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GUIA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN DE ADMISIÓN A LA MAESTRIA EN BIOTECNOLOGÍA

2017

MATEMÁTICAS/ESTADÍSTICA

1. Introducción: Comprender que la simbología del álgebra es un lenguaje para representar en forma de modelos generales la manera de resolver problemas y las situaciones experimentales.

1.1 Representar situaciones cotidianas que lleven a una ecuación. 1.2 Representar situaciones que lleven a un sistema de ecuaciones lineales.

2. Revisar las operaciones básicas del álgebra.

2.1 Operaciones elementales de suma, resta, multiplicación y división. Revisar las reglas de

los exponentes. 2.2 Revisar la simplificación de expresiones usando factores comunes y términos

semejantes. 2.3 Revisar el uso de desigualdades y valor absoluto. 2.4 Revisar las funciones de potencia: la exponencial, potencias base 10 y base 2. 2.5 Revisar el concepto de logaritmo.

3. Revisar con detalle las funciones y gráficas de una línea recta, polinomios de segundo orden,

potenciales, exponenciales y logarítmicas.

4. Revisar los procedimientos para la obtención de las derivadas de las funciones del inciso anterior y los procedimientos para obtener máximos y mínimos de una función aplicando la primera y segunda derivada.

5. Aplicaciones a la Biotecnología de los conceptos de los incisos 3 y 4: vida media y tiempo de

duplicación. Estimación gráfica de velocidades específicas de un proceso. Funciones potenciales y el escalamiento de procesos de seres vivos.

6. Revisar el concepto de integral definida como el cálculo del área bajo la curva.

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7. Revisar conceptos estadísticos tales como: escalas de medición, estadística descriptiva, distribuciones e hipótesis.

7.1 Escalas de medición: Identificar las diferentes escalas en las que se miden las variables

en investigación. 7.2 Estadística descriptiva: Desarrollar un análisis descriptivo a partir de datos estadísticos.

Revisar el concepto proporción. 7.3 Distribuciones: Revisar el concepto de distribución de densidades poblacionales y

probabilidad. 7.4 Hipótesis y estadísticos descriptivos: Revisar el planteamiento de hipótesis y su inferencia

con base en estadísticos descriptivos.

BIBLIOGRAFÍA Oteyza E., Hernández G. C. y Lam O. E. Álgebra. Prentice Hall, México, 1996. Swokowsky Earl W. y Jeffrey A Cole. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. International Thompson Editores. México. 1998. Stewart J. Cálculo. International Thompson Editores. México, 1996. Daniel W.W. Bioestadística. Limusa Grupo Noriega Editores, México,1997.

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Guía de estudio AMPLIADA para el examen de admisión en Matemáticas/Estadística

1. Introducción: Comprender que la simbología del álgebra es un lenguaje para representar en forma de modelos

generales la manera de resolver problemas y las situaciones experimentales.

1.1 Representar situaciones cotidianas que lleven a una ecuación.

Ejemplo 1.1.1: Se tienen 30 mL de una solución que tiene el 30% de ácido ¿Qué cantidad de solución debe reemplazarse por ácido puro para tener los mismos 30 mL al 45%?

RESPUESTA: Sea x el volumen de solución ácida que se debe reemplazar y si una solución al 30% se refiere a 30 g de ácido por 100 mL de solución ácida, que también se puede escribir como 0.3 g de solución ácida por mL, por lo tanto, la ecuación que resuelve este problema es: 30(0.3) - x(0.3) + x(1) = 30(0.45), de donde la respuesta final es x = 6.42 mL

Ejemplo 1.1.2: En el momento de escribir este problema, mi edad más el triple de la edad que tenía hace 18 años es igual al triple de mi edad. ¿Sabes cuántos años tengo hoy?

RESPUESTA: Sea x mi edad actual en años. La ecuación que resuelve el problema es:

x + 3(x - 18) = 3x, de donde la solución es x = 54 años

1.2 Representar situaciones que lleven a un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo 1.2.1: Con una barrica de 110 L de vino se quiere llenar 168 botellas, unas de ½ L y otras de ¾ L ¿Cuántas botellas de cada clase se utilizarán?

