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GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS

2

TEMARIO:

Tema 1. Problemas de especificación en un modelo econométricoTema 2. Cambio estructuralTema 3. Problema de regresores estocásticosTema 4: El Modelo de Regresión Generalizado (MRG)Tema 5: El problema de heteroscedasticidad en la perturbación aleatoriaTema 6: Problemas de autocorrelación serial en la perturbación aleatoriaTema 7: Contrastes de autocorrelación serial y vías de soluciónTema 8: Series temporales: características y predicciónTema 9: Introducción a los modelos ARIMATema 10: Predicción de series temporales con modelos ARIMATema 11: Planteamiento general del Modelo de Ecuaciones Simultáneas (MES)Tema 12: Identificación y estimación del MES

Tema 1: Problemas de especificación @ Prof. Coro Chasco (UAM)

Tema 1:Problemas de especificación en un modelo econométrico

Prof. Coro Chasco YrigoyenAsignatura: Econometría de la Empresa

2

Tema 1. Problemas de especificación en un modelo econométrico: Índice

1.0. Problemas del MBRL y la estimación MCO1.1. Definición e incumplimiento de la hipótesis

de rango pleno1.2. No multicolinealidad1.3. Muestra suficientemente grande1.4. Especificación correcta de las variables

explicativas1.5. Forma funcional correcta


Tema 1: Problemas de especificación en un modelo econométrico: Bibliografía

Pulido, A. y J. Pérez (2001), Modeloseconométricos. T.10 (10.1, 10.2a,b,c,d) y T. 11 (11.2 y 11.3.a).

Wooldridge, J. (2006), Introducción a la econometría. Un enfoque moderno, T.9 (9.1) y T.10 (10.2).

Guisán, C. (1997), Econometría, T. 5 (5.1, 5.2, 5.3, 5.4); T.8 (8.2, 8.3)

Trívez, F.J. (2004), Introducción a la econometría, T. 8 (8.4). Greene, W.H. (2000), Econometric analysis, Ch. 6 (6.7), Ch. 8

(8.4), Ch. 17 (17.1 y ejemplos del 17.2).

3Tema 1: Problemas de especificación @ Prof. Coro Chasco (UAM)

4

1.0. Problemas del MBRL y la estimación MCO


Modelo: representación simplificada de la realidad

Tª económico-social+

Función matemática

+

Variables+datossocioeconómicos

+

Inferenciaestadística

Modelo econométrico

1

1 2

0 1 2

ˆ [ ]ˆ ˆ;

ˆ ˆ ˆ ˆ

t t t

X X X produc

produc invers produc trabaj

produc invers trabaj

0 1 2t t t tproduc invers trabaj u

Modelo neoclásico de crecimiento:Prod = f(Invers., Trabaj.)

Predecir las ventas/producción… de una empresa/país…Toma de decisiones sobre inversiones, reparto de beneficios…

5



0 1 2t t t tproduc invers trabaj u

Modelo neoclásico de crecimiento:Prod = f(Invers., Trabaj.)

Predecir las ventas/producción… de una empresa/país…Toma de decisiones sobre inversiones, reparto de beneficios…

Ausencia de teoría

Muestra insuficiente: poca fiabilidad estadística (t, F, 2,…)

1

1 2

0 1 2

ˆ [ ]ˆ ˆ;

ˆ ˆ ˆ ˆ

t t t

X X X produc

produc invers produc trabaj

produc invers trabaj

Multicolinealidad:Impactos no diferenciados y x1 x3x2

Omisión de variables (X) relevantesInclusión de variables (X) irrelevantesForma funcional incorrectaMalas propiedades en la “u”

Sesgo, ineficiencia, inconsistencia

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PROBLEMAS DEL MBRL(incumplimiento de hipótesis básicas) Estimadores Var(b) / test t R2Multicolinealidad Poco precisos Muestra pequeña Poco precisos Explicativas irrelevantes/redundantes Poco precisos Omisión de variables relevantes Sesgo, ineficiencia, inconsistencia Forma funcional incorrecta Sesgo, ineficiencia, inconsistencia DependeCambio de estructura Sesgo, ineficiencia, inconsistencia Regresores estocásticos Sesgo, ineficiencia, inconsistencia No es válidoMedia no nula de "u" Sesgo, ineficiencia, inconsistencia No Normalidad de "u"Heterocedasticidad de "u" Ineficiencia Sesgo No es válidoAutocorrelación de "u" Ineficiencia Sesgo No es válido

EFECTOS SOBRE…

No son válidos los contrastes de hipótesis basados en los tests t, F

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1.1. Definición e incumplimiento de la hipótesis de rango pleno

Definición de la hipótesis: (X) = k

Rango = el orden del mayor determinante que se puede formar con la matriz X. Como n > k, el rango pleno será el nº columnas o variables de X (k).

Incumplimiento de la hipótesis: multicolinealidad exacta

knn

k

k

xx

xxxx

..1..............

..1

..1

2

222

121


X =

1.2. Multicolinealidad: a) exacta Definición matemática de rango pleno de “X”: (X) < k Causas: existencia de relación matemática entre las variables explicativas


Se analiza el impacto de 3 políticas de marketing sobre las ventas de un producto durante una muestra de datos mensuales (ct): z1 (anuncios en TV), z2 (buzoneo) y z3 (anuncios en vallas).

Para evitar la trampa de las variables ficticias, excluimos z3 del modelo:

9

1.2. Multicolinealidad: a) exacta

Tema 5: Interpretación de los coeficientes. @ Prof. Coro Chasco (UAM), 2012

t 0 1 t 2 t 3 t tc z1 z2 r u

t 0 1

t 0 2

t 0

ˆ ˆˆTV (z1=1; z2=0) cˆ ˆˆbuzoneo (z1=0; z2=1) c

ˆˆvallas (z1=0; z2=0) c Ordenada en el origen: impacto de la política de marketing excluida (vallas), que es la referencia.

1 2ˆ ˆ, Ptos. de corte diferenciales; en cuánto difiere el crecimiento medio del

VAB en los 2 períodos anteriores respecto del 97-03..

10

1.2. Multicolinealidad: a) exacta ………(cont.)

1 2 3 4 0nlabor wage inc nlabor wage inc

1 2 3 4C nlabor wage inc u

C: consumo hogares, nlabor: rentas no salariales, wage: rentas salariales, inc: total renta disponible

Otro ejemplo vendría dado por la introducción de relaciones contablesdentro del modelo


1

2 3

4

.1

1

consumo cte

11

1.2. Multicolinealidad exacta………(cont.)

Si: (X) < k |X’X| = 0 [X’X]-1 no se puede calcular

bj = [X’X]-1 X’y no se puede calcular

Var(bj) = 2 . ajj no se puede calcular

Consecuencias:

Eliminación de una de las variables explicativas del modelo (una de las ficticias o el propio término independiente, en el caso de la trampa de variables ficticias).

Vías de solución:


Diag. principal [X’X]-1

1 2 8 1001 3 12 15

... ... ...1 10 30 40

cte nlab wage inc

X...

12

1.2. Multicolinealidad: b) excesiva

Definición: Corr (xJ ,xs ) |1|

• Variables con tendencias comunes• Variables explicativas retardadas• Variables explicativas con relaciones funcionales de tipo económico• Variables explicativas muy parecidas conceptualmente

Causas:


No existe relación matemática perfecta entre variables explicativas. Pero sí una fuerte correlación estadística.

13

1.2. Multicolinealidad: b) excesiva……(cont.) Consecuencias:

• Los bmco son ELIO: MCO es el “mejor” método de estimación lineal.• Pero los bmco son poco precisos, con signos y valores incorrectos, pues una elevada multicolinealidad provoca un valor elevado en las varianzas de los estimadores, lo que a su vez puede ocasionar problemas en los contrastes de significación individual de b:

k n – k 2 = e’e/n-k Var(b) = 2.ajj tn – k = bj/S(bj) Rechazo de variables significativas de X.

• El test R2 tiende a crecer con la inclusión de variables redundantes. Por eso, suele ser frecuente que, en presencia de multicolinealidad, se produzcan valores elevados de R2

y contrastes no significativos en los parámetros individuales.• Un modelo con graves problemas de multicolinealidad sólo podría utilizarse como herramienta de predicción, siempre cuando se admita para el período extramuestraluna correlación entre variables similar a la observada para el período muestral.

^ ^


14

1.2. Multicolinealidad: b) excesiva……(cont.) Multicolinealidad y predicción a futuro:

• Un modelo con graves problemas de multicolinealidad sólo podría utilizarse como herramienta de predicción, siempre cuando se admita para el período extramuestraluna correlación entre variables similar a la observada para el período muestral.


Período futuro

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1.2. Multicolinealidad excesiva………(cont.) Contrastes:

1. Contraste de Klein: Es un contraste no paramétrico que considera que existe multicolinealidad excesiva cuando:

3. Contraste del número condicional de la matriz X’X: Existe multicolinealidadexcesiva si este número > 30 ó 40.

2. Comparación entre el test t y R2: puede sospecharse de multicolinealidad excesiva cuando el R2 sea elevado, pero todas (o parte) de los test t sean no significativos.

2, RxxCorr sj


16

1.2. Multicolinealidad: b) excesiva……(cont.)

Vías de solución:

Cambiar de modelo:1. Transformación en tasas de variación2. Eliminación de variables redundantes

Búsqueda de información adicional (más variables/datos):1. Ampliación del período muestral2. Modelos más complejos: datos de panel, multiecuacionales

Otros métodos de estimación (por ejemplo, componentes principales).

Aceptación del problema y “convivencia” con él.


1.2. c) Ejemplos: multicolinealidad exacta

tttt ucpcnfcf 959595 321 Cf95: consumo privado interior real, total

Cnf95: consumo privado interior real, no alimentación

Cp95: consumo privado interior real, alimentación


1.2 c) Ejemplos: multicolinealidad excesiva

Euprate: tasa de paro

Gdpm95: PIB real

El: población activa

Pcp: IPC

Vatot95: VAB real

Pcpue: índice de precios UE

Posible multicolinealidad excesiva:

1) Hay variables explicativas posiblemente redundantes, desde el punto de vista económico: 2 variables de precios y 2 variables de producción.

2) Hay coeficientes no significativos y un R2 muy elevado.


1.2. c) Ejemplos: multicolinealidad excesiva…

19

Test de Klein:

2 0,9883R

1.2. c) Ejemplos: multicolinealidad excesiva…Estrategia: eliminar aquella explicativa con menor valor de t:

1.2. Ejemplos

capit: capital CCAAaltit: altitudtmin: temper. mínimatmax: temper. máximatmed: temper. mediatlluv: precipitación tot.humm: humedad mediahsol: horas de soldtems25: días temp > 25ºdtemi0: días temp < 0º dnub0: días nubososddespe: días despejadosdcubi: días cubiertoscosta: existencia de costalimmar: longitud costa

21

22

1.3. Muestra suficientemente grande Uno de los requisitos que debía cumplir la estimación del MBRL es

la disposición de una información suficientemente amplia sobreel total de variables observables implicadas en el modelo.

Como requisito matemático mínimo: n > k Como requisito estadístico-inferencial, en modelos de series

temporales anuales: n – k > 15, mensuales/trimestrales: n – k > 60,regionales: n – k > 50… (no hay regla fija).

Muestra pequeña: constituye un problema porque, aunque losestimadores MCO son ELIO, presentan varianzas más elevadasrespecto de las que se obtendrían con tamaños muestralessuperiores (igual que multicolinealidad excesiva):

n n – k 2 = e’e/n-k Var(b) = 2.ajj Mayor error de predicción

Menor valor de t(b)^ ^


23

1.3. Muestra suficientemente grande …(cont)


24

1.4. Especificación correcta de las variables explicativas

En la práctica econométrica difícilmente puede tenerse laseguridad de haber conseguido una especificación correcta.Incluso cuando se cumplen los requisitos previos necesarios:1) formación teórica2) conocimiento de la realidad3) análisis de modelos similares4) valoración de la información estadística disponible.

La especificación de un modelo exige todo un proceso iterativode perfeccionamiento.

Una mala especificación en la matriz “X” puede producirse por:1) Inclusión de variables explicativas irrelevantes2) Omisión de variables explicativas relevantes


25

1.4. Especificación correcta de las variables explicativas………………(cont)

Caso similar a la multicolinealidad excesiva: k Consecuencias:

k n – k 2 = e’e/(n- k) Var(b) = 2.ajj tn – k = bj/S(bj) Rechazo de variables significativas de X.

Contraste t: otorga valores no significativos a los coeficientes de variables explicativas no relevantes.

Vías de solución: exclusión de las explicativas no relevantes; cuando hubiera varias, se comienza por aquélla con menor valor del test t y se re-estima el modelo (proceso “backward”).

8.2.A. Inclusión de variables explicativas irrelevantes (o redundantes)

^^


26

1.4. Especificación correcta …………(cont)8.2.A. Inclusión de variables explicativas irrelevantes. Proceso “backward” o “de lo general a lo particular”:

1ª

2ª


27

1.4. Especificación correcta …………(cont)8.2.A. Inclusión de variables explicativas irrelevantes. Proceso “backward” o “de lo general a lo particular”:

3ª

Modelo final


28

1.4. Especificación correcta de las variables explicativas………………(cont)

En estos casos, se produce un desdoblamiento de la matriz X de variables explicativas:

8.2.B. Omisión de variables explicativas relevantes

21 XXX

Es decir, existen 2 modelos a comparar:(1) Modelo realmente especificado: y = X1 1 + v

(2) Modelo correcto:

X1: variables explicativas incluidas en el modeloX2: variables explicativas relevantes excluidas del modelo

11 2 1 1 2 2

2 y X u X X u X X u


29

1.4. Especificación correcta …………(cont)8.2.B. Omisión de variables explicativas relevantes

La omisión de variables relevantes en un modelo produce (normalmente) estimadores sesgados.

Como v = X22 + u → Var(v) > Var(u) → Ineficiencia Además, este sesgo no desaparece según aumenta el tamaño

muestral (n ) y, por tanto, los estimadores resultan también inconsistentes.


