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Guía didáctica basada en ponencias del
18º Foro Internacional de Enseñanza de Ciencias y Tecnologías
“Ciencias y Tecnología en 3D: Datos, Didáctica y Diseño”
Dr. Eduardo Sáenz de Cabezón
Ponga un matemático en su vida interior
- 2018 -
La filmación de la conferencia es parte de un proyecto colaborativo con:
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Índice
1. “Entre Comillas: Autores que nos Interpelan”.
Conociendo al Dr. Eduardo Sáenz de Cabezón.
2. Ponga un matemático en su vida interior.
2.1. Una selección de ideas, conceptos y propuestas.
2.1.1. Estadísticas y probabilidades para tener una vida plena y feliz.
2.1.2. Las matemáticas para entender al mundo, el mundo para entender a las
matemáticas.
2.1.3. La construcción de situaciones de aprendizaje.
2.2. Bibliografía.
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1. “Entre Comillas: Autores que nos Interpelan”.
Conociendo al profesional que diserta en esta conferencia.
Eduardo Sáenz de Cabezón Irigaray es doctor en Matemáticas
de la Universidad de la Rioja, en España. Reparte su actividad entre
la docencia investigación y divulgación. . Desde el año 2001 se ha
desempeñado como profesor en el Departamento de Matemáticas y
Computación de la Universidad de La Rioja. Desarrolla su
investigación en el área del álgebra computacional, a la que ha
contribuido con numerosos artículos de investigación y
colaboraciones con matemáticos españoles y europeos. Realiza una
intensa labor de divulgación de las matemáticas mediante
conferencias, espectáculos, charlas y talleres que han disfrutado
miles de personas de todas las edades y por todo el mundo. Ganador del
concurso de monólogos científicos FameLab en 2013, y miembro fundador del grupo Big Van
Científicos Sobre Ruedas, presenta en YouTube el canal «Derivando», dedicado a las matemáticas
y su disfrute. Colabora en diversos medios de comunicación.
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2. Ponga un matemático en su vida interior. Dr. Eduardo Sáenz de Cabezón
2.1. Una selección de ideas, conceptos y propuestas de la disertación.
Hay cantidad de libros, videos, audios, expertos, gurúes de autoayuda, de la meditación y de la
salud, orientales y occidentales, que afirman que para tener una vida plena y feliz hay que hacer
tal o cual cosa, dependiendo de la corriente filosófica, teórica o ancestral a la que pertenecen.
El Dr. Sáenz de Cabezón, en un pequeño recorrido por algunos casos de la vida cotidiana y de
teorías matemáticas, nos muestra a “los simples mortales” (como él denomina a quienes no son
dedicados conocedores de las matemáticas) que es importante entender matemáticas para
manejarse mejor en el mundo que nos rodea y tener una vida un poco más plena y feliz.
Su hipótesis de “punta de ovillo” dice que es tan importante saber matemática como hacer
deportes, tener paz interior y saber apreciar el arte. Con su verborragia picaresca y un lenguaje
fresco y desafiante, con el que acostumbra a interpelar al público en sus disertaciones, desenreda
algunos nudos de ese enmarañado ovillo y embarca a la audiencia a una aventura por la
comprensión del quehacer cotidiano.
2.1.1. Cálculo de probabilidades y estadística para tener una vida plena y feliz
Los cálculos de probabilidades invaden constantemente nuestro mundo. A menudo debemos
hacer elecciones donde las chances de acertar están sujetas al cálculo de probabilidades: elegir
la fila del supermercado en la que debemos colocarnos para salir más rápido del lugar, elegir la
opción correcta en un juego o la estrategia para apostar en la ruleta.
Las matemáticas, en este sentido, nos muestran que lo que parece que es increíble o casual, no
lo es. El rigor de las matemáticas, gracias a los cálculos, pueden darnos datos que nos permitirán
entender cómo tomar la decisión correcta o la que tiene más posibilidades de serlo.
Algunos casos de estudio de probabilidad para la toma de decisiones
Comencemos con algunas cuestiones que parecen causalidad y no lo son tanto. En su disertación
el Dr. Sáenz de Cabezón afirma con vehemencia que en el auditorio con aproximadamente 100
personas presentes el asegura que hay dos que cumplen años el mismo día. Un cálculo rápido e
intuitivo de probabilidad nos llevaría a hacer el siguiente razonamiento:
Vamos a suponer números redondeados y múltiplos para facilitar los cálculos: días posibles en el
año 360 y cantidad de personas en el auditorio 120. Intuitivamente se puede suponer que las
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probabilidades de que en ese auditorio dos de las personas hayan nacido el mismo día es de un
tercio, 33,33%. Haciendo cálculos rápidos e intuitivos (reitero) 120/360 = 1/3.
En este caso la intuición nos juega una mala pasada y a pesar de creer que hicimos cálculos
acertados, no lo son.
Este problema se denomina “Problema del cumpleaños” o “Paradoja del cumpleaños”, el que
dice algo así como “Si hay 23 personas reunidas, hay una probabilidad del 50,7% de que al menos
dos de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del
99%.”
Los cálculos ya fueron hechos por matemáticos y no los realizaremos aquí para no hacer áspera
la lectura de este material, pero es muy fácil encontrarlos con una simple búsqueda en la Web.
Lo que se muestra a continuación es una gráfica que describe la evolución de la probabilidad a
medida que aumenta la cantidad en personas en el auditorio.
1
Cuando la curva pasa las 60 personas se va “amesetando” aproximándose cada vez más al 100%,
pero solo se logrará ese valor con 366 personas, ya que en ese caso estaremos seguros que por
lo menos dos personas cumplen años el mismo día. De todos modos, obsérvese que en un
auditorio con más de 100 personas las probabilidades de encontrar a dos que cumplan años el
1 Gráfico adaptado de Rajkiran g - Trabajo propio, CC BY-SA 3.0, disponible en: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=10784025
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mismo día es “casi” del 100%. El Dr. Sáenz de Cabezón dice en su disertación que será del
99,9999% y que solo podrá equivocarse en uno de cada diez mil auditorios.
Respecto del conocido “Problema de Monty Hall”, en el que este conductor de televisión
propone al participante un juego en el que debe elegir una de tres puertas, una de ellas tiene un
auto de premio y las otras dos una cabra. Cuando el participante elige su puerta, el conductor
abre otra donde no está el auto y le da la oportunidad al participante de conservar su elección o
cambiarla. ¡Aquí está el dilema! Quedarse con la puerta elegida al principio o cambiar de puerta.
Aparente es lo mismo, no hay diferencia en las probabilidades de las dos puertas restantes,
porque el auto está en una y la cabra en la otra, por lo que ambas tienen un 50% de
probabilidades de ser la ganadora. Pero no es así, veamos que pasa en cada caso con el siguiente
cuadro:
Caso 1 El auto está en la
puerta 1
Caso 2 El auto está en la
puerta 2
Caso 3 El auto está en la
puerta 3
Supongamos que el participante elige la Puerta 1, es lo mismo con cualquiera de ellas.
✓ Caso 1: Monty Hall abriría la puerta 2 o 3. Si el participante cambia de puerta pierde, si se
queda con su puerta gana.
✓ Caso 2: Monty Hall abriría la puerta 3. Si el participante cambia de puerta gana, si se queda
con su puerta pierde.
✓ Caso 3: Monty Hall abriría la puerta 2. Si el participante cambia de puerta gana, si se queda
con su puerta pierde.
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Si estos resultados los volcamos a una tabla veremos las probabilidades más fácilmente:
Cambia de puerta Se queda con su puerta
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Conclusión 2/3 de probabilida de ganar 1/3 de probabilidad de ganar
Una vez más las matemáticas y el cálculo de probabilidades nos muestran que hay forma de
tomar una decisión más acertada. Para el caso del “Problema de Monty Hall” existe un 66,67%
de probabilidades de ganar si el participante cambia de puerta y tan solo un 33,33% si decide
quedarse con la puerta que eligió originalmente.
Otro caso de estudio de probabilidades para la toma de decisiones
La Martingala es una técnica para jugar en la ruleta2, muchos apostadores afirman que es una
técnica efectiva y por eso sigue siendo popular entre los asiduos visitantes de los casinos.
Consiste en apostar siempre a una de las alternativas que tienen el 50% de probabilidad, estas
son Rojo/Negro, Par/Impar o Pasa/Falta, y se sigue una lógica de secuencias de fichas en las
apuestas:
Apuesta una ficha.
a. Si gana se retira la ganancia y se sigue con la misma apuesta de una ficha.
b. Si pierde se apuesta el doble que la vez anterior, es decir dos fichas, y así
sucesivamente duplicando hasta ganar.
c. Cuando gana se retiran las fichas y se comienza nuevamente la secuencia con la
apuesta de una ficha.
2 Si no conoce este popular juego de los casinos, puede ver las reglas aquí: http://www.casino.es/ruleta/como-jugar-ruleta/
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Es importante conocer dos factores que son condicionantes de la técnica:
a) Las mesas de ruleta por lo general tienen un límite máximo de apuesta, por lo que a veces no
es posible seguir duplicando indefinidamente.
b) El dinero disponible de los apostadores también es limitado, por lo que no se puede duplicar
indefinidamente. Si en una mala racha se pierde sucesivamente hasta llegar al límite en el que el
dinero disponible no es suficiente para duplicar la apuesta, se debe comenzar nuevamente con
una ficha.
1 Ficha
Gana Pierde
2 Fichas
Gana Pierde
4 Fichas
Gana Pierde
8 Fichas
Le proponemos pensar matemáticamente en la técnica de apuestas denominada “Martingala”.
Detrás de esta lógica para jugar a la ruleta hay un cálculo de probabilidades. Pero… ¿esta técnica,
tan popular entre los apostadores, será efectiva para ganar dinero en los casinos?
1) Trate de comprender la matemática intrínseca en la “Martingala” y el cálculo de
probabilidad que encierra la lógica de ese estilo de apuestas.
2) Vea el siguiente video https://www.youtube.com/watch?v=w6qTlXlMxFU, allí se muestra
la técnica y se afirma que no es efectiva. Luego utilice el simulador de Martingala
http://www.matematicracks.com/simulacion-de-la-martingala/ y coloque diversidad de
posibilidades en la cantidad de “dinero disponible” para entender cómo funciona, ver los
resultados y sacar conclusiones. Contraste estos datos con los condicionantes de la técnica.
3) Con lo realizado en el punto 1 y 2… ¿podría fundamentar la afirmación “la Martingala no es
efectiva para ganar gran cantidad de dinero en el casino”?
Para seguir pensando...
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¿Cómo ganar en la
ruleta La Martingala
https://www.youtube.com/watch?v=w6qTlXlMxFU
Simulador de Martingala
http://www.matematicracks.com/simulacion-de-la-martingala/
Si este material se encuentra en versión impresa. Usted puede
visualizar los materiales digitales (videos o sitios web) en su
Smartphone capturando el código QR de cada uno de ellos.
Descargue una aplicación para leer códigos QR y fácilmente
podrá tener acceso al material digital de esta guía.
Puede probar con estos, son los links a
las actividades del cuadro “Para seguir
pensando…” que acaba de leer.
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Las estadísticas también son una importante ayuda para tomar decisiones en juegos y muchos
casos de la vida cotidiana.
Veamos este video…
Inteligencia Colectiva – Multitudes – Proyecto G
https://www.youtube.com/watch?v=tWCnRqIZnuo
¡Sorprendente verdad! En este video el Dr. Diego
Golombek, en su programa “Proyecto G”, demuestra
que, si nos encontramos frente al problema de estimar
el número de una gran cantidad de cosas que hay en un
recipiente (porotos en un frasco, pelotitas en un
pelotero o botones en un cajón), el error se reduce si
hacemos un promedio de las estimaciones individuales
de varios estimadores, cuantos más sean menor será el
error.
Dicho de otro modo, tenemos más chances de estar
cerca del número exacto si solicitamos muchas
estimaciones (n) y sacamos la “media” de las mismas. A
pesar de que varias estimaciones individuales pueden ser muy erróneas y estar lejos del número
exacto, el conjunto de todas ellas da un promedio cercano al resultado correcto.
Media aritmética o Promedio
La denominada “media aritmética” (o
simplemente “media”), es lo que
conocemos comúnmente como
“promedio”. Para calcularlo se deben
sumar todos los números de un conjunto
dado y dividirlos por la cantidad de
números que conforman el conjunto.
Dados n números {x1, x2, x3, x4, … xn}
La media de X = x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn
n
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2.1.2. Las matemáticas para entender al mundo, el mundo para entender a las
matemáticas.
El vínculo entre las matemáticas y el mundo real es sin duda una deuda pendiente en muchas
aulas de las escuelas de nuestro país.
La Matemática, como una Ciencia Formal, tiene como objetos de estudio elementos inexistentes,
que solo tienen entidad en la razón humana, los “números”, “símbolos” y “figuras”. A partir de
axiomas y siguiendo razonamientos lógicos, las matemáticas analizan estructuras, magnitudes y
vínculos de estos entes abstractos. Esto permite, una vez detectados ciertos patrones, formular
conjeturas y establecer definiciones a las que se llegan por deducción.
Pero esto no significa que esté desvinculada del mundo real o de los sucesos de la vida cotidiana,
por el contrario, las matemáticas buscan explicar nuestro mundo representándolo con esos
números, símbolos y figuras.
A partir de los casos de probabilidad y estadística vistos en el video de la disertación del Dr.
Sáenz de Cabezón, en esta guía o en otros que conozcas, te invitamos a reflexionar y diseñar…
1) Una serie de actividades en las que se desarrolle el concepto de “Probabilidad”. La idea
es comenzar con la práctica, con el caso seleccionado, y llegar al concepto, no al revés.
2) Una serie de actividades para una clase de Estadística, en las que se siga el siguiente
orden en el uso de recursos didácticos:
a. Un recipiente lleno de objetos para desarrollar el concepto de “Media aritmética”.
b. Video ”Inteligencia colectiva – Multitudes – Proyecto G” para formalizar el concepto y
mostrar su potencia.
c. Tabla de datos para ampliar a los conceptos de “Moda” y “Mediana” a partir de la práctica
del punto a.
d. Cierre con juego de cartas utilizando conceptos de probabilidad y estadística.
Si has realizado estas actividades ya tienes casi desarrollada una secuencia didáctica con la
cual puedes abordar los temas introductorios de Probabilidad y Estadística con tus
estudiantes. ¡Felicitaciones!
Para seguir pensando...
Para ampliar se sugiere ver el Video de la conferencia del Dr. Alberto Rojo “La ciencia como
cuento” de las Jornadas Internacionales para Docentes, Lectura y Educación en la Feria del Libro 2014,
CABA, Argentina (https://www.fundacionluminis.org.ar/video/alberto-rojo-la-ciencia-como-cuento)
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En el siguiente video el matemático y divulgador científico Marcus Du Sautoy cuenta cómo las
matemáticas pueden servir para predecir el futuro.
¿Cómo las matemáticas predicen el futuro? Marcus Du Sautoy,
matemático y divulgador científico.
https://www.youtube.com/watch?time_continue=14&v=dQA5e7FMp2o
Allí, Marcus Du Sautoy habla de la Sucesión de Fibonacci y cómo esa sucesión de números fue
descubierta mucho tiempo antes por músicos indios, queriendo saber cuántos ritmos se podían
formar con golpes largos y cortos. Entonces, se puede predecir la cantidad de ritmos posibles
para un tiempo determinado.
También hay una relación entre las notas que suenan armónicas entre sí y esa relación es
matemática, de números enteros entre las frecuencias que corresponden a cada nota.
Google realiza sus búsquedas a partir de algoritmos matemáticos, los sitios web más visitados
son los que se ubican primeros en la lista del buscador, por lo que se los considera más
importantes. Si ese mismo algoritmo se utilizara para analizar los pases entre los jugadores de un
equipo de futbol durante un partido, podríamos estimar cuál es el jugador más importante de
ese equipo, podría ser un análisis de los equipos rivales para neutralizar a esos jugadores. Aquí
las matemáticas vuelven a ser una herramienta de análisis de una situación cotidiana, del mundo
real, y permite predecir acciones.
Las matemáticas son un lenguaje, un modo de hablar del mundo real y de las cosas que ocurren
todos los días, las matemáticas cuentan historias con su lenguaje.
Pero veamos que las matemáticas escolares tienden a centrarse en la gramática, en la
construcción de ese lenguaje, y no cuentan las historias que las matemáticas están dispuestas a
contar.
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Por lo tanto, es posible pensar en un ida y vuelta: Eduardo Sáenz de Cabezón nos plantea
entender matemáticas para entender el mundo, Marcus Du Sautoy plantea entender el mundo
para entender matemáticas. Ambos nos dan pautas claras de que las matemáticas están en el
mundo que nos rodea y que son un modo de leer la realidad y de hablar de ella. Pero también la
realidad nos permite entender a las matemáticas.
