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Guía 4 Física: Dinámica

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FÍSICA

Guía 4: Dinámica

Introducción

La unidad anterior hemos logrado comprender y clasificar el fenómeno del movimiento de los cuerpos, reconocimos y logramos diferenciar conceptos como rapidez, velocidad y aceleración. Hemos estudiado y analizado el movimiento de los cuerpos sin importar qué los motiva a moverse. Sabemos que un cuerpo que se mueve según una cierta velocidad permanecerá en ese estado inercial hasta que sobre él actúe una aceleración. Pero ¿qué hace que actúe una aceleración sobre un cuerpo? ¿qué relación hay entre la velocidad de un cuerpo y su masa? ¿Por qué cuesta tanto detener un tren que se mueve a alta velocidad?. La presente unidad busca despejar este tipo de dudas. Newton, por medio de sus leyes fue el primer hombre que pudo establecer una relación entre el movimiento de los cuerpos y su masa, como también pudo reconocer que si un cuerpo sufre una cierta aceleración necesariamente se encuentra actuando una fuerza sobre él.

Finalmente, el concepto de impulso nos ayudará a comprender el efecto del tiempo de aplicación de una fuerza sobre un cuerpo determinado y como se relacionan estos conceptos con la cantidad de movimiento o momentum que un cuerpo adquiere.


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Dinámica

La dinámica constituye aquella parte de la física que investiga las razones por las cuales las partículas o

cuerpos se mueven de la manera en que lo hacen, como por ejemplo por qué los cuerpos cerca de la superficie de la tierra caen con aceleración constante, por qué los átomos se unen para formar moléculas, por qué la tierra se mueve alrededor del sol en una órbita elíptica, Por qué oscila un resorte cuando se le estira y luego se le suelta. Nuestro afán de entender la el mundo que nos rodea nos llama a comprender estos y otros movimientos que observamos continuamente a nuestro alrededor. Esta comprensión es importante no solamente desde el punto de vista del conocimiento básico de la naturaleza, sino también desde el punto de vista de las aplicaciones prácticas. La comprensión de cómo (¿por qué?) se producen los movimientos nos capacita para diseñar máquinas y otros instrumentos prácticos que se mueven en la forma que nosotros deseamos

1. Definiciones

1.1 Masa La aceleración que adquiere un objeto depende no solo de las fuerzas aplicadas, sino también de la inercia del

objeto. La cantidad de inercia que posee un objeto depende de la cantidad de materia que hay en él; mientras más materia más inercia. La masa indica la cantidad de materia y por tanto de inercia que pose un objeto. Se puede entender también como la indolencia o resistencia que muestra un objeto en respuesta a algún esfuerzo para ponerlo en movimiento, detenerlo o cambiar de cualquier forma su estado de movimiento.

1.2 Gravedad La atracción que ejerce la masa de la Tierra sobre un objeto cualquiera con masa, resulta en una fuerza sobre el

objeto. Esta fuerza se traduce en una aceleración del cuerpo, en dirección al centro de la Tierra y de magnitud 9.811582 [m/s2]. Generalmente este valor se aproxima a 10 [m/s2]. El valor de la aceleración de gravedad para cada planeta depende de su masa y radio, además de la Constante de Gravitación Universal.

2t

t

RMG

g⋅

=r

Donde Mt: Masa de la Tierra Rt: Radio de la Tierra G=6.67x10-11 [Nm2/kg2]; Constante de Gravitación Universal Esta ecuación es válida para determinar la gravedad para cualquier planeta. El valor de g será entonces

proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de su radio. Como la Tierra no es perfectamente esférica, sino achatada en los polos, el valor de la aceleración de gravedad varía en función de la latitud en que nos encontremos.

1.3 Peso Corresponde a una fuerza dirigida hacia el centro de la Tierra, es la fuerza con que ésta atrae a los cuerpos

hacia su centro como resultado de la acción del campo gravitatorio que ejerce su masa. El peso es un vector, su magnitud es proporcional a la masa y a la aceleración de gravedad y su dirección es hacia el centro de la Tierra. Se determina como:

gmPrr

⋅= Donde m: Masa del cuerpo g

r: Aceleración


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15. La aceleración neta para los siguientes sistemas

en orden creciente será:

A) A,B,C B) C,B,A C) B,C,A D) C,A,B E) A,C,B

16. Si la resultante de todas las fuerzas que actúan

sobre un cuerpo es constantemente nula, podemos afirmar que:

A) La partícula se encuentra en reposo B) La partícula está en movimiento C) La partícula está en movimiento con velocidad

constante D) La partícula está en movimiento con velocidad

variable E) La partícula está en reposo o en movimiento

uniforme y rectilíneo

17. Debido a una fuera F, un cuerpo de masa m asciende verticalmente con una rapidez constante de 20 [m/s]. Con respecto a la fuerza F, se puede afirmar que:

A) Tiene magnitud mg y está dirigida hacia arriba B) Tiene magnitud mg y está dirigida hacia abajo C) Tiene magnitud 2 mg y está dirigida hacia arriba D) Tiene magnitud 2 mg y está dirigida hacia abajo E) Tiene magnitud 3 mg y está dirigida hacia

arriba.

