math u1 algebra

Matemáticas

Unidad 1. Álgebra.

Gerardo Edgar Mata Ortiz

1. Conceptos fundamentales de álgebra Existen muchas formas de iniciar el estudio de una materia, una de ellas consiste en definir las palabras que se usan en dicha ra-ma de la ciencia. Encuentra tres definiciones de cada concepto, anótalas en tu cuaderno y escribe en las líneas siguientes tu con-clusión acerca de las definiciones consultadas.

1. Álgebra ___________________________________________________

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___________________________________________________

___________________________________________________

2. Teorema fundamental del álgebra

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

3. Expresión algebraica

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_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

4. Término algebraico, monomio, binomio, trinomio y polinomio

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PÁGINA DEL TEXTO DE AL-KHWARIZMI, AL-

MUJTASAR FI HISAB AL-JABR WA’L-

MUQABALA. FUE TRADUCIDO AL LATÍN POR

ROBERTO DE CHESTER EN TOLEDO EN 1145

Unidad 1. Álgebra. 2

Conceptos fundamentales.

Otro punto de vista interesante para conocer el álgebra es su histo-ria. Consulta y elabora un resumen acerca de una parte de la histo-ria del álgebra que te haya llamado la atención, al menos tres cuarti-llas, a un espacio, letra tipo arial tamaño doce.

Fecha de entrega: _________________

Empleando el software, “TerAlg” que se encuentra en la página: http://licmata-math.blogspot.mx/ , vamos a repasar las partes de un tér-mino algebraico. Anota la información complementaria que consi-deres importante.

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ABU JA'FAR MUHAMMAD IBN MUSA

AL-KHWARIZMI

(HACIA 780 - 850)

http://licmata-math.blogspot.mx/



Clasifica como monomio, binomio trinomio o polinomio y determina el grado de las siguientes expresiones algebraicas.

El lenguaje de la ciencia.

La matemática en general y el álgebra en particular son importantes porque es la for-ma en la que se escribe la ciencia. Los libros de cual-quier disciplina científica es-tán llenos de ecuaciones y otras expresiones algebrai-cas.

Si entendemos la matemática como un lenguaje, entonces una buena parte del trabajo de apren-derla debe estar centrada en las reglas de dicho lenguaje; la sintaxis algebraica. Pero otro aspecto que también es muy importante tiene que ver con la traducción entre el lenguaje natural y el al-gebraico.

La mayor parte de los problemas que deberemos resolver contienen expresiones como; “el doble, la mitad, el producto, el cociente, la semisuma” entre otras. Lo que debemos aprender es a escri-bir dichas expresiones en forma de símbolos algebraicos, sin perder de vista su significado y la re-lación que tiene con la situación original.

Ejemplo:

Dos automóviles salen del mismo punto, el automóvil B se desplaza al doble de velocidad que el automóvil A…

A continuación veremos como se representan esta clase de expresiones en lenguaje algebraico; no olvides que el doble significa multiplicar por dos; el doble de 5 son 10, el doble de 45 son 90, etc.

Expresión algebraica Clasificación Grado

47z

1762 245 xxx

yyy 958 34

224 43 xwxw

yzzyxzxy 324 28

Segunda Ley de Newton.

La aceleración que adquiere un objeto es directamente proporcio-

nal a la fuerza que se le aplica e inversamente proporcional a su ma-

sa.

En lenguaje algebraico:

Fam



Completa la tabla siguiente tomando como base los ejemplos que se encuentran en la misma.