11 2 1 1 2 2

2 y X u X X u X X u

Modelo correcto:

Modelo estimado: y = X1 1 + v

30

Modelo original = restringido (r): y = X1 1 + v Modelo correcto = sin restricciones (s): y = X1 1 + X2 2 + u H0(β2 = 0): las variables explicativas adicionales (X2) no son

conjuntamente significativas; es decir, el modelo restringido (r)es el correcto (sin errores de especificación).

Proceso:1. Estimación de ambos

modelos (r, s) porMCO.

2. Cálculo del test F:Grados de libertad modelo (r): n – (k – m)Grados de libertad modelo (s): n – k

X1 (n, k – m) ; X2 (n, m) ; X (n, k)

1.4. Especificación correcta …………(cont)8.2.B. Test F de omisión de variables explicativas relevantes

r r s s mn k

s s

e e e e mF F

e e n k


31

1 1ˆr re y y y X

H0(β2 = 0) H1(β2 ≠ 0)

1 1 2 2ˆ ˆˆs se y y y X X

mn kF

Si

Si 0r r s s

r r s s

e e e e F

e e e e F


r r s s mn k

s s

e e e e mF F

e e n k


32

Modelo expandido:

Test F(1,24-4)Rechaza H0 ( = 0) con

3% confianzaAceptamos H0: la

variable añadida (FCEE) no es relevante

1 2 3 1log 95 log 95 logvatot ivfh el fcee u


r r s s mn k

s s

e e e e mF F

e e n k

33

Estudio de la teoría económica subyacente Conocimiento de los modelos

econométricos anteriormente propuestos. Conocimiento de la realidad económico-

social acontecida en el período temporal y el espacio geográfico analizado.

1.4. Especificación correcta …………(cont)6.2.B. Solución a la omisión de variables explicativas relevantes


34

Un modelo econométrico adolece de mala especificación funcional cuando proponemos una relación entre la variable dependiente y las variables explicativas que es inadecuada.

La obtención de estimadores MCO con buenas propiedades (ELIO) supone la existencia de una relación funcional linealentre la variable “y” y el conjunto de regresores X.

La relación lineal es la predominante en modelos macro, a excepción de los modelos de producción donde suele proponerse una relación exponencial (linealizable).

Sin embargo, en aplicaciones microeconómicas, es preferible utilizar otras formas funcionales (a veces no linealizables); por ejemplo, una relación potencial o logística.

1.5. Forma funcional correcta


35

1.5. Forma funcional correcta…………(cont)

Una mala especificación por forma funcional incorrecta es, a veces, un caso particular de omisión de variables relevantes. Por eso, las consecuencias sobre el modelo son:

1. Estimadores MCO sesgados, ineficientes e inconsistentes

2. Distorsión en el funcionamiento de los tests de significación t y F.

Las vías de solución son las mismas que en el caso de omisión de variables relevantes.

1 2 3Precio

11 t tt t uCuotaBien

e

Ej:


36

1.5. Forma funcional correcta…………(cont)


Tema 2:Cambio estructural


2

Tema 2. Cambio estructural: Índice2.1. Definición2.2. Causas del cambio estructural2.3. Consecuencias del cambio estructural2.4. Contrastes de permanencia estructural2.5. Vías de solución

Tema 2: Cambio estructural @ Prof. Coro Chasco (UAM)

Tema 2. Cambio estructural: Bibliografía

Pulido, A. y J. Pérez (2001), Modeloseconométricos. T.10 (10.4), T.11 (11.3.a)

Wooldridge, J. (2006), Introducción a la econometría. Un enfoque moderno, T.7 (7.4), T.10 (10.2).

Gujarati, D.N. (2003), Econometría (4ª edición), T.17 (17.1 a 17.4).

Greene, W.H. (2000), Econometric analysis, Ch. 7 (7.6, 7.8), Ch. 17 (17.1 y ejemplos del Ch. 17.2).

Guisán, C. (1997), Econometría, T.6 (6.3)

3Tema 2: Cambio estructural @ Prof. Coro Chasco (UAM)

4

2.1. Definición

DEFINICIÓN (series temporales):La hipótesis básica de la constancia de los parámetros del

modelo de regresión consiste en la existencia de una estructura única, válida para todo el período de observación y que suponemos se mantiene para el período de predicción.

1 2 3

80 1 2 80 3 8080

03 1 2 03 3 0303

1 2 3

95 @

95 @

95 @

, , , 80,...,03

t t ttcf eetot pch pcp u

cf eetot pch pcp u

cf eetot pch pcp u

ctes t

H0:


5

2.1. DefiniciónDEFINICIÓN (datos espaciales):La hipótesis básica de la constancia de los parámetros del

modelo espacial consiste en la existencia de una estructura única, válida para todo el espacio geográfico considerado.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3, , , ,...,

i i i i

alava alava alava alava

zarag zarag zarag zarag

rtah educ empleo u

rtah educ empleo u

rtah educ empleo u

ctes i alava zarag

H0:


6

2.1. DefiniciónPermanencia estructural:

H1: existen 2 estructuras: I y IIH0: existe 1 estructura

1 1 1 2 2 2 ; I II I IIb b b b b b Cambio estructural:


7

2.2. Causas

1. Especificación errónea (omisión de variables relevantes o forma funcional incorrecta). Puede suponer un reajuste del modelo a través de sus parámetros, es decir, una estructura excesivamente simplificada que no se adapta bien a la evolución del fenómeno real que trata de explicar.

2. Series temporales: Cambios institucionales y del contexto socioeconómico que transforman la estructura interna de funcionamiento de los fenómenos.

3. Datos espaciales: Grandes diferencias socioeconómicas entre regiones, como pueden ser las regiones ricas del norte europeo y las pobres del sur: por ejemplo, un fenómeno económico en el que se produce un acusado esquema norte-sur o centro-periferia.


8

2.3. Consecuencias

1. El test t-Student hará más difícil la aceptación de la significación estadística de un estimador para el conjunto del período/espacio geográfico (aunque pudiera serlo en forma muy acusada para una submuestra).

2. La mezcla de estructuras diferentes dará lugar, a estimadores sesgados, inconsistentes, ineficientes y con errores en la aplicación de t-Student

3. A efectos de predicción a futuro: sólo la estructura más reciente debiera, ser utilizada (siempre y cuando la muestra sea suficiente).

12 2 j

u u jj

bVar b X X t b

S b


9

2.4. Contrastesa) Test F de Chow

1. Permite contrastar la existencia de un número finito de estructuras discretas en el conjunto de datos. Por ejemplo:

2. Se basa en 3 regresiones:

Antes entrada en UE: 80-86. Series temporales: Periodo 1980-2006

Pertenecia a la UE: 87-06

Costeras+Madrid: 23 provs.. Datos espaciales: Provincias españolas (50)

No costeras: 27 provs.

1 1 1

2 2 2

1 1,1 , ,1 ,1

1,1 , ,1 ,1

1,1 , ,1 ,1

Total: ; 1,..., 1,..., , 1, ...,

Submuestra 1: ; 1,...,

Submuestra 2: ; 1,...,

n n k k n

In n k k n

IIn n k k n

y X u i n n n n

y X u i n

y X u i n n


10

2.4. Contrastesa) Test de Chow

1. Si se cumple la hipótesis nula (ausencia de cambio estructural):

2. Es un test F:

1 1 1 2 2

2

ˆTotal: MCO ; ˆSubmuestra 1: MCO ; ˆSubmuestra 2: MCO ;

I I

II II

y X u y Xb ey X u y Xb e e e e e e e

y X u y Xb e

1 1 2 2

, 2

1 1 2 2

2

k n k

e e e e e ekF F

e e e en k


1 1 2 2

1 1 2 2

A medida que:

Si 0

e e e e e e F

e e e e e e F

1 2 395 @t t ttcf eetot pch pcp u

Análisis exploratorio de los errores: detección de períodos de transición

1988 – 19911993 – 1995

t = 1980 – 2003


A. Modelo de series temporales


1 2 3i i i irtah educ empleo u

i = 1 – 50


B. Modelo de datos espaciales

Análisis exploratorio de la “u”: detección de subespacios

Nordeste+MadridResto de España


Test significativo con casi el 100% de confianza(p-valor=0.000087).

' '1 1 2 2

' '1 1 2 2

'

2

e e e e e ekF

e e e en k

I: t = 1980 – 1993II: t = 1993 – 2003


Modelo de series temporales

1 2 395 @t t ttcf eetot pch pcp u


14

1. El punto de corte (n1) debe conocerse de antemano (o el límite de los subespacios, en el caso territorial).

2. El test pierde potencia según el punto de corte se acerque hacia un extremo de la muestra.

3. El test es sensible a la existencia de heteroscedasticidad en el modelo. Por eso, la heteroscedasticidad debería ser detectada y corregida, previamente al contraste del cambio estructural.

2.4. Contrastesb) Limitaciones del test de Chow


15

1. Variables ficticias

2. Regresiones cambiantes (“switching regressions”).

2.5. Vías de solución


16

Inclusión de una variable ficticia (z) en la regresión total, que implica una solución de variable relevante omitida, cuyo sentido económico (signo) y significación estadística deben ser testados e interpretados:

z = 0: para las observaciones de la estructura Iz = 1: para las observaciones de la estructura II.

Pueden incluirse tantas variables ficticias como cambios estructurales haya en el modelo.

a) Variables ficticias



17

Tipo de variables ficticias, según el fenómeno que representan:

1 2 3 .... n1 .............. n

0

1

1 2 3 .... n1 .............. n

1 2 3 ....... n1 ........... n

0

2

1

0

Ficticia de escalón: fenómenos que cambian bruscamente a partir de un período n1 hasta el final (cambio institucional, entrada en vigor de una ley, etc.)

Ficticia de tendencial: fenómenos que, a partir de un período n1, experimentan un crecimiento en intensidad (crisis economícas, fenómenos de reconversión, aplicación progresiva de una política, etc.)

Ficticia de impacto: fenómenos que tienen lugar únicamente en un período n1 de la muestra (aplicación de una promoción, sequía, error atípico, etc.)





1 2 395 @cf eetot pch pcp u Modelo de series temporales

1993 (libre capitales)

19

a) Variables ficticiasModelo espacial

1 2 3i i i irtah educ empleo u

Subespacios:I. Nordeste+MadridII. Resto de España


20

En concreto, para 2 estructuras discretas, se formulan 2 regresiones, correspondientes a los 2 períodos (o subespacios), tal como sucede en el test de Chow. Estas regresiones se estiman por MCO:

ˆSubmuestra 1: MCO ˆSubmuestra 2: MCO

I I

II II

y X u y Xby X u y Xb

• El modelo para el 2º supberíodo es interesante en ejercicios de predicción temporal

• POSIBLE LIMITACIÓN: ineficiencia de los estimadores por falta de grados de libertad en alguna o todas las submuestras.

b) Regresiones cambiantes (“switching regressions”)



Regresión global:

Inestabilidad en @pch(PCP)

No aceptable el signo + en 2ª regresión

1 2 395 @cf eetot pch pcp u

b) Regresiones cambiantes

Tema 3:Problema de regresores estocásticos


2

Tema 3. Problema de regresoresestocásticos: Índice

3.1. Concepto3.2. Causas de aleatoriedad en los regresores3.3. Consecuencias de los regresores

estocásticos3.4. Test de exogeneidad de los regresores3.5. Vías de solución de los regresores

estocásticos

Tema 3: Problema de regresores estocásticos @ Prof. Coro Chasco (UAM)

Tema 3: Problema de regresoresestocásticos: Bibliografía

Pulido, A. y J. Pérez (2001), Modeloseconométricos. T.10 (10.3).

Greene, W.H. (2000), Econometric analysis, Ch 1, Exam. 1.1, 1.2; Ch 6, Exam. 6.1, 6.2

3Tema 3: Problema de regresores estocásticos @ Prof. Coro Chasco (UAM)

4

3.1. Concepto de exogeneidad

Una de las hipótesis del MBRL es el carácter determinista (o no estocástico) de las variables explicativas (o regresores).

Esta hipótesis excluye la posibilidad de que:

1. La variable endógena intervenga (temporal o espacialmente) retardada como variable explicativa.

2. Se produzcan relaciones simultáneas de doble causalidad entre la variable endógena y una o más explicativas.

3. Haya (importantes) errores de medición en las variables explicativas.


0 ty X u E X u Covarianza o correlación entre X y u

0 tE X u

5

3.2. Causas de aleatoriedad en los regresores1. Dinamicidad: inclusión de variables temporal o espacialmente

retardadas como explicativas:

2. Simultaneidad: existencia de relaciones de doble causalidad entre la variable endógena y alguna explicativa:

1 2 2 3 1t t t ty x y u Modelo temporal:

1 1 2 2 1 3 2 1t t t ty x y u

1 1 t ty f u

2t ty x1 2 2 3 3t t t ty x x u

2 1 2 3 4t t t tx y x v 2 t tx f v


yt–1 : Regresor estocástico (no determinista, no exógeno).

x2t: Regresor estocástico (no determinista, no exógeno).

Ej.: inverst = β0 + β1inverst– 1 + β2tipost + ut

Ej.:homici = β0 + β1polii + β2rentai + uipolii = 0 + 1homici + vi

6

3.2. Causas de aleatoriedad en los regresores (cont)

3. Errores de medida: existencia de una inadecuada medición de una o más variables explicativas.

E

E

W

y X uy X X u

y X u X

X*: matriz con “datos sucios” (errores de medición)

E E

E

W u X X W u X f u

EX f X f u

Dado que ninguna medición es totalmente perfecta, todas las variables tienen –en teoría- problemas de medición. El problema se agrava cuando los errores son especialmente importantes (por conocidos).


X*: Regresor estocástico (no determinista, no exógeno).

7

3.3. Consecuencias de regresores estocásticos1. Dinamicidad:

1

1 2 2 3 1

t

X

t t t tu

y x y u

1

1

asintoticamente insesgados

asintoticamente eficientesconsistentes

insesgadosconsistentes

ineficientes

0

0

mcot t

mcot t

Si E u u b

Si E u u b

1( )t ty f y

Cuando no hay autocorrelación en u:


para n

Dependencia no contemporánea

para n Independencia

2. Simultaneidad Dependencia contemporánea3. Errores de medida

sesgados

ineficientes

inconsistentes

mcob

Cuando hay autocorrelación en u:

1 0t tE X u E X u

1 0tE X u

?