18. Sobre un cuerpo actúa las cuatro fuerzas que se representan en la figura. El módulo de la fuerza neta sobre el cuerpo es:

A) 0 B) 6 N C) 10 N D) 14 N E) 26 N

19. Una misma fuerza actuando sucesivamente sobre dos cuerpos de masas distintas produce:

A) Necesariamente la misma aceleración B) Aceleraciones en la misma dirección y sentidos

opuestos C) Aceleraciones de módulos directamente

proporcionales a las masas D) Aceleraciones de módulos inversamente

proporcionales a las masas E) Aceleraciones de módulos y direcciones

diferentes

20. Dos fuerzas, su peso y la normal, actúa sobre un libro que descansa sobre una mesa. En este caso, con relación a la fuerza de roce se puede decir que.

A) Su módulo es directamente proporcional al peso B) Su módulo es mayor que la normal C) No existe fuerza de roce D) Su módulo es directamente proporcional a la

normal E) Es perpendicular a la normal


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8. ¿Cuál esquema representa en forma correcta un

diagrama de cuerpo libre?.

Es(son) correcta(s): A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) II y III

9. Un automóvil de 800kg se mueve con rapidez de 180km/h Si el automóvil choca contra la pared quedando detenido en un intervalo de 0,02s El impulso medio sobre el automóvil será:

A) 40 x 103 m/s2 B) 24 x 103 m/s2 C) 1728 m/s2 D) -1728 m/s2 E) 12 x 103 m/s2

10. A un cuerpo de 1 kg se le aplica un impulso de 60

Ns durante 30s hacia la derecha. Determinar la aceleración del cuerpo en m/s2.

A) 2 hacia la izquierda B) 2 hacia derecha C) 5 hacia izquierda D) 7 hacia derecha E) 7 hacia izquierda

11. Un cuerpo que se mueve inicialmente a velocidad

v, por acción de la fuerza de roce se detiene en un cierto tiempo. El gráfico que mejor representa el comportamiento de la velocidad en el tiempo es:

12. Dos planetas A y B cuyas masa son tal que mA: mB =1:2 y cuyos radios son tal que RA:RB=2:1, entonces la relación correcta que existe entre los módulos de sus respectivas aceleraciones de gravedad en sus superficies es:

A) gA : gB = 1 : 1 B) gA : gB = 1 : 8 C) gA : gB = 8 : 1 D) gA : gB = 4 : 1 E) gA : gB = 1 : 4

13. La barra de la figura se encuentra empotrada en la pared T. El orden creciente de los torques experimentados en la barra por la fuerza P para los puntos A, B y C es:

A) A,C, B B) A, B, C C) B, C, A D) B, A, C E) C, B, A

14. Según los esquemas se puede afirmar que:

A) En I se tiene la menor fuerza de roce estático. B) En II se tiene la mayor fuerza de roce estático. C) En III se tiene la menor fuerza de roce dinámico. D) En II y III por ser cuerpos planos tienen una

fuerza de roce estática menor que I. E) En los tres cuerpos la fuerza de roce estática es

la misma.


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1.4 Fuerza La experiencia diaria nos señala que el movimiento de un cuerpo es un resultado directo de sus interacciones con

otros cuerpos que lo rodean. Estas interacciones se describen convenientemente por un concepto matemático denominado fuerza. El estudio de las razones que hacen que un cuerpo se mueva que hemos definido como dinámica, en síntesis se refiere al estudio de las fuerzas que son las que motivan el movimiento. Una fuerza aplicada constantemente sobre un cuerpo produce un cambio progresivo en su movimiento llamado aceleración.

1.5 Fuerza Neta Vector fuerza resultante de la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Al dividir la

fuerza neta por la masa del cuerpo se obtiene la aceleración neta, en igual dirección y sentido de la fuerza neta. Si la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es distinta de cero, este se encontrará en estado inercial: En reposo o con velocidad constante.

2. Leyes de Newton

2.1 Primera Ley de Newton del Movimiento: Inercia Todo objeto continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta a menos que sea

obligado a cambiar ese estado por fuerzas que actúan sobre él. El estado de inercia es aquel en que un cuerpo no se encuentra sometido a una aceleración o que la

aceleración neta es cero. Un objeto en el suelo por ejemplo, permanecerá ahí indefinidamente a menos que una fuerza neta actúe sobre él moviéndolo y cambiándolo de su estado de reposo. Un objeto que se mueve a velocidad constante permanece también en un estado inercial puesto que carece de aceleración, se moverá indefinidamente a una misma rapidez y sin cambiar de dirección. En la práctica nunca podremos ver un caso en que la velocidad se mantiene indefinidamente puesto que siempre hay fuerzas que actúan en lo objetos. Como por ejemplo el roce y la gravedad.

Estado inercial implica que la fuerza neta es igual a cero. Es decir:

∑

==

=)reposo(0v

MRU,tetanconsvF r

rr

2.2 Segunda Ley de Newton: Ley fundamental de la dinámica La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, tiene la

dirección de la fuerza neta y es inversamente proporcional a la masa del objeto. Es distinto empujar a alguien que se encuentre sobre una patineta que empujar a un elefante que se encuentre

sobre esa misma patineta, la aceleración adquirida no solo dependerá de la fuerza sino también de la masa; recordemos que mayor masa implica mayor resistencia al movimiento.

mFar

r= ; o bien amF

rr⋅=

Donde: Fr

: Vector fuerza neta M: Masa inercial del cuerpo :a

rVector aceleración


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Un objeto acelerará en la dirección de la fuerza neta que actúa sobre el; si la fuerza se aplica en sentido contrario al movimiento de un cuerpo este disminuirá su velocidad, si por el contrario la fuerza se aplica en la misma dirección en que se mueve el objeto, este aumentará su velocidad. La aceleración de un objeto tiene siempre la dirección de la fuerza neta.

