ALGEBRA DE MATRICES

Profesor Eduardo Espinoza. Matemticas.

Tercero Medio.Nmeros Complejos.Nmeros imaginarios.

Si tratamos de resolver la siguiente operacin:

Inevitablemente llegaremos a la siguiente situacin:

Como hemos visto en cursos anteriores, este tipo de ecuaciones no tiene solucin en el conjunto de los nmeros reales. Es decir, no hay un nmero real x tal que al cuadrado resulte -1 por lo tanto no existe en los reales la raz de -1. En general, no existe en el conjunto de los nmeros reales otro nmero real cuyo cuadrado sea un nmero negativo. Es as como surge un nuevo tipo de nmero llamado nmero imaginario.

- Se define como nmero imaginario a aquel nmero cuyo cuadrado es un nmero negativo. Entre estos se distingue la unidad imaginaria que se simboliza por la letra i, y se define como:

- Si se multiplica la unidad imaginaria por un nmero real distinto de cero resulta un numero imaginario, que se simboliza por.Si se multiplica la unidad imaginaria por s misma, es decir, se obtiene -1.

Propiedades de los imaginarios.En general, 1.- 2.- 3.- 4.- 5.-

Ejercicios:a.- b.- c.- d.- e.-

Potencias de nmeros imaginarios:Las potencias bsicas o cannicas de la unidad imaginaria corresponden a las primeras cuatro potencias de . A partir de la quinta, las potencias se repiten en periodos de 4.

Potencia cannica de Potencia equivalente.

Propiedades de las potencias de nmeros imaginarios.Las potencias de nmeros imaginarios, al igual que las de nmeros reales, cumplen las siguientes propiedades:

1.- 2.- 3.-

Ejercicios:Calcula las siguientes potencias:a.- b.- c.- d.-

El conjunto de los nmeros complejos

El conjunto de los nmeros complejos corresponde a una extensin de los nmeros reales, cumplindose que . Los nmeros complejos representan todas las races de los polinomios a diferencia de los nmeros reales. Los nmeros complejos estn representados por:

Por lo tanto:Se llama numero complejo a todo nmero de la forma , compuesto `por una parte real (a) y otra imaginaria (b). Si (forma binomial del nmero complejo), se tiene:

Por convencin los nmeros complejos son designados con la letra z , son distintos nmeros complejos.

El conjunto de los nmeros complejos no es un conjunto ordenado. Es decir, no se puede determinar si un nmero complejo es mayor o menor que otro.

Ejercicios:Dados los siguientes nmeros imaginarios encontrar la parte real y la parte imaginaria de cada uno de ellos:a.- b.- c.- d.- e.-

Dos nmeros complejos y son iguales si y solo si sus partes reales y sus artes imaginarias son iguales respectivamente.

Ejercicios: Determinar para que valores reales den y m los complejos son iguales.a.- y

b.- y

c.- y

d.- y

Adicin de nmeros complejos.

Dados = (a,b) y , la adicin de esta dada por la siguiente expresin:

Multiplicacin de nmeros complejos.

Dados = (a,b) y , la multiplicacin de esta dada por la siguiente expresin:

Ejercicios:a.- b.- c.- d.-e.-f.- Divisin de nmeros complejos.Dados = (a,b) y , la divisin de esta dada por la siguiente expresin:

Ejercicios: