gráficas de funciones trigonométricas -...

MB0003 _M2AA2L2_Gráficas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Patricia Cardona Torres

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Gráficas de funciones trigonométricas

por Oliverio Ramírez Juárez

Hasta el momento has estudiado las funciones trigonométricas como una relación entre los lados de un triángulo. Sin embargo, recuerda que una función puede representarse como:

• Una tabla • Pares ordenados • Una gráfica • Una ecuación

Las ecuaciones trigonométricas ya las estudiaste en la lectura anterior, ahora revisarás las gráficas de las funciones trigonométricas que se obtienen cuando se varía el valor del ángulo (variable independiente) de cada función y se obtienen diferentes valores de “y” (variable dependiente). A continuación se muestran las diferentes tablas, pares ordenados y gráficas que se obtienen al dar valores al ángulo en radianes a las funciones trigonométricas.

Tablas Gráficas Función Seno:

A )()( xsenxf =

0 0

π25.0 0.7071 π5.0 1 π75.0 0.7071

π 0 π25.1 -0.7071 π5.1 -1 π75.1 -0.7071

π2 0

)()( xsenxf =



2

Función coseno:

A )cos()( xxf =

0 1

π25.0 0.7071 π5.0 0 π75.0 -0.7071

π -1 π25.1 -0.7071 π5.1 0 π75.1 0.7071

π2 1

)cos()( xxf =

Función tangente:

A )tan()( xxf =

0 0

π25.0 1 π5.0 ∞ π75.0 -1

π 0 π25.1 1 π5.1 ∞ π75.1 -1

π2 0

)tan()( xxf =

Función cotangente:

A )cot()( xxf =

0 ∞

π25.0 1

)cot()( xxf =



3

π5.0 0 π75.0 -1

π ∞ π25.1 1 π5.1 0 π75.1 -1

π2 ∞

Función secante:

A )sec()( xxf =

0 1

π25.0 1.4142 π5.0 ∞ π75.0 -1.4142

π -1 π25.1 -1.4142 π5.1 ∞ π75.1 1.4142

π2 1

)sec()( xxf =

Función cosecante:

A )csc()( xxf =

0 ∞

)csc()( xxf =



4

π25.0 1.4142 π5.0 1 π75.0 1.4142

π ∞ π25.1 -1.4142 π5.1 -1 π75.1 -1.4142

π2 ∞

Tabla 1. Graficas de las funciones trigonométricas.

Las gráficas de las funciones trigonométricas, que se encuentran en la tabla anterior, pueden ser modificadas en amplitud y frecuencia, así como experimentar corrimientos de fase o en su posición vertical. ¿Quieres saber cómo? Las funciones trigonométricas pueden ser expresadas de la siguiente forma:

Función Forma matemática Donde: Seno

khnxasenxf +−= )()(

a Representa la amplitud que es la distancia del eje de referencia al punto máximo o al punto mínimo. h representa el corrimiento de fase o corrimiento horizontal. k representa el corrimiento vertical. n representa la frecuencia, es decir, el número de veces que se repite la gráfica en un ciclo ( π20− ).

Coseno

khnxaxf +−= )cos()(

Tangente

khnxaxf +−= )tan()(

Cotangente khnxaxf +−= )cot()( Secante khnxaxf +−= )sec()( Cosecante khnxaxf +−= )csc()(

Las funciones que se graficaron anteriormente tienen los valores de

00,1,1 ==== khna , lo que indica que las gráficas tienen amplitud de 1,



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solamente se presentan en 1 vez en un ciclo de π20− y no tienen corrimiento horizontal o vertical.

Tabla 2. Funciones trigonométricas y su forma Matemática. En la siguiente tabla analizarás cómo afecta la función cada uno de los términos en la función seno.

Gráficas Observaciones

En la función

( )xsenxf =)( el valor de 1=a , lo que implica que la distancia que hay de la línea de referencia al punto más alto es de 1. En cambio, en la función

( )xsenxf 3)( = el valor de 3=a , es decir, la amplitud de la función es de 3.

En la función

( )xsenxf =)( el valor de 1=n , lo que implica que en un ciclo ( π20− ) aparece la gráfica del seno una vez. En cambio, en la función

( )xsenxf 4)( = el valor de 4=n , es decir, la gráfica del



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seno aparece 4 veces en un ciclo ( π20− ).

En la función ( )xsenxf =)( la

gráfica comienza en cero y termina en π2. En la función

( )π5.0)( += xsenxf comienza en π5.0− y termina en π5.1 , es decir, tiene un corrimiento de fase hacia la izquierda de

π5.0 . En la función

( )π5.0)( −= xsenxf comienza en π5.0 y termina en π5.2 , es decir, tiene un corrimiento de fase hacia la derecha de

π5.0 .