Ejemplo

Un vehículo que inicialmente se desplaza a una velocidad de 90 [km/hr], Si el vehículo tiene una masa de 500 [kg] y al aplicar los frenos se ejerce un fuerza de 250 [N] ¿Cuál es el valor de aceleración que se aplica al vehículo?¿Que distancia recorre el vehículo antes de detenerse completamente?

Solución

De los datos sabemos que el vehículo se desplaza inicialmente a 90 [Km/hr], realizando la conversión de unidades esta velocidad equivale a 25 [m/s]

La aceleración que sufre el vehículo es proporción directa de la fuerza aplicada e inversa a su masa:

]s/m[5.0]kg[500]N[250

mFa 2===

rr

Necesitamos determinar ahora la distancia que recorre antes de detenerse completamente. De las ecuaciones en

M.U.R. podemos elaborar la siguiente ecuación que nos entrega Xmax, como la máxima distancia que recorre el vehículo antes de detenerse.

]m[625]s/m[5.02

])s/m[25(a2

vx

2

22o

max =⋅

=⋅

=

Es decir, el vehículo sufre una aceleración en dirección contraria al movimiento de 0.5[m/s2] y alcanza a

desplazarse 625 [m]

2.3 Tercera Ley de Newton: Acción y Reacción Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto ejerce una fuerza de

igual magnitud y dirección opuesta sobre el primero. Esto quiere decir que a cada acción siempre se opone una reacción igual. En cualquier interacción hay un par

de fuerzas de acción y reacción, cuya magnitud es igual y sus direcciones son opuestas. Ninguna fuerza existirá sin la otra, por tanto las fuerzas se dan en pares, una en forma de acción y la otra en forma de reacción.

En la figura, una persona que se apoya sobre una pared ejerce sobre ella una fuerza. Al mismo tiempo, la pared ejerce una fuerza igual y opuesta sobre la persona permitiendo que esta no caiga. La acción del cohete es empujar los gases de la combustión, como reacción los gases impulsan al cohete. Un hombre ejerce la acción de tirar del resorte, como reacción el resorte tira del hombre.


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Guía de ejercicios

1. Sobre la barra horizontal fija en el punto C de la

figura a una distancia r se aplica una fuerza F. ¿ A qué distancia d del punto C se debe aplicar una fuerza F/3 para que la barra permanezca horizontal?

A) r/2 B) r C) 2r D) 3r E) 15r

2. El impulso capaz de producir en un cuerpo de 80 [kg] un cambio de rapidez de 2 [m/s] será:

A) 8 [kg m/s] B) 10 [kg m/s] C) 16 [Ns] D) 18 [Ns] E) 160 [Ns]

3. Un cuerpo de 1 [Kg] que se mueve a 40 [Km/h] hacia la derecha, choca de frente contra otro masa de 2 [Kg] que se mueve a 20 [Km/h] hacia la izquierda; después del choque ambos quedan unidos. La velocidad final del conjunto en [Km/h] será:

A) 30 hacia la izquierda B) 20 hacia la izquierda C) 0 D) 20 hacia la derecha E) 30 hacia la derecha

4. El valor de g = aceleración de gravedad en la tierra es:

A) Siempre de 9,8m/s2 B) siempre de 10 m/s2 C) Aproximadamente de 9,8 m/s2 y depende de su

ubicación D) Aproximadamente de 10 m/s2 en cualquier zona E) Ninguna de las anteriores

5. Un cuerpo de 30kg-peso cuelga del extremo de una cuerda. Hallar la aceleración de dicho cuerpo si la tensión en la cuerda es 30kg-peso.

A) 50 m/s2 B) 60 m/s2 C) 90 m/s2 D) 69.8 m/s2 E) 0 m/s2

6. Si el coeficiente de roce dinámico es μ=0.6 y la aceleración de gravedad es 10 [m/s2], la aceleración del bloque de 8 Kg es:

A) 0 m/s2 B) 15 m/s2 C) 9 m/s2 D) 6 m/s2 E) faltan datos

7. Se desea levantar un objeto de masa m por medio de una palanca ubicada a una distancia L de su punto de rotación, como indica la figura. ¿Cuál es la fuerza F mínima necesaria para levantar el cuerpo respecto a la masa m?

A) 5mg B) 3mg C) 2mg D) mg E) mg/2


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Mapa Conceptual de la unidad


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3. Peso y fuerza normal

Los objetos que se encuentran en la superficie terrestre se encuentran todos sometidos a la misma aceleración de

gravedad g. La fuerza de gravedad FG sobre un cuerpo, que también se conoce como su peso, puede representarse mediante

gmFgrr

⋅=

Si bien la fuerza de gravedad sobre un objeto actúa cuando este cae, esta fuerza no desaparece cuando el cuerpo se encuentra en reposo sobre una mesa. Pero ¿Si la fuerza sigue actuando por qué el objeto no se mueve?. De acuerdo a la segunda ley de Newton en un cuerpo que se encuentra en reposo la fuerza neta es cero. Para el caso del cuerpo que se encuentra sobre una mesa, la mesa ejerce una fuerza hacia arriba en igual magnitud pero en sentido contrario. La mesa se comprime ligeramente bajo el objeto, y por su elasticidad, lo empuja hacia arriba. De esta manera la fuerza neta es cero y el cuerpo se mantiene en reposo.