La Didáctica de la Matemática se nutre de ambos sentidos de este diálogo entre el mundo y las
matemáticas. Los profesores de Matemática, en las escuelas, deben proponer situaciones de
aprendizaje vinculados a la vida real, del mundo que nos rodea, para comprender las
matemáticas, pero también brindar conceptos matemáticos para comprender al mundo que nos
rodea.
Es difícil encontrar un límite claro, en este aspecto la dicotomía del diálogo se vuelve cada vez
más transparente y es bueno que ocurra, porque matemática y mundo en definitiva son lo mismo
y la diferencia la hacemos nosotros, en un esfuerzo epistémico y cognitivo para tratar de
comprenderlos.
Es fundamental proponer problemas contextualizados y que expliquen situaciones reales como
modelo de enseñanza de las matemáticas. Cuando el saber aprendido en las aulas está lejos de
la aplicación matemática en el mundo real, es posible que estudiantes exitosos en la educación
formal no sean capaces de llevar sus conocimientos escolares a la vida cotidiana y fracasen en la
resolución de los problemas que se dan en ese contexto.
Jean Lave (1991) investigó la práctica de la matemática en un grupo de personas adultas en el
supermercado y para ello diseñó un experimento de simulación para explorar los procedimientos
de resolución de “problemas de ofertas” y “problemas escolares”, con el fin de determinar en
qué circunstancias los adultos utilizaban procedimientos matemáticos aprendidos en la escuela.
Lave determinó que se dan diferencias en los procedimientos aritméticos aplicados a situaciones
escolares y a otras situaciones apartadas de las aulas. Existía un contraste entre los resultados de
quienes compraban en el supermercado y los resultados de las pruebas escolares, y este
Matemática Mundo
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contraste podría no ser un índice de una mejor o peor competencia aritmética, ni de la capacidad
de transferir los saberes aritméticos de un entorno a otro, sino de las diferencias sustanciales en
las variables de cada entorno.
Otra observación de Lave fue que cuando los compradores se enfrentaban al problema de cuál
de dos o tres productos constituía la mejor oferta, para decidir usaban, en algunos casos, las
etiquetas con los precios sin considerar la cantidad del contenido. En otros casos, calculaban el
cociente entre precio y cantidad, siempre y cuando los cálculos fueran sencillos por tratarse de
números que eran múltiplos o divisibles por la misma unidad; si los cálculos no eran sencillos,
abandonaban el cálculo y decidían según sus preferencias. Lave comprobó que las personas no
eran conscientes de su eficacia en la matemática cuando la utilizaban en entornos no escolares.
Las personas, dependiendo del entorno, generan dilemas y formas de resolución. Con frecuencia
un proceso de resolución se da en el entorno de la actuación del problema y puede transformarlo.
Un argumento más para presuponer que la forma de aprender matemática es con problemas
contextualizados en entornos reales.
Siguiendo con la lógica de las investigaciones de Jean Lave, pensemos por un momento en el
posible análisis de un producto de supermercado antes de comprarlo. Hay varios productos que
tienen muchas variables a tener en cuenta, costo y contenido en general, pero ninguno tiene
tantas como el papel higiénico. ¡Sí, el papel higiénico! En los paquetes de papel higiénico, entre
otras cosas, puede variar:
- la cantidad de rollos
- el largo del papel en cada rollo
- si es hoja doble o simple
- si está troquelado o no
- si es hoja texturada o lisa
- la calidad del papel (suavidad)
- la marca y las variantes dentro de la misma marca
- el precio
- si hay alguna oferta del momento
Colocar a los estudiantes frente al problema “rankear” las opciones o
lograr el mejor balance entre las variables, para hacer la mejor elección en
la compra, sería una situación de aprendizaje de matemática muy
interesante y didácticamente potente. Requiere abordar el problema
desde diferentes aristas, con diversidad de variables, con toma de
decisiones consientes frente a elegir prioridades de unas variables por
sobre otras.
Un problema de este estilo puede ofrecer la posibilidad de aplicar
herramientas y recursos matemáticos para la definición y resolución del
“La resolución de problemas debería darse al mismo tiempo que el aprendizaje de las operaciones en vez de después, como aplicaciones de éstas...” (Ruiz y otros, 2003)
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problema. Se trata de una situación de aprendizaje del mundo real, de la vida cotidiana, donde
se aprende matemática mirando ese mundo que nos rodea y aprendemos matemática para
entenderlo y actuar en él.
