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Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física Profesor Asociado

Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia

Roberto Fabián Retrepo A., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia

Carlos Alberto Ramírez M., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Física

Universidad Nacional de Colombia

GU

ÍA 4

Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

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Análisis dimensional

Objetivo General Realizar análisis dimensional en el ISQ (Sistema Internacional de Magnitudes). Objetivos específicos Analizar las denominadas ecuaciones dimensionales. Estudiar el principio de homgeneidad dimensional

Introducción Se abordarán el concepto de dimension y conceptos relacionados con el mismo con base en la última version del VIM (Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología — versión 2008 —). En color verde se dará la definición tal cual aparece en el VIM; en algunos casos se complementará con una breve explicación. Definiciones básicas Magnitud de base

Magnitud de un subconjunto elegido por convención de un sistema de magnitudes dado, de manera que ninguna magnitud del subconjunto pueda ser expresada en función de las otras. NOTA Las magnitudes de base son consideradas como mutuamente independientes pues una magnitud de base no puede ser expresada por un producto de potencias de las otras magnitudes de base. Se puede considerar la magnitud “número de entidades” como una magnitud de base en todo sistema de magnitudes. Magnitud derivada

Magnitud, en un sistema de magnitudes. definida en función de sus magnitudes de base EJEMPLO En un sistema de magnitudes que contenga las magnitudes de base longitud y masa, la densidad de masa es una magnitud derivada definida como el cociente de una masa por un volumen (longitud al cubo).


Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín

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Sistema Internacional de Magnitudes (ISQ) Sistema de magnitudes con base en las siete magnitudes de base: longitud, masa, tiempo, cor-riente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa. Ver tabla 1. Sistema internacional de Unidades (SI ) Sistema coherente de unidades con base en el Sistema Internacional de Magnitudes, sus nom-bres y símbolos, y una serie de prefijos con sus nombres y símbolos, y las reglas para su uti-lización, adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM). Ver tablas 1 y 2.

Magnitud de base Unidad de base Nombre Nombre Símbolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eléctrica ampere A

temperatura termodinámica kelvin K cantidad de sustancia mol mol

intensidad luminosa candela cd

Magnitud derivada Unidad derivada coherente Nombre Nombre Símbolo

área metro cuadrado m2

velocidad metro por segundo m∙s—1

aceleración metro por segundo cuadrado m∙s—2

fuerza Newton N trabajo, energía Joule J

potencia Watt J∙s—1

presión Pascal N.m—2

Tabla 2: Algunas magnitudes y unidades derivadas coherentes en el SI

Tabla 1: Unidades y magnitudes base en el SI



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Dimensión de una magnitud Expresión de la dependencia de una magnitud en términos de las magnitudes de base de un sistema de magnitudes, como un producto de potencias de factores que corresponden a las mag-nitudes de base, en el que se ha omitido todo factor numérico. EJEMPLOS En el ISQ, la dimensión de la fuerza es dim F = LMT

-2 En el mismo sistema de magnitudes, ML

-3 es la dimensión de la concentración de masa y

también la de la densidad de masa. NOTAS Una potencia de un factor es el factor elevado a un exponente. Cada factor es la di-

mensión de una magnitud de base. Por convención, la representación simbólica de la dimensión de una magnitud de base es

una letra mayúscula única en caracteres romanos (rectos) con líneas del mismo grueso sin remates. Por convención, la representación simbólica de la dimensión de una magnitud derivada es el producto de potencias de las dimensiones de las magnitudes de base con-forme a la definición de la magnitud derivada. La dimensión de la magnitud Q se denota como dim Q.

Para establecer la dimensión de una magnitud, no se tiene en cuenta el carácter escalar, vectorial o tensorial de la misma.

En un sistema de magnitudes dado, las magnitudes de la misma naturaleza tienen la mis-ma dimensión, las magnitudes de dimensiones diferentes son siempre de naturaleza diferente, y las magnitudes que tienen la misma dimensión no son necesariamente de la misma naturaleza, por ejemplo la magnitud trabajo y la magnitud torque o momento de una fuerza.