8

3.4. Test de exogeneidad de los regresoresContrastes para detectar regresores estocásticos:1. Variable endógena retardada como explicativa: se trata de una decisión del

modelizador y, por tanto, algo conocido.

2. Errores de medida en las explicativas: el modelizador debe tener un conocimiento profundo de las variables del modelo (la fuente estadística de la que procede, procedimiento de medición, posible problemática o sesgo en los datos, etc.)

3. Relación de simultaneidad entre la variable endógena y una o más explicativas: en algunas ocasiones, el modelizador puede tener un conocimiento “a priori” de la teoría económico-social subyacente al modelo y, por tanto, saber (o sospechar) de la existencia de este tipo de doble relación de causa-efecto entre la endógena y alguna explicativa.

En cualquier caso, siempre que exista más o menos certeza al respecto, es conveniente contrastar esta posible simultaneidad dentro del modelo. Un contraste que permite conocer este fenómeno es el TEST DE EXOGENEIDAD DE GRANGER.


9

Test de exogeneidad de Granger:

3.4. Test de exogeneidad de los regresores (cont.)

Aborda la cuestión de hasta qué punto una variable “causa” otra variable. En el MBRL, son las variables explicativas (xjt) las que deben causar yt (no al revés)Si sucediera que yt también causara alguna xjt, se producirá una relación de simultaneidad y, por tanto, de dependencia contemporánea, que producirá estimadores bj no ELIO. El test está basado en 2 regresiones auxiliares y contrasta la capacidad de la variable endógena y, retardada varios períodos (l), de explicar una variable explicativa x que, a su vez, está también explicada por l valores pasados de dicha variable:

0 1 1 2 2

0 1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ...( ) ... ...

t t t l t l t

t t t l t l t t l t l t

r x x x x us x x x x y y y v

Test de Granger: test F que compara 2 modelos: restricto (r) y sin restricciones (s)Se dice que x es causada en sentido Granger por y si y ayuda a la explicación de x (si los coeficientes estimados de las variables retardadas de y son estadísticamente significativos.)

1 2 3t t t ty x z u

l: nº retardos


H0(“una variable no es causa de la otra”)

10

2 12 1

r r s s ln l

s s

e e e e lF F

e e n l

H0(1=2=…=l = 0): los l retardos adicionales de la variable endógena no sonconjuntamente significativos; es decir, el modelo restringido (r) es el correcto (y nocausa x).

Proceso: 1º) Estimación de ambos modelos (r) y (s) por MCO. 2º) Cálculo del test F:

Test de exogeneidad de Granger:

3.4. Test de exogeneidad de los regresores (cont.)

H0(= 0) H1( ≠ 0)

mn kF

Si

Si 0r r s s

r r s s

e e e e F

e e e e F

0 1 1 2 2

0 1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ...( ) ... ...

t t t l t l t

t t t l t l t t l t l t

r x x x x us x x x x y y y v

1 2 3t t t ty x z u


11

Test de exogeneidad de Granger:3.4. Test de exogeneidad de los regresores (cont.)

1 2 395 95t t t tvatot ivfh gdpw u

Para l = 2, 3 (también 4 y 5), se rechaza H0. Por tanto, la endógena (vatot95) sí causa a la explicativa (ivfh95)

H0: la endógena (vatot95) no causa la explicativa (ivfh95)

H0(“una variable no es causa de la otra”)

12

Mínimos cuadrados en 2 etapas (MC2E):


• Los estimadores bmco son sesgados, ineficientes e inconsistentes cuando se produce simultaneidad entre la variable endógena y una o más explicativas (dependencia contemporánea entre X y u).

• En estos casos, el método de estimación MCO debe sustituirse por MC2E, que -como su nombre indica- debe realizarse en 2 etapas:

1. Primera Etapa: construcción de una variable “proxy” de la variable explicativa de carácter endógeno (xt), a partir de una o más variables instrumentales (m1, m2,…).

Las variables instrumentales m deben cumplir 2 condiciones:a) Estar muy correlacionadas con la variable explicativa de carácter endógeno (xt)b) Estar incorrelacionadas con la perturbación aleatoria u.

Se pueden considerar como instrumentos el primer retardo de la variable explicativa de carácter endógeno (xt-1) y alguna de las explicativas exógenas, entre otras.

1 2 3t t t ty x z u ,t t tx f y v


13


3.5. Vías de solución (cont.)

1. Primera Etapa: construcción de una variable “proxy” de la variable explicativa de carácter endógeno (xt), a partir de una o más variables instrumentales (m1, m2,…). Esta variable “proxy” será la estimación MCO de x sobre sus instrumentos:

1 2 3t t t ty x z u ,t t tx f y v

2. Segunda Etapa: se estima por MCO el modelo principal, sustituyendo la variable explicativa de carácter endógeno (xt) por su variable “proxy” ( ).

ttttt vmzxx ...132110 MCO ˆtx Variable “proxy” de xt

ˆtx

1 2 3ˆt t t ty x z u MCO 2ˆ MC E La doble estimación MCO realizada de este modo, se denomina MC2E y los estimadores son ELIO

ˆ ˆAunque t t t tx x x f u


mín.,, ; y máx.,, ; :si Sólo 11 tttttttt mzxuCorrmzxxCorr

14





15





16

Comprobación de la bondad de los instrumentos): “ivfh(-1)”, “gdpw” y “product”




“AAA_RES: residuos MCO (“et”) Baja correlación con los instrumentos

Alta correlación entre las variables instrumentada e instrumentales

Tema 4:El Modelo de Regresión Generalizado (MRG)


2

Tema 4: El MRG: Índice

4.1. Hipótesis básicas del MBRL4.2. Distribución normal de la perturbación aleatoria

4.2.1. Consecuencias de la no normalidad de la u4.2.2. Contrastes de no normalidad de la u4.2.3. Vías de solución de la no normalidad de la u

4.3. Media nula de la perturbación aleatoria4.3.1. Media no nula y variable4.3.2. Media no nula y constante

4.4. Generalización de la matriz Cov(u)4.4.1. Estimación del Modelo de Regresión Generalizado4.4.2. Propiedades de los estimadores MCG

Tema 4: El MRG @ Prof. Coro Chasco

3

Tema 4: El MRG: Bibliografía

Pulido, A. y J. Pérez (2001), Modeloseconométricos. T.12 (12.1, 12.2, 12.3.a, 14.1.a)

Trívez, F.J. (2004), Introducción a la econometría,T.7 (7.1, 7.2, 7.4, 7.6)

Guisán, C. (1997), Econometría, T.4 (4.1, 4.4.1, 4.5) Greene, W.H. (2000), Econometric analysis, Ch. 11 (11.1,

11.2.1, 11.2.2, 11.3.1).


4

4.1 Hipótesis básicas del MBRL4.1.1. Hipótesis sobre la estructura del modelo

. Especificación correcta (linealidad)

. Muestra suficientemente amplia

. Rango pleno

. Permanencia estructural

. Exogeneidad de las variables explicativas

4.1.2. Hipótesis sobre la perturbación aleatoria. Normalidad. Media nula. Homoscedasticidad. No autocorrelación


5

4.1 Hipótesis sobre la uLa perturbación aleatoria es aquella parte (o variación) de la variable endógena no explicada por el conjunto de variables explicativas.

Puede expresarse como un vector columna con tantos elementos (n) como número de observaciones de la muestra.

Una variable “proxy” de la perturbación aleatoria (u) son los residuos de la regresión (e).

Tema 6: Propiedades estadísticas de los MCO.@ Prof. Coro Chasco, 2012

1

2,1 ...n

n

uu

u

u

u y X

y X u

1

2

...

n

ee

e

e

4.1 Hipótesis sobre la u

6

22

0

; ; Cov ,

0 ;

matriz fija con rango X X

n t s t s

y X uE u

t sCov u E u u I u u E u u

t s

X k n


0, u nu N I

21 1 2 11

22 2 1 2 2

1 2 n 1,. .

( )2

,1 1 2 ,

...

u ... u ... u

.... ............................. ...

n

nn

H Bu

n n n n n n n

u u u u uuu u u u u

Cov u E u u E u E

u u u u u u

2

22 2

. .( )

2

0 ... 0 1 0 ... 00 1 ... 00 ... 0

; ...................................0 0 ... 10 0 ...

nH Bu

Cov u E u u I

Los parámetros j de un modelo (ej. ventas) se estiman con una muestra (ej: datos anuales de España, 1980–2003), pero podrían estimarse con T diferentes muestras. Es decir, podrían estimarse T modelos de ventas, uno por cada muestra posible y obtener, para cada uno de ellos, una variable “u” diferente:

7

4.1 Hipótesis sobre la u

ˆ ˆ

ˆ ˆ......................................................

ˆ ˆ

I I I II t t t t t

II II II IIII t t t t t

T T T TT t t t t t

n y y y e u

n y y y e u

n y y y e u

1 2 2

1 2 2

1 2 2

ˆ ˆ ˆˆ ...ˆ ˆ ˆˆ ...

......................................................ˆ ˆ ˆˆ ...

I I I I I II t t k kt

II II II II II IIII t t k kt

T T T T T TT t t k kt

n y x x

n y x x

n y x x

Tema 6: Propiedades estadísticas de los MCO.@ Prof. Coro Chasco, 2012

Muestra I (ES, 1980 – 03)

Muestra II (ES, 2000.01–2012.12)

Muestra T (UE, 1990 – 2015)

1

1

1

... 0,

I

T

uu N

u

Por eso, la “u” es una distribución conjunta de probabilidad (distribución de “n” distribuciones).

1

2,1 ...n

n

uu

u

u

... 0,

In

nTn

uu N

u

2

2

2

... 0,

I

T

uu N

u

Hipótesis básicas de “u”: Normal multivariante, cada una de las cuales tiene media cero y varianza constante

1

...

I

In

u

u

1

...

II

IIn

u

u

1

...

T

Tn

u

u

1 2

1 3

, 0

, 0........................

, 0 ; t s

Cov u u

Cov u u

Cov u u t s

8

4.2. Distribución normal de la u

Causas: errores atípicos, mala especificación (omisión de variables relevantes, no linealidad).

Consecuencias: La hipótesis de normalidad de la u no afecta al proceso de estimación MCO, pero sí a la estimación MV y a la inferencia de los MCO (t-Student, F-Snedecor y a otros tests).

n

Ntn

n 2

1,0

s

rsrFs

r

2

2

,

21 '2 222( ) 2

nn u u

f u e

Incumplimiento de la H.B.: No Normalidad


9

4.2. Distribución normal de la u Contraste: test de discrepancia Jarque-Bera.

22JB

22 3

41

6KSknJB

K: coeficiente de curtosis

S: coeficiente de simetría

Normalidad: K = 3 ; S = 0


modaresid

frecuenciafrecuencia

10

4.2. Distribución normal de la u Soluciones:

1. Atípicos: corrección atípicos en la “y” (sustitución por el valor medio o eliminación)

2. Mala especificación: introducción de variables excluidas y forma funcional correcta.

3. No estimar por MV4. Recurrir a tests robustos a la no normalidad5. Mayor exigencia con los tests t y F6. Transformación de variables en logaritmos.


11

4.3. Media nula de la perturbación aleatoria

Media no nula y variable: Media no nula y constante:

E[ut] = 0 E [u1] = E [u2] = ... = E[un] = 0

E[ut] 0 E [u1] E [u2] ... E[un] 0

E[ut] 0 E [u1] = E [u2] = ... = E[un] 0

MEDIA NO NULA Y VARIABLE:

Estimadores MCO: sesgados e inconsistentes

Problema de omisión de variable relevante o cambio estructural.


La nulidad de la media de la perturbación aleatoria no se puede contrastar a través de los residuos MCO.

Los residuos han sido generados a partir de un método (MCO) que consiste en minimizar la suma de los residuos al cuadrado.

Es decir, los errores por exceso y por defecto se compensan, por lo que la media de los residuos MCO es siempre cero (mientras que la media de la perturbación aleatoria no siempre es cero).

12

4.4. Generalización de la matriz Cov(u) En la mayoría de los casos, no es posible suponer

homoscedasticidad y/o no autocorrelación. Por tanto, hay que aceptar que:- Varianza no constante:- Covarianzas no nulas:

2 ; 1,2,...,( , ) 0 ;

t t

t s

Var u t nCov u u t s

21 12 1

2221 2 2

21 2

...

........ ..... ... .....

...

n

nu

n n n

V Cov u

En estos casos, la matriz de varianzas y covarianzas de la u es una matriz no escalar: V = Cov(u) = 2

escalar: nº común a todos los elementos

Matriz de elementos no nulos

MBRL: V = Cov(u) = 2In

Caso particular


13

4.4. Generalización de la matriz Cov(u) Estimación del MRG

• Cuando V es una matriz no escalar V = Cov(u) = 2, el modelo se denomina modelo de regresión generalizado (MRG).

El MBRL es un caso particular del MRG, en el que = In

• Cuando se produce heteroscedasticidad y/o autocorrelación, los estimadores MCOpierden sus buenas propiedades (no son ELIO): aunque son insesgados, son ineficientes pero consistentes (asintóticamente eficientes, para n ).

• Los bMCO son ineficientes porque la matriz de covarianzas de los mismos es más compleja: no tiene valores mínimos, porque depende de :

-1 -1CO 1 22M -X'X X'ΣXcov X X' XX 'uu σσb


Valores mínimos

14

4.4. Generalización de la matriz Cov(u) Estimación del MRG

• Lo ideal es no tener problemas de heteroscedasticidad y/o autocorrelación, pues en este caso, los MCO son los mejores estimadores del mundo.

• Pero, en este contexto de heteroscedasticidad y/o autocorrelación, es posible encontrar unos estimadores Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) más eficientes que los MCO:

- Los MCG son insesgados (como los MCO con y sin heteroscedasticidad y/o autocorrelación).

- Son ineficientes, aunque más eficientes que los MCO cuando hay heteroscedasticidad y/o autocorrelación.

- Son consistentes (asintóticamente eficientes).

