gil nobajas - ingenierÍa de control

8/2/2019 Gil Nobajas - INGENIERA DE CONTROL

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UNIVERSIDAD DE NAVARRAESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS

SAN SEBASTIN

INGENIERA DE CONTROL

CONTROL DE SISTEMAS CONTINUOS

Dr. Jorge Juan Gil NobajasDr. ngel Rubio Daz-Cordovs

San Sebastin, 23 de septiembre de 2004


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Ingeniera de Control Control de Sistemas Continuos 2004 Jorge Juan Gil Nobajas y ngel Rubio Daz-Cordovs

ISBN 84-609-1851-3Depsito Legal SS-0827/04

Reservados todos los derechos.Queda prohibida la reproduccin total o parcial sin autorizacin previa.

Los autores agradecen la colaboracin de Gerard Vidal Casaa y Haytham Elhawary Surez en laconfeccin de este libro de texto.

Primera Edicin: Abril 2004Segunda Edicin: Septiembre 2004

Impreso en Espaa__________________________________________________________________

Imprime: Unicopia, C.B.Paseo Manuel Lardizbal, 1320018 San Sebastin (Guipzcoa) ESPAA


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NDICE

NDICE...............................................................................................................................................................................I

INTRODUCCIN..................................................... .......................................................... ............................................. 1

1.1 DEFINICIONES...................................................................................................................................................1 1.1.1 Ejemplos de sistemas de control.................................................................................................................2

1.2 CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL................................................................................................3 1.2.1 Segn la caracterstica temporal de la ley de control ................................................................................31.2.2 Segn el nmero de entradas y salidas.......................................................................................................31.2.3 Segn la linealidad del sistema...................................................................................................................31.2.4 Segn la continuidad del sistema................................................................................................................41.2.5 Segn los parmetros del sistema...............................................................................................................4

1.3 SISTEMAS Y MODELOS ......................................................................................................................................4 1.3.1 Sistemas mecnicos.....................................................................................................................................41.3.2 Sistemas elctricos......................................................................................................................................61.3.3 Sistemas elctromecnicos..........................................................................................................................7

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.........................................................................................................................9

2.1 DEFINICIN ......................................................................................................................................................9 2.2 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE .........................................................................................9 2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES ........................................................................10 2.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE .........................................................................................................11 2.5 RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LAPLACE ........................................................................12 2.6 PROBLEMA RESUELTO ....................................................................................................................................13 2.7 PROBLEMA RESUELTO ....................................................................................................................................13

REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS .......................................................... .................................................. .... 15

3.1 FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA ................................................... ............................................. 153.2 DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA........................................................................................................16

3.2.1 Diagrama de bloques de un sistema de realimentacin negativa no unitaria ................................ .......... 16

3.2.2 Diagrama de bloques de un sistema de realimentacin negativa unitaria...............................................183.2.3 Ejemplo de circuito con dos mallas ................................................... ....................................................... 183.2.4 Ejemplo de motor de corriente continua...................................................................................................20

3.3 REGLAS PARA LA SIMPLIFICACIN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES ....................................................................21 3.4 PROBLEMA DE EXAMEN ..................................................................................................................................21

RESPUESTA TEMPORAL...........................................................................................................................................23

4.1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN ..........................................................................................................................23 4.1.1 Respuesta ante una entrada impulso ........................................................................................................234.1.2 Respuesta ante una entrada escaln.........................................................................................................244.1.3 Respuesta ante una entrada sinusoidal.....................................................................................................254.1.4 Ejemplo de sistema de primer orden.........................................................................................................26

4.2 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ......................................................................................................................26

4.2.1 Respuesta subamortiguada ante una entrada escaln..............................................................................274.2.2 Respuesta sobreamortiguada ante una entrada escaln...........................................................................284.2.3 Respuesta crticamente amortiguada ante una entrada escaln...............................................................294.2.4 Respuesta oscilatoria ante una entrada escaln.......................................................................................29


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4.2.5 Respuesta ante una entrada impulso ........................................................................................................294.3 SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR......................................................................................................................30 4.4 INFLUENCIA DE LOS CEROS .............................................................................................................................31 4.5 PROBLEMAS PROPUESTOS...............................................................................................................................32

ERROR EN RGIMEN PERMANENTE....................................................................................................................35

5.1 ERROR EN RGIMEN PERMANENTE .................................................................................................................35

5.1.1 Error de posicin......................................................................................................................................355.1.2 Error de velocidad....................................................................................................................................365.1.3 Error de aceleracin.................................................................................................................................365.1.4 Resumen de errores ..................................................................................................................................36

5.2 MAGNITUD Y UNIDADES DEL ERROR...............................................................................................................37 5.3 ERROR EN SISTEMAS DE CONTROL CON REALIMENTACIN NO UNITARIA........................................................37 5.4 ERROR EN SISTEMAS DE CONTROL CON VARIAS ENTRADAS ............................................................................38 5.5 PROBLEMA RESUELTO ....................................................................................................................................39 5.6 PROBLEMA DE EXAMEN RESUELTO .................................................................................................................39 5.7 PROBLEMAS PROPUESTOS...............................................................................................................................40

ESTABILIDAD...............................................................................................................................................................41

6.1 DEFINICIN DE ESTABILIDAD .........................................................................................................................41

6.2 CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ ......................................................................................................................41 6.2.1 Estabilidad de los sistemas de segundo orden..........................................................................................426.2.2 Estabilidad de los sistemas de tercer orden..............................................................................................436.2.3 Ejemplo numrico de sistema de cuarto orden.........................................................................................43

6.3 CASOS ESPECIALES DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ.................................................................................44 6.3.1 Se anula el primer coeficiente de una fila.................................................................................................446.3.2 Se anula toda una fila ............................................... ...................................................... .......................... 44

6.4 EJEMPLO RESUELTO........................................................................................................................................45 6.5 PROBLEMA RESUELTO ....................................................................................................................................45

LUGAR DE LAS RACES.............................................................................................................................................47

7.1 INTRODUCCIN...............................................................................................................................................47 7.2 GENERALIDADES DEL MTODO.......................................................................................................................48

7.3 MTODO PARA DIBUJAR EL LUGAR DE LAS RACES ..................................................... .................................... 487.3.1 Polos y ceros en lazo abierto....................................................................................................................497.3.2 Asntotas ...................................................................................................................................................497.3.3 Puntos del eje real que pertenecen al lugar de las races.........................................................................497.3.4 Puntos de ruptura .....................................................................................................................................497.3.5 Puntos de corte con el eje imaginario.......................................................................................................507.3.6 ngulos de salida y llegada .......................................... ................................................ ............................ 50

7.4 CLCULO DE LA GANANCIA ............................................................................................................................50 7.5 EJEMPLOS DE LUGARES DE LAS RACES ..........................................................................................................50

7.5.1 Sistema de tercer orden ............................................................................................................................507.5.2 Sistema de segundo orden con un cero.....................................................................................................52

7.6 ESTABILIDAD RELATIVA .................................................................................................................................54 7.6.1 Margen de ganancia .................................................. ................................................... ............................ 54

7.6.2 Margen de fase..........................................................................................................................................557.7 LUGAR DE LAS RACES EN FUNCIN DE OTROS PARMETROS .........................................................................56 7.8 PROBLEMAS PROPUESTOS...............................................................................................................................56

RESPUESTA EN FRECUENCIA.................................................................................................................................57

8.1 RESPUESTA A UNA ENTRADA SINUSOIDAL ......................................................................................................57 8.2 EL DIAGRAMA DE BODE ..................................................................................................................................57 8.3 DIAGRAMA DE BODE DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA ELEMENTALES........................................................58

8.3.1 Ganancia...................................................................................................................................................58 8.3.2 Retraso en el tiempo..................................................................................................................................588.3.3 Integrador.................................................................................................................................................59 8.3.4 Derivador..................................................................................................................................................59 8.3.5 Polo simple ...............................................................................................................................................60

8.3.6 Cero simple...............................................................................................................................................618.3.7 Polo doble.................................................................................................................................................618.3.8 Cero doble ................................................................................................................................................638.3.9 Polo simple con parte real positiva ..........................................................................................................63


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8.3.10 Cero simple con parte real positiva .................................................................... ................................. 648.4 DIAGRAMA DE BODE DE CUALQUIER FUNCIN DE TRANSFERENCIA................................................................65 8.5 DIAGRAMA DE BODE DE UN SISTEMA EN LAZO CERRADO ...............................................................................65

8.5.1 Ancho de banda ........................................................................................................................................668.5.2 Margen de fase y margen de ganancia ............................................. ..................................................... ... 66

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETRASO DE FASE..............................................................................69

9.1 GENERALIDADES

............................................................................................................................................69 9.1.1 Especificaciones........................................................................................................................................69 9.1.2 Tipos de compensacin.............................................................................................................................699.1.3 Mtodo de ajuste.......................................................................................................................................70

9.2 COMPENSADOR DE ADELANTO DE FASE..........................................................................................................70 9.2.1 Ajuste por el lugar de las races ...............................................................................................................719.2.2 Ajuste por el diagrama de Bode................................................................................................................75

