grados en matem´aticas, mat-f´ıs y mat-est – univ. sevilla ...enuncia y demuestra el principio...

Grados en Matematicas, Mat-Fıs y Mat-Est – Univ. Sevilla Curso 2018/19

Ecuaciones en Derivadas Parciales – 1

erparcial – Grupo B 20/10/2018

APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. 2 ptos. Dada la EDP

@

2x

21u+ @

2x

22u� 6@

2x1x2

u+ 2@

x1u = 0,

reducirla a su forma canonica, indicando de que tipo es.

2. 2.5 ptos. Dado el problema

8<

:

u

tt

� u

xx

= 0, (x, t) 2 (0, 1)⇥ (0,1),

u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), u

t

(x, 0) = 0, x 2 [0, 1].

Resuelve por el metodo de separacion de variables los problemas siguientes, indicando la regu-

laridad de la solucion formal obtenida:

a) u0(x) := senx.

b) u0(x) := sen (⇡x).

3. 2 ptos. Analiza la existencia y unicidad de solucion del problema

8<

:

u

t

� u

xx

= x, (x, t) 2 (0,⇡)⇥ (0,1),

u(0, t) = 0, u(⇡, t) = ⇡, t > 0,

u(x, 0) =

(6+⇡

2)x�x

3

6 , x 2 [0,⇡].

4. 2.5 ptos. Dada la funcion G(x, t) = e

�x

2/(4t)

/

p4⇡t para (x, t) 2 R⇥(0,1), y dando por ciertas

las propiedades que satisface, enuncia y demuestra el resultado de existencia, propiedades y la

forma cerrada de una solucion del problema de Cauchy

⇢u

t

� u

xx

= 0, (x, t) 2 R⇥ (0,1),

u(x, 0) = u0(x), x 2 R,

donde u0 2 C(R) es una funcion acotada.

5. 1 pto. Enuncia el principio del maximo debil para la EDP del calor.

Duracion: 2 horas.



o

parcial – Grupo B 15/1/2019


1. 1 pto. Dada c > 0, deduce la forma general de las soluciones clasicas en R2 de

u

tt

� c

2u

xx

= 0.

2. 1.5 ptos. Dadas f 2 C

2(R) y g 2 C

1(R), enuncia y demuestra la formula de D’Alembert para

el problema de Cauchy asociado a la ecuacion de ondas homogenea en R ⇥ [0,1) con datosiniciales f y g.

3. 2 ptos. Halla la unica solucion del problema

8<

:

u

tt

� u

xx

= x en R2,

u(x, 0) = cosx en R,u

t

(x, 0) = 0 en R.

4. a) 1.5 ptos. Dado un abierto acotado ⌦ ⇢ RN (N � 2) de clase C

1, enuncia el resultado de

representacion de una funcion u 2 C

2(⌦) en terminos de �u y de la solucion fundamentaldel laplaciano �. Esboza la idea de la demostracion.

b) 1 pto. Define el concepto de funcion de Green para el operador laplaciano en un abierto

acotado ⌦ de clase C

1.

c) 1 pto. Explicita la expresion de la funcion de Green para ⌦ = BRN (0, R) con N � 2.

5. 2 ptos. Justifica que existe una unica solucion del problema

⇢�u = (x21 + x

22)

1/2 en BR2((0, 0), 3),u(x) = 3 sobre @BR2((0, 0), 3)

y hallala buscandola de tipo radial.

Duracion: 2 horas.



aconvocatoria 23/1/2019 9:30

APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo: . . . . . .

Primer Parcial.

1. Obten la forma canonica de la ecuacion

5uxx

+ 2p3u

xy

+ 7uyy

+ u

y

= x

e indica si la ecuacion es elıptica, parabolica o hiperbolica.

2. Resuelve por el metodo de separacion de variables el siguiente problema:

8<

:

u

t

� u

xx

+ u = 0 en (0,⇡)⇥ (0,1),u(0, t) = u(⇡, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = u0(x) := x(⇡ � x), x 2 [0,⇡].