Si sobre el objeto sobre la mesa se aplica una fuerza adicional hacia abajo (hacer que el cuerpo pese más), la fuerza normal aumentará hasta igualar la suma del peso más la fuerza con que se presiona, el cuerpo se mantiene en reposo porque la fuerza neta sigue siendo nula. Si por el contrario, levantamos levemente el cuerpo (lo hacemos más liviano) la normal bajará en proporción a la fuerza que se aplica.

3.1 Método vectorial para la solución de problemas de fuerzas Como hemos definido anteriormente, la fuerza neta corresponde a la suma vectorial de todas las fuerzas que

actúan sobre un objeto. Al ser vectores, la suma de fuerzas puede desarrollarse según los mismos métodos y reglas que se usan la suma de velocidades y aceleraciones. La figura siguiente por ejemplo muestra un cuerpo que es tirado según dos fuerzas de magnitud 36 [N] que forman un ángulo de recto entre sí. Debido a que las fuerzas tienen igual magnitud, intuitivamente podemos predecir que su movimiento será de 45º respecto de la dirección de la fuerza.

De acuerdo a las reglas de sumas de vectores, la magnitud del vector resultante la podemos obtener usando el teorema de Pitágoras. Es decir:

]N[236])N[36(])N[36(F 22

R =+=


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Ejercicios Resueltos Determine la fuerza neta que actúa sobre una embarcación de la figura. Solución Las fuerzas F1 y F2 se descomponen de acuerdo al sistema de

referencia x-y construido. Tenemos: Para el caso de F1:

]N[3.28707.0]N[40)45(senFF]N[3.28707.0]N[40)45cos(FF

1y1

1x1

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

Para el caso de F2 Tenemos:

]N[24799.0]N[30)37cos(FF 2x2 =⋅=⋅=

]N[1.18602.0]N[30)37cos(FF 2y2 −=⋅−=⋅= La componente en y de F2, F2y es negativa porque apunta hacia el eje

negativo de las y. Para determinar las componentes x e y de la fuerza resultante

calculamos:

]N[2.10]N[1.18]N[3.28F]N[3.52]N[24]N[3.28F

Ry

Rx

=−=

=+=

La magnitud de FR se determina según el teorema de Pitágoras

]N[3.53)2.10()3.52(FFF 222Ry

2RxR =+=+=

r

De acuerdo a la magnitud que conocemos de las componentes de FR podemos determinar la dirección de este

vector resultante.

º11)195.0(gtan195.0]N[3.52]N[2.10

FF

)tan( 1

Rx

Ry ==θ⇒===θ −

3.2 Diagrama de cuerpo libre El Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) es una herramienta que se utiliza para representar gráficamente todos los

vectores de fuerzas que actúan sobre un cuerpo o partícula. Requiere de la asignación conveniente de un sistema de coordenadas para usarlo como referencia, las fuerzas se representan respetando las direcciones y sentidos originales y son dispuestas en forma colineal al centro de masa. Esta herramienta facilita el uso de la geometría y la trigonometría para el establecimiento de las ecuaciones de equilibrio y la resolución de las incógnitas.


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]s/m[444.4]kg[1500

]s/m[350]kg[400

f2v

v]kg[15000]kg[4000]kg[1500]s/m[3

50]kg[400

vmvmvmvm

pp

f2

f22f11i22i11

conjuntodelfinalconjuntodelinicial

=⋅

=

⋅+⋅=⋅+⋅

⋅+⋅=⋅+⋅

=

Es decir, producto de la menor masa del automóvil, el camión solo alcanzó una velocidad de 4.44 [m/s] después

de la colisión. Un carro de ferrocarril de 10000 [kg] que viaja a una rapidez de 24 [m/s] choca contra otro idéntico que se

encuentra en reposo. Como resultado del choque, los carros s enganchan. ¿Cuál es la rapidez común después? Solución La cantidad de movimiento inicial total es:

]s/mkg[10x4.2

])s/m[0(])kg[1000(])s/m[24(])kg[10000(vmvm5

2211

⋅=

⋅+⋅=⋅+⋅

Después del choque, la cantidad de movimiento total será la misma, pero compartida por los dos carros. Dado

que se enganchan, tendrán la misma velocidad vf. Entonces:

]s/m[12]kg[10x2

]s/mkg[10x4.2v

]s/mkg[10x4.2v)2m1m(

4

5

f

5f

=⋅

=

⋅=⋅+


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7.4 Colisiones elásticas y plásticas Se emplea el término de colisión para representar

la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las

colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo ciertas colisiones de vehículos.

En una colisión elástica en cambio no existe disipación de energía por efectos térmicos, acústicos. La energía cinética del sistema se conserva existiendo solo un intercambio de energía entre los cuerpos. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

7.5 Conservación de la cantidad de movimiento en colisiones Para los casos de colisiones elásticas y en aquellas en donde se pueden despreciar las pérdidas de energía

podemos usar la ley de conservación de la cantidad de movimiento.

f22f11i22i11

conjuntodelfinalconjuntodelinicial

vmvmvmvm

pp

⋅+⋅=⋅+⋅

=

Ejercicios resueltos Un automóvil de 400 [kg] que viaja a una velocidad de 60 [km/hr] colisiona con un camión de 1500 [kg] que se

encontraba detenido. Si al chocar el automóvil quedó detenido. Determine la velocidad con que se mueve el camión después de la colisión suponiendo que la colisión fue elástica.