1' 1 1'MCG X X X y

Cuando -1 = I MCG = MCO

Propiedades de los MCG cuando hay heteroscedasticidad y/o autocorrelación:


15

4.4. Generalización de Cov(u)

• Cuando V es una matriz no escalar V = Cov(u) = 2, deben estimarse el parámetro 2

y la matriz

• La estimación de dependerá del tipo de incumplimiento que se produzca (heteroscedasticidad y/o autocorrelación) así como de la forma concreta del mismo.

• Un estimador del parámetro 2 es el siguiente:

Estimador insesgado del término constante de la varianza de u en el MRG: 2

knee

1

2 '~- Insesgado

- Eficiente

- Consistente

PROBLEMA:

Debe conocerse antes la forma de la matriz y, por tanto, el tipo de incumplimiento.

Este estimador debe utilizarse para calcular el test t sobre los estimadores b en el MRG:

2 ; jj j j jj

j

bt b S b Var b a

S b


Tema 5:El problema de heteroscedasticidad en la perturbación aleatoria


2

Tema 5: El problema de heteroscedasticidaden la perturbación aleatoria: Índice

5.1. Concepto de homoscedasticidad5.2. Causas de heteroscedasticidad5.3. Consecuencias de heteroscedasticidad5.4. Contrastes de heteroscedasticidad de u

5.4.1. Métodos gráfico-exploratorios5.4.2. Test de White

5.5. Solución a la heteroscedasticidad de u5.5.1. Forma conocida: MCG5.5.2. Forma desconocida: varianza ajustada de White5.5.3. Otras vías de solución

Tema 5: El problema de heteroscedasticidad en la u @ Prof. Coro Chasco

3

Tema 5: El problema de heteroscedasticidaden la perturbación aleatoria: Bibliografía

Pulido, A. y J. Pérez (2001), Modeloseconométricos. T.14 (14.1)

Greene, W.H. (2000), Econometric analysis, Ed. Prentice-Hall. T.12 (12.3.1)

Pérez, C. (2006), Econometría básica. Técnicas y herramientas. T.3 (pp. 134-137)

Schmidt, S.J. (2005), Econometría. T.3 (13.3)


5.1. Concepto de homoscedasticidad

Homoscedasticidad: propiedad de aquellas variables con varianza constante.

En el caso de la perturbación aleatoria, se dice que es homoscedástica cuando todas y cada una de las nvariables aleatorias que forman parte de la misma tienen varianza constante:

2 2 2 2 2 21 2 ...u n uVar u E u E u E u E u

21

222

2

0 ... 00 ... 0.... .... ... ...0 0 ...

u

n

Cov u

Heteroscedasticidad en la u: propiedad que se produce cuando la varianza de las variables ut no es constante:

4Tema 5: El problema de heteroscedasticidad en la u @ Prof. Coro Chasco

5.2. Causas de heteroscedasticidad

Especificación errónea: la omisión de 1 ó más variables relevantes produce errores con diferente amplitud (varianza) en distintos tramos de la muestra.

Cambio estructural: la varianza de la u suele ser diferente en cada una de las estructuras existentes.

Modelos de datos de corte transversal (espaciales y no espaciales): en muchos casos, estos modelos trabajan con variables con muchos datos (muestras grandes), de forma que la máxima dispersión de las mismas se produce en los valores más altos, y viceversa.


5.2. Causas de heteroscedasticidad (ii)

1 2i i iG R u

Gasto de los hogares

(G)

Renta familiar disponible (R)

i: muestra de 100 hogares

Var(eI) < Var(ev)

I II III IV V

i iVar u f R

21

22

2

1

22

0 ... 00 ... 0

.... .... ... ...0 0 ...

0 ... 00 ... 0

.... .... ... ...0 0 ...

n

u

n

Cov u

f Rf R

f R


2

?

; ...

i

i i

i i i

f R

f R R

f R a bR cR

5.3. Consecuencias de heteroscedasticidad

- Los contrastes basados en la expresión e’e (tests t, F y R2)carecerán de validez, ya que la expresión matemática de losmismos debería calcularse considerando la matriz -1, de laforma siguiente: e’-1e.


8

5.4. Contrastes de heteroscedasticidad en la u

5.4.1. Método exploratorio: gráfico de residuos5.4.2. Test de White


9

5.4.1. Método exploratorio: gráfico de residuos• Regresión simple:

Ahorro

Renta

Residuos

Observaciones

2 2i u if Renta

La observación de la dispersión del gráfico de residuos sólo tiene algún sentido cuando todas las variables explicativas del modelo siguen tendencias más o menos definidas (creciente/decreciente), lo que no siempre sucede.


Heteroscedasticidad: la dispersión de los residuos (su distancia respecto a cero, que es la media) siguen una dinámica de/creciente con la variable explicativa.

• Regresión múltiple:

Residuos con variabilidad creciente (forma de embudo abierto).

Residuos con variabilidad decreciente (forma de embudo cerrado).

0 1i i iy x u

0 1 ..i i k i iy x x u

Renta: variable “culpable” de producir heteroscedasticidad en la “u”

10

5.4.2. Test de White

Test paramétrico basado en una distribución 2


Salida ofrecida por la mayoría de los paquetes informáticos:

El nivel de significación () asociado al rechazo de H0 es muy bajo. Por tanto, el nivel de confianza asociado al rechazo de H0 = 1 – 0.0019 = 0.9981 (99.81%).Por tanto, se rechaza H0 (heteroscedasticidad) y se acepta H1(heteroscedasticidad)

2auxW n R

H0: Homoscedasticidad

11

5.4.2. Test de WhitePROCESO (con un ejemplo):

1º) Estimación MCO del modelo principal y obtención de la serie de residuos (resid):


1 2 3@ ( ) @ ( 95) @ ( )t t tpch prodin pch vaind pch eeind u

ˆ@ ( ) @ ( )t tresidual pch prodin pch prodin

12

5.4.2. Test de White3º) Estimación MCO de un modelo auxiliar (con o sin productos cruzados).

Por ejemplo, sin productos cruzados:


2 2 20 1 2@ ( 95) @ ( )t t t tresid pch vaind pch eeind u

Posible variable “culpable” de producir heteroscedasticidad:(@pch(EEIND))^2

13

5.4.2. Test de White4º) Cálculo del test de White: 2 23 0.542646 12.48085auxW n R

H0

Hom

H1: Heterosc.

p: nº parámetros – t. indep. = 23 – 2 = 21

2 pTest W


2p

Probability nivel de confianza del rechazo de H0 es de 1 – 0.0019 = 0,9981 (99,81%).

2auxR

14

En otros programas estadísticos, los resultados de los testsson más escuetos.

15

5.5. Solución a la heteroscedasticidad en la u

2.5.1. Forma conocida: MCG2.5.2. Forma desconocida: varianza ajustada de White2.5.3. Otras vías de solución


16

5.5.1. Estimación por MCG• Cuando se conoce la(s) variable(s) culpable(s) de provocar el problema de heteroscedasticidad en la u (por ej. xr) entonces se conoce la forma de la matriz .• Si se conoce , se pueden estimar los por MCG:

11 1' 'MCGb X X X y

• La estimación MCG del modelo inicial equivale a la estimación MCO de un modelo transformado, que pondera las variables la siguiente forma:

1

1

1

y P yX P Xu P u

Modelo inicial: y X u

Modelo transformado: y X u

Estimación MCG:

ˆ

MCG

MCO

Estimación MCO:

1

22 2

0 ... 00 ... 0

. : ..... ..... ... .....0 0 ...

r

ru u

rn

f xf x

Ej Cov u

f x


1

21

1 0 ... 00 1 ... 0

..... ..... ... .....0 0 ... 1

r

r

rn

f xf x

f x

Siendo P-1 una matriz cuyos elementos son la raíz cuadrada de los elementos de -1.

“Sigma” es la matriz cuya diagonal principal contiene los elementos de la variable “culpable” de heteroscedasticidad.

5.5.1. Estimación por MCG (ii)

1 2 3@ ( ) @ ( 95) @ ( )t t tpch prodin pch vaind pch eeind u

Según el test W: Posible variable “culpable” de producir heteroscedasticidad:@pch(EEIND)2.

281

22 2 82

203

@ ( ) 0 ... 00 @ ( ) ... 0

..... ..... ... .....0 0 ... @ ( )

u u

pch eeindpch eeind

Cov u

pch eeind

281

2182

203

1 0 ... 0@ ( )

10 ... 0@ ( )

............ ............. ... ............10 0 ...

@ ( )

pch eeind

pch eeindP

pch eeind


Por ejemplo:

P-1: matriz cuyos elementos son la raíz cuadrada de los elementos de -1.

5.5.1. Estimación por MCG (iii)1 2 3@ ( ) @ ( 95) @ ( )t t tpch prodin pch vaind pch eeind u

Si la opción (“Type”) es “Inverse std. dev.”, la variable de ponderación (“Weight series”) será la función inversa de la variable de la matriz : 1/Si el nombre de la variable “culpable” es muy largo y no cabe en la casilla, debe crearse antes una variable idéntica a la misma con un nombre más breve. Por ej.: TEEIND2Ej.: en el menú “GenerateSeries”: TEEIND2 = @pch(eeind95)^2

18

19

1 1

1 1

MCG MCG

MCG

e y X b P y P X b

P y Xb P e

MCGe y X b

Estimación MCG

Cálculo de los estadísticos considerando 3 tipos distintos de residuos (e, e*, e’):

Matriz : @pch(eeind)^2Matriz P-1: 1/@sqr(pch(eeind)^2)=1/pch(eeind )

Estimación MCOMCOe y X b

5.5.2. Varianza ajustada de White En muchas ocasiones, la heteroscedasticidad es causada por

variables desconocidas, por lo que la matriz tampoco se conoce. En esos casos, no se puede estimar el modelo por MCG, pero se aconseja, al menos, realizar una inferencia robusta de los estimadores MCO. Es decir: obtener el valor correcto del test t calculando previamente las “verdaderas” varianzas de los estimadores MCO:

ˆ MCO -1 -12 -12X'X X'ΣX X'Xcov X'XMRG uub σσ21

22

2

0 .. 00 .. 0... ... .. ...0 0 .. n

ee

S

e

White estimó la forma aproximada de una matriz que podría ser válida para realizar la inferencia y la llamó matriz S:

ˆMCO -1 -12 X'Xcov X'SX X'XM G uRb σ


21

Estimación MCO

Estimación MCO, inferencia robusta La estimación MCO con inferencia

robusta corrobora los resultados de la estimación MCO en lo que a la significación de los parámetros individuales se refiere: todos ellos son significativos con casi el 100% de confianza (aunque dicha confianza disminuye ligeramente en el caso @pch(vaind95)

5.5.3. Otras vías de solución

Transformación del modelo original, con el objetivo de “deflactar” la heteroscedasticidad. Por ejemplo, logaritmos, tasas de variación, números índice, etc.

Estimación por segmentos homogéneos de datos, que es una solución de regresiones cambiantes (como en el cambio estructural).


Tema 6:Problemas de autocorrelación serialen la perturbación aleatoria


2

Tema 6: Problemas de autocorrelaciónserial en la perturbación aleatoria: Índice

6.1. Concepto de autocorrelación serial en la perturbación aleatoria

6.2. Estructuras básicas autorregresivas6.3. Causas de autocorrelación serial en la

perturbación aleatoria6.4. Características de la u cuando se distribuye

como un proceso AR(1)6.4.1. Media6.4.2. Varianza y covarianzas6.4.3. Coeficiente de autocorrelación

6.5. Consecuencias de la autocorrelación serial en la perturbación aleatoria

Tema 6: Problemas de autocorrelación serial en la u @ Prof. Coro Chasco

3

Tema63: Problemas de autocorrelación serial en la perturbación aleatoria: Bibliografía

Pulido, A. y J. Pérez (2001), Modelos econométricos. T.12 (12.3)

Trívez, J. (2004), Introducción a la econometría. T.5 (5.7.1)

Pérez, C. (2006), Econometría básica. Técnicas y herramientas. T.3 (pp. 128-131)


6.1. Concepto de autocorrelación serial en la u

La perturbación aleatoria tieneautocorrelación cuando se producen relaciones de correlación estadística entre todas o alguna de las nvariables aleatorias que formanparte de la misma:

212 12

221 2

21 2

...

........ ..... ... .....

...

n

nu

n n

Cov u

4

0 ; t sE u u t s


1

1

1

... 0,

I

T

uu N

u

1

2,1 ...n

n

uu

u

u

... 0,

In

nTn

uu N

u

2

2

2

... 0,

I

T

uu N

u

“u”: Normal multivariante

1 2

1 3

, 0

, 0........................

, 0 ; t s

Cov u u

Cov u u

Cov u u t s

Cuando se cumplen las hipótesis básicas, la perturbación aleatoria se distribuye como una normal multivariante de media cero, varianza constantey no autocorrelación:

6.2. Estructuras básicas autorregresivas

1t t ty y u

11 t t tu u

5

El proceso autorregresivo de orden 1, AR(1), es el más sencillo.Se trata de un modelo dinámico propio de cualquier variable de datos temporales en la que, por término general, los valores de cadaperíodo se encuentran correlacionados con los valores del períodoinmediatamente anterior:

1t t t

y X uu u

Cuando esto se produce en la propiaperturbación aleatoria de un modelo: ~ N(0, In)

= 0: Ausencia de autocorrelación; > 0: autocorrelación +; < 0: autocorrelación -

0 t tu

La generalización de este proceso es el modelo AR(p) que, cuando se produce en la u se expresa como:

1 1 2 2 ...t t t P t p tu u u u Como E(u) = 0, los modelos AR de u carecen de término independiente

Ruido blanco: Paseo aleatorio:

-1 +1


12 23, , 1, ..., 0 t t

6.2. Estructuras básicas autorregresivas (ii)

Autocorrelación positiva en la u, tipo AR(1): > 0

Autocorrelación negativa en la u, tipo AR(1): < 0


12 23, , 1, ..., 0 t t

En matriz Cov(u):

1t t t

y X uu u

212 12

21 2

2, 1

... 0

... 0 ..... ..... ... ....... .......0 0 ...

n

n

n n

Cov u

6.3. Causas de autocorrelación serial en la u

Cambio de estructura: provoca errores sistemáticos de infra o supervaloración por períodos y, por tanto, autocorrelación.

