graficas-funciones-estadistica

Magnitud

Es todo aquello que podemos medir. Toda magnitud tiene su propia unidad de medida. Son magnitudes el tiempo, la distancia, la temperatura

El conjunto de nmeros enteros

El conjunto de los nmeros enteros est formado por los nmeros naturales y sus opuestos. Se representan de la siguiente forma:

Z = {, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, }

La representacin en la recta de los nmeros enteros:

Recuerdas qu es?

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

A la izquierda, los nmeros en-teros negativos

A la derecha, los nmeros enteros

positivos

13GRFICAS. FUNCIONES Y ESTADSTICA

Si lees un peridico, ya sea deportivo o de informacin general, vers que muchas noticias van acompaadas de grfi cos. En ellos se representan datos relacionados con el tema que aparece en la noticia. Los grfi cos permiten resumir una informacin de manera sencilla y facilitan la comprensin de la misma.

Por ejemplo, recuerda las grfi cas que nos informan sobre el recorrido de una etapa del Tour de Francia, las variaciones de la clasifi cacin de los equipos a lo largo de la temporada de ftbol, los grfi cos que representan el nmero de votos que tienen los diferentes partidos polticos en poca de elecciones, los resultados obtenidos en una encuesta realizada sobre los programas de televisin ms vistos, etc.

Hay muchos casos semejantes de grfi cos que vemos e interpretamos, pero no sabemos qu tratamiento han tenido previamente esos datos antes de quedar refl ejados en ese tipo de representacin.

Los objetivos de esta Unidad son:

Aprender a realizar e interpretar grfi cas a partir de una tabla de datos.

Conocer los conceptos bsicos de estadstica, sus parmetros principales y el tratamiento de datos.

230

13 EJES DE COORDENADAS Y REPRESEN-TACIN CARTESIANA DE PUNTOSSeguro que en ms de una ocasin has visto o incluso has llegado a jugar a hundir barcos del jugador contrario acertando su posicin, que se indica con dos coordenadas.

Hasta ahora hemos representado siempre puntos sobre una recta y queda-ban ordenados tanto los nmeros enteros como los decimales.

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

Para estudiar muchos fenmenos necesitamos representar puntos sobre un plano, no sobre una recta. Y para ello se utilizan los ejes de coordenadas o ejes cartesianos.

Se utilizan dos ejes colocados perpendicularmente: uno horizontal y otro vertical.

Al eje horizontal se le denomina eje X o eje de abscisas.

Al eje vertical se le denomina eje Y o eje de ordenadas.

Estos dos ejes perpendiculares dividen al plano en cuatro partes iguales que llamamos cuadrantes y en ellos se representan los puntos.

Todos los puntos que se representan vie-nen dados mediante un valor de x y otro de y. Fjate bien en el siguiente ejemplo:

Para definir la posicin de cualquier punto en cualquier cuadrante, se ha de defi nir la coordenada en x o abscisa y la coordenada en y u ordenada. Se expresan entre parntesis separadas por una coma. Primero se escribe la abscisa y luego la ordenada. El punto que defi -nen se nombra con una letra mayscu-la. Por ejemplo, A(1, 2), B(3, 1), C(2, 4), D(2, 2).

11

1 Representa los siguientes puntos en los ejes de coordenadas:

A(3, 2), B(6, 2), C(4, 3), D(2, 1), E(7, 3)

2 Indica las coor-denadas cartesianas de los siguientes puntos:

Ejercicios

1 2 3

(2, 2)

(0, 0)

(2, 2)

4 X

Y

4 3 2 1

1234

4321

X

Y

1.er cuadrantevalor x: positivovalor y: positivo

2. cuadrantevalor x: negativovalor y: positivo

4. cuadrantevalor x: positivovalor y: negativo

3.er cuadrantevalor x: negativovalor y: negativo

X

A

BC

D

E

F Y

1 2 3

B(1, 2)

D(2, 2)

C(2, 4)

A(3, 1)

4 X

Y

4 3 2 1

1234

4321

En los ejes de coordenadas se representan puntos del plano. Los puntos se nombran con una letra mayscula y vienen defi nidos por dos nmeros escritos entre parntesis y separados por una coma. El primer nmero re-presenta la coordenada en x y el segundo la coordenada en y.

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Coordenadas_cartesianas/Coordenadas_cartesianas.htm

Se explican las coordenadas cartesianas y en la pgina siguiente la representacin de puntos en el plano.

WEB

231

TABLA DE VALORES Y GRFICASLos puntos que se representan en los ejes de coordenadas pueden corres-ponder a datos de una determinada situacin que se quiere estudiar. Estos datos se recogen primero en una tabla que llamamos tabla de valores.

Ejemplo 1

Para celebrar una fi esta, decides comprar caramelos. En la tien-da ms cercana los venden por kilos y lees el siguiente cartel: 2 el kilo de caramelos.

Automticamente, piensas que la cantidad a pagar depender de los kilos que compres: si compro 1 kilo pagar 2 , si compro 2 kilos pagar 4 , si compro 3 kilos pagar 6 . En este ejemplo se relaciona la cantidad de kilos con la cantidad de euros que tienes que pagar.

As se crea una tabla de valores:

Cantidad de kilos 1 2 3 4 5

Euros a pagar 2 4 6 8 10

Con la tabla se obtiene parejas de nmeros que podemos utilizar como co-ordenadas de puntos del plano y con ellos se va a representar la situacin mediante una grfi ca.

