guia 3 limite
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Matematica 61 CBCTRANSCRIPT
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Bajate los resueltos y respond tus dudas en www.exapuni.com 1
Bienvenido a la serie de guas resueltas de Exapuni! Esta serie de guas resueltas fue
hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor
intencin de ayudar. Esperamos que te sean tiles. Pods buscar todo el material,
responder tus dudas y mucho ms durante toda tu carrera en www.exapuni.com,
sumate!
Lmite de funciones y asntotas
Nos piden que calculemos el lmite de las funciones graficas cuando tiende a y a
. Hay que tener en cuenta que las lneas punteadas son asntotas. Sabiendo que
se aproxima a las asntotas pero nunca llega podemos resolver el ejercicio.
a)
Mientras ms grande es el valor de ms la imagen se aproxima al valor ( ).
Cuando tiende a el valor de la imagen es .
b)
Gua 3 Matemtica
2014
Ej. 1) Analizando el grfico
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c)
Notar que no hay asntota cuando tiende a .
d)
e)
No hay asntotas.
f)
Tanto el seno como el coseno son funciones peridicas (los valores de la funcin se
repiten conforme se aade a la variable independiente un determinado perodo), las
mismas no tienen lmite en el infinito.
Vamos a ir resolviendo los ejercicios y explicando que pasa en cada caso particular,
cualquier duda podes consultar en la pgina.
a)
Infinito es un nmero extremadamente grande, si elevamos un nmero
extremadamente grande al cuadrado y lo multiplicamos por cuatro vamos a obtener un
Ej. 2) Calcular
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nmero extremadamente grande. Esta es la razn del que el resultado sea . Hay
que tener en cuenta esta lgica que acabamos de plantear para resolver los ejercicios
de lmite.
b)
Pasa lo mismo que en el inciso anterior, la lgica es la misma.
c)
Es similar a los dos incisos anteriores, al elevar a la quinta el resultado es , al
multiplicarlo por un nmero negativo cambia el signo del nmero siendo el resultado
.
d)
En este ejercicio sucede algo diferente, al dividir un nmero por infinito obtenemos
como resultado el cero. Esto se debe a que mientras ms grande sea el nmero del
denominador de una fraccin ms nos aproximamos al valor . Podes probar esto
fcilmente con una calculadora.
e)
(
) (
)
f)
(
)
(
)
g)
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(
)
( )
(
)
(
)
h)
(
)
i)
(
)
j)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
k)
(
)
(
)
(
)
(
)
l)
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
m)
(
)
( (
)
(
) )
( (
)
(
) )
(
(
)
(
)
)
(
)
n)
(
)
( (
)
( )
)
(
)
(
)
o)
(
) (
)
(
( )
)(
)
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(
(
)
)
(
)
p)
(
)(
)
( (
)
(
))(
( )
)
((
)
( )
)(
( )
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
)(
)
a)
La lgica es la misma que en el punto anterior, hay que tener en cuenta que al elevar
a un nmero par se transforma en . No es el caso pero hay que tenerlo en
cuenta.
b)
c)
Ej. 3) Calcular
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(
)
(
)
d)
(
)
(
)
e)
( )
(
)
(
)
(
)
f)
(
)
( )
(
)
(
)
g)
(
)
h)
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(
)
(
)
(
)
i)
(
)
(
)
j)
(
)
(
( )
)
(
)
k)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
l)
(
)
(
)
(
)
(
)
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(
)
(
)
Para determinar las asntotas horizontales de una funcin tenemos que hacer el lmite
de la funcin tendiendo a y a . Si alguno de los lmites da como resultado un
nmero ese nmero es una asntota horizontal. Ahora resolviendo los ejercicios se va a
entender mejor.
a)
Resolvamos primero con limite tendiendo a .
( )
(
)
El resultado es , por lo tanto existe un asntota horizontal en .
Veamos que pasa ahora cuando el lmite tiende a .
( )
(
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota horizontal en
. Graficamos para que se entienda mejor:
Ej. 4) Analizar la existencia
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Esta es una funcin homogrfica, vamos a verlas mejor a partir del ejercicio 11. En el
grafico se puede ver una asntota vertical (despus vamos a aprender cmo
encontrarlas) y adems se puede apreciar que la funcin se aproxima a pero
nunca llega. Por lo tanto es una asntota horizontal tanto cuando el lmite tiende
a como a y se corrobora lo que deducimos antes analticamente.
b)
Resolvamos primero con limite tendiendo a .
