Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas” Facultad de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Matemática Matemática II ING. Ciclo 02/2013 Ing. Daniel Augusto Sosa Ing. Melvin Guardado Ing. José María Velásquez

FUNCIONES HIPERBOLICAS, TRIGONOMETRICA INVERSA E HIPERBOLICA INVERSA.

A. Demostrar las siguientes igualdades por medio de propiedades o definiciones que crea conveniente:

1. cosh sinhxe x x

2. cosh cosh 2cosh cosh2 2

x y x yx y

3. 3sinh 3 3sinh 4sinhx x x

4. 2

2

1tanh ln

1

xx

x

5.

21 tanh

1 tanh

xxe

x

6. 2 2cosh 2 sinh coshx x x

B. Encontrar la derivada de las siguientes funciones y evaluar el punto en cada caso:

1. 2 cosh , 1f x x x x

2. 1 2csc 1 , 1f x x x

3. ln coth , 2g x x x

4. cosh , 0xf x e x x

5. 1 1cot tan ,2

h x x x x

6. sinh( ) , 1xf x x x

7. 1 2tan ln ,h x x x e

8. cosh , 1x

g x x x

9. 1ln tan , 2f x x x

10. sinh tanh ln , 0f x x x x

11. 2 1ln 4 tan ,2

xg x x x x e

12. 1 2sec 1 , 1f x x x x

13. 1 2sec 4 , 1g x x x

14. 2

tan 1 sinh cos ,3

g x x x x

15. 2

12 sinh 1 tanh , 1h x x x

x

16. 1 3csc 2 , 0xg x e x

17. 1 1sin cos , 0f x x x x x x

18. 1tan sinh , 0h x x x

19. 1 1cos tanh sinh tan , 1f x x x x

20. 1sec ln cot coth , 1g x x x x

C. Resuelva los siguientes límites:

1.

1

10

sinlim

tanx

x

x

2.

30

sinh sinlim

sinx

x x

x

3.

2

1

1

2tanlim

1x

x

x

e

4. lim cosh sinhx

x x

5. sinh

0lim ln

x

xx

6. lim sinhx

xe x

7.

1

20

sinlim

sinx

x

x

8. sinh

0lim cot

x

xx

9.

2

0lim

1 coshx

x

x

10. 1

0limcot 3 tan 2x

x x

D. Calcular las integrales mostradas a continuación:

1. 1

0

sinhx xe e dx

2. 3

4

cos sinh sinx x dx

3.

1

4

21

6

1 16

dx

x

4. 1

2

36 13

dx

x x

5. 1

tanh 2 ln cosh 2

e

x x dx

6. 2

2

1

secx h x dx

7.

2

3

21

2

3

6 9dx

x x

8.

0

2

ln 2

cosh2

xdx

9. 1

2

0

coshxe x dx

10.

2 2

20

6

2 4 3dx

x x x

11.

3

2

2

cosh ln

(cosh ln 1)

xdx

x x

12. 1

2

03 2 5

dx

x x

13.

1

0

2sinh

cosh 1

xdx

x x

14. 2

21 1x

dx

e

15. 2

2

sin

1 cos

xdx

x

16. 11 cos

20 1

xe

dxx

17.

1

0

cosh

9 sinh

xdx

x

18.

1

12

20

cos

1

xdx

x

19. ln 2

0

4 sinhxe x dx

20. 11

4

0

tan tan

1

xdx

x

E. Aplicaciones.

1. Calcule el área encerrada por la intersección, contenida en los cuadrantes I y II, de las curvas

coshy x , 21 4y x y 2y x .

2. Calcule el área encerrada por la intersección de las curvas lny x , 1

1yx

y 2y .

3. Los cables de un tendido eléctrico están suspendidos entre dos torres, formando la cantería

mostrada en la figura a continuación, que corresponde a la ecuación:

coshx

y aa

La distancia entre las dos torres es 2b . Calcular las pendientes de la catenaria en los puntos de sujeción del cable.

4. Una mujer en paracaídas salta desde un avión y, cuando su paracaídas se abre, su velocidad es

de 200 ft s . Si v pies por segundo es su velocidad a los t segundos después de que se abrió

su paracaídas, entonces:

2324324

dvv

g dt

Donde g es la aceleración constante de la gravedad (9.81 2m s ).

a) Exprese al tiempo t como una función de la velocidad v . b) ¿Qué tan rápido estará viajando la mujer a los 10 segundos?

