guía de actividades didactica iii (baldosas)

Objetivo: Los estudiantes modelarán problemas con objetos y usarán representaciones, tales como cuadros y ecuaciones, para llegar a conclusiones.

Guía de actividadesResolución de Problemas con Baldosas Algebraicas

Nivel : 1º MedioProfesores: Sandra Herrera Álvaro Quiñones.

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Curso : _____________________________________

Establecimiento : _____________________________________

Hola… ¿qué tal?

Te invito a que le dediques tiempo a esta guía para que puedas aprender más sobre el álgebra con el uso de las “Baldosas Algebraicas”. Como ya sabes trabajar con los números naturales, enteros, racionales y reales, es hora de aplicar su generalización en los diversos ejercicios que nos puede presentar el Álgebra, para trabajar con la “Multiplicación y Factorización” de polinomios. Conceptos que hemos estudiado en clase.

Pídele ayuda a tus compañeros de clase o al profesor en algunos de los ejercicios planteados y luego los revisaremos en clase para así poder aclarar tus dudas y resolver aquellos problemas que no entendiste.

Ahora ¿Qué encontrarás aquí?

Multiplicación de Polinomios

Factorización de Polinomios

CONTENIDOS Propiedad distributiva

Ejemplos y ejercicios.


Como en clases ya hemos visto lo que son los polinomios, ahora los estudiaremos de una manera más interesante, donde interactuarás con objetos para poder entender en qué consiste la multiplicación y factorización de ellos. Entonces, para que puedas hacerlo te invito a que conozcas que son “Las baldosas Algebraicas”.

Descripción:

Estas baldosas algebraicas son modelos concretos de variables y/o enteros que nos ayudan a explorar conceptos y relacionarlos con el lenguaje matemático.

Mediante el proceso concreto-grafico-simbólico podemos ir, desde los conceptos más básicos del álgebra hasta la operatoria, recuerda que en esta guía trataremos la multiplicación y factorización de polinomios.

Representación gráfica de las Baldosas:

Como no sabemos las medidas de los lados, vamos a asignarle una letra x para representar e identificar el lado de la baldosa cuadrada, e y al lado de la baldosa del cuadradito.

En algebra, una variable, como por ejemplo x o y, representan cualquier número. Usando esta presentación tenemos que:

Color Longitud de los lados Área

X X2

X

Y Y2

Y

Y XY X


Ya vistas estas representaciones, podemos ir de lleno al contenido y a la ejemplificación de los “Modelos Polinomiales”, los cuales no son más que la utilización de las baldosas y de sus expresiones de área.

Ejemplos de Modelos Polinomiales:

3x2 + 3xy + 2y2 2x2 + 5y2

Ahora, para asignar un valor negativo lo representamos con las baldosas rojas, así podemos representar los modelos de polinomios con términos negativos, por ejemplo:

3x2 + (-3xy) + (-2y2) (-2x2) + 5y2

Espero y tengas claro lo que son los modelos algebraicos, pues ahora tendrás que ejercitar para abrir tu mente hacia la ”Expresión Polinomial”.

¡¡ MANOS A LA OBRA !!


ACTIVIDAD Nº 1

Usa las baldosas para construir el modelo que representa cada expresión polinomial.

Expresión Polinomial Modelo

2x2

2xy + y2

-5xy + 3y2

-4x2 - 2xy + 2y2

ACTIVIDAD Nº 2

Expresa de manera algebraica los polígonos que se dan y luego identifica el polinomio que representa cada modelo:

Modelo Expresión Polinomial


Sigamos ahora con nuevos desafíos…

Conocimientos previos: Calculando las dimensiones de una bodega.

Una bodega tiene un largo de 10 metros por5 metros de ancho, la cual se divide en dos Leñera Taller 5 mPartes, una para guardar leña y la otra para hacer trabajos de carpintería.

6 m 4 m

Preguntas

1.- ¿Cuál es el área total del taller? Exprésala como producto. ¿Cuáles son los factores involucrados?

2.- ¿Cuál es área correspondiente a cada uno de los sectores por separado? Expresa dichas áreas como productos. ¿Cuáles son los factores involucrados?

3.- Establece una igualdad entre las expresiones de los puntos 1 y 2. Utiliza la ley o propiedad distributiva para reordenar la expresión.