RESPUESTA: Si x es el número de botellas necesarias de 0.5 L; y es el número de botellas de 0.75 L. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es

x + y = 168 botellas x(0.5) + y(0.75) = 110 L de vino

De donde x = 64 botellas de medio litro; y = 104 botellas de ¾.

Ejemplo 1.2.2: La densidad del corcho es un número menor que uno. Si la expresamos con dos decimales, el dígito de los décimos es dos unidades menor que los centésimos. La suma de ambos dígitos es 6. ¿Cuáles son los dígitos? ¿Cuál es la densidad del corcho? RESPUESTA: Si d es el dígito de los décimos y c el de los centésimos, las ecuaciones resultantes son: d = c – 2 y d + c = 6; resolviendo para c y d, se obtiene que d = 2 y que c = 4. Por lo que la densidad del corcho es 0.24.

2. Revisar las operaciones básicas del álgebra.

2.1 Operaciones elementales de suma, resta, multiplicación y división. Revisar las reglas de los exponentes.

Ejemplo 2.1.1: Resolver las siguientes ecuaciones:

(a) )1(72

31 xx

x

−−=−

− (b) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −= xx 267

611

65

RESPUESTA:

(a) 2722

=x (b) 623

−=x

Ejemplo 2.1.2: Simplifica las siguientes expresiones:

4

(a) 3

3

232⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

rs

sr

(b) ( ) 332 −− vu (c) 21

53

48

yxyx

−

−

RESPUESTA:

(a) 34rs

(b) 9

6

vu

(c) 7

42yx

2.2 Revisar la simplificación de expresiones usando factores comunes y términos semejantes.

Ejemplo 2.2.1: Simplifica las siguientes expresiones algebraicas

(a) 3x-5y-(x2+2y)-(-7x2-x+2y) (b) 3(p-q)2+(5p+2)2-2p

RESPUESTA: (a) 6x2+4x-9y (b) 28p2+3q2-6pq+18p+4

Ejemplo 2.2.2 Simplifica las siguientes expresiones algebraicas

(a) 16x4 - (y - 2z)2 (b) 187

2

2

−

−+

www

(c) 1092

2542

2

+−

−

xxx

RESPUESTA: (a) 16x4 - (y - 2z)2 = (4x2)2 – (y – 2z)2 = [(4x2) + (y -2z)] [(4x2) - (y - 2z)] = (4x2 + y - 2z) (4x2 - y + 2z)

(b) Se factoriza )1()8(

)1)(1()1)(8(

+

+=

−+

−+

ww

wwww

(c) Se factoriza )2()52(

)2)(52()52)(52(

−

+=

−−

+−

xx

xxxx

2.3 Revisar el uso de desigualdades y valor absoluto.

Ejemplo 2.3.1 Resuelve las desigualdades:

(a) 35

225<

+z (b) (3+x) (3-x) < (4-x) (2+x)

(c) 453

2115 −

>−

− xx (d) 924 <−x

RESPUESTA:

(a) 154

<z (b) x > 21

(c) 1327

<x (d) 411

47

<<− x

2.4 Revisar las funciones de potencia: la exponencial, potencias base 10 y base 2.

5

Ejemplo 2.4.1: Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

(a) 523 77 += xx (b) 285 93 +− = xx (c) 112 82 −+ = xx (d) 4100 )5.0(2 −− = xx

RESPUESTA:

(a) x = 5 (b) x = 4 (c) x = 4 (d) x = 994

−

Ejemplo 2.4.2: En un gran estanque se introducen 1000 truchas de un año de edad el número de truchas todavía vivas después de t años se calcula mediante N(t) = 1000 (0.9)t. En una gráfica de N contra t, encuentra cuándo estarán todavía vivas 100 truchas. RESPUESTA: En la gráfica se observa que entre 21 y 22 años después, todavía se encontrarán 100 truchas vivas

2.5 Revisar el concepto de logaritmo.

Ejemplo 2.5.1: Encuentra el valor de x: (a) x = log10 (107) (b) log2 x = 5 (c) log2 (23x) = 2 (d) 2 + log10 x = 4 RESPUESTA:

(a) x = 7 (b) x = 32 (c) x = 32 (d) x = 100

Ejemplo 2.5.2 En las siguientes expresiones resuelve para x:

(a) 2)1(ln =++ xx (b) ln (1+x) – ln (1-x) = 1

RESPUESTA:

(a) 2

2

4

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

eex (b) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−=

11

eex

N(t)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15 20 25

t, años

N

6

3. Revisar con detalle las funciones y gráficas de una línea recta, polinomios de segundo orden, potenciales, exponenciales y logarítmicas.

