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Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física

Profesor Asociado

Escuela de Fïsica

Universidad Nacional de Colombia

Roberto Fabián Retrepo A., M. Sc. en Física

Profesor Asociado

Escuela de Fïsica


Carlos Alberto Ramírez M., M. Sc. en Física

Profesor Asociado

Escuela de Fïsica


GUÍA

6

Maestría en Enseñanza de las Ciencias

Exactas y Naturales Página 2

Calculando y expresando las incertidumbres

Objetivo General

• Hacer análisis de la incertidumbre en los procesos de medición con base en la última versión

tanto del VIM (Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología — versión 2008 —) como del GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measure-ment —ver corrección 2008 de la version 1995—)

Objetivos específicos

• Definir los términos básicos relacionados con el concepto de incertidumbre con base el VIM y en el GUM.

• Mostrar el protocolo para calcular y expresar la incertidumbre de una medida de acuerdo al GUM.

Introducción

Desde su publicación en 1995 la Guía para la Expresión de la Incertidumbre de Medida o GUM,

constituye la referencia necesaria en cada instancia o publicación en la que se habla de la incertidum-

bre o de aquel parámetro que caracteriza la dispersión asignable razonablemente a la propiedad que

se mide.

La publicación de este documento en 1995, a través de ISO, fue un momento importante en la his-

toria de la reflexión sobre el concepto de la incertidumbre en metrología y de cómo evaluarla

estadísticamente ofreciendo un método relativamente consensuado, independientemente de las con-

troversias que han generado algunas inconsistencias detectadas en él. En todo caso, estas controver-

sias y debates o discusiones sobre la GUM fueron y continúan siendo el origen o motivación de una

gran cantidad de publicaciones que en un futuro probablemente se usarán para mejorarla.

Paralelamente, la industria y el comercio recibieron en 1995 un documento práctico para caracterizar

la incertidumbre, paramétro sin el cual no es posible evaluar adecuadamente la conformidad de los

productos y la comparabilidad de las mediciones; la necesidad e importancia de uso se ven reflejados

en el desde entonces creciente requisito de que los laboratorios de calibración y ensayo la evalúen e

informen y en su uso actual por organismos fiscalizadores de algunos gobiernos. En este resumen aparecerá con color verde la definición tal cual aparece en el VIM o en el GUM; en

algunos casos se complementará con una breve explicación.

Algo muy importante que se debe reconocer, es que la naturaleza básica del proceso de medición

hace que la NO EXACTITUD sea inherente a la misma medición.



Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín Página 3

La medición

El objetivo de una medición es determinar el valor de la magnitud específica a medir denominada mensurando y en ella intervienen varios factores que determinan su resultado:

• El objeto de medición

• El procedimiento de medición • El instrumento de medición

• El ambiente de medición

• El observador

• El método de cálculo

Además del mensurando el resultado de la medición es afectado por la denominada magnitudes de influencia:

• Condiciones ambientales (temperatura, presión, humedad, luminosidad, …) • Fluctuaciones breves de los instrumentos de medición. • Valores asociados con los patrones de medición • Datos de referencia necesarios para completar el proceso de medición.

Una medición comienza con una definición apropiada de:

• El mensurando • El método de medición (y su principio de medición: Doppler, termoeléctrico,.. ) • El procedimiento de medición: Conjunto de operaciones para realizar la medición con

base en un método de medición La medición es un proceso

PROCESO DE MEDICIÓN

ENTRADAS ( xi )

Variables independientes

SALIDA (y)

Variable dependiente

y=f(x1 ,x2 , …, xn)


Proceso de estimación de la incertidumbre Toda medición lleva implícita una incertidumbre que según el VIM es un parámetro que caracteri-za la dispersión de los valores atribuidos a un mensurando, con base en la información usada.

Un resultado de medición se expresa generalmente como un valor medido único y una incertidum-bre de la medida:

x ± ux

Si la incertidumbre de la medida se considera despreciable para algún propósito, el resultado de la

medición puede expresarse como un único valor medido de la magnitud. En muchos campos ésta es

la forma usual de expresar un resultado de medición.

Las incertidumbres se clasifican en tipo A (provenientes de evaluaciones por mediciones múltiples y análisis estadístico) y tipo B (el resto).

