guía para presentar el examen extraordinario de cálculo i
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Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Colegio de Ciencias y
Humanidades Plantel Sur
Guía para presentar el examen extraordinario de Cálculo I
Elaborada por los profesores:
Carlos Gabriel Sánchez Lordméndez
Bartolo Guzmán Guevara
Jesús Leobardo Rendón García
Armando Carlos Meza Romero
Enero 2021
Contenido Al estudiante ................................................................................. 1
Unidad 1. Procesos infinitos y la noción de límite ...................................... 2
Presentación ............................................................................... 2
Propósitos de la unidad .................................................................. 2
Situaciones numéricas, geométricas o algebraicas, que dan lugar a procesos
infinitos ..................................................................................... 2
Comportamiento de un proceso infinito: representación numérica, algebraica o
gráfica ...................................................................................... 2
Representación simbólica de procesos infinitos por medio de una función. ... 10
Noción de límite: Acercamiento al concepto de límite de una función. ........ 10
Notación de límite ...................................................................... 11
Cálculo algebraico de límites .......................................................... 11
Ejercicios propuestos ................................................................... 15
Unidad 2. El concepto de derivada: variación y razón de cambio .................. 19
Presentación ............................................................................. 19
Propósitos de la unidad ................................................................ 19
Variación y razón de cambio promedio e instantánea ............................. 19
Concepto de derivada .................................................................. 26
Relación de la derivada y la recta tangente ........................................ 28
Notación .................................................................................. 30
Ejercicios propuestos ................................................................... 31
Unidad 3. Derivada de funciones algebraicas .......................................... 33
Presentación ............................................................................. 33
Propósitos de la unidad ................................................................ 33
Reglas de derivación .................................................................... 33
Derivada de funciones del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛 .......................................... 36
Derivada de funciones del tipo [𝑓(𝑥)]𝑛 .............................................. 43
Problemas de aplicación de razón de cambio instantánea ........................ 45
• Cálculo de tangentes ............................................................ 45
• Cálculo de velocidades .......................................................... 47
Ejercicios propuestos ................................................................... 48
Unidad 4. Comportamiento gráfico y problemas de optimización .................. 50
Presentación ............................................................................. 50
Propósitos de la unidad ................................................................ 50
Situaciones que propician el análisis de las relaciones entre la gráfica de una
función y sus derivadas. ................................................................ 50
Comportamiento gráfico de una función. ........................................... 51
• Crecimiento y decrecimiento de funciones .................................. 51
• Puntos críticos .................................................................... 52
• Concavidad ........................................................................ 53
• Máximos y mínimos, criterio de la 1ª y 2ª derivadas ........................ 53
• Puntos de inflexión .............................................................. 55
Gráfica de 𝑓’(𝑥) y 𝑓’’(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) y viceversa .............................. 61
Problemas de optimización ............................................................ 62
Ejercicios propuestos ................................................................... 64
Referencias bibliográficas ................................................................ 67
1
Al estudiante
La presente guía busca darte orientación sobre los temas que pueden ser preguntados en
un examen extraordinario. Hemos procurado hacer un documento breve, sin embargo,
hemos incluido aspectos teóricos básicos y de importancia fundamental para que cuentes
con una primera orientación para presentar tu examen. También hemos incluido ejemplos
resueltos y algunos ejercicios, todos con su respuesta.
La guía está hecha con base en el temario 2016 de la materia, de modo que al revisarla
podrás saber cuáles son los temas y podrás ampliar por tu cuenta tu estudio sobre ellos en
un libro de texto, en internet o bien buscar apoyo de un profesor, ya sea en la academia
de matemáticas o el PIA.
No podemos asegurarte que al revisar y resolver esta guía acreditarás tu examen
extraordinario; en cambio, sí deseamos pensar que al revisarla tendrás una mejor idea de
los temas que se te pueden preguntar al momento de hacer el examen, con lo cual
incrementarás en gran medida tus posibilidades de acreditar la asignatura con una buena
calificación.
Si esta guía te apoya en la comprensión básica de los temas de cálculo, estaremos
complacidos; lo estaremos aún más si te ayuda a acreditar la materia. Te deseamos mucho
éxito: los autores.
2
Unidad 1. Procesos infinitos y la noción de límite
Presentación
Comenzaremos nuestro estudio del cálculo abordando los procesos infinitos para
desarrollar ideas sobre el concepto del límite. Posteriormente abordaremos el concepto
de límite en una función y terminaremos dando una descripción breve del cálculo
algebraico de límites a través de sus teoremas.
El concepto de límite es muy importante porque está involucrado en las dos operaciones
fundamentales del cálculo, es decir en la integral y en la derivada.
Propósitos de la unidad
Descubrir intuitivamente el concepto de límite, a través de diversos problemas que
involucren procesos infinitos, mediante los diferentes registros: numérico, gráfico o
simbólico.
Situaciones numéricas, geométricas o algebraicas, que dan lugar a procesos
infinitos
Si entendemos un proceso como una serie de eventos que producen un resultado, en el
mundo ordinario podríamos identificar un sinfín de procesos. Por ejemplo, un proceso
sería girar la perilla del grifo y el resultado esperado sería que fluyera agua de él. ¿Podrías
dar otros ejemplos de procesos?
Dentro de los procesos, encontramos los procesos infinitos; un proceso es infinito si se
puede considerar la posibilidad de llevarlo a cabo de manera indefinida. En matemáticas,
ejemplos de procesos infinitos son la división de un segmento en mitades, la escritura de
un número racional periódico, la división de un cubo en partes más pequeñas y la división
un área en partes más pequeñas, por mencionar algunos.
Comportamiento de un proceso infinito: representación numérica, algebraica o
gráfica
Considera la situación en la cual una pelota se deja caer desde un edificio con una altura
de 10 metros, en donde la pelota está diseñada para en cada rebote alcanzar 3/4 de la
altura anterior. Si hiciéramos un diagrama con los primeros diez rebotes, veríamos algo
similar a
3
Por otra parte, si hiciéramos una tabla registrando la altura en cada rebote tendríamos
Rebote 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Altura 10 7.5 5.625 4.2187 3.164 2.373 1.7797 1.3348 1.0011 0.7508 0.5631
Los resultados anteriores de las alturas, es decir,
10, 7.5, 5.625, 4.2187, 3.164, 2.373, 1.7797, 1.3348, 1.0011, 0.7508, 0.5631
forman una sucesión. Y el proceso de rebotes de la pelota podría considerarse infinito, de
manera ideal porque aunque la altura de la pelota va disminuyendo, siempre podríamos
considerar que tiene cierta distancia por recorrer en cada uno de sus rebotes.
Para representar de manera algebraica este proceso, considera que para obtener cada una
de las alturas multiplicamos la anterior por 3/4. Por ejemplo, para obtener las primeras
cinco alturas tendríamos
𝑅0 = 10
𝑅1 =3
4𝑅0 =
3
4(10) = 7.5
𝑅2 =3
4𝑅1 =
3
4(7.5) = 5.625
𝑅3 =3
4𝑅2 =
3
4(5.625) = 4.2187
𝑅4 =3
4𝑅3 =
3
4(4.2187) = 3.164
𝑅5 =3
4𝑅4 =
3
4(3.164) = 2.373
4
La relación anterior luce mucho más interesante si tenemos en cuenta que todos los
resultados se pueden obtener a partir del primero, si vamos sustituyendo los resultados
necesarios
𝑅1 =3
4𝑅0
𝑅2 =3
4𝑅1 =
3
4(3
4𝑅0) = (
3
4)2
𝑅0
𝑅3 =3
4𝑅2 =
3
4[(3
4)2
𝑅0] = (3
4)3
𝑅0
𝑅4 =3
4𝑅3 =
3
4[(3
4)3
𝑅0] = (3
4)4
𝑅0
𝑅5 =3
4𝑅2 =
3
4[(3
4)4
𝑅0] = (3
4)5
𝑅0
De modo que el rebote 𝑛 estaría expresado por
𝑅𝑛 = (3
4)𝑛
𝑅0
Ahora bien, ciertamente si el procedimiento se repitiera infinitamente, los rebotes serían
muy pequeños y podríamos considerar de manera práctica que la pelota se mantiene en
el suelo. En este caso, la manera en la cual podemos hacer coincidir nuestra apreciación
física con la sucesión de rebotes es a través del concepto de límite.
En el caso que estamos estudiando escribiríamos
lim𝑛→∞
𝑅𝑛 = 0
Antes de proceder con el siguiente tema, consideremos la sucesión de alturas de los
rebotes de la pelota escrita como
El límite de una sucesión es el número al cual se aproximan sus valores si el proceso
que la genera se considera infinito. Si llamamos 𝑆𝑛 al enésimo término de una
sucesión y 𝐿 al número al cual se aproximan sus términos, el límite se escribiría
como
lim𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝐿
5
10, 10 (3
4) , 10 (
3
4)2
, 10 (3
4)3
, 10 (3
4)4
, …
Una sucesión como la anterior tiene la característica de que hay un factor común a todos
los términos, en este caso 10, y hay otro factor que se va elevando a potencias sucesivas,
conocido como razón y en este caso vale 3/4. Este tipo de sucesiones ocurren con cierta
frecuencia como resultado de algunos procesos infinitos y se denominan sucesiones
geométricas.
En ocasiones es de interés calcular el valor de una suma parcial o bien de todos los
términos de una sucesión geométrica infinita; a este tipo de sumas se les denomina serie
geométrica y se conoce la manera de calcular su valor preciso, el cual resumiremos a
continuación; te invitamos a investigar la deducción de estas fórmulas.
Revisemos algunos ejemplos sobre el uso de estas fórmulas.
Ejemplo. Una pelota se deja caer desde un edificio con una altura de 10 metros y la
pelota está diseñada para en cada rebote alcanzar 3/4 de su altura anterior.
Una sucesión geométrica es aquella que puede escribirse como
𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟2, 𝑎𝑟3, 𝑎𝑟4, …
En donde 𝑎 y 𝑟 son dos números cualesquiera.
Si se tiene una serie geométrica
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 + 𝑎𝑟4 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛
El valor de sus primeros 𝑛 + 1 términos se puede obtener mediante la fórmula
𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛+1)
1 − 𝑟
Por su parte, el valor de la suma de todos términos de una serie geométrica infinita
es el valor límite de la sucesión de sumas parciales y se calcula como
lim𝑛→∞
𝑆𝑛 =𝑎
1 − 𝑟
Debe hacerse la aclaración de que la fórmula anterior es válida sólo en caso de
que el valor absoluto de la razón sea menor a uno, es decir si |𝑟| < 1.
6
a) Obtén el valor de la suma de la distancia que recorre la pelota luego de tres
rebotes.
b) Obtén el valor de la suma de la distancia que recorre la pelota luego de diez
rebotes.
c) La distancia total que recorre la pelota.
Solución
Ya hemos estudiado que la sucesión de rebotes corresponde a
10, 10 (3
4) , 10 (
3
4)2
, 10 (3
4)3
, 10 (3
4)4
, …
Lo cual es una sucesión geométrica con 𝑟 = 3/4 y 𝑎 = 10.
Inciso a
Cuando sumemos los primero tres términos tendremos
𝑆 = 10 + 10(3
4) + 10 (
3
4)2
=185
8
También pudimos haber empleado la fórmula correspondiente, solo que hay tomar en
cuenta que la fórmula da la suma de los 𝑛 + 1 primeros términos y para emplearla de
forma adecuada averiguamos el valor preciso de 𝑛
𝑛 + 1 = 3 ⇒ 𝑛 = 2
Entonces con la fórmula obtendríamos
𝑆2 =𝑎(1 − 𝑟2+1)
𝑎 − 𝑟=
10(1 − (34)
3
)
1 −34
=185
8
Inciso b
Cuando la suma tiene diez términos ya es poco práctico hacerla uno a uno, por lo cual
emplearemos la fórmula. En este caso
𝑛 + 1 = 10 ⇒ 𝑛 = 9
Por lo cual, la suma deseada será
7
𝑆9 =𝑎(1 − 𝑟9+1)
𝑎 − 𝑟=
10(1 − (34)10
)
1 −34
≈ 37.747
Inciso c
En este punto no se debe confundir la magnitud de cada rebote, el cual tiende a ser cero
conforme aumenta la cantidad de rebotes y la distancia total que recorre la pelota. La
distancia recorrida por la pelota equivaldría a la suma de todos los términos de la serie
geométrica. Antes de emplear la fórmula para obtener el valor límite, verificamos la
condición para emplearla, es decir
|3
4| < 1
Con lo cual se comprueba el requerimiento para emplear la fórmula correspondiente. De
este modo, la distancia total recorrida por la pelota será
lim𝑛→∞
𝑆𝑛 =𝑎
1 − 𝑟=
10
1 −34
= 40
Ejemplo. En un triángulo rectángulo con catetos unitarios se trazan los puntos medios de
cada lado y se inscribe un cuadrado, formándose dos nuevos triángulos rectángulos, como
se muestra a continuación.
a) Si el proceso se repite tres veces ¿cuánto vale el
área sombreada?
b) Si el proceso se repitiera de manera indefinida
¿cuánto valdría el área?
Solución
Inciso a
8
En la primera etapa como un lado del cuadrado es
la mitad de uno de los catetos, cada lado del
cuadrado inscrito mide 1/2, como podemos ver en
la figura contigua. Por lo tanto, si llamamos 𝑆1 a la
suma del área en esta etapa tendremos
𝑆1 = (1
2)2
=1
4
Por su parte en la segunda etapa, cada cuadrado
inscrito tendrá por lado la mitad de la mitad, es
decir, sus lados valdrán 1/4, como podrás observar
en la figura anexa. La suma de áreas en esta etapa
será
𝑆2 =1
4+ 2(
1
4)2
=1
4+2
16=1
4+1
8
Observa que si bien se puede simplificar la suma
𝑆2 = 3/8, es más conveniente simplemente
simplificar cada sumando para poder apreciar mejor
el comportamiento de la suma.
En la tercera etapa, los lados de los cuadrados
medirán la mitad de la mitad de la mitad, es decir
1/8, como puedes constatar en la figura
adyacente. La suma de áreas en esta etapa será
𝑆3 =1
4+1
8+ 4(
1
8)2
=1
4+1
8+1
16
Nuevamente observa cómo no simplificamos el
valor de la suma a 𝑆3 = 7/16, sino que
simplemente vamos simplificando cada sumando
nuevo.
La suma del área luego de tres etapas o repeticiones del proceso será 𝑆3 = 7/16.
9
Inciso b
Para responder esta pregunta, pongamos atención a la suma de áreas en la tercera etapa
𝑆3 =1
4+1
8+1
16
Con la serie de resultados obtenidos hasta el momento podemos observar que existe
regularidad en estos. Así pues, el resultado anterior sugiere el resultado del próximo, el
cual puedes comprobar por tu parte
𝑆4 =1
4+1
8+1
16+1
32
Ahora bien, si descomponemos cada sumando como una multiplicación de fracciones,
podremos escribir el resultado anterior como
𝑆4 =1
4+1
4(1
2) +
1
4(1
4) +
1
4(1
8)
O bien
𝑆4 =1
4+1
4(1
2) +
1
4(1
2)2
+1
4(1
2)3
Con base en estas observaciones, podremos escribir la suma de todos los términos como
𝑆 =1
4+1
4(1
2) +
1
4(1
2)2
+1
4(1
2)3
+⋯
Y podemos entonces reconocer la suma anterior como serie geométrica infinita con 𝑎 =
1/4 y 𝑟 = 1/2. Como, además
|1
2| < 1
Podemos emplear la fórmula para calcular el valor de la serie geométrica infinita como
lim𝑛→∞
𝑆 =𝑎
1 − 𝑟=
14
1 −12
=1
2
Como último comentario observaremos que el área total del triángulo está dada por la
fórmula conocida 𝐴 = (𝑏 × ℎ) ÷ 2, y en este caso, como la base y la altura son los catetos
que valen una unidad, el área total de triángulo sería
10
𝐴 =(1)(1)
2=1
2
Lo cual significa que si se hiciera el proceso de manera infinita, el área de todos los
cuadrados sería igual al área del triángulo, así que ¡hemos calculado el área del triángulo
a través de una aproximación infinita de áreas! Como sabes, estas ideas se retomarán en
la siguiente materia de cálculo.
Representación simbólica de procesos infinitos por medio de una función.
Una función puede pensarse como un proceso pues para cada valor de la variable
independiente obtenemos un número de acuerdo con su regla de correspondencia. Por
ejemplo, si consideramos 𝑓(𝑥) = 𝑥2, si 𝑥 = 2 entonces el resultado será 4; si 𝑥 = 3 el
resultado será 9, etc.
Noción de límite: Acercamiento al concepto de límite de una función.
En el caso de una función es importante e interesante saber su comportamiento cuando
la variable independiente se aproxima a un valor en particular; si sucede que la función
se aproxima a un valor concreto, diremos que es su límite. Revisemos un ejemplo para
aclarar estas ideas.
Ejemplo. Estima el valor del límite de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2 cuando 𝑥 se aproxima a
tres.
Solución
Podemos construir un par de tablas en donde nos aproximemos a tres como se muestra a
continuación
Aproximación por
la izquierda de 3
𝑥 𝑓(𝑥)
2.9 23.23
2.99 24.8203
2.999 24.982003
2.9999 24.99820003
Aproximación por
la derecha de 3
𝑥 𝑓(𝑥)
3.1 26.83
3.01 25.1803
3.001 25.018003
3.0001 25.00180003
11
Los resultados anteriores parecen sugerir que cuando la variable independiente se
aproxima cada vez más a tres, la función se aproximará cada vez más a 25.
Notación de límite
Para expresar el valor límite de una función se emplea la siguiente notación.
Así pues, en los resultados del ejemplo anterior sugieren que podremos escribir
lim𝑥→3
𝑓(𝑥) = 25
Así mismo, es importante mencionar que el procedimiento descrito en el ejemplo anterior
siempre puede llevarse a cabo, es decir, siempre podremos construir un par de tablas para
estimar el valor del límite de una función, sin embargo, existen formas más precisas de
obtener el valor límite de una función a través de teoremas. Describiremos estos teoremas
a continuación y mostraremos brevemente cómo se pueden usar para obtener el valor
numérico del límite de una gran variedad de funciones.
Cálculo algebraico de límites
Existen una serie de teoremas sobre límites muy útiles al momento de obtener el límite
de una función y los mencionaremos a continuación. No entraremos en muchos detalles
técnicos sobre ellos y podrás encontrar sus demostraciones en libros de cálculo. Para estos
teoremas, 𝑐 es un número cualquiera y los límites de las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) existen.
Sea una función 𝑓(𝑥), si su valor se puede aproximar cada vez más al valor 𝐿 cuando
la variable independiente se aproxima cada vez más a un valor 𝑎, entonces decimos
que 𝐿 es el límite de la función en el valor 𝑎 y escribimos
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
12
lim𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐 El límite de una constante es la constante
lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) El límite de una suma o resta es la suma o
resta de los límites
lim𝑥→𝑎
[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐 lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
Cuando una constante está multiplicando en
un límite, la constante sale multiplicando del
límite
lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) El límite de una multiplicación es la
multiplicación de los límites
Si lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
El límite de una división es la división de los
límites, siempre y cuando el límite del
denominador no sea cero.
Si 𝑛 es un número racional
lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]𝑛
El límite de una potencia es la potencia de los
límites
lim𝑥→𝑎
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 El límite de una potencia de la variable es la
potencia del valor donde se toma el límite.
Un resultado muy importante que se deriva de los anteriores es el siguiente.
Mostraremos algunos ejemplos sobre el uso de estos teoremas. Si deseas profundizar o
hacer más práctica sobre el cálculo de límites, te recomendamos consultar un libro de
cálculo y/o consultar a algún docente y/o apoyarte del PIA.
Ejemplo. Obtén el valor de los siguientes límites.
Si 𝑓 es un polinomio o una función racional, entonces su valor límite se obtiene
sustituyendo el número donde se toma el límite en la función, es decir
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
13
a) lim𝑥→3
(2𝑥4 − 3𝑥2 − 𝑥 + 1)
b) lim𝑥→−6
[(9 − 𝑥)2(𝑥2 + 2𝑥)]
c) lim𝑥→1
𝑥2+𝑥−2
𝑥2−3𝑥+2
d) lim𝑡→0
(𝑡−5)2−25
𝑡
Solución
Inciso a
En este caso tenemos una función polinomial, así que obtenemos su valor límite
directamente sustituyendo
lim𝑥→3
(2𝑥4 − 3𝑥2 − 𝑥 + 1) = 2(3)4 − 3(4)2 − (4) + 1 = 133
Inciso b
En este caso nos apoyaremos en los teoremas de los límites para obtener el valor límite.
lim𝑥→−6
[(9 − 𝑥)2(𝑥2 + 2𝑥)]
= lim𝑥→−6
(9 − 𝑥)2 lim𝑥→−6
(𝑥2 + 2𝑥) Propiedad de multiplicación de límites
= ( lim𝑥→−6
9 − 𝑥)2lim𝑥→−6
(𝑥2 + 2𝑥) Propiedad de una potencia racional de un límite
= (9 − (−6))2[(−6)2 + 2(−6)] Límites de polinomios
= (9 + 6)2(36 − 12) = 5400 Simplificación
Inciso c
Antes de usar la propiedad del límite de una división, tenemos que verificar que el límite
del denominador no sea cero. En este caso tendremos
lim𝑥→1
(𝑥2 − 3𝑥 + 2) = (1)2 − 3(1) + 2 = 0
Por lo cual no podremos usar directamente la propiedad del límite de una división. En
estos casos, se suelen factorizar las expresiones del numerador y denominador para
obtener una expresión equivalente con el mismo límite en la cual sí pueda aplicarse la
propiedad de división de límites, como se muestra a continuación
14
lim𝑥→1
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 2= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)= lim
𝑥→1
(𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)=lim𝑥→1
(𝑥 + 2)
lim𝑥→1
(𝑥 − 2)=1 + 2
1 − 2=
3
−1= −3
Inciso d
Nuevamente, antes de emplear la propiedad de división de límites verificamos se cumpla
la condición necesaria para su uso, es decir que el límite del denominador no valga cero.
En este caso tenemos
lim𝑡→0
𝑡 = 0
Por lo cual no podemos emplear directamente la propiedad de división de límites, en vez
de eso, llevaremos a cabo simplificaciones para obtener una expresión equivalente con el
mismo límite, como se muestra a continuación.
lim𝑡→0
(𝑡 − 5)2 − 25
𝑡
= lim𝑡→0
𝑡2 − 10𝑡 + 25 − 25
𝑡
Desarrollando el binomio al cuadrado
(𝑡 − 5)2 = 𝑡2 − 10𝑡 + 25
= lim𝑡→0
𝑡2 − 10𝑡
𝑡 Simplificando
= lim𝑡→0
𝑡(𝑡 − 10)
𝑡 Factorizamos el numerador y simplificamos
= lim𝑡→0
(𝑡 − 10) = 0 − 10 = −10 Tenemos el límite de un polinomio de primer
grado
15
Ejercicios propuestos
1. Un segmento de longitud unitaria se divide sucesivamente a la mitad como se muestra
en la siguiente imagen.
a) Si llamamos 𝑙𝑛 a la longitud del segmento en la división 𝑛 y 𝑆𝑛 a la suma de las
longitudes de los segmentos, completa la siguiente tabla
División 0 1 2 3 4 5 … 𝑛
Longitud del segmento 𝑙𝑛 1 1
2 1
4 1
8
1
16 1
32 …
(1
2)𝑛
Suma de segmentos 𝑆𝑛 1 3
2 7
4 15
8 31
16 63
32 … 2𝑛+1 − 1
2𝑛
b) Si el proceso de división del segmento se hiciera de manera infinita, ¿cuál sería el
valor de la longitud de los segmentos 𝑙𝑛 y cómo lo escribirías?
c) ¿A cuánto equivaldría la suma de las longitudes de todos los segmentos? Si el
proceso de división fuera infinito.
Solución: a)
División 0 1 2 3 4 5 … 𝑛
Longitud del segmento 𝑙𝑛 1 1
2 1
4 1
8
1
16 1
32 …
(1
2)𝑛
Suma de segmentos 𝑆𝑛 1 3
2 7
4 15
8 31
16 63
32 …
1(1 − (12)
𝑛+1
)
1 − 1/2=2𝑛+1 − 1
2𝑛
16
b) lim𝑛→∞
𝑙𝑛 = 0, c) lim𝑛→∞
𝑆𝑛 =1
1−1/2= 2
2. Un cuadrado se inscribe dentro de otro de modo que sus vértices coinciden con los
puntos medios de los lados del cuadrado anterior, como se muestra a continuación.
