guia de estudios de matematicas ii

Gua de Ejercicios de

Matemticas II

Bachillerato

Universidad de ciencias y

tecnologa Descartes

CICLO ESCOLAR 2014/2015 -2

Introduccin

La presente gua de estudios es un instrumento educativo que sirve para orientar y

auxiliar en el proceso de aprendizaje enseanza de la asignatura de MATEMATICAS

II, contenida en el plan de estudios a nivel bachillerato.

Est concebida para asistir a los estudiantes, durante su proceso formativo en las

ciencias exactas. En este sentido se pretende fortalecer la formacin educativa del

estudiante para que sea capaz de alcanzar los conocimientos generales con

respecto a los objetivos fundamentales de la materia. La gua ofrece una visin

adecuada, clara y precisa de la estructura y contenidos de la asignatura

Matemticas II para implementar una estrategia de estudio que lo habilite para

poder presentar los exmenes correspondientes con resultados positivos.

OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA

Al finalizar el segundo curso de Matemticas, a travs de las diversas actividades

encaminadas al desarrollo de habilidades y a la comprensin de conceptos y

procedimientos, el alumno:

1. Incrementa su capacidad de resolver problemas, al incorporar estrategias y procedimientos para realizar construcciones geomtricas y para comprender o

proporcionar argumentos que justifican un enunciado. 2. Percibe que existe una estructura en los conocimientos de la Geometra

Euclidiana y que sta estudia figuras y cuerpos presentes en su entorno. 3. Identifica relaciones y patrones de comportamiento en diversas situaciones o

problemas geomtricos y a partir de esto, establece conjeturas o infiere algunas

conexiones entre resultados. 4. Valora la importancia de proporcionar una argumentacin como la va que

otorga validez al conocimiento geomtrico. 5. Percibe a la Trigonometra como una herramienta de gran utilidad que combina

aspectos del lgebra, la Aritmtica y la Geometra.

6. Aplica conceptos, procedimientos y resultados de la Geometra Euclidiana y de la Trigonometra, para resolver problemas.

7. Avanza en la comprensin del concepto de funcin, distingue las diferencias y similitudes entre las funciones lineales y cuadrticas. Modela con estas ltimas, algunas situaciones de variacin cuadrtica y de optimizacin.

UNIDAD I FUNCIONES CUADRTICAS

Objetivo de unidad: Continuar con el estudio de funciones a partir del estudio de

situaciones que varan en forma cuadrtica; contrastar este tipo de variacin con la

lineal. Analizar el comportamiento de las grficas de funciones cuadrticas en

trminos de sus parmetros e iniciar la resolucin de problemas de optimizacin

con mtodos algebraicos.

1.1 Situaciones que involucran cambio y que dan origen a funciones cuadrticas. Realice la grfica de las siguientes funciones cuadrticas.

1. 2xy

2. 122 xxy

3. 31 2 xy 4.

2xy

5. 42 2 xy

6. 13 2 xy

7. 32 xy

8. 23 xy 9. 242)( 2 xxxf

10. 63)( 2 xxf

1.2 Comparacin de la funcin cuadrtica con la funcin lineal.

2 22)( 2 xxxf

Grado:________ Coeficiente principal:________ Termino: independiente:_______

3 1342)( 234 xxxxxf


4 xxf 4)(


5 853

2)( 3 xxxf


6 5342)( 2456 xxxxxf


7 3)( xf


8 xxxxf 435)( 38


9 xxf 2)(


10 85)( xxf


10.1 Intersecciones de la grfica de una funcin cuadrtica con el eje x.

1. Encuentre las intersecciones con el eje x de las siguientes ecuaciones

Cuadrticas.

1. f (x) = x2 - 6x + 8

2. f (x) = -x2 + 6x + 16

3. f (x) = 2x2 3x -5

4. f (x) = x2 3x - 28

5. f (x) = - x2 +4x + 5

6. f (x) = x2 -10x + 24

7. f (x) = (x 2 )2 9

8. f (x) = 3x2 + 4x 15

9. f (x) = - 2x2 3x + 20

10.f (x) = x2 -4x - 5

10.2 Estudio grfico y analtico de la funcin: y = ax2 + bx + c, casos particulares:

y = ax2,

y = ax2 + c,

y = a(x - h)2 ,

y = a(x - h)2 + k.

10.3 Concavidad, mximo o mnimo. Encuentra la concavidad y determina si se trata de un mnimo o mximo en las

siguientes Ecuaciones

1. f (x) = x2 - 6x + 8

2. f (x) = -x2 + 6x + 16

3. f (x) = 2x2 3x -5

4. f (x) = x2 3x - 28

5. f (x) = - x2 +4x + 5

6. f (x) = x2 -10x + 24

7. f (x) = (x 2 )2 9

8. f (x) = 3x2 + 4x 15

9. f (x) = - 2x2 3x + 20

10.f (x) = x2 -4x - 5

1.6 Problemas de mximos y mnimos. Resolucin algebraica. Resuelva los siguientes problemas relacionados con las funciones cuadrticas.