Solución Como la colisión se supone elástica es posible usar la igualdad en la cantidad de movimiento. Según los datos

que tenemos podemos decir:


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Ejemplo

El caso 1 de la figura muestra un cuerpo de masa m sobre una superficie horizontal, el peso del cuerpo es de magnitud mg y tiene dirección hacia abajo, la superficie por su parte ejerce una reacción al peso llamada normal, la cual tiene magnitud igual al peso y su sentido es opuesto al vector que describe el peso. La suma del vector peso y la normal da una fuerza neta igual a cero, el cuerpo se encuentra en este caso en reposo.

El caso 2 describe un cuerpo sobre una superficie inclinada en un ángulo a respecto de la horizontal. El sistema de referencia ha sido fijado convenientemente según la inclinación de la superficie. El peso nuevamente apunta en forma vertical hacia abajo, pero en este caso la magnitud de la normal no es igual al peso, sino igual a la componente perpendicular a la superficie Py y apunta en contra de Py. La componente en x de P, Px, no tiene ninguna fuerza que la contrarreste. Por lo tanto, debido a Px el cuerpo acelerará según la inclinación de la superficie.

Ejercicios resueltos Una caja de masa 10 [kg] se encuentra sobre una superficie horizontal lisa. La caja cuenta con un cordel en su

extremo superior derecho del que se tira con una fuerza de 40 [N] formando un ángulo de 30º con la horizontal. Elabore el D.C.L. Determine la aceleración que sufre la caja. Determine la magnitud de la fuerza FN que ejerce la mesa sobre la caja.

Tenemos en las figuras anteriores una gráfica del problema y su respectivo D.C.L. Debido a que se señala que la

superficie es lisa no se considera la acción de la fuerza de roce. En el diagrama de cuerpo libre tenemos que señalar todas las fuerzas que actúa sobre la caja y solamente esas fuerzas. Se trata de la fuerza de gravedad P

r, la fuerza que

ejerce la mesa NFr

y la fuerza que ejerce quien tira de la caja PFr

. Siendo y el eje vertical y x el horizontal, el tirón de 40 [N] tiene las componentes:


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]N[35866.0])N[40()º30(cos])N[40(FPX =⋅=⋅= ]N[205.0])N[40()º30sen(])N[40(FPY =⋅=⋅=

Para determinar la aceleración de la caja debemos primero determinar la fuerza neta que actúa en la dirección x.

En la dirección x, NFr

y Pr

tienen componentes cero, por lo que la componente horizontal de la fuerza neta es PXFr

. De la segunda ley de Newton tenemos:

xPX amF ⋅=r

De modo que:

]s/m[5.3]kg[10]N[35

mF

a 2PXx ===

Aplicando la segunda ley de Newton, ahora para el eje vertical tenemos:

yPyN amFgmF

amF

⋅=+⋅−

⋅=∑

Evaluando en forma independiente cada uno de los términos de la ecuación:

]N[20Fy]N[98]2s/m[8.9]kg[10mg py ==⋅= Además, sabemos que ay=0 debido a que la caja no se mueve en sentido vertical. Así

0]N[20]N[98FN =+−

Despejando, FN=78 [N]

Observe que FN es menor que mg porque la fuerza que se ejerce para tirar tiene dirección hacia arriba.

4. Fuerza de roce

4.1 Definición Llamamos roce a la fricción que se genera debido al contacto entre dos superficies que tienen cierta

rugosidad. Hasta ahora no hemos considerado el efecto del roce en la resolución de problemas. Sin embargo, este se encuentra presente en todos aquellos casos en que una superficie hace contacto con otra. Estudiaremos un tipo particular de fricción de resbalamiento o deslizamiento llamado fricción cinética.

La fuerza de fricción actúa siempre en sentido contrario al movimiento; Es decir, se opone al movimiento de los cuerpos. La magnitud de la fuerza de roce depende directamente de la naturaleza de las superficies en contacto y de la fuerza normal a las superficies. Es decir:

NkcinéticoRoce FF ⋅µ=

Si bien la fuerza normal es un vector, para la determinación de la fuerza de roce se considera solo su magnitud,

no su naturaleza vectorial. La dirección de la fuerza de roce depende del movimiento, va en contra del movimiento y a la vez es perpendicular a la fuerza normal. Al término kµ se le llama coeficiente de roce cinético y su valor dependerá de las superficies. La tabla siguiente expresa algunos valores para pares de materiales.

Aún cuando los cuerpos están en reposo puede existir roce, en este caso la fuerza de fricción se denomina como Roce estático, y está presente cuando no existe desplazamiento relativo entre las dos superficies. El coeficiente de roce a usar en estos casos es sµ , coeficiente de roce estático.

