guía no. 3 de det-385, métodos cuantitativos iii - feb 2006 · 2015-01-26 · wilfredo saravia...

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

DET-385, MÉTODODOS CUANTITATIVOS III GUÍA DE EJERCICIOS, UNIDAD III

3.1. Antiderivadas:

Hasta ahora hemos estudiado lo que se denomina El Cálculo Diferencial, a continuación estudiaremos lo que denominaremos El Cálculo Integral. Siendo, ambas ramas del Cálculo complementarias y en cierto sentido opuestas. Llamaremos Integración al procedimiento utilizado para determinar una función cuando conocemos su derivada y, a esta función determinada, se le denomina antiderivada. Por ejemplo, Si 2( ) 3 ,f x x= una antiderivada es 3( ) .F x x= Observe que al derivar F tenemos, 2'( ) 3 ( ).F x x f x= = Observe también que la antiderivada no es única, en el ejemplo, también 3( ) 10F x x= + es una antiderivada de 2( ) 3 .f x x= Luego, para generalizar, incluiremos una constante C denominada constante arbitraria, es decir, 3( )F x x C= + es la antiderivada de

2( ) 3 .f x x= Esto lo expresaremos simbólicamente como:

2 33x dx x C= +∫

Que leeremos «la integral indefinida de 23x es 3x C+ ». La Integral indefinida o simplemente la integral de una función es sinónima de la antiderivada de una función, vocablo que tendrá la preferencia.

Reglas de Integración elementales estándar

1) 1

, 11

nn xx dx C n

n

+= + ≠ −

+∫

2) 1 1 lndxx dx dx x Cx x

− = = = +∫ ∫ ∫

3) x xdx Ce e= +∫

4) 1

01 ( 1 )1xdx dx x dx C x C caso especial de= = = + = +∫ ∫ ∫

5) ( ) ( )C f x dx C f x dx=∫ ∫

6) 1 2 1 2[ ( ) ( ) ... ( ) ] ( ) ( ) ... ( )n nf x f x f x dx f x dx f x dx f x dx± ± ± = ± ± ±∫ ∫ ∫ ∫

7) 11 ( )( ) , 1, 0

1

nn a x ba x b dx C n a

a n

+++ = ⋅ + ≠ − ≠

+∫

8) 1 lndx a x b Ca x b a

= ⋅ + ++∫

9) 1a x b a x bdx Ca

e e+ += ⋅ +∫

Wilfredo Saravia Maradiaga

– 2 –

Estas reglas pueden verificarse fácilmente derivando el resultado de la derecha para obtener la función integrando, es decir, la función entre el símbolo de integral y la diferencial dx.

Ejemplo Ilustrativo No. 1: Encuentre la integral de 3 2( ) 5f x x x x= + + − .

3 2 3 2

3 1 2 1 1 1

4 3 2

( 5) 5

53 1 2 1 1 1

54 3 2

x x x dx x dx x dx x dx dx

x x x x C

x x x x C

+ + +

+ + − = + + −

= + + − ++ + +

= + + − +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

En donde inicialmente hemos aplicado la integral de una suma algebraica (regla 6) y la integral de una constante por una función (regla 5). Luego, aplicamos la integral de una potencia (reglas 1 y 4). Finalmente simplificamos.

Ejemplo Ilustrativo No. 2: Encuentre la integral de 52 4 8

( )x x x

f xx

− += .

5 5

1 / 24

1 / 24

4 1 1 / 2 1

1 / 25

1 / 25

5

2

52

5

2 4 8 42 8

42 8

2 4 8

2 4 84 1 1/ 2 1

2 4 85 1/ 2

8 8

8 8

x x x xx xdx dxx x x x

xx dx dx dxx

x dx x dx dx

x x x C

x x x C

x x x C

x x x C

−

+ − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− += − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − +

= − +

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + +

= − + +

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 3: Encuentre la integral de 3 1( ) ln(3)xf xx

e−= + − .

3 3

3

1ln(3) ln(3)

1 ln(3) ln3

x x

x

dxdx dx dxx x

x x C

e e

e

− −

−

⎛ ⎞+ − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + − +

∫ ∫ ∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 4: Encuentre la integral de 21( )f x x

x⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.


– 3 –

( )

22

2

22

22

2 1 2 1

13

31

31 1

3

1 1 12

2

2

22 1 2 1

23 1

23

2x

x dx x x dxx x x

x x dx

x dx dx x dx

x xx C

x xx C

x x x C

x x C

−

−

+ − +

−

−

⎛ ⎞⎛ ⎞− = − ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − +

= − +

= − + ++ − +

= − + +−

= − − +

= − − +

∫ ∫∫∫ ∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 5: (Costo Marginal))

La función de costo marginal de una empresa es 2'( ) 3 20 por mes.C x x= +

a) Determine la función de costo total.

b) Determine la función de costo total, si los costos fijos de la empresa son de L. 2,000.00.

c) ¿Cuánto cuesta producir 180 unidades en un mes cuando los costos fijos son de L. 2,000.00?