(
)
( )
(
)
(
)
Por lo tanto hay una asntota horizontal en .
Veamos que pasa ahora cuando el lmite tiende a .
(
)
( )
(
)
(
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota horizontal en
.
c)
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Resolvamos primero con limite tendiendo a .
(
)
(
)
Por lo tanto hay una asntota horizontal en .
(
)
(
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota en .
d)
(
)
( )
(
)
Al dar como resultado sabemos que no existe asntota horizontal cuando .
(
)
( )
(
)
Al dar como resultado - sabemos que no existe asntota horizontal cuando .
e)
( )
(
)
Por lo tanto hay una asntota horizontal en .
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( )
(
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota horizontal en .
f)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Al dar como resultado sabemos que no existe asntota horizontal cuando .
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Al dar como resultado sabemos que no existe asntota horizontal cuando .
g)
(
)
(
)
(
)
(
)
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(
)
(
)
Por lo tanto hay una asntota horizontal en .
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota horizontal en .
h)
Resolvamos primero con limite tendiendo a .
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Por lo tanto hay una asntota horizontal en .
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(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Obtenemos el mismo resultado, entonces existe una sola asntota en .
a)
Resolvemos:
(
)
( )
(
)
(
)
b)
Ej. 5) Determinar el valor
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(
)
(
)
(
)
(
)
c)
Es similar a los incisos anteriores pero expresado de otra forma, lo vamos a expresar
como en los incisos anteriores:
Lo resolvemos con ya que el lmite es igual tanto por izquierda como por
derecha.
( )
(
)
El ejercicio es similar al ejercicio 1.
Ej. 6) Dado el grfico de
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a)
b)
No hay asntotas en la funcin (notar que en el grfico no se restringe ningn punto).
c)
En los limites anteriores no es claro si existe o no lmite. No hay lnea punteada
marcando asntota aunque la funcin parece comportarse como si hubiera asntota en
. Sin embargo como no hay informacin suficiente para concluir esto preferimos
poner que no existe (no te preocupes que no te van a tomar esto en el parcial)
Es igual a los casos anteriores, lo ponemos separado para hacer una aclaracin. Notar
que en este lmite no se aclara si es por izquierda o por derecha (falta el signo), por lo
tanto solo tiene sentido resolverlo si los limites por los laterales son los mismos.
d)
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e)
f)
Tener en cuenta que cuando el resultado es o significa que hay asntota
vertical para el valor al que tiende el lmite.
a)
b)
Ej. 7) Calcular.
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c)
(
) (
)
(
) (
)
d)
Si reemplazamos en el valor , obtenemos una indeterminacin del tipo
Tenemos que salvar la indeterminacin:
Por lo tanto no tiene asntota vertical en (Para que exista asntota vertical el
limite tiene que ser infinito)
e)
f)
g)
h)
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Ahora en vez de las asntotas horizontales nos piden que calculemos las verticales,
para calcular este tipo de asntotas hay que analizar el dominio de la funcin y ver qu
valores no puede tomar. En esos valores que el dominio no puede tomar probablemente
estn las asntotas que buscamos. Vamos a resolver:
a)
El denominador no puede tomar el valor . Por lo tanto:
Por lo tanto el dominio es: ( ) {
}
Analizamos que pasa con el lmite en ese valor.
(
)
(
)
(
)
(
)
Debido a que el lmite es existe una asntota vertical en
.
b)
Analicemos el dominio de la funcin:
Ej. 8) Analizar la existencia...
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Veamos que sucede en este valor:
Debido a que el lmite es existe una asntota vertical en .
c)
Analicemos el dominio de la funcin:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en races:
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Por lo tanto:
Esto significa que tenemos que analizar si existen asntotas en ambos valores:
Debido a que el lmite es existe una asntota vertical en .
Por lo tanto tambin existe una asntota vertical en .
d)
Analicemos el dominio de la funcin:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en races:
-
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Esto significa que tenemos que analizar si existen asntotas en ambos valores:
Debido a que el lmite es existe una asntota vertical en .
Por lo tanto no hay asntota en .
a)
Analizamos el dominio de la funcin:
Ahora vemos que pasa en el valor
Ej. 9) Dar el dominio y las...
