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Guía de Algebra

Curso Propedéutico

Universidad Autónoma de Querétaro

Facultad de Química 2016

Guía de Algebra – Curso Propedéutico 2016

Universidad Autónoma de Querétaro. Facultad de Química. 1

DIRECTORIO Dr. Gilberto Herrera Ruiz Rector Dr. Irineo Torres Pacheco Secretario Académico MSP. Sergio Pacheco Hernández Director de la Facultad de Química Dra. Silvia Lorena Amaya Llano Secretaria Académica de la Facultad de Química QFB. Ernesto Mora-Loyola Mtra. Isabel Cristina Acosta Talamontes Mtra. Araceli Macías Arratia IQM. Ana Victoria Vázquez Torres Docentes integrantes del Curso de Algebra



CONTENIDO

Cronograma de Actividades 3 Parte I – Introducción al Algebra 4 Parte II – Operaciones fundamentales con polinomios 10 a) Reglas de los exponentes y radicales 10 b) Operaciones fundamentales 13 Parte III – Productos notables 15 Parte IV – Factorización 17 Parte V – Ecuaciones de primer grado 19 Parte VI – Sistemas de ecuaciones lineales 23 a) Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas 24 b) Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas 28 Parte VII – Ecuaciones de segundo grado 31 Parte VIII - Logaritmos 34 Bibliografía 37



CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

No. Descripción Fecha

1 Parte I – Introducción al Algebra 06 de febrero

2 Parte II – Operaciones fundamentales con polinomios 13 de febrero

3 Parte III – Productos notables 20 de febrero

4 Parte IV – Factorización 27 de febrero

5 Parte V – Ecuaciones de primer grado 5 de marzo

6 Parte VI – Sistemas de ecuaciones lineales 12 de marzo

7 Sesión de Repaso 19 de marzo

8 Parte VII – Ecuaciones de segundo grado 9 de abril

9 Parte VIII - Logaritmos 16 de abril

10 Examen 23 de abril



> Lenguaje Algebraico

Operación Matemática

Palabras relacionadas

Suma Adición. Ganar, aumentar, más, crecer, más que, añadir, adición, sumar, exceder, agregar, etc.

Resta Sustracción. Diferencia, menos, disminuir, sustraer, quitar, reducir, bajar, perder, decrecer, etc.

Multiplicación

Producto, por, multiplicado por, tantas veces, el producto de, incrementar. Dos veces, tres veces, etc. Duplo, triple, cuádruplo, etc.

División Dividido por, cociente, razón, mitas, fracción, porción, parte, reparto, mitad, tercio, cuarto, entre, etc.

Igualdad Es, da como resultado, equivalente, significa que.., etc.

Otros términos

Mayor que (>), menor que (<). semi (mitad de algo), Al cuadrado o el cuadrado de (elevado a la 2), al cubo o el cubo (elevado a la 3), consecutivos o sucesor (siguiente), antecesor (antes de), simétrico (inverso aditivo), recíproco (inverso multiplicativo.

Ejercicio 1. Traduce de lenguaje común a lenguaje algebraico.

1.1 El cociente de la suma de dos números sobre tres. __________________

1.2 El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el

primer sumando.

__________________

1.3 La diferencia de los números es mayor que su cociente. __________________

1.4 El triple del cuadrado de la diferencia de un binomio. __________________

1.5 La suma del doble de un número con otro número. __________________

1.6 La mitad de la raíz de un número. __________________

1.7 La diferencia de dos números multiplicada por otro. __________________

1.8 El cuadrado del triple de un número. __________________

1.9 El cociente del doble del cubo de la diferencia de dos números

sobre el triple de su producto.

__________________

PARTE I – INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA



1.10 La mitad de la diferencia de 2 números. __________________

1.11 El cociente de la suma de dos números, sobre su diferencia. __________________

1.12 El cubo de la semidiferencia de dos números. __________________

1.13 El cubo de la raíz cuadrada de la suma de 2 números. __________________

1.14 El cociente del doble del cubo de la diferencia de dos números

sobre el triple de su producto.

__________________

1.15 El cuadrado del doble de un número. __________________

1.16 El producto de la suma de dos números por su diferencia. __________________

1.17 El triple producto del cuadrado de un número por otro. __________________

1.18 Número de días de cualquier semana. __________________

1.19 Páginas que me faltan para leer de un libro si ya he leído 25. __________________

1.20 El cuadrado de un número menos su mitad. __________________

1.21 Un número sumado a 8 es igual a 15. __________________

1.22 La cuarta parte de un número más 12 es igual a otro número. __________________

1.23 El cubo de un número menos su cuadrado es 100. __________________

Ejercicio 2. Selecciona la respuesta correcta. 2.1 ¿Cuál es la expresión que corresponde a: “los cuadrados de dos números enteros

consecutivos”?

a) )2(),1(, 222 xxx b) 22222 2,1, xxx c) 222 2,1, xxx

d) 223,2, xxx e) 222 3,2, xxx

2.2 Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de x, será:

a) 2x b) 3x c) 4x d) 5x e) 6x

2.3 El Club Barcelona mete m goles en su primer partido, m-5 en el segundo y m+10 en el

tercero. ¿Cuántos goles convierte en el cuarto partido si en total hizo 4m goles?

a) 52 m b) 52 m c) 15m d) 5m e) 5m



2.4 En un gallinero hay P pollos. Se enfermó la mitad y luego la mitad del resto. Los pollos sanos son:

a) 2

p b)

4

p c)

3

p d)

6

p e) 0

2.5 Un alumno debe resolver nm 23 ejercicios de algebra. De estos resultan mn

correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos tuvo?

a) mm 34 b) nm2 c) nm 23 d) mn 2 e) mn 43

2.6 El “triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b” en lenguaje algebraico

es:

a) 23 ba b) 22 43 ba c) 22 43 ba d) 243 ba e) 24 )(3 ba

2.7 Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es:

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 2.8 La mitad de z aumentada en el producto de 18 por w, se expresa por:

a) wz

182 b)

2

18 wz c)

2

18

2

wz d)

2

18wz e) wz 18

2

1

2.9 Después de subir x kilogramos, Lorena pesó 50 kilogramos. ¿Cuál era su peso anterior?

a) x kg b) 50 kg c) kgx 50 d) kgx 50 e) kgx50

2.10 Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica

tenía 10 años?

a) x años b) 10 años c) añosx 20 d) añosx20 e) añosx 20

2.11 Si las dimensiones de un rectángulo son xa y xa entonces su área quedará

expresada por:

a) 2xa b) 2xa c) ba 2 d) 22 xa e) 22 ba



Ejercicio 3. Transforma en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:

3.1

2

ba

________________________________________________________

3.2

2

ba

________________________________________________________

3.3

2

ab

________________________________________________________

3.4 0; b

b

a

________________________________________________________

3.5

7

2

7

2

a

________________________________________________________

3.6 12 n ________________________________________________________

3.7 55 nn ________________________________________________________

3.8 210n ________________________________________________________

3.9 31n ________________________________________________________

3.10 84 n ________________________________________________________

3.11 65 2 nn ________________________________________________________

Ejercicio 4. Resuelve los siguientes problemas 4.1 El precio de 1 kg de naranjas es x pesos. Expresa en lenguaje algebraico:

a) Lo que cuestan 5 kg de naranjas. b) Lo que cuesta ½ kg de naranjas. c) El dinero que devolverán si se paga con 50 pesos y se compran 3 kg de naranjas

4.2 Si un bolígrafo cuesta p pesos y un lapicero, q pesos, expresa en función de p y q:

a) El precio de 4 lapiceros



b) El precio de 5 bolígrafos c) El precio de 3 bolígrafos y 2 lapiceros d) El precio de 10 bolígrafos y 1 lapicero

4.3 Determina la expresión algebraica del perímetro de un triángulo donde las longitudes de

sus lados son 3 números consecutivos. 4.4 Determina la expresión algebraica del perímetro de un rectángulo que cumple que la

medida de la base es el doble que la altura. Si la altura mide 4 cm, ¿cuánto mide el perímetro?