Ejemplo 3.1: Asocia las funciones de la izquierda con las gráficas de la derecha. (a) xy 2= (b) senxy = (c) xy 25−=

(d) 22xy = (e) 33xy = (f) 43 23 +−= xxy

(g) 32 2 +−= xxy

(h) xseny )5.0(2=

RESPUESTA:

(a) (2) (b) (4) (c) (3) (d) (5) (e) (1) (f) (6) (g) (7) (h) (8) Ejemplo 3.2: Encuentra las funciones de las gráficas siguientes:

0

50

100

150

200

250

-15 -10 -5 0 5 10 15

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-15 -10 -5 0 5 10 15

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

-15 -10 -5 0 5 10 15

(1) (2)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-15 -10 -5 0 5 10 15

(3)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7

(4)

(5)

-100

-50

0

50

100

150

200

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

(6)

(7)

0

5

10

15

20

25

30

35

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

-15 -10 -5 0 5 10 15

(8)

7

RESPUESTA:

(a) y = 3 – 2x (b) y = x3 (c) y = 132

2

−− xx

(d) y = 2 + 3x - x2 (e) y = 3 + x2 (f) y = -x2

(g) y = x5 (h) y = 2x (i) y = 5 – ex

4. Revisar los procedimientos para la obtención de las derivadas de las funciones del inciso anterior y los

procedimientos para obtener máximos y mínimos de una función aplicando la primera y segunda derivada.

Ejemplo 4.1: Encuentra las derivadas de las funciones (a) y (d) del inciso anterior RESPUESTA:

(a) La derivada de un polinomio es la suma de las derivadas individuales de los sumandos del polinomio, así la derivada de la función (a) es: y’ = - 2

(b) La derivada de la función (d) es: y’ = 3 – 2x Máximos y mínimos de una función aplicando la primera y segunda derivada. Considera que el criterio de la segunda derivada para extremos relativos es: Sea f una función dos veces derivable en un intervalo I,

(a)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y(b)

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

(c)

(d)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

(e)

0

5

10

15

20

-6 -4 -2 0 2 4 6

x

y

(f)

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

(g)

-30

-20

-10

0

10

20

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

(h)

01234567891011121314151617

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

(i)

-18-16-14-12-10-8-6-4-20246

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y

8

Sea c un punto de I, tal que f’ (c) = 0. Entonces: i. Si f´´(c) < 0, entonces, f presenta un máximo relativo en c. ii. Si f´´(c) > 0, entonces, f presenta un mínimo relativo en c.

Ejemplo 4.2: Para un intervalo abierto (-∞, +∞), encuentra el máximo o el mínimo de la función: f(x) = 3x + x2

RESPUESTA:

La derivada es: f’(x) = 3 + 2x, que igualando con cero, f’(x) = 3 + 2x = 0 y resolviendo para x, resulta que 23

−=x

satisface la igualdad anterior. Así, con la segunda derivada de f(x); f’’(x) = 2, resulta que f’’(x) > 0. Por lo tanto la

función original, f(x) = 3x + x2 tiene un mínimo relativo al punto 23

−=x

Ejemplo 4.3: Durante las primeras 6 horas de crecimiento, Escherichia coli tiene un comportamiento que sigue la función: X = 7t2 – 5t + 3. Donde X es la biomasa (g L-1) y t es el tiempo de crecimiento (h). Para el intervalo de tiempo de validez de la función, 0 ≤ t ≤ 6, encuentra el crecimiento máximo o mínimo. RESPUESTA:

La primera deriva es dtdX

= 14t – 5. Igualando con cero, 14t – 5 = 0, resolviendo para t, resulta 145

=t . La segunda

derivada, 2

2

dtXd

= 14 indica que es positiva y por lo tanto en el punto 145

=t se localiza un mínimo de crecimiento.

Porque 145

=t es un punto que se localiza dentro del intervalo de validez de la función de crecimiento.

