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Vectores y sus componentes

Módulo: Es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa gráficamente por la

longitud del vector.

Dirección: Está dada por la orientación e el plano o en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido: Se muestra mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,

indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Conceptos Clave

Un vector es un segmento de recta dirigido caracterizable mediante una magnitud o módulo, una dirección y un sentido.

Un vector puede representarse usando flechas sobre las letras correspondientes al punto

inicial y al final, esto es, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ o bien, sobre una letra minúscula, es decir �⃗� .

El vector nulo correspondiente a un vector, pero de módulo 0, y se considera que no tiene dirección ni sentido.

Un vector 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ que va desde el origen del plano cartesiano al punto P, se denomina vector posición de P y se representa por 𝑝 . Las componentes de 𝑝 coinciden con las coordenadas del punto 𝑃(𝑝𝑥 , 𝑝𝑦), dado que

𝑝 = (𝑝𝑥 − 0, 𝑝𝑦 − 0) = ⟨𝑝𝑥 , 𝑝𝑦⟩

Si el origen y extremo de un vector 𝑣 en el plano cartesiano corresponden a los puntos

𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2), respectivamente, entonces la representación cartesiana de ese vector está

determinada por:

𝑣 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1⟩

El módulo de un vector, que está asociado a su longitud, se puede calcular mediante la expresión

||𝑣 || = √𝑥2 + 𝑦2, si 𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩

La suma de los vectores 𝑣 y �⃗⃗� , de coordenadas 𝑣 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ y �⃗⃗� = ⟨𝑐, 𝑑⟩ es el vector resultante

⟨𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑⟩

El producto de un escalar λ por un vector 𝑣 , de coordenadas ⟨𝑥, 𝑦⟩, es otro vector dado por λ𝑣 , y lo

definimos como:

λ𝑣 = λ ∙ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨λ ∙ 𝑥,λ ∙ 𝑦⟩. Decimos que λ es un vector ponderado de 𝑣

COLEGIO TOMÁS MORO

Unidad Técnica Pedagógica

Departamento de Matemática

Profesores: Frank Garrido

Nivel.: Cuarto Medio

Guía Resumen de contenidos de

Vectores en el plano cartesiano e

introducción a Vectores en el

espacio.

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El vector ponderado λ𝑣 tiene las siguientes características:

- Mantiene la dirección de 𝑣

- ||λ𝑣 || = |λ| ∙ ||𝑣 || - Si λ>0, el vector mantiene el sentido de 𝑣

- Si λ<0, el vector cambia de sentido

- Si λ=0, entonces λ𝑣 = 0 (vector nulo)

Vectores en el espacio

Decimos que la recta numérica real tiene solo una dimensión porque cada punto en ella puede

representarse con un solo número real

En este sentido decimos que el plano cartesiano tiene dos dimensiones porque podemos

representar cada punto del plano con dos números reales, es decir, cada punto tiene dos

coordenadas

De igual modo, decimos que el espacio cartesiano tiene tres dimensiones porque podemos

representar cada punto de él con tres números reales, las dos primeras coordenadas, que

corresponden al plano cartesiano (y que podemos asociar al “piso”) y luego agregamos una

coordenada más para indicar su altura, esto es, la distancia del punto a este piso.

Si un vector tiene coordenadas en el espacio ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ entonces su módulo es:

√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 y lo denotamos por ||⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩||

El vector de coordenadas ⟨0, 0,0⟩ en el espacio es el llamado vector nulo

La suma de los vectores 𝑣 y �⃗⃗� , de coordenadas 𝑣 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ y �⃗⃗� = ⟨𝑑, 𝑒, 𝑓⟩ es el vector resultante:

⟨𝑎 + 𝑑, 𝑏 + 𝑒, 𝑐 + 𝑓⟩

El producto de un escalar λ por un vector ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ resulta el vector

λ𝑣 = λ ∙ ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨λ ∙ 𝑥,λ ∙ 𝑦,λ ∙ 𝑧⟩.

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