Colegio BOLIVAR

ÁREA DE MATEMÁTICAS

GeometríaLady Arismandy

PRIMER PERIODO

2008

GRADO 8

Cohete - AVANZAR

102

ALGE

BRA

PRIMER periodoM

ATE

MÁ

TICA

SGEOMETRÍA

PRESABERES

• APROxIMACIóN hISTóRICA.Lahistoriadelorigendelageometríaestáasociadaalasolucióndeproblemasconcretos,esdecir,losconceptosdelageometríasonconsecuenciadelasac-tividadesprácticasque realizabael hombre.Unadeestasactividadesera lamedicióndelaTierra,deallíelorigenetimológicodelapalabrageometría:geo,tierraymetróntierra.Losegipciossonconsiderados losprimerosgeómetrasde lahistoria,ellossecentraronprincipalmenteenelcálculodeáreasyvolúmenes.Lageometríaseconvierteenunsistemadeductivo con losgriegos,peroessobretodoalmatemáticogriegoEuclides,aquiensedebenlasprimerasdem-ostracionesrigurosasyorganizadas.EuclidesesfamosoporsuobratituladalosElementos,lacualestáconstituidapor13librosquesehanutilizadocomotextosdeestudioporcercade2000años.Otrosmatemáticosquehanhechoaportesimportantesalageometríason:Pi-tágoras(580a.deC),Arquímedes(287a.deC.)Riemann(1826-1866).

PRESABERES

Unánguloeslaunióndedossemirrectasconunpuntocomún.Lassemirrectassonlosladosdelánguloyelpuntocomúneselvértice.Paranombrarunángulo,seubicandospuntossobrelassemirrectasysenom-branlostrespuntosdetalmaneraqueelvérticequedeenelcentro: ABC∠.Porejemplo,elángulodibujadosenombra ABC∠ .Tambiénpuedeusarselaletraquecorrespondealvértice B∠ ounaletragriegacomoα .

103

MA

TEM

ÁTIC

AS

Colegio BOLIVAR

ALGEBRA

Para tener en cuenta: Dosángulosquetienenlamismaamplitudoabertura,sedicequesoncongruentes

CLASIFICACIóN DE LOS ÁNGULOS.

Los ángulos se clasifican según su medida,segúnsusuma,ysegúnsuposición.Ahora, según su medida los ángulos se clasifican de la siguiente manera:

Según su suma, los ángulos se clasifican de la siguiente manera:

104

Geom

etrí

aPRIMER periodo

MA

TEM

ÁTI

CA

S

Según su posición los ángulos se clasifican en:

Para tener en cuenta: Complementodeunánguloesloquelefaltaparacompletar90º.Suplementodeunánguloesloquelefaltaparacompletar180º.Dosángulosadyacentessonsiempresuplementarios.

CONSTRUCCIóN DEL CONOCIMIENTO

1.Construirconeltransportadorcadaunodelossiguientesángulos:a.45º b.76º c.125º d.90ºe.36º f.150º g.176º h.20º

2. De acuerdo con la siguiente figura nombrar ángulos para cada condicióndada.a.agudob.recto c.obtusod.complementarios e.adyacentes.

105

MA

TEM

ÁTIC

AS

Colegio BOLIVAR

Geometría

3. Medir los siguientes ángulos, luego, clasificarlos según su medida.

4.Construirelsuplementodecadaunodelossiguientesángulos.

5.EscribirV,verdadero,F,falso,segúncorresponda.Paracadacasojus-tifique su respuesta.

a.Sidosángulossoncomplementarios,entoncessonagudos.b.Dosángulosrectossoncongruentes.c.Loscomplementosdeánguloscongruentessoncongruentes.d.Algunosángulosadyacentessonsuplementarios.e.Losángulosopuestosporelvérticesoncongruentes.

6.Losángulos PQR∠ y SQT∠ sonopuestosporelvértice.Hallarlame-didadeloscuatroángulosindicadosparacadacondición.

106

Geom

etrí

aPRIMER periodo

MA

TEM

ÁTI

CA

S

7. Resolver cada situación y justificar la respuesta.a.Dosángulossonsuplementariosyunodeellosmide40ºmásqueelotro.¿Cuáleslamedidadecadaángulo?

b.lamedidadeunánguloes32

desucomplemento.¿Cuáleslamedidadecadaángulo?

CONCEPTUALIZACIóN

Unasecanteesunarectaquecortadosomásrectascoplanarias(queestánenunmismoplano)enpuntosdistintos.Rectasparalelassonaquellasquenotienenningúnpuntoencomún,osoncoincidentes.Cuandodosrectasparalelassoncortadasporunase-cante, se forman ocho ángulos, los cuales se clasifican según posición.

Ángulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Dosrectascualesquieracortadasporunaterceradeterminanochoángulos.

107

MA

TEM

ÁTIC

AS

Colegio BOLIVAR

Geometría

De acuerdo a la posición de los mismos se clasifican en:•Ángulosinterioresyexteriores•Ánguloscorrespondientes•Ángulosalternos•Ángulosconjugados

Ángulos interiores

Losángulosubicadosenlazonacomprendidaentrelasrectasparalelassellamanángulosinteriores.

Ángulos exteriores

Losángulosquenosoninterioressedenominanángulosexteriores.

Ángulos correspondientes

Sidosángulosestánubicadosdeunmismoladodelatransversal,unoesinterioryelotroesexterior,selosllamaánguloscorrespondientes.

