Taller: Análisis gráfico de situaciones dinámicas

Por: Ricardo De la Garza González, MC. 

AgendaIntroducción

La ciencia escolarEnfoque epistémico Modelo de GiereBreve semblanza histórica del estudio del movimiento de los cuerpos

Construcción del Modelo NewtonianoPrincipios básicosMovimiento uniformeMovimiento uniforme acelerado

Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)Situaciones de movimiento en el eje “X”Situaciones de movimiento en el eje “y” Caida libre y tiro verticalSituaciones de movimiento en los ejes “x” y “y”: Tiro parabólico

Análisis dinámico  (¿por qué?)Enfoque de fuerzas: Cantidad de movimientoEnfoque energético: Energía potencial gravitacional y energía cinética

Comentarios y discusiones

Introducción• La ciencia escolar

construcción gradual de significados mediante su participación eficaz en su propio aprendizaje (Sanmartí, 2002)busca que los alumnos logren dar sentido a lo aprendido e interpreten su realidad desde un nuevo enfoque, el científicolos modelos tienen un importante componente epistémico (Izquierdo, et al. 2007)el docente ha de ser un agente activo al realizar una transposición didáctica, donde ha de transformar el saber científico en algo apropiado para ser accesible a alumnos de diferentes edades y en diversos contextos, y que puedan construir modelos sin que por ello dejen de ser rigurosos (Izquierdo, et al, 1999).  

Introducción• Enfoque epistémico Modelo de Giere

IntroducciónBreve semblanza histórica del estudio del movimiento de los cuerposUna de las finalidades de la física es la descripción y explicación acerca de un

amplio rango de fenómenos y procesos naturales, es decir, resolver los cómos y porqués

384 ac- 322 ac. 1564-1642 1643-1727 1596-1650

Aristóteles Galileo NewtonDescartes

Evidencia Observaciónal Y

Evidencia probatoria

Análisis gráfico de situaciones físicas

Visualización del fenómeno utilizando CBR 2Identificación de variables relevantes y construcción de hipótesis teóricasUso del modelo construido en situaciones varias

Actividad  1. Define el fenómeno de movimiento que vamos a analizar

1. Te vas a acercar rápido2. Me voy a alejar despacio

Tratemos de identificar las variables que nos permiten visualizar el fenómeno ( se hace el experimento)

1. Distancia2. Tiempo

Se construyen las hipótesis teóricas para construir el modeloModelo 

3. Velocidad 

Hipótesis teóricasAcercarse:  La recta se dirige hacia abajoAlejarse: La recta se dirige hacia arribaLento: La recta es poco inclinadaRápido: La recta es muy inclinada Sin movimiento: La recta es horizontal

Construcción del modeloPedir a los alumnos que traten proponer un modelo matemático para cada sección del fenómeno.Discutir como es que se relacionan los adjetivos con el fenómeno:

LentoRápidoAcercarse Alejarse

Conclusiones acerca del modelo.Se le pide al alumno realizar una predicción del experimento a partir de sus hipótesis teóricas

Superposición del modelo y fenómeno vía experimento

Construcción del Modelo Newtoniano• Principios básicos

Marco de referenciaDesplazamientoTiempo

• Para un movimiento uniforme la velocidad promedio se define como:

td

ttdd

vΔΔ

=−−

=12

12

tvdd ⋅+= 0

EjerciciosUn vehículo que tiene una velocidad de 35 m/s se mueve hacia el este.¿Cuánta distancia ha recorrido después de 3 hrs?

3hrs ‐‐‐‐‐min ‐‐‐‐‐ seg3 hrs ‐‐‐‐‐‐ seg

Si la posición del camión al inicio parte del origen. ¿Cuánto tiempo transcurre para que se localice en el kilometro 250

EjerciciosUn niño sale de su casa y se mueve hacia el este con una velocidad de 2 m/s. Simultáneamente otro niño que vive a 100 m al este del primero, sale de su casa y se dirige al oeste con una velocidad de 3 m/s. Analiza simultáneamente el movimiento de los niños y determina el punto en donde se encuentran.

Reflexión crítica del modelo¿Todas las situaciones de movimiento corresponderán al modelo que hemos construido?Por ejemplo, que sucede si una pelota cae libremente y rebota con el sueloRealicemos el experimento y observemos la gráfica d vs tQué podemos decir de las pendientes para esta situación en distintos punto

Nueva variables aceleración = cambio de velocidad

Revisión del Modelo TeóricoGraficas de movimiento

D vs. T.   La velocidad es la pendiente

Caso (+)Caso (0)Caso (‐)

Modelo y=mx + b  d = v t + d0Existen situaciones donde hay muchas pendientes

V vs. T.La aceleración es la pendiente como cambio de velocidad a= v2‐v1 / t2‐ t1

Modelo lineal y = mx + b ‐ v = v t + v0

Revisión al modelo• Movimiento acelerado: Analicemos ahora desde el punto 

de vista matemático que implicaciones tiene el tener un cambio de velocidad constante en el tiempo:

tavvttvva

⋅+=−−

=

0

12

12 ( )

( )( )

( )∫∫∫

⋅⋅+=

⋅⋅+=

⋅⋅+=

⋅+=

⋅+=

dttavr

dttavdr

dttavdr

tavdtdr

tavv

0

0

0

0

0

Área del gráfico Velocidad contra tiempo

EjemploImaginemos la siguiente situación:Un niño parte del reposo y de una posición a 5 m del origen. Después de 2 seg tiene una velocidad 5 m/s.