El cuadrado original tiene un lado unitario y definimos 𝐴𝑛 como el área del cuadrado en
el paso 𝑛 y a 𝑆𝑛 como la suma de las áreas de los 𝑛 primeros cuadrados.
a) Completa la siguiente tabla.
Repetición del proceso 1 2 3 4
Área del cuadrado 1
2 1
4 1
8 1
16
Suma de las áreas de los cuadrados 1
2 3
4 7
8 15
16
b) ¿Cuánto vale la suma de las áreas de los primeros cinco cuadrados?
c) Si el proceso se hiciera de manera indefinida ¿a qué valor se aproximaría el área
del último cuadrado? ¿cómo escribirías esto?
d) Si el proceso se hiciera de manera infinita ¿cuánto valdría la suma de todas las
áreas de los cuadrados?
Solución: a)
Repetición del proceso 1 2 3 4
Área del cuadrado 1
2 1
4 1
8 1
16
Suma de las áreas de los cuadrados 1
2 3
4 7
8 15
16
17
b) 31
32, c) lim
𝑛→∞𝐴𝑛 = 0, d) lim
𝑛→∞𝑆𝑛 = 1
3. Un segmento de longitud uno se divide en tres partes iguales, se utiliza la parte central
como base de un triángulo equilátero y luego se borra esta sección como se muestra a
continuación
En cada uno de los lados de la nueva figura se repite el proceso, como se muestra en las
siguientes imágenes
a) ¿Cuál es la longitud de la figura en la primera repetición?
b) ¿Cuál es la longitud de la figura en la segunda repetición?
c) ¿Cuál es la longitud de la figura en la tercera repetición?
d) ¿Cuál es la longitud de la figura en la quinta repetición?
e) ¿Cuánto valdría la longitud de la figura si el proceso fuera infinito? ¿Cómo lo
escribirías?
18
Solución: a) 4
3, b)
16
9, c)
64
27, d)
1024
243, e) lim
𝑛→∞𝐿𝑛 = ∞
4. Obtén el valor de los siguientes límites
a) lim𝑥→
3
2
(3𝑥2 − 6𝑥 − 3)2
b) lim𝑥→1
(1+3𝑥
1+4𝑥2+3𝑥4)3
c) lim𝑡→−1
[(𝑡2 + 1)3(𝑡 + 3)5]
d) lim𝑥→2
2𝑥2+1
𝑥2+6𝑥−4
e) lim𝑥→−1
𝑥−2
𝑥2+4𝑥−3
f) lim𝑥→0
𝑥
𝑥2−5𝑥
g) lim𝑥→4
𝑥2−7𝑥+12
𝑥−4
Solución: a) 441
16= 27.5625,b)
1
8, c) 256, d)
3
4 , e)
1
2, f) −
1
5, g) 1
19
Unidad 2. El concepto de derivada: variación y razón de cambio
Presentación
En esta unidad se estudia el concepto e interpretación de la razón de cambio y de la razón
de cambio instantánea y se muestra cómo pueden aplicarse estos conceptos a algunas
situaciones problemáticas.
Propósitos de la unidad
• Interpretar el concepto de derivada a partir del análisis de la variación y de la
razón de cambio.
• Resolver problemas en diferentes contextos cuyos modelos sean funciones
polinomiales.
Variación y razón de cambio promedio e instantánea
La razón de cambio se puede interpretar como una cantidad que mide qué tanto cambia
una función dado un determinado cambio en la variable independiente.
Ejemplo. Considera la función
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
Obtén la razón de cambio en el intervalo [−2,1].
Solución
La razón de cambio en el intervalo [−2,1] esta determinada por
Δ𝑓
Δ𝑥=𝑓(1) − 𝑓(−2)
1 − (−2)
Considerando que
𝑓(1) = 12 + 1 = 2
𝑓(−2) = (−2)2 + 1 = 5
La razón de cambio de una función 𝑓 en el intervalo [𝑥1, 𝑥2] se define como
Δ𝑓
Δ𝑥=𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
20
El valor numérico de la razón de cambio de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3 en el intervalo [−2,1]
se podría escribir como
Δ𝑓
Δ𝑥=
2 − 5
1 − (−2)=−3
3= −1
En este caso podríamos interpretar el resultado anterior como una medida que nos indica,
que en este intervalo, cuando la variable 𝑥 cambia tres unidades en el sentido positivo del
eje de las abscisas, la función cambia tres unidades en el sentido negativo del eje de las
ordenadas, como se muestra en la siguiente figura.
Ejemplo. Para la función
𝑓(𝑥) = −𝑥3
12+𝑥2
2−5
12𝑥 + 1
Obtener la razón de cambio en el intervalo [1,4]
Solución
La razón de cambio en el intervalo [1,4] sería
Δ𝑓
Δ𝑥=𝑓(4) − 𝑓(1)
4 − 1
Considerando que
𝑓(4) = −(4)3
12+42
2−5
12(4) + 1 = 2
𝑓(1) = −(1)3
12+1
2−5
12(1) + 1 = 1
21
El valor numérico de la razón de cambio de la función 𝑓(𝑥) = −𝑥3
12+𝑥2
2−
5
12𝑥 + 1 en el
intervalo [−2,1] se podría escribir como
Δ𝑓
Δ𝑥=2 − 1
4 − 1=1
3
En este caso podríamos interpretar la razón de cambio como una medida que nos indica,
que en este intervalo, cuando la variable 𝑥 cambia tres unidades en el sentido positivo del
eje de las abscisas, la función cambia una unidad en el sentido positivo del eje de las
ordenadas, como se muestra en la siguiente figura.
Ejemplo. Se midió la temperatura de una noche de invierno en la ciudad de Puebla a
partir de las doce de la noche y se obtuvieron los siguientes datos
Tiempo (horas) 0 1 2 3 4 5 6
Temperatura (grados °C) −1 −1.8 −2.6 −3.4 −4.2 −5.0 −5.8
A partir de ellos
a) Calcula la razón de cambio promedio de la temperatura de las 0 horas. a las 2 a.m.
b) Calcula la razón de cambio promedio de la temperatura de las 2 a.m. a las 6 a.m.
c) ¿Podrías decir que la temperatura bajo más rápido en algún intervalo de tiempo?
d) Escribe una expresión algebraica para la temperatura como función del tiempo.
e) Calcula la temperatura a las 3:30 horas.
Solución
22
Inciso a
Con la ayuda de la tabla podemos obtener los valores necesarios para calcular la razón de
cambio y obtener
Δ𝑇
Δ𝑡=−2.6 − (−1)
2 − 0= −
4
5= −0.8
Inciso b
Con la ayuda de la tabla podemos obtener los valores necesarios para calcular la razón de
cambio y obtener
Δ𝑇
Δ𝑡=−5.8 − (−2.6)
6 − 2= −
4
5= −0.8
Inciso c
No se puede decir que la temperatura baje más en algún intervalo porque disminuye en
promedio lo mismo en ambos intervalos de tiempo.
Inciso d
En este caso, para deducir la expresión algebraica, podemos apoyarnos de la
representación gráfica de la función. Como se muestra en la siguiente figura, los puntos
generados a partir de la tabla parecen ajustarse a una línea recta.
Así que es razonable que la expresión que relacione la temperatura con el tiempo
corresponda a una recta.
Tomemos en cuenta que la ecuación de la recta se puede escribir como
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
23
En donde 𝑚 es la pendiente y 𝑏 la ordenada al origen y utilicemos los dos primeros puntos
de izquierda a derecha, es decir (0, −1) y (1, −1.8), para obtener la pendiente de la recta
𝑚 =−1.8 − (−1)
1 − 0= −0.8 =
Δ𝑓
Δ𝑥
Es importante que observes que cuando el modelo es una recta, la pendiente de la recta
es igual a la razón de cambio. Por otra parte, el primer punto en la gráfica de izquierda a
derecha corresponde a la intersección de la recta con el eje de las ordenadas y por lo
tanto proporciona el valor de la ordenada al origen, el cual es 𝑏 = −1. De este modo, la
expresión que relacionaría la temperatura con el tiempo sería
𝑇(𝑡) = −0.8𝑥 − 1
Inciso e
Usamos el modelo construido en el inciso anterior para predecir la temperatura a las 3:30
de la mañana.
𝑇(3.3) = −0.8(3.3) − 1 = −3.64 [°𝐶]
Puede interpretarse la razón de cambio instantánea como una cantidad que mide cuanto
cambia una función en un valor de la variable independiente o instante dado, o bien como
una tasa de cambio instantánea.
Ejemplo. Para
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
Obtener
a) La razón de cambio instantánea en 𝑥 = −2.
b) La razón de cambio instantánea en 𝑥 = −1.
Solución
Inciso a
En este caso, la razón de cambio instantánea se podría plantear como
La razón de cambio instantánea es el límite de la razón de cambio cuando uno de
los valores del intervalo se aproxima al otro, es decir
lim𝑥2→𝑥1
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
24
lim𝑥→−2
𝑓(𝑥) − 𝑓(−2)
𝑥 − (−2)
Teniendo en cuenta que
𝑓(−2) = (−2)2 + 1 = 5
Podremos escribir
lim𝑥→−2
𝑓(𝑥) − 𝑓(−2)
𝑥 − (−2)= lim
𝑥→−2
𝑥2 + 1 − 5
𝑥 − (−2)= lim
𝑥→−2
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
Además1
lim𝑥→−2
𝑓(𝑥) − 𝑓(−2)
𝑥 − (−2)= lim
𝑥→−2
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑥 + 2= lim
𝑥→−2(𝑥 − 2) = −2 − 2 = −4
El resultado obtenido nos indica que la función cambia instantáneamente −4 unidades
cuando 𝑥 = −2.
Inciso b
En este caso, la razón de cambio instantánea se podría plantear como
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − (1)
Teniendo en cuenta que
𝑓(1) = (1)2 + 1 = 2
Podremos escribir
lim𝑥→1
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − (1)= lim
𝑥→1
𝑥2 + 1 − 2
𝑥 − (1)= lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 + 1= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 + 1= lim
𝑥→1(𝑥 − 1) = 0
El resultado obtenido nos indica que la función cambia 0 unidades en el instante cuando
𝑥 = −2.
Ejemplo. Una población de moscas crece dentro de una habitación especial, de modo
que el número de moscas 𝑃 a las 𝑡 semanas está dado por 𝑃(𝑡) = 36𝑡3 − 𝑡4 + 5.