Medida directa

La medida o medición es directa cuando se dispone de un instrumento de medida que la obtiene.

Ejemplos: una longitud medida con una regla, un intervalo de tiempo medido con un cronómetro

o una temperatura medida con un termómetro.

Las fuentes de la incertidumbre en la medida de una magnitud pueden ser varias. Por ejemplo si se

mide un intervalo de tiempo con un cronómetro que indique hasta censtisegundos mediante medi-

das repetidas, fuentes de incertidumbre son la apreciación del cronómetro (0,01 s) y la desviación

estándar de la media: la primera es de tipo B y la segunda de tipo A. Incluso si se tuviera dispo– nible el certificado de calibración del cronómetro, el GUM exige que también se debe introducir la

incertidumbre reportada en este, que también es de tipo B.

Combinación de las incertidumbres

Si una medida es afectada por diferentes fuentes de incertidumbre, se deben combinar estas incerti-

dumbres para reportar un incertidumbre resultante. El GUM las combina en forma geométrica. Por

ejemplo supóngase el caso del cronómetro del ejemplo anterior en el cual se supuso tres fuentes de

incertidumbre:

en donde u1t, u2t y u3t son respectivamente las incertidumbres estandarizadas debido respectivamen-te a las fuentes de incertidumbre: apreciación del cronómetro, a las medidas repetidas y al certifica-

do de calibración.



23

22

21 tttt uuuu ++=




Es necesario anotar que la incertidumbre se debe reportar con una cifra significativa.

¿Qué son las incertidumbres estándar?

El GUM exige que para combinar las incertidumbres éstas deben estandarizarse y para ello es nece-sario asignarle un modelo de distribución estadístico a cada fuente de incertidumbre. Algunos ejemplos:

• Distribución gaussiana o normal

Medidas repetidas: se asigna el modelo de distribución gaussiana, en cuyo caso la incer-tidumbre estandarizada corresponde a la desviación estándar de la media. Sean x1, x2, …,

xn, n medidas bajo condiciones de repetibililidad de una magnitud X. Como mejor

medida se debe reportar la media,

y como incertidumbre la desviación estándar de la media, y corresponderá a la incertidumbre estándar en la medida de x.

es decir el resultado de la medición se reporta,

También la incertidumbre indicada en los certificados de calibración generalmente obedece una distribución gaussiana.

En la distribución gaussiana se garantiza que el 68 % de las medidadas de la magnitud X

bajo condiciones de repetibilidad estarán dentro del rango (figura 1, area roja),

n

xx

n

ii∑

== 1

( ) ( )∑=

−−

==n

iixx xx

nnu

1

2

1

1σ

xux ±

xux ±




y el 95 % de las medidas estarán dentro del rango (figura 1, área roja más area azul) ,

Figura 1

• Distribución rectangular o uniforme

Son ejemplos de fuentes de incertidumbre que se les asigna este modelo de distribución:

la apreciación del instrumento, la información técnica sobre la tolerancia de un instru-mento y la incertidumbre relacionada con el número finito de cifras significativas de da-tos tomados de la literatura (siempre y cuando no haya indicios que la incertidumbre en

realidad es mayor que la incertidumbre relacionada con la última cifra significativa). En

esta distribución la incertidumbre se estandariza así,

en donde a corresponde al último dígito significativo (lectura digital), la mínima division

del instrumento (lectura análoga), la tolerancia del instrumento, a la última cifra significa-

tiva (en un dato de la literatura). En esta distribución cada valor del rango x ± ux tiene la

misma probabilidad (figura 2).

12

au x =

xux 2±




• Distribución triangular

En esta distribución el valor del rango x ± ux que se encuentra en el centro tiene mayor

probabilidad y ésta disminuye linealmente hacia los extemos del mismo hasta cero (figura 3).

Figura 2

Figura 3


En esta distribución la incertidumbre se estandariza así,

Medida indirecta

Una vez obtenida la incertidumbre de las medidas directas, se calculan las de las medidas indirectas.