9.3 COMPENSADOR DE RETRASO DE FASE.............................................................................................................79 9.3.1 Ajuste por el diagrama de Bode................................................................................................................799.3.2 Ajuste por el lugar de las races ...............................................................................................................83

9.4 COMPENSADOR DE ADELANTO-RETRASO ...................................................................................................84 9.5 PROBLEMAS PROPUESTOS...............................................................................................................................85

CONTROLADORES PID..............................................................................................................................................87

10.1 EXPRESIN GENERAL .....................................................................................................................................87 10.1.1 Forma estndar....................................................................................................................................8710.1.2 Forma paralela .................................................... ...................................................... .......................... 8810.1.3 Forma serie..........................................................................................................................................88

10.2 SENTIDO FSICO DE LA ACTUACIN DE UN PID.................................................. ............................................. 8810.2.1 Actuacin proporcional .......................................................................................................................8810.2.2 Actuacin proporcional-derivativa......................................................................................................8910.2.3 Actuacin proporcional-integral..........................................................................................................90

10.3 AJUSTE EXPERIMENTAL DE PID......................................................................................................................91 10.3.1 Ajuste de Ziegler-Nichols.....................................................................................................................9110.3.2 Otros tipos de ajuste experimental.......................................................................................................9310.3.3 Ejemplo comparativo ................................................. .......................................................... ................ 93

10.4 AJUSTE ANALTICO DE PID POR ASIGNACIN DE POLOS .................................................................................94 10.5 MODIFICACIONES DEL PID.............................................................................................................................95 10.5.1 Supresin del efecto kick-off ................................................................................................................9510.5.2 Filtro de la derivada ....................................................... ................................................................. .... 9510.5.3 Set Point Weighting..............................................................................................................................95

EXMENES....................................................................................................................................................................97


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1

CAPTULO 1

INTRODUCCIN

La ingeniera de control disea las leyes matemticas que gobiernan los sistemas fsicos conforme a una seriede especificaciones. Esta disciplina es esencial para el desarrollo y automatizacin de procesos industriales.Los avances en el control automtico brindan los medios adecuados para lograr el funcionamiento ptimo de

cualquier sistema dinmico. Resulta muy conveniente que los ingenieros posean un amplio conocimiento deesta materia.

El presente libro de texto describe las herramientas clsicas para el control de sistemas continuos enel tiempo, es decir, aquellos sistemas en los que se puede medir y actuar en todo instante. En electrnica, estetipo de sistemas se llaman analgicos, frente a los discretos y digitales.

1.1 DEFINICIONES

En el estudio de la ingeniera de control, se emplean una serie de conceptos que es necesario definir:

Planta, proceso o sistema: es el sistema fsico o la magnitud fsica que se desea controlar (porejemplo un horno de calentamiento controlado, reactor qumico, amplificador operacional, vehculoespacial, velocidad de un tren de laminacin, etc.).

Perturbaciones: seales o magnitudes fsicas desconocidas que tienden a afectar adversamente lasalida del sistema.

Control realimentado: operacin que se realiza sobre la planta, con la que se consigue que a pesarde las perturbaciones, el sistema siga una entrada de referencia. Normalmente esto se consiguecomparando la seal de salida con la seal deseada (se suele trabajar con la diferencia de ambasseales) y actuando en consecuencia.

Controlador: es la ley matemtica que rige el comportamiento del sistema. Si una ley de controlfunciona aunque uno se haya equivocado en el modelo, se dice que esa ley es robusta.

Servosistema: sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapi a la capacidad delsistema de seguir una referencia.

Regulador: sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapi a la capacidad delsistema de rechazar las perturbaciones. En los reguladores la referencia prcticamente no cambia, esuna seal continua y si cambia, lo hace lentamente.

Sistema en lazo cerrado: la variable controlada se mide y se utiliza esa medicin para modificar laentrada sobre la planta. Esa medida se lleva a cabo normalmente por un sensor.

Sistema en lazo abierto: la variable controlada o de salida no se mide, ni se utiliza para modificar laentrada. La entrada a la planta no es funcin de la salida como ocurra en lazo cerrado. Se empleanormalmente cuando las perturbaciones sobre el sistema son pequeas y tenemos un buen modelo de

planta. Tambin se utiliza este tipo de sistemas si la seal de salida del sistema es imposible o muydifcil de medir. Como ejemplos se podran citar una lavadora de ropa o el arranque de motores deestrella a tringulo. Si el sistema en lazo abierto cumple las especificaciones necesarias, resulta ms

sencillo y barato construirlo que un sistema en lazo cerrado.En la Fig. 1.1 se puede observar el esquema de control general que se va a seguir, mientras que en la

Fig. 1.2 se observa un ejemplo de sistema en lazo abierto.


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2

+Referencia Salida

+ +

Perturbacin

Control Planta

Sensor

Actuador

Fig. 1.1 Sistema de control en lazo cerrado

Referencia Salida

Control PlantaActuador

+ +

Perturbacin

Fig. 1.2 Sistema de control en lazo abierto

En la Tabla 1.1 se puede observar las principales diferencias entre un sistema en lazo abierto y unoen lazo cerrado.

Tabla 1.1 Comparacin entre controladores de lazo abierto y cerrado

Control en lazo cerrado Control en lazo abiertoRechaza perturbaciones No rechaza perturbacionesPuede hacerse inestable No tiene problemas de estabilidadSe puede controlar un sistema inestable No se puede controlar un sistema inestableEs adecuado cuando no se conoce bien la planta Requiere un conocimiento muy exacto de la plantaRequiere mayor nmero de componentes Requiere un menor nmero de componentesSuele ser caro Suele ser ms econmico

1.1.1 Ejemplos de sistemas de control

Se presentan a continuacin unos ejemplos de sistemas de control de lazo cerrado.

Sistema de control de velocidad. Para el caso en que se quiera controlar la velocidad de un cochemediante un sistema en lazo cerrado, la variable de referencia es la velocidad deseada del coche, el motordel coche es el actuador, la planta es el coche en s, posibles perturbaciones pueden ser la aparicin de unacuesta, la actuacin del viento, etc., la salida del sistema es la velocidad real del coche, y el sensor, unvelocmetro, mide dicha velocidad.

Sistema de control de temperatura. Otro caso es el control de la temperatura de una habitacin. Lavariable de referencia es la temperatura deseada de la habitacin, los actuadores son los radiadores (o elaparato de aire acondicionado), la ley de controles el termostato, y lasperturbaciones son las caloras queentran y salen de la habitacin o que generan las personas u otros equipos que no sean los actuadores. El

sensorque mide la temperatura de la habitacin puede ser un simple termmetro.

mf

x

Fig. 1.3 Control de un pndulo simple invertido

Sistema de control de posicin. Ahora se quiere controlar un pndulo como el de la Fig. 1.3, paraque se mantenga en un estado de equilibrio vertical. Las perturbaciones son cualquier fuerza que intentesacar el pndulo de su posicin de equilibrio. Si se trabajase en lazo abierto no se podra saber en qu

posicin se encontrara el pndulo en cada momento, y nunca se podra alcanzar el objetivo. Esimprescindible, para este caso, utilizar un sistema de control en lazo cerrado.


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3

Otro ejemplo de sistema de control de posicin es un sistema mquina-herramienta. En este caso elsensorpuede ser un encoder diferencial, un resolver o un potencimetro, el actuadores un motor elctrico yla ley de controlun controlador PD.

1.2 CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

Los sistemas de control se pueden clasificar de diversos modos. A continuacin se sealan algunos.

1.2.1 Segn la caracterstica temporal de la ley de control

Si se atiende a la varianza en el tiempo de la ley de control se puede distinguir:

Control fijo o estndar. Los parmetros de la ley de control no varan en el tiempo. Es interesantecuando las leyes del actuador y de la planta son fijas. Como ya se ha apuntado, se llama controlrobusto a aquel que funciona correctamente ante errores en la modelizacin de la planta.

Control adaptable (gain scheduling). La ley de la planta cambia, y se puede decidir para cada leyun controlador distinto. Aqu se selecciona una ley de control como se ve en la Fig. 1.4.

Control adaptativo (adaptive control). Se va cambiando el control variando los parmetros delmodelo, como se ve en la Fig. 1.5. Sirve para aquellos sistemas en los que el modelo de la planta

vara con el tiempo.

+Referencia Salida

+ +

Perturbacin

Control 2

Planta

Sensor

Actuador

Control 1

Fig. 1.4 Sistema de control adaptable

+Referencia Salida

Control Sistema

Sensor

Estimador

Fig. 1.5 Sistema de control adaptativo

1.2.2 Segn el nmero de entradas y salidas

Si se atiende al nmero de entradas y de salidas que posee el sistema se puede distinguir:

Sistema SISO (single input, single output). Posee una nica entrada y una salida.

Sistema MIMO (multiple input, multiple output). Posee varias entradas y varias salidas.

1.2.3 Segn la linealidad del sistema

Si se atiende a la linealidad del sistema se puede distinguir:

Sistemas lineales. Las ecuaciones diferenciales que describen al sistema, tanto a la planta como alcontrolador, son lineales.

Sistemas no lineales. Las ecuaciones diferenciales que describen al sistema no son lineales. Unas

veces es la planta que no es lineal y otras veces es el controlador el que no es lineal.