a) Calcula la razón de cambio instantáneo a las 4 semanas y media
1 Recuerda que para una diferencia de cuadrados se cumple
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) De modo que 𝑥2 − 4 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
25
b) Calcula la razón de cambio instantáneo a las 6 semanas
Solución
Inciso a
Para calcular la razón de cambio instantáneo a las 4 semanas y media planteamos
lim𝑎→4.5
𝑃(𝑎) − 𝑃(4.5)
𝑎 − 4.5
Como
𝑃(𝑎) = 36𝑎3 − 𝑎4 + 5
𝑃(4.5) = 36(4.5)3 − 4.54 + 5 =46007
16
Entonces
lim𝑎→4.5
𝑃(𝑎) − 𝑃(4.5)
𝑎 − 4.5= lim
𝑎→4.5
36𝑎3 − 𝑎4 + 5 −4600716
𝑎 − 4.5= lim
𝑎→4.5
−𝑎4 + 36𝑎3 −4592716
𝑎 − 4.5
En este punto llevamos a cabo la factorización parcial del polinomio del numerador a
través de la división sintética2. De manera que, considerando el resultado de la división
sintética, se puede escribir el límite anterior como
lim𝑎→4.5
𝑃(𝑎) − 𝑃(4.5)
𝑎 − 4.5= lim
𝑎→4.5
(𝑎 −92) (−𝑎
3 +632 𝑎
2 +5674 𝑎 +
51038 )
𝑎 − 4.5
Simplificando factores comunes
lim𝑎→4.5
𝑃(𝑎) − 𝑃(4.5)
𝑎 − 4.5= lim
𝑎→4.5(−𝑎3 +
63
2𝑎2 +
567
4𝑎 +
5103
8)
lim𝑎→4.5
𝑃(𝑎) − 𝑃(4.5)
𝑎 − 4.5= −(4.5)3 +
63
2(4.5)2 +
567
4(4.5) +
5103
8=3645
2≈ 1822.5
Inciso b
Para calcular la razón de cambio instantáneo a las 6 semanas planteamos
lim𝑎→6
𝑃(𝑎) − 𝑃(6)
𝑎 − 6
2 Si no recuerdas los conceptos relacionados a la división sintética, busca información o apoyo sobre ella.
26
Como
𝑃(𝑎) = 36𝑎3 − 𝑎4 + 5
𝑃(6) = 36(6)3 − 64 + 5 = 6485
Podremos plantear
lim𝑎→6
𝑃(𝑎) − 𝑃(6)
𝑎 − 6= lim
𝑎→6
36𝑎3 − 𝑎4 + 5 − 6485
𝑎 − 6= lim
𝑎→6
−𝑎4 + 36𝑎3 − 6480
𝑎 − 6
En este punto llevamos a cabo la factorización parcial del polinomio del numerador a
través de la división sintética. De manera que, considerando el resultado de la división
sintética, se puede escribir el límite anterior como
lim𝑎→6
𝑃(𝑎) − 𝑃(6)
𝑎 − 6= lim
𝑎→6
(𝑎 − 6)(−𝑎3 + 30𝑎2 + 180𝑎 + 1080)
𝑎 − 6
Simplificando factores comunes
lim𝑎→6
𝑃(𝑎) − 𝑃(6)
𝑎 − 6= lim
𝑎→6(−𝑎3 + 30𝑎2 + 180𝑎 + 1080)
lim𝑎→6
𝑃(𝑎) − 𝑃(6)
𝑎 − 6= −(6)3 + 30(6)2 + 180(6) + 1080 = 3024
Concepto de derivada
Así como razón de cambio instantánea, la derivada puede interpretarse como la tasa de
cambio de la función en un instante.
Ejemplo. Obtén la derivada de 𝑠(𝑡) = 0.7 𝑡2 + 2 cuando 𝑡 = 2 con las ambas definiciones
de derivada.
La derivada es la razón de cambio instantánea, es decir
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Realizando un cambio de variable adecuado, la derivada también se define como
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
27
Solución
Solución con la definición 𝑓′(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
La derivada deseada es
𝑠′(2) = lim𝑡→2
𝑓(𝑡) − 𝑓(2)
𝑡 − 2
Como
𝑓(2) = 0.7(2)2 + 2 =24
5= 4.8
Podremos escribir
𝑠′(2) = lim𝑡→2
𝑓(𝑡) − 𝑓(2)
𝑡 − 2 = lim
𝑡→2
0.7𝑡2 + 2 − 4.8
𝑡 − 2= lim
𝑡→2
0.7𝑡2 − 2.8
𝑡 − 2= lim
𝑡→2
0.7(𝑡2 − 4)
𝑡 − 2
Factorizando la diferencia de cuadrados en el numerador tendremos
𝑠′(2) = lim𝑡→2
𝑓(𝑡) − 𝑓(2)
𝑡 − 2= lim
𝑡→2
0.7(𝑡 − 2)(𝑡 + 2)
𝑡 − 2= lim
𝑡→20.7(𝑡 + 2) = 0.7(2 + 2) = 2.8
Solución con la definición 𝑓′(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
La derivada deseada es
𝑠′(2) = limℎ→0
𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)
ℎ
En este caso
𝑓(2 + ℎ) = 0.7(2 + ℎ)2 + 2 = 0.7(4 + 4ℎ + ℎ2) + 2 = 2.8 + 2.8ℎ + 0.7ℎ2 + 2
= 0.7ℎ2 + 2.8ℎ + 4.8
𝑓(2) = 0.7(2)2 + 2 = 4.8
De modo que
𝑠′(2) = limℎ→0
𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)
ℎ= lim
ℎ→0
0.7ℎ2 + 2.8ℎ + 4.8 − 4.8
ℎ= lim
ℎ→0
0.7ℎ2 + 2.8ℎ
ℎ
Simplificando
𝑠′(2) = limℎ→0
ℎ(0.7ℎ + 2.8)
ℎ= lim
ℎ→0(0.7ℎ + 2.8) = 2.8
Como era de esperarse, el resultado obtenido con ambas definiciones es el mismo.
28
Relación de la derivada y la recta tangente3
Considerando la gráfica de una función, se dice que una recta es secante a ella si se define
a partir de dos puntos en la gráfica, mientras que se dice que una recta es tangente si
alrededor de un punto toca a la gráfica de la función en un solo valor. En la figura siguiente
se muestra la gráfica de una función y un conjunto de rectas secantes a ella que pasan
por el punto (3,9); también se muestra en azul la recta tangente en el punto (3,9).
Considerando lo anterior, en problemas donde se te pida obtener la recta tangente a una
función en un punto, te sugerimos poner en práctica lo siguiente:
• Ten en mente que la ecuación de la recta dada su pendiente 𝑚 y un punto (𝑥1, 𝑦1)
por el cual pasa es
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1
• Considera que si la recta es tangente, su pendiente será la derivada.
Apliquemos lo anterior a un ejemplo.
Ejemplo. Para
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
3 Para entender mejor los problemas relacionados con la recta tangente te sugerimos estudiar sobre la ecuación de la recta y/o buscar el apoyo de un profesor.
Dada una función 𝑓(𝑥), la recta tangente a la gráfica de la función en el valor 𝑥 = 𝑎
tiene por pendiente la derivada en dicho valor, es decir 𝑓′(𝑎).
29
Obtén
a) La ecuación de la recta secante por los puntos (−1,2) y (2,5).
b) La ecuación de la recta tangente en (−1,2).
Solución
Inciso a
Sabiendo que la recta pasa por los puntos (−1,2) y (2,5), los utilizamos para obtener la
pendiente
𝑚 =5 − 2
2 − (−1)= 1
Es importante hacer notar que la razón de cambio en el intervalo [−1,2] es
Δ𝑓
Δ𝑥=
5 − 2
2 − (−1)= 1
Con lo cual podrás observar que la razón de cambio coincide con la pendiente de la recta
secante.
Teniendo la pendiente, podemos obtener la ecuación de la recta con la ayuda de
cualquiera de los puntos por los que pasa, por ejemplo, usando las coordenadas del punto
(−1,2) tenemos
𝑦 = 1[𝑥 − (−1)] + 2 = 1(𝑥 + 1) + 2
𝑦 = 𝑥 + 3
Inciso b
Como la recta es tangente, su pendiente será la derivada en el valor 𝑥 = −1. Obtenemos
la derivada
𝑓′(−1) = lim𝑥→−1
𝑓(𝑥) − 𝑓(−1)
𝑥 − (−1)
Como 𝑓(−1) = (−1)2 + 1 = 2
𝑓′(−1) = lim𝑥→−1
𝑥2 + 1 − 2
𝑥 + 1= lim
𝑥→−1
𝑥2 − 1
𝑥 + 1= lim
𝑥→−1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 + 1= lim
𝑥→−1(𝑥 − 1) = −2
Ahora usamos la información del punto de tangencia, es decir (1,2) para obtener la
ecuación de la recta tangente
30
𝑦 = −2[𝑥 − (−1)] + 2 = −2(𝑥 + 1) + 2 = −2𝑥 − 2 + 2
𝑦 = −2𝑥
La siguiente imagen muestra la recta secante y la recta tangente. Observa que la recta
secante tiene por pendiente la razón de cambio mientras que la recta tangente la
derivada.
Notación
Cuando se hace referencia al proceso de obtener la derivada de una expresión se usan
distintas notaciones, en la siguiente tabla encontrarás algunas de ellas y un ejemplo de su
uso.
Notación Ejemplo de uso
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥3𝑥2
𝐷𝑥[𝑓(𝑥)] 𝐷𝑥[5𝑥 + 3]
[𝑓(𝑥)]′ (𝑥2 + 5𝑥 + 1)′
En estos casos, debe entenderse que se obtendrá la derivada de la expresión que está
dentro del símbolo 𝑑
𝑑𝑥, el símbolo 𝐷𝑥 o bien dentro de los paréntesis con la comilla.
Por otra parte, algunas veces se desea obtener el valor de la derivada en un número en
particular; cuando esto sucede la manera de indicarlo varía dependiendo de la notación
31
empleada; la tabla siguiente muestra cómo se escribiría la derivada de una expresión en
el valor 𝑥 = 2.
Notación Ejemplo de uso
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥)|
𝑥=2
𝑑
𝑑𝑥3𝑥2|
𝑥=2
𝐷𝑥[𝑓(𝑥)]𝑥=2 𝐷𝑥[5𝑥 + 3]𝑥=2
Las expresiones anteriores también pueden entenderse como el proceso de encontrar la
derivada en un valor cualquiera 𝑥 y después evaluar el resultado en el valor 2. En el caso
de usar la notación de comilla, 𝑓′(2) indica que hay que obtener la derivada de manera
general en 𝑥 y después evaluar el resultado en el valor 2.
Ejercicios propuestos
1. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 120 m/seg. Su altura en metros
después de 𝑡 segundos se expresa con 𝐴(𝑡) = 120𝑡 − 4.9𝑡2. Considerando que la velocidad
promedio es la razón de cambio de la altura
a) Calcula la velocidad promedio de la pelota durante el intervalo de 1 a 4 seg
b) Calcula la velocidad promedio de la pelota durante el intervalo de 5 a 12 seg
c) ¿En cuál de estos intervalos de tiempo la pelota viajo más despacio?
d) Calcula la velocidad promedio de la pelota durante el intervalo de 14 a 20 seg
Solución: a)95.5 m/s, b) 36.69 m/s, c) en el segundo, d) 46.59 m/s
2. Un globo esférico se infla y su radio (en centímetros) a los 𝑡 minutos puede calcularse
mediante la función 𝑟(𝑡) = 2𝑡/3 para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10.
a) Escribe el volumen en función del tiempo.
b) Calcula la razón de cambio instantáneo del radio con respecto al tiempo cuando
𝑡 = 8.
c) Calcula la razón de cambio instantáneo del volumen con respecto al radio cuando
𝑡 = 7.
d) Calcula la razón del cambio instantáneo del volumen con respecto al tiempo
cuando 𝑡 = 6.
32
Solución: a) 𝑉(𝑡) =32
81𝜋𝑡3, b)
2
3, c) 182.44, d) 134.04
3. Calcula la razón de cambio instantánea o derivada para las siguientes funciones en los
valores indicados.
a) 𝑓(𝑥) = 42𝑥 en 𝑥 = −9
b) 𝑓(𝑥) = 16 − 7𝑥 en 𝑥 = 8.5
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 − 1 en 𝑥 = −1
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 en 𝑥 = 4
Solución: a) 42, b) -7, c) 2, d) 51
4. Considera la función
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 12𝑥 − 13
a) Obtén la ecuación de la recta secante que pasa por los valores 𝑥 = 1 y 𝑥 = 4
b) Obtén la ecuación de la recta tangente que pasa por 𝑥 = 4
c) Haz un gráfico que muestre ambas rectas y la función.
Solución: a) 𝑦 = 9𝑥 − 33, b) 𝑦 = −9𝑥 − 15, c)
33
Unidad 3. Derivada de funciones algebraicas
Presentación
En la unidad 2 se proporcionó la definición de derivada e incluso se llegó a obtener el
cálculo de algunas derivadas a partir de las definiciones
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Y
𝑓′(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Como pudiste observar, el procedimiento para calcular derivadas a través de la definición
puede llegar a ser largo y en ocasiones complejo. En esta unidad se estudian las reglas de
derivación, la cuales constituyen herramientas para hacer el cálculo de la derivada más
rápido y de manera más sencilla. También se abordan algunas aplicaciones.
Propósitos de la unidad
• Usar el concepto de derivada a través de su representación algebraica para
identificar patrones de comportamiento
• Obtener las reglas de derivación
• Utilizar las reglas de derivación para obtener la derivada de una función de manera
eficaz
• Reconocer a la derivada como otra función.
• Aplicar las reglas de derivación en diferentes contextos
Reglas de derivación
A continuación, se enlistan las reglas de derivación para la suma, resta, multiplicación y
división de funciones, todas ellas se pueden demostrar a partir de la definición de
derivada. Recuerda que la comilla denota la derivada, mientras que 𝑐 es una constante o
un número cualquiera.