1. Se necesita formar un rectngulo, tal que su permetro sea igual a 40 cm. Cules son las dimensiones, si se desea que su rea sea mxima?

2. La suma de las longitudes de los catetos de un tringulo rectngulo es de 20 cm. Calcular las longitudes de los catetos para que el rea del tringulo sea mxima. Cul es el rea mxima?

3. El costo de produccin de un artculo esta dado en funcin del nmero de unidades

producidas del mismo, por la ecuacin 202.06.05)( xxxC , donde x es el

nmero de unidades. Determina el nmero de unidades a producir para que el costo sea mnimo

4. Una compaa encuentra que su costo de producir x unidades diarias esta dado por la

ecuacin 40050)( 2 xxxC . Si cada unidad se vende en $250, encuentre la

cantidad de unidades que tiene que producir y vender para que la utilidad sea mxima De cunto es esta utilidad?

5. Una agencia de turismo quiere hacer una promocin para los viajes por centros histricos, el costo del boleto por persona es de $200, pero anuncian que si el nmero excede de 20, el costo disminuir en $0.50 por cada persona que exceda de 20 Cul es el nmero personas que exceden de 20 para obtener la mxima utilidad?

6. Se disponen de 600 metros de malla para cercar un terreno rectangular tal que su rea sea mxima.

7. Se descompone el nmero 30 en dos nmeros tales que su producto sea mximo.

8. Obtener dos nmeros tales que sumen 50 y la suma de sus cuadrados sea mnima.

9. La distancia entre A y B es de 200 m, dos mviles parten al mismo tiempo de A y B. el mvil que parte de A lleva una velocidad de 40 Km./h y el de B 30 Km./h A cunto tiempo la distancia entre los dos vehculos es mnima(ver grfica)?

UNIDAD II CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMTRICOS BSICOS.

Objetivo de unidad: A travs de construcciones con regla y comps, explorar las

propiedades de las figuras elementales y algunos conceptos bsicos de la Geometra

Euclidiana. Reconocer patrones de comportamiento geomtrico que permitan

plantear conjeturas para proceder a su validacin emprica.

2.1 Construcciones con regla y comps

Segmentos congruentes.

ngulos congruentes. Mediatriz y determinacin del punto medio de un segmento. Bisectriz de un ngulo dado. Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto: a) que pertenece a la recta.

b) Fuera de ella

1. Realizar las figuras correspondientes de los elementos mencionados, en papel

milimtrico con regla y comps

2. Escriba las definiciones de los siguientes ngulos

1. Escriba definicin de ngulo:

2. Escriba la definicin de bisectriz:

3. Cunto mide un ngulo agudo?

4. Un ngulo obtuso mide:

5. Un ngulo recto mide

6. Un ngulo llano mide:

7. Un ngulo de una vuelta mide:

8. De la caracterstica de los ngulos adyacentes

9. Dos ngulos son complementarios cuando suman:

10. Dos ngulos son suplementarios cuando suman:

11. Dos ngulos opuestos por un vrtice son

3. Hallar el ngulo que es igual a su complemento

4. Hallar el ngulo que es igual al doble de su complemento

5. Hallar un ngulo y su complemento que estn en relacin 3:4

6. Hallar el ngulo que es igual a su suplemento

7. Hallar un ngulo y su suplemento que estn en relacin 3:1


9. Hallar dos ngulos que estn en relacin 3:4 y suman 70


2.2 Tringulos

1. De la definicin de triangulo:

2. Los puntos de interseccin se llaman:

3. Los segmentos determinados se llaman:

4. Cules son los elementos de los tringulos:

5. Caractersticas de un tringulo issceles:

6. Caractersticas de un tringulo equiltero:

7. Caractersticas de un tringulo escaleno:

8. Un tringulo acutngulo tiene:

9. Un tringulo acutngulo tiene:

10. Un triangulo rectngulo tiene

11. Dibuja un tringulo rectngulo indicando sus elementos:

12. En un triangulo la mediana es:

13. El punto de interseccin de las medianas se llama:

14. En un triangulo la altura mediana es:

15. El punto de interseccin de las alturas se llama:

16. En un triangulo la bisectriz es:

17. El punto de interseccin de las bisectrices se llama:

2.2.1 Reproduccin de un tringulo a partir de condiciones dadas (LAL, LLL, ALA)

1. Menciona la clasificacin de los tringulos de acuerdo a sus lados y

dibjalos

2. Menciona la clasificacin de los tringulos de acuerdo a sus ngulos y

dibjalos

3. Realiza los dibujos de un triangulo de acuerdo con las condiciones dadas

(LAL, LLL, ALA).

2.2.2 Desigualdad del tringulo.

2.2.3 Rectas notables en el tringulo: mediatriz, bisectriz, mediana y

altura. 2.2.4 Puntos notables de un tringulo:

2.2.5 Circuncentro, Incentro Baricentro y Ortocentro.

1. Encuentra en un triangulo las rectas y puntos notable y dibjalas a) Las alturas en un triangulo, Obtusngulo, Equiltero, Rectngulo. b) Las Medianas.

c) Las mediatrices en un triangulo Obtusngulo, Equiltero, Rectngulo d) Las Bisectrices.

e) Circuncentro, Incentro Baricentro y Ortocentro.