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En la función ( )xsenxf =)( la

línea de referencia de la gráfica se encuentra en cero. En la función

( ) 2)( += xsenxf la línea de referencia se encuentra en 2, es decir, la función tiene un desplazamiento vertical hacia arriba de 2. En la función

( ) 2)( −= xsenxf la línea de referencia se encuentra en -2, es decir, la función tiene un desplazamiento vertical hacia abajo de 2.

Tabla 3. Gráficas función seno. Como puedes darte cuenta, una función trigonométrica puede estar afectada por varios factores, los cuales indicarán qué está ocurriendo en la gráfica. Observa algunos ejemplos. Ejemplo 1 Grafica la siguiente función trigonométrica y determina la amplitud y la frecuencia.

( )xxf 2cos3)( −= Solución: Realizando el análisis de la ecuación, el valor de 3−=a indica que va a tener una amplitud de 3, pero como es negativa, la función comenzará a partir de -3 y el valor de 2=n indica que la frecuencia es



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igual a 2, es decir, que el número de veces que aparece la gráfica de la ecuación en un ciclo de π20− , es de 2.

Realizando la gráfica ( )xxf 2cos3)( −= y comparando con la grafica de ( )xxf cos)( = Figura 1. Gráfica de Coseno. Ejemplo 2 Grafica la siguiente función trigonométrica y determina el corrimiento de fase.

( )π5.0tan)( −= xxf Solución: Realizando el análisis de la ecuación: El valor de π5.0−=h indica que va a tener un corrimiento de fase de π5.0− , es decir, la gráfica tendrá un corrimiento de fase hacia la derecha con un valor de π5.0 .

Realizando la gráfica ( )π5.0tan)( −= xxf y comparando con la gráfica de ( )xxf tan)( =



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Figura 2. Gráfica de Tangente. Ejemplo 3 De acuerdo a la gráfica, indica cuál de las siguientes funciones corresponde a la gráfica.

a) ( ) 31)( +−= xsenxf

b) ( ) 13)( −= xsenxf

c) ( ) 13)( −= xsenxf

d) ( ) 1)( −= xsenxf



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Solución: Comienza por analizar la gráfica, observa que el punto máximo de la función se encuentra en cero, y el punto mínimo en -2, de esta forma se puede definir que la línea de referencia es -1, por lo que puedes deducir que la función tiene un corrimiento vertical hacia abajo de una unidad, es decir, el término

1−=k . La gráfica de la función seno tiene la forma, donde la gráfica completa se encuentra entre π20− , en la gráfica que tenemos la figura se repite en 3 ocasiones, es decir, la frecuencia es de 3 y el valor que nos indica la frecuencia es el valor de 3=n

Por lo tanto, analizando la forma general de la ecuación seno khnxasenxf +−= )()( , La amplitud es: 1=a La frecuencia es: 3=n No hay corrimiento de fase. Hay un corrimiento vertical hacia debajo de: 1−=k

De esta forma el inciso c) ( ) 13)( −= xsenxf es la expresión que cumple con la gráfica. Es importante conocer las gráficas de las funciones trigonométricas, ya que el comportamiento de algunos de los fenómenos físicos se describe por medio de estas gráficas, por ejemplo: las ondas del sonido, el corazón humano y la corriente eléctrica. El poder realizar una interpretación de estas gráficas, y la modelación de las mismas, te puede ayudar a resolver diversos problemas. Te invito a que practiques la identificación de las gráficas, con sus respectivas ecuaciones, en los ejercicios que se encuentran en la clase virtual.

Referencias

Ayres, F.; Moyer, R. E. (1991). Trigonometría. (María Concepción Ruiz Sánchez. Trad.) Segunda Edición. México: McGraw Hill.

Ramírez Galarza, A. I.; Sienra Loera, G. (2003). Invitación a las geometrías no euclidianas. [Versión Electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros:http://books.google.com.mx/books?id=_bQVowSNHE4C&pg=PA129&dq=en+todo+tri%C3%A1ngulo+la+suma+de+sus+%C3%A1ngulos+internos+es&lr=&cd=88#v=onepage&q=&f=false



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Sullivan, J.; Hernández Garciadiego, C. (2006). Álgebra y trigonometría. [Versión Electrónica]. Recuperado el 16 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=44-YnoUhxOoC&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false

Sullivan, M. (1998). Trigonometría y geometría analítica. [Versión Electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=nt64q3HX_T0C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false

Stewart, J.; Redlin, L. (2007). Precálculo, matemáticas para el cálculo. [Versión Electrónica] Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros: http://books.google.com.mx/books?id=CiHF4fJ_ezwC&pg=PA486&dq=angulo+de+elevacion+y+depresion&cd=2#v=onepage&q=&f=false

Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2002). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (H. Villagómez. Trad; 10a. ed). México: Thomson Learning.

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