2

2 1

3

3

a) ( ) '( ) (3 20)

3 202 1

3 203

( ) 20

C x C x dx x dx

x x C

x x C

C x x x C

+

= = +

= ⋅ + ++

= ⋅ + +

= + +

∫ ∫

b) Los costos fijos están dados por la constante de integración C. Luego,

3( ) 20 2,000.C x x x= + +

c) 3(180) (180) 20(180) 2,000 5,837,600C = + + = Lempiras.

Ejercicios 3.1. Evalúe las integrales siguientes:

1) 9x dx∫ 2) 3 2( 4)x dx−∫ 3) 5x dxe∫

4) ln(5)

xdxe∫ 5) 2 ln(8)x dx∫ 6) ( )3x x dx+∫


– 4 –

7) 122

x dxx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 8) 2 dx

xee⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ 9) ( )3 32 xx dxe e− −+∫

10) 4 3 2( 2 3 8)x x x x dx+ + + −∫ 11) 4x dx∫ 12) 2e dxe x +∫

13) 3( 4) ( 1)x x dx− +∫ 14) 3 ( 2 / )x x x dx+∫ 15) 2( 4) ( 3)x x dx+ +∫

16) 3( 5)x dx+∫ 17) ( 3) ( 1)x x dx− +∫ 18) (5 3) (2 1)x x dx− +∫

19) 3ln( 4 1)x x dxe + −∫ 20)

35x dxx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 21) ( 2) ( 5)x x x dx− +∫

22) 2

ln(20)

xdxe∫ 23) 3

4 2x dxx+∫ 24) 2

( 2) ( 6)x x dxx

− +∫

25) 2 7x x dxxx

⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ 26) 3

2 3

x

x dxee

+

+∫ 27) ( )ln(10) 3x dxe e+ + −∫

28) 3 2( 2)x x dx+∫ 29) 3(2 5)x dx−∫ 30) 2( )xx dxe e−+∫

31) (Costo marginal) La función de costo marginal, por mes, de una empresa es: C’(x) = 10 + 0.4x

a) Determine la función de costo total C(x) si los costos fijos de la empresa son de L. 1,500.00.

b) ¿Cuánto le costará a la empresa producir 100 unidades en un mes?

32) (Ingreso marginal) La función de ingreso marginal de cierta empresa es: R’(x) = 5 – 0.02x

a) Determine la función de ingreso en términos de x.

b) ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?

33) (Costo marginal) La función de costo marginal de cierto producto es C’(x) = 5 + 0.03x y el costo de producir 20 unidades es de 136 lempiras. ¿Cuál es el costo de producir 100 unidades? Los artículos se venden a l0 lempiras cada uno. Determine el incremento en la utilidad si el volumen de venta es incrementado de 100 a 200 unidades. Determine el incremento en la utilidad si el volumen de venta es incrementado de 200 a 300 unidades.

34) (Costo promedio marginal) El costo promedio marginal de cierto producto está dado por

250'( ) 0.02 .C xx

= − Si producir 200 unidades cuestan L. 104.25, determine la función de costo total.

35) (Utilidad marginal) La función de utilidad marginal de una empresa es '( ) 200 10U x x= − . Si los costos fijos de la empresa son de 500 lempiras (nivel de producción x = 0), encuentre la función de utilidad. Determine además, el nivel de producción que maximiza la utilidad y el valor de la utilidad máxima.

3.2. Integración por sustitución

Cuando una integral no puede evaluarse utilizando las diversas reglas de integración elementales estándar, puede ensayarse el método de sustitución, que consiste en seleccionar un cambio apropiado de


– 5 –

variable para transformar la integral dada en otra que si está en la lista de reglas de integración. Por ejemplo, 2 20( 5) 2x x dx+∫ no puede evaluarse directamente. Podemos notar que es la integral de una

potencia elevada al exponente 20 por un factor 2x, algo así como 20 2 .u x dx∫ Además, podemos

observar que la diferencial de 2 5x + es 2x dx, es decir, podemos sustituir 2x dx por du. Con este razonamiento en mente podemos establecer la siguiente igualdad:

2 20 20( 5) 2x x dx u du+ =∫ ∫

La integral indefinida no depende de la variable de integración, por lo tanto, podemos utilizar la regla No. 1 de la sección anterior y obtener el resultado siguiente:

20 1 212 20 20( 5) 2

20 1 21u ux x dx u du C C

++ = = + = +

+∫ ∫

Finalmente, al sustituir u por 2 5x + obtenemos la integral deseada:

2 212 20 ( 5)( 5) 2

21xx x dx C+

+ = +∫

Para comprobar si la respuesta es correcta derivemos el miembro de la derecha y deberemos de

obtener el integrando. 2 21( 5) 21

21d x Cdx

⎡ ⎤++ =⎢ ⎥

⎣ ⎦

21 12( 5)21

x −+ 2 20(2 ) 0 ( 5) 2x x x+ = + Tal como lo

habíamos anunciado.

Integral de la función compuesta:

10) ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C= +∫ , donde F es una antiderivada de f.