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4

1.2.4 Segn la continuidad del sistema

Si se atiende a la continuidad del sistema se puede distinguir:

Sistemas continuos. Continuamente ajusto a la ley de control, es un control en todo instante.

Sistemas discretos. Ajusto a la ley de control a observaciones discretas. Ambos sistemas permitenun anlisis similar en caso de que el tiempo de muestreo sea mucho ms rpido que la planta.

1.2.5 Segn los parmetros del sistema

Si se atiende a los parmetros de las ecuaciones diferenciales que describen al sistema se puede distinguir:

Sistemas de parmetros concentrados. El sistema est descrito por ecuaciones diferencialesordinarias.

Sistemas de parmetros distribuidos. El sistema est descrito por medio de ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales. Un ejemplo de sistema de este tipo puede ser el control de latransmisin de calor a travs de una superficie o volumen, o el control de la vibracin de un punto deuna membrana.

1.3 SISTEMAS Y MODELOS

Un sistema es una combinacin de elementos que actan conjuntamente y cumplen un determinado objetivo.En ingeniera de control los sistemas se estudian reemplazndolos por modelos matemticos. Sin embargoobtener un modelo matemtico que caracterice de forma adecuada el comportamiento de un determinadosistema no es sencillo, y es uno de los grandes problemas de la ingeniera de control.

Ningn modelo matemtico puede abarcar toda la realidad del sistema, sin embargo, para que unmodelo sea til no es necesario que sea excesivamente complicado. Basta con que represente los aspectosesenciales del mismo y que las predicciones sobre el comportamiento del sistema, basadas en dicho modelo,sean lo suficientemente precisas.

Los modelos se rigen con ecuaciones diferenciales. Normalmente se buscan modelos matemticos enlos que intervengan ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Si se encuentran ecuaciones

no lineales, lo habitual es linealizarlas en las proximidades del punto de operacin. A continuacin seproceder al estudio de los sistemas ms usuales en la ingeniera de control.

1.3.1 Sistemas mecnicos

Los sistemas mecnicos se componen elementos que pueden comportarse como masas, amortiguadores omuelles. La ecuacin diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley de Newton:

2

2

d xf m

dt= (1.1)

Donde f es la suma de las fuerzas exteriores aplicadas a la masa y x es su desplazamiento. Elparmetro constante m es la propia masa y su unidad fundamental en el SI es el kilogramo, kg. Si el sistemagira en lugar de desplazarse, la ecuacin que gobierna su movimiento es:

2

2

dJ

dt

= (1.2)

Donde es la suma de los pares exteriores aplicados al sistema y su giro. El parmetro constanteJes la inercia del sistema y su unidad es el kgm2.

La fuerzafque restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad conque se aproximan sus extremos. La ecuacin diferencial que rige su comportamiento es:

dxf c

dt= (1.3)

El parmetro c es la constante del amortiguador o viscosidad, y su unidad es el Ns/m. Si una masa sedesplaza dentro de un medio viscoso (al aire, el agua, etc.), adems de su propia inercia debe vencer unafuerza viscosa proporcional a la velocidad con que se desplaza dicha masa. Este efecto se puede modelizarmatemticamente con un amortiguador cuyos extremos estuvieran anclados uno en el centro de gravedad de


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la masa y otro en un punto exterior fijo del medio. Evidentemente, este efecto no aparece en el vaco o en elespacio exterior, fuera de la atmsfera.

La fuerzafque restituye un muelle cuando se comprime es proporcional a la distanciax que se hanacercado sus extremos desde su longitud natural. Es la llamada ley de Hooke:

f kx= (1.4)

El parmetro constante krepresenta la rigidez del muelle y su unidad es el N/m.

Para obtener las ecuaciones que representan a los sistemas mecnicos, se asla cada elemento delsistema, introduciendo las fuerzas de enlace y se aplica la segunda ley de Newton a dicho elemento.

A continuacin se muestran algunos casos en los que se da una combinacin de los tres elementosbsicos de un sistema mecnico y las ecuaciones diferenciales que los gobiernan.

m

k

c

f

x

Fig. 1.6 Sistema mecnico masa-muelle-amortiguador

2

2

d x dx f m c kx

dt dt = + + (1.5)

La ecuacin diferencial (1.5) gobierna el sistema masa-muelle-amortiguador de la Fig. 1.6. Laentrada al sistema es la fuerza f y la salida es el desplazamiento de la masa x. La entrada puede ser undesplazamiento en lugar de una fuerza, como ocurre en el caso de la Fig. 1.7. El desplazamiento u puederepresentar el desplazamiento de un vstago neumtico. La ecuacin diferencial (1.6) gobierna este nuevosistema.

m

kc

x u


2

2

d x dxku m c kx

dt dt = + + (1.6)

Tambin es posible que el sistema pueda modelizarse despreciando la masa de los elementosmviles. Este es el caso del sistema de la Fig. 1.8, regido por la ecuacin diferencial (1.7).

k

c

f

x

Fig. 1.8 Sistema mecnico muelle-amortiguador

dx f c kx

dt= + (1.7)

En el sistema de la figura Fig. 1.9 ante una nica entrada u existen dos variables temporales desalida, los desplazamientos de las masasx1 yx2. Este sistema puede servir para modelizar el comportamientodel sistema de amortiguacin de un vehculo. La masa m2 representa la parte amortiguada del vehculo,mientras que m1 es el conjunto de la rueda y el eje. El desplazamiento de entrada u es el perfil de la carreteraque acta sobre la rueda a travs de la rigidez del neumtico k1.


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6

m1

k2c

x1

k1u

m2 x2

Fig. 1.9 Modelo de un sistema de amortiguacin

21 1 2

1 1 2 1 22

21 2 2

2 1 2 2 2

( )

( )

d x dx dxk u m k x x c

dt dt dt

dx dx d xk x x c m

dt dt dt

= + +

+ =

(1.8)

Si lo nico que interesa del sistema es el desplazamiento de la masa amortiguada, sin importar cmose mueva la rueda, habra eliminar del sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas (1.8) la variable x1. Elobjetivo sera obtener una nica ecuacin que relacione la entrada u con la variable x2. Esto es difcil dehacer con las ecuaciones diferenciales en el dominio temporal. En el captulo 2 se muestra cmo conseguirlode forma sencilla gracias a la transformada de Laplace.

1.3.2 Sistemas elctricos

Los sistemas elctricos se componen de tres elementos fundamentales: las resistencias, los condensadores ylas bobinas. La tensin que aparece sobre los extremos de una resistencia es proporcional a la intensidad quecircula a travs de ella. La constante proporcional se llama igualmente resistencia y su unidad en el SI es elohmio, .

v Ri= (1.9)La tensin que aparece sobre los extremos de una bobina es proporcional a la derivada de la

intensidad que circula a travs de ella respecto del tiempo. La constante proporcional se llama inductancia ysu unidad en el SI es el henrio, H.

div L

dt= (1.10)

La tensin que aparece sobre los extremos de un condensador es proporcional a la integral de laintensidad que circula a travs de ella a lo largo del tiempo. Desde otro punto de vista, tambin se puededecir que la intensidad que circula a travs de un condensador es proporcional a la variacin de la tensinentre sus bornes. Esta ltima constante proporcional es la que se llama capacidad y su unidad en el SI es el

faradio, F. dvi C

dt= (1.11)

En un circuito en el que existan resistencias, bobinas y condensadores, las ecuaciones diferencialesque lo gobiernan se obtienen aplicando las leyes de Kirchhoff en las mallas o en los nudos. A continuacinse muestran algunos casos en los que se da una combinacin de estos tres elementos y sus respectivasecuaciones diferenciales.

R

C

voviL

i

Fig. 1.10 Sistema elctrico resistencia-bobina-condensador con una malla


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7

0

0

1

1

t

i

t

o

div Ri L id

dt C

v idC

= + +

=

(1.12)

En el sistema de la Fig. 1.10, la entrada en el circuito en la tensin vi y la salida es la tensin vo

suponiendo que la corriente de salida es nula, o lo que es lo mismo, el circuito se conecta a un dispositivo dealta impedancia de entrada. En el sistema de ecuaciones diferenciales (1.12) interviene una variableintermedia: la intensidad i. Como ocurra anteriormente en los sistemas mecnicos, es difcil en el dominiotemporal eliminar del sistema de ecuaciones estas variables intermedias para obtener una nica ecuacindiferencial que relacione la salida con la entrada.

R1

C2

vovi

i1

R2

C1 i2

Fig. 1.11 Sistema elctrico con dos mallas

1 1 1 21 0

1 2 2 2 21 20 0

22 0

1( )

1 1( )

1

t

i

t t

t

o

v R i i i d C

i i d R i i d C C

v i dC

= +

= + =

(1.13)

En el sistema de la Fig. 1.11 existen dos mallas, por tanto se obtienen dos variables intermedias entrelas tensiones de salida y de entrada: las intensidades i1 e i2.

