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FUNCIONES

TEMAS: Funciones, Representación de funciones, Dominio y Recorrido de una función. RESUMEN:

Introducción: La representación gráfica de las funciones es la forma más adecuada de entender la relación entre las variables. Estas gráficas se usan en diferentes disciplinas para interpretar y deducir las leyes que rigen determinados fenómenos.

Conceptos Básicos:

Formas de expresar la relación entres dos variables:

Para expresar la relación existente entre dos variables se pueden emplear diferentes métodos entre los que se encuentran un texto, tablas de datos, gráficos y ecuaciones ó expresiones algebraicas. Las características de estos métodos se describen a continuación:

Texto: Descripción verbal y/o escrita que expresa la relación entre dos variables. Generalmente se les acostumbra a llamar como enunciado del problema.

Tablas: Se utilizan para mostrar de una forma ordenada los valores que se asignan a la variable independiente y los valores que toma la variable dependiente al aplicar la respectiva función.

Gráficos: Se utilizan para dar una visión cualitativa de la relación que existe entre las variables. Generalmente se utiliza para su representación un sistema de ejes de coordenadas en el que se asocian los valores que toma la variable dependiente y la independiente.

Fórmula o expresión algebraica: Se emplean para calcular qué valor de la variable dependiente corresponde a un valor de la variable independiente, y viceversa.

Ejemplo de aplicación:

Un vehículo se mueve en línea recta recorriendo 2 metros cada segundo. Analizar el movimiento del vehículo empleando los cuatro métodos para describir la situación.

Por medio de un Texto: La distancia que recorre el vehículo se obtiene relacionando los 2 metros que recorre por los segundos que transcurran.

Función: correspondencia entre variables que asocia a una de ellas, como máximo, un único valor de la otra.

Variable independiente: Variable que puede tomar cualquier valor. Variable dependiente: su valor depende del valor que tome la variable independiente. Dominio: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Recorrido: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente. Función discontinua: presenta uno o varios puntos en los que una pequeña variación de la

variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente.

Por medio de una tabla: El tiempo transcurrido es la variable independiente y la distancia recorrida es la variable dependiente.

Por medio de un gráfico: Se representa la situación mediante puntos ubicados en el eje de coordenadas y a través de la línea que los une

Por medio de una fórmula o expresión algebraica: Si se llama x a la distancia recorrida en metros y t al tiempo en segundos que ha transcurrido, la fórmula es:

x = 2 t⋅

Dominio, Recorrido y Rango de una Función

Una función y = f (x) es una relación entre dos magnitudes o variables, tal que a cada valor de la variable independiente x se le asocia, como máximo, un único valor de la variable dependiente y.

Para indicar que a cada valor de x se le asocia un único valor de y se escribe: x →f (x).Se llama original al valor x, e imagen al valor y; o también puede ser el valor y la imagen y el valor x su anti-imagen.

El conjunto de valores que puede tomar la variable x se llama dominio de la función, y el conjunto de valores que puede tomar la variable y se denomina recorrido de la función.

EJEMPLO

Hallar el dominio y el recorrido de las funciones.

a. f ( x )=−5x−2 En este caso, la variable independiente x puede tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales, y para cada uno de esos números se obtiene un valor real de la variable dependiente y. Así, se tiene que: ℑ f =R , Domf =R

b. f ( x )=¿ 2

x−1En este caso, la variable independiente x puede tomar cualquier valor real, salvo aquel valor para el que se anula el denominador, ya que no existe la división entre cero. Por tanto, el dominio es: Domf =R− {1 }El recorrido de la función es el conjunto de todos los números reales. ℑ f =R ,

c. f ( x )=√x En este caso, la variable independiente puede tomar cualquier valor real positivo mayor o igual que cero, ya que no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Así el dominio es Dom f =R+¿¿. El recorrido es el conjunto de los números reales positivos ℑ f =R+¿¿

TIEMPO (seg) 0 1 2 3 4 5 …DISTANCIA RECORRIDA (m) 0 2 4 6 8 10 …