Se trazan los ejes de coordenadas y se sitan los puntos.

As, la grfi ca asociada a esta situacin es una lnea porque a cada cantidad de caramelos le corresponde un precio.

Para realizar la grfi ca se siguen los siguientes pasos:1. Se ordenan en una tabla los datos a representar.2. Se trazan los ejes de coordenadas y se dibujan los puntos.

22

AdvertenciaComo coordenada en xse sitan los kilos y como coordenada en y se sitan los euros.

3 Indica si las siguientes magnitudes se podrn relacionar o no mediante una grfi ca:a) Kilos de manzanas que compro y dinero que

voy a pagar.b) Asistentes a una fi esta y dinero que se recauda.c) A una velocidad constante, metros que se reco-

rrern en un intervalo de tiempo.d) Horas al da que invierto viendo la televisin y

la cantidad de das lluviosos.

4 Realiza la tabla de valores que relacionen la altitud a la que se encuentra un alpinista en fun-cin del tiempo, si asciende a una velocidad de 300 metros por hora y ha partido desde una alti-tud de 1 400 metros.

5 Un ciclista lleva una velocidad de 2 metros por segundo. Realiza una tabla y una grfi ca don-de se relacionen el tiempo transcurrido y los me-tros recorridos.

Ejercicios

A(1, 2)B(2, 4)C(3, 6)

X

A(1, 2)

B(2, 4)

C(3, 6)Y

WEBhttp://descartes.cnice.mec.es/1y2_eso/Interpretacion_de_grafi cas/Grafi cas.htm

En esta pgina se estudian las grfi cas de las funciones, pero primero se calcula una tabla de valores que se puede comprobar si est bien en la escena donde se representa la grfi ca.

232

13

6 Relaciona cada situacin con una de las gr-ficas:a) Frenado de un coche.b) Coste de una llamada por segundos.c) Un recorrido con tres paradas de avitualla-

miento.d) Cambios de temperatura de un lquido a lo lar-

go del tiempo hasta que se enfra del todo.

7 La siguiente grfica representa el movimien-to de un cuerpo. Interprtala y responde a las si-guientes preguntas:a) Cunto tiempo ha estado andando?b) Cunto ha recorrido?c) Ha hecho alguna parada?d) Qu ms observas?

Ejercicios

LECTURA E INTERPRETACIN DE GRFICASLas grficas son representaciones que relacionan entre s dos magnitudes conel objetivo de aportar informacin sobre cmo vara una magnitud en funcinde otra. Por eso, cuando se examina o interpreta una grfica, lo primero quedebe hacerse es observar cules son las magnitudes que relaciona.

Fjate en la siguiente grfica:

A(1, 10)

B(2, 20)

D(4, 30)

E(5, 20)

F(6, 30)

H(8, 40)G(7, 40)

C(3, 30)

00

10

20

30

40

1 2 3 4 5 6 7 8 tiempo (min)

distancia (m)

La grfica relaciona el tiempo transcurrido de un cuerpo en movimiento y ladistancia que les separa del punto de partida. Como ves, tiempo y distanciason las magnitudes representadas en los ejes de coordenadas. La primeraviene dada en minutos y la segunda en metros.

a) En los tres primeros minutos se aleja 30 m.

b) En el siguiente minuto (entre el minuto 3 y 4) est parado, ya que el tiempoavanza pero no hay incremento de distancia.

c) En el siguiente minuto retrocede los 10 m, volviendo a estar a la mismadistancia del punto de partida que en el minuto 2.

d) En los dos siguientes minutos (el sexto y el sptimo) avanza 20 m: de laposicin 20 m a la posicin 40 m.

e) Durante el octavo minuto ha permanecido parado.

Para interpretar grficas, hemos de saber primero qu magnitud est repre-sentada en cada eje para comprender cmo vara una magnitud en funcin deotra.

33

00

20

40

60

8090

10

30

50

70

2 4 6 8 10 12 141 3 5 7 9 11 13 tiempo (min)

distancia (m)

A B C D

http://descartes.cnice.mec.es/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas.htm

Se construyen grficas a partir de una tabla de valores y del enunciado de un problema, pero tambin se interpretan mediante preguntas otras grficas ya elaboradas.

WEB

233

CONCEPTO DE FUNCINComo hemos visto, las grficas relacionan dos magnitudes que dependenuna de otra. Si una vara, la otra tambin vara en funcin de aquella.

Para la fiesta del colegio te preguntas cunto dinero has de llevar. La res-puesta es clara: en funcin de lo que vayas a consumir. El anuncio de lafiesta deca lo siguiente:

Entonces, se debe calcular y hacer una tabla:

Cantidad consumiciones/bocadillos Cantidad euros1 22 43 6

Fjate que la cantidad de euros vara en funcin de los bocadillos y refrescosque compras. En este caso se relacionan consumiciones y euros. Se observaque si la primera aumenta, la segunda tambin, es decir, estn relacionadas.Siempre que se relacionan dos magnitudes, una es independiente porque levamos dando los valores que se quiera, y la otra es dependiente porque varaen funcin de los valores que se dan a la primera.

As, a la primera se le llamar variable independiente y se representa sobreel eje X y a la segunda se le llama variable dependiente y se representa sobre eleje Y.

