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de acuerdo con el programa del Nuevo Bachillerato Ecuatoriano

Para Primer Año de Bachillerato

Guía del Docente

EDWIN GALINDOEDWIN GALINDO

MATEMÁTICA 1MATEMÁTICA 1MATEMÁTICA 1Conceptos y AplicacionesConceptos y Aplicaciones

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PROCIENCIA

E D I TO R E S

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Edwin Galindo

Matemática 1 Guía del Docente

Primer Año de Bachillerato De acuerdo con el Programa del Nuevo Bachillerato

Ecuatoriano - 2011

Dalmore

Educational Publications

2012

PROCIENCIA EDITORES

Pedidos a los teléfonos: Convencional 2601398 Celular 095933629 Correo electrónico: [email protected] Visite nuestra página: www.prociencia.com.ec Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra en forma alguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, de fotorreproducción o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso escrito del autor.

Matemática para Primer Año de Bachillerato Guía del Docente

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Contenido

Presentación .......................................................................................................................... 3

Introducción ........................................................................................................................... 5

¿Por qué enseñar Matemática en el Bachillerato? .................................................. 6

Directrices para la Enseñanza de la Matemátiica .................................................. 9

Objetivos de la Asignatura ............................................................................................ 11

Competencias a Desarrollar .......................................................................................... 13

División del texto guía de la asignatura ................................................................. 14

Nivelación y Conocimientos Previos ............................................................................ 15

Bloque 1: Números y Funciones .................................................................................... 16

Funciones y sus gráficos ....................................................................................................... 18

Funciones lineales ................................................................................................................ 19

Sistemas de Ecuaciones Lineales e Inecuaciones ................................................................. 20

Funciones cuadráticas .......................................................................................................... 22

Bloque 2: Álgebra y Geometría ..................................................................................... 24

Vectores en el Plano ............................................................................................................. 25

Bloque 3: Matemáticas Discretas ................................................................................ 26

Programación lineal.............................................................................................................. 27

Bloque 4: Probabilidad y Estadística ........................................................................ 28

Análisis de datos ................................................................................................................... 29

Probabilidad ......................................................................................................................... 30

Información que Debe Constar en la Planificación Didáctica .......................... 31

Métodos Docentes .............................................................................................................. 33

Aspectos Generales a los que Debe Prestar Atención ............................................. 35

Bibliografía Recomendada ........................................................................................... 37

Recursos Didácticos en Internet .................................................................................... 38

Bibliografía Utilizada ..................................................................................................... 38


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Presentación

En el año 2011 se inició la aplicación del “Nuevo Bachillerato Ecuatoriano”, con el objetivo de mejorar y uniformizar el rendimiento escolar de los jóvenes ecuatorianos. Dentro de la distribución de las materias, se ha dado una singular importancia a la Matemática, como un reconocimiento a esta rama del saber dentro de la formación de los estudiantes.

El proceso de reforma integral de la educación que se ha iniciado, presenta áreas de oportunidad que es importante identificar y aprovechar, para dar sentido a los esfuerzos acumulados y encauzar positivamente el ánimo de cambio y de mejora continua con el que convergen en la educación las maestras y los maestros, las madres y los padres de familia, las y los estudiantes, y una comunidad académica y social realmente interesada en la educación.

En este proceso, la Matemática es una asignatura común a todos los alumnos y alumnas del Primer Curso de bachillerato. Sus objetivos y contenidos están orientados para que los estudiantes profundicen y completen los conocimientos que han adquirido en cursos anteriores. De este modo, se pretende sentar las bases para que los estudiantes puedan abordar con éxito el estudio de las distintas ramas que conforman los estudios de la titulación.

El programa de la asignatura mantiene la organización a través de los ejes: números y funciones, algebra y geometría, matemáticas discretas y, probabilidad y estadística; los cuales se caracterizan por los temas y contenidos a desarrollar, como así también, por el tipo de pensamiento matemático a potenciar en cada uno de ellos.

El presente documento constituye una guía para los docentes. En él se orienta el desarrollo de las clases de matemática. Su aplicación ordenada y sistemática permitirá al o la docente seguir la metodología de trabajo del libro de texto que se ha elaborado para el uso de los estudiantes, con el afán de que estos mejoren su aprendizaje de la Matemática.

De acuerdo a los Lineamientos Curriculares Para el Nuevo Bachillerato Ecuatoriano, se trata de proveer los elementos de Matemática esenciales para la formación científico-cultural de los ciudadanos, teniendo en cuenta que las matemáticas son útiles para modelar el mundo que nos rodea, pues en realidad todo se puede ver a través de ellas, ya sea de forma exacta o aproximada.


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La acción de los docentes es un factor clave, porque son quienes generan ambientes propicios para el aprendizaje, plantean situaciones didácticas y buscan motivos diversos para despertar el interés de los alumnos e involucrarlos en actividades que les permitan avanzar en el desarrollo de sus competencias.

La Guía para maestras y maestros se constituye como un referente que permite apoyar su práctica en el aula, que motiva la esencia del ser docente por su creatividad y búsqueda de alternativas situadas en el aprendizaje de sus estudiantes.

Se invita a los docentes a complementar lo propuesto en la guía y en el libro de texto con actividades que promuevan el desarrollo de destrezas, conocimientos y competencias, adquiridos en la vida diaria.


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Introducción

Maestra, maestro:

Consientes de la importancia y complejidad que tiene la labor de un maestro, presentamos una propuesta curricular para la enseñanza de la Matemática en el Primer Año de Bachillerato.

Esta propuesta presenta nuevos objetivos para la enseñanza de la Matemática, al considerar que la enseñanza tradicional parece que fue concebida apenas como una etapa preparatoria para que los alumnos tengan nociones de álgebra, dejando de lado otras ramas de la matemática. Tradicionalmente, los contenidos son abordados de forma excesivamente abstracta y distante da la realidad del alumno, basándose en la mera transmisión de información. Con esto, no se da la debida atención al papel que la imaginación, la creatividad y la crítica cumplen en la producción del conocimiento científico.

