diapositiva guia 1

Razones y ProporcionesRegla de tres simple y compuesta

Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas

Diapositiva (Guıa 1)

Algebra y Trigonometrıa

Universidad de Antioquia

Facultad de Ingenierıa

Noviembre de 2011

Universidad de Antioquia Algebra y TrigonometrIa



Temas

Razones y Proporciones

Regla de tres simple y compuesta




Objetivos

Conocer los conceptos de magnitudes

Directamente Proporcionales e

Inversamente Proporcionales

Plantear y resolver problemas por medio

de la regla de tres, tanto simple como

compuesta




RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales

Razon

Una razon es una relacion multiplicativa

entre dos numeros enteros a y b diferentes

de 0, escribimos a/b y decimos a es b, es

decir hay a elementos de un conjunto A por

b de elementos de otro conjunto B.





Ejemplo de Razon

Si en un grupo de personas hay 18 hombres

y 27 mujeres, decimos que la razon entre el

numero de hombres y el de mujeres es de 18

a 27 o 2/3 es decir hay 2 hombres por cada

3 mujeres





Proporcion

Se le llama proporcion a la igualdad entre

dos razones.

Por ejemplo si a/b y c/d son razones iguales,

entonces a/b = c/d es una proporcion y

decimos que a es a b como c es a d





Ejemplos de Proporcion

5

3=

10

6es una proporcion

3

9=

1

3es una proporcion





Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)

Decimos que dos magnitudes (entidades

medibles) son Directamente Proporcionales

(DP) o que estan en una relacion de

proporcion directa si el cociente entre ambas

es constante





Ejemplos de Magnitudes Directamente

Proporcionales

El numero de artıculos que se compran y

el precio a pagar, son DP

El numero de manos (normales) y el

numero de dedos de esas manos, son DP





Ejemplos de Magnitudes Directamente

Proporcionales

Manteniendo una velocidad constante, el

tiempo empleado y la distancia distancia

recorrida por un movil, son DP

El numero de obreros y la cantidad de

trabajo realizado (suponiendo que

trabajan con la misma eficiencia),son DP





Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)

Decimos que dos magnitudes (entidades

medibles) son Inversamente Proporcionales

(IP) o que estan en una relacion de

proporcion inversa si el producto de ambas

es siempre constante





Ejemplos de Magnitudes Inversamente

Proporcionales

Para recorrer una distancia fija, la

velocidad y la duracion del recorrido

hecho por un movil son (IP)

Para hacer una obra fija, el numero de

obreros y el tiempo para realizar la obra

son (IP)




Regla de tres simpleRegla de tres compuesta

Regla de tres

Un problema en el que se busca el valor de

una magnitud cuya relacion con otras

magnitudes es directa o inversamente

proporcional se llama regla de tres.





Ejercicio de regla de tres (simple)

Una partıcula con velocidad constante

recorre 1200 metros en 80 segundos.

Determine

1 ¿Que distancia recorrera en media hora?

2 ¿Que tiempo tardara en recorrer 1500

metros?





Ejercicio de regla de tres (simple)

3 obreros construyen un muro en 12 horas.

Si trabajan con la misma eficiencia:

¿Cuanto tardaran en construirlo 6 obreros?





Ejercicio de regla de tres (compuesta)

5 buses transportan 800 pasajeros en 4

viajes.

¿Cuantos viajes son necesarios para

transportar 400 pasajeros usando 2 buses?





Temas

Progresiones Aritmeticas

Progresiones Geometricas





Objetivos

Identificar las Progresiones Aritmeticas y

Geometricas

Obtener formulas para encontrar

cualquier termino de una progresion y

para la suma de n terminos de la

progresion




n-esimo termino de una P.Asuma de n terminos de una P.A

Progresion Aritmetica

Una progresion aritmetica es una coleccion

ordenada de numeros reales

{a1, a2, a3, ...., an} tal que la diferencia

entre dos terminos consecutivos es siempre

constante; es decir:

a2 − a1 = a3 − a2 = ...... = an − an−1 = d





Ejemplo de progresiones Aritmeticas

Las siguientes colecciones son progresiones

aritmeticas.

5, 10, 15, 20, 25

0, 12, 1, 3

2

-4, -8, -12, -16, -20






Definiciones1 a1 se llama el primer termino de la

progresion

2 an se llama el n-esimo termino de la

progresion

3 n es el numero de terminos de la

progresion

4 d se llama la diferencia comun






El enesimo termino de una progresion

aritmetica viene dado por

an = a1 + (n− 1)d





Suma de terminos de una progresion Aritmetica

La suma de una progresion aritmetica con n

terminos viene dada por

Sn =n

2[2a1 + (n− 1)d] .




n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G

Progresion Geometrica

Una progresion Geometrica es una coleccion

ordenada de numeros reales

{a1, a2, a3, ...., an} tal que el cociente entre

dos terminos consecutivos es siempre

constante; es decir:

a2/a1 = a3/a2 = ...... = an/an−1 = r





Ejemplo de progresiones Geometricas

Las siguientes colecciones son progresiones

geometricas.

4, 12, 46, 108, 324, 972

−2, −4, −8, −16, −32

-3, 6, -12, 24, -48






Definiciones1 a1 se llama el primer termino de la

progresion

2 an se llama el n-esimo termino de la

progresion

3 n es el numero de terminos de la

progresion

4 r se llama la razon comun






El enesimo termino de una progresion

geometrica viene dado por

an = a1rn−1





Suma de terminos de una progresion Geometrica

La suma de una progresion geometrica con

n terminos viene dada por

Sn =a1(1− rn)

1− rcon r 6= 1.





Ejemplo

Encuentre una progresion geometrica cuyo

noveno termino es 32 y el cuarto es 2.





Ejemplo

A un senor le ofrecen un trabajo con un

salario de 400,000 mensuales y le prometen

aumentos mensuales de 3000 calcule el

sueldo devengado a los 5 anos de trabajo.





Ejemplo

Encuentre una progresion geometrica de seis

terminos de modo que la suma de los tres

primeros terminos es 74 y la suma de los tres

ultimos es 14


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