Supóngase una medida indirecta y que se obtiene a partir de medidas directas mediante la expresión matemática:

en donde f es una función de n variables independientes. La incertidumbre combinada de y viene dada por:

en donde los ci se denominan coeficientes de sensibilidad y se definen como,

La expresión para calcular la incertidubre combinda en una medición indirecta se denomina ley de propagación de la incertidumbre y sólo es aplicable para combinar incertidumbres estándar. Se debe

anotar que esta expresión sólo es válida cuando las variables consideradas como independientes, xi, no

estén, en la práctica, correlacionadas; de no ser así se debe emplear otra expresión más compleja la cual

se puede consultar en la GUM.



( ) ( )[ ] ( )2

2 ∑∑

∂∂==

ii

iiiiC xu

x

fxucyu

24

au x =

y=f(x1 ,x2 , …, xn)

ii x

fc

∂∂≡



Incertidumbre expandida, U Corresponde al producto de una incertidumbre estándar combinada de medida y un factor numérico mayor que uno (denominado factor de cobertura: usualmente se representa por la letra k),

Cuando se puede atribuir una distribución normal (gausiana) al mensurando y la incertidum-

bre típica asociada a la estimación de salida tiene la suficiente fiabilidad, debe utilizarse el fac-

tor de cobertura usual k = 2. La incertidumbre expandida asociada corresponde a una probabili-

dad de cobertura de, aproximadamente, un 95%. Estas condiciones se cumplen en la mayoría de

los casos. De no ser así se debe hacer un estudio más complejo que involucra el análisis de los

denominados grados de libertad y el factor t-student (para esto consultar el GUM).

Resultado de la medida del mensurando y

El resultado de la medida se reportará como,

Presupuesto de incertidumbre Declaración de una incertidumbre de medida, de los componentes de esa incertidumbre, y de su cálculo y combinación

NOTA

El presupuesto de incertidumbre debería incluir el modelo de medición, estimados de las in-certidumbres de medición de las magnitudes en el modelo de medición, covarianzas, tipo de funciones de densidad de probabilidad consideradas, grados de libertad, tipo de evaluación de

la incertidumbre y factor de cobertura. El presupuesto de incertidumbre se suele presentar en forma de hoja de cálculo. A coninua-

ción se ilustran varios ejemplos.

Ejemplo 1: Para medir la distancia entre dos puntos A y B se hacen 10 mediciones bajo condiciones de

repetibilidad con una cinta métrica cuya minima division está en mm y se obtuvieron como

resultados, en cm: 120,2; 119,2; 118,3;120,1;120,3;118,7;120,4;119,7;118,7;120,2. Hacer el

presupuesto de incertidumbre y reportar la medida con un factor de cobertura de 2.


( )yukU c =

Uy ±



Como la medida es directa el modelo es muy simple (diríamos que trivial):

El valor de la medida y, distancia entre los puntos A y B, es el promedio de los resultados de las 10 mediciones:

Se considerarán dos fuentes de incertidumbre en la medida de esta longitud: la apreciación del instrumento de medida y la desviación estándar de la media de las medidas repetidas.

La incertidumbre estándar asociada con la apreciación del instrumento es (se asume distribución rectangular):

La incertidumbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación estándar de

la media (se asume distribución gaussiana):

Hay un sólo coeficiente de sensibilidad:

La incertidumbre estándar combinada es:

En la tabla 1 se ilustra el presupuesto de incertidumbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el

resultado de la medición.

ly =

m 8 195,1=y

11 ===dl

dycc l

[ ] [ ] ( ) ( ) m 771 505 002,022

21

22

21 =+=+= llllllc uuucucu

m 68 288 000,012

m 001,01 ==lu

m 3 087 489 002,02 ==llu σ





MEN-

SURANDO

S

Medidas

Xi Fuentes de incer-

tidumbre

Tipos de dis-

tribución

Incertidumbres

Estándar u(xi)

Coeficientes

de sensibildad

Contribuciones de cada

fuente de incertidumbre

Longitud

X1=

l =

1,1958 m

Apreciación de la

cinta métrica

Rectangular

u1

l = 0,000 288 68 m

c 1=c l=1

c l u

1l=0,000 288 68 m

Repetibilidad

Gaussiana

u2

l= 0,00 2 489 087 3 m

c l u

2l=

0,00 2 489 087 3

m

La medida de

y con un factor de cobertura de 2

se reportará como l±

2u

c: 1,196 m ± 0,005 m

La incertidumbre combinada

uc es: u

c = [(c

l u

1l)2+(c

l u

2l)2 ]1/2 = 0,0025 m

Tabla 1




Ejemplo 2: Para obtener el periodo P de un péndulo simple se midió con un cronómetro digital que

marca hasta centésimas de segundo 10 veces el tiempo que inivirtió en hacer 10 oscilaciones

siendo los resultados en s: 22,15; 21,83; 21,92; 22,24; 22,09; 21,40; 21,79; 22,38; 22,21;

21,67. Hacer el presupuesto de incertidumbre y reportar la medida con un factor de cober-tura de 2.