5. Aplicaciones a la Biotecnología de los conceptos de los incisos 3 y 4: vida media y tiempo de duplicación. Estimación

gráfica de velocidades específicas de un proceso. Funciones potenciales y el escalamiento de procesos de seres vivos.

Ejemplo 5.1: Si el yodo radioactivo sigue la cinética de decaimiento: teNtN 08.0

0)( −= a) Para N0=60. Hallar N(16). b) ¿Cuál es la vida media del yodo? c) Graficar la función

RESPUESTA: N (16) = 60 e -0.08 (16) = 16.68 unidades de tiempo. La vida media corresponde al tiempo necesario para que desaparezca el 50% del yodo inicial, por lo que es necesario hallar t cuando N = N0/2; sustituyendo: N0/2 = N0 e-0.08 t, de donde: 1 = 2 e-0.08 t que se satisface con t = 8.66 unidades de tiempo. La gráfica de la función es:

Ejemplo 5.2: La inhibición de la velocidad de reacción (V) de una enzima por un sustrato S está descrita por la función:

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30

Unidades de tiempo

N

9

gráficamente: Donde: VMax es la máxima velocidad de reacción, constante. S es la concentración del sustrato Ks y Ki son constantes características Encontrar el valor de S donde se encuentra la máxima velocidad de reacción.

RESPUESTA: Derivando la función con respecto a S, igualando a cero se llega a que la S del máximo corresponde a:

S2 = KS Ki bien que S = iS KK

Ejemplo 5.3: Se disuelve azúcar en agua, de tal forma que el azúcar no disuelta se calcula con la expresión A(t) = B ekt, siendo B la cantidad inicial de azúcar y t el número de horas que han transcurrido después de agregar el azúcar. Si se agregan 7 kg de azúcar y se disuelven 2 kg en 3 horas ¿Cuánta azúcar quedará sin disolver después de 5 horas?

RESPUESTA: Si en t=0, B = 7 kg de azúcar y a cantidad de azúcar no disuelta en t=3 h está dada por A(3) = 7 e3k que corresponde a (7 - 2) = 5 kg de azúcar no disuelto; despejando k se obtiene que k = -0.11 h-1 por lo tanto A(5) = 7 e(-0.11)5 = 3.99 kg de azúcar no disuelta después de 5 h.

6. Revisar el concepto de integral definida como el cálculo del área bajo la curva.

Ejemplo 6.1. Encontrar el área bajo la curva (R) de la función f(x) = 3x en el intervalo [2,7]

Respuesta: Para calcular el área (R) de la integral definida ∫7

23xdx

primero se encuentra la

primitiva de f(x) = 3x, es decir, ∫ xdx3 = 2

23 x

, después se evalúa esta función en los límites de integración:

( ) ( )21352

237

23 22 =−=R

gráficamente

Ejemplo 6.2. Encontrar el área bajo la curva (R) de la función f(x) = x2 en el intervalo [0,2]

is

Max

KSSK

SVV 2

++

= V

S

10

Respuesta: Para calcular el área (R) de la integral definida ∫2

0

2dxxprimero se encuentra la

primitiva de f(x) = x2, es decir, ∫ dxx2 = 3

31 x

, después se evalúa esta ésta función en los límites de integración:

( ) ( )380

312

31 33 =−=R

gráficamente

7. Revisar conceptos estadísticos tales como: escalas de medición, estadística descriptiva, distribuciones e hipótesis

7.1.Escalas de medición: Identificar las diferentes escalas en las que se miden las variables en investigación.

Ejemplos: En qué escala se miden las variables en los siguientes contextos de investigación? Después de cada variable que se encuentra subrayada, escribe, sobre la línea entre paréntesis el nombre de la escala de medición en la que está evaluada: nominal, ordinal, de intervalo o de razón.

Ejemplo 7.1.1. Se estudiaron tres cepas de Aspergillus niger, con el fin de investigar con cuál tipo de cepa (nominal) se obtiene un mejor crecimiento (razón).

Ejemplo 7.1.2. Se evalúa el pH (intervalo) y la viscosidad (intervalo) obtenida en los vasos de yogurt a través del tiempo (intervalo), realizándose evaluaciones cada 2 horas durante 40 horas en total.