En el Sistema Internacional de Magnitudes (ISQ) las dimensiones de las magnitudes de base son: longitud (L), masa (M), tiempo (T), corriente eléctrica (I), temperature termod-inámica (Θ), cantidad de sustancia (N), intensidad luminosa (J). Por tanto, la dimensión de una magnitud Q es

dim Q = L

a M

b T

c I

d Θ

e N

f J

g

donde los exponentes, llamados exponentes dimensionales, pueden ser positivos, nega- tivos o nulos. Ver ejemplos en la tablas 3 y 4.


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Tabla 3 Ejemplos de unidades SI derivadas, expresadas a partir de las unidades básicas

Tabla 4 Ejemplos de dimensiones de algunas magnitudes en el ISQ

con nombres especiales y símbolos particulares

Magnitud derivada Unidad en el SI Dimensión en el ISQ

Área m2 dim A=L2

Volumen m3 dim V=L3

Velocidad m∙s—1 dim v=L T —1

Aceleración m∙s—2 dim a=L T —2

Densidad volumétrica de masa kg∙m—3 dim ρ =M L—3

Concentración (de cantidad de sustancia) mol∙m—3 dim c=N.L—3

Torque N.m=kg∙m2∙s—2 dim T=M L2 T -2

Tensión superficial N∙m—1=kg∙s—2 dim σ =M T—2

Calor específico J∙kg—1∙K —1=m2∙s —2∙K —1 dim c=L2 T —2Θ —1

Magnitud derivada Nombre unidad

Unidad en el SI Dimensión en el ISQ

Fuerza newton N=kg∙m∙s—2 dim F=M L T-2

Presión pascal Pa=N∙m—2=kg∙m—1∙s—2 dim P=M L—1 T —2

Trabajo, Energía y Calor Joule J=N∙m=kg∙m2∙s—2 dim W=dim E=dim Q=M L2 T—2

Frecuencia hertz Hz=s—1 dim f = T—1

Carga eléctria coulomb A∙s dim q =I T

Potencial eléctrico voltio V=m2∙kg∙s—3∙A—1 dim V=L2 M T —3 I—1

Resistencia Eléctrica ohmio Ω=m2∙kg∙s—3∙A—2 dim R=L2 M T —3 I—2

Flujo magnético weber Wb=m2∙kg.s—2∙A—1 dim φB=L2 M T —2 I-1

Flujo luminoso lumen lm=cd∙sr—1 = cd dim φl =J

Iluminancia lux lx=lm∙m—2 Dim i =J L—2


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Magnitud de dimensión uno (o magnitud sin dimension) Magnitud para la cual todos los exponentes de los factores correspondientes a las magnitudes de base que intervienen en su dimensión son nulos NOTAS El término “magnitud sin dimensión” es de uso común por razones históricas. Proviene del

hecho de que todos los exponentes son nulos en la representación simbólica de la dimensión de tales magnitudes. El término “magnitud de dimensión uno” refleja la convención según la cual la representación simbólica de la dimensión de tales magnitudes es el símbolo 1.

Las unidades de medida y los valores de las magnitudes sin dimensión son números, pero estas magnitudes llevan más información que un número.

Ciertas magnitudes sin dimensión son definidas como las relaciones de dos magnitudes de la misma naturaleza.

EJEMPLOS Ángulo plano, ángulo sólido, índice de refracción, permeabilidad relativa, fracción de masa, factor de fricción, número de Mach. Las magnitudes sin dimensión pueden ser números de entidades. EJEMPLOS Número de vueltas de una bobina, número de moléculas en una muestra determinada, de- generación (número de niveles de energía) en mecánica cuántica. Ver tabla 5. Magnitud ordinal (o magnitud referenciable) Magnitud definida por un procedimiento de medición adoptado por convención, que puede ser clasificada con otras magnitudes de la misma naturaleza según el orden creciente o decreciente de sus expresiones cuantitativas, pero para la cual no está definida relación algebraica alguna entre es-tas magnitudes. EJEMPLOS : dureza Rockwell C, índice de octano para carburantes, magnitud de un sismo en la escala de Richter. NOTAS Las magnitudes ordinales solamente pueden tomar parte en las relaciones empíricas y no

tienen unidades de medida, ni dimensiones. Las magnitudes ordinales se ordenan según escalas ordinales.