Lenguaje común Lenguaje

algebraico Expresión inversa o relaciona-

da con la original Lenguaje alge-

braico

1 El doble de un número cual-quiera

2x La mitad de un número cual-quiera ó

x2

1

2

x

2

3x

3 Un número aumentado en tres unidades

4 Jorge es 25 cm más alto que Fidel

5 y = x + 5

6 La suma de dos números es igual a 150

7 La suma de los ángulos inte-riores de un triángulo es igual a 180°

8 La suma de dos ángulos rec-tos es igual a 180°

9 La semisuma de dos números es igual a 18

10 El área de un triángulo es igual al semi producto de la base por la altura

11 El semi perímetro de un trián-gulo es igual a 24

12 El área de un cuadrado es igual a 25

13 El volumen de un cubo es igual a 8



(Continuación)

No siempre es posible encontrar una expresión que sea exactamente lo contrario de la que se in-dica, escribe alguna expresión que se relacione con ella de alguna forma, sólo se trata de practicar la traducción entre lenguaje natural y algebraico.

En hoja aparte, indica qué representan las incógnitas en cada ejercicio.

Lenguaje común Lenguaje

algebraico Expresión inversa o relaciona-

da con la original Lenguaje alge-

braico

14 El 6 % de los alumnos de la Universidad tienen automóvil propio

0.06x

15 El libro cuesta un 50% más que el juego de escuadras

16 La inflación este año ha sido un 12 % menor que el año pasado

17

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero, más el doble pro-ducto del primero por el se-gundo, más el cuadrado del segundo.

18

El cubo de la suma de dos nú-mero es igual a:

19

La diferencia de los cuadrados de dos número es igual al pro-ducto de:

20

La diferencia de los cubos de dos números es igual a:



Tal como dijimos antes, el valor del álgebra está en sus aplicaciones, sin embargo, es importante repasar primero las operaciones algebrai-cas básicas.

La suma algebraica, que incluye a la suma y la resta; consiste en reducción de términos semejan-tes, cuando hay paréntesis deben eliminarse primero multiplicando el signo que esta fuera del paréntesis por cada uno de los que están dentro. Explica, en los siguientes ejemplos, el procedi-miento de solución:

1.

2.

3.

No importa si los coeficientes son fracciones o decimales, simplemente se suman y restan siguien-do las mismas reglas. Si tienes mucho problema con las operaciones utiliza la calculadora.

4.

Resuelve el siguiente ejercicio sin convertir a decimales.

5.

2 2 2 2

2

( 2 3) ( 6 5) 2 3 6 5

2 4 2

x x x x x x x x

x x

2 2 2 2

2

( 5 7) ( 2 9 12) 5 7 2 9 12

3 14 19

y y y y y y y y

y y

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( 5 ) (5 9 ) (6 8 ) (9 10 ) 5 5 9 6 8 9 10

14 7 15

z z y y z y y z z z y y z y y z

y z y z

2 2 2 2

2

(0.5 2.3 8.6) (2.7 0.9 1.6) 0.5 2.3 8.6 2.7 0.9 1.6

2.2 1.4 21.2

y y y y y y y y

y y

2 2 2 21 3 1 5 7 2( ) ( ) ( ) ( )2 5 4 6 8 3a a b b a b b a



Elabora un formulario que contenga las leyes de los signos y de los exponentes, asegúrate que sea fácil de llevar, deberás presentarlo en cada clase durante todo el mes.

La multiplicación algebraica se realiza término por término los monomios y/o polinomios y redu-ciendo términos semejantes al final. Utiliza el formulario que elaboraste para facilitar el procedi-miento y trata de memorizar las reglas que anotaste, son útiles.

Completa las siguientes operaciones cuando haga falta.

1.

Cuando sabemos que van a ser varios términos semejantes se acostumbra acomodarlos para faci-litar el proceso de simplificación.

2.

3.

Como vimos antes, también pueden aparecer fracciones comunes y decimales.

4.

5.

2

2

(2 1)(3 4) 6 8 3 4

6 5 4

x x x x x

x x

2 2 4 3 2

3 2

2

( 3 2)(2 5 4) 2 5 4

6 15 12

4 10 8

a a a a a a a

a a a

a a

(2 3 1)(3 2 4)a b a b

(1.5 2.8 9.2)(0.3 5.6)p q p q

3 2 5 8( )( )4 3 6 3x y x y

Unidad 2. Ecuaciones algebraicas. 8

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

El método de los cuatro pasos de Polya.