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Debido a que el lmite es existe una asntota vertical en .
Ahora vamos a ver si tiene asntotas horizontales:
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
Por lo tanto tiene una asntota horizontal en .
b)
Analizamos el dominio de la funcin:
Ahora vemos que pasa en el valor
-
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Por lo tanto tiene una asntota vertical en .
Analicemos si tiene asntotas horizontales:
Por lo tanto tiene una asntota horizontal en .
c)
Analizamos el dominio de la funcin:
No existe ningn valor en los nmeros reales que elevado al cuadrado de negativo. El
dominio son todos los reales y por lo tanto no existe asntota vertical.
Ahora busquemos asntotas horizontales:
(
)
(
)
(
)
(
)
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Por lo tanto tiene una asntota horizontal en
.
d)
Analizamos el dominio de la funcin:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en races:
-
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Por lo tanto es una asntota vertical.
Por lo tanto tambin es una asntota vertical.
Ahora vamos a determinar si existen asntotas horizontales:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
Por lo tanto tiene una asntota horizontal en .
e)
Analizamos el dominio de la funcin:
( )
-
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Por lo tanto es una asntota vertical.
Ahora buscamos asntotas horizontales:
( )
( )
( )
( )
Por lo tanto tiene una asntota horizontal en .
f)
Analicemos el dominio de la funcin:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en races:
-
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Vamos a buscar ahora asntotas verticales:
No hay asntota vertical en .
Por lo tanto existe asntota vertical en .
Ahora buscamos asntotas horizontales:
(
)
(
)
(
)
(
)
Por lo tanto tiene una asntota horizontal en .
g)
-
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Analicemos el dominio de la funcin:
El denominador es igual que el del inciso anterior, las races son y .
Vamos a buscar asntotas verticales:
Por lo tanto existe asntota vertical en .
No existe asntota vertical en .
Ahora buscamos asntotas horizontales:
(
)
(
)
Por lo tanto tiene una asntota horizontal en .
h)
Analicemos el dominio de la funcin:
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( )
Veamos que sucede en :
Por lo tanto existe asntota vertical en .
Ahora vamos a analizar asntotas horizontales:
(
)
(
)
(
)
(
)
Por lo tanto existe asntota horizontal en .
a)
Este ejercicio lo hacemos en base a lo que vinimos haciendo. Sabemos que para
determinar asntotas verticales tenemos que analizar los valores restringidos del
dominio. En este caso sabemos que la asntota vertical es . Por lo tanto:
Ahora que tenemos el valor de nos piden que calculemos la asntota horizontal:
Ej. 10)
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(
)
(
)
(
)
(
)
Por lo tanto existe asntota horizontal en .
b)
La funcin entonces es:
Tenemos que aplicar la formula resolvente para descomponer en races:
-
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Ya sabemos que es una asntota vertical, vamos a ver qu pasa con
(
)
(
)
Por lo tanto es una asntota vertical.
Ahora vamos a buscar asntotas horizontales:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Ahora entramos en la unidad de funciones homogrficas, en realidad en los ejercicios
que hicimos aparecieron algunas funciones homogrficas, tienen la forma:
Ej. 11) Hallar el dominio
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Vamos a resolver:
a)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asntotas horizontales:
Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Esto significa que la funcin no
tiene ceros. La imagen es:
( )
Ahora veamos si tiene asntota vertical:
Tiene asntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, al no
tener ceros la funcin sabemos que no hay cambio de signo:
-
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Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de negatividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
Y finalmente graficamos:
b)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asntotas horizontales:
-
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Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Esto significa que la funcin no
tiene ceros. La imagen es:
( )
Ahora veamos si tiene asntota vertical:
Tiene asntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, al no
tener ceros la funcin sabemos que no hay cambio de signo:
Por lo tanto el intervalo intervalo al conjunto de positividad.
Por lo tanto el intervalo intervalo al conjunto de negatividad.
Y finalmente graficamos:
-
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c)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asntotas horizontales:
(
)
( )
(
)
( )
Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:
( )
Vamos a determinar los ceros de la funcin:
Ahora veamos si tiene asntota vertical:
-
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Tiene asntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, a su vez
tenemos que tener en cuenta tambin que hay un cero y analizar que pasa a la
izquierda y derecha del cero.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al conjunto de negatividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al conjunto de positividad.