Funcin es una relacin entre dos variables, de manera que a cada valorde la variable independiente le corresponde, como mximo, un valor dela variable dependiente.

Para que una relacin entre dos magnitudes sea una funcin se debe cum-plir que a cada valor de la variable independiente se le asocia, como mucho,uno de la variable dependiente.

Cuando se relacionan dos magnitudes, una ser la variable independien-te, que vara sin depender de nada, y la otra ser la variable dependiente,que vara en funcin de la variable independiente. Variable independiente: se representa en el eje X. Variable dependiente: se representa en el eje Y.

44

8 En los siguientes casos, indica cul ser lavariable independiente y cul la dependiente:

a) Tiempo que est un vehculo a velocidad cons-tante y recorrido que realiza.

b) Tiempo de calentamiento de un litro de agua ygrados centgrados que alcanza.

c) Consumo de energa elctrica de un hogar y lacantidad a pagar.

d) Cantidad de kilos que compras y euros a pagar.

9 Quieres invitar a tus amigos al cine, pero nosabes cuntos van a ir. Si sabes que cada entradacuesta 4 , realiza la tabla y la grfica en funcindel nmero de amigos que vayan.

10 Copia en tu cuaderno y completa:Dos magnitudes estn relacionadas cuando una_____________ la otra tambin vara en __________de la anterior. A la que vara sin depender de nadase le llama ___________________ y a la que vara de-pendiendo de la anterior se le llama ___________

Ejercicios

FIESTA DEL COLEGIOEL VIERNES A LAS

19:00 HORAS ENTRADA LIBRE

BOCADILLOS : 2 REFRESCOS: 2

234

13 ESTUDIOS Y ELEMENTOS ESTADSTICOS: POBLACIN, MUESTRA E INDIVIDUOEl Instituto Nacional de Estadstica ha realizado un estudio sobre el nmero de horas al da que se ve la televisin en los hogares espaoles. Los resultados fi nales quedan refl ejados en la grfi ca del margen.

Es una grfi ca estadstica y nos da informacin sobre una poblacin.

Los datos recogidos en la grfi ca se dan en porcentajes y hacen referencia a los miem-bros de una poblacin, pero realmente crees que para conseguir la informacin necesaria se han entrevistado o encuestado a todas y cada una de las personas de una poblacin? Obviamente, no.

Los datos se recogen de una serie de encues-tas que slo se realizan a un grupo reducido y representativo de la misma, ya que preguntar a todos sera demasiado caro y llevara mucho tiempo. A este grupo reducido y signifi cativo de la poblacin se le llama muestra.

La poblacin se compone de individuos. Si el estudio estadstico que se quiere realizar trata de obtener datos sobre el nmero de televisores que hay en cada hogar de Espaa, la poblacin seran los hogares espaoles. Si se quiere estu-diar el ndice de natalidad de los animales en cautividad, la poblacin estara formada por los animales que estn en cautividad en los zoolgicos.

Posteriormente, la informacin que se deduce de los datos obtenidos de la muestra se extrapola a toda la poblacin, es decir, se generaliza para el total de individuos de la poblacin.

Poblacin: grupo de elementos sobre los que se realiza una investi-gacin.Muestra: parte seleccionada de una poblacin de donde se recogen da-tos signifi cativos.Individuo: todos y cada uno de los componentes de una poblacin.Para realizar un estudio estadstico sobre una poblacin se elige una muestra de la misma, compuesta por una seleccin de individuos repre-sentativos para el estudio.

55

11 En estos estudios estadsticos, indica cul sera la poblacin y qu muestra elegiras en cada caso para que sea representativa:

a) Las afi ciones de los jvenes entre 15 y 20 aos.

b) Consumo en familias de un producto de limpieza nuevo.

c) Paro social entre hombres y mujeres de 25 a 35 aos.

d) Nota media de todos los alumnos de 1. de ESO de un instituto.

Ejercicios

Ten en cuentaLa muestra elegida para un estudio estadstico debe ser signifi cativa. Por ejemplo, si se estudia a qu dedican su tiempo de ocio los alumnos de ESO, no se deben elegir slo alumnos de 1. de ESO, sino de todos los niveles y a partes iguales, chicos y chicas.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

No ven la TVVen la TV menos de 1 hora al daVen la TV entre 1 y 3 horas al daVen la TV ms de 3 horas al da

Poblacin (%)

10%

25%

35%30%

235

TABLAS ESTADSTICASComo has visto hasta ahora, en las grficas estadsticas los datos se indicannormalmente en porcentajes. Para ello se realiza primero una tabla estadstica.Se quiere realizar un estudio sobre las notas obtenidas en un examen deMatemticas y se dispone de una lista de alumnos y su calificacin. Para crearla tabla estadstica se observa que los valores que toma la variable son: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10. Se elige una muestra (N) de 33 individuos. Se cuentaahora cuntos alumnos han sacado cada calificacin y a ese valor se le llamafrecuencia absoluta, que se representa por fi.En la siguiente columna relacionamos la frecuencia absoluta con el nmerototal de individuos de la muestra. El dato obtenido se llama frecuencia relativay se representa por Fi.Fjate en esta tabla y saca conclusiones:

Nota Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa Fi = fi / N %m Fi 1000 2 2 / 33 = 0,06 6%1 1 1 / 33 = 0,03 3%2 0 0 / 33 = 0 0%3 3 3 / 33 = 0,09 9%4 5 5 / 33 = 0,15 15%5 7 7 / 33 = 0,21 21%6 4 4 / 33 = 0,12 12%7 5 5 / 33 = 0,15 15%8 3 3 / 33 = 0,09 9%9 1 1 / 33 = 0,03 3%

10 2 2 / 33 = 0,06 6%N = 33 TOTAL = 1 TOTAL = 100%

Cualquier tabla estadstica recoger por columnas los siguientes datos: Columna de la variable a estudiar: Se colocan los diferentes valores que

puede tener la variable. En este caso las notas del 0 al 10. Frecuencia absoluta (fi): En esta columna se indica las veces que se repite ese

dato de la variable o la frecuencia de aparicin de cada uno de los valoresde la variable. Si sumamos todas las frecuencias absolutas obtenemos eltamao muestral (N). En este ejemplo son 33 alumnos.

Frecuencia relativa (Fi): Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el n-mero total de individuos de la muestra (N). La suma de todas las frecuenciasrelativas es 1.

Columna de %: Se calculan los porcentajes de aparicin de cada valor dela variable multiplicando la frecuencia relativa por 100. Sumando todos losporcentajes se obtiene el 100%.

66

12 Define y explica con tus propias palabrasde qu columnas se componen las tablas esta-dsticas.

13 Se visitaron diferentes familias y se anot elnmero de hijos en cada una de ellas. Realiza unatabla estadstica, sabiendo que el resultado delanlisis fue el siguiente:

2, 1, 0, 3, 4, 2, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 3, 0, 3, 1, 5

Ejercicios

Vocabulariofi y Fi son notaciones para las frecuencias absolutas y relativas, respectivamente.

La i que aparece en cada expresin se llama subndice e indica lo siguiente en nuestro ejemplo:

f1 es la frecuencia de la calificacin 0.



WEBhttp://descartes.cnice.mec.es/m_Estadistica_y_probabilidad/color_preferido/index.htm

En este caso tambin se construye un diagrama de sectores.

WEBhttp://descartes.cnice.mec.es/m_Estadistica_y_probabilidad/12_Hijos/hijos.htm

Se hace un recuento y luego se dibuja el diagrama de barras.

236

13 GRFICOS ESTADSTICOS. REPRESENTACIN DE LA INFORMACINUna tabla estadstica nos aporta informacin, pero hay que representarla mediante grfi cos estadsticos para que se pueda interpretar. A continuacin

vers dos tipos de grfi cas muy utilizadas en Esta-dstica para representar la informacin:

Grfi cos de sectores. Fjate en el siguiente ejem-plo sobre las opciones de carreras de una clase de 2. de Bachillerato.

En un crculo se representa cada valor del porcen-taje en un sector proporcional del mismo sabiendo que 360 se corresponde al 100%.

Diagrama de barras. El mismo ejemplo se puede representar mediante un diagrama de barras.

15%

25%

10%

30%

0%

10%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

10% EconomaPsicologaBiologaDerechoFilosofaBellas Artes

En este ejemplo, en el eje Y se colocan los valores numricos y en el eje Xlas distintas opciones de la variable.

Toda la informacin recogida en una tabla estadstica se representa me-diante un grfi co estadstico. Grfi co de sectores: se asigna a cada frecuencia absoluta un sector cir-

cular proporcional a ese valor. El 100% total se corresponde con 360. Diagrama de barras: se representa mediante barras el porcentaje o la

frecuencia absoluta de cada una.

77

14 En una clase, las notas obtenidas en un exa-men de Matemticas son las siguientes:

10, 4, 3, 2, 7, 7, 8, 9, 9, 3, 4, 6, 5, 5, 9

Con estos datos, realiza la tabla estadstica y su representacin grfi ca.

15 Los litros de agua recogidos por metro cuadra-do en Vigo a causa de las lluvias en el ao 2005 se reparten entre los 12 meses de la siguiente manera:

Enero: 15% Febrero: 12% Marzo: 20%Abril: 22% Mayo: 3% Junio: 1%Julio: 1% Agosto: 1% Septiembre: 2%Octubre: 5% Noviembre: 7% Diciembre: 11%

Representa los datos mediante un diagrama de barras.

Ejercicios

15%

25%10%

30%

10% 10%

EconomaPsicologaBiologaDerechoFolisofaBellas Artes

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/proyectos2003/matematicas_red/index.html

Situando en el lugar que se indica los valores y las frecuencias, dibuja el diagrama de barras.

WEB

237

PARMETROS ESTADSTICOS. MEDIA ARITMTICA Y MODA88

16 Un nadador que quiere superar su rcord,realiza los siguientes tiempos en los 100 metros(los datos estn expresados en minutos):

1,5 2 1,5 1,85 1,15 1,35

Cul es la media y cul es la moda?

17 Se ha entrevistado a 15 familias sobre el n-mero de televisores que hay en el hogar y se hanobtenido estos datos:

1 televisor: 3 familias 2 televisores: 10 familias 3 televisores: 2 familias

Basndote en estos datos, cul es la moda?

Ejercicios

Ejemplo 2

A lo largo del curso, tus notas de los exmenes de Lengua han sido las siguientes:5 7,5 8,5 7 7 7

Si la nota final es la media de tus calificaciones de todo el curso, qu nota te van a poner en Lengua?