A partir de aproximaciones identificar el modelo cuadrático para la distancia recorrida

Se pretende que partiendo de los datos obtenidos del área debajo de la curva de un movimiento con velocidad variable se llegue a identificar el modelo cuadrático d = ½ a t2.Se parte de un movimiento con velocidad inicial = 0 y que parte del origen.Posteriormente se completa el modelo para una situación en donde el objeto no empieza en el origen y tiene una velocidad inicial (+) y después (‐) Se puede terminar el análisis realizando una situación en donde exista desaceleración a(‐)

Movimiento acelerado¿Cuándo un objeto tiene aceleración?

Cuando hay un cambio de velocidad 

Si un objeto cambia su velocidad de  0 m/s a 6m/s en un tiempo de 5 segundos.

¿Cómo es la gráfica vel contra tiempo?

0

6

5

212

12 2.11

2.105

06s

ms

sm

ss

m

ttvvm ==

−

−=

−−

=

02.1 +⋅=+=tv

bmxy

Cual es la velocidad en t=1s, t=2s, t=3s, t=5 segundos?V(t=1)=1.2(1)=1.2

Cual es la distancia en 1 s, 2s, 3s, 5s?D(t=1)=.6m, D(t=2)=2.4m, D(t=3)=5.4m, D(t=5)=15m

02.1 +⋅=+=tv

bmxy

Claves para los gráficosD vs. T

Eje “X” tiempoEje “y” distancia recorridaPendiente (derivada) VelocidadÁrea  NO TIENE SIGNIFICADO

V vs. TEje “X” tiempoEje “y” velocidad instantáneaPendiente  (derivada) aceleraciónÁrea (Integral)  distancia recorrida

Modelos de movimientoMovimiento uniforme

Movimiento acelerado

tvdd ⋅+= 0

tavv ⋅+= 0

20 2

1 tatvdd o ⋅+⋅+=

Problema 2.Un auto tiene una velocidad inicial de 3 m/s y acelera uniformemente a 1.2 m/s2. Partiendo del origen.

¿Qué velocidad alcanza después de 3 seg? V=6.6¿Qué distancia recorre en los primeros 8 seg?

32.1 +⋅=+=tv

bmxy

Acerca de vectores y escalaresNota es importante distinguir entre distancia recorrida (escalar) y desplazamiento para los gráficos que son seccionados

Para responder la pregunta. ¿cuál es la distancia recorrida para los primeros 8 seg? Tenemos que calcular de 0 a 3 y de 3 a 8 y luego sumar y esto es el desplazamiento ya que tiene signo (además de utilizar los modelos y=mx+b para ambas) y del análisis gráfico podemos pensar en la distancia recorrida

Ejercicios variosUna bala sale disparada de la boca de un cañón con una velocidad de 300 m/s. Si el cañón tiene un largo de 2 m.¿Cuánto tiempo le lleva a la bala recorrer el cañón?

Ejercicio 2Un avión parte del reposo y el origen y acelera de manera que alcanza una velocidad de 150 km/hr en un tiempo de 4 seg.

Determina la distancia que recorrió¿Cual fue su aceleración?

Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)• Situaciones de movimiento en el eje “X”• Un automóvil viaja a una velocidad constante de 30 m/s 

cuando rebasa a una patrulla de policía estacionada. El auto de policía acelera a 7 m/s2. ¿A qué velocidad irácuando alcance al auto con exceso de velocidad?

Una bicicleta acelera de 0.0 m/s a 4.0 m/s en 4 s. ¿Qué distancia recorre?

Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)• Situaciones de movimiento en el eje “y” Caida libre y tiro 

vertical• Un estudiante deja caer un balón desde una ventana 

situada a 3.5 m por encima de la acera. El balón acelera a 9.8 m/s2(gravedad va hacia abajo). ¿Qué tan rápido iba cuando chocó contra la acera?

EjemploArrojas un balón hacia abajo desde una ventana a una velocidad de 2.0 m/s. El balón acelera a 9,8 m/s2. ¿Qué tan rápido se está moviendo cuando choca contra la acera 2.5 m más abajo?

Si ahora arrojas hacia arriba el balón en lugar de hacerlo hacia abajo, ¿qué tan rápido se está moviendo cuando choca contra la acera (2.5 m)? 

EjerciciosUn camión viaja a 18 m/s hacia el norte partiendo del origen. El conductor de un automóvil, 500 m al norte y viajando hacia el sur a 24 m/s, pisa el freno y disminuye su velocidad a 3.5 m/s. ¿Dónde se encuentran?Una piedra cae libremente desde el reposo durante 8.0 s.