En forma práctica, diremos que hacemos la sustitución u = g(x) y '( )du g x dx= para escribir la regla anterior en la forma: ( ( )) '( ) ( ) ( ) ( ( )) .f g x g x dx f u du F u C F g x C= = + = +∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 1: Evalúe 2 4(5 2 ) (10 2)x x x dx+ +∫ .

Procedemos de la forma siguiente: Hacemos

25 2 , (10 2)u x x du x dx= + = + ,

Donde du, de acuerdo a la definición de diferencial, es la derivada de 25 2x x+ multiplicada por dx. Es decir, 2(5 2 ) .ddu x x dx

dx⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

Por lo

tanto,

4 1 52 4 4

2 5

(5 2 ) (10 2)4 1 5

(5 2 )5

u ux x x dx u du C C

x x C

++ + = = + = +

+

+= +

∫ ∫


– 6 –

Ejemplo Ilustrativo No. 2: Evalúe 2 ln( )x dxx∫

ln( ) dxu x dux

= ⇒ =

2 22 ln( ) 2 ln( ) 2 [ln( )]x dxdx x u du u C x Cx x

= = = + = +∫ ∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 3: Evalúe 3 1 .x dx+∫

3 1 33

duu x du dx dx= + ⇒ = ⇒ =

1 / 2 11 / 2

3 / 23 / 2

3 / 2 3 / 2(

1 1

3 3

1 1 2

3 3 3

2 2

9 9

3 13 1 / 2 1

3 / 2

3 1)

du ux dx u u du C

u C u C

u C x C

+

⋅

⎛ ⎞+ = = = +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + = + +

∫ ∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 4: Evalúe 23 512 .xx dxe +∫

23 5 6 2 12u x du x dx du x dx= + ⇒ = ⇒ =

2 2

2

3 5 3 512 12 (2 )

3 52 2 2

x x ux dx x dx du

xu udu C C

e e e

e e e

+ += =

+= = + = +

∫ ∫ ∫

∫

Ejemplo Ilustrativo No. 5: Evalúe 3

4 .8

x dxx +∫

4 3 38 4 / 4u x du x dx du x dx= + ⇒ = ⇒ =

34

4/ 4 1 1 1ln ln 8

4 4 48x dx du du u C x C

u ux= = = + = + +

+∫ ∫ ∫

Ejercicios 3.2. Mediante una sustitución apropiada encuentre las antiderivadas siguientes:

1) 2 5( 8 4) (2 8)x x x dx+ + +∫ 2) 2 9( 2) ( 4 8)x x x dx+ + +∫ 3) 2 76 5

(3 5 6)x dx

x x+

+ +∫

4) 2 3 2x x dx+∫ 5) 26 5

3 5 6x dx

x x+

+ +∫ 6) 24 9

x dxx +∫


– 7 –

7) 7( 2)x dx

x+∫ 8)

4

5 1x dx

x +∫ 9) ( )73x x x dx+∫

10) ( )82 31x x x x dx+∫ 11) 43 xx dxe∫ 12)

2

3

4 / xdx

x

e∫

13) 3

2(3 1) x xx dxe −−∫ 14) 3( 2)

x

x dxee −∫ 15)

2[ln( )]x dxx∫

16) 3

4x

x dxe∫ 17)

33

2424

x x dxx x

−

−+−∫ 18) 3 22 1(3 2)x x x dx+ + +∫

19) 2

22 ln( 2)

2x x dx

x+

+∫ 20) ln(3 )3

x dxx∫ 21) 1

[1 ln( )]dx

x x+∫

3.3. Integración por partes.

Sabemos que la diferencial de un producto es igual al primer factor por la diferencial del segundo factor, más el segundo factor por la diferencial del primer factor, simbólicamente:

d(uv) = u dv + v du

De donde, despejando para u dv se obtiene:

u dv = d(uv) – v du

Si integramos ambos miembros, obtenemos:

u dv uv v du= −∫ ∫

Este resultado se conoce como fórmula de integración por partes y es útil cuando aparecen integrales de productos. El éxito del método consiste en saber elegir las expresiones para u y para dv, que, una vez seleccionadas se obtiene du mediante diferenciación, mientras que dv se obtiene mediante integración. También, es conveniente, diseñar un cuadro para mostrar esta parte del proceso. Ilustraremos el método con algunos ejemplos:

Ejemplo Ilustrativo No. 1: Evalúe 3 .xx dxe∫

Expresión para u u = x Expresión para dv 3xdv dxe=

Diferencial du = dx Integral 31

3xv e=

Observaciones: En dv es conveniente recordar escribir el factor dx puesto que es una diferencial. En v se omite la constante de integración puesto que al incluirla o dejarla se llega al mismo resultado.


