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Razones y ProporcionesRegla de tres simple y compuesta
Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
Diapositiva (Guıa 1)
Algebra y Trigonometrıa
Universidad de Antioquia
Facultad de Ingenierıa
Noviembre de 2011
Universidad de Antioquia Algebra y TrigonometrIa
Razones y ProporcionesRegla de tres simple y compuesta
Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
Temas
Razones y Proporciones
Regla de tres simple y compuesta
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Razones y ProporcionesRegla de tres simple y compuesta
Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
Objetivos
Conocer los conceptos de magnitudes
Directamente Proporcionales e
Inversamente Proporcionales
Plantear y resolver problemas por medio
de la regla de tres, tanto simple como
compuesta
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RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Razon
Una razon es una relacion multiplicativa
entre dos numeros enteros a y b diferentes
de 0, escribimos a/b y decimos a es b, es
decir hay a elementos de un conjunto A por
b de elementos de otro conjunto B.
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RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplo de Razon
Si en un grupo de personas hay 18 hombres
y 27 mujeres, decimos que la razon entre el
numero de hombres y el de mujeres es de 18
a 27 o 2/3 es decir hay 2 hombres por cada
3 mujeres
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RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Proporcion
Se le llama proporcion a la igualdad entre
dos razones.
Por ejemplo si a/b y c/d son razones iguales,
entonces a/b = c/d es una proporcion y
decimos que a es a b como c es a d
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Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplos de Proporcion
5
3=
10
6es una proporcion
3
9=
1
3es una proporcion
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Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Decimos que dos magnitudes (entidades
medibles) son Directamente Proporcionales
(DP) o que estan en una relacion de
proporcion directa si el cociente entre ambas
es constante
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RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplos de Magnitudes Directamente
Proporcionales
El numero de artıculos que se compran y
el precio a pagar, son DP
El numero de manos (normales) y el
numero de dedos de esas manos, son DP
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RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplos de Magnitudes Directamente
Proporcionales
Manteniendo una velocidad constante, el
tiempo empleado y la distancia distancia
recorrida por un movil, son DP
El numero de obreros y la cantidad de
trabajo realizado (suponiendo que
trabajan con la misma eficiencia),son DP
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RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)
Decimos que dos magnitudes (entidades
medibles) son Inversamente Proporcionales
(IP) o que estan en una relacion de
proporcion inversa si el producto de ambas
es siempre constante
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Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
RazonProporcionMagnitudes Directamente ProporcionalesMagnitudes Inversamente Proporcionales
Ejemplos de Magnitudes Inversamente
Proporcionales
Para recorrer una distancia fija, la
velocidad y la duracion del recorrido
hecho por un movil son (IP)
Para hacer una obra fija, el numero de
obreros y el tiempo para realizar la obra
son (IP)
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Regla de tres simpleRegla de tres compuesta
Regla de tres
Un problema en el que se busca el valor de
una magnitud cuya relacion con otras
magnitudes es directa o inversamente
proporcional se llama regla de tres.
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Regla de tres simpleRegla de tres compuesta
Ejercicio de regla de tres (simple)
Una partıcula con velocidad constante
recorre 1200 metros en 80 segundos.
Determine
1 ¿Que distancia recorrera en media hora?
2 ¿Que tiempo tardara en recorrer 1500
metros?
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Ejercicio de regla de tres (simple)
3 obreros construyen un muro en 12 horas.
Si trabajan con la misma eficiencia:
¿Cuanto tardaran en construirlo 6 obreros?
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Ejercicio de regla de tres (compuesta)
5 buses transportan 800 pasajeros en 4
viajes.
¿Cuantos viajes son necesarios para
transportar 400 pasajeros usando 2 buses?
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Temas
Progresiones Aritmeticas
Progresiones Geometricas
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Regla de tres simpleRegla de tres compuesta
Objetivos
Identificar las Progresiones Aritmeticas y
Geometricas
Obtener formulas para encontrar
cualquier termino de una progresion y
para la suma de n terminos de la
progresion
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Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
n-esimo termino de una P.Asuma de n terminos de una P.A
Progresion Aritmetica
Una progresion aritmetica es una coleccion
ordenada de numeros reales
{a1, a2, a3, ...., an} tal que la diferencia
entre dos terminos consecutivos es siempre
constante; es decir:
a2 − a1 = a3 − a2 = ...... = an − an−1 = d
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Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
n-esimo termino de una P.Asuma de n terminos de una P.A
Ejemplo de progresiones Aritmeticas
Las siguientes colecciones son progresiones
aritmeticas.
5, 10, 15, 20, 25
0, 12, 1, 3
2
-4, -8, -12, -16, -20
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n-esimo termino de una P.Asuma de n terminos de una P.A
Progresiones Aritmeticas
Definiciones1 a1 se llama el primer termino de la
progresion
2 an se llama el n-esimo termino de la
progresion
3 n es el numero de terminos de la
progresion
4 d se llama la diferencia comun
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n-esimo termino de una P.Asuma de n terminos de una P.A
Progresiones Aritmeticas
El enesimo termino de una progresion
aritmetica viene dado por
an = a1 + (n− 1)d
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n-esimo termino de una P.Asuma de n terminos de una P.A
Suma de terminos de una progresion Aritmetica
La suma de una progresion aritmetica con n
terminos viene dada por
Sn =n
2[2a1 + (n− 1)d] .
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n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G
Progresion Geometrica
Una progresion Geometrica es una coleccion
ordenada de numeros reales
{a1, a2, a3, ...., an} tal que el cociente entre
dos terminos consecutivos es siempre
constante; es decir:
a2/a1 = a3/a2 = ...... = an/an−1 = r
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n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G
Ejemplo de progresiones Geometricas
Las siguientes colecciones son progresiones
geometricas.
4, 12, 46, 108, 324, 972
−2, −4, −8, −16, −32
-3, 6, -12, 24, -48
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n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G
Progresiones Geometricas
Definiciones1 a1 se llama el primer termino de la
progresion
2 an se llama el n-esimo termino de la
progresion
3 n es el numero de terminos de la
progresion
4 r se llama la razon comun
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Progresiones AritmeticasProgresiones Geometricas
n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G
Progresiones Geometricas
El enesimo termino de una progresion
geometrica viene dado por
an = a1rn−1
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n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G
Suma de terminos de una progresion Geometrica
La suma de una progresion geometrica con
n terminos viene dada por
Sn =a1(1− rn)
1− rcon r 6= 1.
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n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G
Ejemplo
Encuentre una progresion geometrica cuyo
noveno termino es 32 y el cuarto es 2.
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n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G
Ejemplo
A un senor le ofrecen un trabajo con un
salario de 400,000 mensuales y le prometen
aumentos mensuales de 3000 calcule el
sueldo devengado a los 5 anos de trabajo.
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n-esimo termino de una P.Gsuma de n-terminos de una P.G
Ejemplo
Encuentre una progresion geometrica de seis
terminos de modo que la suma de los tres
primeros terminos es 74 y la suma de los tres
ultimos es 14
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