108

Geom

etrí

aPRIMER periodo

MA

TEM

ÁTI

CA

S

Losánguloscorrespondientesentreparalelassoniguales.Recíprocamente,sidosrectascortadasporunaterceraformanánguloscorrespondientesiguales,lasrectassonparalelas.

Ángulos alternos internos

Sidosángulosestánsituadosendistintossemiplanosconrespectoalatransversalyambosson internos, se los llamaángulosalternos inter-nos.

Losángulosalternosinternosentreparalelassoniguales.Recíprocamente,sidosrectascortadasporunaterceraformanángulosalternosinternosiguales,lasrectassonparalelas.Ángulos alternos externos

Sidosángulosestánsituadosendistintossemiplanosconrespectoalatransversalyambossonexternos,selosllamaángulosalternosexter-nos

109

MA

TEM

ÁTIC

AS

Colegio BOLIVAR

Geometría

Losángulosalternosinternosentreparalelassoniguales.Recíprocamente,sidosrectascortadasporunaterceraformanángulosalternosexternosiguales,lasrectassonparalelas.

PARA TENER EN CUENTA:

• Cadapardeángulosalternosinterioresointernossoncongruen-tes.• Cadapardeángulosalternosexterioresoexternossoncongruen-tes.• Cadapardeánguloscorrespondientessoncongruentes.

CONCEPTUALIZACIóN

1. Señalar en cada gráfico, una pareja de ángulos con cada condición dada

110

Geom

etrí

aPRIMER periodo

MA

TEM

ÁTI

CA

S2. En la siguiente figura, l IIm,sytsonsecantes. º351 =∠ y º1302 =∠

Ahora,escribeverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda

3. En la figura l IIm,tesunasecantey 21 ∠≅∠

Halla la medida de los siguientes ángulos y justifica la respuesta

111

MA

TEM

ÁTIC

AS

Colegio BOLIVAR

Geometría

TRIÁNGULOS

UnTRIÁNGULOeslaregióndelplanolimitadaportresrectasquesecortandosados.Lospuntosdeinterseccióndelasrectassonlosvé-rticesdeltriángulo.Lossegmentosdeterminadosporlosvérticessonloslados,loscualessenombranconlamismaletradelánguloopuestoperoenminúscula.

Segúnsuslados•Equilátero:tresladosiguales•Isósceles:dosladosiguales.•Escaleno:tresladosdesiguales

Segúnsusángulos•Acutángulo:tresángulosagudos•Rectángulo:unángulorecto•Obtusángulo:unánguloobtuso

112

Geom

etrí

aPRIMER periodo

MA

TEM

ÁTI

CA

SPropiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo

Teorema:Lasumadelosángulosinterioresdeuntriánguloesiguala180º.Disponiendolosángulosdeltriánguloenformaconsecutivaseobtieneunángulollano.

Propiedad del ángulo exterior

Teorema:Todoánguloexteriordeuntriánguloesigualalasumadelosdosángulosinterioresnoadyacentes

Entodotriángulorectángulo,elcuadradodelahipotenusaesigualalasumadeloscuadradosdeloscatetosyseexpresadelasiguientemanera:

a2+b2=c2

Cadaunodelossumandos,representaeláreadeuncuadradodelado,a,b,c.Conloquelaexpresiónanterior,entérminosdeáreasseexpre-saenlaformasiguiente:Eláreadelcuadradoconstruidosobrelahipotenusadeuntriángulorectángulo,esigualalasumadelasáreasdeloscuadradosconstruidossobreloscatetos.

113

MA

TEM

ÁTIC

AS

Colegio BOLIVAR

Geometría

Triángulo rectángulo

Comosedijoanteriormente,eltriángulorectángulotieneunángulorectoydosángulosagudos.Enestetipodetriángulosellamancatetosalosladosqueformanelángulorecto,ehipotenusaalladoopuestoalángulorecto.Eneltriángulorectángulosecumpleunimportanteteorema,queeselTeorema de Pitágoras, el cual afirma:

CONSTRUCCIóN DEL CONOCIMIENTO

1. Nombrar todos los triángulos que aparecen en la siguiente figura

114

Geom

etrí

aPRIMER periodo

MA

TEM

ÁTI

CA

S2. Verificar si puede construirse los triángulos con las características dadas. Justificar la respuesta.

3.EneltriánguloABC, º451 =∠ y º1282 =∠ .HallarlamedidadelostresángulosinterioresdeltriánguloABC.

4.EneltriánguloDEF, º46=∠F y º37=∠E .Hallarlamedidadelossiguientesángulos:a. D∠ b. 1∠ c. 2∠ d. 3∠ e. 321 ∠+∠+∠

5. Identificar las características de cada tipo de triángulo para completar latabla.

115

MA

TEM

ÁTIC

AS

Colegio BOLIVAR

Geometría

6.Encontrarlamedidadelosángulossombreadosencadatriángulo,apartirdelainformacióndadaencadauno

7.Unaescalerade3metrosdelongitudsecolocacontralaparedparaalcanzarunaventana.Sielpiedelaescaleraestáa1metrodelabasedelapared.¿Aquéalturaaproximadamenteseencuentralaventana?

BIBLIOGRAFIA

http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm

http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/triangulos/generalidades.asphttp://www.mismates.net/matematicas/manipulables/geometria.htmhttp://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htmhttp://www.comenius.usach.cl/webmat2/actividades/unidad7-activi-dades.htmhttp://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadestercero.htmÁlgebrayGeometríaI.Autores:MauricioBautista,DianaSalgadoyotros.EditorialSantillana.MatemáticaConstructiva8.Autores:GustavoCenteno,HollmanCentenoyotros.Editorial:LibrosYLibresS.A.