Calcula la velocidad de la piedra después de 8. S¿cuál es el desplazamiento de la piedra durante ese tiempo?

Una bolsa se deja caer desde un helicóptero que sube a una velocidad de 5 m/s.

Cuando la bolsa ha caído 2.0 s¿Cuál es la velocidad de la bolsa?¿Qué tan lejos ha caído la bolsa?

Análisis cinemático de situaciones ordinarias (¿cómo?)• Situaciones de movimiento en los ejes “x” y “y”: Tiro 

parabólico• Ejemplo: Una flecha es disparada con un ángulo de 50° y 

una velocidad inicial de 20 m/s¿Qué posición tiene la flecha después de 0.5, 1 y 5 segundos?Si la flecha sale del origen, ¿Cuánto tiempo tarda en regresar al piso?¿Cuál es la altura máxima que alcanza y cuál es su recorrido máximo?

Historial del Desarrollo con ecuaciones paramétricas como ecuaciones  de movimiento

Historial del Desarrollo utilizando dos ecuaciones independientes

EjemploUna bola fue lanzada con una velocidad inicial de 4.47 m/s con un ángulo de 66° por encima de la horizontal.¿Cuál fue la altura máxima alcanzada por la bola? (La velocidad en “y” en el punto más alto tiene un valor de 0 m/s) ¿La velocidad en “x” será cero en el punto más alto?

¿Cuánto tiempo le tomó a la bola retornar a la altura del lanzamiento?¿Cuál fue su rango?

Análisis dinámico enfoque de fuerzas (¿por qué?) 

La cantidad de movimiento de un objeto se define como:

El cambio de la cantidad de movimiento en el tiempo nos dice que fuerza neta es la causante de dicho movimiento acelerado

Por lo tanto si construimos un gráfico v vs. T si multiplicamos eje de “v” por la masa del cuerpo, la pendiente del gráfico nos indicará que fuerza neta esta siendo ejercida sobre éste

vmp ⋅=

tpFΔΔ

=∑

Análisis dinámico por energía  (¿por qué?)Hay tipos de energía

Energía potencial gravitacional: Es un tipo de energía que un cuerpo obtiene por estar a un nivel mayo o menor del nivel de referencia o suelo.Energía cinética: Es un tipo de energía que se relaciona con la velocidad que lleva un cuerpo. Siempre que tenga velocidad tiene energía cinética. Si su velocidad vale 0 m/s entonces su energía cinética = 0 Energía calorífica: Es un tipo de energía que se da cuando dos superficies entran en contacto y hay fricción

2

21 vmK ⋅=

ygmU ⋅⋅=

Q

Conservación de la energíaPunto inicio t=0

K inicialU inicioE total inicio = K inicial + U inicial

Punto final t = tfK finalU finalE total final = K final + U final 

Caída libreUna piedra de 2.5 kg se deja caer desde 50 m. analice su movimiento utilizando energías.A) Calcular la energía potencial antes de que caiga.B) calcular la energía potencial y cinética cuando esta a 15 m del suelo y su velocidadC) La energía cinética que tiene un instante antes de tocar el suelo y la velocidad con la que toca el suelo.

Análisis energético y dinámico de una piedra en caída libre

Análisis energético de un tiro parabólico

Un balón de 1 kg se dispara con una velocidad inicial de 40 m/s a un ángulo de 30°. 

EjemplosConsidere una auto compacto de 875 kg que acelera de 22 a 44 m/s  en una superficie horizontal

¿Cuál es el valor de la energía cinética al inicio y al final?Determine el trabajo que se hace al acelerar de 22 a 44 m/s¿Qué cantidad de trabajo se hace al ponerlo en reposo?

Si el auto tiene una potencia de 85,004.7 Watts. ¿Cuánto tiempo le toma en acelerar 22 a 44 m/s?

Ejemplo 2Un proyectil de 50 kg es disparado desde un cañón situado en el suelo, hasta una altura de 425 m. 

¿Cuál es la energía potencial gravitacional del proyectil cuando se encuentra a esta altura?¿Cuál es el valor de la energía potencial cuando el proyectil desciende a una altura de 225m ? ¿Cuál es el valor de su energía cinética en ese punto así como su velocidad?¿Con qué velocidad fue disparada la bala?

425 m

A

B

Ua=0JKa = 208 250 J = (1/2) (m) Va

2

208 250 J =( 1/2) (50 kg) (Va2)Va= (208 250 * 2 /50 ) ^(1/2)Va=91.26 m/s

UB= m g y = (50 Kg) (9.8 m/s2) (425m) = 208 250 JKB=  0 J

225 m c

BUc=(50 kg) (225 m) (9.8 m/s2) Uc= 122 500 JKc =  85 750 J = (1/2) (m) Vc

2

85 750 J =( 1/2) (50 kg) (Vc2)Vc= ( 85 750* 2 /50 ) ^(1/2)Vc= 58.56 m/s

UB= m g y = (50 Kg) (9.8 m/s2) (425m) = 208 250 JKB=  0 J