R1

C2C1 i1 i2

RL

i

Fig. 1.12 Sistema elctrico con fuente de corriente

1 1 1 1 21 20 0

1 2 22 0

1 1( ) ( )

1( )

t t

t

L

i i d R i i i d C C

i i d R iC

= +

=

(1.14)

En el sistema de la Fig. 1.12 se muestra un ejemplo donde la entrada es una corriente en lugar de unatensin. La entrada es la corriente i de la fuente, la salida es la corriente i2 en la resistencia de carga RL yexiste una variable intermedia que es la corriente i1 de la malla intermedia.

1.3.3 Sistemas elctromecnicos

Los sistemas electromecnicos o mecatrnicos, combinan elementos mecnicos y elctricos. Un ejemplo esel motor de corriente continua que hace girar una inercia, Fig. 1.13. La entrada es la tensin v y la salida es elgiro .

Rv L

i e

+

Fig. 1.13 Modelo de un motor de corriente continua arrastrando una inercia


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8

2

2

div Ri L e

dtd

e Kdt

Ki

d dJ Bdt dt

= + +

= =

= +

(1.15)

La primera ecuacin del sistema (1.15) responde a la nica malla del circuito. La tensin e queaparece en el motor es proporcional a la velocidad de giro del mismo. El par que ejerce el motor es

proporcional a la intensidad que circula por l. Las constantes de velocidad y de par son la mismaK, dondees posible demostrar que tienen las mismas unidades. La ltima ecuacin del sistema es la del modelomecnico de inerciaJy viscosidadB.


15/147

9

CAPTULO 2

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En el ao 1782 Pierre Simon Laplace estudi la transformacin integral que lleva su nombre. Sin embargo,no es hasta el periodo de 1880-1887 cuando Oliver Heaviside la aplica para la resolucin de ecuacionesdiferenciales. Esta transformacin es muy til para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. La

principal ventaja de su uso es que permite convertir el sistema de ecuaciones diferenciales que describen elcomportamiento de una planta, en un sistema de ecuaciones algebraicas en una variable complejas.

2.1 DEFINICIN

Se define la transformada de LaplaceF(s) de una determinada funcin temporalf(t) como:

0

( ) [ ( )] ( ) tsF s f t f t e dt

= = L (2.1)

Dondef(t) es una funcin real de variable real, generalmente el tiempo, y su transformada de LaplaceF(s) es una funcin compleja de variable compleja. Se reservarn las letras minsculas para las funcionestemporales y las maysculas para sus transformadas de Laplace.

f(t) F(s)

L

Fig. 2.1 Transformada de Laplace

Como la integral (2.1) se extiende desde cero hasta infinito, dos funciones cualesquiera que difierannicamente en valores de tiempo negativos, poseen la misma transformada de Laplace. Sin embargo, notiene mucho sentido hablar de tiempos negativos. Lo habitual ser trabajar con funciones causales, es decir,aquellas que son nulas para tiempos negativos y toman valores finitos en tiempos positivos.

La variable complejas, tiene unidades de rad/s sobre el eje imaginario y de s1 sobre el eje real. Estose puede ver en (2.2), por la propia definicin de la transformada de Laplace.

( )ts t a bj ta tbj tae e e e e tb + = = = (2.2)

Para que el exponente del mdulo del nmero complejo sea adimensional, a que es la parte real de lavariable compleja s, debe tener unidades de s1. El argumento tendr unidades de rad si b que es la parteimaginaria de la variable complejas tiene unidades de rad/s.

2.2 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En la Tabla 2.1 se resumen las principales propiedades de la transformada de Laplace.


16/147

10

Propiedad Expresin

Linealidad [ ( ) ( )] ( ) ( )f t g t F s G s + = +L

Integracin real0

( )( )

t F sf d

s

=

L

Derivacin real( )

( ) (0 )df t

sF s f dt

+ =

L

Valor final0

lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

= si existen los dos lmites

Valor inicial0

lim ( ) lim ( )st

f t sF s+

= si existen los dos lmites

Traslacin en el tiempo [ ( )] ( )s f t e F s =L

Traslacin en Laplace [ ( )] ( )te f t F s = L

Convolucin [ ( ) ( )] ( ) ( )f t g t F s G s =L con0

( ) ( ) ( ) ( )t

f t g t f t g d =

Escalado en el tiempo ( )t

f F s

=

L

Tabla 2.1 Algunas propiedades de la transformada de Laplace

2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES

En este apartado se calculan las transformadas de Laplace de algunas funciones elementales. La funcinescaln unitariou(t) se define como:

1 para 0( )

0 para 0

tu t

t

>=


17/147

11

para 0( ) de forma que ( ) 1

0 resto

tt t dt

== =

(2.8)

En este caso, su transformada de Laplace se puede obtener como lmite de la funcin pulso de reaunidad, cuando el parmetro tiende a cero, es decir:

0

1( ) [ ( )] lim 1

ses t

s

= = =L (2.9)

Donde se ha empleado el teorema de lHopital para el clculo del lmite. Otra forma de obtener estemismo resultado es considerar funcin escaln unitario se obtiene integrando la funcin impulso unitario:

0

( ) 1( ) [ ( )] ( ) ( ) 1

t sU s u t d s

s s

= = = = =

L L (2.10)

Las funciones que ms se emplean como entradas en los sistemas controlados son precisamenteaquellas que se obtienen al ir integrando sucesivamente la funcin impulso unitario:

Funcin f(t) F(s)

Impulso unitario ( )t 1

Escaln unitario ( ) 1u t = para t> 01

s

Rampa unitaria ( )v t t= para t> 02

1

s

Aceleracin unitaria2

( )2

ta t = para t> 0 3

1

s

Tabla 2.2 Transformadas de Laplace de las entradas habituales en los sistemas

En la Tabla 2.3 se muestran las transformadas de otras funciones, definidas para tiempos positivos.

f(t) F(s) f(t) F(s)

ate 1

s a+ 1kt

( 1)!k

k

s

atte 21

( )s a+ at bt e e

( )( )

b a

s a s b

+ +

1k att e ( 1)!

( )kk

s a

+ sin at

2 2

a

s a+

1

at

e

( )

a

s s a+ cosat

2 2

s

s a+

1 atet

a

2 ( )

a

s s a+ 1 sinate bt

b 2 2

1

( ) s a b+ +

1 (1 ) atat e + 2

2( )

a

s s a+ cosate bt 2 2( )

s a

s a b

+

+ +

Tabla 2.3 Transformadas de Laplace de diversas funciones

2.4 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

El proceso matemtico de pasar de la expresin matemtica en el dominio de Laplace a la expresin en eldominio del tiempo se denomina transformada inversa de Laplace.


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12

1 1( ) [ ( )] ( )2

c jts

c j

f t F s F s e dsj

+

= = L (2.11)

Evaluar la integral (2.11) puede ser bastante complicado por lo que se suele calcular acudiendo a laTabla 2.3. Si en la tabla no se encuentra una determinada funcin F(s), se recomienda descomponerla enfunciones simples en s, de las cuales s se conozcan sus transformadas inversas. Como las funciones deLaplace que se van a utilizar suelen ser fracciones de polinomios en s, el clculo de transformadas inversasse reduce a dividir estas expresiones en fracciones simples.

Como ejemplo, se va a calcular la funcin temporal de la funcin de Laplace F(s) de la ecuacin(2.12). Lo primero que se hace es dividir la nica fraccin en tres simples:

2 2

3 3 2 3

2 3 ( 1) ( 1)( )

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

s s A B C A B s C sF s

s s s s s

+ + + + + += = + + =

+ + + + +(2.12)

Las constantes A, B y C se calculan igualando coeficientes de los polinomios del numerador.Tambin es posible obtenerlos igualando los numeradores despus de dar un valor numrico a la variable s.Los valores numricos ms adecuados son las races de distintos monomios. De esta forma es posibledeterminar ms rpidamente las constantes.

2 2

3

2 1

( ) ( ) (1 )( 1) ( 1)t t t

F s f t t e e e t s s

= + = + = ++ + (2.13)

2.5 RESOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LAPLACE

En este apartado se utiliza la transformada de Laplace para solucionar ecuaciones diferenciales lineales. Seala siguiente ecuacin diferencial:

2

0 1 2 0 12

( ) ( ) ( )( ) ( )

df t d f t dr t a f t a a b r t b

dt dt dt + + = + (2.14)

Las condiciones iniciales son:

0 1 0

(0 )(0 ) (0 )

df f c c r d

dt

++ +

= = = (2.15)

Se aplica la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuacin:2

0 1 0 2 0 1 0 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )a F s a sF s c a s F s c s c b R s b sR s d + + = + (2.16)

20 1 2 0 0 1 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )a a s a s F s d b b s R s c c c s+ + + = + + + + (2.17)

0 1 0 1 0 02 2

0 1 2 0 1 2

( ) ( )b b s c c d c s

F s R sa a s a s a a s a s

+ + += +

+ + + +(2.18)

La ecuacin diferencial (2.14) se convierte en una ecuacin algebraica (2.16) en el dominio deLaplace. De esta forma es muy sencillo obtener la solucin (2.18) a la ecuacin diferencial, tambin en eldominio de Laplace. La solucin en el dominio del tiempo se puede obtener calculando la transformada

inversa de Laplace deF(s), conocida la funcin r(t).Si en lugar de una nica ecuacin diferencial se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales, en el

dominio de Laplace se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas. De esta forma es muy sencillo eliminaraquellas variables que se consideren innecesarias, y obtener una nica expresin de la salida del sistema enfuncin de la entrada. Por ejemplo, un sistema propuesto en el captulo anterior:

R

C

voviL

i

Fig. 2.2 Sistema elctrico resistencia-bobina-condensador

Si se aplica la transformada de Laplace al sistema de ecuaciones que gobierna el sistema, suponiendocondiciones iniciales nulas:


19/147

13

0

2

0

1

1

11

t

i i

o it

oo

di Iv Ri L id V RI LsI dt C sC V VI RCs LCs

Vv idsCC

= + + = + + =

+ + ==

L (2.19)

Donde se ha conseguido expresar la tensin de salida del circuito en funcin de la tensin de entrada,

independientemente de la otra variable, que es la intensidad que circula por la malla.Conviene resaltar tambin cmo el cociente que multiplica a la tensin de entrada Vi no modifica sus

unidades, por lo que la tensin de salida tiene las misma unidades que la tensin de entrada. Si repasamos enel denominador de ese cociente, cada uno de los sumandos es adimensional, es decir, ohmio por faradio entresegundo es adimensional y henrio por faradio entre segundo al cuadrado es tambin adimensional.Comprobar las unidades puede ayudar a detectar posibles errores en la resolucin del sistema.

Si la tensin de entrada en el sistema de la Fig. 2.2 es un escaln de valor 3 voltios, es posibleencontrar el valor que alcanza la tensin en la capacidad cuando el tiempo tiende a infinito a travs delteorema del valor final:

2 20 0 0

1 1 3lim ( ) lim lim lim 3 voltios

1 1o o it s s sv t sV s V s

RCs LCs RCs LCs s = = = =

+ + + +(2.20)

Con este ejemplo, queda patente cmo es posible conocer caractersticas de la respuesta temporal delsistema sin haber calculado la expresin general de la tensin vo(t) en funcin del tiempo a travs de latransformada inversa de Laplace. Con los teoremas del valor inicial y final es posible conocer el valor enrgimen permanente, el valor inicial de la funcin y las sucesivas derivadas del la funcin en el origen.

2.6 PROBLEMA RESUELTO

Obtener la funcinx(t) que cumple la ecuacin diferencial con condiciones iniciales no nulas:2

2

( ) ( ) (0 )3 2 ( ) 0 con (0 )

d x t dx t dx x t x a b

dt dt dt

+

++ + = = = (2.21)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial:2 ( ) 3[ ( ) ] 2 ( ) 0s X s sa b sX s a X s + + = (2.22)

La solucin en el dominio de Laplace es:

2

3( )

3 2

sa a bX s

s s

+ +=

+ +(2.23)

La solucin en el dominio del tiempo es:

1 1 22

3 2( ) (2 ) ( )

3 2 1 2t t sa a b a b a b x t a b e a b e

s s s s + + + +

= = = + + + + + + L L (2.24)

2.7 PROBLEMA RESUELTO

Obtener la funcinx(t) que cumple la ecuacin diferencial con condiciones iniciales nulas:2

2

( ) ( )2 5 ( ) 3 ( )

d x t dx t x t u t

dt dt + + = (2.25)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacin diferencial:

2 3( ) 2 5 ( ) s X s sX X ss

+ + = (2.26)

La solucin en el dominio de Laplace es:

2

3( )

( 2 5)X s

s s s=

+ +(2.27)

La solucin en el dominio del tiempo es:


20/147

14

1 1 1 12 2 2

3 3 1 3 2( )

( 2 5) 2 5 5 5 2 5

A Bs C sx t

s s s s s s s s s + +

= = + = + + + + + + L L L L (2.28)

1 1 22 2 2 2

3 1 3 1 1 2 3 1( ) 1 cos 2 sin 2

5 5 ( 1) 2 2 ( 1) 2 5 2t ts x t e t e t

s s s +

= + = + + + + L L (2.29)


21/147

15

CAPTULO 3

REPRESENTACIN DE LOS SISTEMAS

Los sistemas de control se pueden representar grficamente de diversas formas, por ejemplo, mediantediagramas de flujo o diagramas de Bond-Graph. Sin embargo, en esta asignatura slo se emplear un tipo derepresentacin grfica denominada diagrama de bloques. Estos diagramas expresan las ecuaciones

diferenciales de un sistema en el dominio de Laplace.

3.1 FUNCIN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA

La funcin de transferencia, en general G(s), de un determinado proceso o elemento es la relacin en eldominio de Laplace entre la funcin de salida c(t) y su correspondiente entrada r(t), con condiciones inicialesnulas para ambas funciones. La funcin de transferencia es un invariante del sistema, es decir, para cualquierentrada que se produzca en el sistema, la salida que se obtiene siempre est relacionada con la entrada atravs de la funcin de transferencia.

[ ( )]( )

[ ( )]

c tG s

r t=

L

L(3.1)

Como la funcin de transferencia es un invariante del sistema, se puede obtener experimentalmenteintroduciendo una funcin temporal conocida y midiendo la salida que se efecta. Aplicando la transformadade Laplace a las dos seales y calculando su cociente, se consigue la funcin de transferencia.

Si es posible introducir en el sistema una funcin impulso en la entrada, la funcin de transferenciaes directamente la transformada de Laplace de la funcin temporal de salida del sistema.

[ ( )] [ ( )]( ) [ ( )]

[ ( )] 1

c t c t G s c t

t= = =

L LL

L(3.2)

De forma terica es posible obtener la funcin de transferencia de un determinado sistema a travsde las ecuaciones diferenciales de su modelo matemtico. A continuacin se muestra el ejemplo de unsistema mecnico masa-muelle-amortiguador.

m

k

c

f

x


22

2( )

d x dx f m c kx F ms cs k X

dt dt = + + = + +

L (3.3)

2

( ) 1( )

( )

X sG s

F s ms cs k = =

+ +(3.4)

La fiabilidad de la funcin de transferencia terica depender, no slo de la bondad del modelo, sinotambin de la precisin con que se puedan medir los distintos parmetros que intervienen en el mismo. Se

puede comprobar cmo la funcin de transferencia (3.4) posee las unidades de m/N, es decir, precisamente


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16

las que relacionan la salida con la entrada. Asimismo, los sumandos del denominador son dimensionalmentecoherentes.

A partir de este momento, una expresin cualquiera en funcin de la variable compleja s de Laplace,H(s), puede corresponder tanto a la transformada de Laplace de una funcin temporal h(t) como a la funcinde transferencia de un determinado sistema. En general, por el contexto es posible deducir a qu se refiere encada caso.

Conviene resaltar que: La funcin de transferencia es una propiedad intrnseca del sistema. Conocida la funcin de

transferencia de un sistema, se puede conocer el comportamiento del mismo ante cualquier tipo deentrada.

La funcin de transferencia responde a la ecuacin diferencial resultante que gobierna un sistema pero no ofrece informacin acerca de su configuracin interna. Dos sistemas fsicos diferentespueden poseer idnticas funciones de transferencia.

3.2 DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA

Los diagramas de bloques ya se emplearon en el primer captulo para describir los elementos que intervenanen un sistema controlado. Ahora se ofrece una explicacin ms rigurosa de su significado. Cada uno de los

bloques de un diagrama representa la funcin de transferencia del proceso que enlaza la salida con la entrada.El diagrama de la Fig. 3.2 representa el sistema masa-muelle-amortiguador de la Fig. 1.6.

2

1

ms cs k + +

F XSistema

Fig. 3.2 Diagrama del sistema masa-muelle-amortiguador

En general, los diagramas poseen ms de un nico bloque entre la entrada del sistema y su salida.Cada bloque modeliza una parte del sistema y todos ellos encuentran unidos por diferentes variables deLaplace, donde la salida de unos bloques pueden ser las entradas de otros. En las uniones entre bloques

pueden aparecer tambin puntos de bifurcacin y de suma.

Los puntos de bifurcacin, Fig. 3.3 a, se emplean para aquellas seales de Laplace que atacanvarias funciones de transferencia. Los puntos de suma, Fig. 3.3 b, se representan con crculos a los quellegan las seales de Laplace que se combinan para dar el resultado. En la lnea de llegada al punto de sumase debe especificar el signo que se debe tener en cuenta.

+ +

F1

F2

F3

1 2 3F F F F = + F F

F

(a) (b) Fig. 3.3 Punto de bifurcacin (a) y punto de suma (b)

El diagrama de bloques de un sistema se puede construir a partir de las ecuaciones diferenciales quelo gobiernan. El procedimiento es siempre igual, primero se toman las transformadas de Laplace de estasecuaciones, con la suposicin de condiciones iniciales nulas. Posteriormente cada ecuacin en el dominio deLaplace se representa en forma de bloque. Finalmente se unen los elementos para formar un nico diagrama

para todo el sistema. Este procedimiento se ha seguido en los ejemplos del final del captulo.