34
[𝑐]′ = 0 “La derivada de una constante es cero”
[𝑐𝑓(𝑥)]′ = 𝑐𝑓′(𝑥)
“Cuando se deriva la multiplicación de una
constante por una función, las constantes
pueden factorizarse”
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) “La derivada de una suma es la suma de las
derivadas”
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) “La derivada de una resta es la resta de las
derivadas”
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥)
“La derivada de una multiplicación es igual a la
derivada del primer factor por el segundo más la
derivada del segundo factor por el primero”
[𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)]
′
=𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)2
“La derivada de una división es igual a la
derivada del numerador por el denominador
menos la derivada de denominador por el
numerador dividida entre el cuadrado del
denominador”
Cabe señalar que la regla de derivación para la suma, resta y multiplicación pueden
aplicarse a más de dos términos. Sólo para el caso de la derivada de una multiplicación
de más términos, la regla cambia ligeramente y te sugerimos investigar como derivar una
multiplicación de varios términos. Mientras que la derivada de una suma o resta sigue
siendo la suma y resta de las derivadas de todos los términos.
De las reglas mostradas en la tabla anterior, deduciremos dos, tú puedes investigar o
preguntar a un profesor por la deducción de las demás.
Demostración derivada de una constante
En este caso tenemos una función constante, es decir una función que para todos los
valores toma el mismo valor, es decir cumple que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑥) = 𝑐, de modo que
35
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎 Definición de derivada
= lim𝑥→𝑎
𝑐 − 𝑐
𝑥 − 𝑎 Sustituyendo el valor de la función constante
= lim𝑥→𝑎
0
𝑥 − 𝑎 Llevando a cabo la resta
= lim𝑥→𝑎
0 Haciendo la división (cero entre un número es cero)
= lim𝑥→𝑎
0 = 0 Límite de una constante
De modo que
𝑑
𝑑𝑥𝑐 = 0
Demostración derivada de una resta
Definamos una función como una resta de otras dos funciones
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
De este modo, al evaluar en 𝑎 se tendrá
𝐹(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑔(𝑎)
Entonces calculamos la derivada a partir de la definición
𝐹′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)
𝑥 − 𝑎 Definición de derivada
= lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) − (𝑓(𝑎) + 𝑔(𝑎))
𝑥 − 𝑎
Sustituimos el valor de cada función de acuerdo
con lo que definimos
= lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝑔(𝑎)
𝑥 − 𝑎 Quitamos paréntesis
= lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) + 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑥 − 𝑎 Agrupamos términos
= lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − [𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑎)]
𝑥 − 𝑎 Cambiamos el signo a los dos últimos términos
36
= lim𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎−𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑥 − 𝑎] Descomponemos en una resta de fracciones
= lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎− lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)
𝑥 − 𝑎 Propiedades de los límites
= 𝑓′(𝑎) − 𝑔′(𝑎) Reconocemos cada término como la derivada de
la función correspondiente
De modo que observamos se cumple
𝐹′(𝑎) = 𝑓′(𝑎) − 𝑔′(𝑎)
O bien considerando la manera en que se definió la función 𝐹
[𝑓(𝑎) − 𝑔(𝑎)]′ = 𝑓′(𝑎) − 𝑔′(𝑎)
Evaluando en equis se obtiene el resultado
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)
Derivada de funciones del tipo 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒙𝒏
El siguiente procedimiento se lleva a cabo con la finalidad de que puedas entender mejor
la fórmula para obtener la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, en donde 𝑐 es un número cualquiera y
la potencia 𝑛 es entera. Esta fórmula será un resultado que cobra más relevancia al
combinarse con las reglas de derivación. Para resolver las siguientes derivadas, usaremos
las factorizaciones mostradas a continuación; puedes verificarlas realizando la
multiplicación del lado derecho en cada igualdad.
𝑥2 − 𝑎2 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎)
𝑥3 − 𝑎3 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2)
𝑥4 − 𝑎4 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3)
Derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎= lim
𝑥→𝑎
𝑥2 − 𝑎2
𝑥 − 𝑎= lim
𝑥→𝑎
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎)
𝑥 − 𝑎= lim
𝑥→𝑎(𝑥 + 𝑎) = 𝑎 + 𝑎 = 2𝑎
37
Derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎= lim
𝑥→𝑎
𝑥3 − 𝑎3
𝑥 − 𝑎= lim
𝑥→𝑎
(𝑥 − 𝑎)(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2)
𝑥 − 𝑎= lim
𝑥→𝑎(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2)
= 𝑎2 + 𝑎(𝑎) + 𝑎2 = 3𝑎2
Derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥4
𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎= lim
𝑥→𝑎
𝑥4 − 𝑎4
𝑥 − 𝑎= lim
𝑥→𝑎
(𝑥 − 𝑎)(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3)
𝑥 − 𝑎
= lim𝑥→𝑎
(𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3) = 𝑎3 + 𝑎(𝑎2) + 𝑎2(𝑎) + 𝑎3 = 4𝑎3
A manera de resumen, tenemos los siguientes resultados
𝑑
𝑑𝑥𝑥2 = 2𝑥
𝑑
𝑑𝑥𝑥3 = 3𝑥2
𝑑
𝑑𝑥𝑥4 = 4𝑥3
Los resultados sugieren la generalización para la derivada de una potencia entera.
Cabe señalar que el resultado anterior se verifica incluso en el caso de una potencia
negativa, racional e irracional.
Ejemplo. Obtén las siguientes derivadas.
a) 𝑑
𝑑𝑥𝑥15
b) 𝑑
𝑑𝑥𝑥−3
c) 𝑑
𝑑𝑥𝑥3/5
d) 𝑑
𝑑𝑥𝑥√2
Solución
Inciso a
Sólo aplicamos la regla de derivación para 𝑥𝑛
𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
38
𝑑
𝑑𝑥𝑥15 = 15𝑥14
Inciso b
También aplicamos la regla de derivación para 𝑥𝑛, teniendo en cuenta que en este caso
el exponente es negativo
𝑑
𝑑𝑥𝑥−3 = −3𝑥−4
Inciso c
Se aplica la regla de derivación para 𝑥𝑛, teniendo en cuenta que en el exponente
restaremos fracciones
𝑑
𝑑𝑥𝑥3/5 =
3
5𝑥35−1 =
3
5𝑥−
25
Inciso d
En este caso también aplicaremos la regla para derivar para 𝑥𝑛
𝑑
𝑑𝑥𝑥√2 = √2𝑥√2−1
Podrás deducir un resultado más general combinando la regla de derivación para 𝑥𝑛 y la
regla de la multiplicación por una constante para encontrar la regla para derivar funciones
del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛 que es
Ejercicio. Completa los pasos mostrados para obtener la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛.
𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑥𝑛
Pasos por seguir:
= 𝑐𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 Aplicar regla de la multiplicación por una constante
= 𝑐𝑛𝑥𝑛−1 Aplicar la regla para derivar 𝑥𝑛
El resultado es: 𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑥𝑛 = 𝑐𝑛𝑥𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑥𝑛 = 𝑐𝑛𝑥𝑛−1
39
Ejemplo. Obtén las siguientes derivadas.
a) 𝑑
𝑑𝑥3𝑥15
b) 𝑑
𝑑𝑥−4𝑥3/5
c) 𝑑
𝑑𝑥7𝑥−3
d) 𝑑
𝑑𝑥− 3𝑥√2
Solución
Inciso a
Aplicamos directamente la regla de derivación para 𝑐𝑥𝑛
𝑑
𝑑𝑥3𝑥15 = 45𝑥2
Inciso b
Aplicamos directamente la regla de derivación para 𝑐𝑥𝑛
𝑑
𝑑𝑥7𝑥−3 = −21𝑥−4
Inciso c
Aplicamos directamente la regla de derivación para 𝑐𝑥𝑛
𝑑
𝑑𝑥− 4𝑥
35 = −
12
5𝑥−
25
Inciso d
Aplicamos directamente la regla de derivación para 𝑐𝑥𝑛
𝑑
𝑑𝑥− 3𝑥√2 = −3√2𝑥√2−1
Ejemplo. Obtén la derivada de las siguientes funciones.
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1 d) 𝑓(𝑥) = (5𝑥2 − 5𝑥 + 1)(2𝑥 + 3) g) 𝑓(𝑡) =𝑡2−7𝑡
𝑡−5
b) 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 3𝑥2)(2𝑥4 − 5𝑥3) e) 𝑔(𝑥) = (𝑥3 + 6𝑥2)(𝑥2 − 1)
c) ℎ(𝑥) =3𝑥2−𝑥+2
4𝑥2+5 f) ℎ(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥2+1
40
Solución
Inciso a
En este caso tenemos la derivada de una suma y resta de términos. Sabiendo que la
derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas podremos
escribir
(2𝑥4 − 5𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1)′ = (2𝑥4)′ − (5𝑥3)′ + (𝑥2)′ − (4𝑥)′ + (1)′
En donde la comilla hace referencia a la derivada. De modo que aplicando la regla para
derivar 𝑐𝑥𝑛 y la regla para la derivada de una constante tenemos
(2𝑥4 − 5𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1)′ = 8𝑥3 − 15𝑥2 + 2𝑥 − 4
Cabe señalar que cuando se tiene una suma de términos a los cuales se les puede aplicar
directamente la regla para derivar 𝑐𝑥𝑛, se suele omitir el paso en el cual se indican las
derivadas y se muestra directamente el resultado de derivar cada término, como en la
línea anterior. Esto es lo que haremos en adelante.
Inciso b
En este caso se desea obtener la derivada de una multiplicación y por lo tanto se usará la
regla para derivar una multiplicación junto con la regla para derivar 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛.
[(𝑥3 + 3𝑥2)(2𝑥4 − 5𝑥3)]′
= (𝑥3 + 3𝑥2)′(2𝑥4 − 5𝑥3) + (𝑥3 + 3𝑥2)(2𝑥4 − 5𝑥3)′ Derivada de una
multiplicación
= (3𝑥2 + 6𝑥)(2𝑥4 − 5𝑥3) + (𝑥3 + 3𝑥2)(8𝑥3 − 15𝑥2) Derivada de una suma/resta
y de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛
= 6𝑥6 − 15𝑥5 + 12𝑥5 − 30𝑥4 + 8𝑥6 − 15𝑥5 + 24𝑥5 − 45𝑥4
= 14𝑥6 + 6𝑥5 − 75𝑥4
Haciendo las
multiplicaciones y
simplificando términos
semejantes
41
Inciso c
(3𝑥2 − 𝑥 + 2
4𝑥2 + 5)
′
=(3𝑥2 − 𝑥 + 2)′(4𝑥2 + 5) − (4𝑥2 + 5)′(3𝑥2 − 𝑥 + 2)
(4𝑥2 + 5)2 Derivada de una división
=(6𝑥 − 1)(4𝑥2 + 5) − (8𝑥)(3𝑥2 − 𝑥 + 2)
(4𝑥2 + 5)2
Derivada de una suma/resta y
derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛
=24𝑥3 + 30𝑥 − 4𝑥2 − 5 − (24𝑥3 − 8𝑥2 + 16𝑥)
(4𝑥2 + 5)2
=24𝑥3 + 30𝑥 − 4𝑥2 − 5 − 24𝑥3 + 8𝑥2 − 16𝑥
(4𝑥2 + 5)2
=4𝑥2 + 14𝑥 − 5
(4𝑥2 + 5)2
Haciendo multiplicaciones y
simplificando el numerador
Inciso d
[(5𝑥2 − 5𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)]′
= (5𝑥2 − 5𝑥 + 1)′(2𝑥 + 3) + (5𝑥2 − 5𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)′ Derivada de una multiplicación
= (10𝑥 − 5)(2𝑥 + 3) + (5𝑥2 − 5𝑥 + 1)(2) Derivada de una suma/resta y
derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛
= 20𝑥2 + 30𝑥 − 10𝑥 − 15 + 10𝑥2 − 10𝑥 + 2
= 30𝑥2 + 10𝑥 − 13
Multiplicando y simplificando
Inciso e
[(𝑥3 + 6𝑥2)(𝑥2 − 1)]′
= (𝑥3 + 6𝑥2)′(𝑥2 − 1) + (𝑥3 + 6𝑥2)(𝑥2 − 1)′ Derivada de una multiplicación
= (3𝑥2 + 12𝑥)(𝑥2 − 1) + (𝑥3 + 6𝑥2)(2𝑥) Derivada de una suma/resta y derivada
de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛
42
= 3𝑥4 − 3𝑥2 + 12𝑥3 − 12𝑥 + 2𝑥4 + 12𝑥3
= 5𝑥4 + 24𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥
Multiplicando y simplificando
Inciso f
(𝑥2 − 1
𝑥2 + 1)
′
=(𝑥2 − 1)′(𝑥2 + 1) − (𝑥2 + 1)′(𝑥2 − 1)
(𝑥2 + 1)2 Derivada de una división
=2𝑥(𝑥2 + 1) − 2𝑥(𝑥2 − 1)
(𝑥2 + 1)2
Derivada de una suma/resta y derivada de
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛
=2𝑥3 + 2𝑥 − 2𝑥3 + 2𝑥
(𝑥2 + 1)2
=4𝑥
(𝑥2 + 1)2
Realizando las multiplicaciones y
simplificando
Inciso g
(𝑡2 − 7𝑡
𝑡 − 5)
′
=(𝑡2 − 7𝑡)′(𝑡 − 5) − (𝑡 − 5)′(𝑡2 − 7𝑡)
(𝑡 − 5)2 Derivada de una división
=(2𝑡 − 7)(𝑡 − 5) − (1)(𝑡2 − 7𝑡)
(𝑡 − 5)2
Derivada de una suma/resta, de una
constante y derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥𝑛
=2𝑡2 − 10𝑡 − 7𝑡 + 35 − 𝑡2 + 7𝑡
(𝑡 − 5)2
=𝑡2 − 10𝑡 + 35
(𝑡 − 5)2
Haciendo la multiplicación y reduciendo
términos semejantes
43
Derivada de funciones del tipo [𝑓(𝑥)]𝑛
A continuación, se muestra la regla para derivar una función que está elevada a una
potencia; esta fórmula es válida en el caso de que el exponente sea un entero, un racional
o un irracional.
