderse para que la empresa

se encuentre en equilibrio.

2. Explica qué es el precio de equilibrio y qué es la cantidad de equilibrio.

3. De acuerdo con la gráfica que representa la oferta, ¿Cuál es el precio aproximado de producir 1000

artículos?

4. ¿Por qué es importante que exista una gran demanda de un artículo en el mercado?

5. ¿Cómo influye el precio de equilibrio en la economía de una empresa?

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El peso ideal de una persona adulta puede calcularse mediante la expresión y=50+3 (−150 )4

, donde y

representa el peso en kilogramos y x la talla o estatura de la persona medida en centímetros.

Es decir, para cada talla tenemos un peso como se indica en la tabla, donde

calculamos el valor de ypara diferentes valores de x.

De acuerdo con los resultados de la tabla, el peso ideal para una persona

que mide 1,50m es de 50 kilogramos y para una persona cuya estatura sea

1,6m, es de 57 ,5kg. Esta información podemos representarla con parejas

ordenadas en las que la primera componente es la talla y la segunda

componente el peso; por lo tanto algunas parejas que representan esta relación son

:(150;50) ,(155 ;53,75) ,(160 ;57,5) , etcétera.

El peso ( y ) depende de la estatura (x ). Observamos que a cada valor de x le corresponde solamente

un valor de c . Este tipo de relación se llama función.

Desde un punto de vista informal, una función es una regla que permite asignar a cada uno de los

elementos “x ” de un conjunto “ A” un único elemento “ y” de otro conjunto “B” . A diario tenemos

ejemplos de estas asignaciones: el médico dosifica un antibiótico en función del peso del bebé, nos

cobran el pasaje en función de la distancia recorrida, la distancia recorrida en función de la

velocidad alcanzada, etc.

Diremos que y es la imagen de xpor la función f .

En símbolos: y=f (x )

Una forma de representar una función es mediante una gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas.

Eje de Abscisas: En el eje horizontal se representa a la variable independiente y recibe el nombre de eje de

abscisas o eje x.

Eje de Ordenadas: En el eje vertical se ubica la variable dependiente y recibe el nombre de eje de ordenadas o eje y.

Función

Sean A y B dos subconjuntos deR. Cuando existe una relación entre las variables, x e y, donde x

∈ A e y ∈B, en la que a cada valor de la variable independientex le corresponde un único valor de la variable dependiente y, diremos que dicha relación es una función.

x y150 50155 53,75160 57,5163 59,75170 65178 71180 72,5183 74,75

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Al representar una función y=f (x ) en un sistema de coordenadas cartesiano, sobre el eje de abscisas

se ubica la variable independiente x, mientras que sobre el eje de ordenadas se ubica la variable

dependiente y.

Observemos que...

La longitud que un resorte se alarga es proporcional a la fuerza que se hace para alargarlo, es

decir, a doble fuerza, doble estiramiento.

El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco es proporcional a la cantidad de dinero

que el banco ha prestado, y también es proporcional al tiempo durante el cual lo ha prestado.

Las dosis de muchas medicinas son proporcionales al peso del enfermo.

En la naturaleza y en la vida diaria hay gran cantidad de fenómenos que se comportan de esta misma manera. Esto explica el interés por el estudio matemático de la función de proporcionalidad, caso particular de la función lineal, y por su representación gráfica, la recta.

Ejemplo. y=2x

Si m>0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la

parte positiva del eje OX es agudo.

Función lineal

Toda función de la forma

y=f ( x )=mx con m∈R , , recibe el nombre de función lineal. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

mes la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

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Si m<0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es

obtuso.

Acerca de la pendiente de la recta...

Definimos a la pendiente como la variación de y dividido

por lo que varía x. Es el aumento o la disminución de y por

cada aumento unitario dex.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que

forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

Fórmula de la pendiente de una recta conociendo dos

puntos P=( y1− y0 )y Q=( x1−x0 ).

m=( y1− y0 )(x1−x0 )

Cálculo de la pendiente.

Pendiente dado el ángulo: m=tg(α)

Consulta en el libro Delta lo siguiente:

1.

2. ¿Qué es una función afín?3. ¿Cómo es la gráfica de una función

afín? 4. ¿Cómo es la gráfica de una función

lineal cuando su pendiente es cero?5. ¿Cómo es la gráfica de una función

lineal cuando su pendiente no está definida?

6. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por un punto determinado del plano?

7. ¿Cuándo dos rectas son paralelas, perpendiculares?

8. ¿Cuál es la ecuación de la recta?9. ¿Qué función representa la expresión de

arriba?

En las exhibiciones, cuando un motociclista se lanza sobre una rampa tratando de superar un

obstáculo, la trayectoria que describe corresponde a la de una función cuadrática cuya

representación es una parábola. Para analizar este movimiento parabólico es necesario

considerar la composición de dos movimientos: uno en dirección horizontal X , con velocidad

constante, y el otro en dirección vertical Y , con aceleración constante (g). Además, se debe

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tener en cuenta que el motociclista esta sostenido a la resistencia del aire, a la rotación de la

tierra y a las variaciones de la aceleración gravitacional.

En la ilustración siguiente se presenta una tabla de datos, con coordenadas de x y y de la

trayectoria que recorre el motociclista.

Responde de acuerdo a la lectura:

1. ¿Para qué valores de x el valor de y es cero?

2. ¿Para qué valores de x , y alcanza el máximo valor?

3. La gráfica del trayecto que recorre la motocicleta es simétrica. ¿Cuál podría ser el eje de

simetría?

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, en ella identificamos los siguientes

elementos.

La orientación de la parábola depende del signo de a:

a>0 ramas hacia arriba, el vértice es un punto mínimo función cóncava.

a<0 ramas hacia abajo, el vértice es un punto máximo función convexa.

El eje de simetría viene dado por la recta x=−b2a

El vértice de la parábola tiene por abscisa x0=−b2a

La ordenada la determinaremos sustituyendo este valor de x0 en la función. Los puntos de corte con

el eje de abscisas vienen dados por las dos soluciones de la ecuación de segundo grado

x=−b±√b2−4ac2a

: x1=−b+√b2−4 ac

2a, x2=

−b−√b2−4ac2a

Son: (x1 ,0 ) y (x20 )Ejemplo: Sea la función: y=x2−6x+5. Estúdiala y dibújala.

Es una parábola con las ramas hacia arriba, porque a=1>0 .

El eje de simetría es la recta x=−(−6)2×1

=3

El vértice tiene por abscisa: x0=3 y por ordenada: y=(3)2−6 ⋅3+5=−4

La función cuadrática

Una función de la forma y=f (x )=a x2+bx+c, cona≠0 y a ,b , c∈R , se denomina función

cuadrática o de segundo grado.

Cada uno de los lugares en los que la gráfica corta al eje x se conoce como raíz. El vértice, es punto en el cual la gráfica alcanza su mínimo (o máximo).

El eje de simetría es una recta que permite observar claramente que las parábolas son simétricas.

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Entonces el vértice es el punto (3 ,−4) .

Para calcular los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos: y=x2−6x+5Resolvemos y obtenemos:

x1=102

=5

x=6±√62−4×1×52×1

=x2=22=1

Entonces los puntos de corte son: (5 ,0) y ¿)

El punto de corte con el eje de ordenadas es (0 ,5).

Ejercicios de aplicación. Trabajo personal.

