1

GRAFOS

HUGO ARAYA CARRASCO

2

GRAFOS

• Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vértices o nodos) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas).

• Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen.

• Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices.

• Llamaremos orden de un grafo a su número de vértices, |V|.

• Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. • Toda arista une dos vértices distintos

3

ARISTAS y VERTICES

• Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a y b los vértices que une.

• Si {a,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.

• Dos vértices v, w se dice que son adyacentes si {v,w}V (o sea, si existe una arista entre ellos)

• Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se dice que un vértice es ‘par’ o

‘impar’ según lo sea su grado.

4

CAMINOS

• Sean x, y V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso.– x e y se llaman los extremos del camino– El número de aristas del camino se llama la longitud del camino – Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple. – Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un

camino simple entre ellos – Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino

se llama circuito o camino cerrado o ciclo (sin aristas repetidas).– Llamaremos ciclo a un circuito simple (no existen vertices

repetidos excepto el primero y el ultimo) – Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un

camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

5

EJEMPLOS DE GRAFOS

• Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

6

EJEMPLOS DE GRAFOS

• Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

7

EJEMPLO DE GRAFOS

• Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota Kn.

8

EJEMPLOS DE GRAFOS

• Todo grafo completo es regular porque cada vértice tiene grado |V|-1 al estar conectado con todos los otros vértices.

• Un grafo regular no tiene por qué ser completo

• Un grafo bipartido regular se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

• A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5

9

MATRIZ DE ADYACENCIA

• La suma de los grados de los vértices es igual al doble del número de aristas

• Sea G un grafo de orden n. Llamaremos matriz de adyacencia de G a la matriz nxn que llamaremos A = (aij) donde aij = 1 si {i,j}A y aij = 0 en otro caso.

• La matriz de adyacencia siempre es simétrica porque aij = aji v1 v2 v3 v4 v5

v1 0 1 1 0 0

v2 1 0 1 1 0

v3 1 1 0 1 1

v4 0 1 1 0 0

v5 0 0 1 0 0

10

GRAFOS

• Sea G un grafo de n vértices con n > 1 y sea A su matriz de adyacencia. Se cumple que el valor del coeficiente ai,j de la matriz Ak es igual al número de caminos de

longitud k con extremos vi y vj • Si existe un camino de longitud m (m n) entre 2

vértices cualquiera, entonces existe un camino de

longitud n-1 entre esos dos vértices. • Un grafo G se dice conexo si cada par de vértices está

unido al menos por un camino.• Una arista de un grafo G se dice de separación si G es

conexo pero al suprimir la arista se divide en dos componentes conexos

11

GRAFOS

• Un método para comprobar si un grafo es conexo es el siguiente:– Se halla la matriz de adyacencia y se eleva a la (n-1)-ésima

potencia– Se calcula la suma de las potencias de A hasta An-1

– Si todos sus elementos son 0, el grafo es conexo.• Dados dos grafos G = (V, E) y G´ = (V´, E´), se denomina

isomorfismo entre G y G´ a cualquier aplicación biyectiva f:G G’ tal que si a, b V, entonces {a,b}E {f(a),f(b)}E´.

12

Grafos Eulerianos y Hamiltonianos

• Llamaremos camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez.

• Un ciclo euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo vértice.

• Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos que es un grafo

euleriano.

13

Grafos Eulerrianos y Hamiltonianos

• Si un grafo está formado por dos subgrafos eulerianos unidos al menos por un vértice y sin aristas en común, entonces es euleriano.

• Un grafo conexo G=(V,A) es euleriano todo vértice tiene grado par.

• Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano tiene exactamente dos vértices de grado impar.

14

Puentes de Konigsberg

• El problema consiste en partir de cualquier lugar , caminar sobre cada puente exactamente una vez y luego regresar a la posición inicial.

15

Algoritmo de Fleury

• Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construcción de un circuito euleriano. Se empieza por un vértice arbitrario y se recorren las aristas arbitrariamente sometida a dos condiciones:– Se borran las aristas a medida que son

atravesadas– Solo se recorre una arista de separación si no

queda otra alternativa

16

Caminos Hamiltonianos

• Un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice.

• Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano• Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo

hamiltoniano.• A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una

caracterización de cuando un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano.