3.2.1 Diagrama de bloques de un sistema de realimentacin negativa no unitaria

Los sistemas de realimentacin negativa son los ms extendidos para el control de sistemas, por eso suestructura se estudia de forma pormenorizada. En la Fig. 3.4 se representa el caso ms simple de sistema derealimentacin negativa no unitaria. Hay que en cuenta que las funciones de transferencia G(s) yH(s) puedenser el resultado del producto de varias funciones de transferencia.


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17

+

H

CR E

B

G

Fig. 3.4 Diagrama de un sistema de realimentacin negativa no unitaria

En (3.5) se expresan las ecuaciones de Laplace de los elementos del sistema y la solucin del sistemade ecuaciones, es decir, la salida en funcin de la entrada.

1

C GEG

E R B C RGH

B HC

=

= =+=

(3.5)

Habitualmente se emplea el convenio de usar la letra C(s) para nombrar a la transformada de Laplacede la funcin de salida y R(s) para la entrada. A la seal E(s) se le llama error y a B(s) seal derealimentacin. Las funciones de transferencia que intervienen en el sistema son:

Funcin de transferencia directa: es la que relaciona la seal de error y la salida.

dCG GE

= = (3.6)

Funcin de transferencia en lazo abierto: es la que relaciona la seal de error y la realimentacin.Es el producto de todas las funciones de transferencia que se encuentran dentro del lazo de control.

la

BG GH

E= = (3.7)

Funcin de transferencia en lazo cerrado: es la que relaciona la seal de entrada y la salida. Esigual a la funcin de transferencia directa entre uno ms la funcin de transferencia en lazo abierto.

1 1d

lcla

GC GG

R GH G= = =

+ +(3.8)

Con la funcin de transferencia en lazo cerrado se puede representar un diagrama equivalente al de laFig. 3.4, pero con un nico bloque:

CR

1

G

GH+ Fig. 3.5 Diagrama equivalente de un sistema de realimentacin negativa no unitaria

Para el diseo de controladores son especialmente importantes las expresiones de las funciones detransferencia en lazo abierto y cerrado. El sistema controlado responde a la funcin de transferencia en lazocerrado, sin embargo, muchas de las caractersticas del sistema controlado se deducen a partir de la funcinde transferencia en lazo abierto, como se ir mostrando en los sucesivos apartados y captulos.

En la Fig. 3.6 se representa el caso de sistema realimentacin negativa no unitaria en presencia de perturbaciones. Para la seal de perturbacin se suele emplear la letraN y su signo puede ser positivo onegativo.

+G2

H

CR E

B

G1+M P

N

+

Fig. 3.6 Diagrama de un sistema de realimentacin negativa no unitaria y perturbaciones

En (3.9) se expresan las ecuaciones de Laplace de los elementos del sistema y la solucin del sistemade ecuaciones, que en este caso es la salida en funcin de las dos entradas al sistema, la referencia R y la

perturbacinN.


24/147

18

2

1 2 21

1 2 1 21 1

C G P

P M N G G G

M G E C R N G G H G G H

E R B

B HC

=

= + = = +

+ +=

=

(3.9)

La solucin (3.9) se podra haber obtenido por superposicin, es decir, sumando las salidas que seproducen con entradaR yNnula ms la salida con entrada NyR nula. La entrada propiamente dicha en elsistema es la seal R y se llama de referencia porque se persigue que el sistema controlado sea capaz deseguirla fielmente. Observando la ecuacin (3.10), es posible deducir que el seguimiento se consigue deforma exacta, es decirC=R, cuando la funcin de transferencia que multiplica aR se asemeja lo ms posiblea la unidad, mientras que la que multiplica aNdebe asemejarse a cero.

1 2 2

1 2 1 21 1

G G GC R N

G G H G G H = +

+ +(3.10)

Una forma de conseguir las dos cosas es hacer G1 todo lo grande que sea posible y H igual a launidad. Por esta razn es habitual estudiar los sistemas de control de realimentacin negativa unitaria, dondeel controlador se coloca inmediatamente despus del clculo del error, es decir, el controlador acta enfuncin de la seal del error. A la actuacin del controlador se aaden las perturbaciones que puedan existirsobre la planta.

Los sistema servo busca sobre todo el seguimiento de la seal, es decir, que la funcin detransferencia de laR sea lo ms parecida a la unidad, mientras que un sistema regulador busca sobre todo elrechazo a las perturbaciones, es decir, anular la funcin de transferencia que multiplica a la perturbacin.

Tambin hay que notar que el denominador de las dos funciones de transferencia es idntico. Lasraces de dicho denominador sern muy importantes en el diseo de un controlador adecuado, como se veren los siguientes captulos.

3.2.2 Diagrama de bloques de un sistema de realimentacin negativa unitaria

En la Fig. 3.7 se representa el caso de sistema realimentacin negativa unitaria con perturbaciones. Que larealimentacin sea unitaria implica que el sensor que mide la salida es perfecto, es decir, no modifica enabsoluto dicha seal. La funcin de transferencia G1 incluye el controlador y la etapa final de amplificacin,mientras que G2 es la planta del sistema que se desea controlar o sistema no controlado.

+G2

CR EG1

+ +

NControlador Planta

U

Fig. 3.7 Diagrama de un sistema de realimentacin negativa unitaria

Hay que resalta que, en el caso de realimentacin negativa unitaria las funciones de transferencia

directa y de lazo abierto coinciden y es el producto de G1 y G2. Si no se especifica otra cosa, cuando se deseecontrolar un sistema, se entender que se le introduce en un lazo de control similar al de la Fig. 3.7. Las

perturbaciones, tambin si no se especifica otra cosa, se supondrn nulas.

3.2.3 Ejemplo de circuito con dos mallas

El sistema (3.11) contiene las ecuaciones diferenciales que gobiernan el circuito de la Fig. 3.8, a las que se haaplicado la transformada de Laplace.

R1

C2

vovi

i1

R2

C1 i2

Fig. 3.8 Circuito con dos mallas


25/147

19

1 21 1 1 2 1 1

1 0 1

1 2 21 2 2 2 2 2 2

1 2 1 20 0

2

2 22 0

1( )

1 1( )

1

t

i i

t t

t

oo

I Iv R i i i d V R IC sC

I I I i i d R i i d R I

C C sC sC

IV

v i d sCC

= + = +

= + = +

= =

L (3.11)

El diagrama de bloques de la Fig. 3.9 corresponde a estas ecuaciones del sistema (3.11), donde sehan recuadrado con puntos los conjuntos de bloques que corresponden a cada una de las ecuaciones.

+ I1

1

1

R

22

1 1R

sC+

Vi

+

1

1

sC

I2

2

1sC

Vo

Fig. 3.9 Diagrama de bloques del circuito con dos mallas

El diagrama de bloques puede resultar ms sencillo de representar si se conservan ms variablesintermedias, por ejemplo, si se incluye la tensin en un nudo intermedio v1 y la corriente ic diferencia de lascorrientes en la mallas:

1 1 1 1 1 1

1 1

1 0 1

1 2 2 1 2 2

2

222 0

1 21 2

1

1

i it

cc

o o

t

oo

cc

v v R i V V R I

Iv i d V

C sCv v R i V V R I

IVv i d

sCC I I I i i i

= = = =

= = ==

= =

L (3.12)

El diagrama de bloques de la Fig. 3.10 corresponde al sistema de ecuaciones (3.12) y es equivalenteal diagrama anterior.

+ I1

1

1

R

Vi I2

2

1

sC

Vo+

+

1

1

sC

Ic V1

2

1

R

Fig. 3.10 Diagrama de bloques del circuito con dos mallas

Si se eliminan las variables intermedias de forma analtica en el sistema de ecuaciones, para expresarla tensin de salida en funcin de la tensin de entrada, se obtiene la funcin de transferencia equivalente delsistema. Con esta funcin de transferencia se puede representar el sistema con un nico bloque, Fig. 3.11.

21 2 1 2 1 1 2 2 1 2

1

( ) 1R R C C s R C R C R C s+ + + +

Vi Vo

Fig. 3.11 Funcin de transferencia equivalente del circuito con dos mallas

La funcin de transferencia equivalente del sistema tambin se puede obtener simplificando de formagrfica cualquiera de los diagramas de bloques presentados previamente.


26/147

20

3.2.4 Ejemplo de motor de corriente continua

El sistema (3.13) contiene las ecuaciones diferenciales que gobiernan un motor de corriente continua quearrastra una inercia, a las que se ha aplicado la transformada de Laplace.

( )

( )

div Ri L e

V R Ls I E dt

e K E K Ki T KI

d T Js BJ B

dt

= + + = + +

= = = =

= + = +

L (3.13)

El diagrama de bloques que corresponde a estas ecuaciones es:

+ V

E

KT

K

I1

R Ls+

1

Js B+

Fig. 3.12 Diagrama de bloques del motor de corriente continua

Si se eliminan las variables intermedias del sistema de ecuaciones de Laplace se obtiene la funcinde transferencia equivalente. Aunque el sistema tiene forma de lazo cerrado con realimentacin no unitaria,hay que hacer notar que no es propiamente un sistema controlado. La velocidad est impuesta por latensin Vy la magnitud de la inerciaJ.