Aquí la medida es indirecta y el modelo es (el mensurando que se mide indirectamente es

y=P):

El valor de la medida del tiempo para las 10 oscilaciones es el promedio:

La medida para el periodo es,

Se considerarán dos fuentes de incertidumbre en la medida del tiempo en este experimento:

la apreciación del instrumento de medida y la desviación estándar de la media de las medidas repetidas.

La incertidumbre estándar asociada con la apreciación del instrumento es (se asume dis-tribución rectangular):

La incertidumbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación están-

dar de la media (se asume distribución gaussiana):

10

tP =

s 968,21=t

s 8 196,210

s 968,21 ==P

s 8 886 002,012

s 01,01 ==tu

s 67 146 095,02 == ttu σ




10

11 ===

dt

dPcc t

[ ] [ ] s 2 045 19 5 009,010

1

10

12

2

2

12

22

1 =

+

=+= ttttttc uuucucu



En la tabla 2 se ilustra el presupuesto de incertidumbre. En el mismo, en la última fila, se reporta

el resultado de la medición.

Ejemplo 3: Para medir la gravedad g se empleó un péndulo simple. Si la medida de la longitud l de este

péndulo corresponde a los datos en el ejemplo 1 y la medida de su periodo P corresponde a los

datos del ejemplo 2, reportar el valor de la aceleración de la gravedad con un factor de cobertura de 2 empleando el modelo de péndulo simple para pequeñas oscilaciones y hacer un presupuesto de incertidumbre.

Aquí la medida es indirecta y el modelo es (el mensurando que se mide indirectamente es y=P):

La incertidumbre combinada para la medida de la aceleración de la garvedad, ucg es:

en donde ucl y ucP corresponden a las respectivas incertidumbres combinadas de la longitud y del periodo ya reportadas en los presupuestos de incertidumbre de los ejemplos 1 y 2, es decir,

2

242

P

lg

g

lP

ππ =⇒=

22cPPcllcg ucucu +=

m 0025,0=clu s 01,0=cPu

MENSURAN-

DOS

Medidas

Xi Fuentes de incer-

tidumbre

Tipos de dis-

tribución

Incertidumbres

Estándar u(xi)

Coeficientes

de sensibil-

dad

Contribuciones de cada

fuente de incertidumbre

Tiempo

X1=

t =

21,968 s

Apreciación del

cronómetro

Rectangular

u1

t= 0,002 886 8 s

c 1= c

t= 0,1

c t u

1t=

0,000 288 68 s

Repetibilidad

Gaussiana

u2

t= 0,095 146 67 s

c t

u2

t= 0,009 514 667 s

La medida de

PP con un factor de cobertura de 2

se reportará como P

±2

uc:

2,20 s ± 0,02 s


uc es: u

c = [(c

t u

1t)2+(c

t u

2t)2 ]1/2 = 0,01 s

Tabla 2







y los coeficientes de sensibilidad cl y cP son,

siendo l y P los valores reportados en los presupuestos de incertidumbre de los ejemplos 1 y 2, es

decir,

y por lo tanto,

Calculando la incertidumbre combinada en la medida de la gravedad se obtiene,

El valor calculado de la gravedad reemplazando los valosres de l y P en el modelo es,

Por lo tanto el reporte del valor de g con un factor de cobertura de 2 es,

El valor convencionalmente verdadero reportado en la ciudad de Medellín (donde se realizó el experimento) es 9,78 m s

-2 por lo que el porcentaje de error es del 0,20 % . El presupuesto de in-certidumbre se ecnuentra en la tabla 3.