Te proponemos que analices las variables de paquetes de papel higiénico de un
supermercado, si es posible uno que tenga mucha variedad (un hipermercado quizás).
1) En una lista de variables, las mencionadas y pensar si hay algunas más. Diferenciarlas
entre variables cuantitativas (datos numéricos) y cualitativas (datos con palabras).
2) Armar un cuadro de doble entrada, en las filas colocar las marcas y sus variantes y en
las columnas las variables (cantidad de rollos, largo por rollo, etc.). Colocar en el cruce de
fila-columna las características de cada marca y variante en función de cada variable.
Cantidad de rollos
Largo de cada rollo
Hoja simple o doble
Etc.
Marca x Variante 1
6 60 m Simple
Marca x Variante 2
4 30 m Simple
Marca y 4 40 m Doble
Marca k Variante 1
6 64 m Simple
Etc.
3) Con toda esta información, colocar una columna más valorando de manera numérica
cada marca en función de las opciones a la hora de comparar. Hacer un ranking, aclarando
en el caso de ser necesario las opciones de prioridades de variables, ya que en ocasiones
es posible priorizar por ejemplo la suavidad del papel por sobre el largo o la hoja doble
por encima del troquelado.
4) Pensar en herramientas matemáticas que pueden colaborar en la expresión del
problema, en su análisis, en el cálculo u otras. Por ejemplo, se podría armar una matriz
numérica transformando los datos de las variables cualitativas en números, también se
podrían hacer cálculos para mejorar la elección de la mejor opción, incluso se podría
armar una expresión algebraica o una función que nos permita generar un índice que dé
cuenta del equilibrio entre variables. ¿Lo harías, te animás?
Para seguir pensando...
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2.1.3. La construcción de situaciones de aprendizaje
No es extraño escuchar en las clases de matemática el reclamo de los estudiantes de no
comprender para qué les sirve lo que aprenden.
- ¿Y esto para qué me sirve profe?
Teran y Pachano (2005) lo explican mostrando que el común de las clases de matemática se inicia
definiendo contenidos carentes de significado para los estudiantes, ya que por lo general están
lejos de sus vivencias y como consecuencia de ellos los lleva a desconocer la importancia de la
matemática para comprender el mundo que los rodea.
Los docentes de Matemática deben desarrollar el complejo proceso de elaborar situaciones para
el aprendizaje que conecten a los estudiantes con el mundo real, con su vida cotidiana. No se
trata de pensar recetas, sino de determinar líneas de reflexión que sirvan de guía para lograr los
aprendizajes. Estas situaciones vinculan a los contenidos que se desea enseñar con aspectos del
mundo que nos rodea en un esfuerzo por lograr la contextualización de los aprendizajes.
Los conceptos [matemáticos] deben tener sentido, y para ello es necesario plantear
problemas que tengan que ver con necesidades que se vean cubiertas mediante las técnicas
o el pensamiento matemático, sino muchas veces ocurre que estamos dando respuestas a
preguntas que nadie se hace. Creo que está bien dar la oportunidad de plantear preguntas,
para ello podemos empezar planteándolas nosotros como docentes, y de esa manera traer
a las matemáticas para ayudaren la resolución de esas preguntas. Así estamos aprendiendo,
no solamente de la técnica, el contenido y la respuesta, sino también del mecanismo de la
pregunta que hace surgir esas matemáticas.
(Fundación Lúminis, 2018 - Boletín de Novedades Educativas N°94: Entrevista a Eduardo
Sáenz de Cabezón. Las matemáticas: su enseñanza, el mundo digital y la formación
ciudadana.
https://www.fundacionluminis.org.ar/biblioteca/boletin-de-
novedades-educativas-n94-entrevista-a-eduardo-saenz-de-
cabezon-las-matematicas-su-ensenanza-el-mundo-digital-y-
la-formacion-ciudadana
Se recomienda la lectura
completa de la entrevista.
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Construir situaciones de aprendizaje puede ser una tarea ardua, pero siguiendo ciertos criterios
es posible simplificar la planificación de las mismas por parte del docente. Veamos la siguiente
tabla que ordena de algún modo las partes fundantes de una situación de aprendizaje:
Acción Descripción
Opciones en relación al campo del conocimiento
Al fijar un objetivo de aprendizaje es importante establecer los límites del mismo, analizar los programas de estudio y con este: - Aspectos particulares del concepto que se abordará. - Lazos que tiene con otras nociones relacionadas. - Necesidad de progresión al ser tratado. - Particularidades de la evaluación.