Las nuevas tendencias de la educación colocan al Bachillerato como la etapa final de la Educación Básica; por ello, el acceso al Bachillerato debe a ser para todos y no solo para quienes desean proseguir sus estudios en las universidades. Así, esta propuesta lleva implícitas las siguientes preguntas:

¿Cuáles deben ser los objetivos del Bachillerato?

¿Cuáles deben ser las contribuciones de la enseñanza de Matemática para la formación de los jóvenes?

¿Cómo integrar la enseñanza de la Matemática con la enseñanza de otras disciplinas, para formar habilidades necesarias en la vida contemporánea?

Estas preguntas nos llevan a pensar en: qué enseñar, por qué enseñar, cómo enseñar y cuándo enseñar. Las respuestas a estas preguntas deben tener en cuenta la necesidad de que haya una flexibilidad curricular frente a las diferentes realidades de los centros educativos.

Este documento presenta las razones para la presencia de la Matemática en el currículo del Bachillerato y las directrices para la enseñanza de la disciplina, criterios para la selección de contenidos y, finalmente, los contenidos y las habilidades que serán desarrolladas.


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¿Por qué enseñar Matemática en el Bachillerato?

La Matemática es parte del currículo de la Enseñanza Media desde la introducción de ese nivel de escolarización en el Ecuador. Actualmente, conforme a las directrices curriculares del Nuevo Bachillerato Ecuatoriano, la Matemática es una asignatura general, que se imparte durante los tres últimos años de enseñanza media, como sucede en la mayoría de los países desarrollados o en desarrollo.

Hay muchas razones para enseñar Matemática en el bachillerato. Destaquemos algunas, que son frecuentemente presentadas para justifica la enseñanza de esta ciencia.

Razones Socioeconómicas Quienes favorecen la inclusión de la Matemática en el currículo de bachillerato, argumentan que existe una fuerte correlación entre el nivel de comprensión de las ciencias por la ciudadanía y el nivel de desarrollo económico de una nación. También, argumentan que el avance científico es un indicador de prestigio de un país en el escenario internacional. Así, según estos argumentos, se debe enseñar Matemática para formar personas calificadas técnico y científicamente, para a formar un país económicamente fuerte y con prestigio en el plano internacional.

Razones Sociopolíticas Otros, ven la introducción de la ciencia en los currículos como una necesidad de la vida en las democracias modernas. Con frecuencia, los parlamentos, los órganos ejecutivos y las autoridades locales toman decisiones sobre temas, tales como, la construcción de plantas de potabilización, el trasvase de ríos, los sistemas de transporte, el destino de los desechos de las ciudades, entre otros. Así, cada vez más, las comunidades están llamadas a manifestar su opinión sobre las decisiones que involucran temas con un fuerte componente científico. En este sentido, aquellos que expresan esta visión, argumentan que la participación de un


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individuo, ciudadano y elector, en un debate, presupone alguna comprensión de ciencias, lo que solo puede ser alcanzado con la inclusión de esa disciplina en los currículos.

Razones Culturales A lo largo de la historia de la humanidad, todas las culturas han desarrollado algún tipo de conocimiento matemático, que les permitió desarrollarse en conjunción con su entorno. En la actualidad, la Matemática representa una de las mayores y más importantes conquistas culturales de la humanidad. La comprensión de ciertos temas de la matemática hará que los alumnos sean insertados en la cultura de su propia época, en condición de sujetos y no en la de meros espectadores.

Razones Intelectuales

Una de las características de la Matemática es que se requiere cierto grado de abstracción lógica para entenderla y luego aplicarla a problemas prácticos de modelación. Esta habilidad se hace cada día más necesaria en la época en que vivimos, denominada la Era de la Información. Por ejemplo, para manejar un programa, en una computadora, es necesario entender su lógica de funcionamiento.

Como la Matemática es una disciplina en la que se trabaja con elementos abstractos, tener un conocimiento básico puede contribuir a disminuir el tiempo de aprendizaje de nuevas tareas y rutinas en ambientes más complejos de trabajo. Por ejemplo, se ha comprobado que las personas que tienen mayor afinidad a la matemática, se adaptan con más facilidad en ambientes de trabajo que exigen el empleo de las nuevas tecnologías de la información.

En ese sentido, se acredita que la Matemática puede contribuir mucho para la formación de la juventud, puesto que esta disciplina:

Emplea conocimientos universalmente aceptados.

Establece claramente límites de validez y aplicabilidad de esos conocimientos.

Se basa en un marco que incluye axiomas y postulados, que se enlazan entre sí mediante operaciones lógicas.

Expande nuestra imaginación al tratar con elementos intangibles, que son idealizaciones de la realidad.


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Utiliza diversas formas de descripción y de representación de la información, tales como gráficos, tablas y ecuaciones, entre otros.

Dependiendo del valor que se dé a cada uno de los argumentos presentados anteriormente, tendremos respuestas diferentes para las preguntas: ¿qué enseñar? y ¿cómo enseñar?, que son los próximos temas de este documento.


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Directrices para la Enseñanza de la Matemátiica

Fundamentos para el Currículo Los argumentos anteriores indican que un currículo de Matemática debe estar orientado para la educación general del ciudadano, abriendo perspectivas para la formación profesional del estudiante y posibilitando la adquisición de una cultura técnica e científica básica. Por otro lado, el currículo también debe ofrecer los conocimientos básicos para aquellos alumnos que desean ingresar a carreras tanto tecnológicas o científicas como biológicas y sociales.

Desarrollo de Competencias Una primera directriz sería pensar el currículo como un espacio de desarrollo de competencias cognitivas, de competencias prácticas y de competencias sociales, que todo ciudadano debe tener. Tales competencias están asociadas a la capacidad de describir e interpretar la realidad, de planear acciones y de actuar sobre la realidad.

Si, de hecho, anhelamos contribuir en la formación general de los ciudadanos, debemos construir un currículo capaz de abarcar una amplia gama de intereses y de estilos de aprendizaje. El currículo debe ser atrayente para los estudiantes y debe incorporar las áreas de la Matemática que en la actualidad tienen mayor aplicabilidad, debido al desarrollo científico-técnico del siglo XXI.

Uso de Tecnología El currículo debe propiciar que el estudiante comprenda algunas de las aplicaciones tecnológicas que se pueden utilizar para resolver problemas matemáticos; es decir, se debe posibilitar que el estudiante emplee algún tipo de software. Esta fase del aprendizaje debe ser llevada a cabo luego de que el docente estime que el grupo ya tiene un conocimiento


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cabal del tema, de manera que los estudiantes no se conviertan en simples usuarios que manejan programas informáticos

En esta perspectiva, las soluciones tecnológicas tienen un valor pedagógico relevante.

Aproximación con las Cosas Cotidianas La Matemática que se enseña en la secundaria debe tener algún tipo de aplicabilidad a la resolución de problemas de nuestra cotidianidad o del mundo real.

Por ejemplo, el currículo puede incorporar el estudio de la geometría y aplicar los conceptos aprendidos a la estimación del área de un terreno que tenga una forma irregular. Para hacer esto, es necesario que el docente tenga claro los campos de aplicación de los temas que se encuentra enseñando.

Contextualización e Interdisciplinaridad La contextualización de los temas de estudio y la interdisciplinaridad en su tratamiento constituyen los dos ejes básicos de la perspectiva presentada por las directrices curriculares del Nuevo Bachillerato Ecuatoriano (NBE) para la enseñanza. Debemos analizar esos documentos, para entender cómo se articulan esos dos ejes con el compromiso de contribuir para el desarrollo de las competencias esenciales para la formación general de todo o ciudadano.

La contextualización y la interdisciplinaridad no se restringen al tratamiento simultáneo de un mismo tema de estudio por la Matemática y por otras disciplinas, o la resolución de “problemas aplicados” desde el punto de vista de otras disciplinas. Podemos expandir la comprensión de los alumnos en relación a los aspectos históricos y sociales de la realidad, sin perjuicio del objetivo de enseñar Matemática.

Tradicionalmente, la comprensión de estos aspectos está asociada a las disciplinas ligadas al Área de Ciencias Sociales. La capacidad del alumno de comprender los contextos socio-culturales aumenta cuando comprende cómo se desarrolló el conocimiento científico y cómo este conocimiento es utilizado por la tecnología. Por esta razón, puede ser importante que en la introducción de cada capítulo, el docente realice una revisión del desarrollo histórico del tema a ser tratado.


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Objetivos de la Asignatura

Objetivos Generales

1. Comprender la modelización y utilizarla para la resolución de problemas.

2. Desarrollar una comprensión integral de las funciones elementales: su concepto, sus representaciones y sus propiedades. Adicionalmente, identificar y resolver problemas que pueden ser modelados a través de las funciones elementales.

3. Dominar las operaciones básicas en el conjunto de números reales: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.

4. Realizar cálculos mentales, con papel y lápiz y con ayuda de tecnología.

5. Estimar el orden de magnitud del resultado de operaciones entre números.

6. Usar conocimientos geométricos como herramientas para comprender problemas en otras

áreas de la Matemática y otras disciplinas.

7. Reconocer si una cantidad o expresión algebraica se adecúa razonablemente a la solución de un problema.

8. Decidir qué unidades y escalas son apropiadas en la solución de un problema.

9. Desarrollar exactitud en la toma de datos y estimar los errores de aproximación.

10. Utilizar los diferentes métodos de demostración y aplicarlos adecuadamente.

11. Contextualizar la solución matemática en las condiciones reales o hipotéticas del problema.


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Objetivos Transversales

Adicionalmente a los objetivos antes mencionados, podemos plantearnos los siguientes objetivos transversales.

1. Identificar problemas y utilizar diferentes estrategias para resolverlos.

2. Adquirir la capacidad de analizar, interpretar y relacionar resultados.

3. Desarrollar habilidades para el trabajo en grupo.

4. Planificar y organizar el tiempo de aprendizaje.

5. Adquirir capacidad de analizar, interpretar y relacionar resultados.

6. Adquirir concisión y precisión en la expresión oral y escrita.


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Competencias a Desarrollar

A lo largo del curso, se espera que el estudiante desarrolle las siguientes competencias:

Competencias específicas de la asignatura

Adquirir conceptos e instrumentos matemáticos que desarrollen el pensamiento lógico, matemático y crítico para resolver problemas mediante la elaboración de modelos que se puedan aplicar en la vida cotidiana.

Competencias genéricas

1. COMPETENCIAS INSTRUMENTALES

a) Capacidad de análisis y síntesis. b) Capacidad de organización y planificación. c) Comunicación oral y escrita en lengua propia. d) Habilidades básicas computacionales. e) Capacidad de gestión de la información. f) Resolución de problemas.

2. COMPETENCIAS PERSONALES

a) Habilidades en las relaciones interpersonales. b) Capacidad de trabajo en equipo.

3. COMPETENCIAS SISTÉMICAS

a) Capacidad para aplicar los conocimientos a la práctica. b) Capacidad de aprender. c) Adaptación a nuevas situaciones. d) Capacidad de crear nuevas ideas (creatividad). e) Habilidad de realizar trabajo autónomo. f) Motivación de logro.


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División del texto guía de la asignatura

El programa de la asignatura se divide en cuatro áreas o bloques temáticos: Números y funciones, Álgebra y Geometría, Matemática Discreta, Probabilidad y Estadística. En el texto Matemática 1: Conceptos y Aplicaciones, para una mejor comprensión, la materia se desarrolla a lo largo de 9 capítulos distribuidos de la siguiente manera:

BLOQUE 1: NÚMEROS Y FUNCIONES Capítulo 1 Conocimientos previos Capítulo 2 Funciones y sus gráficos Capítulo 3 Funciones lineales Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones Capítulo 5 Funciones cuadráticas

BLOQUE 2: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA Capítulo 6 Vectores en el plano

BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETAS Capítulo 7 Programación lineal

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Capítulo 8 Análisis de datos Capítulo 9 Probabilidad

En el documento Lineamientos Curriculares para el Nuevo Bachillerato Ecuatoriano, de Matemática para Primer Año de Bachillerato, publicado por el Ministerio de Educación, se señalan los objetivos generales para cada uno de los bloques temáticos. Estos, junto con el detalle de los las destrezas con criterio de desempeño, desglosados por temas se presentan a continuación.