2.2.6 Reproduccin de polgonos por triangulacin.

1. Realiza por medio de triangulacin los siguientes polgonos

a) Pentgono

b) Hexgono

c) Heptgono

d) Octgono

e) Nongono

2.3 Circunferencia

2.3.1 Rectas y segmentos. 1. Define las rectas y segmentos de una circunferencia

1 Radio 2 Dimetro 3 Cuerda 4 Arco 5 Tangente 6 Secante

2.3.2 Rectas tangentes a una circunferencia A) Desde un punto sobre ella.

b) Desde un punto fuera de ella.

2.3.2 Localizacin del centro de una circunferencia dada.

UNIDAD III CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.

Objetivo de unidad: Ilustrar el papel de la demostracin en los resultados

de la Geometra e iniciar al alumno en el mtodo deductivo. Trabajar la Congruencia y Semejanza de tringulos, as como el teorema de Pitgoras.

3.1 Congruencia.

Completa dos tringulos son iguales si: a) Tienen un lado _________ y los ngulos____________son iguales_____________

b) Tienen dos ________iguales y el ngulo________entre ellos son______respectivamente

c) Tienen ____ lados________

Completa dos tringulos rectngulos son iguales si: a) La ___________y un___________son iguales

b) Un ________y el ngulo________son iguales

c) Un cateto y el ngulo____________son iguales

d) Los dos ____________ son iguales

3.1.1 Congruencia de complementos y suplementos de ngulos congruentes.

4. Si AOC =COB estn a una razn de 2:3 Cunto mide cada uno? C

A B

O

5. Si AOD =2x, DOC=5x y COB=3x Cunto mide cada uno? D C

5x

A 2x 3x B

O

6. Si AOD es recto y AOD y AOD estn en la relacin 4:5 Cunto vale cada uno? B

C

O A

7. Si AOD es recto y DOC=2x , COB=3x y AOB=4x Cunto vale cada uno?

D C

B

O A

8. Hallar el ngulo que es igual a su complemento

9. Hallar el ngulo que es igual al doble de su complemento


11. Hallar el ngulo que es igual a su suplemento

12. Hallar un ngulo y su suplemento que estn en relacin 3:1




16. Encuentra las medidas de los ngulos AOB y BOC. B

(6x + 40) (5x)

C A

O 17. Encuentra las medidas de los ngulos AOB y BOC.

B

(8x 10) (6x 4) C O A

3.1.2 Congruencia de ngulos opuestos por el vrtice. Justificacin.

1. Demostrar que los AOD =COB A C

O

D B

11. Encontrar el valor de cada ngulo de la siguientes figuras A C C B

2x O

4x 6x O 5x D B A D

12.Hallar la medida del ngulo AOB y BOC

C B

(7x + 53)

O

(3x + 85)

D A

4. Encuentra los valores de x Y y

C (18x+8y) B

34 (4x + 14) O

D A


C (15x+10y) B

25

O (7x + 10p)

D A


A (15x+8) (5x + 2) (6x - 8)

B

C 3.1.3 Construccin de la recta paralela a otra por un punto dado.

a) Postulado de las rectas paralelas.

1 2

4 3

5 6 8 7

a) Identifica y define los ngulos que se forman con las rectas paralelas que se

cortan por una secante. b) ngulos alternos internos

c) ngulos alternos Externos d) ngulos Correspondientes e) ngulos Conjugados

3.1.4 Congruencia de ngulos entre rectas paralelas cortadas por una

secante. a) Indica las propiedades que relacionan los pares de ngulos, cuando una

transversal corta a dos rectas paralelas.

b) ngulos alternos internos c) ngulos alternos Externos

d) ngulos Correspondientes e) ngulos Conjugados

Realiza los siguientes ejercicios

1. En la siguiente figura el ngulo 3 mide 125 ; encuentra la medida de los

dems ngulos , si AB|| CD

1 2

A B 4 3

C 5 6 D

3.1.5 ngulos internos y el ngulo externo de un tringulo.

a) Relacin entre el ngulo externo y el ngulo interno. Justificacin

b) Suma de ngulos interiores de un tringulo. Justificacin.

c) Suma de ngulos interiores y exteriores de un polgono regular.