Ejemplo 7.1.3. Se evalúa la intensidad de la coloración en: muy baja, baja, intermedia, alta y muy alta (ordinal) de la carne de truchas a las que se les ha venido alimentando de manera especial adicionando una cantidad determinada de cempasúchil para obtener trucha salmonada.

7.2.Estadística descriptiva: Desarrollar un análisis descriptivo a partir de datos estadísticos. Revisar el concepto proporción

Ejemplo 7.2.1. Se realizó un estudio para explorar el tipo de yogurt de mayor preferencia en 4 regiones del país. Los cuatro tipos seleccionados fueron:

a) Yogurt cremoso (adicionado de crema) b) Yogurt aflanado (semisólido) c) Yogurt para beber d) Yogurt bajo en calorías

Se encuestaron 925 consumidores adultos, a los que se les preguntó cuál de estos tipos de yogurt prefieren consumir.

Los datos de las frecuencias obtenidas para la preferencia de cada tipo de yogurt por región fueron las siguientes:

11

Región Tipo de yogurt Cremoso Aflanado Para beber Bajo en calorías Total

Norte 59 47 46 71 223 Occidente 69 78 46 34 227 Centro 65 63 66 61 255 Sureste 58 42 68 52 220

a) Si se considera que la preferencia depende de la región del país, construye la tabla de frecuencias de cada tipo de yogurt (en %) por región, considera el total por región como el 100%.

Respuesta REGIÓN TIPO DE YOGURT

Cremoso Aflanado Para beber Bajo en calorías Total Norte 26.46 % 21.08 % 20.63 % 31.84 % 100 % Occidente 30.40 % 34.36 % 20.26 % 14.98 % 100 % Centro 25.49 % 24.71 % 25.88 % 23.92 % 100 % Sureste 26.36 % 19.09 % 30.91 % 23.64 % 100 %

b) ¿En qué regiones se presenta una proporción menor a 15 % en la preferencia de algún tipo de yogurt? ¿De qué tipo de Yogurt se trata?

Respuesta: Solo se presenta en la región Occidente, donde el yogurt bajo en calorías tuvo una proporción de 14.98 %

c) ¿En qué región tiene una mayor aceptación el yogurt para beber?

Respuesta: En la región sureste

d) Si tú fueras productor de un yogurt bajo en calorías ¿donde esperarías mayor aceptación?

Respuesta: En la región norte

e) ¿Y en donde menos?

Respuesta: En la región occidente

f) ¿En qué región se presentan una distribución más homogénea en las proporciones de preferencia en los yogurts?

Respuesta: En la región centro.

g) ¿Qué probabilidad tendrías de vender yogurt cremoso en el sureste del país? En qué región tendrías más probabilidad de vender este tipo de yogurt?

Respuesta: La probabilidad es de 26.36 %, la región occidente es la de mayor probabilidad de aceptación del yogurt cremoso con p= 30.4 %

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Ejemplo 7.2.2. Se evaluó la producción enzimática a 16 lotes en los que se realizó, durante 41 horas, un proceso de fermentación sólida a partir de la cáscara de naranja que se desecha cuando se extrae el jugo inoculada con Aspergillus niger . El proceso de fermentación se llevó a cabo aplicando 4 temperaturas diferentes. Los datos recabados se presentan a continuación:

Temperatura (°C) Producción Enzimática 33 63.8, 51.4, 57.1, 60 34 58.7, 60.5, 62.4, 59 35 76.2, 76, 76.3, 68.3 36 80.1, 81.2, 79.8, 82.1

a) Calcula el promedio general y la varianza general de la producción enzimática

Respuesta: Media= 68.31 y Varianza = 105.67

b) Calcula las producciones enzimáticas promedio, las desviaciones típicas y los valores extremos, utilizando los datos de cada nivel de temperatura. Llena con los estadísticos obtenidos en una tabla

Respuesta: Temperatura (°C) Media Desviación

típica Mínimo valor

Máximo valor

33 58.1 5.19 51.4 63.8 34 60.15 1.69 58.7 62.4 35 74.2 3.94 68.3 76.3 36 80.8 1.06 79.8 82.1

c) ¿En qué niveles de temperatura las medias quedaron por debajo de la media general?