2( )( )

K

R Ls Js B K + + +

V

Fig. 3.13 Funcin de transferencia equivalente del motor de corriente continua

En este ejemplo se observa cmo la funcin de transferencia equivalente posee las unidades que

relacionan la magnitud de salida con la de entrada.En el caso de que el giro de la inercia se vea frenado por un muelle torsor de rigidez Kt, lasecuaciones que hay que considerar son las siguientes:

22

2

( )

( )tt

div Ri L e

dt V R Ls I E d

E Kse Kdt

T KIKi

T Js Bs K d d

J B K dt dt

= + +

= + + ==

= =

= + + = + +

L (3.14)

Una posible representacin en diagrama de bloques se presenta en la Fig. 3.14, sin embargo no esuna buena eleccin incluir bloques derivadores, es decir, aquellos cuya salida es proporcional a la derivadade la entrada. Este tipo de bloques tienen el inconveniente de que amplifican enormemente el ruido de altafrecuencia que reciban en la entrada. Tambin se comportan mal a la hora de evaluar numricamente lasrespuestas temporales del sistema, por ejemplo utilizando Simulink.

+ V

E

KT

Ks

I1

R Ls+2

1

t Js Bs K + +

Fig. 3.14 Diagrama de bloques del motor de corriente continua con inercia y muelle torsorPara evitar el bloque derivador, se propone como alternativa el diagrama de la Fig. 3.15.


27/147

21

+ V

E

KT

K

I1

R Ls+

1

Js B+

+ 1

s

Kt

Fig. 3.15 Diagrama de bloques del motor de corriente continua con inercia y muelle torsor

En ambos casos la funcin de transferencia equivalente de todo el sistema es la misma. En la Fig.3.16 se muestra dicha funcin de transferencia.

2 2( )( )t

K

R Ls Js Bs K K s+ + + +

V

Fig. 3.16 Funcin de transferencia equivalente del motor de corriente continua con inercia y muelle torsor

3.3 REGLAS PARA LA SIMPLIFICACIN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES

Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo utilizando las reglas del lgebra de diagramasde bloques, que algunos autores proponen en tablas, hasta llegar a la funcin de transferencia equivalente detodo el sistema. Con esto se puede evitar el anlisis matemtico de simplificacin de ecuaciones. Sinembargo al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven ms complejos, debido a laaparicin de nuevos polos y ceros.

La caracterstica fundamental que se debe cumplir es que la funcin de transferencia del diagramasustituido debe ser igual al original. A continuacin se muestran algunas simplificaciones tiles:

G H GH =

Fig. 3.17 Multiplicacin de bloques

+

+G

H

G+H=

Fig. 3.18 Suma de bloques

+

+ +

+

++

++

= =

Fig. 3.19 Cambio de orden de los sumandos

G = G

1

G Fig. 3.20 Translacin de un punto de bifurcacin

3.4 PROBLEMA DE EXAMEN

Simplificar el diagrama de bloques de la Fig. 3.21, de forma grfica o analtica:


28/147

22

+RG1

H1

+

H2

G2

G3+

+

G4

C

+

Fig. 3.21 Diagrama de bloques

En la ecuacin (3.15) aparece la solucin del problema.

1 2 3 4 2 4 1 2 3 4 2 1 2 4 1

2 1 2 3 2 1 2 1

( )

( ) 1

G G G G G G H G G G H G G G H C s

R s G H G G H G G H

+ + + =

+ + (3.15)


29/147

23

CAPTULO 4

RESPUESTA TEMPORAL

Para analizar el comportamiento de un sistema se toma como punto de partida la representacin matemticadel mismo. Esta modelizacin, Fig. 4.1, es su funcin de transferencia G(s).

G(s)

CR

Fig. 4.1 Respuesta del sistema ante una entrada

El sistema puede ser excitado con distintas seales de entrada r(t). Las ms utilizadas son lasfunciones impulso unitario, escaln unitario, rampa unitaria y sinusoidal de amplitud unidad, Fig. 4.2. Larespuesta del sistema ante las distintas entradas suele tener un rgimen transitorio y otro permanente, aunqueeste ltimo puede no darse y depende de la estabilidad del sistema.

t

1( )r t t=

t

1( ) sin( )r t t=

t

1( ) 1r t =

t

1( ) ( )r t t=

Fig. 4.2 Tipos de entradas a los sistemas

En este captulo se analizar la respuesta temporal de un sistema en funcin de la entrada que seimponga y de las propias caractersticas de su funcin de transferencia.

4.1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Por lo general, la funcin de transferencia G(s) de un sistema es una expresin racional de polinomios ens.Las races del denominador se llaman polos y las races del numerador se llaman ceros. Un sistema de primerorden se define como aquel que posee un nico polo y ningn cero.

CR1

KTs+

G(s)

Fig. 4.3 Sistema de primer orden

En la Fig. 4.3 se muestra la representacin general de un sistema de primer orden. A la constante Kse le llamar ganancia esttica del sistema y a Tconstante de tiempo del sistema.

4.1.1 Respuesta ante una entrada impulso

En la ecuacin (4.1) aparece la salida temporal c(t) del sistema de primer orden ante una entrada impulsounitario.

1 1 1 (0 )( ) [ ( )] [ ( ) ( )]1

( ) 0

t

T

KcK Kc t C s G s R s e T

Ts Tc

+

= = = = = + =

L L L (4.1)


30/147

24

Donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida. La pendiente inicial de la curva es:

2 2

( )( ) (0 )

t

Tdc t K K

c t e cdt T T

+

= = = (4.2)Estos resultados se pueden obtener a travs de las propiedades de las transformadas de Laplace, sin

necesidad de obtener la salida temporal del sistema:

0(0 ) lim ( ) lim ( ) lim 1s stK K

c c t sC s s Ts T++

= = = =+ (4.3)

0 0( ) lim ( ) lim ( ) lim 0

1t s sK

c c t sC s sTs

= = = =+

(4.4)

20(0 ) lim ( ) lim [ ( ) (0 )] lim

1s st K K K

c c t s sC s c s sTs T T +

+ +

= = = =

+ (4.5)

En la Fig. 4.4 se muestra sobre un ejemplo, los puntos clave de la respuesta temporal de un sistemade primer orden ante una entrada impulso unitario.

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

t(segundos)

c(t)2

( )3

G ss

=+

T

K

T

2

K

T

Fig. 4.4 Respuesta de un sistema de primer orden ante entrada impulso

4.1.2 Respuesta ante una entrada escaln

En la ecuacin (4.6) aparece la salida temporal del sistema de primer orden ante una entrada escaln unitario.

1 1 1 (0 ) 0( ) [ ( )] [ ( ) ( )] (1 )(1 ) ( )

t

TcK

c t C s G s R s K e s Ts c K

+

=

= = = = + =

L L L (4.6)Donde se han calculado los valores inicial y final de dicha salida. La pendiente inicial de la curva es:

( )( ) (0 )

t

Tdc t K K

c t e cdt T T

+

= = = (4.7)Tambin es posible obtener estos resultados a partir de las propiedades de la transformada de

Laplace. En la Fig. 4.5 se muestra sobre el mismo ejemplo del apartado anterior, los puntos clave de larespuesta temporal de un sistema de primer orden ante una entrada escaln unitario.


31/147

25

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

c(t)

2( )

3G s

s=

+

t(segundos)

K

K

T

T

0.62K

Fig. 4.5 Respuesta de un sistema de primer orden ante entrada escaln

Al valor de la respuesta en rgimen permanente coincide con la ganancia esttica K. Cuanto menorsea la constante de tiempo T ms rpidamente tiende la respuesta del sistema a su valor en rgimen

permanente. El valor de la constante de tiempo da una idea de la duracin del rgimen transitorio delsistema. Aproximadamente la salida llega al 62% del rgimen permanente en el instante de tiempo igual a laconstante de tiempo del sistema, (4.8).

( ) 0.62c T K (4.8)

4.1.3 Respuesta ante una entrada sinusoidal

En la ecuacin (4.9) aparece la salida temporal c(t) del sistema de primer orden ante una entrada sinusoidalde amplitud unidad.

21 1

2 2 2 2( ) [ ( )] sin[ arctan( )]

(1 )( ) 1 ( ) 1 ( )

t

T K K T K c t C s e t T Ts s T T

= = = + + + + +

L L (4.9)

Se observa que la salida c(t) posee dos sumandos: el primero es transitorio, desaparece prcticamente

despus de Tsegundos, y el segundo es una sinusoidal de frecuencia igual a la de la seal de entrada, perocon una amplitud y un retraso que dependen tanto de la frecuencia de entrada como de las caractersticasdel sistema de primer orden.

t

r(t)

c(t)t

r(t)c(t)

11

Fig. 4.6 Respuestas del sistema de primer orden ante entrada sinusoidal

Si la de la sinusoidal de entrada aumenta, la sinusoidal de salida poseer una amplitud cada vez

menor y un retraso cada vez mayor, Fig. 4.6. En definitiva, un sistema de primer orden acta en el dominiode las frecuencias como un filtro pasa-baja, es decir, atena las frecuencias elevadas.