– 8 –

Haciendo las sustituciones anteriores en la fórmula: u dv uv v du= −∫ ∫ se obtiene:

3 3 3

3 3

3 3 3

1 1

3 3

1

3 3

1

3 9 9(3 1)

x x x

x x

x x x

x

x x

x dx x dx

dx

C x C

e e e

e e

e e e

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

= − + = − +

∫ ∫∫

Ejemplo Ilustrativo No. 2: Evalúe 2 ln( ) .x x dx∫

Expresión para u u = ln(x) Expresión para dv 2dv x dx=

Diferencial dxdux

= Integral 3

3

xv =


3 32

32

3 3 33

3 3

3 3

3 9 9

ln( ) ln( )

1ln( )

ln( ) [ ln( ) 1]

dxx xx x dx xx

x x x dx

x x xx C x C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= −

= − + = − +

∫ ∫∫

Ejemplo Ilustrativo No. 3: Evalúe 3 2 1 .x x dx+∫

Expresión para u u = x2 Expresión para dv 2 1dv x x dx= +

Diferencial du = 2x dx Integral 3 / 221

3( 1)v x= +


23 / 2 3 / 23 2 2 2

23 / 2 3 / 22 2

1

3

1

3

1 ( 1) ( 1) (2 )3

( 1) ( 1) 23

xx x dx x x x dx

x x x x dx

+ = + − +

= + − +

∫ ∫∫


– 9 –

2 2 5 / 23 / 2 ( 1)3 2 25/ 2

23 / 2 5 / 22 2

1

3

2

15

1 ( 1)3

( 1) ( 1)3

xxx x dx x C

x x x C

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+ = + − +

= + − + +

∫

Ejemplo Ilustrativo No. 4: Evalúe 2 2 .xx dxe∫

Expresión para u u = x2 Expresión para dv 2xdv dxe=

Diferencial du = 2x dx Integral 21

2xv e=


22 2 2 2

22 2

1

2(2 )

2

2

x x x

x x

xx dx x dx

x x dx

e e e

e e

= −

= −

∫ ∫∫

Hemos simplificado la integral original pero nuevamente tenemos un producto de funciones. Por tanto, debemos aplicar otra vez el método.

Expresión para u u = x Expresión para dv 2xdv dxe=

Diferencial du = dx Integral 21

2xv e=

Haciendo las sustituciones anteriores en la fórmula: u dv uv v du= −∫ ∫ para la integral del miembro de la derecha, se obtiene:

2 2 12 2 2 2 2 2 22

2 12 2 22

22 2 2 2 2

2 2 2

2 2

1 1 2 2 12 2 4 4

x x x x x x

x x x

x x x x

x x xx dx x dx dx

x x dx

x x C x x C

e e e e e e

e e e

e e e e

⎡ ⎤= − = − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − +

⎡ ⎤= − + + = − + +⎣ ⎦

∫ ∫ ∫∫

Ejercicios 3.3. Evalúe las integrales siguientes:

1) 2 ln( )x x dx−∫ 2) 4 ln( )x x dx∫ 3) ln( 2)x dx+∫

4) ( )3

3

ln xdx

x∫ 5) ln( )x x dx∫ 6) 2( 2) ln( )x x dx+∫


– 10 –

7) ( )4 4lnx x dx∫ 8) 3( 2) ln( 2)x x dx+ +∫ 9) ln(3 )x dx∫

10) 218 ln( 1)x x dx+∫ 11) 5

31

x dxx−∫ 12) 1x x dx−∫

13) 2 xx dxe−∫ 14) 416 xx dxe∫ 15) 5(3 2) xx dxe+∫

16) 2( 1)

xx dxx

e+∫ 17) 3x

x dxe∫ 18) 23 xx dxe∫

19) ( 1) xx dxe+∫ 20) ln( )x dxx∫ 21) 2 354 xx dxe−∫

22) 2 xx dxe−∫ 23) 2ln( )xx dxe∫ 24) 3

2 22

( 1)x dx

x +∫

3.4. Áreas bajo una curva.

Integral definida: Sea f(x) una función con una antiderivada que representaremos por F(x). Supongamos que tanto f(x) como F(x) están definidas para todos los valores de x en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces la integral definida de f(x) de x = a a

x = b se simboliza por ( )b

af x dx∫ y se define por:

( ) ( ) ( ).b

af x dx F b F a= −∫

Los números a y b se denominan los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior.

Por conveniencia F(b) – F(a) se suele escribir entre paréntesis rectangulares grandes en el lado derecho especificando los límites de integración o, si lo prefiere, por una recta vertical señalando los mismos, a la manera siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )b

a

bf x dx F x F b F a

a⎡ ⎤

= = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

o bien,

( ) ( ) ( ) ( ).b

a

bf x dx F x F b F a

a= = −∫

Ejemplo Ilustrativo No. 1: Evalúe las integrales definidas siguientes:

a) 4 22

3x dx∫ , b) 5

1

dzz∫ , c)

4 22

x dx−−∫ , d)

2

1ln( )x dx∫ .

a) 4 42 3 3 32 2

3 4 2 64 8 56.x dx x= = − = − =∫


– 11 –

b) 5

5

11

ln ln 5 ln 1 ln 5 0 ln 5 1.60944.dz zz

= = − = − = ≈∫c)