Respuesta: A 33 y 34 °C de temperatura

d) ¿En qué nivel de temperatura las mediciones de producción enzimática son más homogéneas?

Respuesta: En 36°C, ya que la varianza es menor

7.3.Distribuciones: Revisar el concepto de distribución de densidades poblacionales y probabilidad.

Ejemplo 7.3.1. El 70% de los alimentos congelados de una marca determinada se venden antes de su fecha de caducidad en los supermercados del D.F. Hoy, 1° de mayo del 2010, se dejaron 20 alimentos con fecha de caducidad: 30-julio-10, contesta los siguientes incisos:

a) Plantea la función de densidad de la variable X: número de alimentos que se venden antes del 30-jun-2010, de los 20 que se dejaron hoy.

Función binomial: f(X)= P[X≤x] = C20x (.70)x (.30)20-x, donde C20

x son las combinaciones de 20 en x.

b) ¿Con qué probabilidad menos de 15 se venden antes del 30-jun-2010? P[X<15]= P[X≤14]= 0.5836

c) ¿Con qué probabilidad se venden a lo más 16 antes del 30-jun-2010?

13

P[X≤16]= 0.8929

d) ¿Con qué probabilidad se venden más de 13, antes del 30-jun-2010?

P[X>13] = 1- P[X≤13]= 0.6080

e) ¿Con qué probabilidad se venden al menos 15, antes del 30-jun-2010?

P[X≥15] = 1 - P[X<15]= 1- P[X≤14]= 0.4164

Ejemplo 7.3.2. Se toma una muestra aleatoria de 15 tortillas de harina de una empresa que las produce la cual garantiza que únicamente el 10% tienen algún defecto (están incompletas, dobladas, etc.). Contesta los siguientes incisos utilizando la distribución binomial:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 sean defectuosas?

Respuesta: Sea X el número de tortillas defectuosas de las 15 elegidas al azar, entonces la

P[X=2]= 0.2669

b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 3 sean defectuosas?

Respuesta: P[X≤3]= 0.9444

Ejemplo 7.3.3. X1, X2, X3, …,X36 es una muestra aleatoria de la variable X: Producción de una proteína, que tiene distribución normal con media 5 y varianza 4. Encuentra: la desviación típica y el error típico (desviación típica de la media)

Respuesta: La desviación típica de los datos es = 2 El error típico (desviación típica de de la media muestral) es (4/36)0.5 =2/6 = 0.333 a) Calcula P( X ≤5.5)

Respuesta: P( X ≤5.5) = p (Z ≤ 5.55-5/0.333) = p (Z ≤ 1.5) = 0.9332

b) Calcula P(3.8 ≤X≤ 4.8)

Respuesta: P(3.8 ≤X≤ 4.8) = 0.1859

Encuentra las constantes g y h tales que

c) P(X≤g)=.95 P( X ≥h)=.025

Respuesta: g= 8.29 y h= 5.6533

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7.4. Hipótesis y estadísticos descriptivos: Revisar el planteamiento de hipótesis y su inferencia con base en estadísticos descriptivos.

Ejemplo 7.4.1. Un investigador mide el rendimiento de nitrógeno molecular en dos reactores que tienen diferentes condiciones de medio de cultivo, condiciones A y B. ¿Dan los datos suficiente evidencia para probar que son mejores las condiciones B?

a) Plantea las hipótesis

Respuesta: Ho: µA ≥ µB VS. Ha: µA < µB

b) Utilizando los estadísticos descriptivos que se muestran en la tabla contesta los incisos que se plantean al final de ésta.

Estadísticos descriptivos Número de casos Media Desviación típica Condición A 15 0.2833333 0.139983 Condición B 15 0.7166666 0.1737678

a) ¿Qué prueba vas a utilizar? Respuesta: T-Student para comparar las medias de dos poblaciones independientes.

b) ¿Qué valor toma el estadístico de prueba? Respuesta: T = -7.5213

c) ¿Qué decisión toma respecto a Ho, con un nivel de significancia de 0.01?

( x )Rechazar ( )No rechazar

d) Da la conclusión.

Respuesta: Los datos dieron evidencia, con una significancia del 0.01, que el rendimiento promedio de nitrógeno molecular en las condiciones B es mayor que en las de A.