Este profesor propuso una metodología que simplifica el proceso de solución de problemas. Los pasos de su método son:

1. Entender el problema.

Por medio de preguntas: ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Distingues cuáles son los datos? ¿Sabes a qué quieres llegar? ¿Hay suficiente información?

Naturalmente no es necesario responder a todas las preguntas, son solamente una orienta-ción acerca de cómo podemos entender mejor el problema.

2. Configurar un plan para resolver el problema.

Esta parte es la más compleja de todas, requiere de una serie de ensayos y búsquedas heu- rísticas para diseñar dicho plan, en este caso, vamos a seguir un formato para elaborar el plan.

3. Ejecutar el plan.

Esta parte del proceso requiere sólo conocimientos de álgebra elemental, de modo que es muy importante que hayas aprendido las operaciones algebraicas y comprendas la solu- ción de ecuaciones de primer grado.

4. Mirar hacia atrás.

Revisar si el resultado obtenido responde a la(s) pregunta(s) planteada(s).

Polya nació en Budapest el 13 de diciembre de 1887. En un princi-pio, no se sintió atraído por las matemáticas, sino por la literatura y la filosofía. Su profesor de esta última, el profesor Alexander, le su-girió que tomara cursos de física y matemáticas para completar su formación filosófica. Este consejo marcó para siempre su carrera. Su obra es bien conocida por todos los matemáticos, ya sea investiga-dores o profesores, especialmente la que se refiere a la enseñanza a través de problemas. Sus tres libros fundamentales son:

“Cómo plantear y resolver problemas”

“Matemáticas y razonamiento plausible”

“La découverte des mathématiques”

Como plantear y resolver problemas

George Polya (1887—1985)

Filósofo y matemático originario

de Budapest.



Una fábrica de ropa puede producir 6300 pantalones. Según el estudio de mercado, deben fabricarse el doble de pantalones talla M que de talla G, y 300 piezas más de talla Ch que de talla G. ¿Cuántas piezas de cada talla deben fabricarse?

Siguiendo el método de 4 pasos de Polya, veamos si entendemos el problema:

Paso 1. Entender el problema.

¿Qué nos están preguntando?

________________________________________________________________________________

¿Cuáles cantidades nos piden encontrar?

________________________________________________________________________________

¿Con cuáles datos contamos?

________________________________________________________________________________

Otra pregunta de interés: __________________________________________________________

Respuesta: ______________________________________________________________________

Paso 2. Elaborar un plan para resolver el problema.

En este caso el plan que queremos diseñar está basado en las ecuaciones de primer grado con una incógnita, así que debemos identificar una de las cantidades desconocidas por medio de una incógnita. Puede ser cualquiera de las cantidades que estamos buscando.

Como práctica, vamos a resolver el problema de tres formas distintas, en cada una de ellas, va-mos a tomar como incógnita una de las tres cantidades desconocidas.

Paso 3. Ejecutar el plan.

La ejecución del plan se llevará a cabo por medio del llenado de un formato preestablecido que iremos llenando con la información disponible.

Paso 4. Mirar hacia atrás.

Al terminar de resolver la parte algebraica del problema, vamos a analizar el resultado y ver si cumple con las condiciones establecidas por el problema.



Las tres formas de solución a que nos referimos son:

Caso 1. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla G

Caso 2. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla M

Caso 3. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla Ch

Vamos a resolver el problema de las tres formas posibles, realizando todos los pasos. Comenza-mos con:

Caso 1. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla G

Observa cómo se organiza la información en las tablas siguientes y completa donde haga falta:

Señala en las tablas los aspectos importantes del proceso de solución.