Para calcular la nota media del curso, siempre y cuando todos los exmenes tengan el mismo valor sobre la nota final, se suman todas las notas obtenidas y se divide entre el nmero total de exmenes que has tenido.

5 + 7,5 + 8,5 + 7 + 7 + 76

= 7 Nota media.

Ejemplo 3

Cada da, al ir al colegio, empleas un tiempo, pero no todos los das tardas lo mismo. Quieres saber cul es la media de los tiempos empleados en los ltimos cuatro das. Para ello te cro-nometras durante 4 das y los datos obtenidos los apuntas para que no se te olviden:

1. da: 4 minutosPara calcular el tiempo que empleas por trmino medio, se suman todos los minutos y el resultado se divide entre 4(nmero de das que cronometras):

2. da: 3 minutos

3. da: 4 minutos

4. da: 5 minutos

4 + 3 + 4 + 54

= 164

= 4 Tiempo medio.

En ambos casos hemos calculado la media de una serie de valores. La mediaes un parmetro estadstico.Otro parmetro estadstico es la moda. La moda es el valor de la variable quems se repite, es decir, el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.Volviendo a los ejemplos anteriores: Ejemplo A: La moda, es decir, la nota que ms se repite es el 7. Ejemplo B: La moda, es decir el tiempo que ms se repite es 4 minutos.

Los parmetros estadsticos ms importantes son: Media: es el parmetro estadstico que indica el valor medio de varios

valores. Moda: es el parmetro estadstico que indica qu valor tiene mayor

frecuencia absoluta.

CDEn la pestaa Documentacin/Unidad 13/Test de autoevaluacin, encontrars varios test interactivos, para repasar la unidad.

CDEn la pestaa Actividades/Ejercicios modo examen/Unidad 13, encontrars varios ejercicios para repasar la unidad.

238

NOMBRE SECCIN13EJERCICIOS RESUELTOS 1 Anlisis grfi co del movimiento de un coche.

Vamos a realizar un anlisis sobre la velocidad de un coche. Para ello rea-lizaremos una tabla que relacione dos magnitudes: el tiempo y el espacio recorrido.

Variable independiente (x): tiempo A velocidad constante, cuanto ms tiempo estemos conduciendo, ms espacio se reco-rrer.Variable dependiente (y): espacio

Pasos:

a) Datos recogidos:

1.er minuto: 200 metros

2. minuto: 400 metros

3.er minuto: 600 metros

b) Los datos se llevan a una tabla:

Tiempo (min) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Espacio (m) y 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000

c) Se hallan los puntos:

(1, 200) (2, 400) (3, 600) (4, 800) (5, 1 000)

(6, 1 200) (7, 1 400) (8, 1 600) (9, 1 800) (10, 2 000)

d) Se representan los puntos en los ejes de coordenadas.

Los puntos se unen entre s, porque se poda haber calculado el espacio recorrido en 1,5 minutos, en 2,3 minutos, y se obtienen otros puntos de la funcin.

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x = tiempo (minutos)

y = espacio (metros)

CDEn la pestaa Documentacin/Unidad 13/Animaciones,encontrars una animacin para ayudarte a entender las grfi cas.

239

2 Se ha hecho un estudio sobre la cantidad de horas que ven la te-levisin al da los jvenes de 15 aos, y despus de entrevistar a una pequea muestra, los datos obtenidos fueron los siguientes:

2, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 5, 4, 3, 2Representa los datos en un diagrama de barras y calcula la tabla esta-dstica, la moda y la media.

Pasos:

a) Con los datos obtenidos, realizamos la TABLA ESTADSTICA:

Horas que se ve la TV al da fi Fi = fi / N % (Fi 100)0 1 0,08 8%1 1 0,08 8%2 5 0,416 41,6%3 2 0,16 16%4 2 0,16 16%5 1 0,08 8%

N = 12 Nmero total de individuos de la muestra

Moda: 2 horas de TV (41,6% de la poblacin)

Media = 2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 0 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2

12 =

3012

= 2,5 horas/da

3 Diagrama de sectores: Vamos a representar mediante diagrama de sectores las opciones de carrera de 60 alumnos. Se han recogido los siguientes datos: 10 alumnos Bellas Artes, 5 Derecho, 7 Medicina, 20 Periodismo, 10 Farmacia, 8 Turismo. Primero tenemos que calcular sobre la muestra de 60 alumnos que porcentaje del total corresponde a cada opcin. Confi guramos la tabla estadstica:

Opciones fi Fi = fi / N % (Fi 100)Bellas Artes 10 0,16 16%

Derecho 5 0,08 8%Medicina 7 0,11 11%

Periodismo 20 0,33 33%Farmacia 10 0,16 16%Turismo 8 0,13 13%

En el diagrama tenemos que asignar de 360, que es el 100%, diferentes sec-tores proporcionales a cada uno de los porcentajes. En este caso nuestro total son 360, por lo que los valores obtenidos al realizar fi /N los tenemos que multiplicar por 360, de forma que obtenemos el valor (en ngulo o en grados) que se corresponde con cada opcin y que ser el que represente la porcin del sector correspondiente:

Bellas Artes: 16% m 0,16 360 = 57,6; Derecho: 8% m 0,08 360 = 28,8;Medicina: 11% m 0,11 360 = 39,6; Periodismo: 33% m 0,33 360 = 120;Farmacia: 16% m 0,16 360 = 57,6; Turismo: 13% m 0,13 360 = 46,8

TurismoFarmaciaPeriodismoMedicinaDerechoBellas Artes

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

8% 8%

16%

8%

16%

41,6%

240

NOMBRE SECCIN13EJERCICIOS PROPUESTOSEjes y representacin

1 Defi ne ejes de coordenadas y punto cartesiano.

2 Dibuja los siguientes puntos en unos ejes car-tesianos:

A(1, 3) B(2, 4) C(7, 2) D(10, 1) E(2, 9)

3 Identifi ca los puntos siguientes e indica las coordena-das de cada uno de ellos:

4 Representa en los ejes de coordenadas las si-guientes situaciones:

a) Un punto en el primer cuadrante.

b) Dos puntos que sean simtricos entre el segundo y el tercer cuadrante.

c) Un punto en el tercer cuadrante donde la coordena-da de x duplique en valor absoluto a la coordenada de y.

Tablas de valores y grfi cas

5 Copia en tu cuaderno y completa sabiendo que la velocidad es constante. Realiza la grfi ca asociada.

Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7

Espacio recorrido (km) 150 600

6 Copia en tu cuaderno y completa la tabla. Rea-liza la grfi ca asociada.

Kilogramos que compro 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Euros a pagar 0 1,5 3

Cunto cuesta medio kilo?

Cunto cuesta un kilo?

Cunto costarn 10 kilos?

7 En un contenedor que tiene 100 litros de agua se ha quedado el grifo abierto y se pierden 10 litros de agua por minuto. Realiza la tabla donde se refl eje esa prdida de agua por minuto y luego represntalo grfi -camente. Qu observas?

8 Quieres comprar barras de pan que cuestan 0,75 . Haz una tabla que indique cunto tendrs que pagar en funcin de cuntas barras compres hasta un mximo de 5 barras.

9 Vas a invitar a tus amigos al cine. Sabiendo que sois un total de 15 amigos y que el cine cuesta 4,5 , rea-liza la tabla y la grfi ca en funcin de la cantidad posible de amigos que vayan.

Lectura de grfi cas

10 Qu signifi ca interpretar una grfi ca?

11 Interpreta el siguiente grfi co del calentamiento de agua desde estado slido hasta estado gaseoso.

05

101520

5101520253035404550556065707580859095

100

x = tiempo (minutos)

y = temperatura (C)

12 Fjate en el siguiente grfi co, que representa el movimiento de un coche. Interprtalo y responde a las siguientes preguntas:

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

10203040506070

x = tiempo (minutos)

y = velocidad (m/s)

a) En qu intervalos la velocidad es constante.b) En qu intervalos hay aceleracin.c) En qu intervalos est frenando.d) Tiene en algn momento velocidad cero?

x

A

F

CH

D

G

E

I

B

y

241

13 Relaciona una grfi ca con el enunciado ms apropiado:a) Nmero de asistentes a un concierto y dinero que se

recauda.b) Frenado de un coche hasta alcanzar velocidad cero.c) Un caminante que va a velocidad constante.

I II III

14 Cul de estas dos tablas representa mayor ve-locidad, la correspondiente a la tabla A o a la tabla B? Razona la respuesta.Tabla A

Tiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8

Espacio (km) 75 150 225 300 375 450 525 600

Tabla BTiempo (horas) 1 2 3 4 5 6 7 8

Espacio (km) 25 50 75 100 125 150 175 200

Concepto de funcin

15 Seala cules son las magnitudes que se rela-cionan y di cul es la variable independiente y cul es la variable dependiente:

a) Tiempo de consumo de agua de un bidn y volumen que queda.

b) Tiempo que se calienta un metal y temperatura que alcanza.

16 Define con tus propias palabras y pon un ejemplo:a) Magnitud.b) Eje de ordenadas c) Variable dependiente. d) Variable independiente.e) Funcin.

17 He ido a una fi esta donde haba un cartel que pona:

E N T R A D A 3 Y C O N S U M I C I O N E S 2

Haz una tabla de lo que puedes gastar, que estar en funcin de las consumiciones que compres. Recuerda que consumas lo que consumas, siempre vas a pagar la entrada.

(Recuerda: Cero consumiciones: pagars solo 3 . Una con-sumicin: pagars 5 .)

18 Seala cules son las magnitudes que se relacio-nan y di cul es la variable x y cul es la variable y.

a) Tiempo que est encendida una bombilla y medida del contador.

b) Altura a la que vuela un avin y temperatura ex-terior.

19 De los siguientes supuestos, di en qu caso las variables se relacionan y en cules no:

a) Temperatura exterior y cantidad de estrellas visibles.

b) Utilizacin de un bolgrafo y tinta restante.

c) Tiempo de ciclo de una lavadora y agua consumida.

d) Tiempo de ejercicio fsico realizado y caloras consu-midas.

e) Velocidad de un coche y temperatura interior del coche.

20 En un supermercado, compres lo que compres, siempre te cobran la bolsa 0,5 . Realiza la tabla de lo que vas a pagar en funcin de los kilogramos de manzanas que compres, sabiendo que hoy estn de oferta a 1,5 /kg.

