PROYECTO FINAL: EQUILIBRIO LIQUIDO VAPORANÁLISIS NUMERICO NATALIA BURGOS URIBE DAYANA R FIGUEROA RESUMEN El siguiente informe desarrolla el método de NEWTON-RAPHSON en MATLAB, aplicado como una solución numérica a problemas típicos dentro de la ingeniería química como son el equilibrio liquido vapor y la determinación de propiedades características de este estado como son la temperatura y las composiciones. INTRODUCCIÓN Varios procesos industriales importantes, por ejemplo, destilación, absorción y extracción, ponen en contacto a dos fases entre las que, cuando no están en equilibrio, se efectúa una transferencia de masa. La velocidad de transferencia de cada especie depende de la separación del sistema respecto al equilibrio ( T,P.X ,Y) del sistema. En la mayor parte de los procesos industriales las fases que coexisten son vapor y liquida aunque también se han encontrado sistemas liquido liquido, vapor –sólido y y liquido sólido.. A continuación haremos un planteamiento de un problema en donde se requiere conocer el comportamiento en el equiibrio para un sistema liquido vapor y los cálculos correspondientes para determinar la temperatura y composiciones de las fases de este sistema. PROBLEMA: Considere un liquido en equilibrio con su vapor. Si el liquido esta formado por los componentes 1,2,3,4; con los datos dados a continuación calcule la temperatura y la composición del vapor en el equilibrio a la presión total de 75 psia. COMPONENTE

Composición del Liquido% mol

Presión de vapor del componente Puro (psia) a150K a 200K

1 10.0 25.0 200.0 2 54.0 14.7 60.0 3 30.0 4.0 14.7 4 6.0 0.5 5.0

Para resolver este problema se plantean las siguientes ecuaciones: Para la presión de vapor: ln (pio ) = Ai + Bi /T 1 (1)

Donde i =1,2,3,4 y Ten K. La presión total del sistema será: PT = ∑ Pi 2 Considerando que la mezcla de estos cuatro componentes, a las condiciones de presión y temperatura dadas, obedecen las leyes de Raoult y de Dalton. PT = ∑ pi0 xi ( 3) Donde: pi0 = Presión de vapor de cada componente. PT = presión total del sistema. Pi = Presión parcial de cada componente. xi = Fracción mol de cada componente en el liquido. De la ecuación de presión de vapor se tiene que Pio = Ai + Bi /T 1 i= 1,2,3,4 Despejando piº de 1 y reemplazándola en 3 tenemos: PT = ∑ xi exp ( Ai + Bi/T) Entonces despejando nos queda una ecuación la cual es funcion de la temperatura. La ecuación es la siguiente: f(T) = PT - ∑ xi exp (Ai + Bi/T) = 0 (4) Para obtener Ai y Bi realizamos el siguiente procedimiento: Hacemos p1º, i = presión de vapor del componente i a T1 =150 K p2º,i = presión de vapor del componente i a T2 = 200 K Entonces Ln (p1º,i ) = Ai + Bi/T1 i = 1,2,3,4 (5) Ln (p2º,i) = Ai + Bi/T2 i = 1,2,3,4 (6) Restando estas ecuaciones se tiene Ln (p1º,i / p2º,i) = Bi ( 1/T1 – 1/T2 ) De donde Bi = (ln p1º,i / p2º,i ) / ( 1/T1 – 1/T2 ) Reemplazando estos valores conocemos Bi y podemos obtener Ai de la ecuación (4). VALORES INICIALES Ahora para hallar un valor inicial de T para resolver la ecuación 4, se considera el componente dominante de la mezcla que en este caso de acuerdo a los datos dados en la tabla es el componente 2, y se usa PT en lugar de p2º en la ecuación 1 que es la de presión de vapor. Es decir,