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Nivelación y Conocimientos Previos

Objetivo. Repasar, brevemente, los temas fundamentales que son los requisitos previos para entender la teoría correspondiente a las funciones, los vectores, la probabilidad y la estadística.

Destrezas con criterios de desempeño

Denotar y representar conjuntos. Realizar operaciones entre conjuntos y determinar su cardinalidad. Identificar y representar los distintos conjuntos numéricos. Utilizar las propiedades y las leyes del sistema de los números reales. Representar en la recta numérica conjuntos numéricos definidos mediante

desigualdades. Determinar el producto cartesiano entre dos conjuntos. Representar, en un sistema de coordenadas, el producto cartesiano de conjuntos.

NIVELACIÓN Y CONOCIMIENTOS PREVIOS

Temas No. de semanas Sección del libro

1. Conjuntos 1

1.1 2. Números reales 1.2 3. Producto cartesiano de conjuntos 1.3


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Bloque 1: Números y Funciones

Objetivo. En el primer año de Bachillerato, los estudiantes profundizarán el conocimiento del conjunto de los números reales, utilizándolo en la resolución de problemas algebraicos. El concepto de función es, posiblemente, el más importante en Matemática; difícilmente se puede representar un fenómeno sin el auxilio de este concepto.

Los estudiantes del Bachillerato parten y amplían el conocimiento previo de funciones, desarrollado en la Educación General Básica a través de la investigación de patrones, de la descripción de relaciones lineales mediante la gráfica de la recta y de ejemplos de funciones polinomiales. Las destrezas adquiridas en el estudio del Álgebra, la manipulación de expresiones algebraicas y la resolución de ecuaciones son cimientos que facilitan el estudio del concepto de función.

En estos años de Bachillerato, se integra lo aprendido anteriormente con la introducción y desarrollo de la noción de función, que incluye sus diversas representaciones (tabla, gráfica y ley de asignación), el estudio del dominio y el recorrido, el análisis de las variaciones, simetrías y extremos.

Secuenciación y distribución temporal de los contenidos

BLOQUE 1: NÚMEROS Y FUNCIONES Funciones 4 semanas Concepto de función, evaluación de funciones 1 semana Determinación del dominio y del rango 1 semana Graficación de funciones, modelación 1 semana Monotonía y simetría 1 semana Función lineal 8 semanas Función lineal, ecuación de una recta 1 semana Pendiente y ceros de la función lineal 1 semana Rectas paralelas y perpendiculares 1 semana Aplicaciones de modelos lineales 1 semana


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Sistemas de dos ecuaciones lineales 1 semana Inecuaciones lineales 1 semana Función valor absoluto 1 semana Modelación con funciones lineales 1 semana Función cuadrática 8 semanas La función cuadrática: Monotonía, simetría, máximos y mínimos 2 semanas Ceros y ecuación cuadrática 2 semanas Inecuaciones cuadráticas 2 semanas Modelos cuadráticos 2 semanas


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Funciones y sus gráficos

Objetivo. Comprender el concepto de función mediante la utilización de tablas, gráficos, una ley de asignación y relaciones matemáticas para representar a las funciones reales.

Temas Destrezas con criterios de desempeño

Estrategias metodológicas Secciones del libro

Concepto de función, evaluación de funciones

Analizar y comprender los conceptos de relación y de función. Identificar las cuatro formas de definir una función: mediante un texto, algebraicamente, tabular y gráficamente.

Lectura y análisis de la información del texto.

Identificación de relaciones. Evaluación de funciones, a partir de

sus fórmulas. Resolución de ejercicios y problemas

del libro (pág. 24, 25, 31, 32, 33 y 34). Empleo del cuaderno de trabajo

(Actividades 1 y 2).

2.1 a 2.3

Determinación del dominio y del rango

Determinar el dominio y el rango de funciones elementales.


Determinación de dominios y de rangos a partir de reglas sencillas.

Resolución de ejercicios y problemas del libro (pág. 37 y 38).

2.6

Graficación de funciones y modelación

Obtener nuevas funciones a partir de transformaciones de las funciones originales. Modelar situaciones de la vida cotidiana con el empleo de funciones elementales.


Representación gráfica de funciones y de sus transformaciones.

Resolución de ejercicios y problemas del libro (pág. 40, 41 y 43).

Empleo del cuaderno de trabajo (Actividades 3 y 4).

2.7 y 2.8

Monotonía y simetría

Clasificar a las funciones según su simetría como pares, impares o ninguna de éstas. Clasificar a las funciones de acuerdo a su monotonía como crecientes, decrecientes o ninguna de éstas.


Identificación de funciones impares y pares a partir de la definición.

Identificación de funciones crecientes y decrecientes a partir de la definición.


2.9 y 2.10

Indicadores de evaluación

1. Calcula el dominio y el rango de funciones elementales. 2. Representa funciones de manera tabular, gráfica y algebraica. 3. Reconoce el comportamiento de funciones elementales de una variable a través del

análisis de su monotonía y simetría. 4. Modela, mediante funciones, problemas sencillos de la vida cotidiana.


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Funciones lineales

Objetivo. Determinar el comportamiento local y global de la función lineal e identificar las condiciones, los patrones numéricos y los problemas que se pueden modelar mediante funciones lineales.



Función lineal Reconocer una función lineal y asociar la recta que ella describe.


Identificación de funciones lineales por su forma.

Representación gráfica de funciones lineales.


3.1

Identificación de la abscisa y de la ordenada

Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos de sus puntos. Interpretar el signo que tiene una pendiente en términos de crecimiento o decrecimiento. Determinar las intersecciones de una recta con los ejes horizontal y vertical.


Resolución de ecuaciones de primer grado gráfica y analíticamente.


Empleo del cuaderno de trabajo (Actividades 5, 6, 12, 13, 14 y 15).

3.2 y 3.3

Rectas paralelas y perpendiculares

Establecer la relación entre dos rectas a partir de la comparación de sus pendientes respectivas (rectas paralelas y rectas perpendiculares).