4.5 Determina la expresión algebraica del área de un rectángulo cuyas dimensiones suman 8

cm. 4.6 Calcula la expresión algebraica del área de un triángulo cuya base es 2/3 de la altura.

Hallar el valor numérico para el caso en que la altura mida 4 cm. 4.7 Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un rectángulo de dimensiones a y b.

¿Cuál es el valor numérico para el caso de tener a = 3 cm y b = 5 cm? 4.8 Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un triángulo isósceles cuyos lados

iguales son 2/3 del lado desigual.



Ejercicio 5. Reduce las siguientes cifras empleando notación científica.

5.1 54 000 000 =

5.2 1 900 000 000 =

5.3 0.00024 =

5.4 Masa en g de una amiba:

0.05 =

5.5 Longitud de onda de un rayo X en cm

0.000 000 09 =

5.6 Masa de un protón

0.000 000 000 000 000 000 000 167 248 =

5.7 Velocidad de la luz en el vacío

30 000 000 000 cm/s =

5.8 Distancia entre sol y la tierra

149 700 000 000 m =

5.9 mm que equivalen a un angstrom

0.000 000 1 =

5.10 fm que equivalen un metro

0.000 000 000 000 001

Ejercicio 6. Convierte cada número a la notación normal

6.1 1.53x102 =

6.2 6.85x109 =

6.3 3.31 x104 =

6.4 7.96 x105 =

6.5 3.7 x10-4 =

6.6 4.12 x10-5 =

6.7 1.0 x100 =

6.8 5.345 x10-9 =

6.9 75.6 x10-4 =



A) REGLAS DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

Producto Cociente Potencias de potencias

𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦 𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦 (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥∙𝑦

Exponente negativo Exponente cero Exponente fraccionario

𝑎−𝑥 =1

𝑎𝑥 𝑎0 = 1 𝑎

𝑥𝑦 = √𝑎𝑥

𝑦

Ejercicio 1. Empleando las reglas de los exponentes, simplifica las siguientes expresiones.

1.1 𝑚5 ∙ 2𝑚 1.12 (𝑥2)0

1.2 𝑛−6 ∙ 2𝑛−3 1.13 (2𝑥2)−4

1.3 4𝑝−3 ∙ 2𝑝2 1.14 (4ℎ0)4

1.4 4𝑞2 ∙ 5𝑞−5 1.15 (𝑤2𝑥−1)2

1.5 3𝑟5 ∙ 8𝑟 1.16 (2𝑎4)−1

1.6 (1

2𝑥4) (16𝑥5)

1.17 (−2𝑞4𝑟−3)−2

1.7 (1

6𝑎5) (−3𝑎2)(4𝑎7)

1.18 (3𝑡3)4(4𝑠2)−3

1.8 (3𝑥7𝑦3)(4𝑥4𝑦−5)

1.19 (1

3𝑥4𝑦−3)

−2

1.9 (8𝑔4𝑧−3) (1

2𝑔−5𝑧4)

1.20

𝑔−1

4𝑔4

1.10 (5𝑚2𝑛−3)(4𝑚−5𝑛4)

1.21 𝑘4

2𝑘4

1.11 𝑦2

2𝑦3

1.22

2𝑎3𝑏−3𝑐4

3𝑏𝑐

PARTE II – OPERACIONES FUNDAMENTALES CON POLINOMIOS



1.23 2𝑑4𝑔−4ℎ−3

3𝑑2𝑔−3ℎ4

1.25

3𝑥3𝑦−1𝑧−1

𝑥−4𝑦0𝑧0

1.24 4𝑎0𝑏−2𝑐3

3𝑎

1.26

(2𝑠3)(3𝑠2)

(𝑠2)3

Ejercicio 2. Simplifica las siguientes expresiones y expresa el resultado empleando únicamente exponentes positivos.

2.1 (𝑎−2𝑏−3)4

2.13 12𝑎7

4𝑎5

2.2 (𝑐−3)−3 ∙ 2𝑑−1

2.14 3𝑏6

𝑏6

2.3 (𝑔3)3 ∙ 2ℎ−1

2.15 10𝑐10𝑑5

2𝑐11𝑑5

2.4 𝑖3𝑗3𝑘3

4𝑖2

2.16

482𝑔12ℎ8

16𝑔14ℎ6

2.5 3𝑙2𝑚2

2𝑙−1 ∙ 4𝑚𝑙2

2.17

16𝑖5𝑗2

2𝑖3𝑗3

2.6 𝑛

(2𝑛0)2

2.18

−27𝑘5𝑙4

9𝑘3𝑙4

2.7 2𝑝−4

(2𝑝−4)3

2.19

32𝑚3𝑛2𝑝5

−8𝑚𝑛𝑝2

2.8 𝑞6(−𝑟)7

𝑞10𝑟5

2.20

8𝑞11𝑟7

−2𝑞5𝑟9

2.9 𝑠5𝑡3

𝑠7𝑡2

2.21

48𝑠6𝑡7𝑤5

−6𝑠𝑡5𝑤6

2.10 15𝑤3𝑥5

−3𝑤5𝑥2

2.22

54𝑥7𝑦4𝑧

27𝑥6𝑦

2.11 −24𝑦𝑧3

8𝑦2(−𝑧)2

2.23

2𝑎2𝑏4 ∙ 4𝑎2𝑏4 ∙ 3𝑎

3𝑎−3𝑏2

Ejercicio 3. Expresa las siguientes expresiones algebraicas en su forma exponencial.

3.1 √72 3.3 √𝑎35

3.2 √163

3.4 √𝑏4𝑐63



3.5 √2

3+

1

4

3.6 √(𝑔 + ℎ)23

3.6 √𝑑34 3.7 √𝑘2 + 𝑚2

Propiedades de los radicales

Suma 𝑥 ∙ √𝑎𝑛

+ 𝑦 ∙ √𝑎𝑛

= (𝑥 + 𝑦) √𝑎𝑛

Resta 𝑥 ∙ √𝑎𝑛

− 𝑦 ∙ √𝑎𝑛

= (𝑥 + 𝑦) √𝑎𝑛

Producto √𝑥𝑦𝑛 = √𝑥𝑛

∙ √𝑦𝑛

Cociente √ 𝑥

𝑦

𝑛

=√𝑥𝑛

√𝑦𝑛

Ejercicio 4. Cambia a la notación con radical las siguientes expresiones.

4.1 (7)1 3⁄ 4.4 (4𝑏0.5)1 2⁄

4.2 (26)1 2⁄

4.5 (3

4𝑐2𝑑2)

1 2⁄

4.3 (3𝑎)3 4⁄ 4.6 (𝑔2 + ℎ2)5 8⁄

Ejercicio 5. Cambia a la notación con radical y simplifica de ser posible las siguientes expresiones.

5.1 (4)1 2⁄ 5.6 (1

16)

1 2⁄

5.2 (8)1 3⁄ 5.7 01 3⁄

5.3 (32)1 8⁄ 5.8 (27)1 3⁄

5.4 −1251 3⁄ 5.9 (1

4)

1 2⁄

5.5 −641 2⁄ 5.10 (25𝑦2)1 2⁄



Ejercicio 6. Simplifica las expresiones siguientes.