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Tabla 5 Ejemplos de magnitudes de dimensiónl 1

Principio de homogeneidad dimensional Si una ecuacion es dimensionalmente correcta, es porque cada uno de sus componentes en una adi-cion sustraccion o igualdad, poseen la misma dimension. Ejemplo:

A + B = C — DF entonces,

dim A=dim B=dim C=dim (DF)= dim D . Dim F Este principio es muy intuitivo pues es obvio que no se puede sumar una longitud y una masa.

La homogeneidad dimensional implica que los argumentos de las funciones exponenciales, loga-rítmicas y trigonométricas deben ser adimensionales.

Ejemplo: Debido a los efectos de rozamiento, la amplitud A de un oscilador decrece exponencialmente con el tiempo t. Es decir, Solución: La homogeneidal dimensional exige que la dim A= dim A0 y dim (k t)=1. Por lo tanto,

dim A=L

dim k=T -1

Magnitud Nombre unidad Unidades en el SI Dimensión

Índice de refracción (el número) uno 1 1

Ángulo plano radián rad=m∙m—1 1

Ángulo sólido estereoradián sr=m2∙m—2 1

tkeAA

0


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Ejemplos Ejemplo: Se observa que el período P de un péndulo que realiza oscilaciones de pequeña amplitud no de-pende de la masa. Si este período se puede escribir como un producto de potencies de las magni-tudes longitud l y aceleración de la gravedad g , mostrar mediante análisis dimensional (en el ISQ) que, Solución: Con base en el enunciado se puede escribir, En donde c es una constante adimensional. Haciendo el análisis dimensional en el ISQ de las magnitudes que inetrvienen se obtiene,

y por lo tanto: obteniéndose que, es decir,

g

lcP

ba gclP

12

0

b

ba

b-ba 2TLLT

2

1y

2

1 ba

g

lcP


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Ejercicio 1

Ejercicio 2 Determinar si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea en el ISQ, donde F es la fuerza, x el desplazamiento, v la rapidez, a la aceleración, m la masa y t el tiempo. Ejercicio 3 La ecuación de la elongación y en función del tiempo t de un oscilador armónico se expresa co-mo,

y = A sen (wt+ φ0)

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo. Determinar las dimensiones de las magnitudes w y φ0 en el ISQ. Ejercicio 4 El ascenso h del agua a través de un tubo capilar es proporcional a la tension superficial σ del líquido y depende del radio r del tubo, de la densidad d del líquido y de la aceleración de la grave-dad g . Si se supone que el ascenso capilar se puede expresar como un producto de potencias de esas magnitudes características, mostrar mediante análisis dimensional (en el ISQ) que,

siendo c una constante de poporcionalidad adimensional.

Suponer que las magnitudes fundamentales de la mecánica son fuerza (F), masa (M) y longitud (L) . Con base en esto, escribir las fórmulas dimensionales de: tiempo t, aceleración a, energía E, potencia P y presión p. Rp. dim t = F —1/2 M1/2 L1/2 , dim a = F M—1 , dim E = F L , dim P = F 3/2 M—1/2 L1/2 , dim p = F L—2

mvavdt

dmFdx

dt

dx

2

02

1

rdgch


Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Escuela d Física

Correo: [email protected]

Profesor Diego Luis Aristizábal R

Correo: [email protected]

Referencias [1] BIPM (Bureau International des Poids et Mesures), VIM 2008, [WEB] http://

www.bipm.org/en/ publications/guides/vim.html [último acceso, julio 05 de 2010) France, 2010.

[2] SENA L. A., Unidades de las Magnitudes físicas y sus dimensiones, Editorial MIR, Moscú, 1979. [3] TAYLOR, J.R., An Introduction To Error Analysis, the study of uncertainties I physical measure-

ments, University Science Books, Edición 2, Sausalito, California, 1982. [4] MAIZTEGUI A.P., Introducción a las Mediciones de Laboratorio, Kapeluz, Buenos Aires,

1980.


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