1

ASIGNATURAI

ALGEBRA AREA MATEMATICAS

DOCENTE CARLOS A GONZALEZ PERIODO 2LA LINEA RECTA GRUPO 9 TIEMPO

Línea recta

Analíticamente, es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.La pendiente de una recta corresponde al cambio en Y dividido el cambio en X la cual corresponde a la

ecuación:  .

Cuando la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente positiva.

Cuando la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha, se dice que esta recta tiene pendiente negativa.

Cuando la recta es horizontal, la pendiente de la recta es 0.

Cuando la recta es vertical, la pendiente de la recta no está definida.

Características de la Recta

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. La distancia más corta entre dos puntos está en una línea

recta, en la geometría euclidiana.

2

La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Ecuaciones de la Recta

Tomados dos puntos de una recta, la pendiente m es siempre constante. Se calcula mediante la

ecuación: Ecuación General de la Recta

Ecuación de la Recta (vertical)

Ecuación de la Recta (horizontal)

Ecuación de la Recta (punto-pendiente)

 Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente. Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.

3

Ejemplo Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A (4, -8) y que tiene una pendiente de 3/2 al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente: 

 

  

  

  

De esta forma hallamos la ecuación general de la recta la cual es de la forma: 

Ecuación de la Recta (pendiente-intersección)Si se conoce m (pendiente) , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación punto pendiente de la recta, 

: 

 

 

 Esta es la ecuación de la recta pendiente-intersección o pendiente intercepto. Se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Solución para problemas en que la Recta pasa por un punto

4

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto (x0,y0).La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

Y ha de pasar por el punto (x0,y0), luego tendrá que cumplirse:

Despejando b, tenemos esta ecuación:

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

Ordenando términos:

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto (x0,y0), el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

5

Distancia entre puntos

Esta ecuación parte de tener dos puntos cualesquiera en el plano, llamándoles (x1, y1) y (x2, y2) la cual es una aplicación del teorema de Pitágoras siendo la distancia entre los puntos de cada uno de sus respectivos ejes los catetos, y la hipotenusa la distancia final.- La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = P1P2, entre valor absoluto esta dada por:

Demostración:

Punto Medio de una recta

6

Rectas Paralelas

Son Paralelas al eje cuando ambas rectas tienen la misma pendiente 

Rectas Perpendiculares

Son Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -1

Angulo entre Rectas

Mediatríz

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto medio 

7

Los puntos de la mediatriz están a igual distancia de los extremos del segmento. 

Problemas ResueltosEjemplo #1

Encontrar la ecuación de la mediatríz del segmento formado por los puntos A(4,2) y B(-2,10). 

 

 

 

8

Ejemplo #2Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los

puntos 

Calculamos la pendiente. 

Ahora aplicamos la ecuación de la

recta   sustituyendo los valores que tenemos

 tomamos cualquier punto y lo evaluamos para hallar el valor de b

por lo tanto la ecuación de la recta es

9

Ejemplo #3Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -1, 3) y es paralela a la recta 2y -6x = 10Procedimiento:

Luego utilizamos la ecuación general de la recta y llegamos a :

la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

Pendiente = 3Intersección con el eje Y = (0,6) "hacemos cero a x"Intersección con el eje x = (-2,0) "hacemos cero a y"

10

Ejemplo #4

Halle la ecuación de la recta que pasa por   y es

paralela a   

Utilizamos la ecuación general de la recta:

la ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

11

Ejemplo #5

Halle la ecuación de la recta que pasa por   y es

perpendicular a 

Y= -2x+4 y=-2x/3 +4/3 3

Utilizamos la ecuación general de la recta:

La pendiente de una recta perpendicular a ella es el reciproco negativo

M= 3/2(y-5)= 3/2(x+2)La ecuación de la recta que pasa por ese punto es:

y= 3/2(x+2)+5Y = 3x/2+3/2(2)+5Y= 3x/2 +3+5Y=3x/2 +8y-8=3x/2

12

2y-16=3x

Ejemplo #6Encontrar la ecuación de la recta que pasa por x el punto P(5,-7) en la recta que es paralela a 6x+3y=4 

 

 

 tenemos que la pendiente es paralela a   

 

 

 

13

 

Ejemplo #7Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,2),(4,3)Primero encontramos el valor de la pendiente:

Entonces: Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuación de la recta

Acá llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un gráfico de ella

14

Ejemplo #8Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5,1),(8,3)Primero encontramos el valor de la pendiente:

Entonces: Ya que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuación de la recta

Acá llegamos a nuestra respuesta y podemos ver un gráfico de ella

15

Ejemplo #9Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (-2, 1). Determine el intercepto de la recta con el eje y.