Graficación de rectas paralelas y perpendiculares.

Resolución de ejercicios y problemas del libro (pág. 79).


3.5

Modelación con el empleo de funciones lineales

Resolver problemas que se pueden modelar mediante funciones lineales, identificando las variables significativas y las relaciones entre ellas.


Identificación de problemas que se pueden modelar con funciones lineales.


Empleo del cuaderno de trabajo (Actividades 6, 7, 8, 9, 10 y 11).

3.6


1. Representa funciones lineales por medio de tablas, gráficos y ecuaciones algebraicas. 2. Analiza funciones lineales por medio de sus coeficientes. 3. Reconoce problemas que pueden ser modelados mediante funciones lineales,

identificando las variables significativas y las relaciones entre ellas. 4. Resuelve problemas con el empleo de modelos lineales.


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Sistemas de Ecuaciones Lineales e Inecuaciones

Objetivo 1. Identificar los sistemas de ecuaciones, su forma de resolución y la forma de plantear modelos a través de sistemas de ecuaciones lineales.

Objetivo 2. Identificar inecuaciones, sus propiedades, principios, clasificación y las formas de resolverlas; además, plantear modelos con desigualdades.

Temas Destrezas con criterios de desempeño Estrategias metodológicas Secciones del libro

Sistemas de ecuaciones lineales

Clasificar los sistemas de ecuaciones lineales en compatibles determinados, incompatibles o compatibles indeterminados. Establecer la cantidad de soluciones que puede tener un sistema de ecuaciones.


Reconocer los tipos de sistemas de ecuaciones lineales.


Empleo del cuaderno de trabajo (Actividad 24).

4.1 y 4.2

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante distintos métodos algebraicos.


Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos.


Empleo del cuaderno de trabajo (Actividades 25, 26, y 27).

4.3

Modelación mediante sistemas de ecuaciones

Emplear sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas para resolver problemas aplicados.


Identificación de problemas que se pueden modelar con sistemas de ecuaciones lineales.


4.4

Inecuaciones lineales

Reconocer una inecuación lineal, sus características y la forma de resolución.


Resolver inecuaciones lineales con el empleo de las propiedades de las desigualdades.



4.5

Modelación mediante inecuaciones lineales

Plantear y resolver problemas que involucren inecuaciones.


Identificación de problemas que se pueden modelar con sistemas de inecuaciones lineales.


4.6


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Función valor absoluto

Comprender el comportamiento de la función valor absoluto y entender sus características. Resolver problemas en los que aparece el valor absoluto de una expresión algebraica.


Identificación de problemas que se pueden modelar con sistemas de inecuaciones lineales.


4.7


1. Resuelve sistemas de dos ecuaciones con dos variables de forma gráfica y analítica. 2. Reconoce problemas que pueden ser modelados mediante sistemas de ecuaciones. 3. Resuelve sistemas de inecuaciones lineales gráficamente. 5. Reconoce problemas que pueden ser modelados mediante inecuaciones.


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Funciones cuadráticas

Objetivo. Identificar las condiciones, los patrones numéricos y los problemas que se pueden modelar mediante funciones cuadráticas.


Función cuadrática

Reconocer que el gráfico de una función cuadrática es una parábola. Identificar el vértice y el eje de simetría de una parábola en función de los parámetros que la definen.


Identificación de funciones cuadráticas por su forma.

Representación gráfica de funciones cuadráticas.



4.1

Características de la función cuadrática

Identificar si una función cuadrática alcanza un máximo o un mínimo y los intervalos en los cuales la función es decreciente o creciente.


Análisis de las principales características que presenta una función cuadrática arbitraria.


Empleo del cuaderno de trabajo (Actividades 36, 37).

4.2

Ceros de la función: la ecuación cuadrática

Resolver una ecuación cuadrática por uno de los siguientes métodos: factorización, de la raíz, completando el cuadrado o mediante la fórmula cuadrática.


Resolución de ecuaciones de segundo grado, gráfica y analíticamente.


Empleo del cuaderno de trabajo (Actividades 35, 41 y 42).

4.3

Inecuaciones cuadráticas

Resolver inecuaciones cuadráticas de manera analítica, mediante el uso de las propiedades de las funciones cuadráticas asociadas a dichas inecuaciones.


Resolución de inecuaciones de segundo grado.



4.5

Modelación con el empleo de funciones cuadráticas

Reconocer problemas que pueden ser modelados mediante funciones cuadráticas. Plantear y resolver problemas en los que se emplean funciones cuadráticas.


Identificación de problemas que se pueden modelar con funciones cuadráticas.


4.6


1. Representa funciones cuadráticas por medio de tablas, gráficos y ecuaciones algebraicas. 2. Analiza funciones cuadráticas por medio de sus coeficientes.


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3. Reconoce problemas que pueden ser modelados mediante funciones cuadráticas, identificando las variables significativas y las relaciones entre ellas.

4. Resuelve problemas con el empleo de modelos cuadráticos.


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Bloque 2: Álgebra y Geometría

Objetivo. Este bloque enfatiza la relación entre álgebra y geometría. Este bloque se caracteriza por desarrollar el conocimiento del álgebra de vectores en dos y tres dimensiones. Partiendo de la noción de combinación lineal, se desarrollan las descripciones vectoriales de la recta y el plano. Seguidamente se investigan las aplicaciones del álgebra vectorial a la geometría.

El álgebra vectorial constituye una herramienta fundamental en el tratamiento de fenómenos físicos como la fuerza, la velocidad, campos eléctricos y magnéticos, gravitación universal y órbitas planetarias, tiro parabólico, entre otros.

Secuenciación y distribución temporal de los contenidos

BLOQUE 2: ALGEBRA Y GEOMETRÍA Vectores geométricos en el plano 10 semanas Componentes de un vector, longitud y dirección 1 semana Operaciones con vectores 1 semana El espacio R2 1 semana Operaciones algebraicas 1 semana Identificación con vectores geométricos 2 semanas Longitud de un vector y distancia entre dos puntos 1 semana Aplicaciones a la geometría 2 semanas


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Vectores en el Plano

Objetivo. Comprender las propiedades de los vectores y realizar operaciones con ellos, para aplicarlos en la resolución de problemas geométricos.