Forma funcional incorrecta: (ver Transparencia siguiente) Omisión de variables relevantes: si dicha(s) variable(s) omitida(s), X2,

presenta(n) una dinámica autorregresiva, este comportamiento se traslada al término de error (v) del modelo:

Causa “verdadera”: La dinámica autorregresiva es muy común en las series temporales económicas debido a la inercia propia de losacontecimientos socioeconómicos, que hace que se mantengan los efectos de acciones pasadas sobre situaciones actuales.

7

1

1 2 1 1 2 22

y X u X X u X X u

X2: variables omitidas

v


Causas “aparentes”:

6.3. Causas de autocorrelación serial en la u (ii)

8

Éste es un tipo de autocorrelación aparente, que se produce cuando el verdadero problema del modelo es la forma funcional incorrecta (y, en este caso también, la omisión de variable relevante).

Relación correcta

Relación ajustada (incorrecta):


Gráfico de residuos de esta regresión

20 1 2t t t ty x x v

0 1t t ty x u

6.4. Características de la ucuando es un AR(1)

9

3.4.3. Covarianzas


212 12

221 2

21 2

...

........ ..... ... .....

...

n

nu

n n

Cov u

21 1 2 1

22 2 1 2 2

21 2

1

2 22

2 2

1 2

...

.......... ....... ... .......

...

1 ... 0 01 ...1 ...1 = (1)

1 1....... ....... ... .......... 1

n

n

n n n

n

n

n n

u u u u uu u u u u

Cov u E

u u u u u

AR

1 ... 0 0....... ....... ... .......

0 0 ... 1

, para AR(1)

1t t t

y X uu u

~ N(0, In)

u ~ N(0, u)

6.4. Características de la perturbación aleatoria cuando se distribuye como un proceso AR(1)

1t t t

y X uu u

10

0tE u 2

22 constante

1u

RESUMEN:

Media:

Varianza:

Matriz de covarianzas:


2

22

1 ... 0 01 ... 0 0

....... ....... ... .......10 0 ... 1

Cov u

6.5. Consencuencias de autocorrelación serial en la perturbación aleatoria

11

- Los contrastes basados en la expresión e’e (tests t, F y R2)carecerán de validez, ya que la expresión matemática de losmismos debería calcularse considerando la matriz -1, de laforma siguiente: e’-1e.


Tema 7:Contrastes de autocorrelación serial y vías de soluciónProf. Coro Chasco YrigoyenAsignatura: Econometría de la Empresa

Tema 7: Contrastes de autocorrelación serial y vías de solución @ Prof. Coro Chasco 1

2

Tema 7: Contrastes de autocorrelación serial y vías de solución: Índice7.1. Contrastes de autocorrelación serial en la

perturbación aleatoria7.1.1. Método exploratorio: gráfico de los residuos7.1.2. Correlograma de los residuos7.1.3. Test Q de Ljung Box7.1.4. Test d de Durbin-Watson7.1.5. Test de Breusch-Godfrey

7.2. Vías de soluciónMínimos Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF)

Tema 7: Contrastes de autocorrelación serial y vías de solución @ Prof. Coro Chasco

3

Tema 7: Contrastes de autocorrelación serial y vías de solución: Bibliografía

Pulido, A. y J. Pérez (2001), Modelos econométricos. T.12 (12.3)

Kennedy, P. A guide to econometrics. Págs. 141-142 Trívez, J. (2004), Introducción a la econometría. T.5 (5.7.1) Pérez, C. (2006), Econometría básica. Técnicas y

herramientas. T.3 (pp. 128-131) Wooldridge, J. (2005), “Introducción a la econometría”; pp.

446-447


4

7.1: Contrastes de autocorrelación serial7.1.1. Método exploratorio: Gráfico de residuos

AUTOCORRELACIÓN POSITIVA

-6-4-202468

10

AUTOCORRELACIÓN NEGATIVA

-4-3-2-10123

En un modelo AR(1) de series temporales, según la tendencia que siguen los residuos de la estimación MCO del modelo inicial:

. Autocorrelación + ( > 0): sinusoide

. Autocorrelación - ( < 0): “dientes de sierra”

. No autocorrelación ( = 0): sin forma clara

2. . . 0, i i d N1t t t

y X uu u

-1 +1

Sólo válido para contrastar la existencia de procesos AR(1)


5

7.1: Contrastes de autocorrelación serial

Representación gráfica de los coeficientes de autocorrelación de los residuos MCO:

a) FA: Función deautocorrelación delos residuos

2 12 1 2 1

1 2 1

, , ,2 2, ,

( , )1 1

t t tt tt t t t

t t t t

e e e e e e

e e e e

CorrP e e er r r

r r

Ej.:

7.1.2. Correlograma de los residuos

b) FAP: Función de autocorrelación parcial de los residuos:

1

2

1

n

t t ht h

h n

tt

e er

e

r


21 1

1 1

2 22 2 1

1 1

2 33 3 1

1 1

por ej. 0,5

0,25

0,125 ... etc.

n n

t t tt h t

n n

t t tt h t

n n

t t tt h t

r e e e

r e e e r

r e e e r

Ver ej.

Efecto de caída exponencial

7.1: Contrastes de autocorrelación serial7.1.2. Correlograma de los residuos

6Tema 7: Contrastes de autocorrelación serial y vías de solución @ Prof. Coro Chasco

RESID: residuos de un modelo estimado por MCO: etRES1 = RESID(-1): et–1 RES2 = RESID(-2): et–2 RES3 = RESID(-3): et–3

Coeficientes de autocorrelaciónde la variable RESID (et):

21 1

1 1

2 22 2 1

1 1

2 33 3 1

1 1

0, 446008

0.017573

0.0038028

n n

t t tt h t

n n

t t tt h t

n n

t t tt h t

r e e e

r e e e r

r e e e r

r0.45

0.0040.02

Efecto de caída exponencial

7

A. Correlograma teórico: coeficientes de autocorrelación de u

FA FAP

FA FAP

El valor de los coeficientes de autocorrelación puede ser tanto positivo como negativo: -1 +1

Intervalos de confianza:

1) Var(rh) 1/n

2) rh ~ Normal (0, )

3) 1 12 2krn n

7.1: Contrastes de autocorrelación serial7.1.2. Correlograma de los residuos (ii)


El 95% de los rh están incluidos dentro de este intervalo. Los rh por encima/debajo se consideran atípicos o estadísticamente significativos.

1n

8AR(1) Ruido blanco

B. Correlograma muestral: coeficientes de autocorrelación de e

7.1: Contrastes de autocorrelación serial7.1.2. Correlograma de los residuos (iii)

Permite contrastar todo tipo de procesos AR(p)

9

2

1

( 2)m

h

h

rQ n n mn

212

119(19 2) 12 18.987k

k

rQn

FA= n

m = 12 en series de datos anuales/trimestrales

7.1: Contrastes de autocorrelación serial7.1.3. Test Q de Ljung-Box

FAP

h = 12

2mQ



H0(no autocorrelación)

Prob. nivel de confianza del rechazo de H0 es de 1 – 0.089 = 0.911 (91,1%).

10


21

2

2

1

n

t tt

n

tt

e ed

e

1

11

1 12

1

n

t tt

n

tt

e er

e

lim 2 1

np d

7.1: Contrastes de autocorrelación serial7.1.4. Test d de Durbin-Watson

2 1d

112

d


11

LIMITACIONES

1. Aunque los procesos autorregresivos más comunes en las ciencias sociales son los de tipo AR(1), el test d no puede contrastar otro tipo de procesos (como las medias móviles o MA) ni procesos AR de orden superior a 1.

2. El test d no es eficaz cuando en el modelo hay regresores estocásticos(por ejemplo, cuando está presente, como explicativa, yt-1).

3. Este test no puede utilizarse para contrastar autocorrelación en modelos de corte transversal (por ejemplo, autocorrelación espacial).

7.1: Contrastes de autocorrelación serial7.1.4. Test d de Durbin-Watson (iii)


121 2 3 1 1 2 2

R egresion auxiliar:ˆ ˆ ˆ ˆˆ @ ( ) t t t t te eetot pch pcp e e

7.1: Contrastes de autocorrelación serial7.1.5. Test de Breusch-Godfrey

Permite contrastar todo tipo de procesos AR(p)

1 2 3

Modelo principal:95 @ ( )t t t tcf eetot pch pcp u

2 2 ; aux hBG n R BG

h = 2 ; H1[AR(2)]

H0(no autocorrelación)

Probability nivel de confianza del rechazo de H0 es de 1 – 0.000261 = 0.999739 (99,97%).

13

Tema 7: Contrastes de autocorrelación serial y vías de solución

Mínimos Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF)A. Transformación en primeras diferenciasB. Procedimiento de Cochrane-OrcuttC. Otros procedimientos

7.2. Vía de solución


14

• Cuando se conoce el valor del coeficiente de autocorrelación de la u, entonces se conoce la forma de la matriz .• Si se conoce , se pueden estimar los por MCG:

11 1' 'MCGb X X X y

• La estimación MCG del modelo inicial equivale a la estimación MCO de un modelo transformado de la siguiente forma:

y T yX T Xu T u

Modelo inicial: y X u

Modelo transformado: y X u

Estimación MCG:

ˆ

MCG

MCO

Estimación MCO:

¿Cuál es la forma de la matriz T?

7.2. Vías de soluciónEstimación por MCGF


2

22

1 0 .. 0 0 01 .. 0 0 0

0 1 .. 0 0 0. : (1) ... ... ... .. ... ... ...

10 0 0 .. 1 00 0 0 .. 10 0 0 .. 0 1

Ej Cov u AR

“Sigma” es la matriz con covarianzas no nulas para h = 1.

-1 = T’.T

15

• La estimación MCG del modelo inicial equivale a la estimación MCO de un modelo transformado a partir de la matriz T.

1...000..............................00...1000...0100...001 2

T

Tras unos cálculos, puede demostrarse que T es una matriz cuya diagonal principal está formada por elementos unitarios, excepto para la primera observación (t = 1). El valor inmediatamente anterior es -. Y el resto, ceros.

t = 1

7.2. Vías de solución7.2.1. Estimación por MCGF (ii)

22

2

1 0 .. 0 0 01 .. 0 0 0

0 1 .. 0 0 0... ... ... .. ... ... ...

10 0 0 .. 1 00 0 0 .. 10 0 0 .. 0 1

Cov u


AR(1)

AR(1)

7.2. Vías de soluciónEstimación por MCGF (iii)

Al premultiplicar las variables del modelo original por la matriz T, éstas quedan en forma de unas diferencias ponderadas con un factor , excepto los valores de t = 1 que tienen una transformación especial.

y T yX T Xu T u

221 1

2 2 1

3 3 2

1

1 1 0 0 ... 0 01 0 ... 0 0

0 1 ... 0 0.... ...................... ......... ......... ... .. ..

0 0 0 ... 1 n n n

y yy y y

y Ty y yy y

y y y

2 2 221 1

22 21 2 1

2 2 1 1

1 1 x .. 1 x1 ..

.................. .................. .. ..................1 ..

k

k k

n n kn kn

x x x xX TX

x x x x

21

2 1

3 2

1

1 u

.................

n n

u uu Tu u u

u u

16

AR(1)

1 1 2 2 2 1 11 ...t t t t k kt kt ty y x x x x Para t = 2,…,n

7.2. Vías de soluciónMínimos Cuadrados Generalizados

Factibles MCGF

Cuando el valor de no es conocido (en la mayor parte de las ocasiones) debe estimarse previamente y, en una segunda etapa, se estiman los bMCGF. Los procedimientos en 2 etapas más conocidos de estimación de MCGF

y T yX T Xu T u

17

A. Transformación en primeras diferenciasB. Procedimiento de Cochrane-OrcuttC. Otros procedimientos

1 1 2 2 2 1 11 ...t t t t k kt kt ty y x x x x Para t = 2,…,n


AR(1):

7.2. Vías de soluciónMínimos Cuadrados Generalizados Factibles MCGF (ii)

18

A. Transformación en primeras diferencias

1 2 2 2 1 1...t t t t k kt kt ty y x x x x

Cuando los tests detectan un alto grado de autocorrelación AR(1), cercana al paseo aleatorio, puede realizarse una simplificación y suponer que existe autocorrelación positiva perfecta (raíz unitaria: = 1), quedando el modelo original transformado simplemente en primeras diferencias, del modo siguiente:

Inconveniente: el proceso AR(1) en “u” del que se parte para efectuar la transformación presentaría varianza infinita precisamente para = 1:

0

11

2

2

22

u

1 1 2 2 2 1 11 ...t t t t k kt kt ty y x x x x

Este nuevo modelo se estima por MCO obteniéndose los estimadores bMCGF

La estimación en diferencias elimina t = 1


AR(1): Para t = 2,…,n


19

B. Procedimiento de Cochrane-Orcutt1º) Estimación del modelo principal por MCO y obtención de los residuos (e)

2º) Estimación del valor de a partir de la siguiente expresión:

3º) Transformación del modelo principal con el valor estimado de :

Mínimos Cuadrados Generalizados Factibles MCGF (iv) 1 1 2 2 2 1 11 ...t t t t k kt kt ty y x x x x

Método iterativo, en varias etapas

1

11

2

1

ˆ

n

t tt

n

tt

e e

e

4º) Estimación de este modelo por MCO obteniéndose un segundo grupo de residuos (e*)

5º) Estimación de un segundo valor de a partir de la expresión:

6º) Transformación del modelo principal con el valor *:

1 1 2 2 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 ...t t t t k kt kt ty y x x x x

1 1 2 2 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 ...t t t t k kt kt ty y x x x x

5º) Y así sucesivamente hasta que la diferencia entre dos estimaciones consecutivas de difieran en un valor mínimo (convergencia): ˆˆ ˆ 0,001

1

11

2

1

ˆ

n

t tt

n

tt

e e

e

AR(1):


Las deficiencias detectadas en las estimaciones MCGF en dos o más etapas han dado lugar a otros métodos basados en estimaciones de Máxima Verosimilitud (MV) o en modelos no lineales. Éste último caso es el implementado en el programa “EconometricViews”, que permite la estimación de procesos AR(1) y de órdenes superiores AR(p).

