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Apuntes

Matemáticas 2º de bachillerato

Tema 1

Gráficas de funciones

Tema 1: Gráficas de funciones


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1.1 Gráficas de funciones

a) Función constante: f(x) = k

b) Recta vertical: x = k

c) Función lineal: f(x) = mx

Todas pasan por el origen O(0, 0).



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d) Función afín: f(x) = mx + n

e) Parábolas: f(x) = ax2 + bx + c

Cálculo del vértice: xv =− b

2a



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f) Función cúbica y polinómica de grado mayor que 3

Para representarlas gráficamente basta con estudiar los puntos de corte con los ejes y

los extremos relativos (máximos y mínimos). No tienen asíntotas. D = R.

g) Función exponencial:

𝑆𝑖 𝑎 > 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Las funciones exponenciales son siempre positivas, sus gráficas transcurren siempre por

encima del eje OX, de ahí que las ecuaciones del tipo:

ex2+x−2 = −3

2x = 0 no tengan solución. Dominio: D = R, salvo que el exponente contenga alguna

discontinuidad.



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h) Función logarítmica:

𝑆𝑖 𝑎 > 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

Los logaritmos surgen de despejar el exponente en una ecuación exponencial

ay = x ⇔ y = loga x

Por eso, la función exponencial y la logarítmica son simétricas con respecto a la

bisectriz del primer cuadrante (y = x).

Siempre que tengamos una función logarítmica habrá que hallar su dominio, es decir,

aquellos valores de x para los cuales el argumento del logaritmo es positivo.

Ejemplos:



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1. Halla el dominio de f(x) = ln (x2 – 1)

2. Representa gráficamente la función f(x) = ln |x| . 3. Representa gráficamente la función f(x) = |ln x|.

i) Función valor absoluto

Podemos encontrarnos con dos tipos de funciones con valor absoluto.

1. Valor absoluto de la función, por ejemplo, y = |f(x)| = {f(x) si f(x) ≥ 0− f(x) si f(x) < 0

.

Con estas funciones procederemos de la manera siguiente:

a) Determinar los puntos de corte de f(x) con el eje OX.

b) Estudiar los signos de f(x).

c) Los intervalos positivos se quedan como estaban y los negativos se cambian de

signo. En la gráfica, la parte de la función que queda por debajo del eje OX se

reflejará en él, quedando por encima de dicho eje.

Ej.: Representa la

siguiente función: f(x) = |x − 2|

x – 2 = 0 x = 2

Ejercicios:

Representa las siguientes funciones

a) f(x) = |3 − x| b) f(x) = |2x + 4| c) f(x) = | x2 − 5x + 4|

2. Valor absoluto de la variable x, por ejemplo, y = f(|x|) = {f(−x) si x < 0 f(x) si x ≥ 0

Para representarla gráficamente, primero dibujaremos la función f(x) para los

valores positivos de x (a la derecha del eje OY). A la izquierda del eje OY

anotaremos los simétricos respecto al eje vertical.



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Ejercicio: Representa la función f(x) = |x|2 − 4|x| + 1

3. Valor absoluto en la región, pero no en la función.

f(x) = {x2 + 1 si |x| < 2 x + 1 si |x| ≥ 2

j) Funciones trigonométricas

Siempre las representaremos en radianes, nunca en grados.



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f(x) = sen x

f(x) = cos x

f(x) = tg x

k) Función raíz

cuadrada: f(x) = √x



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La función anterior es la función inversa de f(x) = x2, de ahí que sean simétricas con

respecto a la bisectriz del primer cuadrante (y = x).

l) Raíz cúbica: f(x) = √x3

m) Hipérbolas: f(x) = 1

x−a



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n) Traslaciones

Tipo 1: y = f(x – a) traslada a unidades a la derecha

y = f(x + a) traslada a unidades a la izquierda

Tipo 2: y = f(x) + a traslada a unidades hacia arriba

y = f(x) – a traslada a unidades hacia abajo



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Ej.: Representa en el sistema cartesiano anterior la función f(x) = (x + 1)2 + 1.

Ej.: Representa en el sistema cartesiano anterior la función f(x) = x2 – 4x + 3.

Ejercicios

Representa las siguientes funciones:

1. f(x) = sen|x| 2. f(x) = |sen x| 3. f(x) = (x – 4)3

4. f(x) = 4 – x

5. f(x) = {x2 − 4 si |x| < 3 – x − 2 si |x| ≥ 3

6. f(x) = ln (x + 5)

7. f(x) = − |x|2 + 2|x| + 3



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Ficha de repaso del tema 1

Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) f(x) = x2 + 4x – 32

b) f(x) = (x + 3)2 - 4

c) f(x) = x2 – 3

d) f(x) = |x2 + 4x| (escríbela previamente a trozos)

e) f(x) = cos|x| si − π ≤ x ≤ 3π

f) f(x) = Ln |x – 1|

g) f(x) = 2cos (x + π

2) + 1

h) f(x) = x3 + 2

i) f(x) = {x + 2 si x < − 2|x + 1| si x ≥ − 2

j) f(x) = {1 − x2 si |x| ≤ 1Ln |x| si |x| ≥ 1

k) f (x) = 2x – 1



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a)

b)

c)



14

d)

e)

f)



15

g)

h)

i)



16

j)

k)

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