Vectores Entender el concepto de vector fijo del plano y sus características: módulo, dirección y sentido.


Comparación entre vectores de acuerdo a sus características.

Representación gráfica de vectores en el plano.

6.1

El espacio R2

Realizar operaciones en el espacio ℝ². Calcular la distancia entre dos puntos del plano.


Realización de las operaciones básicas entre elementos del espacio R2.

Determinación de la distancia entre dos puntos del plano.


6.2

Operaciones con vectores

Efectuar operaciones con vectores. Aplicar las propiedades de las operaciones con vectores.


Realización de las operaciones con vectores, de manera gráfica y analítica.


6.4

Aplicaciones a la geometría

Realizar demostraciones geométricas mediante vectores.


Cálculo de áreas y perímetros de figuras geométricas.

Realización de demostraciones geométricas.


6.6


1. Reconoce los elementos de un vector en el plano. 2. Opera con vectores y con elementos de ℝ². 3. Determina la longitud de un vector. 4. Calcula el perímetro y el área de una figura geométrica con el empleo de vectores.


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Bloque 3: Matemáticas Discretas

Objetivo. Este bloque provee de conocimientos y destrezas necesarias para que los estudiantes tengan una perspectiva sobre una variedad de aplicaciones, donde instrumentos matemáticos relativamente sencillos sirven para resolver problemas de la vida cotidiana: problemas de transporte, asignación de recursos, planificación de tareas, situaciones en sí complejas, pero muy comunes en el mundo laboral.

BLOQUE 3: MATEMÁTICAS DISCRETAS Programación lineal 4 semanas Sistemas de inecuaciones lineales 1 semana Función objetivo y restricciones 1 semana Conjunto factible 1 semana Método gráfico para obtener óptimos 1 semana


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Programación lineal

Objetivo. Identificar y resolver sistemas de inecuaciones y aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas de programación lineal.



Desigualdades en el plano

Graficar y resolver desigualdades en el plano.


Resolución de desigualdades con dos variables, de manera gráfica.

Representación gráfica de vectores en el plano.


7.1

Sistemas de inecuaciones

Graficar sistemas de inecuaciones en el plano. Hallar la región factible de un sistema de inecuaciones.


Resolución de sistemas de desigualdades con dos variables, de manera gráfica.

Determinación de la región factible sobre el plano.



7.2

Aplicaciones de los sistemas de desigualdades

Reconocer problemas que se pueden modelar mediante sistemas de desigualdades. Plantear y resolver problemas en los que se emplean sistemas de desigualdades.


Planteamiento y resolución de sistemas de inecuaciones lineales.


7.3

Programación lineal

Usar procedimientos de programación lineal para resolver problemas aplicados. Resolver problemas de programación lineal de manera gráfica.


Construcción de la función objetivo. Búsqueda de valores óptimos de la

función objetivo. Resolución de ejercicios y problemas

del libro (pág. 196 y 197). Empleo del cuaderno de trabajo

(Actividad 42).

7.4


1. Halla el conjunto solución de un sistema de inecuaciones con dos variables. 2. Identifica la función objetivo y escribe una expresión lineal que permita modelar un

problema de optimización. 3. Determina el conjunto factible de problemas de optimización lineal. 4. Resuelve e interpreta la solución de problemas de optimización.


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Bloque 4: Probabilidad y Estadística

Objetivo. En el bachillerato el conocimiento de probabilidad y estadística debe fundamentarse en lo desarrollado en la educación básica. El bloque incluye una revisión de la estadística descriptiva aprendida anteriormente; enfatiza en la habilidad de leer y comprender la información estadística publicada en los medios; plantear preguntas que puedan ser respondidas mediante encuestas, recopilar datos, organizarlos y desplegar la información con medidas estadísticas. Se introduce la noción de probabilidad, la noción de aleatoriedad, muestreo y técnicas sencillas de simulación para resolver problemas pertinentes.

BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Estadística 3 semanasDistribución de frecuencias 1 semana Diagramas estadísticos: tallo y hojas polígonos de frecuencia, histograma 1 semana Medidas de tendencia central y de dispersión 1 semana Probabilidad 3 semanasTécnicas de conteo 1 semana Probabilidad de eventos simples y compuestos 1 semana Espacios muestrales finitos 1 semana


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Análisis de datos

Objetivo. Comprender los conceptos básicos de la estadística descriptiva, mediante su representación gráfica de datos y el cálculo de las medidas de localización y de dispersión.


Organización de los datos

Reconocer las principales características de los conjuntos de datos. Confeccionar tablas de frecuencias, para resumir conjuntos de datos.


Reconocer la localización y la dispersión de conjuntos de datos.

Realizar tablas de frecuencias. Resolución de ejercicios y

problemas del libro (pág. 209 y 210).

8.2

Representación gráfica de los datos

Representar los conjuntos de datos, mediante diagramas de tallo y hojas, histogramas o gráficos de barras, e interpretar estos gráficos.


Realizar diagramas de tallo y hojas e histogramas.


8.3

Medidas de posición Reconocer, describir y calcular las medidas de posición de los datos.


Encontrar la moda, la mediana y el promedio de un conjunto de datos.



8.4

Medidas de dispersión

Reconocer, describir y calcular las medidas de dispersión de los datos.


Encontrar el rango, el rango intercuartil y la desviación estándar de un conjunto de datos.



8.5


1. Interpreta diagramas estadísticos a través de los parámetros representados en ellos. 2. Reconoce y elabora cuadros de frecuencias absolutas y de frecuencias acumuladas. 3. Calcula las medidas de localización para diferentes tipos de datos. 4. Calcula las medidas de dispersión para diferentes tipos de datos.


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Probabilidad

Objetivo. Comprender los conceptos relacionados con la probabilidad y calcular las probabilidades de eventos definidos sobre espacios muestrales finitos.



