guia 3ro medio numeros complejos

7/18/2019 Guia 3ro Medio Numeros Complejos

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CCC

Guía de Refuerzo Nº 1 “NUMEROS COMPLEJOS”

Unidad: _NUMEROS _ Asignatura: Educación MatemáticaObjetivo Fundamenta: Com!render "ue os n#meros com!ejos constitu$en unconjunto num%rico en e "ue es !osibe resover !robemas "ue no tienen soución

en os n#meros reaes& $ reconocer su reación con os n#meros naturaes&n#meros enteros& n#meros racionaes $ n#meros reaes' A!icar !rocedimientosde cácuo de adiciones& sustracciones& muti!icaciones $ divisiones de n#meroscom!ejos& (ormuar conjeturas acerca de esos cácuos $ demostrar agunas desus !ro!iedades'Objetivo de a )u*a: Re(or+ar os contenidos $ ,abiidades obtenidasdurante a case'

Nombre: _________________________________ Curso: -° MEDIO A- Fec,a: __.__.___

/nstrucciones: 01e*das en siencio2 1ee atentamente esta gu*a' 3rabaja en (orma individua o gru!a&seg#n o indi"ue a !ro(esora' Res!onda en e es!acio "ue se indica&o en su cuadernio'

Una ve+ terminada& arc,ive a gu*a $ su desarroo en e !orta(oio dematemáticas'

Ejercicio 1: Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen lassoluciones de las ecuaciones:

Ecuación Resolución N Z Q I R

x – 3 !

x " # !

x $ # !

x% – # &

x% " ! &

'omo sa(emos) en R no podemos resol*er ra+ces cuadradas de n,meros ne-ati*os) como

!− ) .a que no existe nin-,n n,mero real cu.o cuadrado sea i-ual a –!$

/ara eso de0inimos el s+m(olo i para indicar un n,mero tal que: i² = – 1 ó i =

!−

1eniendo en cuenta la i-ualdad a partir de la cual lo de0inimos) . que este n,mero no es real)

podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de al-unas ecuaciones$Ej: x% " ! & x% " # &

x% – ! x%

– #

x ! i x # – i x!

# i x # – # i

2a que: i% " ! & . –i4% " ! & 2a que: # i4% " # & . – # i4% " # &

Coegio 4aent*n 1eteierAsignatura: Matemática5ro(esora: 6ara Carrasco M'

!



Ejercicio 2: 5tilicen el s+m(olo i para expresar las soluciones de las si-uientes ecuaciones:

a4 x% " 6 & (4 x% " 7 & c4 x% – !& # x%

d4 – x% – 8 & e4 8 x% " !9 & 04 x " 7 4% !& x

-4!!

6%

!=−

+ x 4 x – # 4 – x – # 4 #& i4 x – ; 4% – !9 x

j4 3 # – # x 4 x – 6 4 x – # 4 <4 # x% – ! 4% ! " # x 4 ! – # x 4 – !

Ejercicio 3: 'ompleten la si-uiente ta(la:

N,mero 'omplejoZ

/arte RealRe

z4/arte Ima-inaria

Imz4=es complejo) real o

ima-inario puro>

7 " 3 i

# ;

– 6 #?3

! –3

# – 3 i

7 i

& 6

6 &

& &

CONJUGADO Y OPUESTO ADITIVO DE UN NÚE!OCOP"EJO

@ partir de un n,mero complejo z a " (i) se de0inen los si-uientes:

#



A El conju-ado de z es z = a – bi la parte real es i-ual . la parte ima-inaria es opuesta4

A El opuesto de z es – z = – a – bi la partBe real . la parte ima-inaria son opuestas4

Ejemplos:

! z – ! – # i ! z – ! " # i – ! z ! " # i

# z 6 i # z – 6 i – #

z – 6 i

3 z

9 3 z

9 –3 z

– 9

Ejercicio #: 'ompleten el si-uiente cuadro:

z z – z

C " D i

# – 9 i

– " 3 i

– 3

– 7 i

# – F i

OPE!ACIONES CON NÚE!OS COP"EJOS

En los si-uientes ejemplos pueden o(ser*ar cómo sumamos) restamos) multiplicamos .di*idimos n,meros complejos:

S$%&: # " 3 i 4 " ! – 7 i 4 # " ! 4 " 3 – 7 4 i 3 – # i

!e'(&: # " 3 i 4 – ! – 7 i 4 # – ! 4 " 3 ––74 i4 ! " ; i

$)(i*)ic&ció+: # " 3 i 4 $ ! – 7 i 4 # $ ! " # $ –7i4 " 3 i$! " 3i $–7i4 # – !& i " 3 i – !7 i% ! – i

recordar que i² = –14Di,i'ió+:/ara resol*er la di*isión de dos n,meros complejos) siendo el di*isor no nulo) multiplicamos a

am(os por el conju-ado del di*isor) del si-uiente modo:

i

i

7!

3#

−

+

i

i

i

i

7!

7!$

7!

3#

+

+

−

+

4%7%!

%!73!&#

i

iii

−

+++

#7!

!3!3

+

+− i

i

#

!

#

!+

Multiplicar por una 0racción de i-ual numerador . denominador es como multiplicar por !)

por lo tanto) la i-ualdad no se altera$

Ejercicio 1-: 'onsideren los complejos: ! z –# " i G # z 3 " 7 i G 3 z

6 – i .resuel*an las si-uientes operaciones:

a4 ! z " # z – 3

z (4 ! z " # z – 3 z

c4 ! z – 3 z d4 7$ 3 z

e4 ! z " # z 4$ 3 z

04 – ! z " # z 4$ ! z – 3 z

4 -4 ! z $ # z – 3

z 4 3 z

4%

Ejercicio 11: 'onsideren los complejos: ! z 3 – i G # z – 6 i G 3 z

" # i .

resuel*an las si-uientes di*isiones:

3



a4

=

!

#

z

z

(4

=

3

!

z

z

c4

=

#

3

z

z

d4

=

3

#

z

z

e4 #

3$!9 z

z

04 !

!

z

Ejercicio 12: 'ompleten las potencias de i:

=&

i =!i =

#i =

3i

=6

i =7

i =9

i =E

i

=Qué re-ularidad o(ser*an>

Ejercicio13: 'alcular las si-uientes potencias:

a4 =!#Ei e4 =

86i i4 =

!!33 $ii

(4 =66

i 04 =6!# 4i j4 =

3#&## : ii

c4 =#6#

i -4 =73 4i <4 x " !

#Ei

d4 =98

i 4 =#8 4i l4 x – i

3−i

EJE!CITACI.N

1#/ A0ició+ S$'(r&cció+ 0e N%ero' Co%*)ejo':

a4 !& " 3 i 4 " ; " # i 4 " 6 " 7 i 4 R: ##) !&4

(4 " 7 i 4 – 3 – 6 i 4 – – 7 " # i 4 R: 8 ) 4

c4 ! " F i 4 " 3 – 3?# i 4 " – 6 " i 4 R: & 4

d4 – ; "4

7

3i

" –−++ 4

!&

E

6

Ei =− 4

!&

3

6

!i

R: – !& " i 4

e4 =−−+++−++ 4

#3

!7#;4

6!

!7#4

63

364

7# iiii

R: – i 4

04 =−+++−++ 4

#

#4

#

#4

##

34

##

3ii

ii

R: #3 + 4

14 $)(i*)ic&ció+ Di,i'ió+ 0e N%ero' Co%*)ejo':

a4 !& " # i 4 $ 3 " !7 i 4 R: !79 i 4

(4 – 7 " # i 4 $ 7 " # i 4 R: – #8 4

c4 – ! " i 4 $ – ! – i 4 R: # 4

d4 – =ii

3

6$

7

3

R: 6?74

e4 3# + i4 $ #3 + i 4 R: 7 i 4

04 =−++ 4

#

#4$6

3

#4$

#

#iii

R: ! " 9 i 4-4 – 6 " # i 4 : ! " i 4 R: – ! " 3 i 4

6



4 – ! " i 4 : – ! – i 4 R: – i 4

i4 6 " # i 4 : i R: # – 6 i 4

j4 – =++ 4

6

!