Cantidad des-

conocida

Información que podemos

utilizar

Expresada en lenguaje

algebraico Argumentos o razones

P. talla G Incógnita x Podemos elegir cualquiera de las cantida-

des desconocidas como incógnita

P. talla M El doble de talla M que de

talla G 2x

Representamos con x la talla G, y el doble

se obtiene multiplicando por dos

P. talla CH 300 piezas más de talla CH

que de talla G x+300

Representamos con x la talla G, y 300

piezas más se expresa como una suma

Conocimientos o información complementaria:

Sabemos que el total de pantalones debe ser igual a _______, de modo que:

La suma de pantalones talla G, más los de talla M, más los de talla Ch debe ser igual a _________.

Obtención de la ecuación:

P. talla G + P. talla M + P. talla Ch = ____________

x + 2x + x + 300 = ____________

Resolución de la ecuación obtenida:

Solución del problema:

2 300 _________

4 300 __________

4 6300 300

4 6000

6000

4

1500

x x x

x

x

x

x

x

1500

302

300

00

1800

6300

x Cantidad de pantalones talla


x Cantidad de pantalones

G

M

tallaCh

Total



Olvidemos que conocemos la solución del problema, vamos a resolverlo de otra forma:

Caso 2. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla M

Tomando como referencia el caso 1, completa las tablas siguientes:

Cantidad des-

conocida


utilizar



P. talla M Incógnita x Podemos elegir cualquiera de las cantidades

desconocidas como incógnita

P. talla G El doble de talla M que de

talla G

P. talla CH 300 piezas más de talla CH

que de talla G



La suma de pantalones talla M, más los de talla G, más los de talla Ch debe ser igual a _________.


P. talla M + P. talla G + P. talla Ch = ____________

x + ________ + _______ = ____________



________

_ ________

________

63

_____

______

00


Cantidad de pantalones talla

Cantidad de pantalones talla

M

G

Ch

Total

1300

2x

¿El resultado del problema es distinto?

¿Cuál de los dos procedimientos te pareció más difícil? ¿Por qué?

¿El valor de equis es el mismo? ¿Por qué?

Análisis del procedimiento

Compara los dos procedimientos y los resultados obtenidos.

Contrasta el nivel de dificultad

de la resolución de la ecuación.

Observa el valor de la incógnita

en ambos casos y el resultado

del problema.

Competencias básicas.



Ya vimos dos formas de resolver el problema, veamos el:

Caso 3. Tomar como incógnita la cantidad de pantalones talla Ch

Tomando como referencia los casos 1 y 2, completa las tablas siguientes:

Cantidad des-

conocida


utilizar



P. talla Ch Incógnita x Podemos elegir cualquiera de las cantidades

desconocidas como incógnita

P. talla G

P. talla M



La suma de pantalones talla Ch, más los de talla G, más los de talla M debe ser igual a _________.


P. talla Ch + P. talla G + P. talla M = ____________

x + ________ + _______ = ____________



¿El resultado del problema es distinto?

¿Cuál de los tres procedimientos te pareció más fácil? ¿Por qué?

¿Notaste que el orden de las incógnitas fue diferente en cada caso? ¿Por qué?

Análisis del procedimiento

Presta atención al orden en que se acomodaron las variables en cada caso.

Contrasta el nivel de dificultad

de la resolución de la ecuación.

Observa el valor de la incógnita

en los tres casos y el resultado

del problema.

Competencias básicas.



Aplicando el mismo procedimiento, resuelve los siguientes proble-mas. Utiliza el Formato 1.

1. Un estudiante obtiene una calificación de 48 en el primer examen parcial y 78 en el segundo,

¿Qué calificación debe obtener en el tercer parcial para que su promedio sea de 70?

2. La fórmula para convertir grados Fahrenheit a Centígrados es: ¿A qué tem-

peratura ambas escalas indican el mismo valor numérico?

