Algebra en Diseno-sec.1Guıa 1: Logica.

20 de Marzo, 2015.

Introduccion: A traves del desarrollo de esta guıa se espera que pueda consolidar los aprendizajes relativos a la unidad de logica vista en clases.

1. Si p es una proposicion falsa, q es verdadera y r es falsa determine el valor de verdad de cadaproposicion:

a) ¬(p ∧ q) ∧ r

b) p⇔ (q ∨ r)

c) (p⇒ q) ∨ r

d) q ⇒ (p⇒ r)

2. Demuestre que (p ∧ q)⇒ r ≡ (p⇒ r) ∨ (q ⇒ r)

3. Demuestre que p⇒ (p⇒ q) ≡ ¬p ∨ q.

4. Demuestre que (p ∧ (p⇒ q))⇒ q es una tautologıa.

5. Considere el conectivo binario ∗ definido por

p q p ∗ qv v fv f vf v ff f f

Demuestre que p ∗ q ≡ ¬(p⇒ q). Sera verdad que p ∗ q ≡ q ∗ p ?

6. Dado el conjunto A = {0, 2, 4, 9}, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) ∃x ∈ A, x2 + 1 = 0 ∧ 2x = x.

b) ∀x ∈ A, x + 3 ≤ 3x2.

7. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {10, 15, 20}. Determine justificadamente el valor de verdad decada proposicion:

a) ∃x ∈ A,∀y ∈ B, x · y = y.

b) ∀x ∈ A,∃y ∈ B, x divide a y.

c) ∃x ∈ A,∃y ∈ B, y − x = 15.

8. Usando el metodo de demostracion directa, y los axiomas de orden en R dados en clasesdemuestre que

∀a ∈ R, ∀b ∈ R,∀c ∈ R, a < b⇒ a + c < b + c

9. Considere el conjunto E de numeros reales que satisface los sguientes axiomas

a) 1 ∈ E.

b) Para todo x ∈ R, x ∈ E ⇒ x2 ∈ E.

c) Para todo x ∈ R, para todo y ∈ R, (x ∈ E ∧ y ∈ E)⇒ x + y ∈ E.

Usando el metodo directo y los axiomas dados demuestre que

√2 ∈ E ⇒ 9 ∈ E