7

#:4

7

#

6

!ii

R: i 4

<4 3# + i4 : 3# − i 4 R: – i7

9#

7

!+

4

14/ Po(e+ci& 0e N%ero' Co%*)ejo':

a4 i9&

(4 i9&#

c4 i

EE d4 i

!&6

e4 – i 4#7

04 – i 4!3

-4 ! " i 4% R: #i4 4 6 – 3 i4% R: – #6 i4

i4 i

#

!

7

#+

4% R: – i

7

#

!&&

8+

4 j4 i

7

3

E

#+

4% R: – i

37

!#

!##7

36!+

4

15/ Ejercicio' co%6i+&0o' e+ C:

a4 4#4#34%$#! 6E

ii

ii

+−−

+

R:i

#

3

#

!+

4 d4 i

i

i

i

−

−+

−

−

!

#

3

H##7

(4 4#4#6

4#34#3#73

ii

iii

+−++

−−+−

R: !3

7 i+−

4 e4

=+

+

− i

i

i

i

#

4%!

4%!

#

c4

=

−

++ −

4#3$

4%#$4#38

!

ii

ii

R: !3

6E i+−

4 04 i

i

−

+

!

4%#

#

#

#

17/ Ec$&cio+e' e+ C: 8&))&r e) ,&)or 0e 9:

a4 z $ # – 3 i 4 " – # – i 4 3 – # i R: ! " i 4

(4 – ! ) – # 4 – z ! ) – ! 4 R: –#) –!4

c4 # ) – 3 4 " z –! ) # 4 R: – 3 ) 7 4

d4 – # ) # 4 " z – # ) 3 # 4 – z R: & ) # 4

e4 ! – i 4 $ z – ! " i R: – ! 4

04 4#)#

4!)#

−

−+ z

# ) # 4 R: 9 ) ! 4-4 # ) – # 4 $ z – ; ) – # 4 & ) # 4 R: # ) # 4

4 z

43)3 −

" ! ) & 4 3 " ! ) 3 4 R: & ) – ! 4

7



i4 # i " z 3 – i R: 3 – 3 i 4

j4 # – 3 i 4 $ z # " 3 i 4 $ i R: – i

!3

7

!3

!#−

4<4 # " i " 3 z # – i R: – #?3i4

l4 z

i+!

– ! " # i 4 i R:

47

!

7

#i−

ll4i

z

z +=

−

+#

!

!

R: # – i4

m4i

i z

zi#!+=

+ R:4

#

3

#

! i−

n4i

z

i#!

!

#+=

−

−

R: ! – i 4

o4#

#=

−

+

i z

i z

i R: # 4

!EP!ESENTACI.N G!;ICA DE UN N< COP"EJOEjercicio : Representar los si-uientes n,meros complejos:

! z

– ! – i

# z – 3

" # i

3 z # –

3i

Ejercicio 4: ado i z 37−= ) -ra0icar z z z z −− ))) $ =Qué relación existe entreellos>

.DU"O Y A!GUENTO

Ejercicio 5: Jallar el módulo . el ar-umento de los si-uientes complejos . -ra0icarlos:

a4 7 – # i (4 –3 " F i c4 C " i d4 – ! – i

9



;O!AS DE !EP!ESENTA! UN NÚE!O COP"EJO> ;or%& ?i+ó%ic&: 9 = 2 @ 3 i

> ;or%& C&r(e'i&+&: 9 = 2 B 3 /

> ;or%& Po)&r: 9 = 9 / 0o+0e 9 e' e) %ó0$)o e) &r$%e+(o

KzK %3%# + = !3 G L arct-3?#4 79!;37

z !3 79!;374

A ;or%& Trio+o%F(ric&: 9 = 9 co' @ i 'e+ / 9 %ó0$)o &r$%e+(o

z !3 $cos 79!;37 " i sen 79!;374

Oeri0icamos : z 3)9&7 $ &)776 " i &);3#4

z !)888P$ " #)888Pi aprox # " 3i4

Ejercicio 7: Expresar los si-uientes complejos en 0orma polar:

a4 z – 3 i (4 z – # – 7 i c4 z ( )#G #− −

d4 z ( )3)3

Ejercicio H: Expresar en 0orma tri-onométrica los n complejos del ej ;

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