¿Que regularidad tiene la solucion obtenida? ¿Es ux

continua?

3. a) Enuncia el principio del maximo debil para la ecuacion del calor.

b) Demuestra que si u1, u2 2 C

0([a, b]⇥ [0,1)) \ C

2((a, b)⇥ (0,1)) verifican

(@

t

u1 � @

2xx

u1 @

t

u2 � @

2xx

u2 en (a, b)⇥ (0,1)

u1(x, t) u2(x, t), 8 (x, t) 2�{a, b}⇥ [0,1)

�[�[a, b]⇥ {0}

�,

entonces u1 u2 en ([a, b]⇥ [0,1)).

c) Comprueba que la funcion w(x, t) =p2e�

⇡2

16 t cos⇣⇡x

4

⌘satisface

8>><

>>:

@

t

w � @

2xx

w = 0 en (�1, 1)⇥ (0,1)

w(�1, t) = w(1, t) � 0, 8 t � 0

w(x, 0) � 1, 8x 2 [�1, 1].

d) Sea ' 2 C

0([�1, 1]) tal que '(�1) = '(1) = 0 y denotemos M = maxx2[0,1] |'(x)|. Demues-

tra que la solucion u 2 C

0([�1, 1]⇥ [0,1)) \ C

2((�1, 1)⇥ (0,1)) de

8>><

>>:

@

t

u� @

2xx

u = 0 en (�1, 1)⇥ (0,1)

u(�1, t) = u(1, t) = 0, 8 t � 0

u(x, 0) = '(x), 8x 2 [�1, 1],

verifica

�p2Me

�⇡2

16 t cos⇣⇡x

4

⌘ u(x, t)

p2Me

�⇡2

16 t cos⇣⇡x

4

⌘, 8 (x, t) 2 (�1, 1)⇥ [0,1).

Segundo Parcial.

4. Enuncia la formula de D’Alembert para obtener la solucion clasica de un problema de Cauchyasociado a la ecuacion de ondas homogenea con datos iniciales u(x, 0) = f(x) y u

t

(x, 0) =g(x) con x 2 R indicando la regularidad necesaria de f y g para que la solucion pertenezca aC

2(R⇥ [0,1)).

5. Dado el problema de ondas

8<

:

u

tt

� u

xx

= 0 en (0, 1)⇥ (0,1),u(x, 0) = x

2 + senx, u

t

(x, 0) = 2x� cosx en (0, 1),u(0, t) = t

2 � sen t, u(1, t) = (1 + t)2 + sen (1� t) en [0,1),

calcula el valor de la solucion u en (1/4,1/2).

6. Enuncia y demuestra el principio del maximo fuerte para la ecuacion de Laplace.

7. Sea B = B((0, 0), 1). Usando una funcion radial, obten una solucion u 2 C

2(B) \ C

0(B)

⇢�u =

px

2 + y

2 log(x2 + y

2) en B,

u(x) = �14 sobre @B

¿Es unica?

Puntuacion: Alumnos con primera parte: ejercicio 1 (2,5 ptos); ejercicio 2 (3,5 ptos); ejercicio 3 (4ptos). Alumnos con segunda parte: ejercicio 4 (1 pto); ejercicio 5 (3 ptos), ejercicio 6 (3 ptos), ejercicio7 (3 ptos). Alumnos con la asignatura completa: todos los ejercicios con la mitad de la puntuacionindicada anteriormente.

Duracion: 3 horas y 30 minutos (asignatura completa) / 2 horas (solo una parte).

2



erparcial – Grupo A 19/11/2019


1. 2 ptos. Dada la EDP

@

2x

21u+ 2

p3@2

x1x2u� @

2x

22u� @

x1u� u = ⇡,

reducirla a su forma canonica, indicando de que tipo es.

2. 1.5 ptos. Dar la expresion del nucleo de Gauss G(x, t) para (x, t) 2 R⇥ (0,1); calcular el valor

deRRG(x, t)dx para cada t > 0.