Poblacin, muestra

21 Qu es un estudio estadstico? Pon un ejemplo y defi ne qu es una tabla estadstica.

22 Qu diferencia hay entre poblacin, muestra e individuo?

23 Quieres estudiar la estatura media de jvenes entre 14 y 16 aos de tu ciudad. Qu muestra te parece ms adecuada? Razona la respuesta.

a) Una muestra de 15 chicas pertenecientes a un club de baloncesto.

b) Dos clases de 4. de la ESO de tu instituto o colegio.

c) Coger al azar a 50 personas de una sala de juegos.

d) Los 30 chicos de un equipo de natacin de tu ciudad.

242

NOMBRE SECCIN13EJERCICIOS PROPUESTOS

0%

5%

10%

15%

20%

25%

20% 20%

15% 15%

1% 1% 1% 1%

5%7% 7% 7%

24 Indica cul ser la poblacin, la muestra y los individuos para los siguientes estudios estadsticos:

a) ndice de mortalidad en Espaa.

b) Caloras medias consumidas por da en nios entre 8 y 10 aos.

c) Consumo medio de agua por familia, en familias nu-merosas de Madrid.

Tablas estadsticas

25 Para escoger al delegado de una clase, se ha votado entre los voluntarios a serlo, y el resultado es el siguiente:

Ana: 3 Laura: 8

Juan: 4 Roco: 0

Pedro: 5 Isabel: 6

Luisa: 7 lvaro: 4

Realiza la tabla estadstica y el diagrama de barras.

26 En una encuesta sobre el nmero de idiomas que habla una persona, el resultado fue el siguiente:

1, 1, 1, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 1, 1

a) Realiza la tabla estadstica.

b) Realiza la representacin grfi ca.

c) Cul es la moda y cul es la media?

27 En una clase, las notas de un examen de Ciencias Naturales son las siguientes:

7, 8, 9, 2, 9, 3, 5, 5, 3, 10, 10, 4, 9, 5, 2, 5, 5, 4, 9, 7

Realiza la tabla estadstica, el diagrama de barras e indica cul es la moda y cul es la media.

28 Se ha encuestado a un grupo de trabajadores sobre las horas de trabajo a la semana y se han obtenido los siguientes resultados:

30, 35, 40, 45, 40, 32, 35, 40, 35, 40

Realiza la tabla estadstica, el diagrama de barras e indica cul es la moda y cul es la media.

29 En una encuesta sobre el nmero de cafs que toma una persona al da, el resultado fue el siguiente:

2, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 1, 4, 3, 1, 3




30 A la salida de un colegio, se ha consultado por el nmero de horas dedicadas a la tareas domsticas:

1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 0, 1




Grfi cos estadsticos

31 Interpreta el siguiente grfi co estadstico y ex-plica cmo se obtiene:

32 Por qu muestra optaras para el siguiente es-tudio? Qu pasos llevaras a cabo en el estudio total?

Los alumnos de 17 aos, escuchan o no msica mien-tras estudian? En caso afi rmativo, preferencias musicales a la hora de estudiar.

33 Interpreta la siguiente representacin grfi ca:

Cmo crees que se ha realizado el estudio?

Preferencias alimentarias de los jvenes en Espaa

30%

10%

25%

5%

30%

arrozpastagarbanzopizzaespinacas

% de das lluviosos en Madrid

EneFebMarAbrMayJun

JulAgoSepOctNovDic

243

Parmetros

34 Defi ne los parmetros estadsticos moda y me-dia y pon un ejemplo de cada uno de ellos.

35 Asocia la moda correspondiente a cada uno de los casos:

2, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 2 20

20, 25, 22, 22, 21, 20, 20 2

5, 7, 2, 5, 5, 7, 9, 5

36 En esta secuencia de datos, cul es la media y cul es la moda?

15, 15, 20, 25, 10, 15, 20, 10, 15, 15

37 En un grupo de 10 personas se ha medido la altura de cada una de ellas, siendo el resultado el si-guiente:

1,80; 1,74; 1,82; 1,60; 1,50; 1,72; 1,50; 1,75; 1,65; 1,50

Calcula la altura media en este grupo.

38 Cul es la moda entre los deportes preferidos de los padres?

39 En la siguiente secuencia de datos, cul es la media y cul es la moda?

2,5; 3; 3; 1; 2,5; 4; 3; 1; 4; 4,5; 4,5

40 En una tienda de electrodomsticos, se ha con-sultado a los clientes por el nmero de averas que han sufrido con sus electrodomsticos en un ao, obtenin-dose los siguientes resultados:

7, 4, 1, 0, 5, 6, 3, 2, 4, 3, 2, 1, 3

a) Cul es la moda y cul es la media?

b) Tras realizar la tabla estadstica, representa el diagra-ma de barras.

41 Representa los datos de la encuesta del ejercicio anterior mediante diagrama de sectores.

42 Imagina un estudio estadstico y represntalo mediante un diagrama de barras.

43 A las encargadas de un comedor infantil se les ha consultado la frecuencia al mes de los siguientes alimen-tos:

Nota: El mes se considera de 22 das lectivos.

a) Cul es la moda?


44 De cien encuestados en un concesionario, se les ha consultado sobre las preferencias que exigen de serie en un coche:

Aire acondicionado 28Elevalunas elctrico 15Radio MP3 17Llantas de aleacin 12Pintura metalizada 3Airbags 18Tapicera de cuero 2Telfono 5

a) Cul es la moda?