3. Una fábrica de televisores produce unidades de 27’’, 21’’ y 19’’. Sabemos que el modelo

de 21’’ se vende el triple que el de 27’’, mientras que de 19’’ se venden 100 unidades

más que de 27’’. Si se van a producir 1000 unidades en total, ¿cuántos televisores de ca-

da modelo deben producirse?

4. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. Si sabemos que el ángulo A mide lo

doble que el ángulo B y el ángulo C excede en 20° al ángulo B. ¿Cuánto mide cada ángulo?

5. La fórmula para calcular la resistencia eléctrica en una conexión como la mostrada es:

RT = Resistencia total

R1 = Resistencia uno

R2 = Resistencia dos

6. En un viaje de 1200 kilómetros Juan Carlos empleó 4.5 horas manejando

bajo la lluvia y 8 horas 45 minutos en tiempo despejado. La velocidad en el

tramo lluvioso fue 16 km/h menor que la velocidad en el tramo seco. Deter-

mina la velocidad con que viajó en el tramo lluvioso, la velocidad en el tramo

seco, y las distancias recorridas en ambas circunstancias.

7. ¿Cuántos kilogramos de chocolates que cuestan $15.00 / kg deben mezclarse con 16 kilogramos de cho-

colates que cuestan $25.00 / kg para poder vender la mezcla a un precio de $18.00 / kg.?

8. En el concierto de Metallica, los boletos costaron $300

en general, $700 en numerado y $1300 en VIP. El in-

greso total fue de $7’390,000. Se vendieron 200 bole-

tos más de general que de VIP, mientras que los nu-

merados se vendieron el doble que los de general.

¿Cuántos boletos se vendieron de cada clase?

¿Cuántos boletos se vendieron en total?

5º (º 32)

9C F

1 2

1 2RT

R RR

R

Si se desea que la Resistencia total sea

igual a 120 K y la resistencia uno sea

igual al doble de la resistencia dos. ¿Cuál

debe ser el valor de cada resistencia?



En el proceso de solución de los problemas anteriores hemos es-tado encontrando el valor de la incógnita “despejando”. Este es le procedimiento para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

En este procedimiento debemos recordar las reglas con precisión:

Si está sumando, pasa restando

Si está restando, pasa sumando

Si está multiplicando, pasa dividiendo y conserva su signo.

Si está dividiendo, pasa multiplicando y conserva su signo.

En ocasiones debemos despejar ecuaciones literales, que son sim-plemente fórmulas que expresan alguna ley física o de cualquier otra rama de la ciencia. El proceso y las reglas empíricas son las mismas.

Resolución de ecuaciones de primer grado. Las reglas empíricas.

Las ecuaciones de primer grado se

resuelven empleando sus propieda-

des:

Si a cantidades iguales se suman (o se

restan) cantidades iguales, la igualdad

no se altera.

Si cantidades iguales se multiplican o

dividen por cantidades iguales, la

igualdad persiste.

Pero ya en la práctica se prefiere

decir “está sumando pasa restando”,

está multiplicando pasa dividiendo”,

etc.

Esta forma de resolver ecuaciones es

correcta y recibe el nombre de reglas

empíricas para la solución de ecuacio-

nes de primer grado.

Resuelve las siguientes ecuaciones despejando el valor de la incógnita o de la lite-ral especificada. Desarrolla el procedimiento a la vuelta o en hojas adicionales y anota en la tabla sólo el resultado.

5 62 3

4

xx

3 4 5 8

5 6

x x

2 7 3 5

4 3

x x

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

x x

x x 2 5 3 71

3 6

x x

1 5 2 5

2 3 3

x x

x 1 2 1 4 3

3 5 4 2 6 8

x x x x

x

PV nRTP

n

1 2

2

q qF k

r

1q

r

1 1 2 2

1 2

P V P V

T T

2

1

P

T

2 2

2 1 2 1d x x y y 2

1

y

x

2 1

2 1

y ym

x x

2

1

y

x

2

B bA h

h

b

34

3V r

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