Enuncia el resultado de existencia y/o unicidad y la forma cerrada de una solucion del problemade Cauchy ⇢

u

t

� u

xx

= 0, (x, t) 2 R⇥ (0,1),u(x, 0) = u0(x), x 2 R,

donde u0 2 C(R) es una funcion acotada.

Si u0 2 [m,M ] para ciertas constantes, ¿que le ocurre a la/s solucion/es del problema?

3. 1.5 ptos. Enuncia y demuestra el principio del maximo debil para la EDP del calor en un

dominio Q

T

bajo la hipotesis adicional de que u 2 C

2((a, b)⇥ (0, T ]).

4. 3.5 ptos. Se considera el problema

8<

:

u

t

� u

xx

= 0, (x, t) 2 (0, 1)⇥ (0,1),u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = x� x

2, x 2 [0, 1].

Halla una solucion (al menos formal) para el mismo por el metodo de separacion de variables.

Estudia y justifica la regularidad de la solucion obtenida. ¿Es clasica?

Analiza la unicidad de solucion.

Prueba que la solucion obtenida en el primer apartado se encuentra entre 0 y 1 para todo(x, t) donde tenga sentido.

5. 1.5 ptos. Dado el problema

8<

:

u

tt

� u

xx

= x, (x, t) 2 (0,⇡)⇥ (0,1),u(0, t) = u(⇡, t) = 1, t > 0,u(x, 0) = u0(x), u

t

(x, 0) = 0, x 2 [0,⇡],

halla un cambio de variables adecuado que lo reduzca de forma equivalente a un problemahomogeneo resoluble por el metodo de separacion de variables. (NO calcules la solucion formalde dicho problema.)

¿Puede poseer el problema solucion de clase C

2([0,⇡]⇥ [0,1))?

Duracion: 2 horas.



o

parcial – Grupo A 16/1/2020


1. 2.5 ptos. Sea el problema de Cauchy-Dirichlet para la EDP de ondas en (�1, 0]⇥ [0,1)8<

:

u

tt

� u

xx

= 0 (x, t) 2 (�1, 0)⇥ (0,1),u(x, 0) = f(x), u

t

(x, 0) = g(x) x 2 (�1, 0],u(0, t) = �(t) t > 0,

para ciertas funciones f, g y �.

a) Establecer condiciones de compatibilidad necesarias para que pueda existir solucion clasicadel problema, esto es, u 2 C

2((�1, 0]⇥ [0,1)).

b) Demostrar, si es posible, el correspondiente resultado de existencia y unicidad de solucionclasica para el problema bajo las condiciones establecidas en el apartado anterior.

c) Para el caso particular f(z) = �(z) = sin(z), g(z) = cos(z), calcular, si es posible, unasolucion clasica del problema.

2. 2.5 ptos. Se considera el problema de Cauchy-Dirichlet para la EDP de ondas en [0,1)⇥ [0,1)8<

:

u

tt

� u

xx

= 0 (x, t) 2 (0,1)⇥ (0,1),u(x, 0) = f(x), u

t

(x, 0) = g(x) x 2 [0,1),u(0, t) = ↵(t) t > 0,

para f(z) = ↵(z) = sin(z) y g(z) = z.

a) ¿Puede existir solucion clasica del problema? Razonese la respuesta.

b) Hallar una solucion, bien sea clasica o bien generalizada.

c) ¿Que regularidad global en [0,1)⇥ [0,1) tiene la solucion hallada en el apartado anterior?