4 4 42 1 .2 2 2

1 1 1 1 1 3

4 ( 2) 4 2 4xx dx x− −

− − − −

⎛ ⎞= − = − = − − − = − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

d) 2

1ln( )x dx∫ , utilizando integración por partes, obtenemos:

Expresión para u u = ln(x) Expresión para dv dv dx=

Diferencial dxdux

= Integral v x=

Haciendo las sustituciones anteriores en la fórmula: u dv uv v du= −∫ ∫ , se obtiene:

2 2 22 2

1 1 11 1

2 2 2

1 1 1

ln( ) ln( ) ln( )

ln( ) [ ln( ) ]

[ 2 ln(2) 2] [1 ln(1) 1]2 ln(2) 2 ln(1) 1 2 ln(2) 1 0.386294

dxx dx x x x x x x dxx

x x x x x x

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = −

= − − −= − − + = − ≈

∫ ∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 2: Evalúe 4

02 1 .x dx+∫

Resolveremos esta integral utilizando dos métodos:

Método 1: Encontramos la antiderivada mediante sustitución de variable y luego evaluamos la integral definida.

1 / 22 1 (2 1)x dx x dx+ = +∫ ∫ . Sea u = 2x + 1, entonces du = 2 dx.

1 11 / 2 1 / 2

2 21 / 2 1 3 / 2

1 1

2 2

3 / 2 3 / 2

3 / 2 3 / 2 3 / 24 4

0 0

3 / 2 3 / 2 3 / 22 3

2 1 (2 1) (2 )

1/ 2 1 3/ 2

(2 1)3 3

(2 1) (2 4 1) (2 0 1)2 13 3 3

9 1 (3 ) 1 3 13 3 3 3 3 3

27 1 263 3 3

x dx x dx u du

u uC C

u xC C

xx dx

+

+ = + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+= + = +

+ ⋅ + ⋅ ++ = = −

= − = − = −

= − =

∫ ∫ ∫

∫


– 12 –

Método 2: Hacemos cambio de variable y al mismo tiempo hacemos cambio de límites de integración.

4 4 1 / 20 0

2 1 (2 1) .x dx x dx+ = +∫ ∫ Sea u = 2x + 1, entonces du = 2 dx.

Ahora, cuando x = 0 se tiene que u = 2(0) + 1 = 1 y cuando x = 4 se tiene que u = 2(4) + 1 = 9, es decir, los nuevos límites de integración son, respectivamente, u = 1 y u = 9. Por lo tanto,

4 41 1 / 20 02

91 1 / 212

1 / 2 1 3 / 29 91 1

2 1 2 1

3 / 2 3 / 2 3 / 2 3 / 229

1

3

2 1 (2 1) (2 )

1/ 2 1 3/ 2

9 1 (3 ) 13 3 3 3 3

3 1 27 1 263 3 3 3 3

x dx x dx

u du

u u

u

+

+ = +

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = − = −

= − = − =

∫ ∫

∫

Este método tiene la ventaja que, una vez que se han hecho los cambios que corresponden, se calcula la integral definida tomando en cuenta la nueva variable sin tener que recordar la variable original, como quien dice “capturar dos zorros con una sola trampa”.

Teorema Fundamental del Cálculo:

Sea f(x) una función continua no negativa en a ≤ x ≤ b y sea F(x) una antiderivada de f(x). Entonces el área A, bajo la curva y = f(x) y entre las rectas verticales x = a, x = b y el eje x, está dada por la integral definida:

A = ( ) ( ) ( ) ( ).b

a

bf x dx F x F b F a

a= = −∫

Ejemplo Ilustrativo No. 3: Encuentre el área de la región comprendida por la gráfica de ( )f x x= y el eje x, de x = 0 a x = 4.

La región se muestra en la figura siguiente:


– 13 –

Como ( )f x x= es no negativa, esta área se puede calcular por la integral definida:

1 / 2 1 3 / 2 3 / 24 4 4 4 41 / 20 0 0 0 0

3 / 2 3 / 2 3 / 22 3)

21/ 2 1 3/ 2 3

2(4) 2(0) 2(2 ) 2(23 3 3 3

163

x x xÁrea x dx x dx

unidades cuadradas

+= = = = =

+

= − = =

=

∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 4: Encuentre el área de la región comprendida por la curva y = 3x2 + 5x + 2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 5.

La región se muestra en la figura siguiente:

25 52 3

1 1

2 23 3

5(3 5 2) 22

5(5) 5(1)[(5) 2(5)] [(1) 2(1)]2 2

125 5125 10 (1 2)2 2

125 5135 3 132 60 1922 2

xÁrea x x dx x x

unidades cuadradas

= + + = + + =

= + + − + +

⎛ ⎞= + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + − − = + =

∫

Ejemplo Ilustrativo No. 5: La función de costo marginal de una empresa es '( ) 23 0.01 .C x x= −

Calcule el incremento en el costo cuando la producción se incrementa de 500 a 1,000 unidades.