Se observa en el resultado que aunque el error fue muy bajo la incertidumbre relativa fue mucho más alta: para un 68% de confianza es de 0,9 % y para el 95% de confianza de 1,8 %. Si se anali-

zan bien las medidas se observan unas desviaciones estándar altas comparadas con las aprecia-

ciones de los instrumentos; estas se pueden disminuir sustancialmente siendo más cuidadosos con

las medidas.

3

28

P

l

P

gcP

π−=∂∂=

2

24

Pl

gcl

π=∂∂=

m 196,1=l s 20,2=P

-2s 478 180,8=lc -3s m 787 905,8−=Pc

[ ] [ ] 2-2-22 s m 47 218 087,0s m 01,0877 905,80025,0478 180,8 =×−+×=cgu

-2s m 215 782,9=g

-2-2 s m 2,0 s m 8,9 ±=g




En el presupuesto de incertidumbre además de las tablas 1 y 2 se reporta la tabla 3:

Ejemplo 4: Para determiner la masa m de una muestra se realizan cinco medidas en una balanza digital con

apreciación de 0,01 g y se obtienen los siguientes resultados en g: 3 001,01; 3 001,00; 3 001,02;

3 001,02; 3 001,00. Adicionalmente se conoce de la hoja técnica de la balanza que su EMP (Error Máximo Permisible) en el rango de medición entre 2 000 g y 4 100 g es ± 0,03 g. Elaborar un presupuesto de incertidumbre y reportar el valor de la medida con un factor de cobertura de 2. Nota: El EMP de un instrumento de medición es el valor extremo del error permitido por especi-ficacioes, reglamentos, etc.

Como la medida es directa el modelo es muy simple (diríamos que trivial):

El valor de la medida y, masa de la muetsra, es el promedio de los resultados de las 5 mediciones:

Se considerarán tres fuentes de incertidumbre en la medida de esta masa: la apreciación del istru-mento de medida, la desviación estándar de las medidas repetidas y el EMP reportado en la hja técnica.

La incertidumbre estándar asociada con la apreciación del instrumento es (se asume distribución rectangular):

Mensurandos Medida Incertidumbre estándar Coeficiente de sensibilidad

Longitud 1,196 m 0,0025 m 8,180 478 s–2

Periodo 2,20 s 0,01 s –8,905 877 m s–3

Gravedad La incertidumbre combinada: ucg = 0,09 m s–2

Reporte de la medida de g con un factor de cobertura de 2: 9,8 m s–2 ±0,2 m s–2

Tabla 3

my =

g 01,001 3=y

g 9 002,012

g 01,01 ==mu




La incertidumbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación están-

dar de la media (se asume distribución gaussiana):

La incertidumbre asociada con el EMP (se asume distribución rectangular):



En la tabla 4 se ilustra el presupuesto de incertidumbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resultado de la medición.

Ejemplo 5: En el laboratorio se dispone de un Diodo Láser de 650 nm de longitud de onda λ (reportada por el fabricante) del cual se desconoce los detalles de su información metrológica. Mediante

el experimento de difracción de Fraunhofer a través de una rendija rectangular, se pretende

verificar el valor de esta longitud de onda. Para medir las distancias se empleó una cinta

métrica cuya apreciación es 1 mm y la rendija rectangular empleada es la referencia Pasco OS-9165 de niquel de ancho b=0,040 mm cuya tolerancia es ± 0,002 mm. Para una distancia de d=80,0 cm de la rendija a la pantalla se repitió seis veces la medida de la distancia δ entre el máximo central y el primer mínimo en el patrón de difracción y se obtuvieron los siguientes

valores en cm: 2,6; 2,7; 2,5; 2,5; 2,5; 2,4. Hacer el presupuesto de incertidumbre y reportar la medida con un factor de cobertura de 2.