Ejemplo #10Del segmento formado por los puntos A(5,2) y B(-2,12), encontrar la mediatriz

 

 

16

 

 

 

Forma punto-pendiente de la mediatriz del segmento 

 

Respuesta 

17

y = cuánto arribax = cuán lejosm = gradiente o pendiente (cuán inclinada es la línea)b = la intersección Y (donde la línea se cruza con el eje Y)Sabiendo esto podemos encontrar la ecuación de una línea recta:

Ejemplo 1

18

m  = 3-1  = –3

b = 0

Esto nos da y = –3x + 0¡No nos hace falta poner el cero! 

Por lo tanto y = –3x

Ejemplo 2

m  = 2  = 2

19

1

b = 1 Por lo tanto y = 2x + 1

NotaHay varias "notaciones" diferentes:Aquí usamos: y = mx + bOtra que también se usa es: y = mx + cY en otros sitios: y = ax + b... pero todas significan lo mismo, sólo cambian las letras.

Gradiente de una línea rectaEl gradiente de una línea recta nos dice cuánta inclinación tiene.

El método para calcular el gradiente es: 

Gradiente  = Cambio en YCambio en X

El gradiente de la línea de arriba = 33  =  1

Diferentes tipos

El gradiente de una línea recta puede ser de diferentes

20

tipos. Abajo tienes casi todos los que te puedes encontrar.Recuerda, ir desde la izquierda de la línea hacia la derecha es positivo (pero ir a la izquierda es negativo).Y arriba es positivo, pero abajo es negativo:

   gradiente =35

 =  0.6

gradiente = 42  =  2

21

gradiente = -42  =  -2

gradiente = 05  =  0

Intersección YLa intersección Y de una línea recta es donde la línea cruza el eje Y.

22

La intersección Y es igual a 1

23

¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta si conocemos 2 puntos de la misma?

Vamos a verlo con un ejemplo.

Supongamos que tenemos que hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,1) y Q(3,4)

Los puntos los hemos representado en este par de ejes coordenados.

Para hallar la ecuación de la recta tenemos que encontrar los valores de "a" y de "b" en f(x)=ax+b. Esto lo hacemos sustituyendo por los puntos que tenemos en esta ecuación. Es lo mismo escribir y=ax+b

Para el punto (2,1), cuando la x es 2, la y vale 1. Entonces 1=a.2+b

Para el punto (3,4), cuando la x es 3, la y vale 4. Entonces 4=a.3+b

Nos ha quedado un sistema de ecuaciones que vamos a resolverlo. Primero lo escribimos un poco mas ordenado:

24

y ahora que conocemos el valor de "a", podemos averiguar "b":

Entonces y=ax+b sustituyendo por los valores de a y b nos queda y=3x-5

Vamos ahora a graficar esta función y si está bien, debería pasar por los puntos originales P y Q.

Una fabrica recibe $25 por cada unidad de su produccion vendida. Tiene un costo marginal de $15 por articulo y un costo fijo de $1200

¿Cuál es el nivel de ingresos n, si vende (a) 200 articulos ,(b) 300 articulos y (c) 100 articulos?

INTRODUCCIÓN:

El nivel de ingresos, sinónimo de beneficio, es la diferencia entre lo que entra a una empresa y lo que sale.

En otros términos, el beneficio es la diferencia entre las ventas y los costos. BENEFICIO = VENTAS - COSTOS

VENTAS: Es el producto de la cantidad vendida por el valor de cada unidad. VENTAS = PRECIO x CANTIDAD

COSTOS: Es la suma del costo fijo (alquiler del local) y del costo variable. COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD. El costo marginal es el costo de cada unidad extra que se fabrica.

En resumen: BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD )

25

Resolución del ejercicio:

BENEFICIO = PRECIO X CANTIDAD - (COSTO FIJO + COSTO MARGINAL X CANTIDAD )

BENEFICIO = 25 X CANTIDAD - ( 1200 + 15 X CANTIDAD )

Para que quede un poco mas sencillo, a la cantidad la podemos llamar q.

BENEFICIO = 25 X q- ( 1200 + 15 X q )

El ejercicio solicita el nivel de ingreso, o sea el beneficio, para a) 200, b) 300 o c) 100 unidades. Entonces sólo falta sustituir en esta expresión el valor de "q" y hacer las operaciones. Cuidado que los signos de "+" y "-" separan términos. Primero hay que multiplicar por "15" y luego sumarle "1200".