1. Encuentra la medida del ngulo C de un pentgono cuyos ngulos interiores se

representan con:

b) La suma de los ngulos interiores.

f) El nmero total de diagonales que se puede trazar en el polgono

c) La medida de cada ngulo interior

9. Un polgono regular tiene 15 lados. Encuentra:

a) La suma de los ngulos interiores

b) El valor de cada ngulo interior

c) La medida de cada ngulo exterior

d) El nmero total de diagonales que se puede trazar en el polgono

10. Los ngulos interiores de un polgono regular suman 1440, Halla:

a) El nmero de lados.

b) La suma de los ngulos interiores.

c) El nmero total de diagonales que se puede trazar en el polgono

d) La medida de cada ngulo interior

11. Determina cuntos lados tiene un polgono convexo en el que puede trazar

desde todos sus vrtices:

a) 20 Diagonales

b) 44 diagonales

12. Determine el nmero de lados de un polgono regular en el cual la medida de

uno de los ngulos interiores es:

a) 170

b) 144

c) 108

d) 60

13. Determina el nmero de lados que tiene un polgono si la suma de sus ngulos

interiores es de 3600

14. Encuentra el nmero de lados que tiene un polgono regular se:

a) Su ngulo interior es de 165

b) Su ngulo exterior es de 5

c) La suma de sus ngulos interiores es de 1080

d) Su ngulo central mide 60

3.1.6 Congruencia de tringulos

En dos tringulos congruentes seala cuales son los lados y ngulos congruentes.

3.1.7 Criterios de congruencia de tringulos.

Dos tringulos son congruentes cuando sus tres pares de lados y ngulos tambin lo son: menciona los criterios para los tringulos congruentes.

a) Criterio LLL b) Criterio LAL

c) Criterio ALA

3.1.8 Justificacin de las construcciones de:

a) Bisectriz de un ngulo.

b) Mediatriz de un segmento c) Perpendicular a una recta.

3.1.9 Teorema del tringulo issceles y su recproco. Justificacin. 3.1.10 Relacin entre el ngulo central e inscrito en una circunferencia.

Justificacin.

.Escribe las siguientes definiciones de ngulos de una circunferencia

a) ngulo central:

b) ngulo inscrito :

c) ngulo semi-inscrito

d) ngulo ex-inscrito:

e) ngulo adyacente :

f) ngulo interior:

g) ngulo exterior :

o

o

o

o

B

o

2. Para las siguientes figuras

A

AB=100

B

Cunto vale el AOB? A

B AC=150

C

Cunto vale el ABC?

C A

BC=220

B

Cunto vale el ABC?

A E

A

BD=20

AC=80

B D

C

Cunto vale el BCD?

A C

DC=60

E AE=130 D

Cunto vale el DBC?

o

o

o

o

A

C AOB=70

B

Cunto vale el ACB?

A

C BOC=40

B

Cunto vale el BAC? A D

ABC=80

B C DC=35

Cunto vale el AD?

E F D ED paralela a FB

C BD=30

B AF=100

A

Cunto vale el BCD Y AE?

3.2 Semejanza y teorema de Pitgoras

Semejanza

1 Dos tringulos son semejantes cuando tienen sus tres ngulo respectivamente__________

13. Son lados homlogos aquellos que se oponen ngulos__________

14. Cuando el ABCABC se tiene la propiedad del________ 15. Cuando el ABCABC se cumple ABCABC se tiene la propiedad

del________

16. Cuando el ABCABC y ABCABC se cumple ABCABC se tiene la propiedad del________

17. Se llama ____________a la razn entre lados homlogos 18. Dos tringulos son semejantes si tienen dos ________ respectivamente_______ 19. Dos tringulos son semejantes si tienen dos ________ proporcionales y el

_________comprendido 20. Dos tringulos son semejantes si tienen tres ________ proporcionales 21. Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo _________igual 22. Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen sus ________ proporcionales 23. Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un _________ y la ________

proporcionales 24. En dos tringulos son semejantes las alturas correspondientes son proporcionales a sus

_______________

3.2.1 Divisin de un segmento en n partes iguales. Construcciones.

1 Con regla y compas dibuja los segmentos siguientes

a) Segmento de 15 cm y divide en 5 partes iguales b) Segmento de 20 cm y divide en 4 partes iguales c) Segmento de 30 cm y divide en 10 partes iguales

d) Segmento de 18 cm y divide en 6 partes iguales e) Segmento de 12 cm y divide en 3 partes iguales

f) Segmento de 16 cm y divide en 4 partes iguales 3.2.2 Teorema de Thales y su recproco.

1. Verifica que los tringulos que se indican sean semejantes (utiliza los

criterios de semejanza de tringulos, teorema de thale )

a) ABC~AED B

E

A D C

b) ABC~EDC B

D

A E C

BD = 16

DC = 4

AE = 20

EC = 5

c) C CD = x AD = 12

CE = 9 D E EB = 15

AB||DE

A B

d) B

AB = 36 AC = 24 D D DE = 5x + 1

EC = 2x + 6 DE||AB

A E C

e) B

AB = 4x +4 DE = 3x -1

BE = 18 E EC = 30 AB||DE

A D C

3.2.3 Criterios de semejanza de tringulos.

3.2.4 Teorema de la altura de un tringulo rectngulo. Justificacin.

1. Un hombre de 1.75 m de estatura proyecta una sombra de 3.5 m. Calcula

la altura de un rbol que al mismo tiempo proyecta una sombra de 14 m. B

14 m C 3.5 m R

2. Se coloca un objeto de 0.9 m de altura a 3 m de una fuente luminosa,

como se muestra en la figura. Calcula la altura de la imagen del objeto en

una pantalla colocada a 10 m de la fuente.