Ln (PT) = A2 + B2 / T De donde T = B2 / ln ( PT ) – A2 Con este resultado inicial y las consideraciones ya mencionadas, utilizamos el método de NEWTON - RAPHSON para hallar la temperatura del sistema (temperatura de burbuja) en el equilibrio. METODO DE NEWTON - RAPHSON Xi +1 = xi – f (xi) / f’’ (xi) Donde: f’’ (T) = - ∑ xi exp ( Ai + Bi / T ) * ( - Bi / T2 ) Y= f (T) = PT - ∑ xi exp (Ai + Bi/T) = 0 ALGORITMO UTILIZADO Para encontrar una raíz de la ecuación f ( xi+1) = 0, proporcionar la función f ( xi ) y su derivada df( xi ) y los datos: DATOS: Valor inicial x0, criterio de convergencia (EPS) o error absoluto, criterio de exactitud (EPS1) y numero máximo de iteraciones MAXIT. RESULTADOS: La raiz aproximada x o un mensaje de falla. PASO 1: Hacer I = 1 PASO 2: Mientras I< MAXIT, repetir los pasos 3 a 7. PASO 3: Hacer x1 = x0 – f( x0 ) /df (x0 ) (calcula xI ) PASO 4: Si ABS (x1 – x0 ) < EPS, entonces IMPRIMIR x1 y TERMINAR. De otro modo CONTINUAR. PASO 5: Si ABS (f(x1) ) < EPS1 , entonces IMPRIMIR x1 y TERMINAR. De otro modo CONTINUAR. PASO 6: Hacer I = I + 1. PASO 7: Hacer x0 = x1 PASO 8: IMPRIMIR mensaje de falla ‘’ EL METODO NO CONVERGE A UNA RAIZ ‘’ y terminar. EL PROGRAMA UTILIZADO EN MATLAB ES EL SIGUENTE: Función que permite calcular la temperatura de equilibrio. function natalia clc clear all fprintf('----------------\n'); fprintf('-------------- CALCULO DE TEMPERATURAS DE EQUILIBRIO -------\n');

fprintf('----------------------------------------\n\n'); P1 = [ 25; 14.7; 4.0; 0.5 ]; P2 = [ 200.0; 60.0; 14.7; 5.0 ]; T1 = 150 ; T2 = 200 ; B = log ( P1 ./ P2 ) / ( 1/T1 - 1/T2 ); A = log ( P1) - B/T1 ; X = [ 0.10; 0.54; 0.30; 0.06 ]; PT = 75; I = 0; f =1; EPS = 0.000001; T = B (2 ) / ( log ( PT) - A (2 ) ); fprintf (' T f(T) \n', T, f ) while (abs(f)>eps)&(I<10) f = PT - sum ( X.* exp (A + B/T)); df = sum(X.*exp(A+B/T).*(B/T^2)); T1 = T - f / df; fprintf ('%10.2f %8.2e\n',T,f) T = T1; i = i + 1; end fprintf ('\n\n y(i) \n') for i = 1:4 y(i) = (X(i)*exp (A(i) + B(i) / T)) /PT; fprintf ('%10.4f \n', y(i)); end RESULTADOS Y DISCUSIONES: Temp. del sistema (Temp.de Burbuja) = 209.07 K. Composición del vapor en el equilibrio Componente (i) yi

1 0.3761 2 0.5451 3 0.0729 4 0.0059

El método ofrece una gran exactitud ala hora de hacer análisis puramente numérico, es confiable al ser comparado con los datos conocidos en la literatura. CONCLUSIONES: 1. El método utilizado fue el apropiado ya que solo se necesitaron de cuatro iteraciones para obtener un resultado bastante aproximado al valor real y podemos decir entonces que el método es de rápida convergencia.

2. Analizando un poco el método podemos observar que este solo es útil si la raíz hallada es real y por lo tanto habrá convergencia de lo contrario no existirá convergencia y esto ocurre en casos en los cuales la raíz es un punto de inflexión, no hay raíz real o si el valor inicial esta muy alejado de la raíz buscada y alguna otra parte de la función atrapa la iteración. 3. El método de NEWTON-RAPHSON requiere la evaluación de la primera derivada de f(x), este requisito parecería sin importancia pero no lo ya que estos son problemas reales, donde la función f(x) esta dada en forma tabular 4. seria importante resaltar que que existen algunos métodos para resolver f(x) = 0 que no requieren el calculo de f ’(x) pero que tienen las propiedades favorables de convergencia del método de NEWTON-RAPHSON.

BIBLIOGRAFÍA

1. CHAPRA, S.C. y Canale, R. Métodos Numéricos para ingenieros Editorial McGraw-Hill,México,1989.

2. apuntes de clase 3. Nakamura, Análisis Numerico y

Visualización Grafica con Matlab Math Works Inc. Y Prentice may, México, 1997.

4. SMITH, Van Ness. Abbott. Introducción a la

Termodinámica en Ingeniería Química Editorial McGraw-Hill,México, 2001.