BENEFICIO (a) = 25 x 200 - (1200 + 15 x 200 )

BENEFICIO (a) =   5000   -   (1200 + 3000)

BENEFICIO (a) =   5000   -   (4200)

BENEFICIO (a) =   800. En resumen, la empresa gana 800 pesos.

Analogamente, para la segunda parte : BENEFICIO (b) = 25 x 300 - (1200 + 15 x 300 )

Entonces BENEFICIO (b) = 7500 - ( 1200+ 4500) = 1800   La empresa gana 1800 pesos.

Y para la tercera parte : BENEFICIO (c) = 25 x 100 - (1200 + 15 x 100 )

BENEFICIO (c) = 2500 - (1200 + 1500 )

BENEFICIO (c) = 2500 - 2700   

BENEFICIO(c) = -200   La empresa pierde 200 pesos.

26

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

De la función 3x+4y=12 deducir la fórmula de la ecuación de la recta y también la de una paralela y otra perpendicular. Luego graficar por pendiente y ordenada en el origen.

La ecuación de recta es y=f(x).          3x+4y=12

27

Para graficarlas, a) La ordenada en el origen es el término independiente, porque aquí la x vale 0.Entonces, como ejemplo, la ordenada en el origen de y = 7x+9 es 9. La ordenada en el origen de y = 4 + 9x es 4. (cuidado que esta escrito al reves.... )Hay que tener cuidado de no confundirse, porque el término independiente es el que no tiene a la x multiplicando. Puede estar escrito a la derecha o a la izquierda.

b) Para usar la pendiente, debemos saber el significado de la pendiente."La pendiente es la cantidad en que varía el valor de la función cada vez que la variable x aumenta en una unidad."Por ejemplo, sea la función y = 3x-4.Cuando x es 2,  y = 3.2-4 y = 2Cuando x es 3,  y = 3.3-4 y = 5Entonces, cuando la x aumento en una unidad, desde 2 hasta 3, la "y" aumentó desde 2 hasta 5, o sea , 3 unidades. Ese "3" es

28

justamente el valor de la pendiente.Entonces, si sabemos que la función aumenta en 3 unidades con cada aumento de x en una unidad, podemos graficarlo.Al tener un punto de la grafica, por ejemplo, la ordenada en el origen, nos movemos una unidad a la derecha y luego 3 unidades para arriba.

Función lineal

"pendiente y un punto"

 

Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real, cuya expresion analítica es   f: R —> R  /  f(x) = a.x+b    con a y b números reales.

29

La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente a y la ordenada en el origen  es   b.

El punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen y la llamamos b.

Veamos un ejemplo

.

Veamos ahora un ejercicio: ¿ Cuál es la ecuación de la recta con m=-3/4 y que pasa por (7, -5) ? Graficar.

Resolución: Dicho de otra manera, nos piden al ecuación de la recta, y los datos que nos dan es que tiene pendiente -3/4 y que pasa por el punto (7,-5).

Lo primero es que y = a.x + b es la ecuación de la recta. Como sabemos que la pendiente es -3/4, sustituyendo , queda:

y = -3/4.x + b  

Para calcular el valor que nos falta, b, vamos a utilizar el dato que pasa por el punto (7,-5).

El punto (7,-5) significa que cuando x=7, entonces y=-5. Recordemos que los puntos se representan (x,y).

Sustituyendo en la ecuación, y = -3/4.x + b   entonces   -5 = -3/4.7 + b

Ahora, haciendo operaciones, -5 = -21/4 + b

30

Trasponiendo términos, -5 +21/4 = b

Haciendo común denominador, .   En resumen,   y = -3/4.x + 1/4

Ahora vamos a hacer una tabla de valores para poder hacer la gráfica. Usamos algunos valores de x, cualquiera.

x y = -3/4.x + 1/40 y = -3/4.0 + 1/4 = 1/43 y = -3/4.3 + 1/4 = -8/4 = -2-1 y = -3/4.(-1) + 1/4 = 4/4 = 17 y = -3/4.7 + 1/4 = -20/4 = -5

Estos 4 puntos que hemos encontrado, ( 0, 1/4) (3 , -2 ) (-1 ,1 ) (7 ,-5 ) están pintados de verde en la gráfica mas abajo y son los que nos

sirven para dibujar la recta.

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuacion-linea-recta.html