6.1 √𝑎73 6.6 √−𝑔63

6.2 √144 6.7 √ℎ248

6.3 √𝑏3 6.8 √1

16𝑗4

4

6.4 √36 6.9 √24𝑘53

6.5 √50𝑐5𝑑6 6.10 √−27𝑚63

Ejercicio 7. Simplifica la expresión y racionaliza el denominador cuando sea apropiado.

7.1 (3𝑎2𝑏)2(2𝑎𝑏3) 7.4 (𝑗𝑘−1

√𝑚)

4

÷ (𝑗1 3⁄ 𝑘2

𝑚)

3

7.2 (3𝑐2𝑑−2)−2

𝑐−5𝑑 7.5 [(𝑛2 3⁄ 𝑝−2)

3]

−1

7.3 (−2𝑔2ℎ)3 (𝑔

4ℎ2)

2

B) OPERACIONES FUNDAMENTALES

Ejercicio 8. Expresa como polinomio

8.1 (3𝑎3 − 4𝑎2 + 𝑎 − 7) + (𝑎4 − 2𝑎3 + 3𝑎2 + 5) 8.8 (3𝑚 + 2)(𝑚 − 5)(5𝑚 + 4)

8.2 (7𝑏3 + 2𝑏2 − 11𝑏) + (−3𝑏3 − 2𝑏2 + 5𝑏 − 3) 8.9 (2𝑠 + 3𝑡)(2𝑠 − 3𝑡)

8.3 (4𝑐4 − 3𝑐2 + 1) − 𝑐(𝑐3 + 4𝑐2) 8.10 (3𝑣 + 𝑤3)(3𝑣 − 𝑤3)

8.4 (3𝑑 + 2)(𝑑 − 5)(5𝑑 + 4) 8.11 (𝑥 + 𝑦 − 𝑧)2

8.5 (2𝑔 + 5)(3𝑔 − 7) 8.12 (4𝑐2 − 3𝑑)2

8.6 (2ℎ + 5)(ℎ − 4) + 4ℎ(ℎ − 2) 8.13 25𝑚5𝑛4

5𝑚𝑛9

8.7 (3𝑘 + 5)(2𝑘2 + 9𝑘 − 5) 8.14 4𝑔2ℎ3

8𝑔5ℎ2



8.15 (𝑎1

3⁄ + 𝑏1

3⁄ ) (𝑎2

3⁄ − 𝑎1

3⁄ 𝑏1

3⁄ + 𝑏2

3⁄ ) 8.19 4𝑠2 − 𝑠3

6𝑠

8.16 45𝑗−2𝑘−3𝑙0

−63𝑗−1𝑘4 8.20

3𝑡3𝑤2 − 18𝑡4𝑤3

27𝑡2𝑤2

8.17 8𝑛2𝑝3 − 10𝑛3𝑝

2𝑛2𝑝 8.21

9𝑥4𝑦2 + 18𝑥2𝑦 − 27𝑥𝑦4

9𝑥3𝑦3

8.18 9𝑞4𝑟3 − 6𝑞2𝑟4 + 5𝑞3𝑟2

3𝑞2𝑟2 8.22

16𝑧3 + 16𝑧2 − 9𝑧 − 5

4𝑧 + 5



Ejercicio 1. Desarrolla los siguientes productos notables.

1.1 (𝑎 + 5)2 1.7 (15 + 2𝑘)(15 − 2𝑘)

1.2 (15𝑏 + 10𝑐)(15𝑏 − 10𝑐) 1.8 (𝑙 + 9)(𝑙 − 6)

1.3 (𝑑 + 5)(𝑑 + 3) 1.9 (2 − 𝑚)(4 + 2𝑚 + 𝑚2)

1.4 (2 + 𝑔)(4 − 2𝑔 + 𝑔2) 1.10 (𝑎𝑛𝑝2 + 6𝑞𝑟3)2

1.5 (7ℎ − 𝑗)2 1.11 (9𝑠𝑡 + 8𝑢)(9𝑠𝑡 − 8𝑢)

1.6 (𝑣 − 12)(𝑣 − 7) 1.12 (4𝑤 + 𝑥)(16𝑤2 − 4𝑤𝑥 + 𝑥2)

PARTE III – PRODUCTOS NOTABLES



1.13 (8 − ℎ)2 1.20 (2 − 𝑚2)(4 + 2𝑚 + 𝑚4)

1.14 (𝑦𝑎+1 + 𝑧𝑏−2)2 1.21 (

3𝑛

5−

5𝑝

3)

2

1.15 (15𝑎

7+ 4𝑏) (

15𝑎

7− 4𝑏) 1.22 (5𝑞 + 10𝑟)(5𝑞 − 10𝑟)

1.16 (3𝑐 + 9)(3𝑐 − 6) 1.23 (5𝑠𝑡 + 10𝑢)(6𝑠𝑡 − 9𝑢)

1.17 (2 + 𝑑𝑔)(4 − 2𝑑𝑔 + 𝑑2𝑔2) 1.24 (3 + 𝑣)(9 − 3𝑣 + 𝑣2)

1.18 (5𝑗

6+ 5𝑘) (

5𝑗

6− 5𝑘) 1.25 (

𝑥𝑦4

5−

6𝑧

3)

2

1.19 (4𝑙3 + 15)(4𝑙3 + 5) 1.26 (7𝑎2 − 12𝑏3)(7𝑎2 + 12𝑏3)

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios.

2.1 (5𝑎 − 8𝑏𝑐)(9𝑎 − 10𝑏𝑐) 2.9 (12 + 𝑣)(144 − 12𝑣 + 𝑣2)

2.2 (3 − 𝑑)(9 + 3𝑑 + 𝑑2) 2.10 (𝑥𝑦𝑧2 − 2𝑎𝑏𝑐5)2

2.3 (2𝑔5

ℎ−

𝑗10

𝑘)

2

2.11 (7𝑎2

2−

12𝑏3

7) (

7𝑎2

2+

12𝑏3

7)

2.4 (7𝑗2

3− 12𝑘3) (

7𝑗2

3− 12𝑘3) 2.12 (15𝑐 + 10𝑑)(5𝑐 − 2𝑑)

2.5 (5𝑙2 + 10𝑚)(2𝑙2 + 2𝑚) 2.13 (𝑔 + ℎ + 5)2

2.6 (2 +𝑛

2) (4 − 𝑛 +

𝑛2

4) 2.14 (𝑖 + 5𝑗 − 𝑘3)2

2.7 (4𝑝𝑞5 − 5𝑟𝑠3)2 2.15 (1 − 4𝑙)3

2.8 (5𝑡 − 11𝑢3)(3𝑡 + 10𝑢3) 2.16 (5𝑚 + 2𝑛)3

2.17 (3𝑝3 − 7𝑞𝑟4)3 2.19 (𝑡 + 𝑢 + 𝑣)2

2.18 (𝑠 + 4)3 2.20 (𝑥 + 𝑦 − 𝑧)2



Ejercicio 1. Factoriza.

