Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas” Facultad de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Matemática Matemática II ING. Ciclo 02/2013 Ing. Daniel Augusto Sosa Ing. Melvin Guardado Ing. José María Velásquez

FUNCIONES INVERSAS, LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES.

A. Determine si las siguientes funciones son inyectivas o no inyectivas:

1) 41f x x

2) 32f x x

3) f x x x

4) 2

2

2 , 1

, 1

x xf x

x x

5) 1 , 3

2

, 32

xx

f xx

xx

B. Determinar si las funciones a continuación poseen inversa. Si la inversa existe, determinar la

función inversa:

1) 1

3f x

x

2) 3

1f x

x

3) 3

3

2

1

xf x

x

4) 4f x x

5) 3 1f x x

6) 24f x x

7) 24 9f x x

8) 3

1

1

xf x

x

C. Calcular 1 'f d para las siguientes funciones:

1) 2 16, 9f x x d

2) 5 33 2 , 5f x x x d

3) 3 1, 1f x x d

4) 2cos 1

,2 4

xf x d en el intervalo 0

2x

5) 2cot , 2f x x d en el intervalo 0 x

6) sin , 3f x x x d en el intervalo 0 x

7) 2

3

2 3cos , 0

x

f x t dt d

8) 4

2

, 01

xdt

f x dt

D. Realizar un bosquejo de las funciones descritas a continuación:

1) | |3xf x

2) 2 xf x x e

3) 2

x xe ef x

4) lnf x x x

5) 2

3 xf x x e

E. Determinar las derivadas de las funciones a continuación. Hacer uso de propiedades para

simplificar el proceso de ser posible:

1) 3 2ln 2 4f x x x x

2) cos

ln cos ln4

xf x x

x

3) 2 1ln 3 9 ln

3f x x x

x

4) 3

10log 9f x x

5) 2 2ln 2f x x x

6) 25 42 3x xf x

7) lnf x x x

8) tan 33sinxxf x e e

9) 10log cosf x x

10) tan xf x e

11) lnf x x

12) ln sinf x x x

13) 3

1log

2

x xf x

14) ln x xf x e e

15)

2

3

1ln

2 1

x xf x

x

16) 2

sec 3xf x

17) ln lnf x x

18)

ln

1 ln

x xf x

x

19)

3

2 2

ln 1ln

ln

xf x

xx x

20)

2

2/3

tan 1ln

3

x xf x

x

F. Utilizando derivación logarítmica, calcular dy

dxpara las funciones a continuación:

1) 1x

y x

2) 1y x x

3) 5

cos

xy

x x

4) 3

75

2

1

x xy

x

5) tan 2 1y x x

6)

sin

sec

x xy

x

7)

2

2

3

1

1

xy

x

8)

32

4

3 1

6

x x xy

x

9) 2

cosx

y x

10) ln x

y x

G. Desarrollar las siguientes integrales:

1) 21

xdx

x

2)

cos 3 3

sin 3

xdx

x

3) sec tanx x dx

4) tan ln x

dxx

5) 3

2

2

4

xdx

x

6) 1

2

xdx

x

7)

3

231 2

x

x

edx

e

8)

1ln

2 x

dxx

9) 1

1dx

x

10) 21 x

x

edx

e

11) 10log

dx

x x

12) 1

x

x

edx

e

13) cos7 sin

xx dx

14) 1

1 xdx

e

15) 2

2

1

sen xdx

sen x

16) 2 1 lnxx x dx

17)

2

2 ln

1 ln

x

x x

18) 2ln tan sec

tan( )

x xdx

x

19) 2

1 tan x dx

20)

ln

ln

xdx

x x

H. Resolver los siguientes problemas de aplicación:

1) En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomara un valor determinado. Probar que la función de densidad de probabilidad normal:

2

21

2

x

f x e

tiene puntos de inflexión en 1x .

2) Encontrar el área comprendida por la intersección de las curvas 1

, ,4

xy e y y xx

y el

eje vertical.

3) Calcular el área de la región limitada por las curvas 10log , lny x y x y 3x .

4) Una compañía estima que en t años el número de sus empleados será:

28

100010

t

N t

a) ¿Cuántos empleados espera tener en la compañía en 4 años? b) ¿A qué tasa se espera que el número de empleados este variando en 4 años?

5) Una agencia de publicidad determinó estadísticamente que si un empresario de desayunos

preparados aumenta su presupuesto para comerciales de televisión en x miles de dólares,

tendrá un incremento en la ganancia total de 2 0.225 xx e . ¿Cuál debe ser en el incremento en el presupuesto para publicidad a fin de que el empresario obtenga la máxima ganancia?

6) La intensidad del sonido se mide en decibeles, en honor a Alexander Graham Bell, inventor del

teléfono. Si la variación en la presión es de P libras por pulgada cuadrada, entonces la

intensidad L en decibeles viene descrita por:

1020log 121.3L P

Encuentre la variación en la presión causada por una banda de rock en concierto a 115 decibeles. (Sugerencia: haga uso de las propiedades de la función logaritmo base n).

7) El número de bacterias en un cultivo que crece con rapidez se estimó que era de 10000 al mediodía y 40000 después de 2 horas. Se le solicita como investigador realizar una predicción de cuantas bacterias habrá a las 5:00 p.m.

8) Un objeto se saca de un horno a 350 °F y se deja enfriar en una habitación que está a 70 °F. Si la temperatura del objeto desciende 250 °F, ¿Cuál será su temperatura tres horas después de que se sacó del horno?

9) Si hoy se ponen $375 en el banco, ¿Cuál será su valor al final de dos años, si el interés es del 3.5 % y se compone: a) Anualmente b) Diariamente c) Mensualmente d) Continuamente

10) Un nuevo obrero en una línea de ensamble puede realizar una tarea particular de tal manera

que si P unidades de producto son terminadas en un día después de t días en la línea de ensamble, entonces se obtiene una eficiencia de:

90dP

k Pdt

Donde k representa a una constante positiva y 90P para todo 0t . El día en que el obrero comenzó se terminaron 60 unidades de producto y al quinto día se terminó 75 unidades.

a) Expresar P como una función de t . b) ¿Cuántas unidades terminara el obrero para el noveno día? c) ¿Cuántas unidades por día se espera que eventualmente termine el obrero?

11) Se estudia una cantidad desconocida de una sustancia radiactiva. Después de 2 días, la masa

de la sustancia es de 15.231 gramos. Al cabo de ocho días, la masa es de 9.086 gramos. ¿Qué cantidad de la sustancia había inicialmente? ¿Cuál es la vida media de la sustancia?

12) Suponga que la electricidad fluye de un condensador a una velocidad que es proporcional al

voltaje que cruza sus terminales y si t representa el tiempo medido en segundos, se tiene que:

1

40

dVV

dt

Resuelva esta ecuación para V , utilizando 0V para denotar el valor de V cuándo 0t .

¿Cuánto tardara el voltaje del condensador en reducirse al 10% de su valor original?