Como podrás notar, esta regla es similar a la regla para derivar 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, pues el
exponente pasa a ser el coeficiente y se resta una unidad al exponente. Dejando de lado
que en este caso lo que se está elevando a una potencia es una función y no la variable 𝑥,
la diferencia sustancial con respecto a la regla para derivar 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 consiste en que
ahora hay que multiplicar por la derivada de la función 𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥).
Cabe señalar que la regla para la derivada de [𝑓(𝑥)]𝑛 es un caso particular de otra regla
muy importante conocida como regla de la cadena. Te invitamos a que profundices sobre
su conocimiento.
Ejemplo. Obtén las siguientes derivadas
a) 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 − 7𝑥2 + 5𝑥)4
b) 𝑔(𝑥) =1
(3𝑥3−5𝑥2+2𝑥)3
c) ℎ(𝑡) = √5 − 2𝑡
d) 𝑓(𝑥) = (2𝑥2 + 1)3
2
e) 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)3(2𝑥 + 1)4
f) ℎ(𝑥) = (3𝑥+2
𝑥−1)3
Solución
Inciso a
En este caso aplicamos directamente la regla para derivar [𝑓(𝑥)]𝑛
𝐷𝑥[(2𝑥3 − 7𝑥2 + 5𝑥)4] = 4(2𝑥3 − 7𝑥2 + 5𝑥)3(6𝑥2 − 14𝑥 + 5)
Inciso b
𝑑
𝑑𝑥[𝑓(𝑥)]𝑛 = 𝑛[𝑓(𝑥)]𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥)
44
Primeramente, hacemos la observación de que está función, de acuerdo con las leyes de
los exponentes, se puede reescribir como
𝑔(𝑥) =1
(3𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥)3= (3𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥)−3
Entonces podemos ver que para obtener su derivada aplicaremos la regla para derivar
[𝑓(𝑥)]𝑛
𝐷𝑥[(3𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥)−3] = −3(3𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥)−4(9𝑥2 − 10𝑥 + 2)
Inciso c
Nuevamente reescribimos la expresión, con base en las leyes de los exponentes podemos
escribir
ℎ(𝑡) = √5 − 2𝑡 = (5 − 2𝑡)12
De modo que podemos ver que para obtener la derivada debemos aplicar la regla para la
derivada de [𝑓(𝑥)]𝑛
𝐷𝑡[√5 − 2𝑡] = 𝐷𝑡 [(5 − 2𝑡)12] =
1
2(5 − 2𝑡)−
12(−2) = −
1
(5 − 2𝑡)12
= −1
√5 − 2𝑡
Inciso d
En este caso aplicamos directamente la regla
𝐷𝑥 [(2𝑥2 + 1)
32] =
3
2(2𝑥2 + 1)
12(4𝑥) = 6𝑥√2𝑥2 + 1
Inciso e
En este caso para obtener la derivada aplicaremos una combinación de reglas para derivar
𝐷𝑥[(𝑥 + 1)3(2𝑥 + 1)4]
= 𝐷𝑥[(𝑥 + 1)3](2𝑥 + 1)4 + 𝐷𝑥[(2𝑥 + 1)
4](𝑥 + 1)3 Derivada de una multiplicación
= 3(𝑥 + 1)2(1)(2𝑥 + 1)4 + 4(2𝑥 + 1)3(2)(𝑥 + 1)3 Derivada de [𝑓(𝑥)𝑛]
= 3(𝑥 + 1)2(2𝑥 + 1)4 + 8(2𝑥 + 1)3(𝑥 + 1)3 Simplificamos los coeficientes
Inciso f
45
En este caso para obtener la derivada aplicaremos una combinación de reglas para derivar
𝐷𝑥 [(3𝑥 + 2
𝑥 − 1)3
]
= 3(3𝑥 + 2
𝑥 − 1)2
𝐷𝑥 [3𝑥 + 2
𝑥 − 1] Derivada de [𝑓(𝑥)𝑛]
= 3(3𝑥 + 2
𝑥 − 1)2
[(3𝑥 + 2)′(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)′(3𝑥 + 2)
(𝑥 − 1)2] Derivada de una división
= 3(3𝑥 + 2
𝑥 − 1)2
[3(𝑥 − 1) − 1(3𝑥 + 2)
(𝑥 − 1)2] Derivada de una suma/resta
= 3(3𝑥 + 2
𝑥 − 1)2
[3𝑥 − 3 − 3𝑥 − 2
(𝑥 − 1)2]
= 3 (3𝑥 + 2
𝑥 − 1)2
[−5
(𝑥 − 1)2]
= −15
(𝑥 − 1)2(3𝑥 + 2
𝑥 − 1)2
}
Hacemos algunas simplificaciones
Problemas de aplicación de razón de cambio instantánea
Una vez que tenemos un mejor conocimiento sobre la manera de calcular la derivada,
podemos abordar algunas aplicaciones de manera más sencilla. Mostramos algunos
ejemplos.
• Cálculo de tangentes
En la unidad 2 se estudia que la recta que es tangente a la gráfica de una función en un
valor 𝑥 = 𝑎 tiene por pendiente la derivada evaluada en ese valor. El cálculo de la
ecuación de rectas tangentes se facilita de manera importante tomando en cuenta las
reglas de derivación como podrás ver en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Para
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
Obtén la ecuación de la recta tangente en (−1,2)
Solución
46
Este ejemplo se mostró en la sección correspondiente a la unidad 2; para obtener la
ecuación de la recta tangente necesitamos obtener el valor de 𝑓′(−1). En la sección de la
unidad 2 hicimos el cálculo a través de la definición de derivada, ahora lo haremos con la
ayuda de las reglas de derivación. Obtenemos la derivada
𝑓′(𝑥) = 2𝑥
Evaluamos la derivada en 𝑥 = −1
𝑓′(−1) = 2(−1) = −2
Ahora que tenemos la pendiente de la recta y que sabemos que pasa por el punto (−1,2)
podemos emplear la forma punto pendiente de la ecuación de la recta
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1
Para encontrar la ecuación de la recta tangente
𝑦 = −2(𝑥 − (−1)) + 2
𝑦 = −2(𝑥 + 1) + 2
𝑦 = −2𝑥
Evidentemente hemos llegado al mismo resultado, pero hemos hecho menos trabajo para
obtener la ecuación de la recta tangente.
Ejemplo. En la siguiente imagen se muestra la gráfica de la función
𝑓(𝑥) = −13
24𝑥4 +
31
12𝑥3 −
23
24𝑥2 −
61
12𝑥 + 2
También se muestra su recta tangente en un punto ¿Cuál es la ecuación de la tangente?
47
Solución
De la gráfica podemos obtener las coordenadas del punto de tangencia, las cuales son
(1, −2). La recta tangente debe tener por pendiente la derivada evaluada en el valor 𝑥 =
1, es decir 𝑓′(1), así que primero obtenemos el valor de la derivada
𝑓′(𝑥) = −13
6𝑥3 +
31
4𝑥2 −
23
12𝑥 −
61
12
Ahora evaluamos la derivada
𝑓′(1) = −13
6(1)3 +
31
4(1)2 −
23
12(1) −
61
12= −
17
12
Ahora que tenemos la pendiente y las coordenadas del punto de tangencia, podemos
emplear la forma punto pendiente de la ecuación de la recta, es decir
𝑦 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1
Para obtener la ecuación de la recta tangente deseada
𝑦 = −17
12(𝑥 − 1) + (−2)
𝑦 = −17
12𝑥 +
17
12− 2
𝑦 = −17
12𝑥 −
7
12
• Cálculo de velocidades
Considerando que la velocidad promedio puede entenderse como el cambio de la posición
en un tiempo dado, puede escribirse
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚(𝑡) =Δ𝑠
Δ𝑡
Por otra parte, la velocidad instantánea se define como el valor límite de la velocidad
promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. En otros términos, la velocidad
instantánea puede pensarse como la derivada de la posición, es decir
𝑣(𝑡) = limΔ𝑥→0
Δ𝑠
Δ𝑡= 𝑠′(𝑡)
Ejemplo. Una partícula se mueve de acuerdo con 𝑠(𝑡) = −16𝑡2 + 16𝑡 + 32 ¿Cuál sería su
velocidad instantánea cuando 𝑡 = 2?
48
Solución
Sabemos que la velocidad instantánea es la derivada de la función de posición, de modo
que
𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = −32𝑡 + 16
Entonces la velocidad cuando 𝑡 = 2 será
𝑣(2) = −32(2) + 16 = −48
Ejercicios propuestos
1. Obtén las siguientes derivadas
𝑦 = 𝑥5 + 5𝑥4 − 10𝑥2 + 6 [Sol. 𝑦′ = 5𝑥4 + 20𝑥3 − 20𝑥]
𝑦 = 3√𝑥 − √𝑥3 +2
√𝑥 [Sol. 𝑦′ =
3
2√𝑥−3
2√𝑥2
−1
√𝑥32 ]
𝑓(𝑥) =1
2𝑥2+4
√𝑥 [Sol. 𝑓′(𝑥) = −
1
𝑥3−
2
√𝑥3 ]
𝑓(𝑡) =2
√𝑡+6
√𝑡3 [Sol. 𝑓′(𝑡) = −
1
√𝑡3−
2
√𝑡43 ]
𝑦 = (1 − 5𝑥)6 [Sol. 𝑦′ = −30(1 − 5𝑥)5]
𝑓(𝑥) = √3 + 4𝑥 − 𝑥2 [Sol. 𝑓′(𝑥) =2−𝑥
√3+4𝑥−𝑥2]
𝜃(𝑟) =3𝑟 + 2
2𝑟 + 3 [Sol. 𝜃′(𝑟) =
5
(2𝑟+3)2]
𝑔(𝑥) = (𝑥
1 + 𝑥)5
[Sol. 𝑔′(𝑥) =5𝑥4
(1+𝑥)6]
ℎ(𝑥) = 2𝑥2√2 − 𝑥 [Sol. ℎ′(𝑥) =8𝑥−5𝑥2
√2−𝑥]
𝑦 = 𝑥√3 − 2𝑥2 [Sol. 𝑦′ =3−4𝑥2
√3−2𝑥2]
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)√𝑥2 − 2𝑥 + 2 [Sol. 𝑓′(𝑥) =2𝑥2−4𝑥+3
√𝑥2−2𝑥+2]
49
𝑧(𝑤) =𝑤
√1 − 4𝑤2 [Sol. 𝑧′(𝑤) =
1
√(1−4𝑤2)3]
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
𝑥 + 1 [Sol. 𝑓′(𝑥) =
1
√(𝑥+1)3(𝑥−1)]
𝑠(𝑡) =𝑡2 + 2
3 − 𝑡2 [Sol. 𝑠′(𝑡) =
10𝑡
(3−𝑡2)2]
𝑦 = (𝑥3 − 1
2𝑥3 + 1)
4
[Sol. 𝑦′ =36𝑥2
(2𝑥3+1)2(𝑥3−1
2𝑥3+1)3
]
𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 4)(2𝑥3 − 1)3 [Sol. 𝑔′(𝑥) = 2𝑥(2𝑥3 − 1)2(11𝑥3 + 36𝑥 − 1)]
ℎ(𝑥) =𝑥2
√4 − 𝑥2 [Sol. ℎ′(𝑥) =
𝑥(8−𝑥2)
√(4−𝑥2)3]
2. Obtén la ecuación de la recta tangente a
𝑓(𝑥) =1
𝑥2 + 1
Cuando 𝑥 = 1 [Sol. 𝑦 = −1
2𝑥 + 1]
3. Obtén la ecuación de la recta tangente a
ℎ(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2
Cuando 𝑥 = −3
2. [Sol. 𝑦 = −
1
4𝑥 +
1
4]
4. Si la posición de un objeto luego de 𝑡 horas se puede determinar mediante
𝑠(𝑡) = 50𝑡 −7
𝑡 + 1[𝐾𝑚]
¿Cuál es su velocidad instantánea cuando han pasado dos horas? [Sol. 50.77 [𝑘𝑚
ℎ]]
50
Unidad 4. Comportamiento gráfico y problemas de optimización
Presentación
La derivada, al ser la pendiente de la recta tangente, tiene relación con el valor máximo
o mínimo de una función; esta característica se pude emplear para obtener información
sobre la gráfica de una función y también en diversos problemas en donde se busca el
valor el valor máximo o mínimo. Primeramente, revisaremos de manera breve algunos
conceptos teóricos y posteriormente los aplicaremos a la descripción de gráficas y
resolución de problemas.