Y finalmente graficamos:
-
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d)
Primero vamos a obtener el dominio:
( ) {
}
Para obtener la imagen vamos a usar las asntotas horizontales:
(
)
( )
(
)
( )
Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:
( )
Vamos a determinar los ceros de la funcin:
-
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Ahora veamos si tiene asntota vertical:
(
)
(
)
(
)
(
)
Tiene asntota vertical el
.
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, a su vez
tenemos que tener en cuenta tambin que hay un cero y analizar que pasa a la
izquierda y derecha del cero.
Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de positividad.
Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de positividad.
Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de negatividad.
(
)
-
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(
) (
)
Y finalmente graficamos:
e)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asntotas horizontales:
(
)
( )
(
)
( )
Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:
( )
Vamos a determinar los ceros de la funcin:
-
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Ahora veamos si tiene asntota vertical:
Tiene asntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, a su vez
tenemos que tener en cuenta tambin que hay un cero y analizar que pasa a la
izquierda y derecha del cero.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de negatividad.
Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
-
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Y finalmente graficamos:
f)
Primero vamos a obtener el dominio:
( )
Para obtener la imagen vamos a usar las asntotas horizontales:
(
)
( )
(
)
( )
Por lo tanto existe un asntota horizontal en . Por lo tanto la imagen es:
( )
Vamos a determinar los ceros de la funcin:
-
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Ahora veamos si tiene asntota vertical:
Tiene asntota vertical el .
Nos queda determinar los intervalos de positividad y de negatividad.
Tenemos que ver que pasa a la izquierda y a la derecha de la asntota vertical, a su vez
tenemos que tener en cuenta tambin que hay un cero y analizar que pasa a la
izquierda y derecha del cero.
Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de positividad.
(
)
(
)
( )
( )
Por lo tanto el intervalo (
) pertenece al intervalo de negatividad.
-
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Por lo tanto el intervalo pertenece al intervalo de positividad.
(
)
(
)
Y finalmente graficamos:
a)
Sabemos que
es una asntota horizontal y es asntota vertical.
(
)
( )
Ahora vamos a determinar en base a la asntota vertical.
Para que el resultado sea el valor de debe ser 3.
Ej. 12)
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Por lo tanto la funcin es:
b)
Determinamos la asntota horizontal:
(
)
( )
Ahora usamos el cero
:
( )
( )
(
)
Ahora reemplazamos en la primera ecuacin:
La funcin por lo tanto es:
-
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Sabemos que el rea de un rectngulo se obtiene multiplicando la base ( ) por la altura
( ).
Vamos a llamar a la altura y vamos a expresar la altura en funcin de dos variables,
la variable que es la altura sumndole la variable que es lo que le falta a para
alcanzar la medida de la base. Por lo tanto expresamos esto con las nuevas variables:
Ahora podemos calcular los lmites que nos piden:
(
)
(
)
(
)
Por lo tanto la funcin no tiene asntota horizontal.
Por lo tanto es una asntota vertical de la funcin.
Ej. 13) Hallar la expresin
Ej. 14) Hacia un tanque que
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El grfico de la funcin es:
Vamos a ver qu sucede cuando la funcin tiende a .
(
)
(
)
Se puede ver que existe una astintota horizontal en
, esto significa que el agua
salada va a fluir hacia el agua pura hasta que sea igual a . Transcurrido este
tiempo esto ya no sucedera. Este es un proceso natural conocido como difusin, en
este caso la sal pasa del medio de menor concentracin al de mayor concentracin
hasta que se produzca un equilibro que est dado por la ecuacin.
Esta gua fue hecha con la mejor intencin, con la mayor profesionalidad posible y
como un aporte til para la comunidad. Si encontrs algn detalle, pods dejarnos tus
comentarios en www.exapuni.com para que mejoremos el material al mximo!
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Lmite de funciones y asntotasEj. 1) Analizando el grficoEj. 2) CalcularEj. 3) CalcularEj. 4) Analizar la existenciaEj. 5) Determinar el valorEj. 6) Dado el grfico deEj. 7) Calcular.Ej. 8) Analizar la existencia...Ej. 9) Dar el dominio y las...Ej. 10)Ej. 11) Hallar el dominioEj. 12)Ej. 13) Hallar la expresinEj. 14) Hacia un tanque que