1.1 𝑎2 + 𝑎𝑏 1.17 4𝑟𝑠3 − 12𝑟𝑠𝑡 − 𝑠2 + 3𝑡

1.2 𝑐 + 𝑐2 1.18 3𝑢2 − 7𝑣2𝑤 + 3𝑢𝑤 − 7𝑢𝑣2

1.3 𝑑3 + 𝑑2 + 𝑑 1.19 𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4

1.4 𝑔(ℎ + 1) + 𝑗(ℎ + 1) 1.20 4𝑎4 + 12𝑎2𝑏2 + 9𝑏4

1.5 (𝑘 + 3)(𝑘 + 1) − 4(𝑘 + 1) 1.21 4𝑐8 − 28𝑐2𝑑4 + 49𝑑8

1.6 3𝑙(𝑙 − 2) − 2𝑚(𝑙 − 2) 1.22 1 + 𝑔3

1.7 𝑛(𝑝 + 2) + 𝑝 + 2 1.23 1 − ℎ3

1.8 𝑟2 + 𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 1.24 𝑘3 + 𝑚3

1.9 𝑢2 + 𝑣2 − 𝑤2 + 2𝑢𝑣 1.25 𝑛3 − 𝑝3

1.10 2𝑥2 + 10𝑥 − 𝑥𝑦 − 5𝑦 1.26 27𝑞3 − 𝑟3

1.11 𝑧2 + 𝑧𝑎 − 2𝑎2 + 2𝑧 − 2𝑎 1.27 𝑠3 − 1

1.12 4𝑏2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑑 − 𝑑2 1.28 64 + 𝑡6

1.13 𝑔 − 𝑔2 + 𝑔3 − 𝑔4 1.29 𝑢3 − 125

1.14 ℎ4 + ℎ2 + 1 1.30 1 − 216𝑣3

1.15 3𝑘3 − 9𝑗𝑘2 − 𝑘 + 3𝑗 1.31 𝑤8 + 4𝑤4 + 4

1.16 𝑚2𝑛 − 5𝑝2𝑞2 − 𝑚2𝑞2 + 5𝑝2𝑛 1.32 16𝑥4 − 24𝑥2𝑦2 + 9𝑦2

Ejercicio 2. Factoriza los binomios siguientes

2.1 𝑎2 − 1 = (𝑎 + 1)(𝑎 − 1) 2.6 4𝑘2 + 9𝑙4

2.2 𝑏2 − 9 2.7 64𝑚6 − 121𝑛2

2.3 9𝑐2 − 64 2.8 (𝑝 − 𝑞)2 − 𝑟2

2.4 16𝑑4 − 81𝑔2 2.9 256𝑠4𝑡4 − 𝑢8

2.5 144ℎ2 − 𝑗4 2.10 (𝑣 + 𝑤)2 − 𝑥4

PARTE IV – FACTORIZACIÓN



2.11 𝑦4 − 81𝑧12 2.15 36𝑛8𝑝6 − 49𝑞4

2.12 225𝑎4 − 16𝑏8𝑐4 2.16 81 − 196𝑟6

2.13 100𝑑2𝑔4ℎ6 − 169𝑗10 2.17 𝑠4 − 16

2.14 𝑘10 − 𝑚10

Ejercicio 3. Factoriza los trinomios siguientes

3.1 𝑎2 + 7𝑎 + 10 3.9 −300 − 20𝑚 + 𝑚2

3.2 𝑏2 − 5𝑥 + 6 3.10 −2𝑛 − 168 + 𝑛2

3.3 𝑐2 − 3𝑐 + 2 3.11 𝑝2 + 24𝑝 + 135

3.4 𝑑2 + 5𝑑 − 24 3.12 𝑞2 + 12𝑞 − 364

3.5 𝑔2 + 7𝑔 + 6 3.13 𝑟2 + 50𝑟 + 336

3.6 ℎ2 − 13ℎ − 14 3.14 𝑠2 + 43𝑠 + 432

3.7 𝑗2 + 15𝑗 + 54 3.15 𝑡2 − 8𝑡 − 1008

3.8 7𝑘 + 𝑘2 − 60

Ejercicio 4. Factoriza los trinomios siguientes.

4.1 2𝑎2 + 3𝑎 − 2 4.9 𝑚 − 6 + 15𝑚2

4.2 3𝑏2 − 5𝑏 − 2 4.10 15𝑛2 + 2 − 13𝑛

4.3 6𝑐2 + 7𝑐 + 2 4.11 18𝑝2 − 3𝑝 − 10

4.4 5𝑑2 + 13𝑑 − 6 4.12 6𝑞2 + 17𝑞 + 12

4.5 20𝑔2 + 𝑔 − 1 4.13 6𝑟2𝑠2 − 17𝑟𝑠𝑡 + 12𝑡2

4.6 8ℎ2 − 14ℎ − 15 4.14 9𝑢2 + 3𝑢 − 2

4.7 16𝑗 + 15𝑗2 − 15 4.15 21𝑣4 − 10𝑣3 − 16𝑣2

4.8 2𝑘2 + 5𝑘 + 2



Ejercicio 1. Encuentra la solución a las siguientes ecuaciones lineales.

1.1 5 + 6𝑥 = 2 1.14 5𝑛 − 2𝑛 + 12 = 35 − 4𝑛 − 9

1.2 4𝑏 + 1 = −18 1.15 3𝑘 − 15 + 2𝑘 − 14 = 𝑘 − 11

1.3 5 − 2𝑑 = 9 1.16 2(𝑏 + 2) − 5(2𝑏 − 3) = 3

1.4 −3𝑎 + 1 = 4 1.17 5𝑠 + (4 − 𝑠) = 9 − (𝑠 − 6)

1.5 (3𝑡 − 1) + 7 = 8𝑡 − 83 − 2𝑡) 1.18 3𝑧 − 1 = 2(𝑧 − 1)

1.6 18𝑐 − 3 = 0 1.19 48p − 13 + 12p = 72p − 3 − 24p

1.7 13 − ℎ = 13 1.20 (8𝑣 − 5) + (6 − 7𝑣) − 1 = 7 − (𝑣 − 1) + (4𝑣 + 4)

1.8 −2 − 5𝑔 = 0 1.21 (3𝑤 − 8) − (4 − 9𝑤) + 3 = 7𝑤 − 2 − (5𝑤 + 9 − 3)

1.9 12𝑦 = 3(3𝑦 − 5) 1.22 −(4𝑥 − 6 + 5𝑥) + (9 − 5𝑥 + 3 − 2𝑥) = 7𝑥 − (1 − 6𝑥)

1.10 5𝑗 − 9 = 3𝑗 + 5 1.23 −2(𝑑 + 7) − (3𝑑 + 5) = 2𝑑 + (4𝑑 − 9 + 3𝑑) − (𝑑 − 3)

1.11 −4𝑥 = 7 − 6𝑥 1.24 21 − [5𝑔 − (3𝑔 − 1)] − 𝑔 = 5𝑔 − 12

1.12 5𝑚 − 3.2 = 2𝑚 + 2.8 1.25 2[7𝑝 − 2(𝑝 − 1) + 3(4𝑝 + 7) = 5 − (𝑝 − 1)

1.13 2𝑘 + 7 = 12 − 3𝑘

Ejercicio 2. Obtén la solución de cada uno de los siguientes ejercicios.

2.1 (3[2 − (3𝑗 − 6)] + 4[6𝑗 − (1 − 2𝑗)] = 4 − 5𝑗)

2.2 3[2x − (5x + 2)] + 1 = 3x − 9(x − 3)

2.3 34 − 52(12n − 34) + 235 = 32 + 101(35n − 1)

2.4 2 − {2m + [2m − (2 − 2m)]} = 2

2.5 8(6f − 14) − 7(12 − 5f) + (23f + 2) − (2f + 65) = 0

2.6 8{2 − [q + 2(q − 3)] + 1} = 3 − (8 − 3q)

2.7 (2v − 4)² + 6v − 3 = 4v² − (3v − 1)

2.8 (3x − 3)² − (2x − 7) = (3x − 5)(3x + 5)

PARTE V – ECUACIONES DE 1ER GRADO



2.9 2𝑐

7=

3

4

2.10 2 − {k − [6k − (1 − 2k)]} = 100

2.11 240h − [24 − (6h + 8) − (5 − 2h )] = 3 − (8h − 12)

2.12 (t − 3)² − (t − 2)² = 5

2.13 (w + 3)² + 4 = (w − 2)² + 5w – 2

2.14 𝑏

5=

1

2

Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones.