Etapas de aprendizaje Se deben prever etapas en el aprendizaje del contenido en función de la construcción de la situación de aprendizaje: - Aproximación a la situación de aprendizaje: puntualizar
conocimientos disponibles, actualizar concepciones iniciales, identificar dificultades vinculadas a la comprensión.
- Aprendizaje propiamente dicho: los nuevos conocimientos son construidos y reconocidos como medios eficaces de resolución de problemas, donde los conocimientos antiguos no lo permitían.
- Institucionalización: las nuevas adquisiciones son formuladas. Nombradas, reconocidas y percibidas como eficaces.
- Familiarización: apropiación de la nueva herramienta y aplicación a otras situaciones.
- Reinversión: se extiende el sentido y validez de os conocimientos adquiridos.
Dominio de herramientas técnicas previas al saber
Los nuevos conocimientos se apoyan sobre los anteriores. Por lo tanto, es necesario identificar el grado de dominio de esos saberes previos y la necesidad de los mismos para abordar la nueva situación. Eventualmente proponer situaciones específicas para reactivarlos.
Analizar producciones de los estudiantes
Analizar y listar errores posibles que pueden cometer los estudiantes al abordar la situación de aprendizaje. Conocer los obstáculos que los estudiantes deberán afrontar y resolver.
Identificar variables didácticas
Es importante identificare aquellos aspectos de la situación de aprendizaje que al ser modificada implica un cambio en el sistema de reglas y representaciones con las que el estudiante trabaja y le hacen cambiar los procedimientos de resolución. Algunas de las variables didácticas pueden ser: - Rango numérico - Representación gráfica o algebraica - Tipo de registro escrito, formal o coloquial - Instrumentos de medición proporcionados
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Puesta en práctica Aspectos relevantes que hacen a la misma puesta en marcha de la situación de aprendizaje, muchas de ellas se plantean como variables didácticas: la organización de los estudiantes, de manera individual o en grupos, forma de agrupar, condiciones del espacio en el aula, la disponibilidad de los materiales necesarios, disponibilidad del tiempo y la fragmentación del mismo, etc.
Adaptación de Chemello, G. y Díaz, A. (1997): Matemática, modelos didácticos,
Programa Prociencia, CONICET y Ministerio de Educación de la Nación.
El modo de abordar la enseñanza de la matemática de una manera eficiente y capaz de lograr la
contextualización de los aprendizajes mediante una secuencia de actividades que promuevan el
aprendizaje de contenidos matemáticos vinculados con la realidad es la “Resolución de
Problemas”.
Partamos de una definición de problema:
“…situación que un individuo o grupo quiere resolver y para lo cual no requiere de un camino
rápido y directo que lo lleve a la solución” (Lester, 1983)
En general diremos que las características de un problema de acuerdo a Santos (2010) son:
- La existencia de un interés.
- La no existencia de una solución inmediata.
- La presencia de diversos caminos o métodos de solución.
- La atención por parte de una o más personas para llevar acabo un conjunto de acciones
tendientes a resolver esta tarea.
Crear situación de aprendizaje es generar la atmósfera didáctica adecuada para que los
estudiantes se adentren en un desafío de aprendizaje, pero para que esa situación de aprendizaje
se convierta en un buen problema, además de tener en cuenta las partes fundantes descriptas
en la tabla, es importante generar el interés en los estudiantes por resolverlo y la atención para
que persigan una serie de acciones tendientes a la solución. Luego, es necesario tener una
pregunta lo suficientemente amplia que no tenga soluciones inmediatas ni un único camino para
llegar a la respuesta. Pero, además podríamos considerar también la posibilidad de que tuviera
Entonces… ¿Se trata de un problema el planteo del análisis de las variables de los
paquetes de papel higiénico a la hora de decidir la mejor opción para comprar?
Para seguir pensando...
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diversas soluciones posibles, todas correctas, porque el verdadero aprendizaje se da en el
transitar del camino hacia la solución y no en ésta específicamente.
