Binomio de suma al cuadradoUnbinomio al cuadrado(suma) es igual es igual al cuadrado del primer trmino,msel doble producto del primero por el segundomsel cuadrado segundo.(a + b)2= a2+ 2 a b + b2(x + 3)2= x2+ 2 x 3 + 32= x2+ 6 x + 9Binomio de resta al cuadradoUnbinomio al cuadrado(resta) es igual es igual al cuadrado del primer trmino,menosel doble producto del primero por el segundo,msel cuadrado segundo.(a b)2= a2 2 a b + b2(2x 3)2= (2x)2 2 2x 3 + 32= 4x2 12 x + 9El desarrollo de un unbinomio al cuadradose llamatrinomio cuadrado perfecto.a2+ 2 a b + b2= (a + b)2

Binomios conjugadosEl producto de dos nmeros por su diferencia es igual al cuadrado del primer nmero menos el cuadrado del segundo nmero.Consideremos el producto:

Es decir

Binomio con un trmino comnEl producto de dos binomios del tipoes igual al cuadrado del primer trmino, ms el producto de la suma de los dos segundos trminos por el primer trmino, ms el producto de los segundos trminos.Se trata de demostrar que.Tendremos que:Es decirBinomio de suma al cuboUnbinomio al cubo(suma) es igual al cubo del primero,msel triple del cuadrado del primero por el segundo,msel triple del primero por el cuadrado del segundo,msel cubo del segundo.(a + b)3= a3+ 3 a2 b + 3 a b2+ b3(x + 3)3= x3+ 3 x2 3 + 3 x 32+ 33== x3+ 9x2+ 27x + 27

Binomio de resta al cuboUnbinomio al cubo(resta) es igual al cubo del primero,menosel triple del cuadrado del primero por el segundo,msel triple del primero por el cuadrado del segundo,menosel cubo del segundo.(a b)3= a3 3 a2 b + 3 a b2 b3(2x 3)3= (2x)3 3 (2x)23 + 3 2x 32 33== 8x3 36 x2+ 54 x 27

ECUACION DE SEGUNDO GRADOUna ecuacin de segundo grado es toda expresin de la forma:ax2+ bx +c = 0 con a 0.Se resuelve mediante la siguiente frmula:

1.

2.

EJERCICIO:

Sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitasMtodo de sustitucin1Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones.2Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo un ecuacin con una sola incgnita.3Se resuelve la ecuacin.4El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que apareca la incgnita despejada.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.Ejemplo

1Despejamosuna de las incgnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incgnita que tenga el coeficiente ms bajo.

2Sustituimosen la otra ecuacin la variable x, por el valor anterior:

3Resolvemos la ecuacinobtenida:

4Sustituimos el valorobtenido en la variable despejada.

5Solucin

Mtodo de igualacin1Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones.2Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuacin con una incgnita.3Se resuelve la ecuacin.4El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que apareca despejada la otra incgnita.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.Ejemplo

1Despejamos, por ejemplo, la incgnitaxde la primera y segunda ecuacin:

2Igualamosambas expresiones:

3Resolvemosla ecuacin:

4Sustituimosel valor dey, en una de las dosexpresionesen las que tenemosdespejada la x:

5Solucin:

Mtodo de reduccin1Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.2La restamos, y desaparece una de las incgnitas.3Se resuelve la ecuacin resultante.4El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuacin:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.

Solucin:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitasMtodo de GaussEste mtodo consiste en utilizar elmtodo de reduccinde manera queen cada ecuacin tengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.1Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga el comocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.2Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:3Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.4Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin yeliminarel trmino eny.5Obtenemos el sistema equivalente escalonado.6Encontrar las soluciones.

Ejemplo

1Ponemos comoprimera ecuacinla que tenga el comocoeficiente de x: 1 -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2Hacemosreduccin con la 1 y 2 ecuacin, paraeliminarel trmino enx de la 2 ecuacin. Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:E'2= E2 3E1

3Hacemos lo mismo con la ecuacin1 y 3 ecuacin, paraeliminarel trmino enx.E'3= E3 5E1

4Tomamos las ecuaciones2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin yeliminarel trmino eny.E''3= E'3 2E'2

5Obtenemos el sistema equivalenteescalonado.

6Encontrar las soluciones.z = 1 y + 4 1 = 2y = 6x + 6 1 = 1x = 4

EJERCICIOS

ModaLamodaes elvalorque tienemayor frecuencia absoluta.Se representa porMo.Se puede hallar lamodaparavariables cualitativasycuantitativas.Hallarlamodade la distribucin:2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5Mo= 4Si en un grupo haydos o varias puntuacionescon lamisma frecuenciay esa frecuencia es la mxima, ladistribucinesbimodalomultimodal, es decir, tienevarias modas.1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9Cuando todas laspuntuacionesde un grupo tienen lamisma frecuencia,nohaymoda.2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9Sidos puntuaciones adyacentestienen lafrecuencia mxima, lamodaes elpromediode las dos puntuaciones adyacentes.0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4Clculo de la mediana1Ordenamoslosdatosdemenor a mayor.2Si la serie tiene unnmero impar de medidaslamedianaes lapuntuacin centralde la misma.2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 53Si la serie tiene unnmero parde puntuaciones lamedianaes lamediaentre las dospuntuaciones centrales.7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5Media aritmticaLamedia aritmticaes elvalorobtenido alsumartodos losdatosydividirel resultado entre elnmerototal dedatos.es el smbolo de lamedia aritmtica.

VARIANZALavarianzaes lamedia aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la mediade una distribucin estadstica.La varianza se representa por.

DESVIACION ESTANDARLadesviacin estndar o desviacin tpicaes laraz cuadrada de la varianza.Es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.Ladesviacin estndarse representa por.

Ecuacin de una lnea recta

La ecuacin GENERAL de una lnea recta tiene la forma:y = mx + b

Ley de los senosLaley de los senoses la relacin entre los lados y ngulos detringulosno rectngulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relacin de la longitud de un lado de un tringulo al seno del ngulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ngulos en un tringulo dado.En ABC es un tringulo oblicuo con ladosa, byc, entonces.

Ley de los cosenosLaley de los cosenoses usada para encontrar las partes faltantes de untringulooblicuo (no rectngulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ngulo includo son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar laley de los senosporque no podemos establecer una proporcin que pueda resolverse.La ley de los cosenos establece:c2=a2+b2 2abcosC.Esto se parece alteorema de Pitgorasexcepto que para el tercer trmino y siCes un ngulo recto el tercer trmino es igual 0 porque el coseno de 90 es 0 y se obtiene el teorema de Pitgoras. As, el teorema de Pitgoras es un caso especial de la ley de los cosenos.La ley de los cosenos tambin puede establecerse comob2=a2+c2 2accosBora2=b2+c2 2bccosA