El test BG dio significativo para u ~ AR(2)

Estimación MCO modelo principal:

1 2 3

1 1 2 2

Modelo principal:95 @ ( )t t t t

t t t t

cf eetot pch pcp uu u u

20

C. Otros métodos

Tema 8:Series temporales: características y predicciónProf. Coro Chasco YrigoyenAsignatura: Econometría de la Empresa

1

2

Tema 8: Series temporales: características y predicción: Índice8.1. Introducción al análisis de series

temporales8.1.1. Definición8.1.2. Componentes8.1.3. Esquemas de descomposición de series

8.2. Modelos de predicción de series temporales8.2.1. Clasificación de técnicas y modelos8.2.2. Alisados exponenciales

Tema 8: Series temporales: características y predicción @ Prof. Coro Chasco

3

Tema 8: Series temporales: características y predicción: Bibliografía

Pulido, A. y López, A.M. (1999), Predicción y simulación aplicadas a la economía y gestiónde empresas, Cap. 5.

Kirchgässner, G. y Wolters, J. (2007), Introduction to modern time series analysis, Introduction and basics (pp. 5-9)

Martín-Guzmán, P y Martín-Pliego, FJ (1985), Curso básico de estadística económica. T.12 (12.1)


Una serie temporal, cronológica, histórica o detiempo es una sucesión de observaciones cuantitativasde un fenómeno ordenadas en el tiempo.

Permite analizar la evolución de un fenómeno en elpasado y la predicción del mismo en el futuro.

El análisis de una serie temporal debe comenzar conla representación gráfica de la serie, con el objeto deidentificar en ella ciertas propiedades no siempredetectables por la simple observación de la tabla dedatos (Kirchgässner y Wolters (2007), pp. 5).

8.1: Introducción al análisis de series temporales 8.1.1. Definición

4Tema 8: Series temporales: características y predicción @ Prof. Coro Chasco

Oscilaciones cíclicas/estacionales

8.1: Introducción al análisis de series temporales 8.1.1. Definición (ii)


Tendencia: movimiento de larga duración que se mantiene durante el período de observación.

Estacionalidad: movimiento que se produce, dentro de un período anual, inicialmente por motivos climáticos y, con base en éstos, por motivos económicos de organización social (recolecciones, vacaciones, etc.). El período puede ser también de un mes (las ventas de los comercios disminuyen a final de mes y aumentan al principio), la semana (la productividad de los trabajadores suele ser menor en primer y último día de la semana) o incluso el día (en el caso de trabajar con “micro-datos”).

Ciclo: oscilaciones alrededor de la tendencia producidos por períodos alternativos de prosperidad y depresión. Normalmente en una serie económica se superponen distintos ciclos de esta clase, lo que hace que en la práctica ésta sea la componente más difícil de determinar.

Residuo: oscilaciones erránticas que aún quedan en la serie original tras eliminar los 3 anteriores componentes.

8.1: Introducción al análisis de series temporales

8.1.2. Componentes


8.1: Introducción al análisis de series temporales 8.1.3. Esquemas de

descomposición de series

7

Esquema sumativo

Serie de ventas

+ + +=

En la práctica sólo se distinguen 2 componentes básicos:1. Estacionalidad2. Componente extraestacional: tendencia + resto

8.1: Introducción al análisis de series temporales8.1.3. Esquemas de descomposición de series (ii)


El esquema multiplicativo de combinación de componentes es el más utilizado:

Componente extraestacional

El esquema sumativo es también propio de muchas series socioeconómicas:

t t ty T e

9

Ejemplo 1:

Serie original:

IPI general

8.1.3. Esquemas de descomposición de series (iii)

Estacionalidad: fuertes caídas del IPI en el mes de agosto.

Tendencia: creciente


10

IPI_SA: extraestacional

IPI_SF: estacional

11

Componente extraestacional

Componente o factor de estacionalidad


Esquema multiplicativo:

IPI

IPISA = IPI_SA

FACTOR = IPI_SF

IPI = IPI_SA * IPI_SF

8.1.3. Esquemas de descomposición de series (viii)


IPI = IPISA * FACTOR

8.1.3. Esquemas de descomposición de series (ix)


Ejemplo 2:

Serie original: IPC generalEstacionalidad: no se aprecia bien.

Tendencia: creciente

IPC_SA: extraestacional

IPC_SF: estacional

14

Técnicas Causales Técnicas Autoproyectivas

1. Deterministas 1. Ajuste de tendencias

2. Mod. econométricos

2. Estocásticas: ARIMA

• Modelos ingenuos

• Medias móviles

• Alisados exponenciales• Uniecuacionales

• Multiecuacionales

15

8.2: Modelos de predicción de series temporales 8.2.1. Clasificación de

técnicas y modelos


Alisado exponencial simple Alisado exponencial doble de Brown Alisado exponencial de Holt-Winters Alisado exponencial de Holt-Winters

con esquema sumativo Alisado exponencial de Holt-Winters

con esquema multiplicativo

16

8.2: Modelos de predicción de series temporales8.2.2. Alisados exponenciales

Serie original sin tendencia ni estacionalidad

Serie original sin tendencia

Serie original (sin transformar)


Es estimación obtenida a partir de una media móvil ponderada que “alisa” las variaciones que presenta la serie original.

17

8.2: Modelos de predicción de series temporales1. Alisado exponencial simple

Las MM son valores medios de la serie original que suavizan la tendencia y la estacionalidad. Por eso, la correcta aplicación de esta técnica exige eliminar previamente de la serie original la tendencia y la estacionalidad.


Ej.: media móvil simple (no ponderada) de orden 4 de una serie de ventas:

ˆ5MM4 28.8

23 40 25 27 4

Alisado exponencial simple: permite estimar valores futuros de una serie ponderando los valores anteriores de forma decreciente, siendo los pesos una progresión geométrica de razón (1 - ), siendo “” el primero de ellos y 0 el último:

18

8.2: Modelos de predicción de series temporales1. Alisado exponencial simple (ii)

21 1 2

1

ˆ 1 1 ...ˆ ˆ1

t t t t t

t t t

y A y y y

y y y

La predicción de alisado puede interpretarse como una media ponderada de los valores previos anteriores, reales y de predicción. Esta expresión exige disponer de un valor inicial del parámetro “”.

ty


0 1 La suma de los pesos = / [1-(1-)] = 1

8.2: Modelos de predicción de series temporales 2. Otros alisados

19

Período de predicción

Nombre de la serie de predicción

Método de predicción: se aplica sobre la serie original.

El programa calcula los 3 parámetros (, , ) que minimizan el error.

8.2: Modelos de predicción de series temporales 2. Otros alisados (ii)

20

PredicciónPeríodo histórico


Tema 9:Introducción a los modelos ARIMAProf. Coro Chasco YrigoyenAsignatura: Econometría de la Empresa

1

2

Tema 9: Introducción a los modelos ARIMA: Índice

9.1. Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles9.1.1. Procesos autorregresivos AR(p)9.1.2. Procesos de medias móviles MA(q)9.1.3. Procesos mixtos ARMA(p,q)

9.2. Tratamiento de series en modelos ARIMA9.2.1. Recogida de datos9.2.2. Condición de estacionariedad9.2.3. Estacionarización de la serie

Tema 9: Introducción a los modelos ARIMA @ Prof. Coro Chasco

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Tema 9: Introducción a los modelos ARIMA: Bibliografía

Pulido, A. y López, A.M. (1999), Predicción y simulación aplicadas a la economía y gestión de empresas, Cap. 5 (5.1)

Pulido, A. y J. Pérez (2001), Modelos econométricos. T.13 (13.2.b, 13.2.c, 13.2.d, 13.2.e)


9.1: Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles9.1.1. Procesos autorregresivos AR(p)

4

ttt ayy 11

El modelo autorregresivo más elemental es el AR(1), modelo autorregresivo de orden 1 o cadena de Markov: una variable se explica por su valor en el período precedente, más un término de error:

La variable de error at es un ruido blanco:

El proceso general AR(p) o proceso autorregresivo de orden p:

1 1 2 2 ...t t t p t p ty y y y a

Equivalente a: ut = .ut-1 + t


En la práctica, lo más frecuente es trabajar con modelos autorregresivos de orden bajo, AR(1) o AR(2), o bien con desfases coincidentes con la periodicidad de los datos: 4 para datos trimestrales y 12 para mensuales.

En este último caso, estos modelos de alta frecuencia, con datos estacionales, suelen ser denominados SAR (“seasonal AR”). Así, un SAR(4) indica que se trata de un desfase estacional de 4 trimestres y SAR(12) que se trata de un desfase de 12 meses. Igualmente, es posible encontrar modelos de tipo SAR(8) y SAR(24).

9.1: Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles

9.1.1. Procesos autorregresivos AR(p) (ii)

5Tema 9: Introducción a los modelos ARIMA @ Prof. Coro Chasco

1 4

1 4 2 8

t t t

t t t t

y y ay y y a

1 1

1 1 2 2

t t t

t t t t

y y ay y y a

1 12

1 12 2 24

t t t

t t t t

y y ay y y a

9.1: Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles9.1.1. Procesos autorregresivos AR(p) (iii)

6

Una alternativa a predecir una variable a partir de sus valores pasados es hacerlo a través de una corrección de los errores observados en períodos precedentes, convenientemente ponderados. Un modelo de medias móviles de orden q, MA(q):

Una vez estimados los parámetros t, el modelo expresa el patrón de comportamiento seguido por los términos de error en períodos anteriores.

9.1: Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles9.1.2. Procesos de medias móviles MA(q)


1 4

1 4 2 8

t t t

t t t t

y a ay a a a

1 12

1 12 2 24

t t t

t t t t

y a ay a a a

9.1: Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles9.1.2. Procesos de medias móviles MA(q) (ii)


Condiciones de estacionariedad/invertibilidad de un proceso lineal:Entre los modelos autorregresivos y los de medias móviles existe una relación (si se cumplenuna serie de condiciones bastante habituales en la práctica):

A) Un AR(1) es equivalente a un MA(), con una ponderación decreciente en forma exponencial paravalores de 1 comprendidos, en términos absolutos, entre 0 y 1.

9.1: Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles9.1.2. Procesos de medias móviles MA(q) (iii)


Los modelos AR de orden reducido pueden transformarse en modelos MA de orden elevado, oteóricamente infinito.

B) Los procesos MA de orden bajo también pueden expresarse como un AR().

En la práctica, por el principio de parquedad, es preferible un modelo de orden reducido a otromás elevado, es decir, se elegirá el modelo más simple entre aquellos alternativos que produzcanresultados similares.

La combinación de modelos autorregresivos y de medias móviles da lugar al modelo ARMA, que, en el caso más simple y frecuente de orden (1,1), es igual a:

El caso más general, un modelo ARMA(p,q):

Los modelos sólo autorregresivos corresponden a modelos ARMA(p,0) y los de medias móviles a modelos ARMA(0,q). En este sentido, es equivalente, por ejemplo, hablar de un modelo AR(1) o de un ARMA(1,0), de un MA(2), o de un ARMA(0,2).

10

9.1: Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles9.1.3. Procesos mixtos ARMA(p,q)


1 4 1 1 1 4 2 8t t t t t ty y a a a a

La consideración de la parte estacional supone la modelización de la parte regular y la estacional, lo que daría lugar a la combinación de modelos ARMA(p,q) x SARMA(P,Q):

AR(p) MA(q)SAR(P) SMA(Q)

EJERCICIOS: Exprese, en forma algebraica, los siguientes modelos de datos trimestrales:

ARMA(1,2) SARMA(4,0)

ARMA(0,1) x SARMA(4,8)

ARMA(1,1) x SARMA(12,12)

1 4t t ty y a

1 1 1 12 1 1 1 12t t t t t ty y y a a a

9.1: Planteamiento de los modelos autorregresivos y de medias móviles9.1.3. Procesos mixtos ARMA(p,q) (ii)


modelo datos anuales

9.2. Tratamiento de series en modelos ARIMA

Los modelos ARIMA son una técnica especialmente apropiada para datos de altafrecuencia (trimestrales, mensuales, semanales, etc).

Esta técnica necesita al menos 30-40 datos para series trimestrales y, cuando setrabaja con series mensuales, es habitual contar con entre 60-120 datos (5-10 añoscompletos de información).

Cuando existe una gran cantidad de datos disponibles, el modelizador deberá decidirperíodo que va a utilizar. Con esta técnica, no puede asegurarse que un mayornúmero de períodos considerados mejore los resultados finales. Es recomendableque se eviten los puntos de cambio radical de tendencia, “cortando” (si es posible) laserie a partir de ese período.

9.2.1. RECOGIDA DE DATOS


Los modelos de tipo ARMA sólo pueden ser aplicados a series estacionarias.



No confundir estacionariedad con estacionalidad

9.2.2. CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD

Muy pocas de las series temporales reales pertenecientes al mundo socioeconómico son estacionarias. La mayoría son evolutivas.



Serie no estacionaria o evolutiva = tendencia en media y/o tendencia en varianza

Caso particular de serie estacionaria: la perturbación aleatoria en el MBRL (cuando se cumplen las H.B.):

. Media constante e igual a cero: E(u)=0

. Varianza constante (homoscedástica): Var(u)=σ2

. Covarianza o autocorrelación nula: Cov(ut,us)=0Como los modelos ARMA sólo pueden ser aplicados a series que no muestren ningún tipo de tendencia, será necesario recurrir a métodos de detección y eliminación de las tendencias (en media y varianza).

9.2.3. ESTACIONARIZACIÓN DE LA SERIE

Para decidir sobre la estacionariedad de la serie es degran utilidad disponer de un gráfico lineal de la misma.

Análisis exploratorio de la serie:

A. DETECCIÓN Y ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA EN VARIANZA

• Detección: no hay tests paramétricos de contraste univariante de heteroscedasticidad. En la práctica se opta por eliminar (o mitigar) este efecto, suponiendo que suele estar presente con mayor o menos intensidad en todas las series.

• Eliminación: Una manera sencilla de eliminar o reducir la heterocedasticidad, es decir, de transformar una serie en otra con varianza relativamente constante, es tomar logaritmos naturales o neperianos o cualquiera de las variantes de la familia de Box-Cox.