M N h

0.9

3m

10 m 3. Un nio de 1.5 m de altura proyecta una sombra de 2 m. Calcula la altura

de un poste que al mismo tiempo proyecta una sombra de 6 m.

6 m 2 m

3.3 Teorema de Pitgoras y su recproco. Justificacin.

1. Encuentra el valor que falta en cada uno9 de los siguientes ejercicios, segn el tiangulo

de la figura. a c b

a) Si a = 5 b = 12 c = ?

b) Si a = 15 b = 24 c = ?

c) Si b = 16 c = 65 a =

d) Si a = 14 c = 25 b =

e) Si a = 8 b = 6 c =

f) Si a = 1 b = 2 c =

g) Si a = x b = x c = 62

h). Si a = 12 c = 20 c =

2. Resuelve los siguientes problemas de aplicacin:

a) Calcular la longitud de un cable apoyado a 6 metros de altura y a 8 metros de su base.

b) La altura con respecto al vrtice B de un triangulo mide 8cm, los lados que contienen B miden 6 y 17 cm. respectivamente Cul es la longitud del tercer lado?

c) Cul es el permetro de un rombo cuyas diagonales miden 48 y 90 cm respectivamente?

d) Un rectngulo tiene 248 cm. de permetro, uno de sUs lados mide 96 cm. Cunto mide cada una de sus diagonales?

e) Si las diagonales de un rombo 12 y 16 cm. respectivamente Cunto miden cada uno de

sus lados?

f) Si un punto A tiene como coordenadas (24,70) Cul es la distancia del punto al origen? g) La distancia del origen a un punto A es de 34 unidades, y se sabe que tiene como abscisa

30 Cul es la ordenad de dicho punto? h) Si una resbaladilla tiene una altura de 2 m respecto al suelo y el extremo de la misma esta

situado a 3 m de la escalera Cunto mide la longitud de de la resbaladilla? i) Una pirmide tiene como base un cuadrado de lado 25 m y la altura de 50 m Cul ser la

distancia que deba subir una persona hasta la punta de la misma?

j) Se tiene una cuerda de 20 m y se coloca un extremo en la punta de un rbol y el otro en el suelo a una distancia de 7m de la base del rbol Cul es la altura del rbol?

UNIDAD IV PERMETROS, REAS Y VOLMENES

Objetivo de unidad: Aplicar conocimientos algebraicos y geomtricos

adquiridos en unidades anteriores, en la resolucin de problemas sobre figuras y cuerpos que involucren exploraciones geomtricas, deducciones y

clculos numricos. Propiciar el desarrollo de la imaginacin espacial. 4.1 Medida en geometra.

a) Qu es medir longitudes, reas y volmenes? b) Permetro de un polgono regular.

c) Medida aproximada de la longitud de la circunferencia. Obtencin emprica de la frmula.

d) rea del rectngulo.

e) Volumen de un prisma recto.

1. Halla el rea de un rectngulo si su base mide 25 cm y el permetro 90 cm. 2. Determina el rea de un rectngulo si su altura mide 30 pulgadas y su

permetro 140 pulgadas

3. Encuentra el rea de un rectngulo si su base mide 5m y su diagonal 13 m.

4. Halla el rea de un rectngulo si su altura es de 24 cm y su diagonal mide 74

cm.

5. Determina el rea de un cuadrado cuyo permetro es de 80 pulgadas.

6. El rea de un cuadrado es de 625 cm2 , encuentra la longitud de sus lados

7. Encuentra la base de un paralelogramo si su altura es de 15 cm y su rea de

300 cm2.

8. La base de un paralelogramo es el triple de su altura; si su rea es de 27

cm2, halla la longitud de su base.

9. Determina el rea de un tringulo con base de 20 cm y altura de 12 cm.

10. Encuentra el rea de un triangulo rectngulo cuyos catetos miden 28 y 8 pies

respectivamente.

11. Halla el rea de un triangulo equiltero cuyo permetro es de 30 cm

12. Encuentra el area de un rombo si sus diagonales miden 12 y 8 cm respectivamente.

13. El rea de un rombo es de 35 cm2 , y una de sus diagonales mide 7 cm. Halla la longitud de la otra diagonal.

14. La base de un trapecio mide 9 y 11 pies, respectivamente. Si su rea es de 60 pies2, encuentra la longitud de su altura.

15. Halla el rea del trapecio ABCD.

B b C

b = 25 cm

b = 15 cm h = 7 cm h

A b D

16. Encontrar el rea b = 20 cm

10 cm 6 cm

17. Encontrar el rea

b =

13cm h

5 m 5 m

4.2 Clculo de reas por descomposicin y recomposicin de figuras.

a). Obtencin de la frmula del rea del: tringulo, trapecio, rombo y paralelogramo. b) Obtencin de la frmula del rea de un polgono regular dado el

apotema.

1. Definir que es el apotema de un polgono regular

2. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio3cm, cuyo

lado es 32 cm.

3. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 5cm, cuyo

lado es 53 cm.