3.1 2𝑎 + 13

3−

6 − 𝑎

4= 1 3.6

7ℎ − 9

2−

5ℎ − 4

3+

7ℎ − 9

9=

1

18

3.2 6 − 𝑏

4−

3𝑏 + 10

3= 2 3.7

8𝑗 − 7

4+

9 − 3𝑗

2− 1 = 𝑗 −

5(2𝑗 − 3)

2

3.3 4 − 9𝑐

5−

2(3 − 4𝑐)

2− 1 = 𝑐 3.8

7𝑘 − 4

2−

3𝑘 − 2

5+ 2 = 𝑗 −

6𝑘 − 3

4

3.4 3

4(

5 − 2𝑑

3) 4 =

1

2(

8 − 𝑤

3) 3.9

𝑚 + 3

4+

4𝑚

5= 5

3.5 8𝑔 − 3

4− 5 −

1

2−

3

4(

8 + 4𝑔

4) =

1

5 3.10

6(𝑞 − 9)

4+

3𝑞 − 9

5− 2 = 𝑞 +

2 − 4𝑞

3

Ejercicio 4. Resuelve los siguientes problemas. 4.1 ¿Cuál es el número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6

da 55?

4.2 ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?

4.3 El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

4.4 Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

4.5 El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de este último es 147. Hallar el número.

4.6 Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3:5 y su perímetro es 140 m. Calcular el largo y el ancho.



4.7 Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica.

¿Cuánto mide el lado?

4.8 Hernán tiene el doble de dinero que Gladis y el triple que María. Si Hernán regalara $ 14.00 a Gladys y $ 35.00 a María, los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

4.9 El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador

se le suma 3, la fracción queda equivalente a 4 3⁄ . Hallar la fracción.

4.10 Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100.

4.11 La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4,600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?

4.12 La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números.

4.13 Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cocientes sea 12.

4.14 Un trozo de alambre de 28 cm de largo se ha doblado en forma de ángulo recto. Determina la distancia entre ambos extremos del alambre, si uno de los lados del ángulo formado mide 12 cm.

4.15 Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia matemáticas, la cuarta parte estudia física, la séptima parte aprende filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?

4.16 Al comprar 3 kg de tomates y 4 kg de papas, una dueña de casa pagó $ 119.00. ¿Cuánto vale el kg de tomates, sabiendo que es $ 14.00 más caro que el kg de papas?

4.17 La entrada para una función de teatro al aire libre vale $ 60.00 adulto y $ 25.00 niños. La recaudación arrojó un resultado de 280 asistentes y fue de $ 14,000. ¿Cuántos niños asistieron a la función?

4.18 En un tratado del álgebra escrito por el célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En una hostería se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7 del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta a 144 monedas. Se pregunta ¿cuántos hombres y cuántas mujeres son?”



4.19 Silvia compra un pañuelo, una falda, y un abrigo en $ 5,050.00. Calcula los precios respectivos, si la falda vale 25 veces más que el pañuelo, y el abrigo, el triple de la falda.

4.20 Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más?, si con esto el canasto se vació, ¿puedes calcularlo tú?



Es posible obtener el valor de incógnitas si se tiene un sistema igual de ecuaciones al número de las incógnitas. Dentro de los métodos más utilizados son:

a) Suma / Resta b) Sustitución c) Igualación d) Gráfico e) Determinantes

Independientemente del método elegido, el valor de las incógnitas es el mismo, por lo que podrá seleccionar cualquiera de ellos. > Determinantes (Matrices) El determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla para la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente. Para el caso de la resolución de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

𝐴1𝑋1 + 𝐵1𝑌1 = 𝐶1 𝐴2𝑋2 + 𝐵2𝑌2 = 𝐶2

Primero hacer el valor del determinante (D)

𝐷 = |𝐴1 𝐵1

𝐴2 𝐵2|

Entonces:

𝐷 = (𝐴1)(𝐵2) − (𝐴2)(𝐵1) Para encontrar el valor de (x)

𝐷𝑋 = |𝐶1 𝐵1

𝐶2 𝐵2|

Entonces:

𝐷𝑋 = (𝐶1)(𝐵2) − (𝐶2)(𝐵1)

PARTE VI – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES



𝑋 =𝐷𝑋

𝐷

Para encontrar el valor de (y)

𝐷𝑌 = |𝐴1 𝐶1

𝐴2 𝐶2|

Entonces:

𝐷𝑌 = (𝐴1)(𝐶2) − (𝐴2)(𝐶1)

𝑌 =𝐷𝑌

𝐷

A) SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Ejercicio 1. Resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por cualquiera de los métodos anteriormente mencionados.

1.1 𝑦 = 𝑥

𝑥 + 𝑦 = 4

1.8 4𝑥 + 9𝑦 = 8

2𝑥 − 6𝑦 = −3

1.2 𝑦 = 𝑥 + 2

𝑥 + 2𝑦 = 16

1.9 4𝑥 + 6𝑦 = 5

8𝑥 − 9𝑦 = 3

1.3 𝑥 − 𝑦 = 2

2𝑥 + 𝑦 = 13

1.10 5𝑥 − 2𝑦 = 19

3𝑥 + 4𝑦 = 1

1.4 𝑥 − 𝑦 = −4

3𝑥 − 2𝑦 = −5

1.11 𝑥 =

3

2𝑦 + 5

2𝑥 − 3𝑦 = 8

1.5 2𝑥 + 3𝑦 = 8

3𝑥 − 2𝑦 = −1

1.12 𝑥 =

2

3𝑦

𝑦 = 4𝑥 + 5

1.6 8𝑥 − 4𝑦 = 16

2𝑥 − 4 = 𝑦

1.13 𝑥

2+

𝑦

2= 6

𝑥

2−

𝑦

2= −2

1.7 2𝑦 − 3𝑥 = −13

3𝑥 − 17 = 4𝑦

1.14 𝑥

2−

𝑦

3= −4

𝑥

2+

𝑦

9= 0



Ejercicio 2. Utiliza dos ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver los siguientes problemas. 2.1 Un avión pequeño puede cargar 950 libras de equipaje distribuidas en dos

compartimientos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 libras más en un compartimiento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimiento?

2.2 Una parte de $ 80,000.00 se invirtió a una tasa de interés del 10, y el resto al 12%. Si los ingresos anuales por esas inversiones fueron $ 900.00 ¿Cuánto se invirtió a cada tasa?

2.3 Un automóvil recorre 50 millas en el mismo tiempo en que un avión viaja 180 millas. La velocidad del avión es 143 millas por hora mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil.

2.4 Un automóvil y un camión salen de Querétaro al mismo tiempo, en direcciones opuestas. Cuando están a 350 millas de distancia entre ellos, el automóvil ha recorrido 70 millas más que el camión ¿Qué distancia recorrió el automóvil?

2.5 Un fabricante de bicicletas produce vehículos de carrera y de montaña, con los costos unitarios de fabricación que aparecen a continuación:

Modelo Costo de materiales Costo de mano de obra

Carreras $ 255.00 $ 260.00

Montaña $ 270.00 $ 290.00

La empresa ha considerado un presupuesto de $ 159,000.00 para gastos de mano de obra y $ 130,750.00 para materiales. ¿Cuántas bicicletas de cada tipo se pueden fabricar?

2.6 Un campesino tiene a algunos de sus animales bajo una dieta estricta. Cada animal debe recibir 15.0 gramos de proteínas y 7.5 gramos de carbohidratos. El campesino emplea dos mezclas alimenticias que contienen los nutrientes que tenemos en la siguiente tabla:

Mezcla Proteínas Carbohidratos

A 12 % 9 % B 15 % 5 %

¿Cuántos gramos debe usar de cada mezcla para proporcionar las cantidades correctas de nutriente a cada animal?