– 14 –

1,000 1, 0002500 500

2

(23 0.01 ) 23 0.005

[23(1,000) 0.005(1,000) ] [23(500) 0.005(500]1,000[23 0.005(1,000)] 500[23 0.005(500)]1,000[23 5] 500[23 2.5] 18,000 10, 250

. 7,750.00

C x dx x x

C L

Δ = − = −

= − − −= − − −= − − − = −

Δ =

∫

Ejercicios 3.4. Evalúe las integrales definidas siguientes:

1) 2 4

1x dx∫ 2)

3 3

1x dx

−∫ 3) 625

4

16

54

x dx∫

4) 1 5 / 2

0x dx∫ 5)

3 21

(3 5 2)x x dx+ +∫ 6) 4

2( 1) (2 2)x x dx+ +∫

7) 5

3

( 1) (3 3)x x dxx

+ −∫ 8) 4 21

32(3 )x dx−∫ 9)

6 23

(2 1)x dx+∫

10) 6 23

(3 5 1)(3 2)x x x dx+ − +∫ 11) 2

2

2

xx dxe−∫ 12)

1 6 4

20

x x

x dxe ee+∫

13) 5

1

ln( )x dxx∫ 14)

23 4

1

2x x dx−

+∫ 15) 2

21

11 ln( )[ ] dx

x x+∫

16) 2 3

41

4 22

x dxx x−

++∫ 17)

3

31

ln( )x dxx∫ 18)

1

1 / 2

2xx dxe−∫

19) Encuentre las áreas bajo las curvas de las funciones siguientes:

a) y = 3x + 5, el eje x y las rectas x = 0 y x = 3.

b) y = – x2 + 5x + 2, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4. c) y = – x2 + 6x, el eje x y las rectas x = 0 y x = 5.

d) y = x3, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2.

e) y = ex, el eje x y las rectas x = 1 y x = 3.

f) y = – 3x2 + 5x + 5, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2.

g) y2

,xxe= el eje x y las rectas x = 0 y .12x =

h) y = x e – x , el eje x y las rectas x = 1 y x = 2.

i) y = 2 ,2x +

el eje x y las rectas x = 3 y x = 6.

j) y = x2 ln(x), el eje x y las rectas x = 2 y x = 3.


– 15 –

3.5. Áreas entre curvas.

En la sección anterior, calculábamos el área bajo una curva, el eje x y un par de rectas, con la condición exigida de que y = f(x) fuese no negativa. En esta sección, ampliaremos la situación a funciones que tienen secciones o partes abajo del eje x, es decir, partes negativas. También se evaluará el área de la región limitada por dos curvas en un intervalo.

Suponga que y = f(x) y y = g(x) son dos funciones definidas en el intervalo cerrado [a, b] de tal forma que en cada punto x del intervalo [a, b] se cumple que f(x) ≤ g(x). Entonces el área de la región limitada por las gráficas de las funciones y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a y x = b, estará dada por:

[ ( ) ( )]b

aÁrea f x g x dx= −∫

De acuerdo al dibujo, se puede concluir, que para evaluar el área de la región, se debe de calcular la integral definida de una resta de funciones: ( ) ( )f x g x− en donde el primer término está relacionado con la curva superior f(x) y el segundo término con la curva inferior g(x). En este punto conviene establecer las siguientes propiedades:

Propiedades de la integral definida:

1) ( ) 0a

af x dx =∫ .

2) ( ) ( )b a

a bf x dx f x dx= −∫ ∫ .

3) ( ) ( ) ( ) ,b c b

a a cf x dx f x dx f x dx para c= + ∈∫ ∫ ∫ R .

Estas propiedades pueden ser de mucha utilidad para calcular área de regiones. Volviendo a la situación que nos ocupa, qué sucede si y = f(x) es una función negativa.


– 16 –

Podemos ver que si f(x) ≤ 0 para todo x en el intervalo cerrado [a, b], se puede considerar el área

de la región limitada por las curvas g(x) = 0, y = f(x) y las rectas x = a y x = b. En este caso se cumple que f(x) ≤ g(x) porque la curva superior es g(x), mientras que la curva inferior es f(x). Por lo tanto, el área estará dada por:

[ ( ) ( )] [0 ( )] ( )b b b

a a aÁrea g x f x dx f x dx f x dx= − = − = −∫ ∫ ∫

En consecuencia, el área de una región situada debajo del eje x, acotada por la curva y = f(x) y las rectas x = a y x = b, estará dada por la integral definida:

( )b

af x dx− ∫

Consideremos ahora una curva que tiene partes por arriba y por debajo de eje x. Por ejemplo, la curva representada en la figura siguiente:

El área de la región sombreada estará dada por:

( ) ( ) ( )b c d

a b cÁrea f x dx f x dx f x dx= − +∫ ∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 1: Determine el área de la región limitada por el eje x, la curva y = x2 – 9 y las rectas x = 1 y x = 2.


– 17 –

3 22 22 2

11 1

3 3

( 9) (9 ) 93

(2) (1) 8 19(2) 9(1) 18 93 3 3 3

7 209 .3 3

xÁrea x dx x dx x

unidades cuadradas

= − − = − = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − = − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − =

∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 2: Determine el área de la región limitada por el eje x, la curva y = x2 – 16 y las rectas x = 0 y x = 5.