5. La velocidad de las olas en el mar bajo ciertas condiciones depende de , la longitud de onda (distancia entre cresta y cresta) y de la profundidad del agua por donde viajan las olas, h . La función que relaciona estas variables es

2 2tanh

2

g hv

Donde v es la velocidad, y g es la gravedad (29.81 /m s ).

a) Suponiendo que se mantiene h constante, con una profundidad de 50 m, determinar si la velocidad aumenta o disminuye con respecto de la longitud de onda cuando 5m .

b) Para la misma longitud de onda y altura, determine si la velocidad aumenta o disminuye con respecto de la altura.

6. Se está fotografiando un cuadro de 4 pies de altura colgado en una pared de una galería de arte. La lente de la cámara está 1 pie bajo el extremo inferior del cuadro. ¿A qué distancia de la pared ha de colocarse la cámara para conseguir el ángulo subtendido por el cuadro sea máximo?

7. La altura inclinada del cono mostrado a continuación es de 3 metros. ¿Qué tan grande debe

ser el ángulo señalado para maximizar el volumen del cono?

8. Una corriente alterna de 60 ciclos está descrita por la ecuación:

1120sin 120

120X t

Donde X representa la corriente en amperes a los t segundos.

a) Exprese la corriente X como una función del tiempo t .

b) Determine tres valores positivos más pequeños para los cuales la corriente es de 10

amperes.

9. Un faro se localiza a 3 km de la playa. Si este gira con una rapidez de 2 rpm, calcule la rapidez del rayo luminoso a lo largo de la playa cuando el rayo se halla a 2 km del punto de la playa más cercano al faro.

FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS.

F. Demuestre que:

1) 1 2ln 1 , - <x<senh x x x

2) 1 2cos ln 1 , x 1h x x x

3) 1 1 1tan ln , 1

2 1

xh x x

x

G. Encuentre la derivada de las funciones hiperbólicas inversas indicadas:

1) 1sinhy x

2) 1cosh 2 1y x

3) 11 tanhy

4) 11 cothy t t

5) 1 1cos secy x x h x

6) 2 1ln 1 sec , R/y x x h x

7) 1 1csc

2y h

8) 1 tany senh x

9) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,0) y además es tangente a la gráfica

de 1coshy x , además encuentre el punto donde la recta es tangente a la gráfica. Ver figura..

H. Efectué las siguientes integrales definidas:

1. 2 3

20 4

dx

x 4.

2

2

5

4

1

dx

x

2.

3

13

21

5

1 16

dx

x x 5.

2

21 4

dx

x x

3. 2

0

cos

1

xdx

sen x

6.

2

1 1 ln

edx

x x

I. Aplicaciones.

Si un cuerpo de masa m que cae libremente desde el reposo encuentra una fuerza de resistencia con el aire la cual es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del mismo. De la sumatoria de fuerzas se puede deducir que la ecuación diferencial que describe este movimiento está dada por:

2dvm mg kv

dt

Donde k es una constante que depende de las dimensiones y de la forma del cuerpo, además la ecuación desprecia el cambio en la densidad del aire con la variación de la altura.

a) Resuelva esta ecuación diferencial y demuestre que la velocidad del cuerpo está dada por:

( ) tanhmg gk

v t tk m

si se tiene la condición de que el cuerpo se deja caer.

b) Encuentre limt

v t

, este valor se conoce como velocidad limite velocidad terminal del cuerpo..

c) Para un paracaidista que pesa 160 lb cuyo cuerpo tiene una constante 2

20.005

lb sk

pie . Cuál es

la velocidad terminal del paracaidista.

RESPUESTAS.

Literal B

1. 4.2614

2. 3

3

3. -0.0732

4. 2

8

4

5. sinh 1

6. 2

5e

7. 1.8445

8. 0.1806

9. 0.6874

10. cosh 1

2

11. 1tan2

e

12. 3

3 3

13. 1

10

14. 2.5375

15. 1.9685

16. 3

LITERAL C.

1. 1

2. 1

3

3.

4. 0

5. 1

6. 1

2

LITERAL D

1. 6.067

2. 0.1384

3. 0.2103

4. 8

5. 5.1861

6. 0.3342

7. 3

8. 0.7215

9. 2.6076

10. 1.5708

11. 7

12

12. 0.2009

13. 0.8001

14. 0.2409

15. 4

LITERAL E

1. 2.0502 2u

2. 1.3524 2u

3. sinh sinhb b

a a

6. 5

7. 0.9553 radianes

9. 52

/ min3

km

LITERAL G

1.

1

2 1x x

2. 2

1

4 7 3x x

3. 11tanh

1

4. 11-coth

2t

t

5. 1-sech x

6. 1

2sec

1

xh x

x

9.

y = 0.6627x

es tangente en el punto 1.8102,1.1997

LITERAL H

1. 1senh 3

4. 1 1

ln2 3

5. 1 2 5

ln2 1 2

6. 1 R/senh 1

LITERAL I

)

)178.88 pies/s

mgb

k

c