2.7 Dos máquinas pueden cepillar placa de latón. Una máquina tiene $ 600.00 de costo de

mantenimiento y $ 4.00 de costo por placa. La otra máquina tiene costos de mantenimiento de $ 1,000.00 y costo por placa de $ 2.00. Calcula el punto de equilibrio.



2.8 Un impresor cuenta con dos prensas. En una, los costos de arreglo son de $ 2,100.00,

y se puede imprimir determinado libro en $ 59.80 cada ejemplar. La otra prensa tiene costos de arreglo de $ 3500.00, y puede imprimir el mismo libro en $ 59.50. Determina el punto de equilibrio.

2.9 Un vendedor puede elegir entre dos opciones de salario: i. Una comisión directa del 7.00 %, ó ii. $ 1,500.00 mensuales más una comisión del 2.00 %. ¿Cuánto debe vender esa persona para obtener la misma retribución en cualquier plan? a) Si vende menos ¿Qué plan le conviene? Si vende más, ¿cuál de los dos planes es mejor?

2.10 Si dos ángulos son complementarios, su suma es 90°. Si uno de dos ángulos complementarios mide 16° más que el otro, calcula el valor de cada ángulo.

2.11 La fórmula °𝐶 =5

9(°𝐹 − 32) es para convertir grados Fahrenheit (°F) en grados Celsius

(°C). ¿Cuándo será la temperatura en °C la misma que en grados °F?

2.12 Se quiere obtener 1 lingote de oro de 1 kg de peso y ley de 900 milésimas, fundiendo Au de 975 milésimas y Au de 875 milésimas. ¿Qué cantidad hay que fundir de cada clase?

2.13 Un comerciante compró dos relojes distintos por 18.00 €. y los vendió por 19.35 €. ¿Cuánto pesos pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 20% y en la del segundo perdió un 5%? (Considere que 1.00 € equivale a $ 19.50 pesos).

2.14 Se tienen dos soluciones de la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 15. La primera 𝑥 = 2 e 𝑦 = −1 y la

segunda solución 𝑥 = −2 e 𝑦 = −29. Calcula a y b.

2.15 Dos líquidos de densidades 0.7 kg/l y 1.3 kg/l se mezclan obteniéndose un líquido de densidad 0.9 kg/l. Halla la cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase para obtener una mezcla de 30 litros.

2.16 Un vinatero poseía 760 litros de vino de $ 82.50 por litro. Por tener poca salida comercial decidió mezclarlo con cierta cantidad de otro vino de $ 72.00 por litro. ¿Qué cantidad del segundo vino ha de mezclar con el primero para que la mezcla resulte a $ 75.00 el litro?

2.17 Se ha comprado alcohol de quemar a $ 25.00 el litro y se ha mezclado con otro de $ 27.00 el litro. Halla la cantidad que entra de cada clase para obtener 100.00 litros de mezcla de $ 25.50 por litro.

2.18 Dos grifos han llenado un depósito de 31.0 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?



2.19 Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en

llenarse abriendo los dos grifos a la vez?

2.20 En una peluquería se hace una mezcla para un tinte. Si añadiésemos 4.0 ml a la cantidad utilizada del producto A, el volumen sería el mismo que un tercio del producto B. Por otro lado, el doble del volumen de A es lo que le falta al B para medir 250.0 ml. ¿Qué cantidad se usa de cada producto? a) 47.6 ml de producto A y 154.8 ml de B b) 774.0 / 5 ml de A y 238.0 /5 ml de B c) No está la respuesta

2.21 Una piscifactoría cultiva en sendos tanques truchas y doradas. Si se colectara un tercio de las truchas y la mitad de las doradas se obtendrían 184 peces. Por otro lado, si se colectara la quinta parte de las truchas y la cuarta parte de las doradas obtendríamos 98 peces. ¿Cuántos peces de cada especie hay en cada tanque? a) no está la respuesta b) 270 doradas y el resto truchas c) 248 doradas y 180 truchas

2.22 Un depósito A contiene 32 litros de una solución de alcohol al 25% en volumen. Otro depósito B contiene 50 litros de solución de alcohol al 40% en volumen. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 40 litros de solución de alcohol al 30% en volumen.

2.23 Un depósito A contiene 40 litros de una solución salina con una cantidad de sal de 80 kg. Otro depósito B contiene 120 litros de una solución con 60 kg de sal disuelta. Hallar el volumen que se debe extraer de cada uno de ellos para obtener 30 litros de solución cuya concentración sea de 1.5 kg/litro.

2.24 Una aleación contiene un 10% de zinc y un 20% de cobre. Hallar el número de kilogramos de zinc y cobre que se deben alear con 100 kg de la aleación dada, para obtener una tercera aleación con un 20% de zinc y un 24% de cobre.

2.25 Una aleación cuya masa es de 600.0 kg está compuesta por 100.0 kg de cobre y 50.0 kg de estaño. Otra aleación de 1000.0 kg está compuesta por 300.0 kg de cobre y 150.0 kg de estaño. Hallar las masas de cobre y de estaño que se deben mezclar con las dos aleaciones dadas para obtener una tercera aleación con un 32% de cobre y un 28% de estaño. Los tantos por ciento son en masa.

2.26 Se tiene una solución de ácido clorhídrico con una concentración al 50% y otra al 80%. ¿Qué cantidad de cada una se debe mezclar para obtener 100.00 ml de una solución al 68%? (Los tantos por ciento son en volumen).



B) SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS

> Resolución para un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas por determinantes Si se tiene el siguiente sistema:

𝐴1𝑋1 + 𝐵1𝑌1 + 𝐶1𝑍1 = 𝐸1 𝐴2𝑋2 + 𝐵2𝑌2 + 𝐶2𝑍2 = 𝐸2 𝐴3𝑋3 + 𝐵3𝑌3 + 𝐶3𝑍3 = 𝐸3

Primero hacer el valor del determinante (D)

𝐷 = ||

𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

𝐴3 𝐵3 𝐶3

𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

||

Entonces:

𝐷 = [(𝐴1)(𝐵2)(𝐶3) + (𝐴2)(𝐵3)(𝐶1) + (𝐴3)(𝐵1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(𝐵2)(𝐴3) + (𝐶2)(𝐵3)(𝐴1) + (𝐶3)(𝐵1)(𝐴2)] Para encontrar el valor de x:

𝐷𝑋 = ||

𝐸1 𝐵1 𝐶1

𝐸2 𝐵2 𝐶2

𝐸3 𝐵3 𝐶3

𝐸1 𝐵1 𝐶1

𝐸2 𝐵2 𝐶2

||

Entonces: 𝐷𝑋 = [(𝐸1)(𝐵2)(𝐶3) + (𝐸2)(𝐵3)(𝐶1) + (𝐸3)(𝐵1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(𝐵2)(𝐸3) + (𝐶2)(𝐵3)(𝐸1) + (𝐶3)(𝐵1)(𝐸2)]

𝑋 =𝐷𝑋

𝐷

Para encontrar el valor de (y):

𝐷𝑌 = ||

𝐴1 𝐸1 𝐶1

𝐴2 𝐸2 𝐶2

𝐴3 𝐸3 𝐶3

𝐴1 𝐸1 𝐶1

𝐴2 𝐸2 𝐶2

||

Entonces: 𝐷𝑌 = [(𝐴1)(𝐸2)(𝐶3) + (𝐴2)(𝐸3)(𝐶1) + (𝐴3)(𝐸1)(𝐶2)] − [(𝐶1)(𝐸2)(𝐴3) + (𝐶2)(𝐸3)(𝐴1) + (𝐶3)(𝐸1)(𝐴2)]

𝑌 =𝐷𝑌

𝐷

Para encontrar el valor de z:



𝐷𝑍 = ||

𝐴1 𝐵1 𝐸1

𝐴2 𝐵2 𝐸2

𝐴3 𝐵3 𝐸3

𝐴1 𝐵1 𝐸1

𝐴2 𝐵2 𝐸2

||

Entonces: 𝐷𝑋 = [(𝐴1)(𝐵2)(𝐸3) + (𝐴2)(𝐵3)(𝐸1) + (𝐴3)(𝐵1)(𝐸2)] − [(𝐸1)(𝐵2)(𝐴3) + (𝐸2)(𝐵3)(𝐴1) + (𝐸3)(𝐵1)(𝐴2)]

𝑍 =𝐷𝑍

𝐷

Ejercicio 1. Resuelve los siguientes problemas. 1.1 Un artista hace tres tipos de esculturas de cerámica, con un costo mensual de $ 650.00

por 180 piezas. Los costos de fabricación de los tres tipos son $ 5.00, $ 4.00 y $ 3.00 respectivamente. Si vende sus esculturas a $ 20.00, $ 12.00 y $ 9.00 respectivamente, ¿cuántas piezas de cada tipo debe fabricar para obtener $ 2,100 de ingresos mensuales?

1.2 En cada uno de tres alimentos, la unidad de peso tiene los nutrientes que se muestran en la tabla. ¿Cuántas unidades de peso de cada uno se deben ingerir para obtener exactamente 11 gramos de grasas, 6 gramos de carbohidratos y 10 gramos de proteínas?

Alimento Grasas Proteínas Carbohidratos

A 1 1 2 B 2 1 1 C 2 1 2

1.3 Un fabricante de ropa produce sacos, camisas y pantalones. En la tabla siguiente vemos el tiempo necesario para cortar, cose y empacar cada prenda. ¿cuántas prendas de cada una debe producir para llenar todas las horas disponibles de trabajo?

Actividad Sacos Camisas Pantalones Tiempo disponible

Corte 20 min 15 min 10 min 115 horas

Costura 60 min 30 min 24 min 280 horas

Empaque 5 min 12 min 6 min 65 horas

1.4 Una fábrica produce tres tipos de balones de futbol, con un costo mensual de $24,250.00 por cada 1125 balones. Los costos de fabricación de los tres tipos de balones son $ 40.00, $ 30.00 y $ 20.00. Estos balones se venden en $ 160.00, $ 120.00 y $ 100.00, respectivamente. ¿Cuántos balones de cada tipo se fabrican si la ganancia mensual es de $ 92,750.00?



1.5 Un tendero quiere mezclar cacahuates de $15.00 el kg, almendras de $ 45.00 kg y nueces de la India de $ 45.00 el kg, para obtener 50 kg de una mezcla que pueda vender a $ 15.00 el kg. Usó 15 kg menos de almendras que de cacahuates. ¿Cuántos kilogramos de cada producto debe utilizar?



Ejercicio 1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas puras.

1.1 3𝑥2 = 48 1.5 (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 0

1.2 5𝑥2 − 9 = 46 1.6 (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3) − 135 = 0

1.3 7𝑥2 + 14 = 0 1.7 𝑥2 − 5

3+

4𝑥2 − 1

5−

14𝑥2 + 1

15= 0

1.4 9𝑥2 − 𝑎2 = 0 1.8 2𝑥 − 3 −𝑥2 − 1

𝑥 − 2= −7

Ejercicio 2. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas.

2.1 𝑥2 = 5 2.5 (𝑥 − 3)2 − (2𝑥 + 5)2 = −16

2.2 4𝑥2 = −32𝑥 2.6 𝑥2

3−

𝑥 − 9

6=

3

2

2.3 𝑥2 − 3𝑥 = 3𝑥2 − 4𝑥 2.7 (4𝑥 − 1)(2𝑥 + 3) = (3𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

2.4 5𝑥2 + 4 = 2(𝑥 + 2) 2.8 𝑥 + 1

𝑥 − 1=

𝑥 + 4

𝑥 − 2

Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completas.

3.1 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 3.7 (𝑥 − 1)2 + 11𝑥 + 199 = 3𝑥2 − (𝑥 − 2)2

3.2 𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0 3.8 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) − 7(𝑥 − 1) = 21

3.3 𝑥2 = 19𝑥 − 88 3.9 2𝑥2 − (𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = 7(𝑥 + 3)

3.4 𝑥2 + 34𝑥 = 285 3.10 (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) − (2𝑥 − 3)(𝑥 + 4) − 𝑥 = −14

3.5 5𝑥(𝑥 − 1) − 2(2𝑥2 − 7𝑥) = −8 3.11 2𝑥2 − 8

3= 2

3.6 𝑥2 − (7𝑥 + 6) = 𝑥 + 59 3.12 5𝑥 − 3

𝑥=

7 − 𝑥

𝑥 + 2

PARTE VII – ECUACIONES DE 2DO GRADO



3.13 𝑥 +15

𝑥= 8 3.20 7(𝑥 − 3) − 5(𝑥2 − 1) = 𝑥2 − 5(𝑥 + 2)

3.14 𝑥(𝑥 + 3) = 5𝑥 + 3 3.21 (𝑥 + 4)2 − (𝑥 − 3)2 = 343

3.15 3(3𝑥 − 2) = (𝑥 + 4)(4 − 𝑥) 3.22 (𝑥 + 2)2 − (𝑥 − 1)2 = 3(3𝑥 + 4) + 8

3.16 9𝑥 + 1 = 3(𝑥2 − 5) − (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 3.23 (5𝑥 − 4)2 − (3𝑥 + 5)(2𝑥 − 1) = 20𝑥(𝑥 − 2) + 27

3.17 (2𝑥 − 3)2 − (𝑥 + 5)2 = −23 3.24 𝑥2 − 6

2−

𝑥2 + 4

4= 5

3.18 25(𝑥 + 2)2 = (𝑥 − 7)2 − 81 3.25 𝑥2 − 5𝑥 + 11

𝑥2 − 7𝑥 + 83=

5

7

3.19 3𝑥(𝑥 − 2) − (𝑥 − 6) = 23(𝑥 − 3) 3.26 𝑥

3+

18

𝑥+ 5 = 0

Ejercicio 4. Plantea y resuelve los siguientes problemas a través de ecuaciones cuadráticas. 4.1 La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos

números.

4.2 El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

4.3 Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros.

4.4 Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

4.5 Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

4.6 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

4.7 Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es 26 5⁄ .

4.8 Dos tuberías (A y B) llenan juntos una piscina en dos horas. Si A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda cada tubería separadamente?



4.9 Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

4.10 Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de

840 cm3, cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.

4.11 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

4.12 Un automovilista recorre 240 km a velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido de

5 km menos por hora, hubiera empleado 12 minutos más en su recorrido. ¿Cuál fue su velocidad?

4.13 Los integrantes de una agrupación juvenil compraron un tostador de pan por $240.00.

El dinero que pagó cada integrante equivale al número de personas aumentado en 14. ¿Entre cuántos integrantes compraron el tostador?

4.14 Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros

lados opuestos se disminuye 2 m, el área del rectángulo resultante supera en 32m2 al área del cuadrado original. Encuentre la longitud del lado del cuadrado.

4.15 Pedro compró cierto número de relojes por $192.00. Si el precio de cada reloj es ¾ del

número de relojes, ¿cuántos relojes compró? 4.16 ¿Cuánto debe medir el diámetro de una pizza para que tenga la misma área que dos

pizzas de 12 cm de radio? ¿Se come más con una pizza de 18 cm de radio o con dos de 12 cm de radio?

4.17 De una hoja de cartón de 72 cm de largo y 48 cm de ancho, se desea cortar un margen

de ancho constante de modo tal que la hoja que quede tenga una superficie igual a los cinco octavos de la hoja dada. ¿Qué ancho debe tener ese margen?