4 52 2

0 4

4 52 2

0 4

3 34 5

0 4

3 3 3

( 16) ( 16)

(16 ) ( 16)

16 163 3

4 0 5 416 4 16 0 16 5 16 43 3 3 3

64 125 6464 0 80 64 128 813 3 3

47

Área x dx x dx

x dx x dx

x xx x

unidades cuadradas

= − − + −

= − + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ − − ⋅ − + − ⋅ − − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − − + − − + = −

=

∫ ∫

∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 3: Determine el área de la región limitada por las curvas y = x2 y y = x + 2.

En primer lugar determinaremos los puntos en donde ambas gráficas se intersecan. Igualando ambas funciones, se obtiene:

x2 = x + 2

x2 – x – 2 = 0


– 18 –

(x + 1)( x – 2) = 0

x = – 1 ó x = 2.

Cuando x = – 1, y = – 1 + 2 = 1. Cuando x = 2, y = 2 + 2 = 4. Luego, ambas curvas se intersecan en los puntos (– 1, 1) y (2, 4). En el dibujo siguiente se muestra la gráfica de la región.

La curva superior es y = x + 2, que simbolizaremos por ysup. La curva inferior es y = x2, que denotaremos por yinf. Por tanto, el área de la región sombreada estará dada por:

2 2 2sup inf

1 1

2 3 2

1

2 3 2 3

( ) [( 2) ]

22 3

2 2 ( 1) ( 1)2(2) 2( 1)2 3 2 3

8 1 1 10 72 4 23 2 3 3 6

20 7 27 9 4.56 6 6 2

Área y y dx x x dx

x xx

unidades cuadradas

− −

−

= − = + −

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤− −

= + − − + − −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + − − − + = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

= + = = =

∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 4: Determine el área de la región limitada por las curvas y = x2 – 8 y y = – x2.

x2 – 8 = – x2

x2 + x2 = 8

2x2 = 8

x2 = 4

x = – 2 ó x = 2.


– 19 –

Cuando x = – 2, y = – (– 2)2 = – 4. Cuando x = 2, y = – (2)2 = – 4. Luego, ambas curvas se intersecan en los puntos (– 2, – 4) y (2, – 4). En el dibujo siguiente se muestra la gráfica de la región.

2 2 2 2sup inf

2 2

3 22 2

22

3 3

( ) [ ( 8)]

2( 2 8) 83

2(2) 2( 2)8(2) 8( 2)3 3

16 16 32 3216 163 3 3 3

32 32 643 3 3

Área y y dx x x dx

xx dx x

unidades cuadradas

− −

−−

= − = − −

= − + = − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−= − + − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + =

−∫ ∫

∫

A veces la región está limitada por funciones expresadas en términos de y en lugar de x. En este caso puede ser más simple evaluar una integral en función de la variable y. Supóngase que la región está limitada por las curvas x = H(y), x = G(y) y por las rectas y = c, y = d. Supóngase que la región está dada como en el siguiente dibujo:


– 20 –

Entonces el área de la región puede determinarse por la siguiente integral definida:

i[ ] [ ( ) ( )]d d

der zqc cÁrea x x dy G y H y dy= − = −∫ ∫

Ejemplo Ilustrativo No. 5: Determine el área de la región limitada por las curvas y2 = x y x + y = 2.

Determinaremos los puntos en donde las gráficas se intersecan. Sustituyendo y2 = x en la ecuación x + y = 2, se obtiene:

y2 + y = 2

y2 + y – 2 = 0

(y + 2)( y – 1) = 0

y = – 2 ó y = 1.

Cuando y = – 2, x = (– 2)2 = 4. Cuando y = 1, x = (1)2 = 1. Luego, ambas curvas se intersecan en los puntos (4, – 2) y (1, 1). En el dibujo siguiente se muestra la gráfica de la región.

Despejando x en términos de y, en ambas ecuaciones, x = y2, x = 2 – y. Vemos que, cuando vamos de la curva de la izquierda x = y2 a la curva de la derecha x = 2 – y, los valores de y cambian de y = – 2 a y = 1. Por tanto, el área de la región está dada por:

2 31 1 12i2 2 2

2 3 2 3

[ ] [(2 ) ] 22 3

(1) (1) ( 2) ( 2)2(1) 2( 2)2 3 2 3

1 1 8 7 10 7 102 4 22 3 3 6 3 6 3

7 20 27 9 4.56 6 6 2

der zqy yÁrea x x dy y y dy y

unidades cuadradas

− − −= − = − − = − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= − − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − − + = − − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + = = =

∫ ∫


– 21 –

Si despejamos para y en vez de x, tenemos que la región estará limitada por las curvas: ,y x y x= − = y y = 2 – x.