Técnicas de conteo

Diferenciar entre las distintas técnicas de conteo de la cardinalidad de un conjunto. Aplicar las técnicas de conteo adecuadas para resolver problemas de la vida cotidiana.


Calculo de la cardinalidad de conjuntos, con el empleo de combinaciones, arreglos y permutaciones.



9.1

Cálculo de probabilidades

Entender la probabilidad como una frecuencia relativa. Distinguir entre eventos simples y compuestos y cómo se calculan sus probabilidades.


Cálculo de probabilidades de eventos simples y compuestos.



9.2

Espacios muestrales finitos

Diferenciar entre espacios muestrales finitos e infinitos. Aplicar técnicas de conteo para hallar la cardinalidad de eventos y de espacios muestrales finitos.


Utilización de técnicas de conteo para hallar la probabilidad de eventos.



9.3

Probabilidad, conjuntos y diagramas de Venn

Interpretar las operaciones entre conjuntos en términos de eventos y sus probabilidades.


Cálculo de probabilidades mediante la fórmula de la probabilidad de la unión de conjuntos.


9.4


1. Establece la técnica de conteo apropiada para un experimento. 2. Determina el número de elementos del espacio muestral de un experimento. 3. Calcula la probabilidad de eventos simples y compuestos. 4. Interpreta las probabilidades con la ayuda de la teoría de conjuntos.


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Información que Debe Constar en la Planificación Didáctica Este ejemplo es una adaptación de las orientaciones que presenta el Ministerio de Educación, sobre la manera en que se debe presentar la planificación de la asignatura.

Area: Matemática Nombre del docente: NN Año lectivo: 2012 – 2013 Primer Año de Bachillerato Bloque: Probabilidad y estadística Tema o capítulo: Técnicas de conteo Objetivos específicos Comprender los conceptos relacionados con la probabilidad y calcular

las probabilidades de eventos definidos sobre espacios muestrales finitos.

Contenidos Combinaciones Arreglos Permutaciones

Destrezas con criterios de desempeño

Diferenciar entre las distintas técnicas de conteo de la cardinalidad de un conjunto.

Aplicar las técnicas de conteo adecuadas para resolver problemas de la vida cotidiana.

Estrategias metodológicas Lectura y análisis de la información del texto. Calcular la cardinalidad de conjuntos, con el empleo de

combinaciones, arreglos y permutaciones. Resolución de ejercicios y problemas del libro (pág. 242 y 243). Empleo del cuaderno de trabajo (Actividades 46 y 47).

Indicadores de evaluación Establece la técnica de conteo apropiada para un experimento Indicadores de logro Calcula combinaciones, arreglos y permutaciones de manera

manual. Calcula combinaciones, arreglos y permutaciones con el empleo

de calculadora. Recursos Texto guía, cuaderno de trabajo, pizarrón, calculadora Duración 1 semana Fecha de inicio: dd/mm/aa Fecha de finalización: dd/mm/aa


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CALCULO DEL TIEMPO DE TRABAJO Tiempo anual de trabajo 40 semanas Semanas de exámenes, juntas de curso,

recuperaciones y exámenes supletorios 10 semanas

Semanas para trabajo en clase 30 semanas30 semanas x 4 sesiones de clase por semana

120 sesiones anuales


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Métodos Docentes

La metodología utilizada en el desarrollo de las tareas del docente incluye los siguientes tipos de actividades:

Actividad del profesor

Clases expositivas de la teoría simultaneadas con la realización de ejercicios. Básicamente, se utiliza el pizarrón. También, se podrá emplear proyecciones en formato electrónico obtenidas en la Internet o transparencias.

Al enseñar a resolver ejercicios, la primera parte será expositiva, una segunda parte de supervisión y asesoramiento en la resolución de los problemas por parte del alumno y una parte final de análisis del resultado y generalización a otros tipos de problemas. Se podrá emplear el Cuaderno de Trabajo que contiene actividades orientativas de los temas.

Si hubiera las condiciones necesarias, se podría introducir al estudiante al empleo de TICs, ya sea con el empleo de calculadoras científicas que tienen funciones de graficación de funciones o con el uso del laboratorio de computación.

En este último caso, se recomienda la utilización del programa GeoGebra, que se puede descargar, de manera gratuita, de la Internet. El programa tiene la ventaja de que se puede configurar para que los comandos estén en español. Además, hay una gran cantidad de documentación sobre el empleo de este programa.

Las evaluaciones deberán ceñirse a las normas que se

Actividad del estudiante


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Actividad presencial: Toma de apuntes, participar activamente en clase respondiendo a las cuestiones planteadas. Resolución de los ejercicios propuestos durante el desarrollo de las clases. Participación activa en la resolución de los problemas y en el análisis de los resultados.

Actividad no presencial: Preparación de apuntes, estudio de la materia y seguimiento de las actividades y consultas de bibliografía de la asignatura sugeridas por el profesor.

Realización de otros problemas planteados por el profesor y no resueltos en clase y estudio de los planteados en las mismas.


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Aspectos Generales a los que Debe Prestar Atención

A continuación damos varias recomendaciones que consideramos útiles para aplicar durante toda la experiencia de enseñanza de la asignatura.

1. El involucramiento

de la o el alumno El involucramiento de la o el alumno debe ser total. Nadie debe mostrar una actitud pasiva.

2. Sujeto de la clase La o el alumno debe ser sujeto de cuestionamientos constantemente. Evite dar respuestas o recetas. Por medio de las preguntas se espera que

la o el alumno descubra respuestas, planteamientos, formas de responder, estrategias para trabajar en una actividad y otras acciones.

3. El rol de la o el maestro

El rol de la o el maestro debe ser de facilitador(a) del aprendizaje.

4. Planificación de la clase

La planificación deberá ser leída con suficiente anticipación para confirmar el propósito de la clase, aclarar dudas, preparar materiales y prever situaciones que puedan ser presentadas por las o los alumnos.

5. Los indicadores de logro

Los indicadores de logro deben ser alcanzados en un 100% por las y los alumnos.

Si ello no se logra debe darse refuerzo por medio de tareas a realizar en casa.