Familia de transformaciones Box-Cox:

15

9.2. Tratamiento de series en modelos ARIMA9.2.3. ESTACIONARIZACIÓN DE LA SERIE

Hay métodos que estiman el parámetro que maximiza el ajuste en el modelo ARIMA (en términos de R2).

En modelos ARIMA de variables socioeconómicas, se recomienda la transformación logarítmica, pues permite interpretar los valores de los estimadores en términos de efecto marginal.


Eliminación de la tendencia en varianza: transformación logarítmicaEn EViews: LTIPOC = LOG(TIPOC)

LOGS: Las diferencias en la dispersión son menores en valor absoluto.

16


A. TENDENCIA EN VARIANZA (ii)


Transformación logarítmica

17


A. TENDENCIA EN VARIANZA (iii)


LPARO = LOG(PARO)

LIPI = LOG(IPI)


B. DETECCIÓN DE LA TENDENCIA EN MEDIA

18


Segmentos homogéneos

Tendencia cuadrática

• Gráfico de la serie:

Tendencia lineal

GráficoCorrelogramaTest de raíces unitarias


19


La existencia de valores muy elevados de los coeficientes de autocorrelación en la FAT, para todos los retardos, es indicativo de tendencia en media en la parte regular.

Si los valores de los retardos de orden s son también elevados de forma sistemática, existirá tendencia en media en la parte estacional (se piden, al menos, 3 períodos estacionales; por ejemplo: 12, 24, 36 en series mensuales o 4, 8 y 12 en series trimestrales).

• Correlograma de la serie:

B. DETECCIÓN DE LA TENDENCIA EN MEDIA (ii)


• Test de raíces unitarias

H0: raíz unitaria = tendencia en media

1 11 1t t t t t ty y a y y a

H0: la serie tiene tendencia en media en la parte regular

20


B. DETECCIÓN DE LA TENDENCIA EN MEDIA (iii)



C. ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA EN MEDIA


Una de las formas más elementales de eliminar esta tendencia es proceder a calcular diferencias sucesivas de la misma. Así, si la serie yt muestra tendencia en media, posiblemente ya no la tendrá con la siguiente transformación:

Tendencia linealTendencia cuadrática (parábola 2º grado)

El proceso contrario a la diferenciación es la integración.De este modo, las series que necesitan de 1 diferencia para ser estacionarias en media (en la parte regular) se dice que son integradas de orden 1:

3) Transformación en primeras diferencias: DLIPI = LIPI – LIPI(-1)

Ejemplo: 1) Serie original = IPI

22

2) Transformación logarítmica: LIPI = LOG(IPI)

C. ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA EN MEDIA (ii)

Eliminación de la tendencia en media en la parte regular de la serie.

Eliminación de la tendencia en media en la parte regular (primeras diferencias):

DLPARO = LPARO – LPARO(-1)

PARO

9.2. Tratamiento de series en ARIMA9.2.3. ESTACIONARIZACIÓN DE LA SERIEC. ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA EN MEDIA (iii)

Análisis de la tendencia en media en la parte estacional:

PARO

9.2. Tratamiento de series en ARIMA9.2.3. ESTACIONARIZACIÓN DE LA SERIEC. ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA EN MEDIA (iv)

Eliminación de la tendencia en media en la parte regular (segundas diferencias):

DDLPARO = DLPARO – DLPARO(-1)

Media = 0

PARO9.2. Tratamiento de series en ARIMA

C. ELIMINACIÓN DE LA TENDENCIA EN MEDIA (v)

Eliminación de la tendencia en media en la parte estacional (primeras diferencias de orden 12):

D12DDLPARO = DDLPARO – DDLPARO(-12)


D12DDLPARO

Tema 10:Predicción de series temporales con modelos ARIMAProf. Coro Chasco YrigoyenAsignatura: Econometría de la Empresa

1

Tema 10: Predicción de series temporales con modelos ARIMA: Índice

10.1. Identificación de un modelo ARIMA10.1.1. Correlograma10.1.2. Estadístico Q de Ljung-Box

10.2. Estimación y contraste de un modelo ARIMA

10.3. Predicción con modelos ARIMA

10.4. Comparación de predicciones

Tema 10: Predicción de series temporales con modelos ARIMA @ Prof. Coro Chasco 2

3

Tema 10: Predicción de series temporales con modelos ARIMA: Bibliografía

Pulido, A. y López, A.M. (1999), Predicción y simulación aplicadas a la economía y gestiónde empresas, Cap. 5 (5.5, 5.6)

Tema 10: Predicción de series temporales con modelos ARIMA @ Prof. Coro Chasco

Determinación del tipo de modelo más adecuado para la serie objeto de estudio, es decir, el orden de los procesos autorregresivos y de medias móviles para las componentes regular y estacional (valores de p, q, P y Q). Técnicamente, esta decisión se tomará a partir de las denominadas funciones de autocorrelación y autocorrelación parcial, es decir, del correlograma.

10.1.1. CORRELOGRAMA

10.1. Identificación de un modelo ARIMA

4Tema 10: Predicción de series temporales con modelos ARIMA @ Prof. Coro Chasco

1 1 1 1 1 1 1 1... ... ... ...t t p t p t P t P t t q t q t Q t Qy y y y y a a a a aφ φ θ θ− − − − − − − −Δ = Δ + + Δ +Φ Δ + +Φ Δ + + + +Θ + Θvariable transformada en estacionariatyΔ =

El instrumento básico en el correlograma es la función de autocorrelación (FA), que mide el grado de correlación entre cada valor de la variable y los desfasados 1, 2, ..., h períodos. Así, el coeficiente de autocorrelación entre la variable yt y la misma variable k períodos antes, yt-k, será el coeficiente de autocorrelación de orden k:

Además de la función de autocorrelación parcial (FAP), constituida por los coeficientesde correlación parcial, mide la aportación que, a las variaciones de Δyt, tiene cada uno desus retardos por separado (Δyt–1, Δyt–2t…), aislados los efectos de los retardos intermedios.


10.1.1. CORRELOGRAMA (ii)

• Para la identificación de la componente estacional, las reglas son similares, peroaplicadas a los coeficientes de autocorrelación y autocorrelación parcial cada s períodos.Así, con datos mensuales, una función de autocorrelación con valores decrecientes r12,r24,, r36, y un único valor significativo en la función de autocorrelación parcial en 12,deberá ser identificado como un SAR(12).

• Contraste de significatividad estadística de los coeficientes: Permiten decidir, en unafunción de autocorrelación estimada, si un coeficiente puede ser o no considerado comonulo a pesar de presentar un cierto valor. El contraste consiste en el establecimiento deunas bandas de confianza por encima de las cuales los coeficientes resultansignificativos con una determinada probabilidad.

• “Efecto contagio”: valores significativos cercanos a los retardos estacionales de orden s(ej. 11 y 13 respecto a 12; 23 y 25 respecto a 24, etc.) podrían ser imputados a dichoretardo estacional por tratarse de un correlograma de variables con valores muestrales(no poblacionales).

10.1. Identificación de un modelo ARIMA 10.1.1. CORRELOGRAMA (iii)


10.2.2. ESTADÍSTICO Q DE LJUNG-BOXEste estadístico se distribuye aproximadamente como una χ2 con h grados de

libertad, siendo h el número de coeficientes de autocorrelaciónconsiderado.

1. Para series mensuales, se consideran 36 datos o coeficientes de autocorrelación: con un nivel de confianza del 95%, un valor de Q > 50 (χ2

36) supondría el rechazo de la H0 de “ruido blanco”, es decir, la posibilidad de modelización de la serie.

2. Para series trimestrales, se consideran 12 datos o coeficientes de autocorrelación, y para un nivel de confianza del 95%, el valor de Q > 21 (χ2

12).


Rechazo de H0: la serie estacionaria no es ruido blanco (es posible encontrar un modelo ARMA que recoja relaciones autorregresivas en su interior).Aceptación de H0: la serie estacionaria es ruido blanco (no existe ARMA).



Parte regular: ARMA(1,1)Parte estacional: SARMA(24,12)

Serie: DLOG(PARO,2,12)

Se distribuye como una χ2 con h grados de libertad, siendo h el número de retardos.

1. Para series mensuales, se consideran 36datos o coeficientes de autocorrelación.

2. Para series trimestrales, se consideran 12datos o coeficientes de autocorrelación.

10.1.2. ESTADÍSTICO Q DE LJUNG-BOX

H0: ausencia de autocorrelación (“ruido blanco”), es decir, imposibilidad de modelización de la serie.

Prob. → nivel de confianza del rechazo de H0 es de 1 – 0.000 = 1.000 (100%).

10.2. Estimación de un modelo ARIMA

Estimación no lineal: requiere un proceso iterativo de prueba y error para irse acercando en ensayos sucesivos al valor óptimo (similar al método de estimación MCGF de Cochrane-Orcutt).

Las fórmulas de cálculo presuponen conocer valores iniciales no disponibles de la variable a analizar (desde y0 a y-p), así como de la variable de error (de a0 a a-q).

Algunos métodos estiman previamente los datos históricos no inicialmente disponibles con modelos más sencillos.

Muchos programas de ordenador permiten también introducir unos valores previos si el modelizador tiene un conocimiento “a priori”, teórico o práctico, de cuáles podrían ser dichos valores.

Así, en el modelo AR(1) puede demostrarse que el coeficiente de autocorrelación de orden 1 (r1) puede servir como estimación inicial del parámetro φ1: zt = φ1zt-1 + at zt = r1zt-1 + at


MCO1ª iteración: et

e’t ¿ Σ(e’t - et) < 0,001 ?

e'’t Σ(e’’t – e’t) < 0,001

Ejemplo:Estimación no lineal del modelo ARMA(1,1)

MCO2ª iteración:

MCO3ª iteración:


10.3. Estimación de un modelo ARIMA (iii)

111,12 1 1,12 1 2 1,12 2

1 12 2 24

log( ) log( ) log( )

t t t t

t t

ipi ipi ipi aa a

φ φ− −

− −

Δ = Δ + Δ + ++Θ +Θ ARIMA(1,1,0) X SARIMA(0,12,24)

φ1φ1Θ12Θ24

10.3. Predicción con modelos ARIMA

1) Estático: predice un único valor de predicción para la variable dependiente.

Hay 2 métodos de predicción ARIMA: estático y dinámico

Todos los datos de la parte derecha del modelo con conocidos: los valores de la variable dependiente son los valores realesde la variable y los valores de los errores se estiman de forma secuencial, desde el primer valor de la muestra hasta el ultimo (2005:01 –2015:02, en el ejemplo).

Con el método estático solo puede estimarseun único dato a futuro (2015:03, en el ejemplo).

1,12 1 1 1,12 2 1,12 1 1 11 2 23ˆ ˆ ˆ ˆˆlog( ) log( ) log( )t t t t tipi ipi ipi a aφ φ+ − − −Δ = Δ + Δ +Θ +Θ

( 1) 12t + −


10.3. Predicción con modelos ARIMA (ii)

2015:03

Método estático:

Eviews ofrece los datos de predicción para la serie original (que es la que nos interesa), integrando (diferencias) y calculando la función exponencial (logaritmos) de la serie transformada:

1,12 1 1ˆ ˆlog( )t tipi ipi+ +Δ →

10.3. Predicción con modelos ARIMA (iii)2) Dinámico: predice tantos valores de predicción como se necesite.El primer valor de predicción considera valores reales retardados de la variable dependiente y de los errores, como el método estático:

1,12 1 1 1,12 2 1,12 1 1 11 2 23ˆ ˆ ˆ ˆˆlog( ) log( ) log( )t t t t tipi ipi ipi a aφ φ+ − − −Δ = Δ + Δ +Θ +Θ

El resto de valores de predicción deben considerer uno o varios valoresestimados de la variable dependiente y/o de los errores:

1,12 2 1 1,12 1 2 1,12 1 10 2 22ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆlog( ) log( ) log( )t t t t tipi ipi ipi a aφ φ+ + − −Δ = Δ + Δ +Θ +Θ

14

No útil como método de medida de bondad del ajuste

10.3. Predicción con modelos ARIMA (iv)

El primer valor de predicción coincide con ambos métodos (ej: 96.69471)

Reservamos el método estático para medir el ajuste del modelo y el método dinámico para la predicción futura.

10.3. Predicción con modelos ARIMA (v)

16

Método estático: ajuste del modelo Método dinámico:

Predicción futura

Tema 10: Predicción de series temporales con modelos ARIMA @ Prof. Coro Chasco

10.4. Comparación de prediccionesEs necesario realizar predicciones con distintos métodos y comparar:

1) Los resultados de la predicción, para cotejarlos con los conocimientos previos que tengamos sobre esta variable.

2) La bondad del ajuste lograda por cada método en el período histórico, a través de medidas de los errores (error cuadrático medio, porcentaje del error medio absoluto, etc.).

Cuando los resultados son muy parecidos, puede realizarse una media de las predicciones.

Tema 11:Planteamiento general del Modelo de Ecuaciones Simultáneas (MES)Prof. Coro Chasco YrigoyenAsignatura: Econometría de la Empresa

Tema 11: Planteamiento general del MES @ Prof. Coro Chasco 1

Tema 11: Planteamiento general del MES: Índice

11.1. Razón de ser y tipología de los modelos multiecuacionales

11.2. Expresión del modelo en forma desarrollada y matricial

11.3. Hipótesis básicas del MES

2Tema 11: Planteamiento general del MES @ Prof. Coro Chasco

Tema 11: Planteamiento general del MES: Bibliografía

Pulido, A. y Pérez, J. (2001), Modelos econométricos, Cap. 4 (4.2)

Wooldridge, J. (2006), Introducción a la econometría. Un enfoque moderno, T.16 (16.1, 16.5)

Greene, W.H. (2000), Econometric analysis, Chapter 16 (16.1, 16.2, 16.3)


Los modelos multiecuacionales son aquéllos, como su nombre indica, que incluyen 2 ó más ecuaciones y, por tanto, 2 ó más variables dependientes (endógenas): y1t, y2t, etc.

Las variables dependientes pueden formar parte de otras ecuaciones como variables explicativas (regresoresestocásticos).

Suelen ser utilizados en 3 tipos de aplicaciones:1) Análisis estructural (o de impactos)2) Predicción y 3) simulación, que son las principales aplicaciones dentro del ámbito empresarial.