NsestáticoRoce FF ⋅µ≤


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En donde el término de la izquierda de la igualdad representa al impulso y la expresión de la derecha representa un cambio en la cantidad de movimiento. Es decir, el impulso de una fuerza F

ren un intervalo de tiempo t∆ genera un

cambio en la cantidad de movimiento lineal del cuerpo pr

∆ . En resumen podemos decir:

pIrr

∆= Ejemplo Sobre un carro de masa 500 [kg] inicialmente en reposo se aplica una fuerza de 100 [N] por un instante de tiempo

de 20 [s]. Determine la velocidad que alcanza el vehículo cuando se deja de aplicar la fuerza. Solución Usando la ecuación de igualdad entre impulso y cantidad de movimiento tenemos:

]s/m[4]kg[500

]N[100]s[20ventoncesceroesvcomovvm

Ft

vmFt

fiif =⋅

=−=⋅∆

∆⋅=⋅∆r

rr

7.3 Conservación de la cantidad de movimiento lineal Hasta ahora hemos considerado el momentum de una sola partícula y lo hemos determinado en términos de su

velocidad y masa. Podemos considerar un sistema formado por dos o más cuerpos en donde la fuerza neta ejercida es nula. Como la fuerza neta es cero, el impulso generado será también cero. Es decir:

fi

if

pppp0

p0FtI0F

rr

rr

rrr

=

−=

∆==⋅∆=⇒=

Si tenemos dos partículas de masa m1 y m2 con velocidades iniciales v1 y v2 respectivamente podemos sumar vectorialmente las cantidades de movimiento individuales obteniendo pi. La ecuación anterior nos dice que si la fuerza neta es cero el momentum final pf será el mismo que aquel obtenido con los datos iniciales. Es decir:

f22f11i22i11 vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅ Esta igualdad nos señala que la cantidad de movimiento total de las dos cuerpos se conserva: permanece

constante. Este resultado es especialmente útil en el estudio de colisiones elásticas.


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7. Impulso y Cantidad de movimiento lineal

7.1 Impulso Dependiendo de la cantidad de tiempo que una fuerza actúe sobre un cuerpo el efecto que produzca la

aceleración sobre la velocidad será distinto. A la relación entre una fuerza y el tiempo en que esta fuerza se encuentra presente en el cuerpo la llamamos impulso.

El impulso generalmente se denota por la letra I y se define como la multiplicación de la fuerza Fr

y el intervalo de tiempo t∆ en que la fuerza es aplica sobre un cuerpo. El impulso es un vector cuya dirección y sentido coinciden con el de la fuerza.

tFI ∆⋅=rr

7.2 Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento o momentum relaciona la velocidad de un cuerpo con su masa. Entre una bicicleta y

un tren que van a una velocidad de 35 [km/hr], el tren tiene mayor cantidad de movimiento puesto que su masa es mayor. Debido a esto será más difícil detener al tren que a la bicicleta. Un barco, a pesar de navegar a velocidades relativamente bajas tiene gran cantidad de movimiento puesto que su masa es muy grande. En efecto, a pesar de haber detenido sus motores un barco puede recorrer distancias considerables solo por la cantidad de movimiento que tiene.

La cantidad de movimiento, o momentum, de un cuerpo se define como el producto de su masa por su velocidad.

En general, se representa con la letra p. Si m representa la masa de un cuerpo y v su velocidad, entonces su cantidad de movimiento p es:

vmprr

⋅= En esta ecuación se usa el vector velocidad, el cual es multiplicado por un escalar, la masa. Como resultado el

momentum p es también un vector cuya dirección es la del vector velocidad. Podemos relacionar Impulso con cantidad de movimiento de la siguiente manera:

vmFttvmamFrr

rrr

∆⋅=⋅∆∆∆

⋅=⋅=


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Dependiendo entonces de si existe movimiento entre las dos superficies sabremos si estamos en presencia de roce estático o cinético.

Por ejemplo, sobre un piso horizontal descansa un mueble. Las fuerzas presentes hasta ahora son el peso y la fuerza normal. Supongamos ahora que aplicamos una fuerza para desplazar el objeto. Si a pesar de la fuerza aplicada el objeto no se mueve es porque en contra de la fuerza aplicada ha actuado una fuerza de roce estático que se opone al movimiento haciendo que la fuerza neta sea cero. Si se empuja con mayor fuerza y no logramos que el mueble se mueva haremos que aumente la fuerza de roce estático. Si se empuja con la fuerza suficiente, el mueble comenzará a moverse. En este punto se habrá rebasado la fuerza de roce estático, determinada por NsRE FF ⋅µ= . Cuando el mueble se encuentre en movimiento comienza a actuar el roce cinético, cuyo coeficiente es menor que el de roce estático haciendo que se requiera menor fuerza para mantener el movimiento.

4.2 Fuerza de roce en plano inclinado La consideración de los efectos del roce en planos inclinados suele no ser muy distinta que para el caso de

planos horizontales. Como se señaló en el estudio de D.C.L. la situación se simplifica notablemente si se escoge un sistema de referencia de acuerdo a la dirección del movimiento. Se debe tener en cuenta en esos casos que la normal ya yo es igual al peso del cuerpo sino a la componente perpendicular al cuerpo.

Escogiendo un sistema de referencia como el de la figura, la fuerza de roce tendrá solo componentes en x (paralela al movimiento), mientras que la normal tendrá componentes solo en y.


10

Ejercicios resueltos

a) Roce estático Un cuerpo de 10 [kg] de masa se encuentra sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de roce estático es

de 0.4, determine la máxima fuerza con que se puede empujar sin que el cuerpo se mueva. Solución El valor de la fuerza de roce FRE depende de la fuerza F1 que se

aplique al cuerpo. El máximo valor que puede tomar FRE estará dado por: NsestáticoRoce FF ⋅µ=

Donde FN es la fuerza normal y se calcula en este caso como:

]N[100]s/m[10]kg[10gmF 2N =⋅=⋅=

Luego: ]N[40]N[1004.0F estáticoRoce =⋅=

Por lo tanto el máximo valor de FRE es 40 [N]. Si se aplica una fuerza mayor que esta entonces el cuerpo se moverá.

b) Roce cinético En el caso del ejemplo anterior. Si se aplica una fuerza

de 120 [N] en dirección x, determine la aceleración que alcanza el cuerpo. Considere roce cinético 35.0k =µ .