Una forma de obtener la amplitud de la salida y su retraso en funcin de la planta y la frecuencia deentrada consiste en tomar la funcin de transferencia de la planta y sustituir la variables porj. El resultadoes un nmero complejo cuyo mdulo es la amplitud de salida y cuya fase es el retraso de la salida respecto dela entrada.

2

2( )

( ) ( ) 1 ( )1 1

( ) arctan( )

s j

KG jK K

G s G j TTs j T

G j T

=

=

= = ++ +

=

(4.10)

Esta propiedad no es exclusiva de los sistemas de primer orden. Se cumple siempre que la entrada essinusoidal, cualquiera que sea la expresin G(s) de la funcin de transferencia de la planta.


32/147

26

4.1.4 Ejemplo de sistema de primer orden

En la Fig. 4.7 se puede ver un ejemplo de un sistema fsico de primer orden, y en la ecuacin (4.11) lafuncin de transferencia de dicho sistema.

R

C

vovi

i

Fig. 4.7 Sistema elctrico de primer orden

1( )

1o

i

VG s

V RCs= =

+(4.11)

4.2 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos y ningn cero. El sistema se puede representar dela siguiente manera:

CR 2

2 22n

n n

K

s s

+ +

G(s)

Fig. 4.8 Sistema de segundo orden

La constante Kes la ganancia esttica del sistema, es el amortiguamiento y n es la frecuencianatural del sistema. Dependiendo del carcter de los polos del sistema de segundo orden, ste puede ser:

Sistema subamortiguado. El amortiguamiento posee un valor entre 0 y 1 y los polos del sistema desegundo orden son complejo-conjugados. Su posicin aparece en la ecuacin (4.12).

21,2 1n n d p j j = = (4.12)

La constante es la atenuacin del sistema y d la frecuencia natural amortiguada. En la Fig. 4.9 sedefine el ngulo que forman los polos complejo-conjugados en el plano complejo Scon el origen.

S

dj

dj

Fig. 4.9 Localizacin de los polos de un sistema de segundo orden

Sistema sobreamortiguado. El amortiguamiento es mayor que la unidad y los polos del sistema desegundo orden son reales localizados en:

21,2 1n np = (4.13)

Sistema cticamente amortiguado. El amortiguamiento es igual a la unidad y los polos son reales eiguales:

1,2 (doble)np = (4.14)

Cualquiera que sea el amortiguamiento del sistema, existen tres puntos clave de la respuestatemporal que siempre cumplen los sistemas de segundo orden ante una entrada escaln unitario:

2

2 20

(0 ) lim ( ) lim ( ) lim 0( 2 )

n

s st n n

Kc c t sC s s

s s s

++

= = = =

+ +

(4.15)


33/147

27

2

2 20 0( ) lim ( ) lim ( ) lim

( 2 )n

t s sn n

Kc c t sC s s K

s s s

= = = =

+ +(4.16)

2

2 20(0 ) lim ( ) lim [ ( ) (0 )] lim 0 0

( 2 )n

s stn n

Kc c t s sC s c s s

s s s

++ +

= = = =

+ + (4.17)

Es decir, la respuesta temporal de todos los sistemas de segundo orden comienzan en el origen con

pendiente nula, y alcanzan en rgimen permanente el valor de la ganancia estticaK. Sistema oscilatorio. El amortiguamiento es cero y los polos del sistema de segundo orden son

complejo conjugados imaginarios puros localizados en:

1,2 nj= (4.18)

En este ltimo caso no existe ningn valor de rgimen permanente ante entrada escaln unitario.

4.2.1 Respuesta subamortiguada ante una entrada escaln

La salida de un sistema subamortiguado ante una entrada escaln unitario aparece en la ecuacin (4.19).

2

( ) 1 sin( )1

t

d

ec t K t

= +

(4.19)

En la Fig. 4.10 se muestra sobre un ejemplo la respuesta temporal de un sistema subamortiguado. Setrata de una seal sinusoidal cuya amplitud se va atenuando segn un patrn exponencial.

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

K

c(t)

t(segundos)tptr

2

4( )

0.75 4G s

s s=

+ +

ts

KMp

Td

Fig. 4.10 Respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado ante entrada escaln

Existen varios puntos clave en la respuesta temporal. El primero es el tiempo de levantamiento tr, yes el instante en el que la salida pasa por primera vez por el valor de su rgimen permanente.

r d

t

= (4.20)

El tiempo de tipo tp es el instante en el que la salida temporal alcanza su primer mximo. A ladiferencia entre el valor del mximo y el valor en rgimen permanente, expresada en por unidad respecto delvalor en rgimen permanente, se le llama sobreimpulso mximoMp.

pd

t

= (4.21)

21 tan( ) ( )

( )p

p

c t c M e e

c

= = =

(4.22)

El tiempo de establecimiento se define como el instante a partir del cual la respuesta temporal queda

circunscrita en una banda del 2% del 5% en torno al valor en rgimen permanente.4 4

(2%)sn

t

= (4.23)


34/147

28

3 3(5%)s

n

t

= (4.24)

En los sistemas de control no es deseable que exista una respuesta con mucho sobreimpulso ni muyoscilatoria. Se suele buscar que el sistema controlado posea un sobreimpulso entre el 0% y el 20% con elmenor tiempo de establecimiento posible.

4.2.2 Respuesta sobreamortiguada ante una entrada escalnLa salida de un sistema sobreamortiguado ante una entrada escaln unitario aparece en la ecuacin (4.25).

1 2

21 2

( ) 12 1

p t p t n e ec t K

p p

= +

(4.25)

En la Fig. 4.11 se muestra sobre un ejemplo la respuesta temporal de un sistema sobreamortiguado.Los sistemas sobreamortiguados no poseen sobreimpulso.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c(t)

t(segundos)

2

4( )

5 4G s

s s=

+ +

Fig. 4.11 Respuesta de un sistema de segundo orden sobreamortiguado con entrada escaln unitario

En este caso existen pocas referencias para dibujar a mano alzada la respuesta temporal. Una formaaproximada de representar la respuesta consiste en dividir la funcin de transferencia en dos sistemas de

primer orden, Fig. 4.12, y determinar cul de los dos es ms lento, es decir, el que tiene la constante detiempo ms grande.

CR1 2

1 2( )( )

Kp p

s p s p+ +

G(s)CR 1

1

p

s p+2

2

p

s p+K

G1(s) G2(s)

Fig. 4.12 Anlisis de un sistema de segundo orden sobreamortiguado

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c(t)

t(segundos)

2

1( )

1G s =

+

2

4( )

5 4G s

s s=

+ +

Fig. 4.13 Respuesta de un sistema de segundo orden sobreamortiguado con entrada escaln unitarioLa respuesta ante una entrada escaln se asemejar a la respuesta del sistema de primer orden ms

lento aadiendo un pequeo retraso, aproximadamente igual a la constante de tiempo del sistema de primer


35/147

29

orden ms rpido, y haciendo la pendiente de salida nula. En la Fig. 4.13 se compara la salida del sistemasobreamortiguado de la anterior Fig. 4.11 con la del sistema de primer orden que impone el polo ms lento.

Una forma intuitiva de explicar este comportamiento consiste es imaginar en la Fig. 4.12 cul ser laentrada de la funcin de transferencia G2 suponiendo que sea sta la que posee el polo ms lento. Su entradaser una exponencial con una constante de tiempo pequea, es decir, aproximadamente un escaln unitarioretrasado la constante de tiempo de G1.

4.2.3 Respuesta crticamente amortiguada ante una entrada escaln

La salida de un sistema crticamente se muestra en la ecuacin (4.26).

( ) [1 (1 )]nt nc t K e t = + (4.26)

En la Fig. 4.14 se muestra sobre un ejemplo la respuesta temporal de un sistema crticamenteamortiguado. Este tipo de sistemas tampoco poseen sobreimpulso.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c(t)

t(segundos)

2

25( )

10 25G s

s s=

+ +

Fig. 4.14 Respuesta de un sistema de segundo orden crticamente amortiguado con entrada escaln unitario

4.2.4 Respuesta oscilatoria ante una entrada escaln

La salida de un sistema oscilatorio se muestra en la ecuacin (4.27).

( ) [1 cos( )]nc t K t = (4.27)

En la Fig. 4.15 se muestra sobre un ejemplo la respuesta temporal de un sistema oscilatorio. En estetipo de sistemas el sobreimpulso es del 100%.

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

c(t)

t(segundos)

2

25( )

25G s

s=

+

Fig. 4.15 Respuesta de un sistema de segundo orden oscilatorio con entrada escaln unitario

4.2.5 Respuesta ante una entrada impulso

La respuesta de un sistema ante una entrada impulso se puede obtener a partir de la respuesta ante unaentrada escaln. En la Fig. 4.16 se observa cmo la respuesta ante una entrada impulso se puede conseguirderivando directamente la respuesta del sistema con entrada escaln unitario.


36/147

30

G(s)( ) 1R s = G(s)1

( )R ss

= sC C

Fig. 4.16 Anlisis de la respuesta de un sistema con entrada impulso

Por tanto, basta con derivar las respuestas temporales de los apartados anteriores para obtener larespuesta del sistema ante entrada impulso. Como los sistemas de segundo orden, cualquiera que sea suamortiguamiento, comienzan y acaban con derivada

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