• Si un grafo es conexo con |V|3 y para cada par de vértices la suma de sus grados es mayor o igual que el número de vértices entonces es hamiltoniano.

17

Problema del Vendedor Viajero

En un grafo G con pesos se pretende encontrar un ciclo que pase por todos los vértices de forma que la suma de los pesos de las aristas escogidas para formar el ciclo sea lo menor posible.

18

Ruta mas corta

Un grafo con pesos es un grafo en el cual se asignan valores a las aristas y que la longitud de un camino en un grafo con pesos es la suma de los pesos de las aristas en el camino. Con frecuencia se desea determinar la ruta mas corta entre dos vértices dados. Dijkstra escribió el algoritmo que resuelve este problema.

19

Algoritmo de Dijkstra

• Suponemos que los pesos son números positivos.• Se desea determinar el camino mas corto de a hasta z.• El grafo es conexo.• Sea L(v) la etiqueta del vértice v.• En algún momento algunos vértices tienen etiquetas

temporales y otros permanentes.• Sea T el conjunto de tienen etiquetas temporales.• En principio todos los vértices tienen etiquetas

temporales.• En cada iteración el algoritmo modifica el estado de una

etiqueta de temporal a permanente.• El algoritmo concluye cuando z recibe una etiqueta

permanente, L(z) proporciona la longitud mínima de a hasta z.

• El peso de la arista (i,j) es w(i,j)

20

Algoritmo de Dijkstra

Procedure dijkstra(w, a, z, L)L(a)=0For todos los vértices x != a do

L(x) = infinitoT = conjunto de todos los vértices// T es el conjunto de vértices cuya distancia mas corta a

“a” no ha sido determinadaWhile z pertenece T do

elegir v en T con L(v) mínimoT = T-{v}for cada x en T adyacente a v do

L(x) = min{L(x),L(v) + w(v,x)}end

end

21

ARBOLES

• Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene ciclos.

• Los primeros dos grafos son árboles:

22

ARBOLES

• Por tanto, un grafo es un árbol entre cada par de vértices existe un camino y sólo uno.

• Un grafo se dice un bosque si sus componentes conexas son árboles.

• Teorema.- Sea G(V,E) un grafo. Son equivalentesa) G es un árbol b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino.c) G es conexo y toda arista de G es de separaciónd) G no tiene ciclos y |V| = |E| + 1e) G es conexo y |V| = |E| + 1f) G no tiene ciclos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito

23

ARBOL GENERADOR

• Definición.- Sea G un grafo, un árbol generador de G es un subgrafo conexo de G que tiene los mismos vértices

que G y no tiene circuitos.

24

ARBOL GENERADOR

• Supongamos que a cada arista se le asocia un número positivo (su peso). Un árbol generador se dice de peso mínimo si la suma de los pesos de las aristas que lo componen es lo menor posible

• Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos:– Kruskal: Se van escogiendo las aristas de menor

peso hasta conseguir un árbol de peso mínimo– Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor

peso posible y que no sean aristas de separación.• Puede haber más de un árbol generador de peso

mínimo, pero todos deben tener el mismo peso.

25

ALGORITMO DE PRIMLa idea básica consiste en añadir, en cada paso, una arista de peso mínimo a un árbol previamente construido. Más explícitamente:

Paso 1. Se elige un vértice u de G y se considera el árbol S={u}

Paso 2. Se considera la arista e de mínimo peso que une un vértice de S y un vértice que no es de S, y se hace S=S+e

Paso 3. Si el nº de aristas de T es n-1 el algoritmo termina. En caso contrario se vuelve al paso 2

26

ALGORITMO DE PRIM

27

ALGORITMO DE PRIM

28

ALGORITMO DE KRUSKAL • La idea básica consiste en elegir sucesivamente las aristas

de mínimo peso sin formar ciclos.

• Paso 1. Se elige la arista de mínimo peso e y se considera S={e}.

• Paso 2. Sea e’ la arista de mínimo peso tal que e’ÏS y S+e' es un grafo acíclico. Se hace S=S+e'.

• Paso 3. Si S tiene n-1 aristas, el algoritmo termina. En caso contrario se vuelve al paso 2.

29

ALGORITMO DE KRUSKAL

30

ALGORITMO DE KRUSKAL