1. Representa la función de proporcionalidad, di cuál es su pendiente y si la función es creciente o decreciente justificando la respuesta.

a. y=– 3 x

b. y= x2

c. y=−2x+5

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d. y=−3x−1

2. Obtén la ecuación explícita de la recta a partir de la gráfica:

3. Indica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a funciones lineales. En los casos que sí lo sean halla la pendiente y la ordenada en el origen.

a. y=8 x−35

b. y=−x9

+ 34

c. y=x2+x−3

4. ¿Cuál de las siguientes rectas no es paralela a las otras?

a. y=−3 x+16

b. x+2 y−3=0c. y=−x

2d. y=1

2x+6

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5. Representa la función lineal, di cuál es su pendiente, cuál es su ordenada en el origen y si la

función es creciente o decreciente justificando la

respuesta.

a. y=x –2

b. y=– 2 x+3

c. y=– 3 x+5

Trabajo grupal.

1. Dada la siguiente parábola.

a. ¿Cuál es su vértice?

b. Halla la ecuación del eje de simetría.

c. ¿Cuál es la ordenada del punto de abscisa x=4?

d. Escribe su ecuación.

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2. Dibuja las siguientes funciones cuadráticas:

a. y=x2−6x+10

b. y=x2−4 x+4

c. y=− x2−4 x – 2

d. y=x2 – 4

3. Asignar a cada una de las parábolas una de las funciones siguientes:

a. y=13x2+x−2

b. y=x2−2 x+2

c. y=− x2−2x−3

4. Identifica las siguientes funciones:

a. b.

c. d.

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I. TRABAJO COOPERATIVO POR GRUPOS, RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

1. Para construir una finca de recreo se dispone de un lote rectangular que tiene 4 km de largo más

que de ancho. Si el área del terreno es 125km2, ¿Cuáles son las dimensiones del lote?

2. El ánimo de lucro (en miles de dólares) de una empresa está dada por. P ( x )=5000+1000 x−5 x2

, donde xes la cantidad (en miles de dólares) que la empresa gasta en publicidad.

a. Encuentre la cantidad x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio.

b. Encuentra el máximo beneficio Punto máximo.

2. Calculen las dimensiones de un rectángulo, cuyo perímetro es de 50 cm, para que su área sea

máxima.

3. La suma del cuadrado de un número entero y el cuadrado del duplo del consecutivo es 232.

¿Cuál es el número?.

4. Calcular la diagonal de un rectángulo sabiendo que la base es igual a las tres cuartas partes de

la altura y que el área es 48.

5. Calcular el perímetro de un rectángulo cuya área es 168, sabiendo que la diferencia entre la

base y la altura es 2.

6. ¿Cuál es la ganancia máxima g(en pesos) obtenida por producir y vender x unidades de cierto

producto si su función de ganancia está dada por g(x )=1600 x−x2

7. Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función I(z)=1000z-2z2

, donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes. Realicen el gráfico aproximado de la función y respondan.

a. ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?

b. ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos?¿y 375 pares?

c. ¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas?

II. Resuelve la actividad Piensa y Practica puntos 3, 4, 5 (a, b, d, g y h) y 6 de la página 119 del libro Delta Matemáticas 9°.

NOTAS: Ingresa la blog y repasa las temáticas de este III periodo.

RECURSOS

Textos del bibliobanco. Cuadernos de apuntes. Internet. Hojas milimetradas y regla.

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Textos de consulta. Blog http://www.matematicadivertidacolsanjose.blogspot.com/

AUTOEVALUACION

Realiza una autoevaluación de tu trabajo teniendo en cuenta tus:

Fortalezas. Debilidades. Compromisos.

CONSULTA BIBLIOGRÁFICA

PADILLA, Soraya. (2008). Delta 9. Bogotá: Editorial Norma

UNI, Viviana. (2011). Zonactiva 9. Bogotá: Voluntad.

Herrera, Adolfo. (2004). Algebra y Geometría II. Bogotá: Santillana.

Convertid un árbol en leña y podrá arder para vosotros; pero ya no producirá flores ni frutos. Rabindranath Tagore

Frase tomada de la página web:

http://www.porlareserva.org.ar/FrasesEcologicas.ht m

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