Observe que debemos dividir la región en dos: Una determinada por las dos semiparábolas yy x y x= − = en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 y la otra por

la recta y = 2 – x y la semiparábola y x= − en el intervalo 1 ≤ x ≤ 4. Por tanto el área de la región está dada por:

1 4

0 11 4

0 11 41 / 2 1 / 20 1

21 43 / 2 3 / 2

0 1

3 / 2 3 / 2

2 23 / 2 3 / 2

[ ( )] [(2 ) ( )]

2 (2 )

2 (2 )

4 223 2 3

4 4(1) (0)3 3

(4) 2 (1) 22(4) (4) 2(1) (1)2 3 2 3

4 18 83

Área x x dx x x dx

x dx x x dx

x dx x x dx

xx x x

= − − + − − −

= + − +

= + − +

⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + − +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

6 1 2 4 16 1 22 23 2 3 3 3 2 3

18 3 36 6 1.5 4.5 .3 2 2

unidades cuadradas

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + = + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − = − = − =

Ejercicios 3.5.

A) Determine el área de cada una de las siguientes regiones:

1) y = – x2, x = 1, x = 4. 2) y = x , x = 0, x = 3. 3) y = – x3, x = 2, x = 5. 4) y = x2 – 2, x = 0, x = 2. 5) y = x2 – 2x – 3, x = 0, x = 4. 6) y = 2 – x2, x = 1, x = 3. 7) y = 2x – 2, x = 0, x = 4. 8) y = 2 x2 – 3, x = 0, x = 3


– 22 –

B) Encuentre el área entre las curvas dadas delimitadas por las rectas verticales siguientes:

9) y = – x2, y = 3x – 5, x = 0, x = 4. 10) y = x2, y = x + 2, x = 2, x = – 1.

11) y = x2 + x, y = – x2 + 2, x = 0, x = 1

2. 12) y = 1 – x2, y = x2, x = – 1, x = 1.

13) y = 2 + x2, y = 6 – x2, x = 2− , x = 2 . C) Encuentre el área entre las curvas siguientes:

14) y = x2, y = 2 – x2 15) y = x2 + x, y = 1 – x2 16) y = x2 – 3, y = – x2 17) y = x2 – 3x + 2, y = – x2 + 5x + 2

D) Encuentre el área entre las curvas siguientes:

18) y2 = x, y2 = 2(x – 3) 19) x2 + y2 = 9 20) y = x, y2 = 6 – x 21) x = y2 – 2y – 2, x = – y2 + y + 4

3.6. Superávit del Productor y del Consumidor.

Dada el dibujo siguiente:

En la gráfica, y = f(x) es la curva de demanda de cierto producto, mientras que y = g(x) es la curva de oferta del mismo, en donde x denota la cantidad del producto que puede venderse o suministrarse aun precio p cualquiera. El punto 0 0( , )x p es el punto de equilibrio, es decir en donde la oferta y la demanda son iguales.

El superávit del consumidor está representado por la integral: 00

0[ ( ) ]

xSC f x p dx= −∫

El superávit del productor está representado por la integral: 00

0[ ( )]

xSP p g x dx= −∫

Ejemplo Ilustrativo No. 1: Las funciones de oferta y demanda para cierto producto están dadas por:


– 23 –

Oferta: p = g(x) = 30 + x.

Demanda: p = f(x) = 50 – x2.

Encuentre el superávit del Consumidor SC y el superávit del productor SP.

30 + x = 50 – x2

x2 + x – 20 = 0

(x + 5) (x – 4) = 0

x = – 5, x = 4

x = – 5 se descarta por ser negativo puesto que la cantidad no puede ser negativa. El precio de equilibrio es 0p = 30 + 4 = 34.

0

4 42 200 0 0

3 4

0

[ ( ) ] [(50 ) 34] (16 )

64 12816 64 42.67 .3 3 3

xSC f x p dx x dx x dx

xx unidades monetarias

= − = − − = −

= − = − = =

∫ ∫ ∫

0

4 400 0 0

2 4

0

[ ( )] [34 (30 )] (4 )

4 16 8 8 .2

xSP p g x dx x dx x dx

xx unidades monetarias

= − = − + = −

= − = − =

∫ ∫ ∫

Ejercicios 3.6. Establezca el superávit del productor y del consumidor en cada uno de los problemas siguientes:

1) Oferta: p = 8 + x Demanda: p = 20 – x.

2) Oferta: p = 7 + 0.4x Demanda: p = 15 – 0.4x.

3) Oferta: p = 400 + 2x2 Demanda: p = 1,000 – 2.5x2

4) Oferta: p = x2 + 10x Demanda: p = 1,000 – 20x

5) Oferta: p = 2x Demanda: p = 100 – 2x.

6) Oferta: p = 3

2x

Demanda: p = 1,000 – 6x.

7) Oferta: p = x2 – 4 Demanda: p = – x + 8 8) Oferta: p = 4x2 + 4x Demanda: p = –12x + 48. 9) Oferta: p = 2x2 + 3x Demanda: p = 36 – x2

10) Oferta: p – x = 2

Demanda: 421

px

=+

guía no. 3 de det-385, métodos cuantitativos iii - feb 2006 · 2015-01-26 · wilfredo saravia...

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