guia ecuaciones cuadráticas

MATEMÁTICAS 9ºLic. SANDRA PATRICIA SALTARIN GOMEZ

ÁREA: Matemáticas

ASIGNATURA: Álgebra

INTENSIDAD HORARIA SEMANAL: 5 Horas

TEMA: Ecuaciones Cuadráticas

LOGRO: Identifica y resuelve ecuaciones cuadráticas,

utilizando métodos de factorización y la formulación

general en la solución de problemas.

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas que se estudiaron

anteriormente, tales como:

podemos transformarlas en:

Esta nueva forma se le llama ecuación asociada a la función polinómica dada o, comúnmente, ecuación cuadrática o de segundo grado.

Se sabe que es equivalente a:

Por ser , es decir,

Y es la imagen de X mediante la función f, por tanto, cuando:

Este proceso se llama raíces de la función cuadrática, es decir, cuando hacemos se determinan los puntos (si los hay), en los cuales la gráfica de la función corta al eje x.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Existen diversas formas de solucionar ecuaciones cuadráticas. En nuestro caso, estudiaremos dos de ellas, tales como:

1. Por factorización2. Por formula general.

Veamos en qué consiste cada una de ellas.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR

FACTORIZACIÓN

Veamos el procedimiento para resolver una ecuación cuadrática por factorización.Por ejemplo. Resolver por factorización:

Veamos paso a paso el proceso de solución:

1.

Multiplicamos y dividimos por el coeficiente del

término X2

2.

Efectuando el producto dejando

indicado el del segundo término

3.

Descomponiendo el trinomio en dos factores. Es decir,

buscar dos números que

multiplicados den 88 y que sumados o restados den 3.

4.Extrayendo el

factor común en el numerador

5.

Simplificando los 4 presentes en el

numerador y denominador

6. Igualando cada factor a cero

7.Despejando la variable X en cada factor.

8.Desarrollando

para X en cada factor.

Luego el conjunto de valores que satisface la ecuación

dada es:

EJEMPLO 2: resolver por factorización

SOL: Procedemos de igual manera que en el ejemplo

anterior

Luego, el conjunto solución de la ecuación es::

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una igualdad de

la forma , donde


EJEMPLO 3:

Resolver por factorización:

Sol.Como podemos ver en este caso el término de X2 no tiene un coeficiente diferente de uno (1), por lo tanto, para factorizarlo no es necesario realizar todos los pasos como en los dos ejemplos anteriores, sino que se realiza de una manera más sencilla. Veamos:

1.Se comprueba que el coeficiente de X2 sea 1

2.

Descomponiendo el trinomio en dos factores. Es decir, buscar dos números que multiplicados den 20 y que sumados o restados den -9.

3. Igualando cada factor a cero

4.Despejando la variable X en cada factor.

Luego, el conjunto solución será:

EJEMPLO 4:

Resolver por factorización:

Luego el conjunto solución es:

ACTICLASS Nº1

Resolver por factorización

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA

GENERAL

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general es necesario dar a conocer dicha

fórmula la cual será muy útil al momento de solucionar las ecuaciones sin necesidad de factorizar. Veamos:

Para toda ecuación cuadrática de la forma: se cumple que:

Donde los valores que intervienen (a, b y c) son los coeficientes de la ecuación cuadrática que se va a solucionar.

EJEMPLO 1.Utilizando la fórmula general, resolver:

Solución:Identificamos los coeficientes o valores conocidos que intervienen en la fórmula con el signo algebraico que intervienen en la ecuación, así: a = 3; b = 2 y c = -1.

Escribimos la fórmula:

Remplazamos los valores en dicha fórmula así.


EJEMPLO 2:Resolver:

Aquí a = 2; b = -4 y c = 1

VEAMOS LA SOLUCIÓN:



EJEMPLO 2:Resolver:

Aquí a = 1; b = -6 y c = 11

Veamos la solución:


ACTICLASS Nº2

Resuelve aplicando la fórmula general para la solución de ecuaciones cuadráticas:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Estudiaremos algunas aplicaciones tomadas de diferentes campos. Como las ecuaciones cuadráticas suelen tener dos soluciones, es importante verificar ambos resultados con el fin de tomar como solución la que satisfaga las condiciones del problema y despreciar las que no las cumplan.Veamos un ejemplo:

PROBLEMA 1:

Hallar dos números enteros positivos consecutivos cuyo producto (multiplicación) sea 156.