11.1. Razón de ser y tipología de los modelos multiecuacionales

4

Modelos de simulación es una asignatura optativa de G.ADE

Tema 11: Planteamiento general del MES @ Prof. Coro Chasco

11.1. Razón de ser y tipología de los modelos multiecuacionales (ii)

5

Ejemplo:


Los beneficios tienen 2 componentes diferenciadas: ingresos (ING) y gastos (GAS).

3 ecuaciones de comportamiento (y 1 identidad contable); 3 variables dependientes, que son también explicativas en otras ecuaciones.

11.1. Razón de ser y tipología de los modelos multiecuacionales (iii)1. MODELO RECURSIVOS O DE CADENA CAUSAL: cada variable endógena depende de las variables predeterminadas específicas de cada ecuación, de otras endógenas, excluyendo las relaciones recíprocas de causalidad.


2. MODELO DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS: existen relaciones de causa-efecto entre 2 variables endógenas en las 2 direcciones (por ej.: y1 y2). En este tipo de modelos, se da el fenómeno de los regresores estocásticos, dado que las variables endógenas que actúan como explicativas en otro modelo son variables aleatorias (influidas por su correspondiente perturbación).

11.2. Expresión del modelo en forma desarrollada y matricial

7

predeterminadas predeterminadas( (


1 12 2 11 12 2 1

2 23 3 21 22 2 23 3 2

3 31 32 2 34 4 3

t t t t

t t t t t

t t t t

y y x uy y x x uy x x u

Ejemplos: 0 1 1 2 2t t t ty x x u

1 12 2 11 12 2 1

2 23 3 21 22 2 23 3 2

3 31 32 2 34 4 3

t t t t

t t t t t

t t t t


8

11.2. Expresión del modelo en forma desarrollada y matricial (ii)

EJEMPLO:

3. Nº de variables endógenas, predeterminadas y exógenas


g = 3 (y1t, y2t, y3t)

k = 4 (x1t=1, x2t, x3t, x4t)

1. Grafo de relaciones entre endógenas:

2. Tipo de modelo multiecuacional: RECURSIVO

9

var1 var2 var3 var1var2 var3 var4eq.1 eq.2 eq.3eq.1 eq.2 eq.3

eq.1 eq.2 eq.3

eq.1 eq.2 eq.3

EJEMPLO: Total de 3 ecuaciones.

11.2. Expresión del modelo... (iii)1 12 2 11 12 2 1

2 23 3 21 22 2 23 3 2

3 31 32 2 34 4 3

t t t t

t t t t t

t t t t


,3 ,3 3,3 ,4 4,3 ,3

, , , , , ,

n n n n

n g n g g g n k k g n g

Y Y X U

Y Y X U

Forma matricial completa

0 hhRegla de normalización

10

11.2. Expresión del modelo en forma desarrollada y matricial (vii)


1 1 1

VI

Y Y X UY Y X UY I X U

Y X UY X U

Y X V

Las 3 expresiones matriciales del MES:

1. Forma general

2. Forma estructural: las variables endógenas están todas en la parte izquierda del modelo.

3. Forma reducida: las variables endógenas están todas –y sólo ellas – en la parte izquierda del modelo.

A. Hipótesis sobre la estructura del modelo. Rango pleno (y muestra suficientemente amplia). Linealidad (y buena especificación del modelo). Permanencia estructural. Exogeneidad de las variables explicativas

B. Hipótesis sobre la perturbación aleatoria. Normalidad. Media nula. Homoscedasticidad. No autocorrelación

11.3. Hipótesis básicas del MES11.3.1. Sobre cada ecuación h en particular

11

11.3.2. Sobre el modelo en su conjunto- Existe correlación entre las “u” de diferentes ecuaciones- Homocedasticidad interecuaciones: estas correlaciones son constantes t = 1,…, n.

Regresoresestocásticos

Tema 12:Identificación y estimación del MES


1Tema 12: Identificación y estimación del MES @ Prof. Coro Chasco

Tema 12: Identificación y estimación del MES: Índice

12.1. El problema de la identificación12.2. Estimación de modelos recursivos12.2. Métodos de estimación del MES

12.2.1. Enfoque directo (o ingenuo)12.2.2. Enfoque de información limitada12.2.3. Enfoque de información completa


Tema 12: Identificación y estimación del MES: Bibliografía

Pulido, A. y Pérez, J. (2001), Modelos econométricos, Cap. 4 (4.2)

Wooldridge, J. (2006), Introducción a la econometría. Un enfoque moderno, T.16 (16.1, 16.5)

Greene, W.H. (2000), Econometric analysis, Chapter 16 (16.1, 16.2, 16.3)


12.1. El problema de la identificación El MES sólo puede estimarse si unas ecuaciones pueden distinguirse

matemáticamente de otras o, en términos econométricos, si todas las ecuaciones son identificables.

En matemáticas se dice que las ecuaciones de un modelo están identificadas si dicho modelo es determinado, es decir, si tiene tantas ecuaciones como incógnitas.


1. En modelos muy reducidos (casi siempre de 2 ó 3 ecuaciones) pueden darse situaciones reales de no identificación.

Un modelos de ventas:1

2

3

t t t t

t t t

t t t

Vtas Pub Cost uPub Vtas uCost Vtas u

α β μγ δπ σ

= + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ +

Vtas: ventas

Pub: publicidad

Cost: costes

12.1. El problema de la identificación (ii)

2. En modelos habituales, con un número relativamente elevado deecuaciones (varias decenas o incluso de cientos), la situación reales prácticamente de superidentificación, ya que unas ecuacionesse diferencian de otras por la exclusión de gran número de variablesdistintas.

5

La situación de no identificación puede resolverse no limitándose a una relación que sólo incluye variables endógenas, sino incluyendo en la parte derecha de los modelos alguna variable predeterminada más.

Pre: precio producto; Comp: ventas compentencia

1

2

3

t t t t

t t t

t t t


α β μγ δπ σ

= + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ +

1

2

3

t t t t t

t t t t

t t t

Vtas Pub Pre Cost uPub Vtas Comp uCost Vtas u

α β λ μγ δ μπ σ

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ +

Tema 12: Identificación y estimación del MES @ Prof. Coro Chasco

12.1. El problema de la identificación (iii)

6

Una ecuación h-ésima del MES será identificable (o superidentificable) si el número de variables explicativas excluidas de h iguala (o supera) el número de variables endógenas (ecuaciones) del sistema menos 1.

1g'k'k −≥−

Condición necesaria y no suficiente de identificabilidad

( ) ( ) 1gg'gk'k −≥−+−

k = nº total predeterminadas (incluyendo el t. indep.) k’ = nº predeterminadas incluidas en la ecuación h g’ = nº endógenas incluidas en la ecuación h

Es rápida de calcular para cada ecuación, aunque no totalmente determinante


12.1. El problema de la identificación (iv)

1

2

3

t t t t

t t t

t t t


α β μγ δπ σ

= + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ +

1

2

3

t t t t

t t t t

t t t

Vtas Pub Pre uPub Vtas Comp uCost Vtas u

α β λγ δ μπ σ

= + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ +

?1 1 3 1 ; 0 2− ≥ − <

7

1g'k'k −≥−

Condición necesaria y no suficiente de identificabilidad

( ) ( )− + − ≥ −k k' g g' g 1

?3 2 2 1 ; 1 1− ≤ − =

?3 2 2 1 ; 1 1− ≥ − =

g = 3; k = 1 (t. indep)

?1 1 2 1 ; 0 1− ≥ − <

No identificable

No identificable

g = 3; k = 3

Identificable

Identificable

?1 1 2 1 ; 0 1− ≥ − < No identificable

?3 1 2 1 ; 2 1− ≤ − >

Sobreidentificable


8

12.2. Estimación de modelos recursivos


MODELO RECURSIVOS O DE CADENA CAUSAL: excluye las relaciones recíprocas de doble causalidad.

Método de estimación correcto:

1º) Se estima por MCO la endógena que sólo depende de exógenas (y3)

2º) En la ecuación que corresponda (la 2ª) se sustituye el valor de dicha endógena (y3) por su valor estimado ( ), y se estima dicha ecuación por MCO para obtener la endógena estimada de dicha ecuación ( ).

3º) Y así sucesivamente hasta obtener la estimación MCO de la última endógena (en el ejemplo, ).

9

12.3. Métodos de estimación del MES


…

- MC3E- SUR

10

12.3.1. Estimación directa (o ingenua)

Se trata de la primera fase en la estimación de todo MES:


1. Estimación individualizada de cada una de las g ecuaciones del MES por MCO o MCG(F).

2. Estimación de los coeficientes de las variables endógenas (“y”) explicativas como si fueran variables exógenas (y no como regresoresestocásticos, que es lo que son).

3. Método incorrecto porque no tiene en cuenta:

- La existencia de regresores estocásticos (“y” explicativas).- La correlación entre las “u” de las ecuaciones.- Los parámetros Β, Γ son sesgados, ineficientes e inconsistentes.


12.3.1. Estimación directa (o ingenua) (ii)


( )

11 12 13 1

21 23 21 24

2 1 2

31 32

@ ( ) @ ( 95) @ ( )@ ( 95) @ ( ) @ ( ) @ ( ) @ ( ) @ ( ) @ (

t t t t

t t t t

t t

t t

pch eetot pch gdpm pch sale upch vatot pch eetot pch product pch ivfh

upch product pch eetot pch

β β βγ γ β β

ρ εγ γ

−

= + + += + + + +

+ += + 31 35 395)t t tvatot fic uβ β

+ + +

. Endógenas: @pch(eetot), @pch(vatot95), @pch(product) (g = 3)

. Predeterminadas: const., @pch(gdpm95), @pch(sale), @pch(ivfh), fic (k = 5)

. Perturbaciones aleatorias ruido blanco: u1t, ε2t, u3t

En primer lugar, hay que comprobar el cumplimiento de la condición necesaria pero no suficiente de identificabilidad de cada ecuación:

1ª) k – k’ = 5 – 3 = 2 ; g’ – 1 = 1 – 1 = 0 ; 2 > 0 → superidentificable

2ª) k – k’ = 5 – 2 = 3 ; g’ – 1 = 3– 1 = 2 ; 3 > 2 → superidentificable

3ª) k – k’ = 5 – 2 = 3 ; g’ – 1 = 3 – 1 = 2 ; 3 > 2 → superidentificable

EJEMPLO:

Tema 12: Identificación y estimación del MES @ Prof. Coro Chasco 11

12.3.1. Estimación directa (o ingenua) (iii)


MCO

MCO

MCGF(autocorrelación)

13

12.3.2. Información limitada12.3. Métodos de estimación del MES


1. Se reconoce el carácter de regresores estocásticos a las variables endógenas explicativas.

2. Estimación individualizada de cada una de las g ecuaciones por MC2E.3. En cada ecuación, las variables instrumentales de las variables endógenas

explicativas suelen ser todas las variables exógenas del modelo (estén o no presentes en dicha ecuación) y sus correspondientes retardos de primer orden cuando la ecuación tenga autocorrelación AR(1).

4. El valor de los estimadores varía con la inclusión o exclusión de variables del modelo.

5. Método no del todo correcto porque no tiene en cuenta:

- La posible correlación entre las “u” de las ecuaciones.- Los parámetros Β, Γ son insesgados, pero ineficientes e inconsistentes.

12.3.2. Información limitada (ii)12.2. Métodos de estimación del MES


MCGF: AR(1)

@STACKINST

@INST @PCH(GDPM95) @PCH(SALE) @PCH(IVFH95) FIC

@PCH(PRODUCT) = C(11) + C(12)*@PCH(VATOT95) + C(13)*@PCH(EETOT) + C(14)*FIC

@PCH(EETOT) = C(21) + C(22)*@PCH(GDPM95) + C(23)*@PCH(SALE) + [AR(1)=C(24)]

@PCH(VATOT95) = C(31) + C(32)*@PCH(EETOT) + C(33)*@PCH(IVFH95) + C(34)*@PCH(PRODUCT) +[AR(1)=C(35)]

12.3.2. Información limitada (iii)12.2. Métodos de estimación del MES


16

12.3.3. Información completa Métodos de estimación más utilizados:



SURSeemingly Unrelated

Regressions

MC3EMínimos Cuadrados en

3 etapas

MVICMáxima Verosimilitud con

Información Completa

Estimación individualizada de cada una de las g ecuaciones por MC2E(1ª y 2ª etapas).

Extracción de los errores de la estimación MC2E para estimar la matriz de varianzas y covarianzas del MES, que servirá para ponderar las variables y realizar una última estimación por MCG (3ª etapa).

Método más correcto porque tiene en cuenta:- La naturaleza de regresores estocásticos de las variables endógenas explicativas

(método MC2E).- La correlación entre las “u” de las ecuaciones (método MCG).- Los parámetros Β, Γ son insesgados, ineficientes pero consistentes.

12.3.3. Información completa (ii)12.2. Métodos de estimación del MES


@STACKINST

@INST @PCH(GDPM95) @PCH(SALE) @PCH(IVFH95) FIC

@PCH(PRODUCT) = C(11) + C(12)*@PCH(VATOT95) + C(13)*@PCH(EETOT) + C(14)*FIC

@PCH(EETOT) = C(21) + C(22)*@PCH(GDPM95) + C(23)*@PCH(SALE) + [AR(1)=C(24)]

@PCH(VATOT95) = C(31) + C(32)*@PCH(EETOT) + C(33)*@PCH(IVFH95) + C(34)*@PCH(PRODUCT) +[AR(1)=C(35)]

12.3.3. Información completa (iii)12.2. Métodos de estimación del MES




C11@vatot95@eetot

FICC21

@gdpm95@saleAR(1)C31

@eetot@ivfh95

@productAR(1)

C11@vatot95@eetot

FICC21


@eetot@ivfh95

@productAR(1)

C11@vatot95@eetot

FICC21


@eetot@ivfh95

@productAR(1)

@pr

oduc

t

@pr

oduc

t

@pr

oduc

t

@ee

tot

@ee

tot

@ee

tot

@va

tot9

5

@va

tot9

5

@va

tot9

5

Comparativa de estimaciones

grado en administraciÓn y d e€¦ · búsqueda de información adicional (más variables/datos):...

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