6. Evaluación formativa

En todo momento se debe evaluar el trabajo de la o el alumno. Evite revisar o calificar trabajos sentado o sentada en una mesa, mientras

las o los alumnos “hacen cola”. Esto hace perder tiempo valioso que puede ser ocupado en revisión, apoyo y aclaración de dudas.

Por el contrario, es importante circular entre las y los alumnos para realizar una mejor evaluación.

7. Al iniciar un nuevo tema

Al inicial el tratamiento de un tema nuevo, invente preguntas o actividades que puedan motivar el abordaje del tema.

8. Al realizar los ejercicios

Al realizar los ejercicios, las y los alumnos deben trabajar individualmente. Además, es necesario dejar suficiente tiempo para que ellas y ellos

piensen bien antes de responder. 9. La lectura de las y

los alumnos Se espera que el nivel de lectura de las y los alumnos de primero de

bachillerato les permita leer instrucciones y comprender textos. Además de la enseñanza de la Matemática, hay que poner énfasis en la

habilidad lectora de las y los alumnos.


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10. Uso de materiales didácticos

La asignatura de Matemática se presta para la utilización de material didáctico para ilustrar los diferentes temas. Emplee el material que esté disponible en su centro educativo.

Adicionalmente, en Internet, se puede encontrar mucho material de carácter audiovisual. Localice el material que le parezca más adecuado para cada uno de los temas.

11. La posición de los escritorios

La posición de los escritorios debe cambiarse constantemente durante el desarrollo de las clases como un medio que estimule la integración entre los estudiantes, evitando que se formen grupos aislados.

Muchas veces, se puede trabajar en grupo o en parejas pero al finalizar la clase los escritorios deben volver a su lugar original.

12. El uso del cuaderno Se recomienda que las y los alumnos utilicen el cuaderno con hojas de cuadros en la clase de matemática. Ese tipo de hojas facilita ordenar posiciones de números en forma horizontal y vertical.

Asimismo, en el cuaderno, el alumno o la alumna debe copiar únicamente los puntos importantes de cada clase para que sirva de repaso en su casa y los ejercicios.

No se recomienda que copien toda lo que esté escrito en el pizarrón porque se pierde valioso tiempo, que se puede aprovechar para el apoyo individual o aclaración de dudas.

13. El uso del pizarrón El pizarrón es un instrumento muy útil para presentar explicaciones. Es importante escribir muy claro para que las y los alumnos comprendan con facilidad.

También, se utiliza para que tengan clara la actividad que en ese momento se está desarrollando.

El pizarrón, también, sirve para escribir lo que se requiere que las y los alumnos copien en sus cuadernos y que después lo usen como repaso en sus casas.

Por lo anterior se le recomienda planificar la presentación en el pizarrón. Evite el uso de diapositivas como un sustituto del pizarrón.

14. La realización de pruebas

Una prueba se realiza con el propósito de confirmar el nivel de comprensión de las y los alumnos y decidir el refuerzo que debe darse.

Los resultados no son para ubicar a las y los alumnos en los primeros o últimos lugares, mucho menos a las y los maestros.

Se deben emplear las evaluaciones para diagnosticar el estado de comprensión de la materia por el grupo, en general, y por cada educando, en particular. Con los resultados, dar el tratamiento o seguimiento de acuerdo a las necesidades individuales de ellas y ellos.


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Bibliografía Recomendada

Además del texto básico “Matemática 1: Conceptos y aplicaciones” y del Cuaderno de Trabajo, de la Colección AQORAS, se recomienda consultar la siguiente bibliografía complementaria.

1. Bolger, K., Boggs, R., Faragher, R. y Belward, J., 2007, “Mathematics for Queensland, year 11B: a graphics calculator approach, Oxford University Press, Melbourne.

2. Carreño C, X. y otras, 2006, “Álgebra 1”, Arrayán Editores S. A., Santiago de Chile.

3. Galindo, E., 2011, “Matemáticas Superiores, Precálculo”, Tomo 1, Prociencia, Quito.

4. Galindo, E., 2012, “Estadística Elemental Moderna”, Prociencia, Quito.

5. Major, T. y Park, A., 2007, “California Algebra I”, CGP Education, Sacramento, CA.

6. Tan, S. T., 2009, “Finite Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences”, Brooks/Cole, Cengage Learning, Belmont, CA.

7. Urban, P. y otros, 2004, “Mathematics for the International Student”, Haese & Harris Publications, Adelaida.

8. Van de Walle, J., 2007, “Elementary and Middle School Mathematics”, Pearson Education Inc., Boston.


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Recursos Didácticos en Internet

Se recomienda al docente que introduzca los distintos temas con el empleo de los recursos que se pueden encontrar en la Internet.

A continuación damos las referencias de varios sitios en los que el docente puede encontrar material para sus clases.

Revista de Didáctica de las Matemáticas, http://www.sinewton.org/numeros.

UNION. Revista Iberoamericana de Educación Matemática: http://www.fisem.org/web/union

www.canalencuentro.gov.ar. Puede descargar la serie de programas “Alterados por Pi”, que son programas de matemática, de carácter divulgativo.

www.geogebra.org. Puede descargar el programa GeoGebra, de manera gratuita. También se incluyen manuales y foros de usuarios del programa.

Bibliografía Utilizada

1. Área de Ciencias Experimentales: Matemática, Ministerio de Educación del Ecuador, Nuevo Bachillerato Ecuatoriano. Documento para la discusión, Febrero de 2011 (en esa fecha, disponible en la página web de Ministerio).

2. Matemática, Ministerio de Educación del Ecuador, Nuevo Bachillerato Ecuatoriano. Lineamientos Curriculares para el Nuevo Bachillerato Ecuatoriano, Agosto de 2011 (disponible en la página web de Ministerio).

3. Ministerio de Educación de Chile, 2004, Programa de Estudio - Cuarto Año de Educación Media, Matemática.

4. Secretaría de Educación Pública de México, 2011, Guía para el Maestro: Educación Básica y Secundaria. Matemáticas.

5. Varios, 2007, “Guía para el docente de Matemática”, Ministerio de Educación, Guatemala.

gu+¡a del docente matem+ítica 1

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