4. Si el lado de un hexgono regular inscrito en una circunferencia de radio 9 cm. vale 9 cm. hallar el valor del hexgono circunscrito en la misma circunferencia.

5. Si el lado de un octgono regular inscrito en una circunferencia de radio 6cm vale

cm226 hallar e valor del polgono de 16 lados inscrito en la misma circunferencia.

6. Si el lado de un cuadrado regular inscrito en una circunferencia de radio 7cm vale

cm27 hallar el valor del cuadrado circunscrito en la misma circunferencia.

7. El permetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 202 cm. calcular el valor del dimetro. Calcular el lado de un hexgono regular inscrito circunferencia de radio 10cm,

8. Calcular la apotema y lado de decgono inscrito en una circunferencia de radio2cm,

sabiendo que el lado del pentgono inscrito vale cm5210 .

9. Calcular el lado de un pentgono regular inscrito en una circunferencia de radio 8 cm

10. Calcular el lado de un octgono regular inscrito en una circunferencia de radio7cm,

4.3 Clculo aproximado del rea del crculo. Obtencin emprica de la

frmula. Razn entre permetros y entre reas de tringulos semejantes.

1. Calcular el permetro y rea de una circunferencia de radio 6 cm.

2. Calcular el permetro y rea de una circunferencia de radio 22 cm.

3. Cul es radio de de una circunferencia cuyo permetro es de 120 cm?

4. Cul es el rea de una circunferencia cuyo dimetro es 20 cm?

5. Cul es el radio de una circunferencia de rea 90 cm2?

6. Calcular el rea de una corona circular donde el radio mayor mide 8 cm. y el menor 5cm.

7. Calcular el rea de una corona de una moneda de $5

8. Calcular el rea de un sector circular cuyo radio mide 12 cm. y la longitud del arco es de 8 cm.

4.4 Problemas de longitudes y reas que involucren semejanza, congruencia y teorema de Pitgoras.

1. Calcular el rea en blanco figuras

El cuadrado tiene lado 2cm el triangulo equiltero de lado 3cm

El cuadrado tiene lado 2cm el triangulo equiltero de lado 3cm

1. Para la siguiente figura ABCD de rea 49 cm. calcular a) El valor de x

b) El rea sombreado de cada figura c) El rea total sombreada d) El permetro de la figura

x

2 2

x

x

2

2 2

2. Cul es el rea de un rectngulo cuya diagonal es de 9 cm. y la altura es de 2 cm?

3. Calcular el rea de un hexgono regular de lado 3cm y apotema de 1.5 cm.

4. Hallar el rea de un cuadrado cuya diagonal mide 42 cm. 5. Si se aumentan en dos cm. los lados de un cuadrado su rea aumenta en 36cm2 cual es el

lado del cuadrado.

b) Problemas que involucren reas y volmenes de prismas, cilindros rectos y conos rectos, donde sea necesario aplicar

conocimientos de congruencia: semejanza, y teorema de Pitgoras.

1. Si ABCD es un paralelogramo, halla el valor de y

B 16y +4 C

5x-6 54

A 7x D

2. Si ABCD es un paralelogramo, halla el valor de a

B 5x +3a C

23 3x + 8

A 37 D

3. Si ABCD es un paralelogramo, halla el valor de x Y y

B 24 C

25 5x + 15

A D

2x + 4y

UNIDAD IV ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA.

Objetivo de unidad Mostrar a las razones trigonomtricas como una

herramienta y un modelo en la solucin de problemas de diversos campos del conocimiento. Iniciar, asimismo, un nuevo saber matemtico que

culminar posteriormente con el estudio de las funciones trigonomtricas.

5.1 Razones Trigonomtricas Seno, Coseno y Tangente, para ngulos agudos.

1. Escribe la relacin de las funciones trigonomtricas directas ( Seno Coseno

y Tangente) de acuerdo con la figura siguiente.

B

a c

C b A

5.2 Valores inversos de las razones seno, coseno y tangente.

1. Escribe la relacin de las funciones trigonomtricas inversas ( Cotangente

, Secante y cosecante) de acuerdo con la figura siguiente.

B

a c

C b A

5.3 Solucin de tringulos rectngulos: 11. Conociendo un ngulo y un lado.

12. Conociendo dos lados.

1. Encuentra los valores de las funciones trigonomtricas para el ngulo A

del tringulo rectngulo.

B

c a = 91

A b = 60 C

2. Calcula los valores de las funciones trigonomtricas para el ngulo A del tringulo rectngulo de la fig.

B c a = 3

A b = 4 C

3. Determina los valores de las funciones trigonomtricas para el ngulo A del tringulo rectngulo de la fig.

B

c a = 15

A b = 8 C

4. Halla los valores de las funciones trigonomtricas para el ngulo B del triangulo rectngulo de la fig.

B

c = 15 a =

A b = 5 C

5. Encuentra los valores de las funciones trigonomtricas para el ngulo B

del triangulo rectngulo de la fig.

B

c a = 1

A b = 1 C

6. Calcula los valores de las funciones trigonomtricas para el ngulo B del

tringulo rectngulo de la fig.