Solución Esta vez la fuerza aplicada es muy superior a la

mínima necesaria para que el cuerpo se mueva. Como existe arrastre o desplazamiento relativo entre las superficies el roce se determina a través del coeficiente de roce cinético kµ .

Como no existe movimiento en el sentido vertical, la

fuerza neta en la dirección x es cero. Es decir: 0PN =−

rr


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6.1 Equilibrio La primera ley de Newton que se refiere a la inercia de los cuerpos es aplicable tanto para el análisis de fuerzas

como de torques. Un cuerpo se encontrará en equilibrio estático si su aceleración neta es nula. Llamamos también a este tipo de equilibrio traslacional Es decir:

∑ = 0Fext

rr

Si por otra parte, el cuerpo no puede rotar su torque neto será cero. Reconocemos esta condición como

equilibrio rotacional. Es decir:

∑ =τ 0ext

rr

Ejercicio resuelto Una persona desea hacer equilibrio en un tablón. Para ello coloca cajas de 5 [kg] en el lado opuesto del tablón a

modo de contrapeso como lo muestra la figura. Si las distancias D1 y D2 son 50 y 200 [cm] respectivamente y la persona tiene una masa de 80 [kg] ¿Cuantas cajas debe colocar en el lado opuesto? Cuando se encuentra en equilibrio rotacional ¿qué fuerza se ejerce sobre el rodillo?

Se necesita determinar el contrapeso de manera de garantizar el equilibrio rotacional. Se reconoce como punto de

rotación al punto R. Considerando como torques positivos aquellos que van en contra del sentido del reloj. Luego:

]N[200]m[2

]m[5.0]N[8002D

1DPC

02DC1DP

0ext

=⋅

=⋅

=

=⋅−⋅

=τ∑rr

Como cada caja tiene una masa de 5 [kg] (50 [N] de peso), se necesitan 450200

= cajas para lograr el equilibrio

rotacional. La fuerza que se ejerce sobre el rodillo de apoyo se puede

calcular usando la ecuación de equilibrio trasnacional y el D.C.L. adjunto:

]N[1000]N[200]N[800CPR

0CPR

0Fext

=+=+=

=−−

=∑rr

Por lo tanto, el rodillo siente un peso de 1000 [N].


14

6. Torque y rotación

Sabemos que la dinámica estudia las causas de los movimientos. El torque en particular

busca explicar la causa de los movimientos rotacionales. Análogo a lo que sucede en el movimiento lineal, un cuerpo continuará en un estado de rotación permanente siempre que no exista una fuerza neta, o más bien, un torque neto que actúe para cambiar dicho movimiento.

El torque es el resultado de la combinación de una fuerza, un punto de apoyo que actúe como centro de giro y una distancia entre el punto de giro y la fuerza (brazo). Una puerta o una ventana son ejemplos de aplicación de torque; tanto para abrirla como para cerrarla debemos aplicar una fuerza, el centro de giro es la bisagra y el brazo es la distancia entre la bisagra y la manilla. El torque se calcula como la distancia entre la bisagra multiplicada por la fuerza perpendicular a esa distancia.

dF ⋅=τ

De la ecuación podemos

observar que mientras mayor sea la fuerza aplicada mayor será el torque. Para una fuerza dada, podemos aumentar el torque aumentando la distancia entre el punto de aplicación y el punto de rotación.

Herramientas como un destornillador o una llave usan el principio de torque; Aumentan el torque con que se hace girar el tornillo o la tuerca aumentando el brazo.

Ejemplo La tuerca de la rueda de una bicicleta necesita un torque de 1000 [N m] para quedar realmente apretada. Si la

llave que se desea utilizar tiene una longitud de 15 [cm] ¿cuánta fuerza se necesita aplicar para apretar la tuerca? Si se cuenta con una segunda lleva de 20 [cm] de longitud, ¿Cuál conviene usar?

Solución

De acuerdo con la ecuación de torque ]N[3.333]m[15.0]mN[50

dFdF =

⋅=

τ=⇒⋅=τ

Al usar la llave más larga, la fuera necesaria sería: ]N[250]m[2.0]mN[50

dF =

⋅=

τ=

Por lo tanto, conviene usar la llave de 20 [cm] puesto que no así será menor la fuerza requerida.


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Sabemos que en sentido horizontal x debe existir desplazamiento. Las ecuaciones en este caso son:

amFF RK1rrr

⋅=−

En términos de la fuerza normal N la fuerza de roce cinético se determina como: NKRK FF ⋅µ= pero sabemos que la fuerza norma es gmFN ⋅= . Por lo tanto podemos decir:

gmFF KNKRK ⋅⋅µ=⋅µ=

Luego, usando los datos y despejando la aceleración neta, tenemos:

]s/m[5.8]kg[10

]s/m[10]kg[1035.0]N[120mFF

a 22

RC1 =⋅⋅−

=−

=

rrr

Por lo tanto el cuerpo alcanza una aceleración de 8.5 `m/s2+. Si no existiera roce el cuerpo podría alcanzar una

aceleración de:

]s/m[12]kg[10]N[120

mF

a 21 ===

rr

c) Roce en plano inclinado Un mueble cuya masa es 30 [Kg] se desliza por una superficie de madera inclinada 30º respecto de la horizontal.