45 Tras el mes de agos-to, en una agencia de turismo han confeccionado la siguien-te tabla sobre los destinos ms solicitados de los clien-tes:

a) Cul es la moda?

b) Realiza el diagrama de barras y el diagrama de sec-tores.

Lentejas 4Garbanzos 3Macarrones 3Espagueti 2Vainas 3Coli or 2Sopas 5

Playa 37%Montaa 23%Balnearios 11%Cultural 18%Nieve 2%Variado 7%

Deportes preferidos de los padres

60%

20%

5% 15%

NatacinFtbolBaloncestoTenis

244

13PARA REPASAR EN GRUPOElabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.

CONCEPTO DEFINICIN

Ejes de coordenadas

Son dos ejes, uno horizontal (eje X o eje de abscisas) y otro vertical (eje Y o de ordenadas) colocados perpendicularmente, llamando al punto de corte origen de coordenadas.

Puntos del plano Vienen dados por dos coordenadas expresadas entre parntesis: (x, y).

Tabla de valores Tabla donde queda expresada la relacin de los valores de la primera magnitud llamada x y los de la segunda magnitud llamada y.

Funcin

Cuando se relacionan 2 magnitudes, una ser la variable independiente, que vara sin depender de nada, y la otra ser la variable dependiente, que vara en funcin de la variable independiente. Variable independiente: se representa en el eje X. Variable dependiente: se representa en el eje Y.Una funcin es una relacin entre dos variables de manera que a cada valor de la variable independiente le corresponde, como mximo, un valor de la variable dependiente.

Estadstica Rama de las Matemticas mediante la cual se obtienen datos sobre una poblacin para analizarlos e interpretarlos.

Poblacin, muestra e individuo

Poblacin: Grupo de elementos sobre los que se realiza una investigacin.

Muestra: Parte seleccionada de una poblacin de donde se recogen datos signi cativos.

Individuo: todos y cada uno de los componentes de la poblacin.

Tablas estadsticas

Frecuencia absoluta (fi): Recoge las veces que aparece cada uno de los valores que puede tener la variable estudiada. La suma de todas las frecuencias absolutas se representa por N, que signi ca a la vez el nmero total de individuos de la muestra o tamao muestral.

Frecuencia relativa (Fi): Es la divisin entre la frecuencia absoluta y N.

Porcentaje (%): Se halla multiplicando la frecuencia relativa por 100.

Media Es la suma de todos los valores de la variable contados tantas veces como se repiten, dividida entre el tamao muestral.

Moda Es el valor ms repetido de la variable estudiada.

Representaciones estadsticas gr cas

Diagrama de barras:

Diagrama de sectores:

0%

10%

20%

30%

40%

50%

No ven la TVVen la TV menos de 1 hora al daVen la TV entre 1 y 3 horas al daVen la TV ms de 3 horas al da

Poblacin (%)

10%

25%

35%30%

15%

25%10%

30%

10% 10%

EconomaPsicologaBiologaDerechoFilosofaBellas Artes

245

CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFOSHUNDIMIENDO DEL BARCO PIRATA

Para llevar a cabo este juego se necesita un mnimo de dos jugadores. Cada jugador reali-za una plantilla como la del margen donde en cinco de los cuadros coloca un barco.

Recuerda que tu contrincante no puede ver dnde colocas la fl ota!

Una vez realizada la cuadrcula y colocados los barcos, empieza la batalla! Comienza cualquie-ra de los dos, mencionando una coordenada, por ejemplo: (A, 3).

Si resulta que el contrario ha colocado un barco en esa posicin: hundido! Tendrs otra oportunidad, pero si no ha colocado ningn barco en esa po-sicin: agua! Entonces ser el turno del otro jugador. El ganador ser el que hunda primero los barcos del contrario. nimo y a ganar!

LAS MATEMTICAS SON

Cul es la palabra clave? Pon en este eje de coordenadas los puntos de la tabla y asgnales la letra que les corresponde. Luego lee de izquierda a derecha.

Im (4, 6); V m (3, 0); R m (0, 0); S m (10, 10); E m (6, 3); U m (6, 3); Lm (3, 7); S m (1, 3); N m (5, 3); E m (2, 2); A m (2, 4)

DESAFO MATEMTICO

Vamos a simular que somos periodistas!

Haced en clase grupos de cuatro personas y organizad un pequeo estudio sobre las horas que dedican cada da a la lectura los jvenes entre 15 y 18 aos. Adems os habis propuesto analizar si estadsticamente hay relacin entre la afi cin de los padres lectores y la afi cin de los jvenes.

Aqu proponemos unas pautas a seguir:

Tener claro cul es la poblacin.

Escoger una muestra de la poblacin (recuerda que ha de ser una muestra representativa).

Tendrs que realizar una encuesta para informarte si cada individuo lee o no. En caso afi rmativo, preguntar cuntas horas lee al da, e independien-temente de la respuesta inicial, preguntar por la afi cin de los padres y madres por la lectura.

Ordenar los datos obtenidos en una tabla estadstica.

Hallar los parmetros estadsticos.

Para fi nalizar, haced un pequeo informe sobre las conclusiones obtenidas.

nimo, periodistas!

1 2 3 4 5 6 7ABCDEFG

graficas-funciones-estadistica

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