Aquí la medida es indirecta y el modelo es (el mensurando que se mide indirectamente es

y=λ):

g 5 004,02 == mmu σ

g 3 017,012

g 06,03 ==mu

11 ===dm

dycc m

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) g 1 018,023

22

21

23

22

21 =++=++= mmmmmmmmmc uuuucucucu




MENSURAN-

DOS

Medidas

Xi

Fuentes de in-

certidumbre

Tipos de

distribución

Incertidumbres

Estándar u(xi)

Coeficientes

de sensibil-

dad

Contribuciones de

cada fuente de incer-

tidumbre

Masa

X1=

m =

3 001,01 g

Apreciación de

la balanza

Rectangular

u1

m =

0,002 9 g

c m u

1m

=0,002 9 g

Repetibilidad

Gaussiana

u2

m=

0,004 5 g

c m u

2m

= 0,004 5 g

EMP

Rectangular

u3

m=

0,0173 g

c m u

3m

= 0,0173 g


uc es: u

c = [(c

m u

1m)2+(c

m u

2m)2 +(c

m u

3m)2]1/2 = 0,018 1 g

La medida de


se reportará como m

±2

uc:

3 001,01 g ± 0,04 g

c 1=c m=1

Tabla 4

Las fuentes de incertidumbre que se considerarán son: en el valor de b la tolerancia reportada por el fabricante; en la medida de δ la apreciación de la cinta métrica y la desviación estándar de la media debido a medidas repetidas; en la medida de d la apreciación de la cinta métrica.

Incertidumbre estándar debido a la tolerancia del ancho b de la rendija reportada por el fabri-

cante (se supone distribución rectangular):

Incertidumbre estándar debido a la apreciación de la cinta métrica en la medida de δ (se supone distribución rectangular):

Incertidumbre estándar debido a las medidas repetidas de δ (se supone distribucuión gaussiana: por lo tanto es igual a la desviación estándar de la media):

Incertidumbre estándar debido a la apreciación de la cinta métrica en la medida de d (se supone

distribucuión rectangular):

El valor promedio de δ es:

El valor del mensurando λ es:




d

b

2

δλ =

m 53 577 000 000,012

mm 004,0 ==bu

m 675 288 000,012

mm 11 ==δu

m 63 421 0,0002 =δu

m 675 288 000,012

mm 1 ==du

m 3 333 025,0=δ

m 5 332 633 000 000,0m 80,02

m 0253333,0m 00004,0

2=

××==

d

bδλ




Los coeficientes de sensibilidad son:

La incertidumbre estándar combinada de la medida de λ es:

En la tabla 5 se ilustra el presupuesto de incertidumbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resultado de la medición.

333 833 015,00,8002

33 025,0

21 =×

==∂∂==

dbcc b

δλ

025 000,0800,02

04 000,0

22 =×

==∂∂==

d

bcc

δλ

δ

( )7 791 000 000,0

800,02

02533,000004,0

2 223 −=×

×−=−=∂∂==

d

b

dcc d

δλ

[ ] [ ] [ ] [ ] m 7 015 000 000,0222

21

2 =+++= ddbbc ucucucucu δδδδ




Tabla 5: (*) En algunas situaciones es conveniente reportar la incertidumbre

con dos cifras significativas con el objeto de dar mayor claridad.

MEN-

SURANDOS

Medidas

Xi

Fuentes de

incertidum-

bre

Tipos de

dis-

tribució

n

Incertidumbres

Estándar u(xi)

Coeficientes de sensi-

bildad

Contribuciones de cada fuente de incer-

tidumbre

Ancho de la

rendija, b

X

1=

b=0,00004 m

Tolerancia

Rectan-

gular

ub=

O,000 000 577 35 m

c 1= c

b= 0,015 833

c bu

b= 0,000 000 009 1

Distancia

entre máximo

central y

primer

mínimo, δ

X2=

δ=0,025 333 3 m

Apreciación

de la cinta

métrica

Rectan-

gular

u1δ=

O,000 288 675 m

c 2= c

δ= 0,000 025

c δu

1δ=

0,000 000 007 2

Repetibili-

dad

Gaussi-

ana

u2δ=

O,000 421 63 m

c δu

2δ=

0,000 000 010

Distancia de

la rendija a la

pantalla, d

X3=

d=0,80 m

Apreciación

de la cinta

métrica

Rectan-

gular

ud=

O,000 002 886 75 m

c 3= c

d= –0,000 000 791

c du

d= 0,000 000 000 2


uc es:

uc = [(c

b u

b)2+(c

δ u

1δ)2 +(c

δ u

2δ)2 +(c

dud)2]1/2 = 0,000 000 016 m

La medida de


se reportará como λ±

2u

c: 6

33 nm ± 32 nm (*)




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Escuela de Física Correo: [email protected] Profesor Diego Luis Aristizábal R Correo: [email protected]

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