B c = 10 a =

A b = 6 C

7. Calcula los valores de las funciones trigonomtricas para el ngulo A del tringulo rectngulo de la fig.

B

c = 2 a = 3

A b = C

8. Halla el valor de las funciones trigonomtricas para el ngulo B del triangulo rectngulo.

B

c a = 70

A b = 24 C 9. Encuentra los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo A del

triangulo. B

c a = 21

A b = 20 C

10. Dado Sen = 8/17, Calcula el valor de las dems funciones

trigonomtricas

11. Dado tan = 12/35, Calcula el valor de las dems funciones

trigonomtricas.

12. Dado cos = 24/25, Calcula el valor de las dems funciones trigonomtricas

13. Dado csc = 11/16, Calcula el valor de las dems funciones trigonomtricas.

14. Dado cot = 2, Calcula el valor de las dems funciones trigonomtricas

15. Dado Sec = 13/2, Calcula el valor de las dems funciones

trigonomtricas.

16. Dado csc = 5, Calcula el valor de las dems funciones trigonomtricas.

17.Dado cos = 35/12, Calcula el valor de las dems funciones trigonomtricas.

18. Dado Sec = 5/3, Calcula el valor de las dems funciones trigonomtricas.

5.4 Razones seno, coseno y tangente de los ngulos de 15, 30, 45,

60 y 75. 1. Por medio de los siguientes tringulos. Encuentra los ngulos que se

muestran en la tabla siguiente

C B

X= 2 x = 2 c a =1

A x = 2 C A b= 1 C

ngulo 15 30 45 60 75

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

5.5 Las razones recprocas del seno, coseno y tangente.

5.6 Resolucin de problemas.

1. ngulo de elevacin,

2. ngulo de depresin

3. Problemas de aplicacin.

1. Un leador ubicado a 200 pies de la base de una secoya, observa que el ngulo entre el suelo y parte superior del rbol es de 60. Calcula la altura del rbol.

2. En las llanuras de Salisbury, Inglaterra fue construida utilizando bloques de piedra maciza que pesaban hasta 9 000 libras cada uno. Levantar una sola de estas piedras requera de unas 550 personas, quienes suban la piedra por una rampa inclinada a un ngulo de 9. Calcula la distancia en que movan una piedra para levantar a una altura de 30 pies.

3. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 pies de la base de una torre, el ngulo de elevacin a la parte ms alta de la torre es 5720. Calcula la altura de la torre.

4. Desde lo alto de un edificio que mira al mar, un observador avista una lancha que navega directamente hacia l edificio. Si el observador est a 100 pies snm (sobre el nivel del mar) y el ngulo de depresin de la lancha cambia de 25 a 40 durante el periodo de observacin, calcula la distancia que recorre la lancha.

5. Dos barcos salen de puerto al mismo tiempo, uno de ellos en direccin N23E a una velocidad de 11 millas por hora y el segundo en direccin 567E a 15 millas por hora. Calcula el rumbo del segundo barco con respecto al primero, una hora despus.

6. Una persona que hace volar una cometa sostiene la cuerda a 4 pies sobre del nivel del suelo. La cuerda de la cometa est tensa y hace un ngulo de 60 con la horizontal. Calcula la altura de la cometa sobre el nivel del suelo, si sueltan 500 pies de cuerda.

7. Un piloto que vuela a una altitud de 5000 pies, desea aproximarse a los nmeros de una pista a un ngulo de 10. Calcula, a los 100 pies ms cercanos, la distancia del avin a los nmeros al principio del descenso.

8. Un cable est sujeto a lo alto de una antena de radio y un punto en el suelo horizontal que est a 40.0 metros de la base de antena. Si el alambre hace un ngulo de 5820 con el suelo, calcula la longitud del alambre.

9. Un cohete es disparado al novel del mar y sube a un ngulo constante de 75 hasta una distancia de 10 000 pies. Calcula su altitud al pie ms cercano.

10. Un constructor desea construir una rampa de 24 pies de largo que se levanta a una altura de 5 pies sobre el nivel del suelo. Calcula el ngulo de la rampa con la horizontal.

11. Un octgono regular est inscrito en un crculo de 12.0 cm. de radio. Calcula el permetro del octgono.

12. La estructura natural hecha por e hombre, en el mundo, es una torre transmisora de televisin situada en Fargo, Dakota del norte. Desde una distancia de 1 milla a nivel del suelo, su ngulo de elevacin es de 21 2024. Determina su altura.

13. Un avin que vuela a una altitud de 10 000 pies pasa discretamente sobre un objeto fijo en el suelo. Un minuto despus el ngulo de depresin del objeto es de 42. Calcula la rapidez del avin a la milla por hora ms cercana.

14. La torre Eiffel. Cuando se observa la parte ms alta de la torre Eiffel desde una distancia de 200 pies de su base, el ngulo de elevacin es 79.2, calcula la altura de la torre.

15. La gran pirmide de Egipto mide 147 metros de altura, con una base cuadrada de 230

metros por lado. Aproxima, al grado ms cercano, el ngulo que se forma cuando un observador se sita en el punto medio de uno de los lados y observa la cspide de la pirmide.