Propósitos de la unidad
Contrastar la gráfica de una función y sus dos primeras derivadas para obtener información
sobre el comportamiento de la función; también utilizar dicha información para resolver
problemas de optimización.
Situaciones que propician el análisis de las relaciones entre la gráfica de una
función y sus derivadas.
Considera el estudio de la gráfica de una función y su relación con la recta tangente. En
tal situación, probablemente visualizaremos una situación como la mostrada a
continuación.
Observarás que hay una relación entre la pendiente de la recta tangente y las partes en
las cuales la gráfica de la función está creciendo o decreciendo. Si tomamos en cuenta
que la pendiente de la recta tangente es justamente la derivada, entonces podremos
51
entrever una relación entre la derivada y los intervalos en cuales una función es creciente
o decreciente.
Por otra parte, como veremos más adelante, la relación entre la derivada y la gráfica de
una función no sólo se limita a los intervalos de crecimiento y decrecimiento, sino que del
análisis de la relación entre la recta tangente y la gráfica de una función podremos obtener
conclusiones sobre el comportamiento gráfico de una función a través de la derivada.
Comportamiento gráfico de una función.
• Crecimiento y decrecimiento de funciones
Hagamos referencia nuevamente a una situación en donde observemos el comportamiento
de una función y su recta tangente
Podremos visualizar que típicamente cuando la función crece, las rectas tangentes
tendrán pendientes positivas (las verdes en la imagen anterior), mientras que cuando la
función decrece sus rectas tangentes tendrán pendientes negativas (las azules en la
imagen anterior). Como la pendiente de la recta tangente es la derivada, entonces
podremos establecer la siguiente conclusión:
Si una función es creciente en un intervalo 𝐼, entonces su derivada es positiva en ese
intervalo. Por otra parte, si la función es decreciente en un intervalo 𝐼, entonces su
derivada será negativa en ese intervalo.
52
• Puntos críticos
Una relación muy importante entre la gráfica de
una función y su recta tangente ocurre
justamente en los puntos máximos y mínimos,
pues en ellos la recta tangente es horizontal y
por lo tanto tiene pendiente cero; como en la
imagen izquierda, podrás ver que en los valores
máximo y mínimo, la recta tangente es
horizontal.
Como la pendiente de la recta tangente es la derivada, podemos establecer la siguiente
conclusión
Además, podemos hacer las siguientes precisiones
Así pues, en la imagen siguiente, son valores críticos 𝑥 = −2 y 𝑥 = 1, mientras que sus
correspondientes puntos críticos son (−2,3) y (1, −1).
En un punto máximo o un mínimo, la derivada debe valer cero.
Los valores de la variable independiente donde la derivada de una función se hace
cero o no existe se llaman valores críticos. Su correspondiente punto en la gráfica de
la función se denomina punto crítico.
53
• Concavidad
Con respecto a la concavidad, esta se puede definir con referencia a la posición de la
gráfica de la función y sus rectas tangentes. Si en un intervalo 𝐼 la gráfica de la función
está por encima de la recta tangente, se dice que la función es cóncava hacia arriba,
mientras que si en un intervalo 𝐼 la gráfica de la función está por debajo de la recta
tangente, se dice que la función es cóncava hacia abajo. Así, por ejemplo, para la función
mostrada a continuación, se tendrá concavidad hacia abajo en el intervalo (−∞, 2), como
es mostrado en la parte izquierda, pues la gráfica de la función está por debajo de las
rectas tangentes, mientras que se tendrá concavidad hacia arriba en el intervalo (2,∞),
como se observa en la parte derecha de la ilustración, pues la gráfica está por encima de
las rectas tangentes.
A pesar de que la caracterización anterior de la concavidad es relativamente sencilla,
existe otra manera de caracterizar la concavidad a través de la segunda derivada:
Tomando en consideración lo anterior, podríamos decir que para la función mostrada en
la ilustración anterior, la segunda derivada será negativa en el intervalo (−∞, 2) y será
positiva en el intervalo (2,∞).
• Máximos y mínimos, criterio de la 1ª y 2ª derivadas
Existe una manera de caracterizar a los puntos máximos y mínimos a través de la derivada
mediante el criterio conocido como de la primera derivada, el cual se resume en seguida.
Si la segunda derivada de una función es positiva en un intervalo 𝐼, entonces la
función será cóncava hacia arriba en ese intervalo. Si la segunda derivada de una
función es negativa en un intervalo 𝐼, entonces la función será cóncava hacia abajo
en ese intervalo.
54
Cabe hacer las siguientes aclaraciones sobre el criterio de la primera derivada:
(1) Si la derivada no cambia de signo en el valor crítico 𝑐, entonces el criterio no puede
definir si hay un máximo o mínimo local.
(2) Se usa el término local porque puede ser que existan más de un máximo y más de
un mínimo o bien puede ser que la función decrezca o crezca sin límite y no haya
máximos ni mínimos absolutos.
Además del criterio de la primera derivada, existe otro para caracterizar los máximos y
mínimos locales a través de la segunda derivada, conocido como criterio de la segunda
derivada.
Con respecto al criterio de la segunda derivada debe hacerse la observación de que este
no expresa nada en caso de que la segunda derivada sea igual a cero en un valor crítico.
Criterio de la primera derivada
Si 𝑐 es un valor crítico, el punto correspondiente es un máximo local si la derivada
cambia de signo positivo a negativo en 𝑐.
Si 𝑐 es un valor crítico, el punto correspondiente es un mínimo local si la derivada
cambia de signo positivo a negativo en 𝑐.
Criterio de la segunda derivada
Si la segunda derivada de una función es mayor a cero en un valor crítico, entonces
la función tiene un mínimo local en tal valor. Si la segunda derivada de la función es
menor a cero en un valor crítico, entonces la función tiene un máximo local en dicho
valor.
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• Puntos de inflexión
Adicionalmente a los puntos máximos y
mínimos, en los cuales la derivada vale
cero, existe otra clase de punto en el
cual a veces la derivada también se hace
cero; a este tipo de punto se le denomina
punto de inflexión. En la imagen contigua
se muestra una situación en la cual la
recta tangente es horizontal, y por lo
tanto la derivada es cero en 𝑥 = 2, sin
embargo, el punto (2,4) no es un máximo
ni un mínimo, como podrás observar.
La manera precisa de caracterizar a los puntos de inflexión es a través de la concavidad.
El punto donde cambia la concavidad es llamado punto de inflexión. Como la concavidad
está relacionada a la segunda derivada, se puede a su vez caracterizar un punto de
inflexión a través de la segunda derivada.
Realizaremos un ejemplo para poner en práctica todos los conceptos revisados hasta
ahora.
Ejemplo. Para
𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 16𝑥3 + 18𝑥2
a) Obtener los intervalos donde la función es creciente o decreciente.
b) Obtener los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
c) De haberlos, obtener los puntos máximos y mínimos a través
i) del criterio de la primera derivada
ii) del criterio de la segunda derivada
d) De existir, obtener los puntos de inflexión.
e) Realiza un bosquejo de la gráfica de la función
Los puntos de inflexión se presentan en los valores donde la segunda derivada cambia
de signo.
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Solución
Inciso a
Primeramente, encontramos los valores críticos; para ello obtenemos la derivada
𝑓′(𝑥) = 12𝑥3 − 48𝑥2 + 36𝑥
Ahora igualamos la derivada a cero
12𝑥3 − 48𝑥2 + 36𝑥 = 0
Resolvemos la ecuación4 correspondiente factorizándola
𝑥(12𝑥2 − 48𝑥 + 36) = 0
12𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 0
Con lo cual podemos determinar que los valores críticos serán 𝑥 = 0, 𝑥 = 3 y 𝑥 = 1. Estos
valores críticos definen los intervalos (−∞, 0), (0,1), (1,3) y (3,∞). Ahora la labor será
averiguar el signo de la derivada en cada uno de los intervalos, para determinar si la
función es creciente o decreciente en cada uno de ellos. Esto se hace por lo común
eligiendo un valor cualquiera dentro de cada intervalo y evaluando la derivada en él, como
se muestra en la siguiente tabla. La imagen adjunta muestra una representación de los
resultados de la tabla; para los puntos mostrados con una cruz en la imagen, la primera
coordenada es el valor dentro del cada uno de los intervalos que se escogió y la segunda
coordenada es el valor de la derivada en ese valor; mira como los valores con derivada
negativa están debajo del eje de las abscisas y los positivos por encima del eje de las
abscisas.
Intervalo Derivada
(−∞, 0) 𝑓′(−1) = 12(−1)3 − 48(−1)2 + 36(−1) = −96
(0,1) 𝑓′(0.5) = 12(0.5)3 − 48(0.5)2 + 36(0.5) = 7.5
(1,3) 𝑓′(2) = 12(2)3 − 48(2)2 + 36(2) = −24
(3,∞) 𝑓′(4) = 12(4)3 − 48(4)2 + 36(4) = 144
4 En este tipo de problemas suelen resolverse ecuaciones; si tienes dudas al respecto, repasa tus apuntes
referentes a la factorización de polinomios.
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Observamos que la derivada es positiva en los intervalos (0,1) y (3,∞), por lo cual la
función será creciente en estos intervalos. Esto se puede escribir como (0,1) ∪ (1,3).
La derivada es negativa en los intervalos (−∞, 1) y (1,3), por lo cual la función será
decreciente en estos intervalos. Esto se puede escribir como (−∞, 1) ∪ (1,3).
Inciso b
Como la concavidad se puede determinar a partir del signo de la segunda derivada,
primero obtenemos la segunda derivada
𝑓′′(𝑥) = 36𝑥2 − 96𝑥 + 36
Ahora obtenemos los valores donde se hace cero, mediante la fórmula general podemos
determinar que las raíces son 𝑥1 ≈ 0.45 y 𝑥2 ≈ 2.21. Estas raíces generarán los intervalos
(−∞, 0.45), (0.45,2.21) y (2.21,∞). Para determinar el signo de la segunda derivada en
estos intervalos, por lo general se toma un valor cualquiera dentro de cada uno de estos
intervalos y se evalúa la segunda derivada en ellos. Este procedimiento se muestra en la
siguiente tabla; la figura contigua muestra una representación del procedimiento; en este
caso, para los puntos marcados con una cruz, la primera coordenada es el valor que se
escogió dentro de cada intervalo y la coordenada 𝑦 es el valor de la segunda derivada; en
este caso cuando la segunda derivada fue positiva, los puntos se han localizado por encima
del eje de las abscisas.