Sol:Sea X el primer entero.Sea X + 1 el segundo entero (el consecutivo)

Luego: …………. De acuerdo con el enunciado.

…………... efectuando las

operaciones.

………. Organizando la ecuación.

… factorizando.

De acuerdo con el enunciado del problema, el entero debe ser positivo. Luego, la solución será:Primer entero: X = 12Segundo entero: X + 1 = 12 + 1 = 13

PROBLEMA 2

Si la suma de un número y su reciproco es , ¿cuál es

el número?

Sol:Sea X el número.

Sea su reciproco.

Luego: …………….. Según el enunciado.

……………haciendo la suma de fracciones

……………..………… producto cruzado.

……………… resolviendo las operaciones

……………Organizando la ecuación.

Por tanto:


………………… solución de la

ecuación.

De modo que el número es: 3 o 1/3

PROBLEMA 3

Calcular la base y la altura de un triángulo cuya área mide 2m2, si la base mide 3m más que la altura.

Sol:Sean: h = la altura del triángulo h + 3 = base del triángulo.

La fórmula que nos permite calcular el área de un triángulo, conocida su base y su altura es:

Luego:

………..…De acuerdo con el enunciado del problema

……………………….… efectuando las operaciones

…………………………… efectuando operaciones.

……………………. Organizando la ecuación.

Luego:

De acuerdo con las condiciones del problema, la respuesta sería: h = 1m (altura) y por tanto h + 3 = 1 + 3 = 4m (base).

PROBLEMA 4

Halla dos números enteros positivos cuya suma sea 19 y su producto sea 78.

Sol:Sea: X el primer entero.19 – X el segundo número (ya que sumados deben dar 19)

Luego:

…………………. De acuerdo con el enunciado.

…………………………. Efectuando operaciones

………………. Organizando la ecuación.

………………….. Reorganizando los signos.

………………… factorizando.

Por tanto:

…………… solución de la ecuación.

De modo que los números son 6 y 13

PROBLEMA 5

La longitud de una sala excede en 4m a su ancho. Si cada dimensión aumenta en 4m, el área se triplica. Halla las dimensiones de la sala.

Sol:Sean: X = ancho de la sala X + 4 = largo de la sala.

= área de la sala (por ser rectangular)

Ahora:

X + 4 = el nuevo ancho (aumentado en 4m)X + 4 + 4 = X + 8 = el nuevo largo (aumentado en 4m)

Por tanto.…………… según el problema

…………realizando operaciones

……….organizando la ecuación

……………………..efectuando operaciones

…………………………despejando el valor de X

……… resolviendo.

Por tanto la solución es:

. Ya que no puede existir una medida negativa.Así:

Largo de la sala = x + 4 = 4 + 4 = 8mAncho de la sala = x = 4m

ACTICLASS Nº3

Resuelve los siguientes problemas

1. Halla dos números enteros pares consecutivos, tales que su producto sea 624.

2. Si la suma de un número más su reciproco es

, ¿cuál es el número?

3. La suma de dos números es 23 y su producto es 102. ¿cuáles son los números?

4. Encuentra la base y la altura de un triángulo cuya área mide 24 cm2, si su altura es 2 cm más larga que su base.

5. Si el largo y el ancho de un rectángulo de 2cm y 4cm, respectivamente, aumentan en la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo medirá el triple de la original. ¿cuáles son las dimensiones del nuevo rectángulo?

6. Encuentra las dimensiones de un rectángulo cuya área es 34m2 y su perímetro es 24m.

7. La longitud de una finca es el doble del ancho. Si la longitud se aumenta en 40m y el ancho en 6m, el área se hace el doble. Halla las dimensiones del terreno.

8. Encuentra dos enteros impares consecutivos, tales que su producto sea 255.

9. La suma de una número y su reciproco es 3. Halla el número.

10. La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Halla los números.

11. El cuadrado de un número es igual al número. ¿cuál es este número?


12. Cuatro veces el cuadrado de un número más 5 veces este número es igual a cero. ¿cuál es el número?

13. ¿A qué número hay que sumarle 42 para obtener su cuadrado?

14. La suma de un número con su cuadrado es 21. ¿qué números satisfacen esta condición?

15. Al doble de cierto número hay que agregarle 15 para obtener su cuadrado. ¿cuál es el número?

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