Ya que tienes ahora los conocimientos previos, y por sobre todo como obtener el área de una determinada figura, observa bien lo que viene a continuación.

Estoy seguro que adoptaste bien los primeros modelos y su representación como expresión polinomial, entonces centrémonos ahora en nuevos modelos para introducirnos en la multiplicación y factorización.

Conocemos ya el modelo de X2

X2 Pero y esto ¿De dónde viene?

Sabemos que X2 = X · X

Para entender mejor se hará la siguiente gráfica: Donde el lado mayor es X y el menor es 1

1 1

Lo mismo ocurre para Y2

X X2 Y Y2

1 1 X Y

Obviamente, consideraremos ahora lo siguiente: El valor del cuadradito amarillo será unitario, es decir, cada lado tendrá valor 1.

1 1 Para el valor de X · Y respetaremos el color verde X XY 1 12 pero la forma del polígono cambiará. 1 1 1 Y Obs: Si consideramos como x2 la baldosa cuadrada grande, e y2 la baldosa cuadrada chica. Usando el concepto de "cero", eliminaremos aquellas baldosas que se anulan, siempre que sea posible. Luego para representar los modelos negativos de cada polígono estos serán de color ROJO, NO LO OLVIDES. Además, lo fundamental para hacer correctamente la utilización de esta representación gráfica, es que el cuadrado delimitado por la línea naranja sea llenado por completo.


Ah, utiliza como guía los ejes horizontal y vertical para representar el producto de los términos de los polinomios involucrados.

Ya, ahora sí que sí empezaremos con los desafíos.

A continuación, mediante los modelos presentados anteriormente, podrás representar el área de cuadrados y rectángulos con lados de distintas medidas. De este modo, trabajarás con el desarrollo o expansión de productos y también con la factorización de expresiones polinomiales.

RECUERDALOS

X Y 1 XY

Obs: No es necesario que las dimensiones sean las mismas, la idea es que respetes los colores y las formas. Nuevamente, NO OLVIDES COMO REPRESENTAR LOS VALORES NEGATIVOS

ACTIVIDAD Nº 3

Dada la siguiente gráfica:

1.- Representa el producto entre el término x y el binomio x + 3, la línea roja demarca el área que se debe completar.

Escribe el producto solicitado.


2.- Completa el área del rectángulo que se forma, dibujando las “baldosas” con las medidas correspondientes y escribe el desarrollo del producto anterior.

ACTIVIDAD Nº 4

1.- Utilizando como guía los ejes horizontal y vertical representa el producto entre el término “2” y el binomio “x y”, además completa el rectángulo que se forma.



Completa el área del rectángulo que se forma, dibujando las “baldosas” con las medidas correspondientes y escribe el desarrollo del producto anterior.

ACTIVIDAD Nº 5

1.- Utilizando la gráfica, representa el producto y completa el rectángulo que se forma entre los binomios “x+3” y “x+3”.

Escribe el producto y el resultado.

¿Reconoces esta expresión? ¿Cómo se le denomina y por qué?


ACTIVIDAD Nº 6

1.- Utilizando la gráfica, representa el producto y completa el rectángulo que se forma entre los binomios “x+2y” y “2x + y”.

Escribe el producto y su resultado

Factorizando expresiones algebraicas

En esta sección trabajarás a la “inversa”, es decir, el propósito será factorizar expresiones o bien expresarlas como “producto de factores”.

ACTIVIDAD Nº 1

1.- Considera la expresión 2xy+y. En la gráfica, utiliza “baldosas” con medidas apropiadas y representa este binomio tal como se muestra en la imagen. Luego completa los ejes horizontal y vertical con las figuras correspondientes, acorde a la medida de los lados del rectángulo formado.

Escribe la expresión anterior ahora como un producto.

Escribe la igualdad entre la expresión original y el producto obtenido.


ACTIVIDAD Nº 2

1.- Utilizando la gráfica, representa la expresión x2+x+xy+y.

Completa los ejes horizontal y vertical y escribe la expresión anterior como producto.

Escribe la igualdad de expresiones.

ACTIVIDAD Nº 3

1.- Utilizando la gráfica, completa los ejes horizontal y vertical para mostrar el producto indicado.

Escribe la expresión anterior como producto.



ACTIVIDAD Nº 4


¿Qué producto está siendo representado por el rectángulo formado?


SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PLANTEADOS

ACTIVIDAD Nº 1

Usa las baldosas para construir el modelo que representa cada expresión polinomial.

Expresión Polinomial Modelo

2x2

2xy + y2

-5xy + 3y2

-4x2 - 2xy + 2y2

ACTIVIDAD Nº 2

Expresa de manera algebraica los polígonos que se dan y luego identifica el polinomio que representa cada modelo:

Modelo Expresión Polinomial

3 x2 + 2xy + 6 y2

(- 2x2) + 3xy + (-4y2)


Una bodega tiene un largo de 10 metros por5 metros de ancho, la cual se divide en dos Leñera Taller 5 mPartes, una para guardar leña y la otra para hacer trabajos de carpintería.

6 m 4 m

Preguntas

1.- ¿Cuál es el área total del taller? Exprésala como producto. ¿Cuáles son los factores involucrados?

50 = 10 · 5

2.- ¿Cuál es área correspondiente a cada uno de los sectores por separado? Expresa dichas áreas como productos. ¿Cuáles son los factores involucrados?

30 = 6 · 5 y 20 = 4 · 5

3.- Establece una igualdad entre las expresiones de los puntos 1 y 2. Utiliza la ley o propiedad distributiva para reordenar la expresión.

50 = 30 + 20

10 · 5 = 6 · 5 + 4 · 5 = 5 ( 6 + 4) = 5 · 6 + 5 · 4

ACTIVIDAD Nº 3

Dada la siguiente gráfica:


1.- Representa el producto entre el término x y el binomio x + 3, la línea roja demarca el área que se debe completar.


x ( x + 3 )

2.- Completa el área del rectángulo que se forma, dibujando las “baldosas” con las medidas correspondientes y escribe el desarrollo del producto anterior.

x (x + 3) = x2 + 3x

ACTIVIDAD Nº 4

1.- Utilizando como guía los ejes horizontal y vertical representa el producto entre el término “2” y el binomio “x y”, además completa el rectángulo que se forma.


2 ( x – y )


Completa el área del rectángulo que se forma, dibujando las “baldosas” con las medidas correspondientes y escribe el desarrollo del producto anterior.

x ( x + 3 ) = x2 + 3x

ACTIVIDAD Nº 5

1.- Utilizando la gráfica, representa el producto y completa el rectángulo que se forma entre los binomios “x+3” y “x+3”.

Escribe el producto y el resultado.

( x + 3 ) ( x + 3 ) = x2 + 6 x + 9

¿Reconoces esta expresión? ¿Cómo se le denomina y por qué?


Si, Cuadrado del binomio. Porque se repite dos veces el binomio, es decir ( x + 3 )2

ACTIVIDAD Nº 6

1.- Utilizando la gráfica, representa el producto y completa el rectángulo que se forma entre los binomios “x+2y” y “2x + y”.

Escribe el producto y su resultado

( x + 2y ) ( 2x + y ) = 2x2 + 5 xy + 2y2

Factorizando expresiones algebraicas

En esta sección trabajarás a la “inversa”, es decir, el propósito será factorizar expresiones o bien expresarlas como “producto de factores”.

ACTIVIDAD Nº 1

1.- Considera la expresión 2xy+y. En la gráfica, utiliza “baldosas” con medidas apropiadas y representa este binomio tal como se muestra en la imagen. Luego completa los ejes horizontal y vertical con las figuras correspondientes, acorde a la medida de los lados del rectángulo formado.

Escribe la expresión anterior ahora como un producto.

y ( 2x + 1 )


Escribe la igualdad entre la expresión original y el producto obtenido.

2xy + y = y ( 2x + 1 )

ACTIVIDAD Nº 2

1.- Utilizando la gráfica, representa la expresión x2+x+xy+y.

Completa los ejes horizontal y vertical y escribe la expresión anterior como producto.

( x + 1 ) ( x + y )


( x + 1 ) ( x + y ) = x2 + xy +x + y = x2 + x + xy + y

ACTIVIDAD Nº 3



Escribe la expresión anterior como producto.

(y+1)(x+3)


(y+1)(x+3) = xy + 3y + x+ 3 = x +xy + 3y +3

ACTIVIDAD Nº 4


¿Qué producto está siendo representado por el rectángulo formado?

(x-3)(y +1) = x+xy-3y-3

guía de actividades didactica iii (baldosas)

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