16. Para nueva carretera debe excavarse un tnel bajo la montaa que mide 260 pies de altura. A una distancia de 200 pies de la base de la montaa, el ngulo de elevacin es de 36. De una distancia de 150 pies en el otro lado, el ngulo de elevacin es de 47. Calcula la longitud del tnel al pie ms prximo.

5.7 Identidades trigonomtricas fundamentales:

a) Las recprocas.

b) Las de divisin.

c) Las pitagricas.

1. TantSect

Csct

2. TantCostSect

3. 1CostSect

4. tSentCostCos 22121

5. SenttSecCost 1

6. 1

2

2

2

2

tSec

tCos

tCsc

tCsc

7. Sect

SentSent1

11

8. TantSentCostSect

9. CostSectSenttTanCscttCot

10. sen t (csc t sen t) = cos2 t

11. (cos2 t - 1) (tan2 t + 1) = 1- sec2 t

12. tCsctTan

tTan 22

21

13. CscttSec

tCot

tCsc

)(

)(

)(

1

14. uSenuSec

uSec2

2

12 22

2

15. Sent

SentTantSect

1

12

16. 1322 CosSen

5.8 Resolucin de tringulos oblicungulos.

1. Ley de los senos y cosenos.

2. Problemas donde intervienen tringulos oblicungulos.

. Considerando la siguiente figura resuelve los ejercicios aplicando la ley adecuada

C

b a

A c B

1. B=12.67 , C=100 y b=13.1

2. A=41 , B=77 y c=100

3. a=25, b= 80, c= 60

4. A=60, b=20, c=30

5. A=40.3, B=62.9 b=5.63

6. A=80.1, a=8.0, b=3.4

7. a=4.5 , b=6.3 y C=60

8. A=32, B=48 y a=10

9. b=3.4, c=2.8 y A=82

10. a=45, b=67 y C=35

11. a=10.5, b=40.8 y C=120

12. b=38, c=42 y A=135.5

13. B=48 ,A=43.4 y c=8.6

14. C=73.2, A=13.7 y c=20.5

Aplicaciones prcticas

Resuelve los siguientes problemas aplicando las leyes de los senos y cosenos segn sea el

caso.

a) Se requiere determinar el rea de un terreno que presenta la siguiente figura 25m 30m

35m 15m

45m

b) Dos fuerzas de 200kg y 250kg forman un ngulo de 60 entres si y se aplican a un cuerpo en el mismo punto. hallar la fuerza resultante y el ngulo que forma con la fuerza de 200 Kg.

250 Kg. resultante

200kg

c) Dos fuerzas de magnitud 340 Kg. y 475 Kg. forman un ngulo de 34.6 se aplican a un objeto en el mismo punto .hallar la magnitud de la resultante.

d) Desde una posicin en la base de una colina, un observador mide el ngulo de elevacin de la punta de una antena y es de 43.5. despus de caminar 1500 m hacia la base de la antena sobre una pendiente de 30 vuelve a medir el ngulo y resulta de 75.4 .determinar la altura de la colina y la antena.

e) Determinar que el rea del triangulo oblicungulo es senB

senAsenCbA

2

2

C

A B

f) Un peso w esta atado a un cable que pende a su vez de dos poleas. si en cierto

momento el ngulo =41 y el ngulo =75 Cul es la distancia del peso w al poste izquierdo?

g) Resolver la estructura siguiente sabiendo que los tringulos son iguales C

20 m

A

h

w

U

20m

20m B

h) Un barco navega 200 millas a un ngulo de 33 hacia el noroeste y despus altera su rumbo a un ngulo de66 en la misma direccin y navega 300 millas calcular la

distancia desde el punto de partida hasta el punto final y la me4dida del ngulo

66

33

200kg

i) Un tercer agujero de un campo de golf esta a 350 yardas como se muestra en la figura calcular la distancia directa desde T hasta el agujero H sobre el obtusngulo de agua.

D 200yardas

127 H

150 yardas

j) ngulos de un terreno triangular. Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 pies de longitud. Calcula el ngulo ms pequeo entre los lados.

k) A fin de establecer la distancia entre los puntos a y b, un agrimensor selecciona un punto C que est a 375 yardas de a y 530 yardas de B. si el BAC mide 4930, calcula la distancia entre A y B.

l) Un camino recto hace un ngulo de 15 con la horizontal. Cuando el ngulo de elevacin del sol es de 57, un poste vertical que est a un lado del camino proyecta una sombra de 75 pies de largo directamente cuesta abajo. Calcula la longitud del poste.

m) Los ngulos de elevacin de un globo desde los puntos a y b a nivel del suelo son

2410 y 4740, respectivamente. Los puntos A y B estn a 8.4 millas entre s y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo.

n) Un panel solar de 10 pies de ancho, que debe instalarse en un techo que forma un ngulo de 25 con la horizontal. Calcula la longitud d del puntal que se requiere para que el panel haga un ngulo de 45 con la horizontal.

guia de estudios de matematicas ii

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