Poyla (1989) plantea que para embarcarnos en la resolución de un problema es necesario
establecer cuatro etapas. Serán las etapas que constituirán la situación de aprendizaje que se les
brindará a los estudiantes con actividades concatenadas.
Las cuatro etapas del método Polya para resolver problemas matemáticos se podría resumir del
siguiente modo, haciéndonos estas preguntas:
Paso 1: Entender el problema
¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente?
¿Redundante? ¿Contradictoria?
Paso 2: Configurar un plan
¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en
forma ligeramente diferente?
¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil?
Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la
misma incógnita o una incógnita similar.
¿Las herramientas matemáticas que conoces son suficientes para resolver el problema, cuál de
ellas?
Si tienes problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto ya. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes
utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento
auxiliar a fin de poder utilizarlo?
¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente
nuevamente? Recurre a las definiciones.
Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar.
¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general?
¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del
problema? Considera sólo una parte de la condición; descarta la otra parte; ¿en qué medida la
incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún
elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar
la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos
si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?
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¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición? ¿Has considerado todas las
nociones esenciales concernientes al problema?
Paso 3: Ejecutar el plan
Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos. ¿Puedes ver claramente
que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?
Paso 4: Examinar la solución obtenida
¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?
¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes emplear el
resultado o el método en algún otro problema?
¿Puedes representar la solución de otros modos?
¿Puedes pensar en otros problemas con estos mismos datos y resultados, pero que te desafíen a
hacer otros métodos y usar otras herramientas?
Teniendo en cuenta estas cuatro etapas, es de suponer que el planteo didáctico del problema, y
con él la situación de aprendizaje, debe construirse en una estructura que permita el fluir de
estas etapas.
En este sentido, el docente toma un rol de acompañante, asesor y asistente del proceso, guía y
tutor del recorrido, el que va aportando las herramientas y el andamiaje necesario para que los
estudiantes transiten el camino de la resolución.
Tenemos dos marcos teóricos bastantes fuertes a la hora de pensar en la didáctica
de la matemática con situaciones del mundo real y de la vida cotidiana: la tabla que
nos ordena las partes fundantes de una situación de aprendizaje y las cuatro etapas
de resolución de problemas de Poyla.
Desarrollar una Secuencia Didáctica utilizando como problema “¿Cuál es la mejor
opción a la hora de comprar papel higiénico, teniendo en cuenta la mayor cantidad
de variables posibles? Haciendo cálculos y representaciones, tanto de los datos
como de la solución, con herramientas y expresiones matemáticas”.
Para seguir pensando...
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2.2. Bibliografía
Camuyrano, M. y otros (1998): Matemática. Temas para su didáctica, Programa Prociencia,
CONICET y Ministerio de Educación de la Nación.
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https://www.fundacionluminis.org.ar/biblioteca/ensenanza-eficaz-de-la-resolucion-de-
problemas-en-matematicas
Chemello, G. y Díaz, A. (1997): Matemática. Modelos didácticos, Programa Prociencia, CONICET
y Ministerio de Educación de la Nación.
Lave, J. (1991): La cognición en la práctica, Editorial Paidos, Buenos Aires.
Lester, F. K. (1983): Trends and issues in mathematical problems solving research, en Pozo, J. I.
(1994): La solución de problemas, Editorial Santillana, Buenos Aires.
Monroy Muñoz, J. (2014): La resolución de problemas matemáticos y su impacto en pensamiento
crítico del ciudadano, Revista electrónica Cooperación, Nº3. Disponible en:
https://www.fundacionluminis.org.ar/biblioteca/la-resolucion-de-problemas-y-su-impacto-en-
el-pensamiento-critico-ciudadano
Polya, G. (1989): Como plantear y resolver problemas, Editorial Trillas, Mexico
Pozo, J. I. (1994): La solución de problemas, Editorial Santillana, Buenos Aires.
Ruiz, D. y García, M. (2003): El lenguaje como mediador en el aprendizaje de la aritmética en la
primera etapa de Educación Básica. Educere La Revista Venezolana de Educación, 23(7): 321-
327.
Santos-Trigo, L. (2010). La resolución de problemas matemáticos. Fundamentos cognitivos.
Editorial Trillas, México.
Terán, M. y Pachano, L. (2005). La investigación-acción en el aula: tendencias y propuestas para
la enseñanza de la matemática en sexto grado. Educere La Revista Venezolana de Educación,
029(9): 171-179.