Intervalo Segunda derivada
(−∞, 0.45) 𝑓′′(0) = 36(0)2 − 96(0) + 36 = 36
(0.45,2.21) 𝑓′′(1) = 36(1)2 − 96(1) + 36 = −24
(2.21,∞) 𝑓′′(3) = 36(3)2 − 96(3) + 36 = 72
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De este modo, podemos apreciar que la segunda derivada será positiva en los intervalos
(−∞, 0.45) y (2.21,∞), y por lo tanto la función será cóncava hacia arriba en tales
intervalos. Mientras que la segunda derivada es negativa en el intervalo (0.45,2.21) y en
consecuencia sabemos que la función será cóncava hacia abajo en este intervalo.
Inciso c i
De acuerdo con el criterio de la primera derivada, sabremos si hay un máximo o mínimo
haciendo referencia a los cambios de signo de la derivada. Ya hemos resuelto esta cuestión
en la solución del inciso a. En aquella parte de la respuesta obtuvimos un esquema como
el mostrado a continuación.
Con la ayuda de este esquema podemos apreciar
que la derivada cambia de signo negativo a
positivo en los valores críticos 𝑥 = 0 y 𝑥 = 3; por
lo cual debe haber mínimos locales en dichos
valores.
También podemos apreciar que la derivada
cambia de signo positivo a negativo en el valor
𝑥 = 1, por lo que ahí debe haber un máximo
local.
Evaluamos la función en los valores críticos para determinar los máximo y mínimos5
𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 16𝑥3 + 18𝑥2
𝑓(0) = 3(0)4 − 16(0)3 + 18(0)2 = 0
𝑓(3) = 3(3)4 − 16(3)3 + 18(3)2 = −27
𝑓(1) = 3(1)4 − 16(1)3 + 18(1)2 = 5
La siguiente tabla resume los resultados
Punto crítico (0,0) (3, −27) (1,5)
Naturaleza Mínimo local Mínimo local Máximo local
5 Este procedimiento, hasta la tabla de resumen, se volvería a hacer en el criterio de la segunda derivada,
pero se omitió para evitar repeticiones.
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Inciso c ii
Para usar el criterio de la segunda derivada tomémosla en cuenta
𝑓′′(𝑥) = 36𝑥2 − 96𝑥 + 36
La evaluaremos en los valores críticos
𝑓′′(0) = 36(0)2 − 96(0) + 36 = 36
𝑓′′(3) = 36(3)2 − 96(3) + 36 = 72
𝑓′′(1) = 36(1)2 − 96(1) + 36 = −24
De acuerdo con los resultados anteriores y con el criterio de la segunda derivada, como la
segunda derivada ha sido positiva en los valores 𝑥 = 0 y 𝑥 = 3, la función deberá tener
mínimos locales en dichos valores. Como 𝑓′′ tuvo un valor negativo en 𝑥 = 1, la función
debe tener un máximo en tal valor. Estos resultados están en concordancia con los
resultados obtenidos con el criterio de la primera derivada. El procedimiento para obtener
los puntos críticos ya se ha descrito en el inciso c i.
Inciso d
Para determinar los puntos de inflexión
debemos saber cuándo cambia de signo la
segunda derivada. Ya hemos respondido
parcialmente a esto en el inciso b; en ese
inciso pudimos construir el gráfico
contiguo.
A partir de este gráfico podemos apreciar que la segunda derivada cambia de signo en 𝑥 ≈
0.45 y en 𝑥 ≈ 2.21, por lo tanto, en esos valores la función debe tener puntos de inflexión.
Para obtener sus coordenadas evaluamos en la función
𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 16𝑥3 + 18𝑥2
𝑓(0.45) = 3(0.45)4 − 16(0.45)3 + 18(0.45)2 = 2.31
𝑓(2.21) = 3(2.21)4 − 16(2.21)3 + 18(2.21)2 = −13.22
La siguiente tabla resume estos resultados
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Punto de inflexión
(0.45,2.31)
(2.21,−13.22)
Inciso e
Para hacer el bosquejo de la gráfica función se tiene que considerar toda la información
recabada a partir de la primera y segunda derivada, lo cual hacemos a continuación.
Intervalo decreciente (−∞, 0) Mínimo local (0,0)
Intervalo creciente (0,1) Mínimo local (3, −27)
Intervalo decreciente (1,3) Máximo local (1,5)
Intervalo creciente (3,∞) Punto de inflexión (0.45,2.31)
Concavidad hacia arriba (−∞, 0.45) Punto de inflexión (2.21,−13.22)
Concavidad hacia abajo (0.45,2.21)
Podemos apoyarnos de la información recabada para hacer el bosquejo de la gráfica. La
gráfica de la función se muestra a continuación.
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Gráfica de 𝑓’(𝑥) y 𝑓’’(𝑥) a partir de 𝑓(𝑥) y viceversa
Conociendo la gráfica de una función, puede deducirse información sobre la gráfica de su
primera y segunda derivada.
Ejemplo. Se muestra a continuación la gráfica de una función. Especifica qué información
puede saberse sobre su primera y segunda derivada.
Solución
Sobre la primera derivada puede saberse que:
• Será positiva en los intervalos crecientes,
es decir en los intervalos (−∞,−2) y
(2,∞).
• Será negativa en el intervalo decreciente,
es decir en el intervalo (−2,2).
• Cruzará por cero en 𝑥 = −2 y en 𝑥 = 2,
porque ahí la tangente será horizontal.
Por su parte, sobre la segunda derivada puede saberse:
Si trazáramos rectas tangentes hasta el
punto (0,0), la gráfica de la función estará
por debajo de ellas, por lo cual podemos
saber que la función es cóncava hacia abajo
en el intervalo (−∞, 0) y en consecuencia la
segunda derivada será negativa en ese
intervalo.
De modo semejante, si trazáramos rectas
tangentes a partir del punto (0,0), la gráfica
de la función estará por encima de ellas, por
lo cual podemos saber que la función es
cóncava hacia abajo en el intervalo (−∞, 0)
y en consecuencia la segunda derivada será
negativa en ese intervalo.
La segunda derivada pasará por cero en 𝑥 = 0 porque ahí cambia la concavidad.
62
Por último, para confirmar nuestras deducciones, se muestra a continuación la gráfica de
la función y sus dos primera derivadas.
Problemas de optimización
Con el conocimiento de la relación que guarda la derivada con los puntos máximos y
mínimos, se puede abordar la solución de problemas en donde justamente se pretende
encontrar la solución máxima o mínima.
Ejemplo. Se desea construir una caja sin tapa con una lámina rectangular de 40 cm de
largo y 30 cm de ancho, cortando un cuadrado de lado 𝑥 en las cuatro esquinas y doblando
las cejas hacia arriba para formar la caja. Encuentra las dimensiones de la caja con
volumen máximo que se puede construir de esta forma.
Solución
Primeramente, realizaremos un dibujo mostrando la situación descrita en el problema.
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Como podemos observar, una vez que se han cortado las esquinas de la lámina para formar
la caja, cada lado se reduce en dos veces la longitud del corte, es decir se disminuye en
2𝑥. De este modo, considerando que el volumen de un prisma se obtiene multiplicando el
área de la base por su altura, podremos escribir el volumen de la caja formada como
𝑉(𝑥) = 𝑥(40 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)
𝑉(𝑥) = 𝑥(1200 − 80𝑥 − 60𝑥 + 4𝑥2)
𝑉(𝑥) = 4𝑥3 − 140𝑥2 + 1200𝑥
Ahora buscamos el valor máximo de la función volumen sabiendo que los máximos ocurren
en los valores críticos, por lo cual derivamos la función volumen
𝑉′(𝑥) = 12𝑥2 − 280𝑥 + 1200
Igualamos la derivada a cero y resolvemos para obtener los valores críticos
12𝑥2 − 280𝑥 + 1200 = 0 ⇒ 𝑥1 ≈ 17.67, 𝑥2 ≈ 5.65
Para determinar si estos valores definen un máximo o un mínimo emplearemos el criterio
de la segunda derivada (aunque también podemos usar el criterio de la primera derivada),
para lo cual obtenemos la segunda derivada
𝑉′′(𝑥) = 24𝑥 − 280
Ahora evaluamos la segunda derivada en los valores críticos
𝑉′′(17.67) = 144.08
𝑉′′(5.65) = −144.4 ⟶ 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
Como la segunda derivada es negativa en 𝑥 ≈ 5.65, el volumen debe tener un máximo local
en ese valor. Podemos encontrar el valor del volumen máximo si evaluamos la función del
volumen en este valor
𝑉(5.65) = 4(5.65)3 − 140(5.65)2 + 1200(5.65) = 3032 𝑐𝑚3
Y también podemos determinar las dimensiones de la caja con volumen máximo, la cual
luciría como se muestra en la siguiente imagen.
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Ejercicios propuestos
1. Para
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 5
a) Obtener los intervalos donde la función es creciente o decreciente.
b) Obtener los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia
abajo.
c) De haberlos, obtener los puntos máximos y mínimos.
d) De existir, obtener los puntos de inflexión.
Solución. a) creciente en (−∞,−1) ∪ (3,∞) decreciente en (−1,1),
b) Cóncava hacia abajo en (−∞, 1) y cóncava hacia arriba en (1,3),
c) Máximo en (−1,10) y mínimo en (3, −22),
d) Punto de inflexión en (1, −6)
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2. Para
𝑓(𝑥) = 3𝑥5 − 5𝑥3
a) Obtener los intervalos donde la función es creciente o decreciente.
b) Obtener los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia
abajo.
c) De haberlos, obtener los puntos máximos y mínimos.
d) De existir, obtener los puntos de inflexión.
Solución. a) creciente en (−∞,−1) ∪ (1,∞), decreciente en (−1,1)
b) Cóncava hacia abajo en (−∞,−0.71) ∪ (0,0.71) y
cóncava hacia arriba en (−0.71,0) ∪ (0.71,∞)
c) Máximo en (−1,2) y mínimo en (1, −2)
d) Puntos de inflexión en (−0.71,1.24), (0,0) y (0.71,−1.24)
3. Se desea construir un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa, que tenga un volumen de
24𝜋 𝑐𝑚3. El material que se utiliza para la base cuesta tres veces más que el que se emplea
para la parte cilíndrica. Suponiendo que en la construcción no se desperdicia material,
determina las dimensiones para las que es mínimo el costo de fabricación.
Solución. El radio de medir 2 cm y la altura 6 cm
4. Una persona tiene 600 metros de alambre que va a utilizar para cercar un terreno
rectangular subdividiéndolo después en dos parcelas con una cerca paralela a uno de los
lados. De todos los terrenos posibles que se pueden cercar de esta forma, ¿Cuáles son las
dimensiones del qué tiene área máxima?
Solución. El terreno debe medir 100 × 150 metros
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5. Se quiere construir una pista de 400 m de longitud, de manera que contenga un campo
rectangular máximo para los deportes de campo, tal y como se muestra en la figura.
Si se consideran las partes curvas de la pista como semicircunferencias ¿Cuáles deben ser
las dimensiones del campo rectangular si se desea que tenga la mayor área?
Solución. El campo debe medir 100 × 63.6 metros
6. Un cartel requiere de un área de 960 cm2 de impresión y debe tener un margen de 3
cm en las partes superior e inferior y de 2 cm en cada lado (sin imprimir). Encuentra las
dimensiones del cartel si la cantidad de papel usado debe ser la menor posible.
Solución. El cartel debe medir aproximadamente 37.94 × 25.29 cm
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Referencias bibliográficas
Leithold, Louis. (1998). El cálculo. Séptima edición. México: Oxford University
Press
Stewart, James. (2012). Cálculo de una variable, trascendentes tempranas.
Séptima edición. México: cengage Learning
Swokowski, Eart W. (1987). Introducción al Cálculo con geometría analítica.
México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Hughes, Deborah, et al. (2002). Cálculo aplicado. Segunda Edición. México:
cecsa.
Hoffmann, L. et al. (1995). Cálculo aplicado a la administración, economía,
contaduría y ciencias sociales. Quinta edición. Cali, Colombia: McGraw Hill.
Purcel, Edwin J. et al. (2007). Cálculo. Novena edición. México: Pearson
educación Prentice Hall.