3. 2.5 ptos. Responder las siguientes cuestiones:

a) Forma explıcita de la solucion fundamental del Laplaciano � : RN \ {~0} ! R para N � 2.

b) Dados ⌦ ⇢ RN (N � 2) abierto acotado de clase C

1 y u 2 C

2(⌦), dar la representacion deu(x) con x 2 ⌦ en terminos de �u y � ası como de sus valores (o de sus derivadas normales)en la frontera @⌦.

c) Dados ⌦ y u como en el apartado anterior, y w = w(y, x) definida en ⌦⇥ ⌦ con w(·, x) 2C

2(⌦) para todo x 2 ⌦ verificando �y

w(y, x) = 0 para todo par (y, x) 2 ⌦⇥⌦, escribir lasegunda identidad de Green aplicada a las funciones u y w.

d) Obtener de los apartados anteriores una expresion G y deducir una representacion de u(x)para x 2 ⌦ en terminos de �u y los valores de u y G (o eventualmente de sus derivadasnormales) en la frontera @⌦. ¿Que propiedades debe satisfacer una tal funcion de Green G?

e) Sea N � 2. Para el caso concreto en que ⌦ = BRN (~0, R), explicitar una funcion de Green.¿Es unica o puede haber mas de una funcion de Green? Justifıquese la respuesta.

4. 2.5 ptos. Resolver explıcitamente los siguientes problemas elıpticos

a) ⇢��u = x

21 + x

22 en BR2(~0, 1),

u(x1, x2) = x1 sobre @BR2(~0, 1).

b) ⇢��u = 0 en BR2(~0, 3),u(x1, x2) = log((x1 � 2)2 + x

22) sobre @BR2(~0, 3).

Duracion: 2 horas.



aconvocatoria 6/02/2020

APELLIDOS, nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grupo1: . . . . . .Parte 1 ⇤ Parte 2 ⇤ Todo ⇤

Primer parcial.

1. 3 ptos. Obten la forma canonica de la siguiente ecuacion e indica de que tipo es.

�4ux1x2 + (x1 � x2)(ux1 + u

x2) + u = 2,

2. 4 ptos. Se considera el problema

8<

:

u

tt

� u

xx

+ u

t

= 0, (x, t) 2�0, ⇡2

�⇥ (0,1),

u

x

(0, t) = 0, u

�⇡

2 , t�= 0, t > 0,

u(x, 0) = 0, u

t

(x, 0) = ⇡

2 � x, x 2⇥0, ⇡2

⇤.

a) Demuestra que el problema tiene a lo mas una solucion clasica.

b) Resuelve el problema por el metodo de separacion de variables.

c) Demuestra que esta solucion es de clase C

1([0, ⇡2 ]⇥ [0,1)) ¿Es de clase C

2([0, ⇡2 ]⇥ [0,1)?

3. 3 ptos. Enuncia un teorema de existencia y unicidad de solucion clasica para el siguiente pro-blema y demuestra el resultado de existencia.

⇢u

t

� u

xx

= 0, (x, t) 2 R⇥ (0,1),u(x, 0) = u0(x), x 2 R.

Segundo parcial.

4. 4 ptos. Se considera el problema

8<

:

u

tt

� 4uxx

= 0, (x, t) 2 (0,1)⇥ (0,1)u

x

(0, t) + u(0, t) = 0, t > 0,u(x, 0) = f(x), u

t

(x, 0) = g(x), x 2 (0,1).

a) Obten las condiciones de compatibilidad que deben cumplir las funciones f y g para quepueda existir solucion clasica.

b) Obten la solucion explıcita del problema en el caso f(x) = 1� x, g(x) = 0.

5. 3,5 ptos. Siendo B la bola en R3 de centro cero y radio 3, calcula la solucion del problema

(��u = 9� (x2 + y

2 + z

2) en B

u = 1p(x�1)2+(y�1)2+z

2sobre @B.

6. 2,5 ptos. Dada B la bola en R2 de centro cero y radio uno consideramos la solucion u delproblema ⇢

��u = 0 en B

u = x

21 � x1 sobre @B.

Calcula u(0), maxB

u, mınB

u, donde se alcanzan estos dos ultimos.

Nota: Alumnos con la asignatura completa: todos los ejercicios con la mitad de la puntuacion indicada.Duracion: 3 horas y 30 minutos (asignatura completa) / 2 horas (solo una parte).

1Gr. A: Prof. P. Marın Rubio; Gr. B: Prof. J. Casado Dıaz

grados en matem´aticas, mat-f´ıs y mat-est – univ. sevilla ...enuncia y demuestra el principio...

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