Determine la aceleración con la que avanza si el coeficiente de roce entre las superficies es de 0.2. Solución La figura muestra el diagrama de cuerpo libre del mueble que se

arrastra por la superficie. El sistema de referencia se ha escogido convenientemente según la dirección del movimiento.

Como la superficie es inclinada la fuerza normal Nr

ya no es igual en magnitud al peso sino a la componente perpendicular a la superficie.

Aplicando al segunda ley de Newton en la dirección x para calcular la aceleración al descender ax tenemos:

xk

xx

amN)(sengm

amF

⋅=⋅µ−θ⋅⋅

⋅=∑

Deseamos conocer el valor de ax pero aún no conocemos N. Necesitamos plantear una segunda ecuación de manera de despejar la incógnita N.

)cos(gmN0)cos(gmN

)ydrecciónlaenmuevesenomuebleEl(0amF yy

θ⋅⋅=⇒=θ⋅⋅−

=⋅=∑

Reemplazando N en la primera ecuación:

m)cos(gm)(sengm

ax

am)cos(gm)(sengm

k

xk

θ⋅⋅⋅µ−θ⋅⋅=

⋅=θ⋅⋅⋅µ−θ⋅⋅

Dado que hay m en cada término, podemos simplificar. Reemplazando los datos:

]s/m[26.3ax

)30cos(102.0)30(sen10ax2=

⋅⋅−⋅=


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5. Tensiones en cuerdas

A la fuerza que permite estirar una cuerda le llamamos tensión. Una cuerda que une dos cuerpos por medio de la tensión puede transmitir una fuerza desde un cuerpo a otro. Sin embargo, debido a su flexibilidad una cuerda no permite transmitir fuerzas de compresión. Es decir, con una cuerda podemos tirar pero no empujar.

Debemos tener claridad respecto de cómo trabajar con cuerpos unidos con cuerdas sobre todo cuando existe roce.

Ejercicios resueltos

a) Tensión sin roce Dos cajas de masa m1 y m2 unidas por una cuerda de peso despreciable. Se tira desde la derecha con una fuerza

de 100 [N] y no existe roce entre las superficies. Determinar la aceleración de las cajas y la tensión T en la cuerda.

La aceleración en cualquiera de las cajas es la misma que la del conjunto, todo el sistema se mueve al mismo

tiempo. Como conocemos la fuerza con la que se tira del conjunto m1 más m2, la aceleración podemos determinarla usando la segunda ley de Newton:

]s/m[2]kg[50]N[100

]kg[14]kg[36]N[100

mmF

mFa 2

21==

+=

+==

vr

Para determinar la tensión T debemos hacer D.C.L. para la caja 1 y considerar la aceleración con que se mueve. Usando el sistema de referencia del D.C.L. y

aplicando la segunda ley de Newton en el eje x donde existe movimiento, tenemos:

]N[72T]2s/m[2]kg[14]N[100T

amFTamTF

amF

x1p

x1p

x1x

=⋅−=

⋅−=

⋅=−

⋅=∑

Es decir la tensión con que es tirada la segunda caja

es 72 [N]. Podemos comprobar el resultado obtenido aplicando la segunda ley de Newton solo a la caja dos:

Tenemos.

]s/m[2]kg[36]N[72

mTa

amT

amF

2

2x

x2

x2x

===

⋅=

⋅=∑

La aceleración obtenida para la segunda caja es 2 [m/s2], igual a la obtenida inicialmente.


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b) Tensión con roce Analicemos el mismo ejemplo pero ahora considerando la existencia de roce cinético de 0.4 entre las superficies. Podemos determinar la aceleración del conjunto m1 más m2 pero ahora debemos considerar una fuerza de roce

distinta para cada cuerpo y que se opone al movimiento. Conviene elaborar un diagrama de cuerpo libre para el conjunto.

Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección x para el conjunto, tenemos:

]s/m[2a

]kg[50]N[100

]kg[50]kg[50]s/m[104.0]N[100

]kg[50)mm(g]N[100

]kg[50]NN]N[100

)mm(FFF

a

a)mm(FTTFF

a)mm(F

2x

221k2k1k

21

2R1Rpx

x212R1Rp

x21x

−=

−=

⋅⋅−=

+⋅⋅µ−=

µ−µ−=

+

−−=

⋅+=−+−−

⋅+=∑

Es decir, producto del roce y a pesar de la fuerza aplicada el conjunto desacelera su movimiento. Conocida la aceleración, es posible determinar la tensión T aplicando la segunda ley de Newton en la dirección x

a cualquiera de los dos cuerpos. Por simplicidad es más conveniente hacerlos en el segundo cuerpo. Tenemos:

]N[72)104.02(]kg[36T)ga(mgmamT

FamTamFT

amF

kx22kx2

2Rx2

x22R

x2x

=⋅+−⋅=⋅µ+⋅=⋅⋅µ+⋅=

+⋅=⋅=−

⋅=∑

guia 4 dinámica sin fondo · 2.2 segunda ley de newton: ley fundamental de la dinámica ac elera...

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