4.18 Un conjunto de personas alquiló un autobús en $1200.00; como 3 personas no fueron,

las demás debieron abonar $20 más de lo convenido. ¿Cuántas viajaban originalmente?

4.19 Un inversionista compra acciones por $18,750.00; se reserva 15 y vende el resto a

$17,400.00, ganando $40.00 por acción vendida sobre su precio de costo. ¿Cuántas acciones compró?

4.20 Un tren por una nevada debió marchar a 5 km/h más despacio que su velocidad

habitual. De esa manera tuvo un retraso de 1 hora en 280 km de recorrido. ¿cuál es su velocidad habitual?

4.21 Halle dos fracciones inversas si su suma es trece sextos.



El logaritmo 𝐿 de un número 𝑁 de base 𝑏 (donde 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1) es el exponente que indica la potencia a la cual la base 𝑏 debe elevarse a fin de producir 𝑁.

DEFINICIÓN SIMBÓLICA

log𝑥 𝑚 = 𝑛 𝑥𝑛 = 𝑚

La abreviación de la frase “logaritmo de base 𝑏 de 𝑁” es log𝑏 𝑁.

PROPIEDADES

Suma-Producto log𝑥 𝑚 + log𝑥 𝑛 = log𝑥 𝑚𝑛

Resta-Cociente log𝑥 𝑚 − log𝑥 𝑛 = log𝑥

𝑚

𝑛

Potencia log𝑥 𝑚𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑛 𝑚

Ejercicio 1. Usando la definición simbólica del logaritmo, encuentra el valor faltante.

1.1 log3 𝑥 = 2 1.9 log27 81 = 𝑦

1.2 log3 9 = 𝑦 1.10 log𝑏 16 =2

3

1.3 log8 𝑥 =1

3 1.11 log 1

64𝑥 =

1

6

1.4 log𝑏 4 = 1 1.12 log5

1

625= 𝑦

1.5 log4 64 = 𝑦 1.13 log3 𝑥 = −3

1.6 log𝑏 256 = 8 1.14 log√5 𝑥 = 4

1.7 log√3 𝑥 = 4 1.15 log𝑏

1

6= −4

1.8 log√6

3 6 = 𝑦 1.16 log 916

4

3= 𝑦

PARTE VIII – LOGARITMOS



1.17 log16 4 = 𝑦 1.19 log𝑏 625 = 4

1.18 log𝑏 32 =5

2 1.20 log√32 𝑥 = 4

Ejercicio 2. Usando las leyes de los logaritmos, simplifica las siguientes expresiones.

2.1 log3 𝑥 + log3 𝑥 2.9 log𝑏

1

6+ log𝑏

3

4− log𝑏

1

2

2.2 log20 9 − log20 2𝑥 2.10 log27 8 + log3 𝑥 + log27 𝑥𝑦 + log3 𝑥(𝑥 − 1)

2.3 log8 𝑥2 + log8 𝑥 2.11 log27 𝑥3 − log3 𝑧𝑦6 − log27 𝑥𝑦 + log3 𝑧4𝑦2

2.4 log𝑏 4𝑐 − log𝑏 4𝑐 2.12 log𝑏 𝑥𝑦𝑧 −log𝑏

𝑧

𝑥𝑦

2.5 log4(𝑥 − 3) + log4(𝑥 + 3) 2.13 log 164

𝑥 + log 164

1

𝑥

2.6 log7(4 − 𝑥) − log7(1 − 𝑥) 2.14 3(log5 √𝑥3

) + 5(log5 √𝑥5

)

2.7 log√3 𝑥 + log√3 𝑥5 − log√3 𝑥2 2.15 log3 𝑥 + log3(𝑥 − 2) − log3 𝑥 (𝑥 − 2)

2.8 log√5(𝑥 − 1) + log√5 𝑥 − log√5 𝑦

Ejercicio 3. Resolver las siguientes ecuaciones.

3.1 5𝑥 = 3 3.9 112𝑥 = 915

3.2 (1

2)

𝑥

= 4 3.10 2𝑥 = 8

3.3 0.2𝑥 = 0.0016 3.11 3𝑥+1 = 81

3.4 9𝑥 = 0.576 3.12 4𝑥+1 = 8𝑥

3.5 3𝑥+1 = 729 3.13 5𝑥−2 = 625

3.6 5𝑥−2 = 625 3.14 7𝑥−3 = 49

3.7 23𝑥+1 = 128 3.15 4𝑥2+3𝑥 = 28

3.8 32𝑥−1 = 2187

Ejercicio 4. Resuelva los siguientes problemas. 4.1 Calcule el pH de una disolución de ácido perclórico 0.03 M.

4.2 Calcule el pH de una disolución 0.05 M del hidróxido de sodio.



4.3 Para determinar la concentración de alcohol en la sangre de un automovilista, se utiliza

la siguiente ecuación:

𝑅 = 6𝑒𝑘𝑥

Donde R indica el riesgo (dado como porcentaje), x es la concentración de alcohol en la sangre y k una constante. Una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10% (R=10) de sufrir un accidente, ¿cuál es el valor de la constante?

4.4 Utilizando el valor de k del ejercicio anterior, indique ¿cuál es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0.17, 0.19. 0.25)?

4.5 Con el mismo valor de k del ejercicio 4.4, indique la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo del 100%.

4.6 Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente no deben conducir vehículos, ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado?

4.7 Cierta colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley de crecimiento no inhibido.

𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒𝑘𝑡

Si la cantidad de bacterias se duplica en tres horas, ¿cuánto tiempo tardará la colonia en triplicar su número?

4.8 ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es de 0.1 milímetros a

una distancia de 100km del epicentro? Utiliza la siguiente ecuación:

𝑀(𝑥) = log (𝑥

𝑥0)

Donde M es la magnitud, x los milímetros que tiene una magnitud M(x) y 𝑥0 = 10−3 (lectura de un terremoto de nivel cero a una distancia de 100km del epicentro).

4.9 El devastador terremoto de México en 1985 midió 8.1 en la escala de Richter. ¿Cómo

se compara este terremoto con el terremoto de Haití en 2010 que midió 7.3 en la escala de Richter?



BIBLIOGRAFÍA

1. Baldor A. Aritmética Teórico Práctica. 1983, México, D. F. Publicaciones Culturales.

2. Baldor A. Algebra. 1982, México, D. F. Publicaciones Culturales.

3. Rees P. K., Sparks F. W., Rees Sparks C., 1999. Álgebra Contemporánea, México, McGraw Hill.

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5. Sobel Max A., Lerner Norbert, Algebra. 1987, México, D. F. Prentice Hall.

6. Gobrán Alfonso, Algebra Elemental. 2001, México, D. F. Grupo Editorial Iberoamérica.

7. Osorio F., J. M., Méndez H., A. 2006. Matemáticas 1. México. Santillana.

8. www.hippocampus.org/

Contenidos muy extensos de álgebra, explicaciones didácticas que se escuchan claramente en el idioma inglés.

9. www.purplemath.com/

Lecciones prácticas de álgebra con ejercicios resueltos interactivos.

10. www.Profes.net/ Comunidad de profesores en España con contenidos didácticos interactivos explicaciones completas y entretenidas.

11. http://www.rena.edu.ve/

Página del ministerio de educación del gobierno de Venezuela, trata todos los temas de álgebra con profundidad y claridad.

12. http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

Biblioteca de manipuladores virtuales de USA, en español contiene gran cantidad de material complementario de Algebra

guía de algebraquimica.uaq.mx/docs/guía algebra 2016.pdf · 2016-02-04 · guía de algebra –...

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